x+1xx + \frac{1}{x} इतना काम का क्यों है

टियर 1 में बीजगणित के लगभग हर तीन प्रश्नों में से एक इसी तरह का होता है। प्रश्न "यदि x+1x=6x + \frac{1}{x} = 6" जैसी किसी पंक्ति से शुरू होता है। या फिर xx करणी (surd) के रूप में दिया होता है, जैसे 2+32 + \sqrt{3}।

इन सबके पीछे एक ही बात है। किसी संख्या को उसके व्युत्क्रम (reciprocal) से गुणा करें, तो 1 आता है। इसीलिए x+1xx + \frac{1}{x} का वर्ग या घन करने पर बीच वाले पदों में अक्षर कट जाता है और केवल सादी संख्या बचती है।

वर्ग करने पर बीच वाला पद केवल 2 रह जाता है।

(x+1x)2=x2+2⋅x⋅1x+1x2=x2+2+1x2\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}

इसलिए अगर x+1x=kx + \frac{1}{x} = k है, तो वर्गों का योग सीधे निकल आता है।

x2+1x2=k2−2x^2 + \frac{1}{x^2} = k^2 - 2

घन करने के लिए (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) लीजिए। यहाँ ab=x⋅1x=1ab = x \cdot \frac{1}{x} = 1 है, इसलिए घन ऐसा आता है।

(x+1x)3=x3+1x3+3(x+1x)  ⇒  x3+1x3=k3−3k\left(x + \frac{1}{x}\right)^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3\left(x + \frac{1}{x}\right) \;\Rightarrow\; x^3 + \frac{1}{x^3} = k^3 - 3k

जैसे x+1x=6x + \frac{1}{x} = 6 हो, तो x2+1x2=36−2=34x^2 + \frac{1}{x^2} = 36 - 2 = 34 और x3+1x3=216−18=198x^3 + \frac{1}{x^3} = 216 - 18 = 198।

घन तक पहुँचने का दूसरा रास्ता भी है। इसमें a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) लगाते हैं।

x3+1x3=(x+1x)(x2+1x2−1)=k(k2−3)x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^2 + \frac{1}{x^2} - 1\right) = k(k^2 - 3)

जब x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} पहले से निकला हुआ हो, तब यही रास्ता जल्दी पड़ता है। ऊपर वाले उदाहरण में 6 × 33 = 198 आता है, यानी उत्तर वही है।

उलटी दिशा में भी चलना पड़ता है। मान लीजिए x2+1x2=79x^2 + \frac{1}{x^2} = 79 दिया है। इसमें 2 जोड़िए और फिर वर्गमूल लीजिए। (x+1x)2=81\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 81 आता है, तो धनात्मक xx के लिए x+1x=9x + \frac{1}{x} = 9 होगा। ऋणात्मक xx हो, तो यह −9-9 होगा। अब x3+1x3=729−27=702x^3 + \frac{1}{x^3} = 729 - 27 = 702।

कभी घन वाला मान दिया होता है। तब k3−3kk^3 - 3k में छोटी पूर्ण संख्याएँ रखकर देखिए। जैसे x3+1x3=52x^3 + \frac{1}{x^3} = 52 हो, तो k=4k = 4 सही है, क्योंकि 64 − 12 = 52 आता है। इसके अलावा कोई और वास्तविक मान यहाँ नहीं चलता।

kk कहाँ तक हो सकता है, यह भी जान लीजिए। धनात्मक xx पर x+1xx + \frac{1}{x} कम से कम 2 होता है, और ठीक 2 केवल x=1x = 1 पर। इसका कारण "रैखिक समीकरण और अधिकतम या न्यूनतम मान" वाले खंड में दिया है। ऋणात्मक xx पर यह अधिक से अधिक −2-2 होता है।

इसलिए किसी भी वास्तविक xx के लिए x+1x=1x + \frac{1}{x} = 1 या 3\sqrt{3} नहीं हो सकता। फिर भी SSC के प्रश्नों में ऐसे मान आते हैं। इनके अपने नियम हैं, जो इसी खंड में आगे आएँगे।

जोड़ वाले इस रूप और इससे बने सब मानों को हम धन वाला परिवार कहेंगे। इस परिवार के सूत्रों में हमेशा घटाना होता है, k2−2k^2 - 2 में भी और k3−3kk^3 - 3k में भी। विकल्पों में अक्सर गलत मान k2+2k^2 + 2 और k3−3k^3 - 3 दिए होते हैं। दूसरा गलत मान तब आता है, जब कोई 3 को kk से गुणा करना भूल जाता है। k=6k = 6 पर ये 38 और 213 आते हैं, जो सही मानों 34 और 198 के बिल्कुल पास हैं।

ऊँची घातें: चौथी, पाँचवीं और छठी

ऊँची घात का मान हमेशा उन्हीं मानों से निकलता है जो पहले से पता हैं। किसी मान का वर्ग करने पर घात दोगुनी हो जाती है। दो मानों का गुणा करने पर उनकी घातें जुड़ जाती हैं। इसी से ये तीन सूत्र आते हैं।

x4+1x4=(x2+1x2)2−2x^4 + \frac{1}{x^4} = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 - 2

x5+1x5=(x2+1x2)(x3+1x3)−(x+1x)x^5 + \frac{1}{x^5} = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)\left(x^3 + \frac{1}{x^3}\right) - \left(x + \frac{1}{x}\right)

x6+1x6=(x3+1x3)2−2x^6 + \frac{1}{x^6} = \left(x^3 + \frac{1}{x^3}\right)^2 - 2

पाँचवीं घात वाले सूत्र को थोड़ा समझ लेते हैं। दोनों कोष्ठकों का गुणा करने पर x5+1x5x^5 + \frac{1}{x^5} तो मिलता ही है, साथ में x+1xx + \frac{1}{x} भी आ जाता है। यह x2⋅1x3x^2 \cdot \frac{1}{x^3} और 1x2⋅x3\frac{1}{x^2} \cdot x^3 वाले पदों से आता है। इसीलिए अंत में kk घटाना पड़ता है।

कोई भी दो घातें हों, तरीका यही रहता है। जैसे x7+1x7=(x3+1x3)(x4+1x4)−(x+1x)x^7 + \frac{1}{x^7} = \left(x^3 + \frac{1}{x^3}\right)\left(x^4 + \frac{1}{x^4}\right) - \left(x + \frac{1}{x}\right)।

सीढ़ी वाला तरीका भी बहुत काम का है। किसी मान को x+1xx + \frac{1}{x} से गुणा करें, तो हर बार एक घात ऊपर पहुँच जाते हैं।

xn+1+1xn+1=k(xn+1xn)−(xn−1+1xn−1)x^{n+1} + \frac{1}{x^{n+1}} = k\left(x^n + \frac{1}{x^n}\right) - \left(x^{n-1} + \frac{1}{x^{n-1}}\right)

मतलब नया मान निकालने के लिए पिछले मान को kk से गुणा कीजिए और उससे पहले वाला मान घटा दीजिए।

सीढ़ी 2 से शुरू होती है, क्योंकि x0+1x0x^0 + \frac{1}{x^0} का मान 2 है। उसके बाद kk आता है। जैसे k=3k = 3 पर सीढ़ी 2, 3, 7, 18, 47, 123, 322 है। तीन मानों की पूरी सीढ़ियाँ ये हैं।

x+1xx + \frac{1}{x} x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3} x4+1x4x^4 + \frac{1}{x^4} x5+1x5x^5 + \frac{1}{x^5} x6+1x6x^6 + \frac{1}{x^6}
3 7 18 47 123 322
4 14 52 194 724 2702
5 23 110 527 2525 12098

बीच वाली पंक्ति को सूत्रों से जाँच लीजिए। 142−2=19414^2 - 2 = 194, 14×52−4=72414 \times 52 - 4 = 724 और 522−2=270252^2 - 2 = 2702।

नीचे उतरना भी इतना ही आसान है। ऊँची घात का मान दिया हो, तो 2 जोड़िए और वर्गमूल लीजिए। जितनी बार ज़रूरत हो, यही दोहराइए। जैसे x4+1x4=194x^4 + \frac{1}{x^4} = 194 हो, तो x2+1x2=196=14x^2 + \frac{1}{x^2} = \sqrt{196} = 14। फिर धनात्मक xx के लिए x+1x=16=4x + \frac{1}{x} = \sqrt{16} = 4।

एक और उदाहरण देखिए। मान लीजिए x8+1x8=2207x^8 + \frac{1}{x^8} = 2207 है। इसमें 2 जोड़ने पर 2209 = 47247^2 आता है। फिर 47 में 2 जोड़कर 49 = 727^2, और 7 में 2 जोड़कर 9 = 323^2। तो धनात्मक xx के लिए x+1x=3x + \frac{1}{x} = 3।

बीच के हर कदम पर धनात्मक वर्गमूल ही लीजिए। वास्तविक xx के लिए x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} और x4+1x4x^4 + \frac{1}{x^4} कभी ऋणात्मक नहीं होते। केवल आख़िरी कदम पर, जब x+1xx + \frac{1}{x} निकालना हो, xx का चिह्न देखना पड़ता है।

एक गलती बहुत होती है। x4+1x4x^4 + \frac{1}{x^4} का मान k4−2k^4 - 2 नहीं होता। सही रास्ता वर्ग से होकर जाता है, यानी (k2−2)2−2(k^2 - 2)^2 - 2। k=3k = 3 पर यह 47 आता है। छोटे रास्ते से 34−2=793^4 - 2 = 79 आएगा, और यही गलत मान विकल्पों में दिया होता है।

