शॉर्टकट और तेज़ तरीके

$a + b$ और $ab$ से एक पंक्ति में

दो अक्षरों वाली सर्वसमिकाओं के ज़्यादातर प्रश्नों में दो बातें दी होती हैं और तीसरी पूछी जाती है। आगे हर तरीके में हम देखेंगे कि ऐसा प्रश्न पहचानें कैसे और उसे जल्दी कैसे करें। हर तरीके के साथ एक प्रश्न हल करके भी देखेंगे, और यह भी कि उस तरीके में गलती कहाँ होती है।

बीजगणित में ये गलतियाँ छोटी होती हैं, पर बहुत महँगी पड़ती हैं। कहीं एक ऋण चिह्न छूट जाता है, तो कहीं गलत वर्गमूल ले लिया जाता है। कभी गुणांकों समेत गुणनफल लेना होता है, और छात्र केवल अक्षरों का गुणनफल ले लेते हैं।

सबसे पहले वे प्रश्न लीजिए जिनमें $a + b$, $a - b$, $ab$ और $a^2 + b^2$ में से दो दिए हों और कोई और मान पूछा गया हो। यहाँ पहले दिए हुए मानों को $s = a + b$ और $p = ab$ के रूप में लिख लीजिए। उसके बाद हर उत्तर किसी जाने-पहचाने सूत्र से निकल आता है।

पूछा गया	$s$ और $p$ के रूप में
$a^2 + b^2$	$s^2 - 2p$
$(a - b)^2$	$s^2 - 4p$
$a^3 + b^3$	$s^3 - 3ps$
$a^4 + b^4$	$(s^2 - 2p)^2 - 2p^2$
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$	$\frac{s^2 - 2p}{p}$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$	$\frac{s}{p}$

योग की जगह अंतर $d = a - b$ दिया हो, तो ये रूप काम आते हैं, $a^2 + b^2 = d^2 + 2p$ और $a^3 - b^3 = d^3 + 3pd$।

प्रश्न 1

यदि $x + y = 9$ और $xy = 14$ है, तो $x^3 + y^3$ और $x^4 + y^4$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ $s = 9$ और $p = 14$ हैं। घन वाले सूत्र में रखते हैं, तो $x^3 + y^3 = 729 - 3 \times 14 \times 9 = 729 - 378$ = 351। चौथी घात के लिए पहले वर्गों का योग चाहिए, $x^2 + y^2 = 81 - 28 = 53$। फिर $x^4 + y^4 = 53^2 - 2 \times 14^2 = 2809 - 392$ = 2417। दोनों मान निकालने में लगभग 20 सेकंड लगते हैं।

अक्षरों के साथ गुणांक हों तो नया नाम, सूत्र वही

मान लीजिए $2x + 7y = 16$ और $xy = 4$ दिए हैं, और $8x^3 + 343y^3$ पूछा गया है। यहाँ $A = 2x$ और $B = 7y$ नाम रख लीजिए। तब $A + B = 16$ और $AB = 14xy = 56$। इसलिए

$$8x^3 + 343y^3 = A^3 + B^3 = 16^3 - 3 \times 56 \times 16 = 4096 - 2688 = 1408$$

उलटी दिशा में

कभी-कभी घन दिए होते हैं और योग पूछा जाता है। जैसे $a^3 + b^3 = 341$ और $ab = 30$ हो, तो सूत्र में रखने पर $s^3 - 90s = 341$ आता है। इस त्रिघात समीकरण को हल करने की ज़रूरत नहीं है, विकल्प रखकर देखिए। $s = 11$ रखने पर $1331 - 990 = 341$ आता है, तो $a + b = 11$। संख्याएँ 5 और 6 हैं।

इस तरीके में चार जगह चूक होती है।

• वर्गमूल का चिह्न। $(a - b)^2 = s^2 - 4p$ का वर्गमूल लेने पर धन और ऋण, दोनों मान आ सकते हैं। जो चिह्न प्रश्न से मेल खाए, वही लीजिए। $a > b$ हो, तो धनात्मक वर्गमूल लीजिए।
• गुणनफल में गुणांक भूल जाना। $A = 2x$ और $B = 7y$ हों, तो गुणनफल $14xy$ होगा, केवल $xy$ नहीं।
• $a^4 + b^4$ में आख़िरी पद $2p^2$ है, $2p$ नहीं।
• $s^2 - 4p$ ऋणात्मक आ जाना। इसका मतलब है कि ऐसे कोई वास्तविक $a$ और $b$ हैं ही नहीं। SSC के प्रश्न ऐसे बनाए जाते हैं कि ऐसा न हो। इसलिए ऋणात्मक मान आए, तो ज़्यादातर आपके ही हिसाब में कहीं चूक हुई होती है।

