हल किए गए प्रश्न

इन प्रश्नों से अभ्यास का तरीका

यहाँ 36 प्रश्न हल करके दिए गए हैं, और ये किसी तय क्रम में नहीं हैं। जैसे, $x + \frac{1}{x}$ वाला प्रश्न किसी रैखिक समीकरण (linear equation) वाले प्रश्न के ठीक बाद भी आ सकता है।

इसलिए किसी भी प्रश्न में सबसे पहले यह पहचानिए कि वह किस प्रकार का है। एक बार प्रकार पहचान लिया, तो ज़्यादातर प्रश्न दो-तीन पंक्तियों में हल हो जाते हैं।

प्रत्येक प्रश्न पहले ख़ुद कागज़ पर हल कीजिए, उसके बाद उत्तर पढ़िए। टियर 1 का सामान्य प्रश्न लगभग 45 सेकंड में हो जाना चाहिए। किसी प्रश्न में इससे काफ़ी ज़्यादा समय लग जाए, तो "शॉर्टकट और तेज़ तरीके" वाले खंड में उसका तेज़ रास्ता देखिए। फिर अगले दिन वही प्रश्न दोबारा कीजिए।

अब देखिए कि किस तरह के कितने प्रश्न हैं। लगभग एक-तिहाई प्रश्न सर्वसमिका (identity) और गुणनखंडन (factorisation) के हैं। इनमें दो चरों के वर्ग और घन वाली सर्वसमिकाएँ हैं, और तीन चरों वाली सर्वसमिकाएँ भी। $a + b + c = 0$ वाले प्रश्न भी इन्हीं में हैं, और कुछ विशेष शर्तों वाले भी, जैसे वर्गों का योग शून्य होना।

लगभग एक-चौथाई प्रश्न $x + \frac{1}{x}$ के हैं। इनमें उसके विशेष मान वाले प्रश्न भी आते हैं, और ऐसे प्रश्न भी जिनमें $x$ का करणी (surd) वाला मान दिया होता है।

बाकी प्रश्नों में बहुपद (polynomial), द्विघात समीकरण (quadratic equation), रैखिक समीकरण, शाब्दिक प्रश्न और न्यूनतम या अधिकतम मान वाले प्रश्न आते हैं।

कुछ प्रश्नों के साथ [Tier 2] लिखा है। टियर 1 में आम तौर पर जितना पूछा जाता है, इनमें उससे एक कदम आगे जाना पड़ता है। पर सर्वसमिकाएँ वही हैं, इसलिए इन्हें छोड़िए नहीं।

जब उत्तर कोई व्यंजक हो, तो उसे इस तरह जाँच लीजिए। छोटी संख्याएँ लीजिए, जैसे $x = 2$ और $y = 1$। इन्हें प्रश्न में भी रखिए और अपने उत्तर में भी। दोनों से एक ही संख्या आए, तो उत्तर ठीक है।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

यदि $a + b = 10$ और $a^2 + b^2 = 58$ है, जहाँ $a > b$ है, तो $a - b$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले $ab$ निकाल लेते हैं। $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ में मान रखने पर $100 = 58 + 2ab$ आता है, तो $ab = 21$। अब $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab = 58 - 42 = 16$। यहाँ $a > b$ दिया है, इसलिए धनात्मक वर्गमूल लेंगे। तो $a - b$ = 4। वैसे ये संख्याएँ 7 और 3 हैं।

प्रश्न 2

यदि $x + \frac{1}{x} = 4$ है, तो $x^5 + \frac{1}{x^5}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ एक-एक कदम आगे बढ़ते हैं। पहले $x^2 + \frac{1}{x^2} = 16 - 2 = 14$ निकालते हैं, फिर $x^3 + \frac{1}{x^3} = 64 - 12 = 52$। अब इन दोनों का गुणा करते हैं।

$$\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)\left(x^3 + \frac{1}{x^3}\right) = x^5 + \frac{1}{x^5} + x + \frac{1}{x}$$

