तीन चरों वाली सर्वसमिकाएँ और विशेष शर्तें

तीन पदों का वर्ग

तीन पदों वाले कोष्ठक का वर्ग निकालना हो, तो पहले $a + b$ को एक ही पद मान लीजिए। अब यह दो पदों का वर्ग रह जाता है, और उसे खोलना हमें आता है।

$$(a + b + c)^2 = (a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$$

इसे छोटा करके ऐसे लिखते हैं।

$$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$$

शब्दों में याद रखिए। हर पद का वर्ग एक बार आता है, और हर जोड़ी का गुणनफल दो बार।

चिह्नों का नियम भी सीधा है। किसी जोड़ी का चिह्न वही होता है, जो उसके दोनों पदों के चिह्नों का गुणा करने पर आता है। जैसे $(a - b + c)^2$ में जोड़ियाँ $a \times (-b)$, $(-b) \times c$ और $c \times a$ हैं। पहली दो ऋणात्मक हैं और तीसरी धनात्मक, तो विस्तार यह होगा।

$$(a - b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ca$$

पदों के आगे संख्याएँ लगी हों, तो हर पद का पूरा वर्ग लिखिए, संख्या समेत। फिर हर जोड़ी के गुणनफल का दोगुना लिखिए।

$$(2x - y - 3z)^2 = 4x^2 + y^2 + 9z^2 - 4xy + 6yz - 12zx$$

यहाँ $yz$ वाला पद धनात्मक है, क्योंकि $(-y) \times (-3z)$ में दो ऋण चिह्नों का गुणा हुआ है।

तीन बुनियादी राशियाँ इस सर्वसमिका में आपस में जुड़ी हुई हैं। पहली, तीनों अक्षरों का योग $a + b + c$। दूसरी, वर्गों का योग $a^2 + b^2 + c^2$। तीसरी, हर जोड़ी के गुणनफल का योग $ab + bc + ca$, जिसे हम आगे युग्म-योग कहेंगे। इन्हें बुनियादी राशियाँ इसलिए कहते हैं, क्योंकि आगे के ज़्यादातर व्यंजक इन्हीं से लिखे जाते हैं। इनमें से कोई भी दो पता हों, तो तीसरी निकल आती है।

$$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca)$$

$$ab + bc + ca = \frac{(a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2)}{2}$$

• $a + b + c = 9$ और $ab + bc + ca = 20$ हो, तो $a^2 + b^2 + c^2 = 81 - 40 = 41$। संख्याएँ 1, 2 और 6 ये दोनों शर्तें पूरी करती हैं।
• $a + b + c = 15$ और $a^2 + b^2 + c^2 = 93$ हो, तो $ab + bc + ca = \frac{225 - 93}{2} = 66$।
• $a^2 + b^2 + c^2 = 53$ और $ab + bc + ca = 34$ हो, तो $(a + b + c)^2 = 53 + 68 = 121$। संख्याएँ धनात्मक हों, तो $a + b + c = 11$। वरना योग $\pm 11$ में से कोई भी हो सकता है।

वास्तविक संख्याओं के साथ एक बात हमेशा सच रहती है। इनमें $a^2 + b^2 + c^2$ कभी $ab + bc + ca$ से छोटा नहीं होता। इसकी वजह हम इसी खंड में आगे देखेंगे। इसलिए अगर किसी प्रश्न में $a^2 + b^2 + c^2 = 20$ और $ab + bc + ca = 25$ जैसे मान दिए हों, तो समझ लीजिए कि ऐसी वास्तविक संख्याएँ हो ही नहीं सकतीं।

घनाभ के प्रश्नों में भी यह सर्वसमिका खूब काम आती है। मान लीजिए घनाभ के किनारे $l$, $b$ और $h$ हैं। तब सभी 12 किनारों का योग $4(l + b + h)$ होता है, संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $2(lb + bh + hl)$ और सबसे लंबा विकर्ण $\sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$।

जैसे किसी घनाभ के किनारों का योग 68 सेमी है और पृष्ठीय क्षेत्रफल 168 वर्ग सेमी। तो $l + b + h = 17$, और $l^2 + b^2 + h^2 = 289 - 168 = 121$। मतलब विकर्ण 11 सेमी है। यह घनाभ 2 सेमी × 6 सेमी × 9 सेमी का है, चाहें तो इससे जाँच लीजिए।

सममित व्यंजक: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ और उसके साथी

कुछ व्यंजकों में कोई भी दो अक्षर आपस में बदल दें, तब भी व्यंजक वैसा ही रहता है। ऐसे व्यंजक को सममित व्यंजक (symmetric expression) कहते हैं।

SSC में जितने भी सममित व्यंजक पूछे जाते हैं, उन सबको तीन बुनियादी राशियों के रूप में लिखा जा सकता है। ये हैं $a + b + c$, $ab + bc + ca$ और $abc$। तरीका सीधा है। सब भिन्नों को एक साझे हर पर ले आइए, तो बुनियादी राशियाँ अपने-आप सामने आ जाती हैं।