बीजीय भिन्न में छिपी सर्वसमिका

कभी भिन्न के अंश में लंबा-सा त्रिघात या चौथी घात वाला व्यंजक होता है, जैसे $\frac{8x^3 - 36x^2 + 54x - 27}{4x^2 - 9}$, और विकल्प उससे कहीं छोटे दिखते हैं। ऐसे में गुणनखंडन शुरू करने से पहले अंश को इन ढाँचों से मिलाकर देखिए।

• पूर्ण घन। $x^3 - 3kx^2 + 3k^2x - k^3 = (x - k)^3$। इसकी पहचान यह है कि आख़िरी संख्या किसी संख्या का घन $k^3$ होती है, और बीच की दोनों संख्याएँ $3k$ और $3k^2$ होती हैं। सबसे आगे भी कोई संख्या हो, जैसे $8x^3$ में, तो $(2x - k)^3$ सोचिए।
• घनों का योग या अंतर, और हर में उसका साथी कोष्ठक। $\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} = a - b$ और $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} = a + b$।
• चौथी घातें। $a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$ और $a^4 - b^4 = (a^2 + b^2)(a + b)(a - b)$।
• वर्गों का अंतर। $\frac{9p^2 - 25q^2}{3p + 5q} = 3p - 5q$।

प्रश्न 2

$\frac{8x^3 - 36x^2 + 54x - 27}{4x^2 - 9}$ को सरल कीजिए।

उत्तर: अंश को घन के ढाँचे में लिखकर देखते हैं, $(2x)^3 - 3(2x)^2(3) + 3(2x)(3^2) - 3^3$। यह $(2x - 3)^3$ है। बीच की संख्याएँ भी मिला लेते हैं, $3 \times 4 \times 3 = 36$ और $3 \times 2 \times 9 = 54$। हर $(2x - 3)(2x + 3)$ है, तो ऊपर-नीचे से एक $(2x - 3)$ कट जाता है।

$$\frac{(2x - 3)^3}{(2x - 3)(2x + 3)} = \frac{(2x - 3)^2}{2x + 3}$$

तो उत्तर $\frac{(2x - 3)^2}{2x + 3}$ है। पूरा काम करीब 25 सेकंड का है।

यह पहचान हर बार काम नहीं आती।

• चिह्न ढाँचे के हिसाब से ही होने चाहिए। $(x - k)^3$ में चिह्न धन, ऋण, धन, ऋण के क्रम में आते हैं, और $(x + k)^3$ में सब धन होते हैं। एक भी चिह्न या संख्या अलग हो, तो वह घन नहीं है। तब सामान्य ढंग से गुणनखंडन कीजिए।
• $\frac{a^3 + b^3}{a^2 + ab + b^2}$ में कुछ नहीं कटता। हर में बीच वाले पद का चिह्न, अंश में घनों के बीच वाले चिह्न से उलटा होना चाहिए।
• जोड़ वाले व्यंजक में से अलग-अलग पद कभी न काटिए। $\frac{x^2 + 9}{x + 3}$ में कुछ नहीं कटता, क्योंकि $x^2 + 9$ के कोई वास्तविक गुणनखंड होते ही नहीं।

विकल्प जाँचने के लिए सरल मान

जब विकल्प संख्याएँ न होकर व्यंजक हों, तब यह तरीका सबसे ज़्यादा काम आता है। प्रश्न कुछ इस तरह के होते हैं, "व्यंजक सरल करने पर क्या मिलेगा", "इसका एक गुणनखंड कौन-सा है" या "यह किसके बराबर है"। $a + b + c = 0$ जैसी शर्त दी हो, तब भी यह चलता है, बशर्ते चुनी हुई संख्याएँ उस शर्त को पूरा करती हों।

ऐसी छोटी संख्याएँ चुनिए जिनसे हिसाब बहुत आसान हो जाए, जैसे $a = 1$ और $b = 0$, या $x = 1$। इन्हें रखकर पहले प्रश्न वाले व्यंजक का मान निकालिए, फिर हर विकल्प का। जिस विकल्प से अलग संख्या आए, उसे हटा दीजिए। दो विकल्प बच जाएँ, तो दूसरा जोड़ा लीजिए, जैसे $a = 2$ और $b = 1$।

प्रश्न 3

$a^3 - b^3 - (a - b)^3$ किसके बराबर है? (a) $3ab(a - b)$ (b) $3ab(a + b)$ (c) $-3ab(a - b)$ (d) $3a^2b$

