त्वरित पुनरावृत्ति

वर्ग सर्वसमिकाएँ

• $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ होता है। इसके साथ यह भी याद रखिए, $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$।
• $s = a + b$ और $p = ab$ मान लीजिए। तब $a^2 + b^2 = s^2 - 2p$ और $(a - b)^2 = s^2 - 4p$ होता है।
• $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$ होता है। चौथी घातों का योग चाहिए, तो $a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2p^2$ लगाइए।
• किसी आयत का आधा परिमाप $s$ और क्षेत्रफल $p$ हो, तो उसका विकर्ण $\sqrt{s^2 - 2p}$ होता है।
• $a - b = \pm\sqrt{s^2 - 4p}$ होता है। धन चिह्न लेना है या ऋण, यह प्रश्न देखकर तय कीजिए।

घन सर्वसमिकाएँ

$$(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$$

$$(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$$

• घनों का योग $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = s^3 - 3ps$ होता है।
• घनों का अंतर $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) = d^3 + 3pd$ होता है। यहाँ $d = a - b$ है।
• $2x + 3y$ जैसे व्यंजक में गुणांक समेत पूरे पद को एक अक्षर मान लीजिए, यानी $A = 2x$ और $B = 3y$। तब गुणनफल $AB = 6xy$ होगा।
• ऐसे प्रश्नों में गुणनफल $AB$ लेना है, $xy$ नहीं।

गुणनखंडन और बीजीय भिन्न

• गुणनखंडन के तरीके इस क्रम में आज़माइए। पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड, फिर पदों का समूहन, फिर कोई सर्वसमिका, और सबसे आखिर में मध्य पद को विभक्त करना (splitting the middle term)।
• यह रूप देखते ही पहचान लीजिए, $x^3 - 3kx^2 + 3k^2x - k^3 = (x - k)^3$।
• इसी तरह $a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$ होता है।
• बीजीय भिन्नों में $\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} = a - b$ और $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} = a + b$ होता है।
• विकल्पों को सरल मान रखकर जाँचिए। पहले $a = 1$, $b = 0$ रखकर देखिए, फिर $a = 2$, $b = 1$।
• जाँचते समय ऐसे मान कभी न रखिए, जिनसे किसी भिन्न का हर शून्य हो जाए।

तीन चरों वाली सर्वसमिकाएँ

$$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$$

$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$$

• ऊपर के दूसरे सूत्र में जो दूसरा कोष्ठक है, वह $\frac{1}{2}\left[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\right]$ के बराबर होता है।
• तीनों के व्युत्क्रम जोड़ने हों, तो $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{ab + bc + ca}{abc}$ लिखिए।
• उस दूसरे कोष्ठक में $ab + bc + ca$ केवल एक बार घटता है, दो बार नहीं।

जब $a + b + c = 0$ हो

• ऐसी स्थिति में $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ होता है।
• इसी नियम से $(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)$ होता है, क्योंकि तीनों कोष्ठकों का योग शून्य है।
• कभी-कभी कोष्ठकों में अक्षरों से कुछ संख्याएँ घटी होती हैं। जैसे $p + q + r = 15$ हो, तो $(p - 3) + (q - 7) + (r - 5) = 0$ होगा, इसलिए यही नियम इन कोष्ठकों पर भी लगेगा।
• $a + b = c$ हो, तो $a^3 + b^3 - c^3 = -3abc$ होता है।
• $\frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ca} + \frac{c^2}{ab} = 3$ होता है। साथ ही $(a + b)(b + c)(c + a) = -abc$ भी होता है।
• $3abc$ लिखते समय सारे ऋण चिह्न साथ रखिए, एक भी छूटना नहीं चाहिए।

विशेष शर्तें

• वर्गों का योग $= 0$ हो, तो प्रत्येक वर्ग 0 होता है।
• $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ हो, या $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ हो और साथ में $a + b + c \neq 0$ हो, तो $a = b = c$ होता है।
• $8a^3 + b^3 + 27c^3 = 18abc$ में अक्षरों के मान धनात्मक हों, तो $2a = b = 3c$ होता है। यह शर्त न दी हो, तो या तो $2a = b = 3c$ होगा, या $2a + b + 3c = 0$।
• यह नियम केवल इसलिए चलता है, क्योंकि 18 ठीक $2 \times 1 \times 3$ का 3 गुना है, और इस गुणा में आई तीनों संख्याएँ गुणांकों के घनमूल हैं। दाईं ओर कोई और संख्या हो, तो यह नियम नहीं लगता।
• $a + b = 2c$ हो, तो $(a - c)^3 + (b - c)^3 = 0$ होता है।