छठी घात चाहिए, तो सीढ़ी पर चढ़ने के बजाय घन वाले मान का वर्ग करके 2 घटाइए। यह ज़्यादा जल्दी होता है।

ऋण वाला परिवार: x−1xx - \frac{1}{x}

अब दोनों पदों के बीच ऋण का चिह्न है। उनका गुणनफल अब भी 1 ही है। बस इस ऋण चिह्न की वजह से, जहाँ पहले घटाना पड़ता था, वहाँ अब जोड़ना पड़ता है।

मान लीजिए m=x−1xm = x - \frac{1}{x} है। वर्ग करने पर यह मिलता है।

(x−1x)2=x2−2+1x2  ⇒  x2+1x2=m2+2\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} \;\Rightarrow\; x^2 + \frac{1}{x^2} = m^2 + 2

घन के लिए (a−b)3=a3−b3−3ab(a−b)(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b) लीजिए और उसमें ab=1ab = 1 रखिए।

x3−1x3=m3+3m=m(m2+3)x^3 - \frac{1}{x^3} = m^3 + 3m = m(m^2 + 3)

जैसे m=3m = 3 हो, तो x2+1x2=9+2=11x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 + 2 = 11, x3−1x3=27+9=36x^3 - \frac{1}{x^3} = 27 + 9 = 36 और x4+1x4=112−2=119x^4 + \frac{1}{x^4} = 11^2 - 2 = 119।

x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2}, x4+1x4x^4 + \frac{1}{x^4} और x6+1x6x^6 + \frac{1}{x^6} जैसे धन चिह्न वाले सम घात के मान दोनों परिवारों से निकल आते हैं। एक बार x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} मिल गया, तो आगे ठीक धन वाले परिवार की तरह चलिए। छठी घात घन का वर्ग करके भी निकलती है, x6+1x6=(x3−1x3)2+2=1296+2=1298x^6 + \frac{1}{x^6} = \left(x^3 - \frac{1}{x^3}\right)^2 + 2 = 1296 + 2 = 1298।

[Tier 2] विषम घातों में भी गुणा वाली तरकीब चलती है।

x5−1x5=(x2+1x2)(x3−1x3)−(x−1x)x^5 - \frac{1}{x^5} = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)\left(x^3 - \frac{1}{x^3}\right) - \left(x - \frac{1}{x}\right)

m=3m = 3 पर यह 11 × 36 − 3 = 393 आता है।

समीकरण देखकर पहचानना भी सीख लीजिए। x2−mx−1=0x^2 - mx - 1 = 0 को xx से भाग दीजिए। x−m−1x=0x - m - \frac{1}{x} = 0 मिलता है, यानी x−1x=mx - \frac{1}{x} = m। इसलिए समीकरण का आख़िरी पद देखिए। वह −1-1 हो, तो ऋण वाला परिवार है, और +1+1 हो, तो धन वाला परिवार। जैसे x2−4x−1=0x^2 - 4x - 1 = 0 से x−1x=4x - \frac{1}{x} = 4 मिलता है, और फिर x2+1x2=18x^2 + \frac{1}{x^2} = 18।

दोनों परिवारों के सूत्र एक साथ देख लीजिए।

दिया हुआ वर्ग घन
x+1x=kx + \frac{1}{x} = k x2+1x2=k2−2x^2 + \frac{1}{x^2} = k^2 - 2 x3+1x3=k3−3kx^3 + \frac{1}{x^3} = k^3 - 3k
x−1x=mx - \frac{1}{x} = m x2+1x2=m2+2x^2 + \frac{1}{x^2} = m^2 + 2 x3−1x3=m3+3mx^3 - \frac{1}{x^3} = m^3 + 3m

[SSC टिप] धन वाला परिवार घटाता है और ऋण वाला परिवार जोड़ता है। बहुत से छात्र यहीं चूकते हैं और x3−1x3=m3−3mx^3 - \frac{1}{x^3} = m^3 - 3m लिख देते हैं। m=3m = 3 पर इससे 36 की जगह 18 आता है, और 18 विकल्पों में ज़रूर होता है।

x+1xx + \frac{1}{x} और x−1xx - \frac{1}{x} के बीच आना-जाना

बहुत से प्रश्नों में एक परिवार का मान दिया होता है और दूसरे परिवार का पूछा जाता है। जैसे "x+1x=5x + \frac{1}{x} = 5, x2−1x2x^2 - \frac{1}{x^2} ज्ञात कीजिए"।

दोनों परिवारों को यह सूत्र आपस में जोड़ता है।

(x+1x)2−(x−1x)2=4\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = 4

कारण सीधा है। दोनों वर्गों में बस बीच वाला पद अलग है, एक में +2+2 है और दूसरे में −2-2। इसी से ये दो सूत्र मिलते हैं।

x−1x=±k2−4x+1x=±m2+4x - \frac{1}{x} = \pm\sqrt{k^2 - 4} \qquad x + \frac{1}{x} = \pm\sqrt{m^2 + 4}

यहाँ ±\pm वाले दोनों चिह्न सच में संभव हैं। कौन-सा चिह्न सही है, यह इस पर निर्भर करता है कि xx कहाँ है। यह बात इस खंड के अगले भाग में देखेंगे।

सम घातों के अंतर गुणनफल के रूप में निकलते हैं।

x2−1x2=(x+1x)(x−1x)x^2 - \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x - \frac{1}{x}\right)

x4−1x4=(x2+1x2)(x2−1x2)x6−1x6=(x3+1x3)(x3−1x3)x^4 - \frac{1}{x^4} = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)\left(x^2 - \frac{1}{x^2}\right) \qquad x^6 - \frac{1}{x^6} = \left(x^3 + \frac{1}{x^3}\right)\left(x^3 - \frac{1}{x^3}\right)

पूरा हिसाब एक उदाहरण से देख लेते हैं। मान लीजिए x+1x=5x + \frac{1}{x} = 5 और x>1x > 1 है।

  • ऊपर वाले सूत्र से x−1x=25−4=21x - \frac{1}{x} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21}।
  • दोनों का गुणा करने पर x2−1x2=521x^2 - \frac{1}{x^2} = 5\sqrt{21}।
  • घन के लिए x3−1x3=m3+3m=2121+321=2421x^3 - \frac{1}{x^3} = m^3 + 3m = 21\sqrt{21} + 3\sqrt{21} = 24\sqrt{21}।
  • वर्गों का योग 23 है, इसलिए x4−1x4=23×521=11521x^4 - \frac{1}{x^4} = 23 \times 5\sqrt{21} = 115\sqrt{21}।

अगर 0<x<10 < x < 1 हो, तो ऊपर की हर पंक्ति का चिह्न उलट जाता है। तब मान −21-\sqrt{21}, −521-5\sqrt{21}, −2421-24\sqrt{21} और −11521-115\sqrt{21} होंगे। धन वाले परिवार के मान, यानी 23, 110 और 527, जैसे के तैसे रहते हैं।

उलटी दिशा में जाना हो, तो 4 जोड़िए। x−1x=3x - \frac{1}{x} = 3 और x>0x > 0 हो, तो x+1x=9+4=13x + \frac{1}{x} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}। अब x3+1x3=1313−313=1013x^3 + \frac{1}{x^3} = 13\sqrt{13} - 3\sqrt{13} = 10\sqrt{13} और x2−1x2=313x^2 - \frac{1}{x^2} = 3\sqrt{13}।

[Tier 2] मिले-जुले समीकरण भी आते हैं, जैसे "(x+1x)2−3(x−1x)=14\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 3\left(x - \frac{1}{x}\right) = 14 और x>1x > 1, x−1xx - \frac{1}{x} ज्ञात कीजिए"। यहाँ पहले पद को m2+4m^2 + 4 लिखिए। तब m2−3m−10=0m^2 - 3m - 10 = 0 आता है, यानी (m−5)(m+2)=0(m - 5)(m + 2) = 0। तो m=5m = 5 या m=−2m = -2। x>1x > 1 है, इसलिए अंतर धनात्मक होगा, और x−1x=5x - \frac{1}{x} = 5।

[SSC टिप] 4 वाला नियम याद रखिए। धन से ऋण की ओर जाते समय 4 घटाइए, यानी k2−4\sqrt{k^2 - 4}। ऋण से धन की ओर जाते समय 4 जोड़िए, यानी m2+4\sqrt{m^2 + 4}। इन दोनों को आपस में उलट दिया, तो k=5k = 5 से 29\sqrt{29} आता है, और यही गलत मान विकल्पों में बार-बार मिलता है।

कौन-सा चिह्न लें? x>1x > 1, 0<x<10 < x < 1 और ऋणात्मक xx

फिर से x+1x=5x + \frac{1}{x} = 5 लीजिए। यह x2−5x+1=0x^2 - 5x + 1 = 0 से आता है, और इस समीकरण के दो मूल हैं।

x=5+212≈4.79x=5−212≈0.21x = \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \approx 4.79 \qquad x = \frac{5 - \sqrt{21}}{2} \approx 0.21

दोनों मूलों का गुणनफल 1 है। मतलब दोनों मूल एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं, इसलिए एक 1 से ऊपर है और दूसरा 1 से नीचे।

