बहुपद और द्विघात समीकरण

बहुपद: पद, घात, मान और शून्यक

$x$ में बहुपद (polynomial) कुछ पदों का योग होता है, जैसे $5x^3$, $-2x$ और $7$। बस एक शर्त है। हर पद में $x$ की घात पूर्ण संख्या होनी चाहिए, यानी 0, 1, 2, 3 आदि।

उदाहरण के लिए, $4x^3 - 5x^2 + 7$ बहुपद है। पर $x^2 + \frac{1}{x}$ और $3x + 2\sqrt{x}$ बहुपद नहीं हैं, क्योंकि $\frac{1}{x} = x^{-1}$ और $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ होता है। पहले में घात ऋणात्मक है और दूसरे में भिन्न।

गुणांक (coefficient) भिन्न या करणी हों, तो इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता। $\sqrt{2}x^2 + \frac{1}{3}$ भी बहुपद ही है। देखना बस यह है कि $x$ की घातें कैसी हैं।

प्रश्नों में आने वाले शब्द: SSC के प्रश्नों में कुछ शब्द बार-बार आते हैं। इन्हें $p(x) = 4x^3 - 5x^2 + 7$ से समझ लेते हैं।

• इसके पद $4x^3$, $-5x^2$ और $7$ हैं।
• $x^2$ का गुणांक $-5$ है, चिह्न समेत। $x$ का गुणांक 0 है, क्योंकि इसमें $x$ वाला कोई पद ही नहीं है।
• इसका अचर पद (constant term) 7 है।
• इसकी घात (degree) 3 है, यानी $x$ की सबसे बड़ी घात। मुख्य गुणांक (leading coefficient) 4 है, जो सबसे बड़ी घात वाले पद के साथ लगा है।

घात के हिसाब से बहुपदों के नाम ये हैं।

घात	नाम	कैसा दिखता है
0	अचर	$7$
1	रैखिक	$3x - 2$
2	द्विघात	$x^2 - 5x + 6$
3	त्रिघात	$2x^3 + x - 1$
4	चतुर्घात (biquadratic)	$x^4 - 16$

गुणनफल की घात: बहुपदों का गुणा करने पर उनकी घातें जुड़ जाती हैं। जैसे $(x^2 + 1)^3(2x - 5)^2$ की घात $2 \times 3 + 1 \times 2 = 8$ है।

जोड़ने पर ऐसा नहीं होता। दो बहुपदों के योग की घात, बड़ी घात वाले बहुपद की घात से ज़्यादा नहीं हो सकती। सबसे ऊँचे पद आपस में कट जाएँ, तो घात घट भी सकती है। $(x^3 + 2x) + (5 - x^3) = 2x + 5$ की घात केवल 1 है।

दो चरों वाला बहुपद: यहाँ हर पद के भीतर दोनों चरों की घातें जोड़िए। इनमें जो सबसे बड़ी आए, वही बहुपद की घात है। $3x^2y^3 - 4xy + 9$ के पहले पद की घात $2 + 3 = 5$ है, इसलिए बहुपद की घात 5 है।

किसी संख्या पर मान: बहुपद का मान निकालना हो, तो $x$ की जगह वह संख्या रख दीजिए। ऊपर वाले बहुपद में 2 और −1 रखने पर ये मान आते हैं।

$$p(2) = 4(8) - 5(4) + 7 = 19 \qquad p(-1) = -4 - 5 + 7 = -2$$

तीन मान तो लगभग बिना मेहनत के मिल जाते हैं।

• $p(0)$ अचर पद के बराबर होता है।
• $p(1)$ सब गुणांकों का योग होता है। इसीलिए $(3x - 2)^5$ के गुणांकों का योग बिना विस्तार किए निकल आता है, $(3 - 2)^5 = 1$।
• $p(-1)$ भी गुणांकों का योग ही है, बस विषम घात वाले पदों के गुणांकों के चिह्न उलट जाते हैं।

शून्यक: किसी बहुपद में $x$ का जो मान रखने पर बहुपद शून्य हो जाए, उसे बहुपद का शून्यक (zero of a polynomial) कहते हैं। यानी $p(x)$ का शून्यक वह संख्या है जिसके लिए $p(x) = 0$ हो।

रैखिक बहुपद $ax + b$ का एक ही शून्यक होता है, $-\frac{b}{a}$। जैसे $3x - 2$ का शून्यक $\frac{2}{3}$ है। याद रखिए, घात $n$ वाले बहुपद के ज़्यादा से ज़्यादा $n$ शून्यक होते हैं।

कोई संख्या शून्यक है या नहीं, यह जानने के लिए उसे बहुपद में रखकर देखिए। $q(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ में $q(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ आता है, तो 1 इसका एक शून्यक है। असल में $q(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 2)$ है, इसलिए इसके शून्यक 1, 3 और $-2$ हैं।

घात निकालने में एक गलती बहुत होती है। $(x^2 + 1)^3$ की घात 6 है, 5 नहीं। यहाँ घात 2 को 3 से गुणा करना है, जोड़ना नहीं।

शेषफल प्रमेय

मान लीजिए $f(x)$ को $x - a$ से भाग देने पर भागफल $q(x)$ और शेषफल $r$ आता है। तब

$$f(x) = (x - a)\,q(x) + r$$

अब इसमें $x = a$ रख दीजिए। पहला भाग शून्य हो जाता है, क्योंकि कोष्ठक का मान शून्य है। बचता है $f(a) = r$।

$f(x)$ को $x - a$ से भाग देने पर शेषफल $f(a)$ होता है। यही शेषफल प्रमेय (remainder theorem) है। इससे शेषफल निकालने के लिए लंबी भाग विधि की ज़रूरत ही नहीं पड़ती।