उत्तर: पहले $a = 1$, $b = 0$ रखते हैं। प्रश्न वाले व्यंजक से $1 - 0 - 1 = 0$ आता है, पर हर विकल्प से भी 0 ही आता है। इस जोड़े से कुछ पता नहीं चला। अब $a = 2$, $b = 1$ रखते हैं। व्यंजक से $8 - 1 - 1 = 6$ आता है, और चारों विकल्पों से क्रम से 6, 18, $-6$ और 12। केवल (a) बचता है। दो जोड़े आज़माने पर भी यह 30 सेकंड के आसपास हो जाता है।

शर्त दी हो तो

$a + b + c = 0$ हो, तो $a = 1$, $b = 1$, $c = -2$ ले लीजिए। तब $\frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ca} + \frac{c^2}{ab} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 4 = 3$। शर्त पूरी करने वाले कोई भी तीन मान लीजिए, उत्तर यही आएगा।

शर्त $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ हो, तो इससे $a = b = c$ तय हो जाता है। तब तीनों को 1 रख दीजिए।

सरल मान रखते समय ये चार बातें ध्यान रखिए।

• जब उत्तर दिए हुए मानों पर निर्भर हो, तो अपने मन से मान नहीं रख सकते। सरल मान तभी चलते हैं जब बात हर मान के लिए सही हो, यानी सर्वसमिका हो, या जब चुने हुए मान दी हुई शर्त पूरी करते हों।
• चुने हुए मान शर्त न तोड़ें। $x + \frac{1}{x} = 3$ हो, तो $x = 1$ नहीं रख सकते, क्योंकि तब $x + \frac{1}{x} = 2$ हो जाएगा। ऐसे प्रश्नों के लिए आगे वाली तालिका लगाइए।
• चुने हुए मानों से कोई हर शून्य न हो जाए। $\frac{a + b}{a - b}$ में कभी $a = b$ न रखिए।
• 0 और 1 रखने से कई पद गायब हो जाते हैं, और कई विकल्पों का मान एक-सा आ जाता है। ऐसे में उत्तर चुनने से पहले दूसरे जोड़े से जाँच लीजिए।

शर्त $a + b + c = 0$ वाले प्रश्नों में 1, 1 और $-2$ सबसे जल्दी काम आते हैं। यहाँ किसी को 0 न लीजिए, क्योंकि हर में $abc$ हो, तो पूरा हर ही 0 हो जाता है।

$x \pm \frac{1}{x}$ वाली तालिका

प्रश्न में $x + \frac{1}{x}$ या $x - \frac{1}{x}$ का मान दिया हो और कोई ऊँची घात पूछी जाए, तो दो नाम रख लीजिए, $k = x + \frac{1}{x}$ और $m = x - \frac{1}{x}$। तब

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = k^2 - 2 = m^2 + 2$$

$$x^3 + \frac{1}{x^3} = k^3 - 3k \qquad x^3 - \frac{1}{x^3} = m^3 + 3m$$

इन्हीं से आगे की घातें भी निकल आती हैं।

• चौथी घात के लिए दूसरी घात का वर्ग करके 2 घटा दीजिए, $x^4 + \frac{1}{x^4} = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 - 2$। शुरुआत धन वाले परिवार से हुई हो या ऋण वाले परिवार से, यह कदम वही रहता है।
• पाँचवीं घात के लिए $x^5 + \frac{1}{x^5} = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)\left(x^3 + \frac{1}{x^3}\right) - \left(x + \frac{1}{x}\right)$।
• छठी घात के लिए $x^6 + \frac{1}{x^6} = \left(x^3 + \frac{1}{x^3}\right)^2 - 2$।
• एक परिवार से दूसरे में जाना हो, तो $k^2 - m^2 = 4$ याद रखिए। इससे $x - \frac{1}{x} = \pm\sqrt{k^2 - 4}$ मिलता है, और $x^2 - \frac{1}{x^2} = km$।

नीचे वाले मान ज़बानी याद होने चाहिए।

$x + \frac{1}{x}$	$x^2 + \frac{1}{x^2}$	$x^3 + \frac{1}{x^3}$	$x^4 + \frac{1}{x^4}$
3	7	18	47
4	14	52	194
5	23	110	527
6	34	198	1154

प्रश्न 4

यदि $x - \frac{1}{x} = 5$ है, तो $x^3 - \frac{1}{x^3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यह ऋण वाला परिवार है, तो $m^3 + 3m = 125 + 15$ = 140। जल्दबाज़ी में कई छात्र धन वाले परिवार का सूत्र $k^3 - 3k$ लगा देते हैं और 110 लिख देते हैं। यही 110 विकल्पों में भी दिया होता है, पर यह गलत है। पूरा प्रश्न 10 सेकंड में निपट जाता है।