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc + ca + ab}{abc}$$

हर भिन्न का नया अंश उन दो अक्षरों का गुणनफल होता है, जो उसके हर में नहीं हैं। जैसे $\frac{1}{a}$ का अंश $bc$ होगा।

व्यंजक	साझे हर $abc$ पर
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$	$\frac{ab + bc + ca}{abc}$
$\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}$	$\frac{a + b + c}{abc}$
$\frac{a}{bc} + \frac{b}{ca} + \frac{c}{ab}$	$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{abc}$

एक उदाहरण से देखते हैं। $a = 2$, $b = 3$ और $c = 6$ लीजिए। तब $a + b + c = 11$, $ab + bc + ca = 36$ और $abc = 36$ है।

• $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{36}{36} = 1$। सीधे जोड़कर देखें, तो सचमुच $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$ आता है।
• $\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} = \frac{11}{36}$
• $\frac{a}{bc} + \frac{b}{ca} + \frac{c}{ab} = \frac{49}{36}$, क्योंकि $a^2 + b^2 + c^2 = 121 - 72 = 49$ है।

[Tier 2] दो लंबी सर्वसमिकाएँ भी जान लीजिए। पहली यह है।

$$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)^2 - \frac{2(a + b + c)}{abc}$$

यह असल में $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{b}$ और $\frac{1}{c}$ पर लगाया गया तीन पदों वाला वर्ग ही है। इनकी जोड़ियों के गुणनफल $\frac{1}{ab}$, $\frac{1}{bc}$ और $\frac{1}{ca}$ हैं, और इनका योग $\frac{a + b + c}{abc}$ है। 2, 3 और 6 पर जाँचें, तो $1 - \frac{22}{36} = \frac{7}{18}$ आता है। सीधे जोड़ें, तो $\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36}$ भी $\frac{7}{18}$ ही है।

दूसरी सर्वसमिका यह है।

$$(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc$$

2, 3 और 6 पर $11 \times 36 - 36 = 360$ आता है। सीधे गुणा करने पर भी $5 \times 9 \times 8 = 360$ ही आता है।

व्युत्क्रमों (reciprocal) का योग शून्य हो, यानी $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ हो और कोई भी अक्षर शून्य न हो, तो अंश $ab + bc + ca$ का मान 0 होना ही चाहिए। तब तीन पदों वाला वर्ग छोटा होकर $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2$ रह जाता है। SSC इसे "$(a + b + c)^2$ ज्ञात कीजिए" के रूप में पूछता है, और विकल्पों में उत्तर $a^2 + b^2 + c^2$ के रूप में रखता है। जो छात्र यह शर्त नहीं पहचानता, वह यहीं फँसता है।

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ के दो रूप

तीन चरों वाली मुख्य सर्वसमिका (three-variable identity) यह है।

$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$$

चाहें तो दायाँ पक्ष गुणा करके खोलिए और जाँच लीजिए। $a^2b$ और $ab^2$ जैसे मिले-जुले पद जोड़ियों में कट जाते हैं। तीनों $abc$ वाले पद मिलकर $-3abc$ हो जाते हैं। बस तीनों घन बचते हैं।

लंबा कोष्ठक आगे बार-बार आएगा। यह दाईं ओर वाला दूसरा कोष्ठक है, जिसमें तीनों वर्गों के योग में से युग्म-योग घटाया गया है। इसे दो और रूपों में लिख सकते हैं। पहला रूप यह है।

$$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2}\left[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\right]$$

वजह देखिए। दाईं ओर के तीनों वर्ग खोलें, तो $a^2$, $b^2$ और $c^2$ में से हर एक दो बार आता है। हर जोड़ी का गुणनफल एक बार आता है, वह भी $-2$ के साथ। तो पूरा योग लंबे कोष्ठक का ठीक दोगुना होता है। इसीलिए आगे आधा लगाना पड़ता है।

इससे मुख्य सर्वसमिका का एक और रूप मिलता है। इसे हम आधे वर्ग-योग वाला रूप कहेंगे।

$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = \frac{1}{2}(a + b + c)\left[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\right]$$

लंबे कोष्ठक को सीधे बुनियादी राशियों से भी लिखा जा सकता है।

$$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = (a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca)$$

वजह यह है कि $(a + b + c)^2$ में $a^2 + b^2 + c^2$ भी है और $2(ab + bc + ca)$ भी। इसमें से $3(ab + bc + ca)$ घटाएँ, तो युग्म-योग एक बार बचता है, ऋण चिह्न के साथ।

बुनियादी राशियों से घनों का योग भी निकल आता है। सर्वसमिका को थोड़ा आगे-पीछे करके ऐसे लिखिए।

$$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc + (a + b + c)\left[(a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca)\right]$$

जैसे $a + b + c = 9$, $ab + bc + ca = 24$ और $abc = 20$ है। तब $a^3 + b^3 + c^3 = 60 + 9 \times (81 - 72) = 60 + 81 = 141$। ये संख्याएँ 2, 2 और 5 हैं, और $8 + 8 + 125 = 141$ से जाँच भी हो जाती है।