एक उदाहरण लेते हैं, $f(x) = x^3 - 4x^2 + 2x + 5$।

• $x - 3$ से भाग देने पर शेषफल $f(3) = 27 - 36 + 6 + 5 = 2$ है।
• $x + 2$ से भाग देना हो, तो पहले $x + 2 = 0$ रखिए। इससे $x = -2$ मिलता है, और शेषफल $f(-2) = -8 - 16 - 4 + 5 = -23$ है।
• $2x - 1$ से भाग देना हो, तो $2x - 1 = 0$ से $x = \frac{1}{2}$ मिलता है। शेषफल $f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} - 1 + 1 + 5 = \frac{41}{8}$ है।

हर बार एक ही काम करना है। भाजक को शून्य के बराबर रखिए, और $x$ का जो मान आए, उसे $f(x)$ में रख दीजिए। भाजक $ax - b$ हो, तो $x = \frac{b}{a}$ रखना है।

शेषफल दिया हो और $k$ निकालना हो: प्रश्न ऐसे आता है, "$x^3 + kx^2 - 3x + 4$ को $x - 2$ से भाग देने पर शेषफल 10 प्राप्त होता है।" यहाँ 2 रखिए और नतीजे को 10 के बराबर कीजिए, $f(2) = 8 + 4k - 6 + 4 = 4k + 6 = 10$। इससे $k = 1$ आता है।

दो शेषफल, दो अज्ञात: कभी दो शर्तें एक साथ दी होती हैं, जैसे "$x^3 + ax^2 + bx + 6$ को $x - 1$ से भाग देने पर शेषफल 4 और $x + 1$ से भाग देने पर शेषफल 12 प्राप्त होता है।" दोनों मान रखने पर $1 + a + b + 6 = 4$ और $-1 + a - b + 6 = 12$ मिलते हैं, जो सरल करने पर $a + b = -3$ और $a - b = 7$ हो जाते हैं। दोनों को जोड़ दीजिए। $2a = 4$ आता है, तो $a = 2$ और $b = -5$।

ऊँची घातें: $x^{45} + 45$ को $x + 1$ से भाग देना हो, तब भी यही करना है। शेषफल $(-1)^{45} + 45 = -1 + 45 = 44$ आता है। यहाँ बस इतना याद रखिए कि $-1$ की विषम घात $-1$ होती है और सम घात $+1$। इसीलिए $x^{44} + 45$ को उसी से भाग दें, तो शेषफल 46 आता है।

[Tier 2] द्विघात बहुपद से भाग: भाजक द्विघात हो, तो शेषफल की घात 2 से कम होगी। मतलब शेषफल $px + q$ के रूप में होगा। भाजक के गुणनखंड बन जाएँ, जैसे $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$, तो दोनों मान बारी-बारी से रखिए।

मान लीजिए $f(x) = x^{25} + 3$ को $x^2 - 1$ से भाग देना है। $f(1) = 4$ है, तो $p + q = 4$। और $f(-1) = 2$ है, तो $-p + q = 2$। इन दोनों से $q = 3$ और $p = 1$ आता है। मतलब शेषफल $x + 3$ है।

[SSC टिप] $x + 3$ से भाग देने का मतलब है $x = -3$ रखना, $x = 3$ नहीं। SSC लगभग हमेशा $x = 3$ वाला मान भी विकल्पों में रख देता है।

गुणनखंड प्रमेय: अज्ञात मान और पूर्णतः विभाज्य बनाना

गुणनखंड प्रमेय (factor theorem) असल में शेषफल प्रमेय ही है, बस उस स्थिति में जब शेषफल शून्य आए। $x - a$, $f(x)$ का गुणनखंड ठीक तभी होता है, जब $f(a) = 0$ हो।

• $x - 2$, $x^3 - 3x^2 + 4$ का गुणनखंड है या नहीं, यह देखना है। $f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$ आता है, तो यह गुणनखंड है। भाग देकर देखें, तो $x^3 - 3x^2 + 4 = (x - 2)(x^2 - x - 2) = (x - 2)^2(x + 1)$ मिलता है।
• $x + 3$, $2x^3 + 5x^2 + kx - 6$ का गुणनखंड है और $k$ निकालना है। $x = -3$ रखिए, तो $-54 + 45 - 3k - 6 = 0$ आता है। सरल करने पर $-15 - 3k = 0$, और इससे $k = -5$ मिलता है।

दो गुणनखंड दिए हों: जैसे "$x - 1$ और $x + 2$ दोनों $x^3 + ax^2 + bx - 4$ के गुणनखंड हैं।" तब $f(1) = 0$ से $a + b = 3$ मिलता है। और $f(-2) = 0$ से $-8 + 4a - 2b - 4 = 0$, यानी $2a - b = 6$। दोनों को जोड़ने पर $3a = 9$, तो $a = 3$ और $b = 0$। जाँच कर लीजिए, $(x - 1)(x + 2)^2 = x^3 + 3x^2 - 4$।

कभी प्रश्न में द्विघात गुणनखंड दिया होता है, जैसे $x^2 + x - 2$। तब पहले उसे $(x - 1)(x + 2)$ में तोड़िए, फिर दोनों मान रखिए।

क्या घटाएँ या क्या जोड़ें: प्रश्न आता है, "$x^3 + 2x^2 - 5x + 9$ में से क्या घटाया जाए कि वह $x - 1$ से पूर्णतः विभाज्य हो जाए?" शेषफल $f(1) = 1 + 2 - 5 + 9 = 7$ है, तो 7 घटाना है। शेषफल हट गया, तो जो बचा वह पूरा-पूरा बँट जाता है।

अगर पूछा जाए "क्या जोड़ा जाए?", तो उत्तर उलटे चिह्न के साथ आएगा, यानी $-7$ जोड़ना होगा।