यहाँ ज़्यादातर गलतियाँ दोनों परिवारों के सूत्र आपस में मिला देने से होती हैं।

• ऋण वाले परिवार में $+2$ और $+3m$ आते हैं, जबकि धन वाले परिवार में $-2$ और $-3k$। दोनों को आपस में मिलाइए नहीं।
• $x^2 - \frac{1}{x^2}$ के लिए $k$ और $m$ दोनों चाहिए, और $m$ का चिह्न $x$ पर निर्भर करता है। $x > 1$ के लिए $x - \frac{1}{x}$ धनात्मक होता है, और $0 < x < 1$ के लिए ऋणात्मक।
• $k$ से $m$ पर जाने के लिए $k^2 \ge 4$ ज़रूरी है। $x + \frac{1}{x} = 1$ हो, तो कोई वास्तविक $x$ होता ही नहीं। ऐसे मानों वाले प्रश्न आगे इसी खंड में देखेंगे।

[SSC टिप] ऊँची घात से नीचे की ओर आना भी उतनी ही जल्दी होता है। $x^4 + \frac{1}{x^4} = 47$ हो, तो $x^2 + \frac{1}{x^2} = \sqrt{49} = 7$। और $x > 0$ के लिए $x + \frac{1}{x} = \sqrt{7 + 2} = 3$।

$x$ से भाग देकर $x + \frac{1}{x}$

कई प्रश्नों में $x^2 - kx + 1 = 0$, $x^2 + 1 = kx$, $\frac{x}{x^2 + 1} = c$ या $\frac{x}{x^2 - kx + 1} = c$ जैसा कुछ दिया होता है। कभी $\frac{x^4 + 1}{x^2}$ या $\frac{x^6 + 1}{x^3}$ जैसा व्यंजक पूछा जाता है। देखने में ये अलग लगते हैं, पर सब पिछली तालिका वाले ही प्रश्न हैं।

पहला और आख़िरी पद $x^2$ और 1 हों, तो पूरे समीकरण को $x$ से भाग दे दीजिए।

• $x^2 - 8x + 1 = 0$ से $x - 8 + \frac{1}{x} = 0$ मिलता है, यानी $x + \frac{1}{x} = 8$।
• $\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{6}$ हो, तो दोनों पक्ष उलट दीजिए। $\frac{x^2 + 1}{x} = 6$, तो $x + \frac{1}{x} = 6$।
• $\frac{x^4 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2}$ और $\frac{x^6 + 1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3}$।
• $x^2 - 7x - 1 = 0$ में भाग देने पर $x - \frac{1}{x} = 7$ आता है। यह ऋण वाला परिवार है।

$ax + \frac{b}{x}$ जैसे रूप

यहाँ पहले दोनों पदों को एक-दूसरे का व्युत्क्रम बनाइए।

• $3t + \frac{1}{3t}$ असल में $y + \frac{1}{y}$ ही है, जहाँ $y = 3t$।
• $x + \frac{1}{4x} = 2$ को 2 से गुणा कीजिए। $2x + \frac{1}{2x} = 4$ मिलता है, और फिर $4x^2 + \frac{1}{4x^2} = 16 - 2 = 14$।
• पद व्युत्क्रम न बन सकें, तो वर्ग कीजिए और बीच वाले पद पर नज़र रखिए, $\left(3x + \frac{1}{2x}\right)^2 = 9x^2 + \frac{1}{4x^2} + 3$।

प्रश्न 5

यदि $\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{2}$ है, तो $x^3 + \frac{1}{x^3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों पक्ष उलट देते हैं, $\frac{x^2 - 3x + 1}{x} = 2$। इसका मतलब $x - 3 + \frac{1}{x} = 2$, तो $x + \frac{1}{x} = 5$। अब धन वाले परिवार के घन वाले सूत्र से $x^3 + \frac{1}{x^3} = 125 - 15$ = 110। इसमें लगभग 15 सेकंड लगते हैं।

भाग देने से पहले तीन बातें देख लीजिए।

• सिरे वाले पद मेल खाने चाहिए। $x^2 - 5x + 4 = 0$ में भाग देने पर $x + \frac{4}{x} = 5$ आता है। यह मानक रूप नहीं है, इसलिए इसे सीधे हल कर लीजिए, $x = 1$ या $x = 4$।
• दोनों पक्ष तभी उलटिए जब दोनों ओर केवल एक-एक भिन्न हो। $\frac{x}{x^2 + 1} + 2 = 3$ जैसा कुछ हो, तो पहले उसे ठीक रूप में ले आइए।
• बीच वाले पद का चिह्न बना रहता है। $x^2 + 5x + 1 = 0$ से $x + \frac{1}{x} = -5$ आता है, और फिर $x^3 + \frac{1}{x^3} = -125 + 15 = -110$।