लंबा कोष्ठक हर में हो, तो काम और आसान है। प्रश्न में पूरे व्यंजक को लंबे कोष्ठक से भाग दिया हो, तो उत्तर सीधे योग आता है।

$$\frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca} = a + b + c$$

और अगर हर में तीनों अंतरों के वर्गों का योग हो, तो उत्तर योग का आधा, यानी $\frac{a + b + c}{2}$ आता है। दोनों में एक शर्त ज़रूरी है। $a$, $b$ और $c$ तीनों एक साथ बराबर न हों, वरना हर शून्य हो जाएगा।

[SSC टिप] लंबा कोष्ठक निकालने के लिए $(a + b + c)^2$ में से युग्म-योग का तीन गुना घटाते हैं। वहीं $a^2 + b^2 + c^2$ के लिए $(a + b + c)^2$ में से युग्म-योग का दो गुना घटाते हैं। इन प्रश्नों में सबसे आम गलती यही होती है कि लोग 2 और 3 में गड़बड़ कर देते हैं।

उलटा हल, और मानों की जगह अंतर

योग और पूरा व्यंजक दिया हो, तब भी बाकी राशियाँ निकल आती हैं। यह प्रश्न देखिए, "यदि $a + b + c = 11$ और $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 110$ है, तो $ab + bc + ca$ और $a^2 + b^2 + c^2$ ज्ञात कीजिए।"

1. पूरे व्यंजक को योग से भाग दीजिए। लंबा कोष्ठक $110 \div 11 = 10$ आता है, यानी $a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca) = 10$।
2. तीन पदों वाले वर्ग से $a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 121$ मिलता है।
3. कदम 2 में से कदम 1 घटाइए। $3(ab + bc + ca) = 111$ आता है, तो $ab + bc + ca = 37$, और $a^2 + b^2 + c^2 = 37 + 10 = 47$।

चाहें तो यह एक ही पंक्ति में कर लीजिए, $ab + bc + ca = \frac{(a + b + c)^2 - \text{कोष्ठक}}{3} = \frac{121 - 10}{3} = 37$।

योग और वर्गों का योग दिया हो, तो पहले युग्म-योग निकालिए। जैसे $a + b + c = 5$ और $a^2 + b^2 + c^2 = 13$ है। तब $ab + bc + ca = \frac{25 - 13}{2} = 6$, लंबा कोष्ठक $13 - 6 = 7$, और $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 5 \times 7 = 35$। साथ में $abc = 0$ भी दिया हो, तो $a^3 + b^3 + c^3 = 35$ ही होगा। संख्याएँ 0, 2 और 3 ये सारी शर्तें पूरी करती हैं।

मानों की जगह अंतर भी दिए जा सकते हैं। अक्सर प्रश्न में $a - b$ और $b - c$ दिए होते हैं। यहाँ एक बात बहुत काम आती है। तीनों अंतरों का योग हमेशा शून्य होता है।

$$(a - b) + (b - c) + (c - a) = 0$$

जैसे $a - b = 3$ और $b - c = 2$ है, तो $c - a = -5$। अब आधे वर्ग-योग वाला रूप लगाइए।

$$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2}(9 + 4 + 25) = 19$$

वर्ग करने के बाद $c - a$ के चिह्न से कोई फ़र्क नहीं पड़ता, पर उसका मान सही होना चाहिए। तीसरा अंतर दिए गए दोनों अंतरों का योग होता है, यहाँ 5। उनका अंतर ले लेना गलत है।

एक के बाद एक बढ़ते अक्षर भी इसी तरह हल होते हैं। मान लीजिए $a = x + 2$, $b = x + 4$ और $c = x + 6$ है। अंतर 2, 2 और 4 हैं, तो लंबा कोष्ठक $\frac{1}{2}(4 + 4 + 16) = 12$। योग $3x + 12$ है, तो पूरा व्यंजक यह होगा।

$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 12(3x + 12) = 36(x + 4)$$

$x + 2$ का घन करने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

[SSC टिप] दो अंतर दिए हों, तो तीसरा अंतर उन दोनों का योग होता है, ऋण चिह्न के साथ। कुछ लोग केवल दिए गए दो अंतरों का वर्ग करते हैं और ऊपर वाले उदाहरण में $\frac{1}{2}(9 + 4) = 6.5$ लिख देते हैं। SSC अक्सर यही संख्या विकल्पों में रख देता है। इसलिए वर्ग करने से पहले ही तीनों अंतर लिख लीजिए।

जब $a + b + c = 0$

मुख्य सर्वसमिका में $a + b + c = 0$ रख दीजिए। दाईं ओर 0 से एक कोष्ठक का गुणा होता है, तो दायाँ पक्ष 0 हो जाता है। इसी से यह नियम मिलता है।

$$a + b + c = 0 \Rightarrow a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$$