गुणनखंड की झटपट जाँच: दो जाँचें बहुत काम आती हैं।

• सब गुणांकों का योग 0 हो, तो $f(1) = 0$ है। मतलब $x - 1$ गुणनखंड है।
• सम घातों के गुणांकों का योग, विषम घातों के गुणांकों के योग के बराबर हो, तो $f(-1) = 0$ है। मतलब $x + 1$ गुणनखंड है। यहाँ अचर पद को सम घात वालों में गिनिए।

त्रिघात को आज़माकर तोड़ना: किसी त्रिघात का गुणनखंडन (factorisation) करना हो, तो अचर पद के छोटे भाजक आज़माइए, जैसे $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$ आदि।

जैसे $x^3 + 2x^2 - 11x - 12$ लीजिए। सम घात वाले गुणांकों का योग $2 + (-12) = -10$ है, और विषम घात वालों का $1 + (-11) = -10$। दोनों बराबर हैं, तो $x + 1$ गुणनखंड है।

$$x^3 + 2x^2 - 11x - 12 = (x + 1)(x^2 + x - 12) = (x + 1)(x + 4)(x - 3)$$

दूसरा कोष्ठक निकालने के लिए लंबी भाग विधि की ज़रूरत नहीं, गुणांक मिला लीजिए। $(x + 1)(x^2 + px + q)$ का गुणा करने पर $x^3 + 2x^2 - 11x - 12$ आना चाहिए। अचर पद मिलाने पर $q = -12$ आता है। वर्ग वाले पद मिलाने पर $1 + p = 2$, तो $p = 1$।

"इनमें से कौन-सा गुणनखंड है" वाले प्रश्नों में हर विकल्प को गुणनखंड प्रमेय से जाँचिए। शुरुआत $x - 1$ और $x + 1$ की झटपट जाँच से कीजिए। हर विकल्प पर बस एक बार मान रखना पड़ता है, और यह पूरा गुणनखंडन करने से जल्दी हो जाता है।

दिए समीकरण से ऊँची घातें घटाना

कुछ प्रश्नों में $x$ का एक समीकरण दिया होता है और किसी बड़े व्यंजक का मान पूछा जाता है। $x$ का हल निकालने बैठें, तो अक्सर समय ज़्यादा लगता है या हिसाब उलझ जाता है। ऐसे में दिए गए समीकरण से ही घातें नीचे लाइए। इसके तीन तरीके हैं।

पहला तरीका, पूर्ण घन पहचानना: ये दो विस्तार याद रखिए।

$$(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \qquad (x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$$

प्रश्न आता है, "यदि $a^3 - 6a^2 + 12a - 3 = 0$, तो $(a - 2)^6$ ज्ञात कीजिए।" इसके पहले तीन पद वही हैं जो $(a - 2)^3 = a^3 - 6a^2 + 12a - 8$ के हैं। तो समीकरण को $(a - 2)^3 + 5 = 0$ लिख सकते हैं। इससे $(a - 2)^3 = -5$ आता है, और $(a - 2)^6 = 25$।

इसी तरह, "यदि $x^3 - 6x^2 + 12x = 16$, तो $x$ का वास्तविक मान ज्ञात कीजिए।" यहाँ दोनों पक्षों में से 8 घटा दीजिए। $(x - 2)^3 = 8$ मिलता है, तो $x - 2 = 2$ और $x = 4$।

पहचान ऐसे होती है। $x^3$, $x^2$ और $x$ के गुणांक $1$, $3h$ और $3h^2$ हों, और चिह्न भी उसी हिसाब से हों, तो ये $(x + h)^3$ के पहले तीन पद हैं।

दूसरा तरीका, वर्ग की जगह उसका मान रखना: प्रश्न है, "यदि $x^2 - 3x - 1 = 0$, तो $x^3 - 2x^2 - 4x + 5$ ज्ञात कीजिए।" समीकरण से $x^2 = 3x + 1$ मिलता है। अब घन को भी इसी से नीचे ले आइए।

$$x^3 = x \cdot x^2 = 3x^2 + x = 3(3x + 1) + x = 10x + 3$$

दोनों को रखने पर $x^3 - 2x^2 - 4x + 5 = (10x + 3) - 2(3x + 1) - 4x + 5 = 6$ आता है। देखिए, हर $x$ कट गया। इसका मतलब है कि हल सही राह पर है।

तीसरा तरीका, दिए व्यंजक से भाग: यही प्रश्न भाग देकर भी हो जाता है।

$$x^3 - 2x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 3x - 1)(x + 1) + 6$$

पहले कोष्ठक का मान तो 0 है, इसलिए व्यंजक का मान शेषफल के बराबर है, यानी 6। भागफल ऐसे निकालिए। पहले सबसे ऊँचा पद मिलाइए, $x^3$ के लिए $x$ चाहिए। फिर अगला पद मिलाइए, $-2x^2$ के लिए $+1$ चाहिए।

$x$ करणी में दिया हो: जैसे $x = 2 + \sqrt{3}$। तब पहले इसका समीकरण बनाइए, $x^2 - 4x + 1 = 0$। यह समीकरण कैसे निकलता है, यह "व्युत्क्रम रूप (x + 1/x) और करणी वाले मान" वाले खंड में दिया है। फिर इसी से व्यंजक को छोटा कीजिए, $x^3 - 4x^2 + x + 7 = x(x^2 - 4x + 1) + 7 = 7$।

$x^2 + 1 = x$ जैसे प्रश्न, जिनमें $x^{14}$ जैसी घातें पूछी जाती हैं, वे भी उसी खंड में हैं।

द्विघात समीकरण: गुणनखंडन और सूत्र से हल

द्विघात समीकरण (quadratic equation) का रूप $ax^2 + bx + c = 0$ होता है, जहाँ $a \neq 0$। इस समीकरण के मूल (roots) ज़्यादा से ज़्यादा दो होते हैं।