$x + \frac{1}{x}$ के विशेष मान, चक्रीय घातें

कुछ प्रश्नों में $x + \frac{1}{x}$ का मान 2, $-2$, 1, $-1$, 0, $\sqrt{2}$ या $\sqrt{3}$ होता है। या $x^2 + 1 = x$ या $x^2 + x + 1 = 0$ जैसा कोई समीकरण दिया होता है। साथ में $x^{100}$ जैसी बहुत बड़ी घात पूछी जाती है। ऐसे मानों पर घातें कुछ कदम बाद फिर वही मान देने लगती हैं, इसलिए इन्हें चक्रीय घातें (cyclic powers) कहते हैं।

यह तालिका याद कर लीजिए, फिर घात को छोटा कीजिए।

दिया हो	उसका अर्थ
$x + \frac{1}{x} = 2$	$x = 1$
$x + \frac{1}{x} = -2$	$x = -1$
$x + \frac{1}{x} = 1$, यानी $x^2 - x + 1 = 0$	$x^3 = -1$, इसलिए $x^6 = 1$
$x + \frac{1}{x} = -1$, यानी $x^2 + x + 1 = 0$	$x^3 = 1$
$x + \frac{1}{x} = 0$	$x^2 = -1$, इसलिए $x^4 = 1$
$x + \frac{1}{x} = \sqrt{2}$	$x^4 = -1$, इसलिए $x^8 = 1$
$x + \frac{1}{x} = \sqrt{3}$	$x^6 = -1$, इसलिए $x^{12} = 1$

ये मान कहाँ से आते हैं, यह भी देख लीजिए। $x^2 - x + 1 = 0$ को $(x + 1)$ से गुणा करें, तो $x^3 + 1 = 0$ मिलता है। $\sqrt{3}$ वाले में पहले वर्ग कीजिए। $x^2 + \frac{1}{x^2} = 1$ आता है, यानी $x^4 - x^2 + 1 = 0$। इसे $(x^2 + 1)$ से गुणा करें, तो $x^6 + 1 = 0$।

घात छोटी करने के लिए चक्र का सहारा लीजिए। $x^3 = 1$ हो, तो घात को 3 से भाग दीजिए और केवल शेषफल रखिए। जैसे $x^{100} = x^{99} \times x = x$।

प्रश्न 6

यदि $x + \frac{1}{x} = -1$ है, तो $x^{100} + x^{50} + 1$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ $x^3 = 1$ है। तो $x^{100} = x^{99} \times x = x$ और $x^{50} = x^{48} \times x^2 = x^2$। व्यंजक $x^2 + x + 1$ रह जाता है, और यह 0 है, क्योंकि $x + \frac{1}{x} = -1$ का मतलब ही $x^2 + x + 1 = 0$ है। तो उत्तर 0 है। यह सब 20 सेकंड के आसपास हो जाता है।

चिह्नों में सबसे ज़्यादा उलझन होती है।

• यहाँ चिह्न उलट जाता है। $x + \frac{1}{x} = 1$ से $x^3 = -1$ मिलता है, 1 नहीं। और $x + \frac{1}{x} = -1$ से $x^3 = 1$।
• $x^3 = -1$ का मतलब यहाँ $x = -1$ नहीं है। ऐसा होता तो $x + \frac{1}{x} = -2$ होता। ये $x$ वास्तविक संख्याएँ नहीं हैं, फिर भी बीजगणित के सारे नियम इन पर वैसे ही लागू होते हैं। SSC में ऐसे प्रश्न खूब पूछे जाते हैं।
• $x + \frac{1}{x}$ का कोई और मान हो, तो कोई छोटा चक्र नहीं मिलता। तब पीछे वाली तालिका से एक-एक घात निकालिए।

$x^3 = -1$ हो, तो 3 के सम गुणज वाली घात $+1$ देती है, और विषम गुणज वाली $-1$। जैसे $x^{30} = 1$, पर $x^{33} = -1$।