$x + \frac{1}{x}$ और $x - \frac{1}{x}$

धन वाले परिवार के लिए $k = x + \frac{1}{x}$ और ऋण वाले परिवार के लिए $m = x - \frac{1}{x}$ मान लीजिए। तब ये सूत्र लगते हैं।

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = k^2 - 2 = m^2 + 2$$

$$x^3 + \frac{1}{x^3} = k^3 - 3k \qquad x^3 - \frac{1}{x^3} = m^3 + 3m$$

• चौथी घात वाला रूप $= \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 - 2$ होता है, और छठी घात वाला रूप $= \left(x^3 + \frac{1}{x^3}\right)^2 - 2$।
• $k^2 - m^2 = 4$ होता है, और $x^2 - \frac{1}{x^2} = km$।
• $x^2 - kx + 1 = 0$ दिया हो, तो पूरे समीकरण को $x$ से भाग दे दीजिए। धन वाले परिवार का मान सीधे मिल जाएगा।
• $\left(3x + \frac{1}{2x}\right)^2$ में बीच वाला पद 3 है, 2 नहीं। यहाँ गुणांक भी आपस में गुणा होते हैं।

विशेष मान और चक्रीय घातें

$x + \frac{1}{x}$ के ये मान देखते ही पहचान लीजिए।

• मान 2 हो, तो $x = 1$ होता है, और मान $-2$ हो, तो $x = -1$।
• मान 1 हो, यानी $x^2 - x + 1 = 0$, तो $x^3 = -1$ और $x^6 = 1$ होता है।
• मान $-1$ हो, यानी $x^2 + x + 1 = 0$, तो $x^3 = 1$ होता है।
• मान 0 हो, तो $x^2 = -1$ होता है। मान $\sqrt{2}$ हो, तो $x^4 = -1$, और मान $\sqrt{3}$ हो, तो $x^6 = -1$।
• बड़ी घातों को चक्र से छोटा कीजिए। जैसे $x^3 = 1$ हो, तो $x^{100} = x$ होगा।
• मान 1 हो, तो $x^3 = -1$ होता है, 1 नहीं। PYQ अभ्यास सेटों में ऐसे प्रश्न अक्सर आते हैं।

$x$ के करणी वाले मान

• $x = a + \sqrt{b}$ हो और $a^2 - b = 1$ हो, तो $\frac{1}{x} = a - \sqrt{b}$ होता है। तब $x + \frac{1}{x} = 2a$ और $x - \frac{1}{x} = 2\sqrt{b}$ होगा।
• $x = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ हो और $a - b = 1$ हो, तो $x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{a}$ होता है।
• वर्गमूल वाले रूप के लिए $\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 = x + \frac{1}{x} + 2$ लगाइए।
• ये शर्तें पूरी न हों, तो संयुग्मी करणी (conjugate) $y$ लीजिए। तब $x + y = 2a$ और $xy = a^2 - b$ होता है।
• $2 + \sqrt{3}$ समीकरण $x^2 - 4x + 1 = 0$ का एक मूल है। ऊँची घातें इसी समीकरण की मदद से छोटी कीजिए।
• $x < 1$ हो, तो $x - \frac{1}{x}$ ऋणात्मक होता है।

बहुपद

• $f(x) \div (x - a)$ करने पर शेषफल $f(a)$ आता है। इसी तरह $f(x) \div (ax - b)$ का शेषफल $f\left(\frac{b}{a}\right)$ होता है।
• $x - a$ गुणनखंड ठीक तभी होता है, जब $f(a) = 0$ हो। अज्ञात $k$ का मान भी इसी शर्त से निकालिए।
• $x - a$ को गुणनखंड बनाना हो, तो बहुपद में से $f(a)$ घटा दीजिए।
• घन वाला रूप पहचानना सीखिए। $a^3 + 9a^2 + 27a = 37$ दिखे, तो इसे $(a + 3)^3 = 64$ लिख लीजिए।
• [Tier 2] $ax^3 + bx^2 + cx + d$ वाले बहुपद के शून्यकों (zeros of a polynomial) का योग $-\frac{b}{a}$ होता है। दो-दो शून्यकों के गुणनफलों का योग $\frac{c}{a}$ और तीनों शून्यकों का गुणनफल $-\frac{d}{a}$ होता है।
• $x + 2$ से भाग देना हो, तो $x = -2$ रखिए।