इसे हम घन वाला नियम कहेंगे। सीधे शब्दों में, जिन तीन संख्याओं का योग शून्य हो, उनके घनों का योग उनके गुणनफल का तीन गुना होता है।

इसे सीधे भी देख सकते हैं। $c = -(a + b)$ रखिए, तो

$$c^3 = -(a + b)^3 = -a^3 - b^3 - 3ab(a + b) = -a^3 - b^3 + 3abc$$

आख़िरी कदम में $-(a + b)$ की जगह $c$ लिखा है, क्योंकि दोनों बराबर हैं। अब $a^3$ और $b^3$ को दूसरी ओर ले जाइए, तो $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ मिल जाता है।

इस एक नियम से घनों वाले बड़े-बड़े व्यंजक एक छोटे-से गुणनफल में बदल जाते हैं। कुछ उदाहरण देखिए।

• $a + b + c = 0$ और $abc = 4$ हो, तो $a^3 + b^3 + c^3 = 12$।
• तीनों अंतरों का योग हमेशा शून्य होता है, इसलिए यह भी सच है।

$$(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)$$

जैसे $x = 4$, $y = 1$ और $z = 6$ लीजिए। कोष्ठक 3, $-5$ और 2 हैं। घनों का योग $27 - 125 + 8 = -90$ है, और $3 \times 3 \times (-5) \times 2$ भी यही है।

• गुणांक लगे हों, तब भी कोष्ठक कट जाते हैं। $(2a - 3b) + (3b - c) + (c - 2a) = 0$ है, इसलिए

$$(2a - 3b)^3 + (3b - c)^3 + (c - 2a)^3 = 3(2a - 3b)(3b - c)(c - 2a)$$

[Tier 2] वर्गों के अंतर वाले कोष्ठक भी ऐसे ही चलते हैं। $a^2 - b^2$, $b^2 - c^2$ और $c^2 - a^2$ का योग भी शून्य है। इसलिए ऐसी भिन्न में अंश और हर, दोनों अपने आधारों के गुणनफल के 3 गुने में बदल जाते हैं।

$$\frac{(a^2 - b^2)^3 + (b^2 - c^2)^3 + (c^2 - a^2)^3}{(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3} = \frac{3(a^2 - b^2)(b^2 - c^2)(c^2 - a^2)}{3(a - b)(b - c)(c - a)} = (a + b)(b + c)(c + a)$$

वजह यह है कि $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, और बाकी दोनों भी इसी तरह टूटते हैं।

उलटी बात हमेशा सच नहीं होती। $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ हो, तो $a + b + c = 0$ होना ज़रूरी नहीं है। $a = b = c$ होने पर भी यह बराबरी सच होती है, क्योंकि तब दोनों पक्ष $3a^3$ होते हैं। यह दूसरी स्थिति उन विशेष शर्तों (special condition) में से एक है, जो इसी खंड में आगे आएँगी।

[SSC टिप] तीन घनों का कोई भी योग दिखे, तो खोलने से पहले तीनों आधार, यानी जिनके घन लिए गए हैं, चिह्नों सहित जोड़कर देखिए। योग शून्य आए, तो उनके गुणनफल का 3 गुना लिखिए और वहीं रुक जाइए। बस 3 छूटना नहीं चाहिए। $\frac{(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3}{(x - y)(y - z)(z - x)}$ का मान 3 है, 1 नहीं।

शून्य योग वाले तीन कोष्ठक पहचानना

इन प्रश्नों में असली काम यह पहचानना है कि कोष्ठक आपस में कट जाते हैं या नहीं। इसके लिए तीनों कोष्ठक चिह्नों सहित जोड़िए और देखिए कि हर अक्षर कट जाता है या नहीं।

कोष्ठक	उनका योग
$x - y$, $y - z$, $z - x$	0
$2x - 3y$, $3y - 4z$, $4z - 2x$	0
$x + y - 2z$, $y + z - 2x$, $z + x - 2y$	0
$p - 1$, $q - 2$, $r - 3$, जब $p + q + r = 6$	0

तीन कोष्ठक और एक शर्त वाला प्रश्न ऐसा होता है, "यदि $p + q + r = 6$ है, तो $(p - 1)^3 + (q - 2)^3 + (r - 3)^3 - 3(p - 1)(q - 2)(r - 3)$ ज्ञात कीजिए।" कोष्ठकों का योग $p + q + r - 6 = 0$ है, इसलिए पूरा व्यंजक 0 है।

दो कोष्ठक और एक संख्या वाला रूप भी आता है, "यदि $x + y = 15$ है, तो $(x - 8)^3 + (y - 3)^3 + 12(x - 8)(y - 3)$ ज्ञात कीजिए।" पहले कोष्ठकों को नाम दे दीजिए, $A = x - 8$ और $B = y - 3$। इनका योग $x + y - 11 = 4$ है। तो $A$, $B$ और $-4$, इन तीनों का योग शून्य है, और घन वाला नियम लग जाता है।

$$A^3 + B^3 + (-4)^3 = 3AB(-4) \Rightarrow A^3 + B^3 + 12AB = 64$$

मतलब $x + y = 15$ हो, तो $x$ और $y$ कुछ भी हों, उत्तर 64 ही आएगा। इस ढाँचे को पहचानने के लिए गुणनफल के आगे लिखा 12 देखिए। यह $3 \times 4$ है, यानी दोनों कोष्ठकों के योग का तीन गुना। दो अक्षरों में सोचें, तो यह बस $A + B = 4 \Rightarrow A^3 + B^3 + 3 \times 4 \times AB = 4^3$ है, जो "वर्ग और घन सर्वसमिकाएँ" वाले खंड की घन सर्वसमिका ही है।