संयुग्मी करणी से सीधे $x + \frac{1}{x}$

जब $x$ ख़ुद एक करणी हो, जैसे $17 + 12\sqrt{2}$ या $\sqrt{8} + \sqrt{7}$, और $x$ और $\frac{1}{x}$ की कोई घात पूछी जाए, तो यह तरीका लगाइए। $x = a + \sqrt{b}$ के लिए पहले $a^2 - b$ निकालिए। यह 1 आए, तो $\frac{1}{x} = a - \sqrt{b}$ होगा, यानी उसकी संयुग्मी करणी (conjugate surd)। इसलिए

$$x + \frac{1}{x} = 2a \qquad x - \frac{1}{x} = 2\sqrt{b}$$

बाकी सब पिछली तालिका से निकल आता है।

कुछ जोड़े देखते ही पहचान में आ जाने चाहिए। $2 \pm \sqrt{3}$, $3 \pm 2\sqrt{2}$, $5 \pm 2\sqrt{6}$, $7 \pm 4\sqrt{3}$, $9 \pm 4\sqrt{5}$ और $8 \pm 3\sqrt{7}$। हर एक में (पहली संख्या)$^2$ − (करणी वाला भाग)$^2$ = 1 होता है। जैसे $7 + 4\sqrt{3}$ के लिए $49 - 48$ है, तो $x + \frac{1}{x} = 14$।

यही बात $x = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ पर भी लागू होती है, जहाँ $a - b = 1$ हो। तब $x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{a}$। जैसे $x = \sqrt{8} + \sqrt{7}$ हो, तो $x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{8} = 4\sqrt{2}$, और $x^2 + \frac{1}{x^2} = 32 - 2 = 30$।

जब $x$ का वर्गमूल लेना हो, तो ये दो सूत्र लगते हैं।

$$\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 = x + \frac{1}{x} + 2 \qquad \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 = x + \frac{1}{x} - 2$$

प्रश्न 7

यदि $x = 17 + 12\sqrt{2}$ है, तो $x^2 + \frac{1}{x^2}$ और $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: करणी वाले भाग का वर्ग $(12\sqrt{2})^2 = 288$ है, और $289 - 288 = 1$। तो $\frac{1}{x} = 17 - 12\sqrt{2}$, और $x + \frac{1}{x} = 34$। अब $x^2 + \frac{1}{x^2} = 1156 - 2$ = 1154। दूसरे मान के लिए $\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 = 34 + 2 = 36$, इसलिए $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ = 6। मिलान भी कर लेते हैं। $\sqrt{x} = 3 + 2\sqrt{2}$ है, और सचमुच $(3 + 2\sqrt{2})^2 = 17 + 12\sqrt{2}$। दोनों भाग करीब 20 सेकंड में हो जाते हैं।

हर करणी पर यह तरीका नहीं चलता।

• $a^2 - b$ का मान 1 होना ज़रूरी है। जैसे $x = 3 + \sqrt{5}$ में $9 - 5 = 4$ है, तो $\frac{1}{x} = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$ होगा, और $x + \frac{1}{x}$ का मान 6 नहीं आएगा। अगर प्रश्न $x$ के साथ $y = 3 - \sqrt{5}$ भी दे, तो $x + y = 6$ और $xy = 4$ लेकर चलिए, जैसे इस खंड के पहले तरीके में किया था।
• वर्गमूल के आगे वाली संख्या का भी वर्ग होता है। $5 + 2\sqrt{6}$ में करणी वाले भाग का वर्ग $(2\sqrt{6})^2 = 24$ है, 6 नहीं।
• $x$ का मान 1 से कम हो, जैसे $9 - 4\sqrt{5}$, तो $x - \frac{1}{x}$ ऋणात्मक होगा। यहाँ यह $-8\sqrt{5}$ है।

$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ और उसके उलटे रूप वाले प्रश्न अध्याय 2 (सरलीकरण, करणी और घातांक) में देखिए।

दिए हुए समीकरण से घातें घटाना

कभी $x$ का मान कोई करणी होता है, जैसे $\sqrt{7} + 3$, या $a^3 + 6a^2 + 12a + 3 = 0$ जैसा कोई समीकरण दिया होता है। फिर $x$ या $a$ में कोई लंबा व्यंजक पूछा जाता है। यहाँ करणी को सीधे व्यंजक में न रखिए। पहले वह समीकरण बनाइए जिसे $x$ संतुष्ट करता है, फिर उसी की मदद से ऊँची घातें हटा दीजिए।

• करणी वाले भाग को अकेला करके वर्ग कीजिए। $x = \sqrt{7} + 3$ से $x - 3 = \sqrt{7}$, फिर $x^2 - 6x + 9 = 7$, यानी $x^2 - 6x + 2 = 0$।
• घन पहचानिए। $a^3 + 6a^2 + 12a + 8 = (a + 2)^3$ है, इसलिए $a^3 + 6a^2 + 12a + 3 = 0$ का मतलब है $(a + 2)^3 = 5$।
• करणी का वर्ग चाहिए, तो सीधे वर्ग कर लीजिए। $x = \sqrt{6} + 2$ से $x^2 = 10 + 4\sqrt{6}$, और तुरंत $x^2 - 4\sqrt{6} = 10$।