दाईं ओर के आखिरी दो पद तो प्रश्न में ही दिए हैं, और उनका योग 4 है। तो $x^5 + \frac{1}{x^5} = 14 \times 52 - 4 = 728 - 4$ = 724।

प्रश्न 3

जब $2x^3 + ax^2 - 5x + 6$ को $x - 2$ से भाग दिया जाता है, तो शेषफल 20 प्राप्त होता है। $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: शेषफल प्रमेय (remainder theorem) के अनुसार शेषफल वही होगा, जो $x = 2$ पर बहुपद का मान है। यह मान $16 + 4a - 10 + 6 = 12 + 4a$ आता है। इसे 20 के बराबर रखें, तो $12 + 4a = 20$, यानी $a$ = 2।

प्रश्न 4

यदि $x = \sqrt{7} + \sqrt{6}$ है, तो $x^3 + \frac{1}{x^3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $(\sqrt{7} + \sqrt{6})(\sqrt{7} - \sqrt{6}) = 7 - 6 = 1$ है, इसलिए $\frac{1}{x} = \sqrt{7} - \sqrt{6}$। दोनों को जोड़ें, तो $x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{7}$ मिलता है। अब घन वाला सूत्र लगाते हैं।

$$x^3 + \frac{1}{x^3} = (2\sqrt{7})^3 - 3 \times 2\sqrt{7} = 56\sqrt{7} - 6\sqrt{7}$$

घटाने पर $50\sqrt{7}$ आता है।

प्रश्न 5

हल कीजिए: $\frac{2x - 1}{3} - \frac{x - 2}{4} = \frac{x + 4}{6}$

उत्तर: पहले भिन्नें हटा देते हैं। 3, 4 और 6 का ल.स. (LCM) 12 है, तो पूरे समीकरण को 12 से गुणा कर देते हैं। इससे $4(2x - 1) - 3(x - 2) = 2(x + 4)$ मिलता है। कोष्ठक खोलने पर $8x - 4 - 3x + 6 = 2x + 8$, यानी $5x + 2 = 2x + 8$। तो $3x = 6$ और $x$ = 2। अब 2 रखकर जाँच लेते हैं। बायाँ पक्ष $1 - 0 = 1$ आता है और दायाँ पक्ष $\frac{6}{6} = 1$, यानी दोनों बराबर हैं।

प्रश्न 6

सरल कीजिए: $\frac{(x^2 - y^2)^3 + (y^2 - z^2)^3 + (z^2 - x^2)^3}{(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3}$

उत्तर: अंश के तीनों कोष्ठकों का योग 0 है। ऐसे में उनके घनों का योग $3(x^2 - y^2)(y^2 - z^2)(z^2 - x^2)$ हो जाता है। हर के कोष्ठकों का योग भी 0 है, तो हर = $3(x - y)(y - z)(z - x)$। अब अंश का प्रत्येक गुणनखंड वर्गों का अंतर है, जैसे $x^2 - y^2$ = $(x - y)(x + y)$। 3 और तीनों अंतर ऊपर-नीचे कट जाते हैं, और केवल $(x + y)(y + z)(z + x)$ बचता है।

प्रश्न 7

$k$ के किस धनात्मक मान के लिए समीकरण $2x^2 + kx + 18 = 0$ के मूल बराबर हैं? वह मूल भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समीकरण के मूल बराबर हों, तो $b^2 = 4ac$ होना चाहिए। यहाँ $k^2 = 4 \times 2 \times 18 = 144$ आता है। हमें धनात्मक मान चाहिए, तो $k = 12$। अब समीकरण $2x^2 + 12x + 18 = 2(x + 3)^2 = 0$ हो जाता है, इसलिए समीकरण का मूल $x = -3$ है।

प्रश्न 8

यदि $a + b = 11$ और $a^3 + b^3 = 737$ है, तो $ab$ और $a^2 + b^2$ के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: घन वाली सर्वसमिका $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ में मान रखते हैं। $1331 = 737 + 33ab$, तो $33ab = 594$ और $ab$ = 18। अब $a^2 + b^2 = 121 - 36$ = 85। संख्याएँ 2 और 9 निकलती हैं, और इनके घनों का योग भी $8 + 729 = 737$ ही आता है।