गुणनखंड से हल: सबसे पहले मध्य पद को विभक्त करके (splitting the middle term) देखिए। इसके लिए ऐसी दो संख्याएँ ढूँढिए जिनका गुणनफल $ac$ हो और योग $b$।

जैसे $6x^2 - x - 15 = 0$ में $ac = -90$ और $b = -1$ है। ऐसी दो संख्याएँ $-10$ और $9$ हैं।

$$6x^2 - 10x + 9x - 15 = 2x(3x - 5) + 3(3x - 5) = (2x + 3)(3x - 5)$$

दोनों में से कोई भी कोष्ठक शून्य हो सकता है। इससे $x = -\frac{3}{2}$ या $x = \frac{5}{3}$ मिलता है।

सूत्र से हल: जब ऐसी दो संख्याएँ आसानी से न मिलें, तो द्विघात सूत्र (quadratic formula) लगाइए।

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

जैसे $2x^2 - 6x + 1 = 0$ में $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}$ आता है।

$x$ से भाग न दीजिए: $x^2 = 5x$ को ऐसे हल कीजिए, $x(x - 5) = 0$, जिससे $x = 0$ या $x = 5$ आता है। अगर दोनों पक्षों को $x$ से भाग दे दिया, तो 0 वाला मूल छूट जाएगा।

द्विघात में बदलने वाले समीकरण: कुछ समीकरण पहली नज़र में द्विघात नहीं लगते, पर थोड़ा बदलने पर द्विघात हो जाते हैं।

• एक पक्ष पर वर्ग हो: $(x - 2)^2 = 49$ से $x - 2 = \pm 7$, तो $x = 9$ या $x = -5$।
• भिन्न वाले समीकरण: $\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{6}$ में बायाँ पक्ष $\frac{3}{x(x + 3)}$ है। इससे $x^2 + 3x = 18$, यानी $(x + 6)(x - 3) = 0$ आता है, तो $x = 3$ या $x = -6$।
• वर्गमूल वाले समीकरण: $\sqrt{x + 7} = x - 5$ में दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $x + 7 = x^2 - 10x + 25$ आता है। सब पद एक ओर ले जाएँ, तो $x^2 - 11x + 18 = 0$, और इससे $x = 2$ या $x = 9$। अब दोनों मान दिए गए समीकरण में रखकर जाँचिए। $x = 9$ पर $4 = 4$ आता है, पर $x = 2$ पर $3 = -3$, जो असत्य है। तो केवल $x = 9$ ठीक है। वर्ग करने से झूठा मूल भी आ सकता है, यानी ऐसा मान जो दिए गए समीकरण को संतुष्ट नहीं करता। इसलिए यह जाँच हर बार कीजिए।
• $x^2$ की घातें: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ में $y = x^2$ रखिए। $(y - 4)(y - 9) = 0$ आता है, तो $x^2 = 4$ या $x^2 = 9$। इनसे $x = \pm 2$ या $x = \pm 3$ मिलते हैं।

[SSC टिप] विकल्प सामने हों, तो हल करने के बजाय विकल्प रखकर देख लीजिए। बस चिह्नों पर नज़र रखिए। समीकरण के मूल $-\frac{3}{2}$ और $\frac{5}{3}$ हों, और किसी विकल्प में $\frac{3}{2}$ और $-\frac{5}{3}$ दिए हों, तो वह चिह्न की चूक वाला जाल है।

मूलों का योग और गुणनफल, और उनसे बने व्यंजक

मान लीजिए समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। तब

$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a} \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}$$

पहले को मूलों का योग (sum of roots) और दूसरे को मूलों का गुणनफल (product of roots) कहते हैं। ऐसा क्यों होता है, यह देखना आसान है। $a(x - \alpha)(x - \beta) = ax^2 - a(\alpha + \beta)x + a\alpha\beta$ होता है, और यह $ax^2 + bx + c$ के बराबर होना चाहिए। दोनों के गुणांक मिलाने पर यही दो संबंध मिलते हैं।

जैसे $2x^2 - 7x + 4 = 0$ में मूलों का योग $\frac{7}{2}$ है और गुणनफल $\frac{4}{2} = 2$। इसके लिए समीकरण हल करने की कोई ज़रूरत नहीं।

ज़्यादातर प्रश्नों में $\alpha$ और $\beta$ से बना कोई ऐसा व्यंजक पूछा जाता है, जो दोनों की अदला-बदली करने पर नहीं बदलता। ऐसे व्यंजक को केवल योग और गुणनफल में लिख दीजिए। ये वही सर्वसमिकाएँ हैं जो "वर्ग और घन सर्वसमिकाएँ" वाले खंड में थीं। फ़र्क बस इतना है कि अब $a + b$ और $ab$ गुणांकों से मिलते हैं।

पूछा गया	ऐसे लिखें
$\alpha^2 + \beta^2$	$(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$	$\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}$
$(\alpha - \beta)^2$	$(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$
$\alpha^3 + \beta^3$	$(\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$
$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$	$\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}$
$\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$	$\frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2}$
$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$	$\alpha\beta(\alpha + \beta)$
$(\alpha + 1)(\beta + 1)$	$\alpha\beta + (\alpha + \beta) + 1$

ऊपर वाले समीकरण में $\alpha + \beta = \frac{7}{2}$ और $\alpha\beta = 2$ है। इनसे ये मान सीधे निकल आते हैं।

• $\alpha^2 + \beta^2 = \frac{49}{4} - 4 = \frac{33}{4}$
• $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{7}{2} \div 2 = \frac{7}{4}$
• $(\alpha - \beta)^2 = \frac{49}{4} - 8 = \frac{17}{4}$, तो $\alpha - \beta = \pm\frac{\sqrt{17}}{2}$
• $\alpha^3 + \beta^3 = \frac{343}{8} - 3 \times 2 \times \frac{7}{2} = \frac{343}{8} - 21 = \frac{175}{8}$