प्रश्न 8

यदि $x = \sqrt{7} + 3$ है, तो $x^3 - 6x^2 + 2x + 9$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ऊपर देख चुके हैं कि यहाँ $x^2 - 6x + 2 = 0$ है। व्यंजक के पहले तीन पद $x(x^2 - 6x + 2) = x \times 0 = 0$ हैं, तो बस आख़िरी पद बचता है और मान 9 है। करणी रखे बिना यह करीब 20 सेकंड में हो जाता है।

हर बार इतनी आसानी नहीं होती। कभी व्यंजक में यह द्विघात साफ़-साफ़ नहीं दिखता। तब व्यंजक को उसी द्विघात से भाग दीजिए और केवल शेषफल रखिए। उसी $x$ के लिए

$$x^3 - 5x^2 + 3 = (x^2 - 6x + 2)(x + 1) + 4x + 1$$

तो मान $4x + 1 = 13 + 4\sqrt{7}$ है। शेषफल में भी $x$ बचा रह सकता है, तब अंत में करणी रखकर हिसाब पूरा कीजिए।

$a + b + c$ वाले प्रश्न एक पंक्ति में

तीन अक्षरों वाले प्रश्नों में अक्सर $a + b + c$, $a^2 + b^2 + c^2$, $ab + bc + ca$, $abc$ और $a^3 + b^3 + c^3$ में से कुछ मान दिए होते हैं। यहाँ $S = a + b + c$, $Q = a^2 + b^2 + c^2$ और $P = ab + bc + ca$ नाम रख लीजिए। फिर सारा काम इन दो सर्वसमिकाओं से हो जाता है।

$$S^2 = Q + 2P$$

$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = S(Q - P)$$

$S$, $Q$ और $P$ में से कोई दो पता हों, तो पहले तीसरा निकालिए, फिर घन वाला व्यंजक। साथ में यह भी याद रखिए, $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{P}{abc}$।

प्रश्न 9

यदि $a + b + c = 12$ और $a^2 + b^2 + c^2 = 56$ है, तो $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले $P = \frac{144 - 56}{2} = 44$ निकाल लेते हैं। अब $S(Q - P) = 12 \times (56 - 44) = 12 \times 12$ = 144। जाँच के लिए संख्याएँ 2, 4 और 6 लीजिए। इनसे प्रश्न में दिए दोनों मान ठीक-ठीक आ जाते हैं। $8 + 64 + 216 - 3 \times 48 = 144$, यानी उत्तर वही आता है। सीधे सूत्र से इसमें करीब 15 सेकंड लगते हैं।

कोष्ठक लिखते समय सावधानी रखिए।

• कोष्ठक $Q - P$ है, $Q - 2P$ नहीं। $S^2 = Q + 2P$ सामने हो, तो यह गड़बड़ बहुत आसानी से हो जाती है।
• $a + b + c = 0$ हो, तो यही सर्वसमिका सीधे $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ दे देती है। इसे अगले तरीके में देखेंगे।
• केवल $a^3 + b^3 + c^3$ चाहिए, तो $abc$ भी पता होना चाहिए। तब $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc + S(Q - P)$।

$a + b + c = 0$ को पहचानना, कोष्ठकों में छिपा हो तब भी

कभी तीन घन और एक गुणनफल एक साथ दिखते हैं, जैसे $(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3$ में। कभी कोष्ठकों के अंदर संख्याएँ घटाई गई होती हैं, जैसे $(p - 3)^3 + (q - 7)^3 + (r - 5)^3$ में। ऐसे में विस्तार करने से पहले तीनों आधार जोड़कर देखिए। योग 0 हो, तो घनों का योग उनके गुणनफल का 3 गुना होता है।

• $(x - y) + (y - z) + (z - x) = 0$ है, इसलिए $(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)$।
• $p + q + r = 15$ हो, तो $(p - 3) + (q - 7) + (r - 5) = 15 - 15 = 0$। इसलिए $(p - 3)^3 + (q - 7)^3 + (r - 5)^3 = 3(p - 3)(q - 7)(r - 5)$।
• दो कोष्ठक और एक संख्या हो, तब भी यही चलता है। $a + b = k$ हो, तो $a + b + (-k) = 0$। इससे $a^3 + b^3 - k^3 = -3abk$, यानी $a^3 + b^3 + 3kab = k^3$।

प्रश्न 10

यदि $p + q = 19$ है, तो $(p - 7)^3 + (q - 5)^3 + 21(p - 7)(q - 5)$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $a = p - 7$ और $b = q - 5$ मान लेते हैं। तब $a + b = 19 - 12 = 7$, और $21 = 3 \times 7$ है। तो व्यंजक $a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3 = 7^3$ हो जाता है, जो 343 है। नया नाम रखते ही हिसाब छोटा हो जाता है, और करीब 20 सेकंड में उत्तर आ जाता है।