प्रश्न 9

यदि $x + \frac{1}{x} = 1$ है, तो $x^{2026} + \frac{1}{x^{2026}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $x + \frac{1}{x} = 1$ से $x^2 - x + 1 = 0$ मिलता है। इसे $x + 1$ से गुणा करें, तो $x^3 + 1 = 0$, यानी $x^3 = -1$ और $x^6 = 1$। अब 2026 को 6 से भाग देते हैं। $2026 = 6 \times 337 + 4$, इसलिए $x^{2026} = x^4 = x^3 \times x = -x$। इसी तरह $\frac{1}{x^{2026}} = -\frac{1}{x}$। दोनों का योग $-\left(x + \frac{1}{x}\right)$ है, यानी $-1$।

प्रश्न 10

सरल कीजिए: $\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 12} \div \frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 2x - 8}$

उत्तर: पहले सब व्यंजकों का गुणनखंडन कर लेते हैं। $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$, $x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3)$, $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ और $x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)$। भाग की जगह दूसरी भिन्न को उलटकर गुणा करते हैं।

$$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 4)(x - 3)} \times \frac{(x + 4)(x - 2)}{(x + 3)^2} = \frac{x - 2}{x + 3}$$

तो उत्तर $\frac{x - 2}{x + 3}$ है।

प्रश्न 11

यदि $a + b + c = 11$, $ab + bc + ca = 38$ और $abc = 40$ है, तो $a^2 + b^2 + c^2$ और $a^3 + b^3 + c^3$ के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले वर्गों का योग निकालते हैं। $a^2 + b^2 + c^2 = 11^2 - 2 \times 38 = 121 - 76$ = 45। घनों के लिए यह सर्वसमिका लगाते हैं।

$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 11 \times (45 - 38) = 77$$

तो $a^3 + b^3 + c^3 = 77 + 3 \times 40$ = 197। चाहें तो देख लीजिए, ये संख्याएँ 2, 4 और 5 हैं।

प्रश्न 12

$x^2 + y^2 - 6x + 8y + 30$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ दोनों चरों का अलग-अलग पूर्ण वर्ग बनाना (completing the square) होगा। $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ और $y^2 + 8y = (y + 4)^2 - 16$। तो व्यंजक = $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 + 30 - 25 = (x - 3)^2 + (y + 4)^2 + 5$। कोई भी वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए न्यूनतम मान 5 है, जो $x = 3$ और $y = -4$ पर मिलता है।

प्रश्न 13

दो अंकों की एक संख्या अपने अंकों के योग की 6 गुनी है। यदि इस संख्या में से 9 घटा दिया जाए, तो इसके अंक उलट जाते हैं। वह संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: मान लेते हैं कि दहाई का अंक $a$ है और इकाई का अंक $b$। पहली शर्त से $10a + b = 6(a + b)$, यानी $4a = 5b$। अंक उलटने पर संख्या अंकों के अंतर के 9 गुने जितनी घटती है। यहाँ संख्या 9 घटी है, तो $9(a - b) = 9$, यानी $a - b = 1$। अब $a = b + 1$ को $4a = 5b$ में रखते हैं। $4b + 4 = 5b$ से $b = 4$ और $a = 5$, तो संख्या 54 है। दोनों शर्तें मिलाकर देख लेते हैं। $6 \times (5 + 4) = 54$, और $54 - 9 = 45$ में अंक सचमुच उलट गए हैं।

प्रश्न 14

यदि $2x + \frac{1}{3x} = 4$ है, तो $36x^2 + \frac{1}{x^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ दोनों पद एक-दूसरे के व्युत्क्रम (reciprocal) नहीं हैं, इसलिए वर्ग करते समय बीच वाले पद पर ध्यान देना होगा।

$$\left(2x + \frac{1}{3x}\right)^2 = 4x^2 + \frac{1}{9x^2} + 2 \times 2x \times \frac{1}{3x} = 4x^2 + \frac{1}{9x^2} + \frac{4}{3}$$