[SSC टिप] योग का चिह्न ठीक रखिए। $x^2 - 9x + 14 = 0$ में मूलों का योग $+9$ है, $-9$ नहीं। दूसरी बात, $\alpha - \beta$ धन भी हो सकता है और ऋण भी। यह तभी तय होता है जब प्रश्न बताए कि कौन-सा मूल बड़ा है। $\alpha > \beta$ दिया हो, तो धनात्मक वर्गमूल लीजिए।

मूलों से समीकरण बनाना, और एक मूल दिया हो

समीकरण के मूल पता हों, तो समीकरण सीधे लिखा जा सकता है।

$$x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$$

• मूल 4 और $-7$ हों, तो योग $-3$ और गुणनफल $-28$ है। समीकरण $x^2 + 3x - 28 = 0$ होगा।
• मूल $\frac{2}{3}$ और $-\frac{1}{2}$ हों, तो योग $\frac{1}{6}$ और गुणनफल $-\frac{1}{3}$ है। भिन्न हटाने के लिए पूरे समीकरण को 6 से गुणा कीजिए, $6x^2 - x - 2 = 0$ मिलेगा।
• एक मूल $3 + \sqrt{2}$ हो और गुणांक परिमेय हों, तो दूसरा मूल $3 - \sqrt{2}$ ही होगा। योग 6 है और गुणनफल $9 - 2 = 7$, तो समीकरण $x^2 - 6x + 7 = 0$ है।

पुराने मूलों से नए मूल: मान लीजिए $\alpha$, $\beta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं। नए मूल इन्हीं से बने हों, तो कुछ स्थितियों में नया समीकरण सीधे लिखा जा सकता है।

नए मूल	नया समीकरण
$\frac{1}{\alpha}$, $\frac{1}{\beta}$	$cx^2 + bx + a = 0$ (गुणांक उलटे क्रम में)
$-\alpha$, $-\beta$	$ax^2 - bx + c = 0$
$k\alpha$, $k\beta$	$ax^2 + kbx + k^2c = 0$
$\alpha + h$, $\beta + h$	$x$ की जगह $x - h$ रखिए

बाकी हर स्थिति में नया योग और नया गुणनफल निकालिए। जैसे $\alpha$, $\beta$ समीकरण $x^2 - 5x + 3 = 0$ के मूल हैं, और ऐसा समीकरण चाहिए जिसके मूल $\alpha^2$ और $\beta^2$ हों। इनका योग $25 - 6 = 19$ है और गुणनफल $9$। अब समीकरण $x^2 - 19x + 9 = 0$ लिख दीजिए।

एक मूल दिया हो: वह मूल समीकरण में रखकर अज्ञात निकालिए। फिर योग या गुणनफल से दूसरा मूल निकाल लीजिए। जैसे "$x^2 - kx + 15 = 0$ का एक मूल 3 है।" तो $9 - 3k + 15 = 0$ से $k = 8$ आता है। मूलों का गुणनफल 15 है, इसलिए दूसरा मूल 5 है।

मूलों के बीच कोई ख़ास संबंध हो: समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए ये संबंध याद रखिए।

• मूल एक-दूसरे के व्युत्क्रम हों, तो उनका गुणनफल 1 होता है। तब $c = a$।
• मूल बराबर माप के हों पर चिह्न उलटे, तो उनका योग 0 होता है। तब $b = 0$।
• एक मूल शून्य हो, तो $c = 0$।
• एक मूल दूसरे का दोगुना हो, तो $2b^2 = 9ac$। सामान्य रूप में, एक मूल दूसरे का $k$ गुना हो, तो $kb^2 = (k + 1)^2ac$।

जैसे $x^2 - 9x + p = 0$ में एक मूल दूसरे का दोगुना है। नियम में रखने पर $2 \times 81 = 9p$ से $p = 18$ आता है। समीकरण के मूल 3 और 6 हैं।

मूलों की प्रकृति: विविक्तकर

द्विघात सूत्र में वर्गमूल के नीचे जो संख्या है, वही बताती है कि समीकरण के मूल किस तरह के होंगे। इसे विविक्तकर (discriminant) कहते हैं।

$$D = b^2 - 4ac$$

मूल किस तरह के हैं, इसे मूलों की प्रकृति (nature of roots) कहते हैं। विविक्तकर के मान से यह ऐसे तय होती है।

$D$ का मान	मूल
$D > 0$	दो वास्तविक और असमान मूल (परिमेय, यदि $D$ पूर्ण वर्ग हो और $a$, $b$, $c$ परिमेय हों)
$D = 0$	दो बराबर वास्तविक मूल, दोनों $-\frac{b}{2a}$ के बराबर
$D < 0$	कोई वास्तविक मूल नहीं

• $3x^2 - 5x + 2 = 0$ में $D = 25 - 24 = 1$ है, जो पूर्ण वर्ग है। तो इस समीकरण के दो परिमेय और असमान मूल हैं, 1 और $\frac{2}{3}$।
• $x^2 - 4x - 1 = 0$ में $D = 16 + 4 = 20$ है। मूल वास्तविक और असमान हैं, पर दोनों अपरिमेय।
• $4x^2 - 12x + 9 = 0$ में $D = 144 - 144 = 0$ है। दोनों मूल बराबर हैं, $\frac{3}{2}$ और $\frac{3}{2}$।
• $2x^2 + 3x + 4 = 0$ में $D = 9 - 32 < 0$ है। इसका कोई वास्तविक मूल नहीं है।