[Tier 2] शून्य योग वाले घनमूल भी पूछे जाते हैं। मान लीजिए $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = 0$ है। घनमूलों को $u$, $v$ और $w$ नाम दे दीजिए। इनका योग शून्य है, तो $u^3 + v^3 + w^3 = 3uvw$, यानी $a + b + c = 3\sqrt[3]{abc}$। अब दोनों पक्षों का घन कीजिए।

$$(a + b + c)^3 = 27abc$$

जाँच के लिए $u = 1$, $v = 1$ और $w = -2$ लीजिए। तब $a = 1$, $b = 1$ और $c = -8$, और $a + b + c = -6$। अब $(-6)^3 = -216 = 27 \times (-8)$, दोनों पक्ष बराबर हैं।

छिपे हुए रूप भी आते हैं। कभी कोष्ठक दूसरे क्रम में होते हैं। कभी चिह्न बाहर निकाल दिया जाता है, जैसे $(x - y)^3$ की जगह $(y - x)^3$। कभी किसी एक कोष्ठक की जगह कोई संख्या लिखी होती है। हर हालत में व्यंजक को तब तक दोबारा लिखिए, जब तक तीन आधार साफ़ न दिख जाएँ। फिर उनका योग जाँच लीजिए।

$a + b + c = 0$ के कुछ और नतीजे

$a + b + c = 0$ हो, तो किन्हीं भी दो अक्षरों का योग तीसरे अक्षर का ऋण होता है।

$$a + b = -c \qquad b + c = -a \qquad c + a = -b$$

इन्हें व्यंजक में रख दीजिए, तो बहुत-से व्यंजक एकदम छोटे हो जाते हैं।

• $(a + b)(b + c)(c + a) = (-c)(-a)(-b) = -abc$
• $\frac{a + b}{c} + \frac{b + c}{a} + \frac{c + a}{b} = -1 - 1 - 1 = -3$
• $\frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ca} + \frac{c^2}{ab} = \frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc} = \frac{3abc}{abc} = 3$
• $a + b + c = 0$ का वर्ग करें, तो $a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0$, यानी $a^2 + b^2 + c^2 = -2(ab + bc + ca)$।

$a^2 - bc$ जैसे व्यंजक भी इस शर्त में आपस में बराबर हो जाते हैं। $a = -(b + c)$ रखिए, तो $a^2 - bc = b^2 + 2bc + c^2 - bc = b^2 + bc + c^2$। बाकी दोनों को भी इसी तरह खोलकर देखिए, तीनों का मान एक ही आता है।

$$a^2 - bc = b^2 - ca = c^2 - ab$$

पहली बराबरी का एक छोटा-सा प्रमाण भी है, $(a^2 - bc) - (b^2 - ca) = (a - b)(a + b) + c(a - b) = (a - b)(a + b + c) = 0$। साथ ही $a^2 + b^2 + c^2 = (b + c)^2 + b^2 + c^2 = 2(b^2 + bc + c^2)$ होता है। इसलिए

$$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{a^2 - bc} = 2$$

[Tier 2] दो और नतीजे भी याद रख लीजिए।

• $a^2 + b^2 - c^2 = a^2 + b^2 - (a + b)^2 = -2ab$ होता है। इसलिए $\frac{1}{a^2 + b^2 - c^2} + \frac{1}{b^2 + c^2 - a^2} + \frac{1}{c^2 + a^2 - b^2} = -\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}\right) = -\frac{a + b + c}{2abc} = 0$।
• $a^4 + b^4 + c^4 = \frac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{2}$, और यही $2(ab + bc + ca)^2$ भी है।

संख्याएँ रखकर जाँच भी कर सकते हैं। शून्य योग वाली कोई भी तीन संख्याएँ चलेंगी, और सबसे आसान तिकड़ी $a = 1$, $b = 1$, $c = -2$ है। इससे $\frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ca} + \frac{c^2}{ab}$ का मान $\frac{1}{-2} + \frac{1}{-2} + \frac{4}{1} = 3$ आता है। इसी तरह $a^4 + b^4 + c^4$ का मान $1 + 1 + 16 = 18$ है, और $\frac{(1 + 1 + 4)^2}{2} = 18$ भी।