तो $4x^2 + \frac{1}{9x^2} = 16 - \frac{4}{3} = \frac{44}{3}$। प्रश्न में इसका 9 गुना पूछा गया है, इसलिए $36x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 \times \frac{44}{3}$ = 132।

प्रश्न 15

यदि $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ है, और $a$, $b$, $c$ तीनों एक साथ शून्य नहीं हैं, तो $\frac{(a + b + c)^2}{a^2 + b^2 + c^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों पक्षों को दोगुना करके सब कुछ एक ओर ले आते हैं। तब यह $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0$ हो जाता है। वर्गों का योग 0 तभी हो सकता है, जब प्रत्येक वर्ग 0 हो। इसलिए $a = b = c$। अब अंश $(3a)^2 = 9a^2$ है और हर $3a^2$, तो मान 3 है।

प्रश्न 16 [Tier 2]

यदि $\alpha$, $\beta$ और $\gamma$, बहुपद $x^3 - 7x^2 + 14x - 8$ के शून्यक हैं, तो $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ और $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}$ के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $ax^3 + bx^2 + cx + d$ जैसे बहुपद के शून्यक (zeros of a polynomial) और उसके गुणांकों का सीधा संबंध होता है। इस बहुपद में शून्यकों का योग $-\frac{b}{a} = 7$ है, दो-दो के गुणनफलों का योग $\frac{c}{a} = 14$ है, और तीनों का गुणनफल $-\frac{d}{a} = 8$ है। अब $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 7^2 - 2 \times 14 = 49 - 28$ = 21। और $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma} = \frac{14}{8}$ = $\frac{7}{4}$। असल में शून्यक 1, 2 और 4 ही हैं।

प्रश्न 17

यदि $x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ और $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ है, तो $x^2 - xy + y^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ध्यान दीजिए, $y$ वही भिन्न है जो $x$ है, बस उलटी हुई। इसलिए $xy = 1$। अब परिमेयकरण (rationalisation) करते हैं। $x = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5})^2}{7 - 5} = \frac{12 + 2\sqrt{35}}{2} = 6 + \sqrt{35}$, इसलिए $y = 6 - \sqrt{35}$। तो $x + y = 12$ और $x^2 + y^2 = 144 - 2 = 142$। आखिर में 1 घटाना है, तो $x^2 - xy + y^2 = 142 - 1$ = 141।

प्रश्न 18

$k$ के किस मान के लिए समीकरणों $kx + 4y = 6$ और $9x + ky = 9$ का कोई हल नहीं होगा?

उत्तर: कोई हल नहीं (no solution) होने के लिए पहली शर्त है $\frac{k}{9} = \frac{4}{k}$। इससे $k^2 = 36$, यानी $k = 6$ या $k = -6$। पर यहीं नहीं रुकना है। अचर पदों का अनुपात भी देखना होगा। $k = 6$ रखने पर $\frac{6}{9} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9}$, यानी तीनों अनुपात बराबर हैं। तब दोनों रेखाएँ एक ही हैं और अनंत हल मिलते हैं। $k = -6$ रखने पर $\frac{-6}{9} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$, जबकि $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$। यहाँ अचर पदों का अनुपात अलग है, इसलिए कोई हल नहीं मिलेगा। तो उत्तर $k = -6$ है।

प्रश्न 19

यदि $a - b = 3$ और $a^3 - b^3 = 117$ है, जहाँ $a$ और $b$ धनात्मक हैं, तो $a + b$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$ से $27 = 117 - 9ab$ मिलता है, यानी $ab = 10$। अब $(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab = 9 + 40 = 49$। दोनों संख्याएँ धनात्मक हैं, इसलिए $a + b$ = 7। यहाँ संख्याएँ 5 और 2 निकलती हैं।