दोनों से x+1xx + \frac{1}{x} का मान एक ही आता है। पर x−1xx - \frac{1}{x} पहले मूल पर 21\sqrt{21} आता है और दूसरे पर −21-\sqrt{21}। इसीलिए ठीक से बने प्रश्न में साफ़ लिखा होता है कि कौन-सा xx लेना है।

नियम बस इतना है। देखिए कि xx बड़ा है या 1x\frac{1}{x}।

xx कहाँ है x+1xx + \frac{1}{x} x−1xx - \frac{1}{x} x2−1x2x^2 - \frac{1}{x^2}
x>1x > 1 2 से अधिक धनात्मक धनात्मक
0<x<10 < x < 1 2 से अधिक ऋणात्मक ऋणात्मक
−1<x<0-1 < x < 0 −2-2 से कम धनात्मक ऋणात्मक
x<−1x < -1 −2-2 से कम ऋणात्मक धनात्मक

जाँचना हो, तो x=2x = 2, 12\frac{1}{2}, −12-\frac{1}{2} और −2-2 रखकर देखिए। x−1xx - \frac{1}{x} के मान 1.5, −1.5, 1.5 और −1.5 आते हैं।

आख़िरी स्तंभ तभी धनात्मक होता है, जब चिह्न छोड़कर देखें तो xx, 1 से बड़ा हो। ऐसे में x2x^2, 1x2\frac{1}{x^2} से बड़ा होता है।

x3−1x3x^3 - \frac{1}{x^3} जैसे विषम घात वाले अंतरों का चिह्न हमेशा वही होता है, जो x−1xx - \frac{1}{x} का है।

ऋणात्मक kk हो, तब भी यही तालिका काम आती है। जैसे "x+1x=−6x + \frac{1}{x} = -6 और x<−1x < -1, x2−1x2x^2 - \frac{1}{x^2} ज्ञात कीजिए"। तालिका के अनुसार यहाँ x−1xx - \frac{1}{x} ऋणात्मक है। तो x−1x=−36−4=−42x - \frac{1}{x} = -\sqrt{36 - 4} = -4\sqrt{2}, और x2−1x2=(−6)(−42)=242x^2 - \frac{1}{x^2} = (-6)(-4\sqrt{2}) = 24\sqrt{2}। दो ऋण चिह्नों का गुणा धन होता है, और तालिका में भी यही दिखता है कि उत्तर धनात्मक होगा।

ऋण वाली ओर से चलें, तब भी चिह्न इसी तरह तय होता है। समीकरण x−1x=3x - \frac{1}{x} = 3 के मूल लगभग 3.30 और −0.30 हैं। इसलिए x>0x > 0 पर x+1x=13x + \frac{1}{x} = \sqrt{13} होगा, और x<0x < 0 पर −13-\sqrt{13}।

प्रश्न में सीमा न दी हो, तो विकल्प देखिए। अक्सर विकल्पों में 21\sqrt{21} और −21-\sqrt{21} में से कोई एक ही दिया होता है, वही चुन लीजिए। अगर किसी विकल्प में ±21\pm\sqrt{21} लिखा है, तो प्रश्न बनाने वाला वही उत्तर चाहता है।

[SSC टिप] चिह्न की चिंता तभी कीजिए, जब हल में वर्गमूल लेना पड़े, जैसे k2−4\sqrt{k^2 - 4}। x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2}, x4+1x4x^4 + \frac{1}{x^4} और x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3} जैसे मान सीधे दिए गए kk से निकलते हैं, इनमें चिह्न की कोई दिक्कत नहीं होती। इनके लिए सीमा देखने में समय न गँवाइए।

वर्गमूल: x+1x\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}

धनात्मक xx के लिए x\sqrt{x} और 1x\frac{1}{\sqrt{x}} भी एक व्युत्क्रम जोड़ी हैं। इसलिए वर्ग वाली तरकीब से सीढ़ी पर एक कदम नीचे भी उतर सकते हैं।

(x+1x)2=x+2+1x(x−1x)2=x−2+1x\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 = x + 2 + \frac{1}{x} \qquad \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 = x - 2 + \frac{1}{x}

इसलिए x+1x=kx + \frac{1}{x} = k दिया हो, तो ये दो मान मिलते हैं।

x+1x=k+2x−1x=±k−2\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{k + 2} \qquad \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = \pm\sqrt{k - 2}

पहला मान हमेशा धनात्मक होता है। दूसरे में चिह्न वाला नियम लगता है। x>1x > 1 पर वह धनात्मक है और 0<x<10 < x < 1 पर ऋणात्मक।

जैसे x+1x=14x + \frac{1}{x} = 14 हो, तो x+1x=16=4\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{16} = 4। और x>1x > 1 हो, तो x−1x=12=23\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}।

ऊपर की ओर भी चढ़ सकते हैं। x+1x=3\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 3 हो, तो x+1x=9−2=7x + \frac{1}{x} = 9 - 2 = 7 और x2+1x2=49−2=47x^2 + \frac{1}{x^2} = 49 - 2 = 47। यहाँ x\sqrt{x} को ही अक्षर मान लीजिए। तब xx उसका वर्ग है और x2x^2 उसकी चौथी घात। यानी हम k=3k = 3 वाली सीढ़ी पर ही चल रहे हैं, 2, 3, 7, 18, 47।

घातांक वाला रूप देखकर घबराइए नहीं। x12+x−12x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} वही x+1x\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} है, और x32+x−32x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} उसका घन वाला रूप है।

x32+x−32=(x+1x)3−3(x+1x)x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^3 - 3\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)

x+1x=14x + \frac{1}{x} = 14 पर यह 43−3×4=524^3 - 3 \times 4 = 52 आता है।

दो कदम नीचे भी उतर सकते हैं। x+1x=47x + \frac{1}{x} = 47 हो, तो x+1x=49=7\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{49} = 7, और फिर x14+x−14=7+2=3x^{\frac{1}{4}} + x^{-\frac{1}{4}} = \sqrt{7 + 2} = 3।

कभी xx ख़ुद करणी होता है, जैसे 7+437 + 4\sqrt{3}, और x\sqrt{x} पूछा जाता है। तब सीधे x\sqrt{x} निकाल लेना ज़्यादा जल्दी होता है। यह इस खंड के आख़िर में करणी वाले मानों के साथ देखेंगे।

दिशा पर ध्यान रखिए। एक कदम नीचे उतरते समय वर्गमूल के भीतर 2 जोड़ते हैं, यानी k+2\sqrt{k + 2}। एक कदम ऊपर चढ़ते समय 2 घटाते हैं, यानी k2−2k^2 - 2। दोनों को उलट दिया, तो x+1x=14x + \frac{1}{x} = 14 में सही 4 की जगह 12\sqrt{12} आता है। और 12\sqrt{12} (या 232\sqrt{3}) अक्सर विकल्पों में दिया होता है।

गुणज वाले रूप: ax+bxax + \frac{b}{x}

5t+15t=45t + \frac{1}{5t} = 4 या x+14x=3x + \frac{1}{4x} = 3 देखकर लगता है कि यह कुछ नया है। पर यहाँ भी वही बात काम करती है।

असली बात है दोनों पदों का गुणनफल। वर्ग या घन करने पर बीच वाले पद में यही गुणनफल आता है, और वह सादी संख्या होती है।

(ax+bx)2=a2x2+b2x2+2ab\left(ax + \frac{b}{x}\right)^2 = a^2x^2 + \frac{b^2}{x^2} + 2ab

(ax+bx)3=a3x3+b3x3+3ab(ax+bx)\left(ax + \frac{b}{x}\right)^3 = a^3x^3 + \frac{b^3}{x^3} + 3ab\left(ax + \frac{b}{x}\right)

पहली स्थिति में गुणनफल 1 होता है। 5t+15t5t + \frac{1}{5t} में दोनों पदों का गुणनफल 1 है। तो 5t5t को एक ही अक्षर yy मान लीजिए। अब y+1y=4y + \frac{1}{y} = 4 है, और आगे सब पहले जैसा चलता है।

25t2+125t2=16−2=14125t3+1125t3=64−12=5225t^2 + \frac{1}{25t^2} = 16 - 2 = 14 \qquad 125t^3 + \frac{1}{125t^3} = 64 - 12 = 52

दूसरी स्थिति में गुणनफल कोई भिन्न होता है। x+14x=3x + \frac{1}{4x} = 3 में गुणनफल 14\frac{1}{4} है। वर्ग करने पर x2+116x2+2×14=9x^2 + \frac{1}{16x^2} + 2 \times \frac{1}{4} = 9 आता है, तो x2+116x2=172x^2 + \frac{1}{16x^2} = \frac{17}{2}। घन करने पर x3+164x3=27−3×14×3=994x^3 + \frac{1}{64x^3} = 27 - 3 \times \frac{1}{4} \times 3 = \frac{99}{4}।

इसे दूसरे तरीके से भी कर सकते हैं। पूरे समीकरण को 2 से गुणा कर दीजिए, तो यह पहली स्थिति जैसा हो जाता है। 2x+12x=62x + \frac{1}{2x} = 6 से 4x2+14x2=344x^2 + \frac{1}{4x^2} = 34 मिलता है। इसे 4 से भाग दीजिए, फिर से 172\frac{17}{2} आ जाता है। प्रश्न में कौन-सा व्यंजक पूछा है, यह देखकर रास्ता चुनिए।