इसलिए जब भी कोई अनजाना व्यंजक दिखे और शर्त $a + b + c = 0$ दी हो, तो सर्वसमिका ढूँढने में समय न लगाइए। सीधे 1, 1 और $-2$ रख दीजिए और विकल्पों से मिला लीजिए। इनसे कोई हर शून्य हो जाए, तो 1, 2 और $-3$ लीजिए। इसमें कुछ ही सेकंड लगते हैं। यह तरीका हर बार चलता है, क्योंकि उत्तर ऐसी हर तिकड़ी पर सही होना ही चाहिए।

स्थितियाँ $a + b = c$ और $a + b = 2c$

ये दोनों शर्तें भी असल में "योग शून्य" वाली ही हैं, बस रूप बदला हुआ है। सब कुछ एक ओर ले आइए और फिर तीन कोष्ठक चुन लीजिए।

जब $a + b = c$ हो, तो $a + b + (-c) = 0$। अब घन वाला नियम $a$, $b$ और $-c$ पर लगाइए।

$$a^3 + b^3 + (-c)^3 = 3ab(-c) \Rightarrow a^3 + b^3 - c^3 = -3abc$$

यानी $a^3 + b^3 - c^3 + 3abc = 0$। इसे दूसरी तरह लिखें, तो $a^3 + b^3 + 3abc = c^3$। $a = 1$, $b = 2$, $c = 3$ से जाँचिए, $1 + 8 + 18 = 27$ आता है।

अक्षरों का क्रम कुछ भी हो, तरीका यही रहेगा। जैसे $x = y + z$ दिया है, तो $x - y - z = 0$। तीन आधार $x$, $-y$ और $-z$ हैं, इसलिए $x^3 - y^3 - z^3 = 3x(-y)(-z) = 3xyz$।

जब $a + b = 2c$ हो, तो इसका मतलब है कि $c$ ठीक $a$ और $b$ के बीच में है। तीनों संख्याएँ समांतर श्रेणी (arithmetic progression) में हैं। यहाँ $2c$ को $c + c$ में तोड़ दीजिए।

$$(a - c) + (b - c) = 0 \qquad \text{इसलिए} \qquad a - c = -(b - c) = c - b$$

मतलब $c$ से दोनों अंतर बराबर हैं, बस चिह्न उलटे हैं। बाकी सब इसी एक पंक्ति से निकल आता है।

• $(a - c)^3 + (b - c)^3 = 0$, क्योंकि एक घन दूसरे का ऋण है।
• $\frac{1}{a - c} + \frac{1}{b - c} = 0$
• $\frac{a}{a - c} + \frac{b}{b - c} = \frac{a}{a - c} - \frac{b}{a - c} = \frac{a - b}{a - c}$। और $a - c = \frac{a - b}{2}$ है, तो इसका मान 2 है।

$a = 7$, $b = 3$ और $c = 5$ से जाँच लीजिए। $2^3 + (-2)^3 = 0$ आता है, और $\frac{7}{2} + \frac{3}{-2} = 2$।

कौन-सी स्थिति है, यह शर्त देखकर पहचानिए। शर्त में एक ओर अकेला $c$ हो, तो सोचिए "$a + b + (-c) = 0$" और घन वाला नियम लगाइए। शर्त में $2c$ हो, तो सोचिए "$c$ बीच वाला मान है, और दोनों अंतर कट जाते हैं"।

वर्गों का योग शून्य

वास्तविक संख्याओं में कोई भी वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता। इसलिए अगर कई वर्गों का योग शून्य हो, तो हर वर्ग अलग-अलग शून्य होगा। SSC के दो तरह के प्रश्न इसी बात से हल होते हैं।

प्रकार 1 में शर्त $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ दी होती है। सब कुछ एक ओर ले आइए और आधे वर्ग-योग वाला रूप लगाइए।

$$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2}\left[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\right] = 0$$

तो $a - b$, $b - c$ और $c - a$ तीनों शून्य हैं, यानी $a = b = c$। इसके बाद हर व्यंजक आसान हो जाता है, जैसे $\frac{(a + b + c)^2}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{9a^2}{3a^2} = 3$।

खंड की शुरुआत में जो नियम आया था, उसकी वजह भी यही है। वास्तविक संख्याओं में $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$ होता है, और दोनों पक्ष बराबर तभी होते हैं जब तीनों संख्याएँ बराबर हों।

गुणांक वाला रूप भी पूछा जाता है। "यदि $4a^2 + b^2 + c^2 = 2ab + bc + 2ca$ है, तो $a : b : c$ ज्ञात कीजिए।" यहाँ नए नाम रख लीजिए, $X = 2a$, $Y = b$ और $Z = c$। तब $4a^2 = X^2$, $2ab = XY$, $bc = YZ$ और $2ca = ZX$। शर्त अब $X^2 + Y^2 + Z^2 = XY + YZ + ZX$ हो गई, तो $X = Y = Z$। इससे $2a = b = c$, और $a : b : c = 1 : 2 : 2$।