प्रश्न 20

यदि $x + \frac{1}{x} = 9$ और $x > 1$ है, तो $x^2 - \frac{1}{x^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले $x - \frac{1}{x}$ निकालते हैं। इसका वर्ग $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 4 = 81 - 4 = 77$ है। $x > 1$ है, इसलिए $x - \frac{1}{x}$ धनात्मक होगा, यानी यह $\sqrt{77}$ है। अब $x^2 - \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x - \frac{1}{x}\right)$ = $9\sqrt{77}$।

प्रश्न 21

यदि $a^3 + 8b^3 + 125c^3 = 30abc$ और $a + 2b + 5c \neq 0$ है, तो $a : b : c$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: इसे $a^3 + (2b)^3 + (5c)^3 = 3 \times a \times 2b \times 5c$ के रूप में लिख सकते हैं, क्योंकि $3 \times 2 \times 5 = 30$ है। अब यह $p^3 + q^3 + r^3 = 3pqr$ वाला रूप है। ऐसे में या तो $p + q + r = 0$ होता है, या $p = q = r$। पर प्रश्न में साफ़ दिया है कि योग शून्य नहीं है, इसलिए $a = 2b = 5c$। मान लीजिए, तीनों 10 के बराबर हैं। तब $a = 10$, $b = 5$ और $c = 2$, यानी $a : b : c$ = 10 : 5 : 2।

प्रश्न 22

यदि $a^3 + 3a^2 + 3a = 26$ है, जहाँ $a$ एक वास्तविक संख्या है, तो $a^2 + 2a$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बायाँ पक्ष किसी घन से बस एक कम है, क्योंकि $a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = (a + 1)^3$ होता है। तो दोनों पक्षों में 1 जोड़ देते हैं। इससे $(a + 1)^3 = 27$, यानी $a + 1 = 3$ और $a = 2$। अब $a^2 + 2a = 4 + 4$ = 8। इससे भी जल्दी करना हो, तो सीधे $a^2 + 2a = (a + 1)^2 - 1 = 9 - 1$ लिख दीजिए।

प्रश्न 23 [Tier 2]

यदि $\alpha$ और $\beta$, समीकरण $x^2 - 8x + 3 = 0$ के मूल हैं, तो वह द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसके मूल $\alpha^2$ और $\beta^2$ हैं।

उत्तर: दिए गए समीकरण में $\alpha + \beta = 8$ है और $\alpha\beta = 3$। नए मूलों का योग $\alpha^2 + \beta^2 = 64 - 6 = 58$ है, और उनका गुणनफल $\alpha^2\beta^2 = 9$। मूलों का योग और गुणनफल (sum and product of roots) पता हों, तो समीकरण $x^2 - (\text{योग})x + \text{गुणनफल} = 0$ लिखते हैं। इसलिए नया समीकरण $x^2 - 58x + 9 = 0$ है।

प्रश्न 24

एक आयत का परिमाप 46 सेमी और क्षेत्रफल 120 वर्ग सेमी है। उसके विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: भुजाएँ $l$ और $b$ मान लेते हैं। परिमाप से $l + b = 23$ और क्षेत्रफल से $lb = 120$। विकर्ण $\sqrt{l^2 + b^2}$ होता है, और $l^2 + b^2 = 23^2 - 2 \times 120 = 529 - 240 = 289$। तो विकर्ण = $\sqrt{289}$ = 17 सेमी। यानी आयत की भुजाएँ 15 सेमी और 8 सेमी हैं।

प्रश्न 25

यदि $x^4 + \frac{1}{x^4} = 3842$ और $x > 0$ है, तो $x^3 + \frac{1}{x^3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ उलटी दिशा में चलना है, ऊँची घात से नीचे की ओर। $\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 = 3842 + 2 = 3844 = 62^2$, तो $x^2 + \frac{1}{x^2} = 62$। फिर $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 62 + 2 = 64$। $x > 0$ है, इसलिए $x + \frac{1}{x} = 8$। अब घन वाले सूत्र से $x^3 + \frac{1}{x^3} = 512 - 24$ = 488।