बराबर मूल हों और $k$ निकालना हो: $D = 0$ रखिए।

• $x^2 + kx + 25 = 0$ में $k^2 - 100 = 0$, तो $k = \pm 10$।
• $kx^2 - 12x + 4 = 0$ में $144 - 16k = 0$, तो $k = 9$। यहाँ $k = 0$ कभी नहीं चल सकता, क्योंकि तब समीकरण द्विघात ही नहीं रहता।
• $(k + 1)x^2 - 2(k - 1)x + 1 = 0$ में $4(k - 1)^2 - 4(k + 1) = 0$ आता है। सरल करने पर $k^2 - 3k = 0$, तो $k = 0$ या $k = 3$। दोनों मान ठीक हैं। इनसे समीकरण $(x + 1)^2 = 0$ और $(2x - 1)^2 = 0$ मिलते हैं।

वास्तविक मूल हों, या कोई वास्तविक मूल न हो: "वास्तविक मूल" का अर्थ है $D \ge 0$। जैसे $x^2 + 4x + k = 0$ के मूल वास्तविक हों, तो $16 - 4k \ge 0$, यानी $k \le 4$। और कोई वास्तविक मूल न हो, तो $k > 4$।

पूर्ण वर्ग: $4x^2 + kx + 9$ पूर्ण वर्ग ठीक तभी होता है, जब $D = 0$ हो। तो $k^2 = 144$ से $k = \pm 12$ मिलता है, और व्यंजक $(2x \pm 3)^2$ है।

त्रिघात बहुपद के शून्यक और गुणांक

[Tier 2] योग और गुणनफल वाला यही विचार त्रिघात बहुपद पर भी चलता है। टियर 1 में इसका केवल सबसे सरल भाग पूछा जाता है, यानी शून्यकों का योग। टियर 2 में इससे आगे के प्रश्न भी आते हैं।

मान लीजिए $ax^3 + bx^2 + cx + d$ के शून्यक $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ हैं। तब

$$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} \qquad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} \qquad \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$$

चिह्न बारी-बारी से ऋण, धन और ऋण आते हैं। इसे याद कर लीजिए।

एक उदाहरण से मिलाकर देखते हैं। $2x^3 - 5x^2 - 14x + 8$ के शून्यक 4, $\frac{1}{2}$ और $-2$ हैं, और तीनों सूत्र मेल खाते हैं।

• योग: $4 + \frac{1}{2} - 2 = \frac{5}{2}$, और $-\frac{b}{a} = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}$।
• जोड़ियों के गुणनफलों का योग: $2 - 1 - 8 = -7$, और $\frac{c}{a} = \frac{-14}{2} = -7$।
• गुणनफल: $4 \times \frac{1}{2} \times (-2) = -4$, और $-\frac{d}{a} = -\frac{8}{2} = -4$।

शून्यकों से बने व्यंजक: यहाँ भी द्विघात वाला ही तरीका है।

$$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$$

$$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}$$

ऊपर वाले त्रिघात में ये दोनों $\frac{25}{4} + 14 = \frac{81}{4}$ और $\frac{-7}{-4} = \frac{7}{4}$ आते हैं।

त्रिघात बनाना: शून्यक पता हों, तो $x^3 - (\text{योग})x^2 + (\text{युग्म-योग})x - (\text{गुणनफल})$ लिख दीजिए। युग्म-योग का मतलब है जोड़ियों के गुणनफलों का योग। जैसे शून्यक 1, 2 और 3 हों, तो बहुपद $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ है।

दो शून्यक दिए हों और तीसरा चाहिए: जैसे "$x^3 - 4x^2 - 7x + 10$ के दो शून्यक 1 और $-2$ हैं।" तीनों शून्यकों का योग 4 है, तो तीसरा शून्यक $4 - 1 + 2 = 5$ है।

बराबर अंतर वाले शून्यक: कभी तीनों शून्यक समांतर श्रेणी (AP) में होते हैं। तब उन्हें $m - d$, $m$ और $m + d$ लिखिए। इनका योग $3m$ होता है।

प्रश्न आता है, "$x^3 - 12x^2 + 39x - k$ के शून्यक समांतर श्रेणी में हैं। $k$ ज्ञात कीजिए।" यहाँ $3m = 12$, तो 4 एक शून्यक है। इसे रखने पर $64 - 192 + 156 - k = 0$, तो $k = 28$। शून्यक 1, 4 और 7 हैं।

अगर $x^2$ वाला पद ही न हो, जैसे $x^3 - 7x + 6$ में, तो शून्यकों का योग 0 होता है।

बीच वाले संबंध में चिह्न धन है। कई छात्र युग्म-योग के लिए $-\frac{c}{a}$ लिख देते हैं। विकल्पों में जो गलत मान अक्सर दिया होता है, वह इसी चूक से आता है।

द्विघात तक ले जाने वाले संख्या-प्रश्न, और म.स. व ल.स.

संख्या वाले प्रश्न: संख्या को $n$ मान लीजिए, वाक्य से समीकरण बनाइए और उसे हल कीजिए।

• "किसी संख्या के तीन गुने को उसके वर्ग में जोड़ने पर 108 प्राप्त होता है।" इससे $n^2 + 3n = 108$, यानी $n^2 + 3n - 108 = 0$ आता है। $(n + 12)(n - 9) = 0$ से $n = 9$ या $n = -12$ मिलता है। प्रश्न में "धनात्मक" या "प्राकृत" लिखा हो, तो केवल 9 लीजिए।
• "दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याओं का गुणनफल 323 है।" यहाँ $n(n + 2) = 323$ हल कर सकते हैं, पर इससे तेज़ रास्ता भी है। दोनों संख्याएँ $\sqrt{323}$ के दोनों ओर होंगी, जो 18 से थोड़ा कम है। तो संख्याएँ 17 और 19 हैं। जाँच कर लीजिए, $17 \times 19 = 323$।
• "दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों के वर्गों का योग 365 है।" तो $n^2 + (n + 1)^2 = 365$ से $2n^2 + 2n - 364 = 0$ आता है। पूरे समीकरण को आधा करने पर $n^2 + n - 182 = 0$ मिलता है, जिसे $(n + 14)(n - 13) = 0$ लिख सकते हैं। तो पूर्णांक 13 और 14 हैं।
• "दो संख्याओं का योग 15 और गुणनफल 56 है।" ये संख्याएँ $x^2 - 15x + 56 = 0$ के मूल हैं, यानी 7 और 8।