द्विघात समीकरण

• द्विघात सूत्र से समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ होते हैं।
• मूलों का योग और गुणनफल (sum and product of roots) सीधे गुणांकों से मिल जाते हैं। योग $= -\frac{b}{a}$ और गुणनफल $= \frac{c}{a}$ होता है।
• मूलों से बने व्यंजक इन सूत्रों से निकालिए, $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ और $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$।
• समीकरण के दोनों मूल पता हों, तो उसे $x^2 - (\text{योग})x + \text{गुणनफल} = 0$ के रूप में लिख लीजिए।
• विविक्तकर $b^2 - 4ac$ धनात्मक हो, तो दो वास्तविक और असमान मूल होते हैं। यह शून्य हो, तो बराबर मूल होते हैं, और ऋणात्मक हो, तो कोई वास्तविक मूल नहीं होता।
• एक मूल पता हो, तो मूलों के गुणनफल को उस मूल से भाग दीजिए। दूसरा मूल मिल जाएगा।
• मूलों का योग $-\frac{b}{a}$ होता है, $\frac{b}{a}$ नहीं। ऋण चिह्न पर ध्यान रखिए।

रैखिक समीकरण

• दो अक्षर हों, तो प्रतिस्थापन या विलोपन (substitution / elimination) विधि लगाइए।
• दोनों समीकरणों में गुणांक उलटे क्रम में हों, तो उन्हें जोड़ने पर $x + y$ मिलता है और घटाने पर $x - y$।
• तीन समीकरण हों और प्रत्येक में एक अक्षर गायब हो, तो तीनों को जोड़िए और फिर भाग दीजिए।
• ठीक एक हल के लिए $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ होना चाहिए। $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ हो तो कोई हल नहीं होता, और तीनों अनुपात बराबर हों तो अनंत हल होते हैं।
• समीकरण में भिन्न हों, तो सबसे पहले पूरे समीकरण को हरों के ल.स. (LCM) से गुणा कर दीजिए।
• "कोई हल नहीं" वाले प्रश्न में किसी $k$ से तीनों अनुपात बराबर हो जाते हों, तो वह मान छोड़ दीजिए। उस मान पर तो अनंत हल होते हैं।

शाब्दिक प्रश्न

• दो अंकों की संख्या को $10a + b$ लिखिए। अंक उलटने पर नई संख्या $10b + a$ होगी।
• इन दोनों संख्याओं का अंतर $9(a - b)$ और योग $11(a + b)$ होता है।
• भिन्न वाले प्रश्न में भिन्न को $\frac{n}{d}$ लिखिए। फिर अंश और हर में बताया गया बदलाव कीजिए और तिरछा गुणा कर दीजिए।
• वस्तुओं के मूल्य वाले प्रश्न में प्रत्येक वस्तु के लिए एक अक्षर मान लीजिए। जो मेल पूछा गया है, उसके लिए दिए गए समीकरणों को जोड़िए या आपस में मिलाइए।
• टिकट या नोट वाले प्रश्नों में दो समीकरण बनाइए, एक गिनती का और एक रकम का।
• अंक केवल 0 से 9 तक की पूर्ण संख्याएँ हो सकते हैं।

अधिकतम और न्यूनतम मान

• $x^2 + bx + c = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4}$ लिखिए। इसका न्यूनतम मान (least value) $x = -\frac{b}{2}$ पर आता है।
• [Tier 2] $ax^2 + bx + c$ में $a > 0$ हो, तो इसका न्यूनतम मान $c - \frac{b^2}{4a}$ होता है। $a < 0$ हो, तो यही इसका अधिकतम मान होता है।
• $x > 0$ के लिए $x + \frac{1}{x} \ge 2$ होता है, और $ax + \frac{b}{x} \ge 2\sqrt{ab}$।
• योग स्थिर हो, तो गुणनफल तब सबसे बड़ा होता है, जब सारे भाग बराबर हों।
• पूछा क्या गया है, यह ध्यान से पढ़िए। कभी-कभी न्यूनतम मान की जगह $x$ का मान पूछा जाता है।