प्रश्न 26

यदि $p + q + r = 0$ है, और ये तीनों एक साथ शून्य नहीं हैं, तो $\frac{p^2 + q^2 + r^2}{pq + qr + rp}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दी गई शर्त का वर्ग कर लेते हैं। $p^2 + q^2 + r^2 + 2(pq + qr + rp) = 0$, तो $p^2 + q^2 + r^2 = -2(pq + qr + rp)$। इसलिए भिन्न का मान $-2$ है। जल्दी से जाँचना हो, तो $p = 1$, $q = 1$ और $r = -2$ रखिए। अंश 6 आता है और हर $1 - 2 - 2 = -3$, तो भिन्न का मान वही निकलता है।

प्रश्न 27 [Tier 2]

यदि $x = \sqrt{5} - 1$ है, तो $x^3 + 3x^2 - 2x + 4$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले एक समीकरण बना लेते हैं। $x + 1 = \sqrt{5}$, तो वर्ग करने पर $x^2 + 2x + 1 = 5$, यानी $x^2 + 2x - 4 = 0$। अब इसी की मदद से त्रिघात व्यंजक को ऐसे लिखते हैं। $x^3 + 3x^2 - 2x + 4 = (x^2 + 2x - 4)(x + 1) + 8$। गुणा करके जाँच लीजिए। $(x^2 + 2x - 4)(x + 1) = x^3 + 3x^2 - 2x - 4$ आता है, और इसमें 8 जोड़ें तो दिया गया व्यंजक मिल जाता है। कोष्ठक का मान 0 है, इसलिए उत्तर 8 है।

प्रश्न 28 [Tier 2]

2 कॉपियों, 3 पेन और 1 फ़ाइल का मूल्य ₹95 है, तथा 1 कॉपी, 2 पेन और 3 फ़ाइलों का मूल्य ₹90 है। 5 कॉपियों, 8 पेन और 5 फ़ाइलों का मूल्य कितना होगा?

उत्तर: चीज़ें तीन हैं, पर समीकरण केवल दो। इसलिए प्रत्येक चीज़ का अलग मूल्य नहीं निकल सकता। पर शायद इसकी ज़रूरत ही न पड़े। देखते हैं कि जो पूछा गया है, वह इन्हीं दोनों समीकरणों से निकल आता है या नहीं। पहले समीकरण को दोगुना करें, तो उसमें 4 कॉपियाँ, 6 पेन और 2 फ़ाइलें आ जाती हैं। इसमें दूसरा समीकरण जोड़ दें, तो 5 कॉपियाँ, 8 पेन और 5 फ़ाइलें हो जाती हैं। ठीक यही तो पूछा गया है। तो मूल्य = $2 \times 95 + 90$ = ₹280।

प्रश्न 29

सरल कीजिए: $(x + y)^3 - (x - y)^3 - 6y(x^2 - y^2)$

उत्तर: $(x + y)^3 - (x - y)^3$ को खोलें, तो $x^3$ वाले पद कट जाते हैं, और $3xy^2$ वाले भी। बाकी दो पद दोगुने हो जाते हैं, और $6x^2y + 2y^3$ बचता है। अब इसमें से $6y(x^2 - y^2) = 6x^2y - 6y^3$ घटाने पर $2y^3 + 6y^3$ = $8y^3$ रह जाता है। उत्तर परखने के लिए $x = 1$ और $y = 1$ रखकर देखिए। प्रश्न वाला व्यंजक $8 - 0 - 0 = 8$ देता है, और उत्तर भी 8 ही देता है।

प्रश्न 30 [Tier 2]

यदि $x$ और $y$ धनात्मक हैं और $3x + 4y = 48$ है, तो $xy$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: जब दो धनात्मक भागों का योग तय हो, तो उनका गुणनफल सबसे बड़ा तब होता है, जब दोनों भाग बराबर हों। यहाँ योग $3x + 4y$ तय है, इसलिए $(3x)(4y)$ अधिकतम तब होगा, जब $3x = 4y = 24$ हो। इससे $12xy \le 24 \times 24 = 576$, यानी $xy \le 48$। तो अधिकतम मान 48 है, जो $x = 8$ और $y = 6$ पर मिलता है।