तीसरी स्थिति में दो अलग संख्याएँ होती हैं, जैसे 4x+13x=34x + \frac{1}{3x} = 3। यहाँ गुणनफल 43\frac{4}{3} है।

16x2+19x2=9−83=19364x3+127x3=27−3×43×3=1516x^2 + \frac{1}{9x^2} = 9 - \frac{8}{3} = \frac{19}{3} \qquad 64x^3 + \frac{1}{27x^3} = 27 - 3 \times \frac{4}{3} \times 3 = 15

ऋण चिह्न हो, तब भी यही तरीका है। 3x−2x=53x - \frac{2}{x} = 5 में गुणनफल 6 है। यह ऋण वाले परिवार जैसा है, इसलिए वर्ग और घन दोनों में जोड़ना पड़ता है।

9x2+4x2=25+12=3727x3−8x3=125+3×6×5=2159x^2 + \frac{4}{x^2} = 25 + 12 = 37 \qquad 27x^3 - \frac{8}{x^3} = 125 + 3 \times 6 \times 5 = 215

इस समीकरण का एक हल x=2x = 2 है, तो उससे जाँच भी हो जाती है। 36+1=3736 + 1 = 37 और 216−1=215216 - 1 = 215, यानी दोनों उत्तर पक्के हैं।

छिपा उभयनिष्ठ गुणनखंड भी पहचानिए। 4x+4x=184x + \frac{4}{x} = 18 असल में x+1x=92x + \frac{1}{x} = \frac{9}{2} ही है। पहले 4 से भाग दीजिए, फिर सामान्य सूत्र लगाइए।

[SSC टिप] बीच वाला पद दोनों पदों के गुणनफल का दोगुना होता है। यह 2 तभी आता है जब गुणनफल 1 हो। x+14x=3x + \frac{1}{4x} = 3 में 12\frac{1}{2} की जगह 2 घटा दिया, तो 172\frac{17}{2} की जगह 7 आएगा। और 7 विकल्पों में ज़रूर होगा।

छिपे समीकरण और लंबे व्यंजक

वही x+1xx + \frac{1}{x} कई बार किसी द्विघात समीकरण, भिन्न या लंबे अनुपात के अंदर छिपा होता है। उसे निकालने का तरीका हर बार एक ही है। xx की किसी घात से भाग दीजिए।

पहली और आख़िरी संख्या बराबर हो, तो द्विघात समीकरण में यही रूप छिपा होता है।

x2−7x+1=0  ⇒  x−7+1x=0  ⇒  x+1x=7x^2 - 7x + 1 = 0 \;\Rightarrow\; x - 7 + \frac{1}{x} = 0 \;\Rightarrow\; x + \frac{1}{x} = 7

इससे x2+1x2=47x^2 + \frac{1}{x^2} = 47 और x3+1x3=343−21=322x^3 + \frac{1}{x^3} = 343 - 21 = 322 निकल आते हैं। यही रूप x2+1=7xx^2 + 1 = 7x में भी छिपा है, और x=7−1xx = 7 - \frac{1}{x} में भी।

पहली और आख़िरी संख्या बराबर हो, पर 1 न हो, तो उसी संख्या से भी भाग दे दीजिए। जैसे 3x2−10x+3=03x^2 - 10x + 3 = 0 से x+1x=103x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3} मिलता है। आख़िरी पद −1-1 हो, जैसे x2−3x−1=0x^2 - 3x - 1 = 0 में, तो यह ऋण वाला परिवार है, और x−1x=3x - \frac{1}{x} = 3 मिलेगा।

निकला हुआ मान वापस रखना भी पड़ता है। जैसे "यदि x2−7x+1=0x^2 - 7x + 1 = 0, तो x4−47x2+5x^4 - 47x^2 + 5 ज्ञात कीजिए"। x2+1x2=47x^2 + \frac{1}{x^2} = 47 को x2x^2 से गुणा कीजिए, x4+1=47x2x^4 + 1 = 47x^2 आता है। मतलब x4−47x2=−1x^4 - 47x^2 = -1, और व्यंजक का मान 4 है।

अंश में केवल xx वाली भिन्न हो, तो पहले दोनों पक्षों को उलट दीजिए। जैसे xx2+1=18\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{8} से x2+1x=8\frac{x^2 + 1}{x} = 8, यानी x+1x=8x + \frac{1}{x} = 8। हर में बीच वाला पद भी हो, तब भी यही कीजिए। xx2−4x+1=12\frac{x}{x^2 - 4x + 1} = \frac{1}{2} से x−4+1x=2x - 4 + \frac{1}{x} = 2, और फिर x+1x=6x + \frac{1}{x} = 6।

बीच वाली घात से भाग देने की आदत डालिए। घात 4 वाले व्यंजक में अंश और हर दोनों को x2x^2 से भाग दीजिए। घात 6 हो तो x3x^3 से, और घात 2 हो तो xx से।

x4+1x2=x2+1x2x6+1x3=x3+1x3x2x4+1=1x2+1x2\frac{x^4 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} \qquad \frac{x^6 + 1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} \qquad \frac{x^2}{x^4 + 1} = \frac{1}{x^2 + \frac{1}{x^2}}

मान लीजिए x+1x=4x + \frac{1}{x} = 4 है। तब x2+1x2=14x^2 + \frac{1}{x^2} = 14 और x3+1x3=52x^3 + \frac{1}{x^3} = 52। अब ऐसे व्यंजक तुरंत निकल आते हैं।

x4+3x2+1x4+1=x2+1x2+3x2+1x2=17142x2−3x+23x2+5x+3=2×4−33×4+5=517\frac{x^4 + 3x^2 + 1}{x^4 + 1} = \frac{x^2 + \frac{1}{x^2} + 3}{x^2 + \frac{1}{x^2}} = \frac{17}{14} \qquad \frac{2x^2 - 3x + 2}{3x^2 + 5x + 3} = \frac{2 \times 4 - 3}{3 \times 4 + 5} = \frac{5}{17}

लंबे अंश भी व्युत्क्रम जोड़ियों में टूट जाते हैं।

x6+x4+x2+1x3=(x3+1x3)+(x+1x)=52+4=56\frac{x^6 + x^4 + x^2 + 1}{x^3} = \left(x^3 + \frac{1}{x^3}\right) + \left(x + \frac{1}{x}\right) = 52 + 4 = 56

x4+x3+x2+x+1x2=(x2+1x2)+(x+1x)+1=19\frac{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}{x^2} = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + \left(x + \frac{1}{x}\right) + 1 = 19

यह तरकीब तभी चलती है, जब गुणांक आगे से पढ़ें या पीछे से, एक जैसे आएँ, जैसे 1, 3, 1 या 2, −3, 2 या 1, 1, 1, 1, 1। ऐसा न हो, जैसे x4+2x2+3x^4 + 2x^2 + 3 में, तो व्यंजक का मान केवल kk से नहीं निकलता।

विशेष मान: 2, −2, 1, −1, 3\sqrt{3} और 2\sqrt{2}

x+1xx + \frac{1}{x} के कुछ मान ऐसे हैं, जिन पर xx या xx की कोई घात बहुत सरल हो जाती है। SSC इन छहों मानों पर प्रश्न पूछता है।

k=2k = 2 और k=−2k = -2 सबसे आसान हैं। x+1x=2x + \frac{1}{x} = 2 का मतलब है x2−2x+1=0x^2 - 2x + 1 = 0, यानी (x−1)2=0(x - 1)^2 = 0। तो x=1x = 1, और तब हर xn+1xnx^n + \frac{1}{x^n} का मान 2 है और हर xn−1xnx^n - \frac{1}{x^n} का मान 0। इसी तरह x+1x=−2x + \frac{1}{x} = -2 से x=−1x = -1 आता है। तब xn+1xnx^n + \frac{1}{x^n} सम nn पर 2 होता है और विषम nn पर −2-2।

k=1k = 1 हो, तो x+1x=1x + \frac{1}{x} = 1, यानी x2−x+1=0x^2 - x + 1 = 0। इसे x+1x + 1 से गुणा कीजिए। (x+1)(x2−x+1)=x3+1=0(x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1 = 0 मिलता है, जिससे ये दो बातें निकलती हैं।

x3=−1x6=1x^3 = -1 \qquad x^6 = 1

सूत्र से भी जाँच लीजिए। x3+1x3=1−3=−2x^3 + \frac{1}{x^3} = 1 - 3 = -2, और यह (−1)+(−1)(-1) + (-1) ही है।

k=−1k = -1 हो, तो x2+x+1=0x^2 + x + 1 = 0। इसे x−1x - 1 से गुणा करने पर x3−1=0x^3 - 1 = 0 आता है, यानी x3=1x^3 = 1।

k=3k = \sqrt{3} हो, तो x3+1x3=33−33=0x^3 + \frac{1}{x^3} = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 0। इसे x3x^3 से गुणा करने पर x6+1=0x^6 + 1 = 0 आता है।

x6=−1x12=1x^6 = -1 \qquad x^{12} = 1

k=2k = \sqrt{2} हो, तो x2+1x2=2−2=0x^2 + \frac{1}{x^2} = 2 - 2 = 0। इसे x2x^2 से गुणा करने पर x4+1=0x^4 + 1 = 0 आता है।

x4=−1x8=1x^4 = -1 \qquad x^8 = 1

ऋणात्मक मान −3-\sqrt{3} और −2-\sqrt{2} पर भी यही x6=−1x^6 = -1 और x4=−1x^4 = -1 मिलते हैं, क्योंकि हल में केवल k2k^2 आता है। इसलिए प्रश्न में (x+1x)2=3\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 3 दिया हो, तो यह 3\sqrt{3} वाली स्थिति ही है, चिह्न चाहे जो हो।