ऐसे प्रश्नों में विकल्प रखकर देखना अक्सर सबसे जल्दी होता है। हर विकल्प के लिए बस इतना देखना है कि वह सारी शर्तें पूरी करता है या नहीं।

बहुपदों का म.स. और ल.स.: बहुपदों का महत्तम समापवर्तक (म.स., HCF) और लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स., LCM) भी संख्याओं की तरह ही निकलते हैं। पहले हर बहुपद का पूरा गुणनखंडन कर लीजिए। फिर ये दो काम कीजिए।

• म.स. में वे गुणनखंड लीजिए जो सबमें उभयनिष्ठ हों, हर एक अपनी सबसे छोटी घात के साथ।
• ल.स. में जितने भी गुणनखंड आए हों, सब लीजिए, हर एक अपनी सबसे बड़ी घात के साथ।

जैसे $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ और $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$ हैं। इनका म.स. $x + 3$ है और ल.स. $(x - 3)(x + 3)(x - 2)$ है।

इसी तरह $(x - 1)^2(x + 2)$ और $(x - 1)(x + 2)^3$ का म.स. $(x - 1)(x + 2)$ है और ल.स. $(x - 1)^2(x + 2)^3$ है।

संख्याओं वाला एक नियम यहाँ भी चलता है। $\text{म.स.} \times \text{ल.स.}$ दोनों बहुपदों के गुणनफल के बराबर होता है, बस कोई अचर गुणनखंड आगे-पीछे हो सकता है। इसलिए म.स. और दोनों बहुपद पता हों, तो गुणनफल को म.स. से भाग देकर ल.स. निकल आता है।

समीकरण के जो मूल प्रश्न की शर्त तोड़ें, उन्हें छोड़ दीजिए। लोगों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती। जहाँ पूर्ण संख्याएँ चाहिए, वहाँ भिन्न नहीं चल सकती। और "धनात्मक पूर्णांक" पूछा हो, तो $-12$ नहीं लिया जा सकता।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

बहुपद $(x^3 - 2)^2(x^2 + x + 1)^3$ की घात क्या है? (a) 5 (b) 12 (c) 36 (d) 10

उत्तर: बहुपदों का गुणा करने पर घातें जुड़ती हैं। पहले कोष्ठक $(x^3 - 2)^2$ का सबसे ऊँचा पद $x^6$ है, तो उसकी घात $3 \times 2 = 6$ है। दूसरे कोष्ठक $(x^2 + x + 1)^3$ का सबसे ऊँचा पद भी $x^6$ है, और घात $2 \times 3 = 6$। गुणनफल की घात $6 + 6$ = (b) 12 है। दोनों छह को जोड़ने की जगह गुणा कर दिया, तो 36 आएगा, जो गलत है।

प्रश्न 2

यदि $p(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 4$ है, तो $p(2) - p(-1)$ का मान क्या है? (a) $-4$ (b) 18 (c) 10 (d) 24

उत्तर: यहाँ दोनों मान सावधानी से निकालने हैं। $p(2) = 16 - 12 + 10 - 4 = 10$ आता है। $p(-1)$ में याद रखना है कि $(-1)^3 = -1$ और $(-1)^2 = 1$ होता है। तो $p(-1) = -2 - 3 - 5 - 4 = -14$। अब $p(2) - p(-1) = 10 - (-14)$ = (d) 24।

प्रश्न 3

$x^3 - 5x^2 + 4x + 9$ को $x + 2$ से भाग देने पर शेषफल क्या प्राप्त होता है? (a) $-27$ (b) 5 (c) $-11$ (d) 27

उत्तर: शेषफल प्रमेय लगाते हैं। भाजक को शून्य के बराबर रखने पर $x + 2 = 0$, यानी $x = -2$ मिलता है। अब $x = -2$ रखने पर $(-8) - 5(4) + 4(-2) + 9 = -8 - 20 - 8 + 9$ = (a) $-27$ आता है। 5 वाला विकल्प $x = 2$ रखने पर आता है। $x + 2$ के साथ यही चिह्न की चूक सबसे ज़्यादा होती है।

प्रश्न 4

$4x^3 - 2x^2 + x - 5$ को $2x - 3$ से भाग देने पर शेषफल क्या प्राप्त होता है? (a) $-\frac{49}{2}$ (b) $\frac{3}{2}$ (c) $\frac{11}{2}$ (d) 88

उत्तर: $2x - 3 = 0$ से $x = \frac{3}{2}$ मिलता है। पद एक-एक करके निकाल लेते हैं, $4 \times \frac{27}{8} = \frac{27}{2}$ और $2 \times \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$। अब शेषफल $\frac{27}{2} - \frac{9}{2} + \frac{3}{2} - 5 = \frac{21}{2} - 5$ = (c) $\frac{11}{2}$ है।

प्रश्न 5

जब $x^3 + kx^2 - 7x + 6$ को $x - 3$ से भाग दिया जाता है, तो शेषफल 30 प्राप्त होता है। $k$ का मान क्या है? (a) $\frac{10}{3}$ (b) 2 (c) $-\frac{8}{3}$ (d) $\frac{14}{3}$

उत्तर: भाजक $x - 3$ है, तो शेषफल $x = 3$ पर बहुपद का मान होगा, यानी $27 + 9k - 21 + 6 = 9k + 12$। यह 30 के बराबर है, तो $9k = 18$ और $k$ = (b) 2। जाँच भी कर लेते हैं, $k = 2$ पर $27 + 18 - 21 + 6 = 30$ आता है।