प्रकार 2 में पूर्ण वर्ग बनाना (completing the square) पड़ता है। जैसे, "$x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 10z + 38 = 0$ है। $x$, $y$ और $z$ ज्ञात कीजिए।" हर अक्षर के पदों को एक साथ रखिए और पूर्ण वर्ग बनाइए।

$$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) + (z^2 - 10z + 25) = 0$$

ध्यान दीजिए, तीनों अचर (constant) 4, 9 और 25 हैं, और इनका योग ठीक 38 है। इसी से पता चलता है कि प्रश्न इसी तरह बनाया गया है। तो $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 5)^2 = 0$, और $x = 2$, $y = -3$, $z = 5$।

हर अचर ऐसे निकलता है। अक्षर के गुणांक का आधा लीजिए और उसका वर्ग कर दीजिए। $-4x$ से $(-2)^2 = 4$ आता है, $+6y$ से $3^2 = 9$, और इसी तरह आगे। कोष्ठक के भीतर का चिह्न वही रहता है, जो उस गुणांक का है।

दो अक्षरों में भी यही चलता है। $p^2 + q^2 + 2 = 2(p + q)$ को दोबारा लिखें, तो $(p - 1)^2 + (q - 1)^2 = 0$, यानी $p = q = 1$।

[Tier 2] मिला-जुला पद भी आ सकता है, जैसे $x^2 + 2y^2 - 2xy - 4y + 4 = 0$ में $xy$ वाला पद है। यहाँ $2y^2$ को $y^2 + y^2$ में तोड़िए और एक हिस्सा $x$ वाले पदों के साथ रखिए, $(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 4y + 4) = (x - y)^2 + (y - 2)^2 = 0$। तो $y = 2$, और $x = y = 2$।

अंत में चिह्न ध्यान से लिखिए। $(y + 3)^2 = 0$ का मतलब $y = -3$ है। गलत विकल्पों में सबसे ज़्यादा यही उलटे चिह्न वाला मान रखा जाता है।

जब $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$

आधे वर्ग-योग वाले रूप से शुरू करते हैं, $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = \frac{1}{2}(a + b + c)\left[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\right]$। अगर बायाँ पक्ष शून्य हो, तो दाईं ओर के दोनों गुणनखंडों में से कोई एक शून्य होगा।

$$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \Rightarrow a + b + c = 0 \ \text{ या } \ a = b = c$$

• प्रश्न में $a + b + c \neq 0$ दिया हो, तो $a = b = c$।
• प्रश्न में $a$, $b$ और $c$ धनात्मक बताए हों, तो उनका योग शून्य हो ही नहीं सकता। तब भी $a = b = c$।
• इनमें से कुछ भी न दिया हो, तो दोनों स्थितियाँ संभव हैं। ऐसे में "$a + b + c = 0$" जैसा विकल्प भी उत्तर हो सकता है।

$a = b = c$ होने पर $\frac{a^2 + b^2 + c^2}{ab + bc + ca} = 1$, $\frac{a + b}{c} = 2$ और $\frac{(a + b + c)^3}{abc} = 27$ होता है।

गुणांक वाला रूप इस तरह पूछा जाता है, "$27x^3 + 8y^3 + z^3 = 18xyz$ है, जहाँ $x$, $y$ और $z$ धनात्मक हैं। $x : y : z$ ज्ञात कीजिए।"

1. पहले गुणांकों के घनमूल लीजिए। $27x^3 = (3x)^3$ और $8y^3 = (2y)^3$, जबकि $z^3$ जैसा है वैसा रहेगा।
2. अब दायाँ पक्ष जाँचिए। $3 \times 3x \times 2y \times z = 18xyz$, यह मेल खाता है। तो शर्त $A^3 + B^3 + C^3 = 3ABC$ है, जहाँ $A = 3x$, $B = 2y$ और $C = z$।
3. मान धनात्मक हैं, इसलिए $A + B + C = 0$ नहीं हो सकता। तो $3x = 2y = z$।
4. इस साझे मान को ऐसी संख्या मान लीजिए, जो हर गुणांक से पूरी बँट जाए, यहाँ 6। तब $x = 2$, $y = 3$ और $z = 6$, यानी $x : y : z = 2 : 3 : 6$।

ध्यान रखिए, दाईं ओर की संख्या घनमूलों के गुणनफल का 3 गुना न हो, तो यह तरकीब नहीं लगती।

झटपट पहचान के लिए घनों के गुणांक देखिए। 1, 8, 27, 64 या 125 दिखें, तो उनके घनमूलों का गुणनफल निकालकर उसे 3 से गुणा कीजिए। यह संख्या दाईं ओर वाले गुणनफल के आगे लिखी संख्या से मिल जाए, तो यही स्थिति है।

शर्त	घनमूल	धनात्मक मानों के लिए नतीजा
$27x^3 + 8y^3 + z^3 = 18xyz$	3, 2, 1	$3x = 2y = z$
$x^3 + 8y^3 + 64z^3 = 24xyz$	1, 2, 4	$x = 2y = 4z$
$a^3 + 64b^3 + 125c^3 = 60abc$	1, 4, 5	$a = 4b = 5c$