छहों मान एक साथ देख लीजिए।

x+1xx + \frac{1}{x} मुख्य तथ्य xx की घातों का चक्र कितना लंबा
22 x=1x = 1 1
−2-2 x=−1x = -1 2
11 x3=−1x^3 = -1 6
−1-1 x3=1x^3 = 1 3
±3\pm\sqrt{3} x6=−1x^6 = -1 12
±2\pm\sqrt{2} x4=−1x^4 = -1 8

ये xx वास्तविक संख्याएँ नहीं हैं। −2-2 और 2 के बीच के किसी भी kk के लिए कोई वास्तविक xx नहीं मिलता। फिर भी SSC ऐसे प्रश्न पूछता है, और हिसाब पहले की तरह ही चलता है। xx को बस एक अक्षर मानिए, जिसका मुख्य तथ्य हमें पता है, जैसे x3=−1x^3 = -1। सारा हिसाब उसी तथ्य से कीजिए। SSC जो मान पूछता है, वे आख़िर में साधारण संख्याएँ ही निकलते हैं।

ऊँची घातें और x2+1=xx^2 + 1 = x वाला प्रकार

जब x3=−1x^3 = -1 या x4=−1x^4 = -1 पता हो, तो x100x^{100} जैसी बड़ी घात भी तुरंत निकल आती है। बड़ी घात में से मुख्य घात को जितनी बार हो सके, अलग निकाल लीजिए।

k=1k = 1 हो, यानी x3=−1x^3 = -1, तो घातें ऐसे निकलती हैं।

  • x30=(x3)10=1x^{30} = (x^3)^{10} = 1 और x21=(x3)7=−1x^{21} = (x^3)^7 = -1।
  • x100=(x3)33⋅x=−xx^{100} = (x^3)^{33} \cdot x = -x, इसलिए x100+1x100=−(x+1x)=−1x^{100} + \frac{1}{x^{100}} = -\left(x + \frac{1}{x}\right) = -1।

xn+1xnx^n + \frac{1}{x^n} के लिए अक्सर एक पूरा चक्र लिख लेना ज़्यादा जल्दी पड़ता है। k=1k = 1 पर सीढ़ी से यह चक्र मिलता है।

nn 1 2 3 4 5 6
xn+1xnx^n + \frac{1}{x^n} 11 −1-1 −2-2 −1-1 11 22

इसके बाद यही छह मान फिर से आते हैं। n=100n = 100 के लिए 100 = 6 × 16 + 4 है, तो 4 के नीचे वाला मान लीजिए, यानी −1-1। ऊपर भी यही आया था। k=−1k = -1 पर चक्र और छोटा है, −1-1, −1-1, 2, और फिर यही तीन मान बार-बार आते हैं।

k=2k = \sqrt{2} हो, यानी x4=−1x^4 = -1, तो x50=(x4)12⋅x2=x2x^{50} = (x^4)^{12} \cdot x^2 = x^2। इसलिए x50+1x50=x2+1x2=0x^{50} + \frac{1}{x^{50}} = x^2 + \frac{1}{x^2} = 0।

x2+1=xx^2 + 1 = x वाला प्रकार भी इसी में आता है। xx से भाग देने पर x+1x=1x + \frac{1}{x} = 1 मिलता है। यानी यह छिपी हुई k=1k = 1 वाली स्थिति है, जिसमें x3=−1x^3 = -1। इसी तरह x2+x+1=0x^2 + x + 1 = 0, k=−1k = -1 वाली स्थिति है, जिसमें x3=1x^3 = 1।

जैसे यह प्रश्न देखिए, "यदि x2+1=xx^2 + 1 = x, तो x18+x12+x6+1x^{18} + x^{12} + x^6 + 1 ज्ञात कीजिए"। हर घात 6 का गुणज है, इसलिए हर पद 1 है, और उत्तर 4 है।

दो बातें याद हों, तो ऐसे बहुत से प्रश्न एक पंक्ति में हो जाते हैं। पहली, अगर x2−x+1=0x^2 - x + 1 = 0 है, तो लगातार तीन घातें +,−,++, -, + चिह्नों के साथ आपस में कट जाती हैं, क्योंकि xn+2−xn+1+xn=xn(x2−x+1)=0x^{n+2} - x^{n+1} + x^n = x^n(x^2 - x + 1) = 0। दूसरी, अगर x2+x+1=0x^2 + x + 1 = 0 है, तो लगातार तीन घातें सीधे जोड़ने पर ही कट जाती हैं।

कभी xx बच भी जाता है। हर व्यंजक का मान कोई पक्की संख्या नहीं निकलता। मान लीजिए x2+1=xx^2 + 1 = x है और x14+x8+1x^{14} + x^8 + 1 पूछा है। घातें घटाने पर x2+x2+1=2x2+1x^2 + x^2 + 1 = 2x^2 + 1 आता है। फिर x2=x−1x^2 = x - 1 रखने पर यह 2x−12x - 1 हो जाता है। इसका मान इस पर निर्भर है कि xx समीकरण का कौन-सा मूल है, इसलिए उत्तर 2x−12x - 1 ही रहेगा, कोई संख्या नहीं।

ऐसे में सावधान रहिए। हल में xx बचा रहे और सारे विकल्प सादी संख्याएँ हों, तो कुछ भी चुनने से पहले घातें घटाने का हिसाब और प्रश्न, दोनों दोबारा देखिए।

कभी दिए गए समीकरण की मदद से कोई बड़ा बहुपद छोटा करना होता है, जैसे x3−6x2+⋯x^3 - 6x^2 + \cdots। ऐसे प्रश्न "बहुपद और द्विघात समीकरण" वाले खंड में हैं।

हमेशा पहले घात घटाइए, फिर जोड़िए। x3=1x^3 = 1 पर x2025x^{2025} सीधे 1 है, क्योंकि 2025, 3 का गुणज है। इसके लिए चक्र लिखने बैठेंगे, तो एक मिनट बेकार जाएगा।

करणी वाले मान: जब 1x\frac{1}{x} ही संयुग्मी हो

बहुत से प्रश्नों में xx करणी के रूप में दिया होता है, जैसे x=2+3x = 2 + \sqrt{3}, और x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} या ऐसा ही कुछ पूछा जाता है।

ऐसे प्रश्न में मान रखकर विस्तार करने न बैठिए। पहले 1x\frac{1}{x} निकालिए।

गुणनफल से जाँच सबसे पहले कीजिए। x=p+qx = p + \sqrt{q} को उसके संयुग्मी (conjugate) से गुणा कीजिए, तो (p+q)(p−q)=p2−q(p + \sqrt{q})(p - \sqrt{q}) = p^2 - q आता है। यह 1 हो, तो संयुग्मी ही 1x\frac{1}{x} है। एक उदाहरण देखिए।

  • x=2+3x = 2 + \sqrt{3} में 4 − 3 = 1 है, इसलिए 1x=2−3\frac{1}{x} = 2 - \sqrt{3} और x+1x=4x + \frac{1}{x} = 4।
  • बाकी काम k=4k = 4 वाली सीढ़ी से हो जाता है। x2+1x2=14x^2 + \frac{1}{x^2} = 14, x3+1x3=52x^3 + \frac{1}{x^3} = 52 और x4+1x4=194x^4 + \frac{1}{x^4} = 194। साथ में x−1x=23x - \frac{1}{x} = 2\sqrt{3} भी मिलता है, जो धनात्मक है, क्योंकि x>1x > 1 है।

गुणनफल 1 वाली ये जोड़ियाँ देखते ही पहचान लेनी चाहिए।

xx 1x\frac{1}{x} x+1xx + \frac{1}{x} x−1xx - \frac{1}{x}
2+32 + \sqrt{3} 2−32 - \sqrt{3} 44 232\sqrt{3}
3+223 + 2\sqrt{2} 3−223 - 2\sqrt{2} 66 424\sqrt{2}
4+154 + \sqrt{15} 4−154 - \sqrt{15} 88 2152\sqrt{15}
2+1\sqrt{2} + 1 2−1\sqrt{2} - 1 222\sqrt{2} 22
3+2\sqrt{3} + \sqrt{2} 3−2\sqrt{3} - \sqrt{2} 232\sqrt{3} 222\sqrt{2}
n+1+n\sqrt{n + 1} + \sqrt{n} n+1−n\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} 2n+12\sqrt{n + 1} 2n2\sqrt{n}

गुणनफल कोई और संख्या dd हो, तो 1x=p−qd\frac{1}{x} = \frac{p - \sqrt{q}}{d} होगा।

करणी से ऋण वाला परिवार भी सीधे मिल जाता है। x=2+1x = \sqrt{2} + 1 हो, तो x−1x=2x - \frac{1}{x} = 2। तब x2+1x2=6x^2 + \frac{1}{x^2} = 6 और x3−1x3=8+6=14x^3 - \frac{1}{x^3} = 8 + 6 = 14।

x\sqrt{x} पूछा हो, तो देखिए कि xx का रूप a+2ba + 2\sqrt{b} है या नहीं। ऐसी संख्या अक्सर पूर्ण वर्ग होती है। बस ऐसी दो संख्याएँ खोजिए जिनका योग aa हो और गुणनफल bb। जैसे 7+43=7+212=(2+3)27 + 4\sqrt{3} = 7 + 2\sqrt{12} = (2 + \sqrt{3})^2, 5+26=(3+2)25 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 और 9+45=(5+2)29 + 4\sqrt{5} = (\sqrt{5} + 2)^2।