प्रश्न 6

बहुपद $2x^3 + ax^2 + bx - 3$ को $x - 1$ से भाग देने पर शेषफल $-2$ और $x + 1$ से भाग देने पर शेषफल 2 प्राप्त होता है। $a$ और $b$ ज्ञात कीजिए। (a) $a = -4$, $b = 3$ (b) $a = 4$, $b = -3$ (c) $a = 3$, $b = 4$ (d) $a = 3$, $b = -4$

उत्तर: यहाँ शेषफल प्रमेय दो बार लगेगा। $x = 1$ पर $2 + a + b - 3 = -2$, तो $a + b = -1$। $x = -1$ पर $-2 + a - b - 3 = 2$, तो $a - b = 7$। दोनों को जोड़ने पर $2a = 6$ आता है, तो $a = 3$। फिर $b = -1 - 3 = -4$, तो उत्तर (d) $a = 3$, $b = -4$ है। ध्यान रहे, $a = -4$, $b = 3$ से भी $a + b = -1$ आता है, पर उससे दूसरी शर्त पूरी नहीं होती। इसलिए दोनों शर्तें जाँचनी ज़रूरी हैं।

प्रश्न 7

यदि $x - 2$, $x^3 - 3x^2 + kx - 10$ का एक गुणनखंड है, तो $k$ का मान क्या है? (a) 7 (b) $-15$ (c) $-7$ (d) 9

उत्तर: गुणनखंड है, तो शेषफल शून्य होगा। $x = 2$ रखकर 0 के बराबर करते हैं, $8 - 12 + 2k - 10 = 0$, यानी $2k - 14 = 0$। तो $k$ = (a) 7। जाँच भी हो जाती है, $x^3 - 3x^2 + 7x - 10 = (x - 2)(x^2 - x + 5)$।

प्रश्न 8

यदि $x^2 + 2x - 3$, $x^3 + ax^2 + bx + 6$ का एक गुणनखंड है, तो $a$ और $b$ ज्ञात कीजिए। (a) $a = -7$, $b = 0$ (b) $a = 2$, $b = -3$ (c) $a = 0$, $b = -7$ (d) $a = 1$, $b = -8$

उत्तर: पहले द्विघात गुणनखंड को तोड़ते हैं, $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$। मतलब $x = 1$ और $x = -3$, दोनों पर त्रिघात शून्य होगा। $x = 1$ पर $1 + a + b + 6 = 0$, तो $a + b = -7$। $x = -3$ पर $-27 + 9a - 3b + 6 = 0$, तो $9a - 3b = 21$, यानी $3a - b = 7$। अब $a + b = -7$ और $3a - b = 7$ को जोड़ने पर $4a = 0$ आता है। तो $a = 0$ और $b = -7$, और उत्तर (c) $a = 0$, $b = -7$ है। गुणनखंड करके देखें, तो सच में $x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x + 3)(x - 2)$ आता है।

प्रश्न 9

$2x^3 - 5x^2 + 4x + 7$ में से क्या घटाया जाए कि परिणाम $x - 2$ से पूर्णतः विभाज्य हो? (a) $-11$ (b) 11 (c) $-37$ (d) 7

उत्तर: $x - 2$ से भाग देने पर शेषफल वही है जो $x = 2$ पर मान है, $16 - 20 + 8 + 7 = 11$। यह शेषफल हटा दें, तो बचा भाग पूरा-पूरा बँट जाएगा। तो (b) 11 घटाना है। $-11$ तो "क्या जोड़ा जाए" वाले प्रश्न का उत्तर है।

प्रश्न 10

निम्नलिखित में से कौन-सा $x^3 - 7x - 6$ का एक गुणनखंड है? (a) $x - 1$ (b) $x + 3$ (c) $x - 2$ (d) $x + 2$

उत्तर: हर विकल्प को गुणनखंड प्रमेय से जाँचते हैं। $x - 1$ के लिए $x = 1$ रखने पर $1 - 7 - 6 = -12$ आता है, जो शून्य नहीं है। $x + 3$ के लिए $x = -3$ पर $-27 + 21 - 6 = -12$, यह भी शून्य नहीं। $x - 2$ के लिए $x = 2$ पर $8 - 14 - 6 = -12$, फिर से शून्य नहीं। $x + 2$ के लिए $x = -2$ पर $-8 + 14 - 6 = 0$ आता है। तो गुणनखंड (d) $x + 2$ है। असल में $x^3 - 7x - 6 = (x + 1)(x + 2)(x - 3)$ है।

प्रश्न 11

[Tier 2] $x^{23} + 2x + 5$ को $x^2 - 1$ से भाग देने पर शेषफल क्या प्राप्त होता है? (a) $3x + 5$ (b) 8 (c) $5x + 3$ (d) 2

उत्तर: भाजक द्विघात है, तो शेषफल $px + q$ के रूप में होगा। $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ है, इसलिए $x = 1$ और $x = -1$ रखेंगे। $x = 1$ पर $1 + 2 + 5 = 8$, तो $p + q = 8$। $x = -1$ पर $-1 - 2 + 5 = 2$, तो $-p + q = 2$। दोनों को जोड़ने पर $2q = 10$, तो $q = 5$ और $p = 3$। यानी शेषफल (a) $3x + 5$ है।

प्रश्न 12

$x^{41} + 41$ को $x + 1$ से भाग देने पर शेषफल क्या प्राप्त होता है? (a) 42 (b) 0 (c) 40 (d) 41

उत्तर: यहाँ $x = -1$ रखना है। 41 विषम है, तो $(-1)^{41} = -1$। शेषफल $-1 + 41$ = (c) 40 है।