यहाँ "धनात्मक" शब्द ज़रूरी है। यह शब्द न हो, तो पहली पंक्ति में $3x + 2y + z = 0$ भी हो सकता है।

हल किए गए उदाहरण

अब इन तरीकों से कुछ प्रश्न हल करते हैं।

प्रश्न 1

यदि $a + b + c = 16$ और $ab + bc + ca = 79$ है, तो $a^2 + b^2 + c^2$ का मान क्या है? (a) 177 (b) 98 (c) 414 (d) 19

उत्तर: वर्गों का योग सीधे सूत्र से निकल आता है। $a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) = 256 - 158$, तो उत्तर (b) 98 आता है। संख्याएँ 3, 5 और 8 ये दोनों शर्तें पूरी करती हैं, और इनसे भी $9 + 25 + 64 = 98$ ही मिलता है।

प्रश्न 2

यदि $a^2 + b^2 + c^2 = 78$ और $ab + bc + ca = 59$ है, जहाँ $a$, $b$ और $c$ धनात्मक हैं, तो $a + b + c$ का मान क्या है? (a) $\sqrt{137}$ (b) $196$ (c) $\sqrt{19}$ (d) $14$

उत्तर: पहले योग का वर्ग निकालते हैं, $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 78 + 118 = 196$। संख्याएँ धनात्मक हैं, तो योग भी धनात्मक होगा, यानी (d) $14$। संख्याएँ 2, 5 और 7 हैं, इनसे जाँच हो जाती है। जल्दबाज़ी में कुछ लोग 196 पर ही रुक जाते हैं। पर 196 तो योग का वर्ग है, उत्तर उसका वर्गमूल है।

प्रश्न 3

निम्नलिखित में से कौन-सा $(x - 2y - 3z)^2$ का विस्तार है? (a) $x^2 + 4y^2 + 9z^2 - 4xy + 12yz - 6zx$ (b) $x^2 + 4y^2 + 9z^2 - 4xy - 12yz - 6zx$ (c) $x^2 + 4y^2 + 9z^2 + 4xy + 12yz + 6zx$ (d) $x^2 + 4y^2 + 9z^2 - 2xy + 6yz - 3zx$

उत्तर: पहले हर पद का वर्ग लिखते हैं, $x^2$, $4y^2$ और $9z^2$। अब हर जोड़ी का दोगुना, चिह्नों के गुणनफल के साथ, $2 \times x \times (-2y) = -4xy$, $2 \times (-2y) \times (-3z) = +12yz$ और $2 \times (-3z) \times x = -6zx$। तो उत्तर (a) $x^2 + 4y^2 + 9z^2 - 4xy + 12yz - 6zx$ है। यहाँ $yz$ वाला पद धनात्मक है, क्योंकि उसमें दो ऋण चिह्नों का गुणा हुआ है। विकल्प (b) में ठीक यही चूक है।

प्रश्न 4

यदि $a + b + c = 17$, $ab + bc + ca = 66$ और $abc = 72$ है, तो $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ का मान क्या है? (a) $\frac{17}{72}$ (b) $\frac{12}{11}$ (c) $\frac{11}{12}$ (d) $\frac{66}{17}$

उत्तर: तीनों भिन्नों को $abc$ पर ले आते हैं, $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc + ca + ab}{abc} = \frac{66}{72}$, यानी (c) $\frac{11}{12}$। संख्याएँ 2, 3 और 12 हैं, और $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$ से जाँच भी हो जाती है। कोई अंश में योग रख दे, तो $\frac{17}{72}$ आएगा। पर यह तो दूसरे व्यंजक $\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}$ का मान है।

प्रश्न 5

यदि $a + b + c = 10$, $a^2 + b^2 + c^2 = 46$ और $abc = 18$ है, तो $\frac{a}{bc} + \frac{b}{ca} + \frac{c}{ab}$ का मान क्या है? (a) $\frac{23}{9}$ (b) $\frac{5}{9}$ (c) $\frac{3}{2}$ (d) $\frac{9}{23}$

उत्तर: साझा हर $abc$ लें, तो अंश $a^2$, $b^2$ और $c^2$ हो जाते हैं। $\frac{a}{bc} + \frac{b}{ca} + \frac{c}{ab} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{abc} = \frac{46}{18}$, जो घटकर (a) $\frac{23}{9}$ रह जाता है। संख्याएँ 1, 3 और 6 लेकर इसे जाँच सकते हैं।

प्रश्न 6

यदि $a + b + c = 11$, $ab + bc + ca = 31$ और $abc = 21$ है, तो $a^3 + b^3 + c^3$ का मान क्या है? (a) 308 (b) 371 (c) 712 (d) 1331

उत्तर: पहले लंबा कोष्ठक निकालते हैं, $(a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca) = 121 - 93 = 28$। तो $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 11 \times 28 = 308$। अभी इसमें $3abc = 63$ वापस जोड़ना है, तब (b) 371 आता है। 1, 3 और 7 से जाँच लेते हैं, $1 + 27 + 343 = 371$।