अब x=7+43x = 7 + 4\sqrt{3} लीजिए। इसका वर्गमूल ऊपर वाला 2+32 + \sqrt{3} ही है।

x=2+31x=2−3x+1x=4x−1x=23\sqrt{x} = 2 + \sqrt{3} \qquad \frac{1}{\sqrt{x}} = 2 - \sqrt{3} \qquad \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 4 \qquad \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{3}

वर्गमूल वाले नियम से भी यही आता है। यहाँ x+1x=14x + \frac{1}{x} = 14 है, क्योंकि 49 − 48 = 1, और 14+2=4\sqrt{14 + 2} = 4।

बड़ी घातें भी इसी तरह निकलती हैं। a=2+1a = \sqrt{2} + 1 हो, तो a2+a−2=6a^2 + a^{-2} = 6। अब a2a^2 को ही अक्षर मान लीजिए। a6+a−6=63−3×6=198a^6 + a^{-6} = 6^3 - 3 \times 6 = 198 और a12+a−12=1982−2=39202a^{12} + a^{-12} = 198^2 - 2 = 39202। मतलब वर्ग और घन करके ऊपर चढ़िए। (2+1)12(\sqrt{2} + 1)^{12} का विस्तार कभी न कीजिए।

संयुग्मी जोड़ियाँ, भिन्न रूप और वर्ग करके हल

दो संयुग्मी xx और yy एक साथ दिए हों, जैसे x=a+bx = \sqrt{a} + \sqrt{b} और y=a−by = \sqrt{a} - \sqrt{b}, तो पहले ये तीन मान निकालिए।

x+y=2ax−y=2bxy=a−bx + y = 2\sqrt{a} \qquad x - y = 2\sqrt{b} \qquad xy = a - b

बाकी सब इन्हीं तीन से निकल आता है, बस दो चरों वाली सर्वसमिकाएँ लगानी होती हैं। ये सर्वसमिकाएँ "वर्ग और घन सर्वसमिकाएँ" वाले खंड में हैं।

x2+y2=(x+y)2−2xy=2(a+b)xy+yx=x2+y2xyx3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 2(a + b) \qquad \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy} \qquad x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)

जैसे x=7+3x = \sqrt{7} + \sqrt{3} और y=7−3y = \sqrt{7} - \sqrt{3} हों, तो x+y=27x + y = 2\sqrt{7} और xy=4xy = 4। फिर x2+y2=20x^2 + y^2 = 20, xy+yx=204=5\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{20}{4} = 5 और x3+y3=567−247=327x^3 + y^3 = 56\sqrt{7} - 24\sqrt{7} = 32\sqrt{7}।

भिन्न वाले रूप में प्रश्न ऐसे आता है, "x=3+13−1x = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} और y=3−13+1y = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}"। यहाँ xx का परिमेयकरण (rationalise) कीजिए।

x=(3+1)23−1=4+232=2+3x = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}

yy तो सीधे 1x=2−3\frac{1}{x} = 2 - \sqrt{3} है। इसलिए x+y=4x + y = 4 और xy=1xy = 1, और फिर वही k=4k = 4 वाली सीढ़ी। x2+y2=14x^2 + y^2 = 14, x2+xy+y2=15x^2 + xy + y^2 = 15 और x3+y3=52x^3 + y^3 = 52।

सामान्य रूप में x=a+ba−bx = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} और y=1xy = \frac{1}{x} हो, तो ये दो बातें मिलती हैं।

x+y=2(a+b)a−bxy=1x + y = \frac{2(a + b)}{a - b} \qquad xy = 1

a=3a = 3 और b=1b = 1 रखकर जाँचिए, 4 आता है, जैसा ऊपर आया था।

सीधे वर्ग करके हल होने वाले प्रश्न भी आते हैं, जैसे "x=5+1x = \sqrt{5} + 1, x2−25x^2 - 2\sqrt{5} ज्ञात कीजिए"। वर्ग करने पर x2=5+25+1=6+25x^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}, तो x2−25=6x^2 - 2\sqrt{5} = 6। प्रश्न ऐसे ही बनाए जाते हैं कि करणी वाला भाग कट जाए। अगर न कटे, तो (p+q)2(p + q)^2 के बीच वाले पद 2pq2pq में अपनी गलती खोजिए।

पहले करणी हटा देना भी अच्छा तरीका है। करणी को एक ओर अकेला कीजिए और फिर वर्ग कीजिए। x−1=5x - 1 = \sqrt{5} से x2−2x+1=5x^2 - 2x + 1 = 5, यानी x2−2x=4x^2 - 2x = 4। अब x2−2xx^2 - 2x से बना हर व्यंजक तुरंत निकल आता है, जैसे x2−2x+9=13x^2 - 2x + 9 = 13।

भिन्न वाले रूप में केवल xx का परिमेयकरण कीजिए। उसका साथी yy लगभग हमेशा 1x\frac{1}{x} होता है, तो उसे बिना हिसाब सीधे लिख दीजिए। फिर x+yx + y और xy=1xy = 1 से ऐसे काम कीजिए, मानो ये kk और 1 हों।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

यदि x+1x=11x + \frac{1}{x} = 11 है, तो x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3} का मान क्या है? (a) 1364 (b) 1328 (c) 1298 (d) 119

उत्तर: दोनों पक्षों का घन करने से x3+1x3=k3−3kx^3 + \frac{1}{x^3} = k^3 - 3k मिलता है, और यहाँ k=11k = 11 है। 1331 − 33 करने पर (c) 1298 आता है। कई लोग 3 × 11 की जगह केवल 3 घटा देते हैं और 1328 लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 2

यदि x4+1x4=527x^4 + \frac{1}{x^4} = 527 और x>0x > 0 है, तो x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3} का मान क्या है? (a) 125 (b) 110 (c) 140 (d) 115

उत्तर: यहाँ सीढ़ी से नीचे उतरना है, हर बार 2 जोड़कर वर्गमूल लेना है। 527 + 2 = 529 = 23223^2, तो x2+1x2=23x^2 + \frac{1}{x^2} = 23। फिर 23 + 2 = 25 = 525^2, तो x+1x=5x + \frac{1}{x} = 5, और यह धनात्मक है, क्योंकि x>0x > 0 है। अब x3+1x3=125−15x^3 + \frac{1}{x^3} = 125 - 15 = (b) 110।

प्रश्न 3

यदि x+1x=5x + \frac{1}{x} = 5 है, तो x5+1x5x^5 + \frac{1}{x^5} का मान क्या है? (a) 2530 (b) 2535 (c) 3125 (d) 2525

उत्तर: पहले वर्ग और घन निकाल लेते हैं, x2+1x2=25−2=23x^2 + \frac{1}{x^2} = 25 - 2 = 23 और x3+1x3=125−15=110x^3 + \frac{1}{x^3} = 125 - 15 = 110। दोनों का गुणा 23 × 110 = 2530 है। पर यह गुणनफल असल में x5+x+1x+1x5x^5 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^5} है, यानी एक x+1xx + \frac{1}{x} फ़ालतू आ गया। इसलिए 5 घटाते हैं, 2530 − 5 = (d) 2525। सीढ़ी 2, 5, 23, 110, 527, 2525 से भी यही मिलता है।

प्रश्न 4

यदि x+1x=5x + \frac{1}{x} = \sqrt{5} है, तो x6+1x6x^6 + \frac{1}{x^6} का मान क्या है? (a) 18 (b) 20 (c) 22 (d) 27

उत्तर: वर्ग से शुरू करते हैं, x2+1x2=5−2=3x^2 + \frac{1}{x^2} = 5 - 2 = 3। फिर घन, x3+1x3=(5)3−35=55−35=25x^3 + \frac{1}{x^3} = (\sqrt{5})^3 - 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 2\sqrt{5}। छठी घात के लिए घन वाले मान का वर्ग करके 2 घटाते हैं, (25)2−2(2\sqrt{5})^2 - 2 = 20 − 2 = (a) 18। दूसरा रास्ता भी है। x2x^2 को ही अक्षर मान लें, तो x2+1x2=3x^2 + \frac{1}{x^2} = 3 से सीधे x6+1x6=27−9=18x^6 + \frac{1}{x^6} = 27 - 9 = 18 आता है।

प्रश्न 5

यदि x−1x=9x - \frac{1}{x} = 9 है, तो x3−1x3x^3 - \frac{1}{x^3} का मान क्या है? (a) 702 (b) 729 (c) 756 (d) 83

उत्तर: यह ऋण वाला परिवार है, इसलिए घन वाले सूत्र में जोड़ना है। x3−1x3=m3+3m=729+27x^3 - \frac{1}{x^3} = m^3 + 3m = 729 + 27 = (c) 756। दूसरे रास्ते से भी कर सकते हैं। x2+1x2=81+2=83x^2 + \frac{1}{x^2} = 81 + 2 = 83, और फिर x3−1x3=(x−1x)(x2+1+1x2)=9×84=756x^3 - \frac{1}{x^3} = \left(x - \frac{1}{x}\right)\left(x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}\right) = 9 \times 84 = 756।