प्रश्न 31 [Tier 2]

यदि $x + \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ है, तो $x^{10} + \frac{1}{x^{10}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिए गए समीकरण का वर्ग करें, तो $x^2 + \frac{1}{x^2} = 2 - 2 = 0$ आता है। इसे $x^2$ से गुणा करें, तो $x^4 + 1 = 0$, यानी $x^4 = -1$ और $x^8 = 1$। अब $x^{10} = x^8 \times x^2 = x^2$, और इसी तरह $\frac{1}{x^{10}} = \frac{1}{x^2}$। तो पूछा गया मान $x^2 + \frac{1}{x^2}$ ही है, और यह हम पहले ही निकाल चुके हैं, यानी 0।

प्रश्न 32

सरल कीजिए: $\frac{a^4 - b^4}{a^3 + a^2b + ab^2 + b^3}$

उत्तर: अंश में वर्गों के अंतर वाला सूत्र दो बार लगता है, और $a^4 - b^4 = (a^2 + b^2)(a + b)(a - b)$ मिलता है। हर में दो-दो पदों का समूहन (grouping) करते हैं, तो $a^2(a + b) + b^2(a + b) = (a + b)(a^2 + b^2)$ मिलता है। अब उभयनिष्ठ गुणनखंड (common factor) ऊपर-नीचे काट दें, तो उत्तर $a - b$ आता है।

प्रश्न 33

दो क्रमागत धनात्मक सम संख्याओं का गुणनफल 168 है। उनका योग ज्ञात कीजिए।

उत्तर: संख्याएँ $n$ और $n + 2$ मान लेते हैं। तब $n(n + 2) = 168$, यानी $n^2 + 2n - 168 = 0$। अब ऐसी दो संख्याएँ चाहिए, जिनका गुणनफल $-168$ हो और योग 2। ये 14 और $-12$ हैं, तो $(n + 14)(n - 12) = 0$। संख्याएँ धनात्मक हैं, इसलिए $n = 12$। यानी संख्याएँ 12 और 14 हैं, और उनका योग 26 है।

प्रश्न 34 [Tier 2]

यदि $a + b + c = 12$, $a^2 + b^2 + c^2 = 66$ और $a^3 + b^3 + c^3 = 408$ है, तो $abc$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले $ab + bc + ca = \frac{144 - 66}{2} = 39$ निकालते हैं। फिर $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 12 \times (66 - 39) = 324$। तो $3abc = 408 - 324 = 84$, और $abc$ = 28। ये संख्याएँ असल में 1, 4 और 7 हैं।

प्रश्न 35

यदि $x = 3 + \sqrt{5}$ और $y = 3 - \sqrt{5}$ है, तो $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ $x$ और $y$ एक-दूसरे के व्युत्क्रम नहीं हैं, क्योंकि $xy = 9 - 5 = 4$ है, 1 नहीं। इसलिए योग और गुणनफल वाला रास्ता लेते हैं। $x + y = 6$ और $xy = 4$, तो $x^2 + y^2 = 36 - 8 = 28$। इससे $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{28}{4}$ = 7।

प्रश्न 36

यदि $x + 2y = 12$, $y + 2z = 11$ और $z + 2x = 7$ है, तो $x^2 + y^2 + z^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: तीनों समीकरणों में प्रत्येक चर कुल 3 बार आया है, इसलिए तीनों को जोड़ देते हैं। इससे $3(x + y + z) = 30$, यानी $x + y + z = 10$ मिलता है। अब पहले समीकरण में से यह योग घटाते हैं। $(x + 2y) - 10$ से $y - z = 2$ आता है। इसी तरह $(y + 2z) - 10$ से $z - x = 1$ आता है। तो $z = x + 1$ और $y = z + 2 = x + 3$। इन्हें योग वाले समीकरण में रखें, तो $x + (x + 3) + (x + 1) = 10$, जिससे $x = 2$ आता है। फिर $y = 5$ और $z = 3$, और उत्तर $4 + 25 + 9$ = 38 है।