प्रश्न 6

यदि x4+1x4=194x^4 + \frac{1}{x^4} = 194 और x>1x > 1 है, तो x3−1x3x^3 - \frac{1}{x^3} का मान क्या है? (a) 30330\sqrt{3} (b) 18318\sqrt{3} (c) 52 (d) 24324\sqrt{3}

उत्तर: पहले सीढ़ी से नीचे उतरते हैं। 194 + 2 = 196, तो x2+1x2=14x^2 + \frac{1}{x^2} = 14। अब ऋण वाले परिवार पर आते हैं, (x−1x)2=14−2=12\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = 14 - 2 = 12। x>1x > 1 है, तो अंतर धनात्मक होगा, यानी x−1x=12=23x - \frac{1}{x} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}। अंत में x3−1x3=(x−1x)(x2+1+1x2)=23×15x^3 - \frac{1}{x^3} = \left(x - \frac{1}{x}\right)\left(x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}\right) = 2\sqrt{3} \times 15 = (a) 30330\sqrt{3}।

प्रश्न 7

यदि x+1x=6x + \frac{1}{x} = 6 और x>1x > 1 है, तो x4−1x4x^4 - \frac{1}{x^4} का मान क्या है? (a) −8162-816\sqrt{2} (b) 8162816\sqrt{2} (c) 40810408\sqrt{10} (d) 1154

उत्तर: इसे टुकड़ों में करते हैं। x2+1x2=36−2=34x^2 + \frac{1}{x^2} = 36 - 2 = 34। ऋण वाली ओर (x−1x)2=36−4=32\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = 36 - 4 = 32 आता है, और x>1x > 1 है, तो x−1x=42x - \frac{1}{x} = 4\sqrt{2}। अब x2−1x2=6×42=242x^2 - \frac{1}{x^2} = 6 \times 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}, और x4−1x4=34×242x^4 - \frac{1}{x^4} = 34 \times 24\sqrt{2} = (b) 8162816\sqrt{2}। ऋणात्मक वाला विकल्प तभी ठीक होता, जब 0<x<10 < x < 1 होता।

प्रश्न 8

यदि x+1x=52x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} और 0<x<10 < x < 1 है, तो x3−1x3x^3 - \frac{1}{x^3} का मान क्या है? (a) 638\frac{63}{8} (b) 98\frac{9}{8} (c) −278-\frac{27}{8} (d) −638-\frac{63}{8}

उत्तर: (x−1x)2=254−4=94\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = \frac{25}{4} - 4 = \frac{9}{4}, तो x−1xx - \frac{1}{x} या तो 32\frac{3}{2} है या −32-\frac{3}{2}। xx 0 और 1 के बीच है, इसलिए 1x\frac{1}{x} बड़ा है और अंतर ऋणात्मक होगा, यानी m=−32m = -\frac{3}{2}। अब m3+3m=−278−92=−278−368m^3 + 3m = -\frac{27}{8} - \frac{9}{2} = -\frac{27}{8} - \frac{36}{8} = (d) −638-\frac{63}{8}। झटपट जाँच भी हो जाती है, क्योंकि यहाँ xx बस 12\frac{1}{2} है, और 18−8=−638\frac{1}{8} - 8 = -\frac{63}{8}।

प्रश्न 9

यदि x+1x=−10x + \frac{1}{x} = -10 और x<−1x < -1 है, तो x2−1x2x^2 - \frac{1}{x^2} का मान क्या है? (a) −406-40\sqrt{6} (b) 464\sqrt{6} (c) 40640\sqrt{6} (d) 98

उत्तर: x<−1x < -1 है, तो xx और 1x\frac{1}{x} दोनों ऋणात्मक हैं, और xx शून्य से ज़्यादा दूर है। इसलिए x−1xx - \frac{1}{x} ऋणात्मक होगा। (x−1x)2=100−4=96\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = 100 - 4 = 96, तो x−1x=−96=−46x - \frac{1}{x} = -\sqrt{96} = -4\sqrt{6}। अब x2−1x2=(−10)(−46)x^2 - \frac{1}{x^2} = (-10)(-4\sqrt{6}) = (c) 40640\sqrt{6}, क्योंकि ऋण × ऋण = धन। जो दोनों में से एक चिह्न छोड़ देते हैं, उन्हें −406-40\sqrt{6} मिलता है।

प्रश्न 10

यदि x+1x=23x + \frac{1}{x} = 23 और x>1x > 1 है, तो x−1x\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} का मान क्या है? (a) 21\sqrt{21} (b) 5 (c) 23\sqrt{23} (d) −21-\sqrt{21}

उत्तर: जो पूछा है, उसी का वर्ग करते हैं। (x−1x)2=x−2+1x=23−2=21\left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 = x - 2 + \frac{1}{x} = 23 - 2 = 21। x>1x > 1 है, तो x\sqrt{x}, 1x\frac{1}{\sqrt{x}} से बड़ा है, इसलिए धनात्मक वर्गमूल लेंगे। उत्तर (a) 21\sqrt{21} है।

प्रश्न 11

यदि 6t+16t=36t + \frac{1}{6t} = 3 है, तो 216t3+1216t3216t^3 + \frac{1}{216t^3} का मान क्या है? (a) 27 (b) 18 (c) 36 (d) 24

उत्तर: 6t6t और 16t\frac{1}{6t} का गुणनफल 1 है, तो 6t6t को एक अक्षर yy मान लेते हैं। अब y+1y=3y + \frac{1}{y} = 3 है, और 216t3=(6t)3=y3216t^3 = (6t)^3 = y^3। तो उत्तर y3+1y3=27−9y^3 + \frac{1}{y^3} = 27 - 9 = (b) 18 है।

प्रश्न 12

यदि x+116x=52x + \frac{1}{16x} = \frac{5}{2} है, तो 16x2+116x216x^2 + \frac{1}{16x^2} का मान क्या है? (a) 102 (b) 100 (c) 174\frac{17}{4} (d) 98

उत्तर: पूछे गए व्यंजक में 16x2=(4x)216x^2 = (4x)^2 है, इसलिए 4x4x को सामने लाना है। दोनों पक्षों को 4 से गुणा करते हैं, 4x+416x=104x + \frac{4}{16x} = 10, यानी 4x+14x=104x + \frac{1}{4x} = 10। अब दोनों पदों का गुणनफल 1 है, तो वर्ग करके 16x2+116x2=100−216x^2 + \frac{1}{16x^2} = 100 - 2 = (d) 98। दिए गए समीकरण का सीधे ऐसे वर्ग कर दिया, मानो उसके पदों का गुणनफल 1 हो, तो 174\frac{17}{4} आता है, जो गलत है।

प्रश्न 13

यदि 2x+13x=32x + \frac{1}{3x} = 3 है, तो 8x3+127x38x^3 + \frac{1}{27x^3} का मान क्या है? (a) 18 (b) 21 (c) 33 (d) 25

उत्तर: यहाँ 2x2x और 13x\frac{1}{3x} का गुणनफल 23\frac{2}{3} है, 1 नहीं। (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) से घन करते हैं, 27=8x3+127x3+3×23×327 = 8x^3 + \frac{1}{27x^3} + 3 \times \frac{2}{3} \times 3। आख़िरी पद 6 है, तो उत्तर 27 − 6 = (b) 21।

प्रश्न 14

यदि x2−9x+1=0x^2 - 9x + 1 = 0 है, तो x4−79x2+4x^4 - 79x^2 + 4 का मान क्या है? (a) 5 (b) 4 (c) 3 (d) 83

उत्तर: समीकरण को xx से भाग देते हैं। x−9+1x=0x - 9 + \frac{1}{x} = 0, यानी x+1x=9x + \frac{1}{x} = 9, और फिर x2+1x2=81−2=79x^2 + \frac{1}{x^2} = 81 - 2 = 79। इसे x2x^2 से गुणा करने पर x4+1=79x2x^4 + 1 = 79x^2, यानी x4−79x2=−1x^4 - 79x^2 = -1। तो व्यंजक −1+4-1 + 4 = (c) 3 है।

प्रश्न 15

यदि xx2−2x+1=14\frac{x}{x^2 - 2x + 1} = \frac{1}{4} है, तो x2x4+1\frac{x^2}{x^4 + 1} का मान क्या है? (a) 134\frac{1}{34} (b) 114\frac{1}{14} (c) 136\frac{1}{36} (d) 138\frac{1}{38}

उत्तर: दोनों पक्षों को उलट देते हैं, x2−2x+1x=4\frac{x^2 - 2x + 1}{x} = 4, यानी x−2+1x=4x - 2 + \frac{1}{x} = 4, तो x+1x=6x + \frac{1}{x} = 6। अब x2+1x2=36−2=34x^2 + \frac{1}{x^2} = 36 - 2 = 34। पूछी गई भिन्न के अंश और हर को x2x^2 से भाग देने पर x2x4+1=1x2+1x2\frac{x^2}{x^4 + 1} = \frac{1}{x^2 + \frac{1}{x^2}} = (a) 134\frac{1}{34}। जो −2-2 को दूसरी ओर ले जाना भूल जाते हैं, उन्हें x+1x=4x + \frac{1}{x} = 4 और फिर 114\frac{1}{14} मिलता है।

प्रश्न 16

यदि x+1x=3x + \frac{1}{x} = 3 है, तो x4+3x2+1x4−x2+1\frac{x^4 + 3x^2 + 1}{x^4 - x^2 + 1} का मान क्या है? (a) 107\frac{10}{7} (b) 53\frac{5}{3} (c) 75\frac{7}{5} (d) 1

उत्तर: अंश और हर दोनों घात 4 के हैं, तो दोनों को x2x^2 से भाग देते हैं। व्यंजक x2+1x2+3x2+1x2−1\frac{x^2 + \frac{1}{x^2} + 3}{x^2 + \frac{1}{x^2} - 1} हो जाता है। अब x2+1x2=9−2=7x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7 रखने पर 106\frac{10}{6} = (b) 53\frac{5}{3} आता है।

प्रश्न 17

[Tier 2] यदि x+1x=5x + \frac{1}{x} = 5 है, तो x4+1x2x2−3x+1\frac{x^4 + \frac{1}{x^2}}{x^2 - 3x + 1} का मान क्या है? (a) 110 (b) 232\frac{23}{2} (c) 1252\frac{125}{2} (d) 55

उत्तर: अंश और हर, दोनों को व्युत्क्रम जोड़ियों जैसा बनाना है। अंश x6+1x2\frac{x^6 + 1}{x^2} है, और हर x(x−3+1x)=x(5−3)=2xx\left(x - 3 + \frac{1}{x}\right) = x(5 - 3) = 2x है। तो पूरा व्यंजक x6+1x2×12x=x6+12x3=12(x3+1x3)\frac{x^6 + 1}{x^2} \times \frac{1}{2x} = \frac{x^6 + 1}{2x^3} = \frac{1}{2}\left(x^3 + \frac{1}{x^3}\right) हुआ। x3+1x3=125−15=110x^3 + \frac{1}{x^3} = 125 - 15 = 110 है, तो उत्तर (d) 55 है।

प्रश्न 18

यदि x+1x=1x + \frac{1}{x} = 1 है, तो x60+x33+x18+1x^{60} + x^{33} + x^{18} + 1 का मान क्या है? (a) 0 (b) 4 (c) 2 (d) −2-2

उत्तर: x+1x=1x + \frac{1}{x} = 1 का मतलब x2−x+1=0x^2 - x + 1 = 0 है। इसे x+1x + 1 से गुणा करने पर x3+1=0x^3 + 1 = 0, यानी x3=−1x^3 = -1। यहाँ हर घात 3 का गुणज है, तो x60=(−1)20=1x^{60} = (-1)^{20} = 1, x33=(−1)11=−1x^{33} = (-1)^{11} = -1 और x18=(−1)6=1x^{18} = (-1)^6 = 1। कुल 1 − 1 + 1 + 1 = (c) 2। 11 विषम घात है, इसलिए x33x^{33} ऋणात्मक आता है, और 4 वाला विकल्प गलत है।

प्रश्न 19

यदि (x+1x)2=3\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 3 है, तो x30+x24+x18+x12+x6+1x^{30} + x^{24} + x^{18} + x^{12} + x^6 + 1 का मान क्या है? (a) 6 (b) 0 (c) 2 (d) −1-1

उत्तर: x+1x=±3x + \frac{1}{x} = \pm\sqrt{3} है। चिह्न कोई भी हो, x3+1x3=k3−3k=k(k2−3)=0x^3 + \frac{1}{x^3} = k^3 - 3k = k(k^2 - 3) = 0 आता है। इससे x6+1=0x^6 + 1 = 0, यानी x6=−1x^6 = -1। घातें 30, 24, 18, 12 और 6 सब 6 के गुणज हैं, तो पद −1-1, 1, −1-1, 1, −1-1 हैं, और आख़िरी पद 1 है। ये जोड़ियों में कट जाते हैं और (b) 0 बचता है।

प्रश्न 20

यदि x+1x=2x + \frac{1}{x} = \sqrt{2} है, तो x100+1x100x^{100} + \frac{1}{x^{100}} का मान क्या है? (a) 2 (b) 0 (c) −2-2 (d) −2-\sqrt{2}

उत्तर: x2+1x2=2−2=0x^2 + \frac{1}{x^2} = 2 - 2 = 0, तो x4+1=0x^4 + 1 = 0, यानी x4=−1x^4 = -1। 100 = 4 × 25 है, इसलिए x100=(x4)25=(−1)25=−1x^{100} = (x^4)^{25} = (-1)^{25} = -1, और 1x100=−1\frac{1}{x^{100}} = -1 भी। दोनों को जोड़कर उत्तर (c) −2-2 है।

प्रश्न 21

यदि x2+1=xx^2 + 1 = x है, तो x15+x12+x9+x6+x3x^{15} + x^{12} + x^9 + x^6 + x^3 का मान क्या है? (a) 5 (b) 1 (c) −5-5 (d) −1-1

उत्तर: xx से भाग देने पर x+1x=1x + \frac{1}{x} = 1 आता है। यह वही विशेष मान है जिसमें x3=−1x^3 = -1 होता है, क्योंकि x2−x+1=0x^2 - x + 1 = 0 को x+1x + 1 से गुणा करने पर यही मिलता है। दिए गए पदों में x3x^3 की घातें 5, 4, 3, 2 और 1 हैं, तो उनके मान −1-1, 1, −1-1, 1, −1-1 हैं। इनका योग (d) −1-1 है।

प्रश्न 22

यदि x=5−2x = \sqrt{5} - 2 है, तो x3−1x3x^3 - \frac{1}{x^3} का मान क्या है? (a) −76-76 (b) 76 (c) −52-52 (d) 34534\sqrt{5}

उत्तर: (5−2)(5+2)=5−4=1(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = 5 - 4 = 1 है, तो 1x=5+2\frac{1}{x} = \sqrt{5} + 2। अब x−1x=(5−2)−(5+2)=−4x - \frac{1}{x} = (\sqrt{5} - 2) - (\sqrt{5} + 2) = -4। यह ऋणात्मक है, और होना भी चाहिए, क्योंकि xx लगभग 0.24 है, यानी 1 से कम। m=−4m = -4 लेकर m3+3mm^3 + 3m लगाते हैं, तो −64−12-64 - 12 = (a) −76-76।

प्रश्न 23

यदि x=21+2110x = 21 + 2\sqrt{110} है, तो x+1x\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} का मान क्या है? (a) 2112\sqrt{11} (b) 2102\sqrt{10} (c) 42\sqrt{42} (d) 42

उत्तर: 21+211021 + 2\sqrt{110} का रूप a+2ba + 2\sqrt{b} है। ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 21 और गुणनफल 110 हो, यानी 11 और 10। तो x=(11+10)2x = (\sqrt{11} + \sqrt{10})^2 और x=11+10\sqrt{x} = \sqrt{11} + \sqrt{10}। (11+10)(11−10)=1(\sqrt{11} + \sqrt{10})(\sqrt{11} - \sqrt{10}) = 1 है, इसलिए 1x=11−10\frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{11} - \sqrt{10}। दोनों को जोड़ने पर (a) 2112\sqrt{11} आता है। दूसरी तरह से भी जाँच लेते हैं। 441 − 440 = 1 है, तो 1x=21−2110\frac{1}{x} = 21 - 2\sqrt{110} और x+1x=42x + \frac{1}{x} = 42, और फिर 42+2=44=211\sqrt{42 + 2} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}।

प्रश्न 24

यदि x=22+722−7x = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{7}}{2\sqrt{2} - \sqrt{7}} और y=22−722+7y = \frac{2\sqrt{2} - \sqrt{7}}{2\sqrt{2} + \sqrt{7}} है, तो x2+xy+y2x^2 + xy + y^2 का मान क्या है? (a) 898 (b) 897 (c) 900 (d) 899

उत्तर: yy तो सीधे 1x\frac{1}{x} है, इसलिए xy=1xy = 1। x+yx + y के लिए xx का परिमेयकरण करते हैं। हर और उसके संयुग्मी का गुणनफल 8−7=18 - 7 = 1 है, तो x=(22+7)2=8+7+414=15+414x = (2\sqrt{2} + \sqrt{7})^2 = 8 + 7 + 4\sqrt{14} = 15 + 4\sqrt{14}। yy इसका संयुग्मी है, यानी 15−41415 - 4\sqrt{14}। अब x+y=30x + y = 30, तो x2+y2=900−2=898x^2 + y^2 = 900 - 2 = 898 और x2+xy+y2=898+1x^2 + xy + y^2 = 898 + 1 = (d) 899। विकल्प 900 असल में (x+y)2(x + y)^2 है, जिसमें xyxy दो बार जुड़ा है।

प्रश्न 25

यदि x=3+10x = 3 + \sqrt{10} है, तो x3−1x3x^3 - \frac{1}{x^3} का मान क्या है? (a) 198 (b) 216 (c) 234 (d) 38

उत्तर: पहले संयुग्मी से गुणा करके देखते हैं। (10+3)(10−3)=10−9=1(\sqrt{10} + 3)(\sqrt{10} - 3) = 10 - 9 = 1, तो 1x=10−3\frac{1}{x} = \sqrt{10} - 3। अब चिह्न ध्यान से लगाने हैं, x−1x=(3+10)−(10−3)=6x - \frac{1}{x} = (3 + \sqrt{10}) - (\sqrt{10} - 3) = 6। यह ऋण वाला परिवार है और m=6m = 6, तो m3+3m=216+18m^3 + 3m = 216 + 18 = (c) 234।