यहाँ तीन बातों पर नज़र रखिए।

• आधारों का योग ठीक 0 होना चाहिए, या ठीक वह संख्या जो गुणनफल वाले पद में है। योग पहले जाँचिए, विस्तार करने के बाद नहीं।
• गुणनफल में चिह्न बने रहने चाहिए। $a = 5$, $b = -2$, $c = -3$ लीजिए, जिनका योग 0 है। तब $3abc = 3 \times 5 \times (-2) \times (-3) = 90$, और सचमुच $125 - 8 - 27 = 90$।
• भिन्न वाले प्रश्नों में, जैसे $\frac{(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3}{(x - y)(y - z)(z - x)} = 3$ में, हर 0 नहीं होना चाहिए। इसलिए $x$, $y$ और $z$ अलग-अलग माने जाते हैं।

वर्गों वाले कोष्ठकों पर भी यही बात लागू होती है, क्योंकि $(x^2 - y^2) + (y^2 - z^2) + (z^2 - x^2) = 0$।

वर्गों का योग शून्य

कभी एक ही समीकरण में दो या तीन अक्षरों के वर्ग होते हैं और साथ में एक संख्या, जैसे $x^2 + y^2 + z^2 + 8x - 4y - 6z + 29 = 0$, और $x + y + z$ जैसा कोई मान पूछा जाता है। ऐसे में हर अक्षर का अलग से पूर्ण वर्ग बनाना (completing the square) होता है। इसके लिए अक्षर के गुणांक का आधा लीजिए और उसका वर्ग कर दीजिए। उस अक्षर का पूर्ण वर्ग बनाने के लिए इतनी ही संख्या चाहिए।

अब ये संख्याएँ जोड़कर देखिए। योग अचर के बराबर हो, तो पूरा समीकरण वर्गों के योग में बदल जाता है, और वह योग 0 के बराबर है। वास्तविक संख्याओं में ऐसा तभी हो सकता है, जब हर वर्ग 0 हो।

प्रश्न 11

यदि $x^2 + y^2 + z^2 + 8x - 4y - 6z + 29 = 0$ है, तो $x + y + z$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $x$ को चाहिए $4^2 = 16$, $y$ को $2^2 = 4$ और $z$ को $3^2 = 9$। इनका योग 29 है, जो अचर के बराबर है। तो समीकरण $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 0$ हो जाता है। हर कोष्ठक 0 होगा, इसलिए $x = -4$, $y = 2$, $z = 3$, और $x + y + z$ = 1। पूरे हल में करीब 20 सेकंड लगते हैं।

वर्गों का योग $ab + bc + ca$ के बराबर

$a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ भी असल में वर्गों के योग वाला ही प्रश्न है, बस रूप बदला हुआ है। सब कुछ एक ओर ले जाइए और दोगुना कीजिए। $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0$ आता है, मतलब $a = b = c$। अब कोई भी व्यंजक तुरंत निकल आता है, जैसे $\frac{a + b}{c} = 2$।

हर ऐसे समीकरण में यह नहीं चलता।

• संख्याओं का योग अचर के बराबर होना चाहिए। $+29$ की जगह $+20$ हो, तो समीकरण $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 9$ होगा। इसके अनगिनत हल हैं, कोई एक उत्तर नहीं।
• वर्ग के आगे कोई संख्या हो, तो अक्षर वाले भाग को पहले $(2x)^2$ जैसे रूप में लिखिए। जैसे $4x^2 - 12x$ = $(2x - 3)^2 - 9$।
• संख्याएँ वास्तविक होनी चाहिए। ऐसे प्रश्नों में SSC हमेशा वास्तविक संख्याओं की ही बात करता है।

$8a^3 + b^3 + 27c^3 = 18abc$ जैसे समीकरण

समीकरण की एक ओर तीन घन हों और दूसरी ओर $abc$ का कोई गुणज, जैसे $8a^3 + b^3 + 27c^3 = 18abc$, तो हर पद को घन के रूप में लिखिए। यहाँ यह $(2a)^3 + b^3 + (3c)^3$ है। फिर देखिए कि दाईं ओर ठीक तीनों आधारों के गुणनफल का 3 गुना है या नहीं। $3 \times 2a \times b \times 3c = 18abc$, यानी शर्त पूरी होती है।

तब समीकरण $p^3 + q^3 + r^3 = 3pqr$ वाले रूप का है, और

$$p^3 + q^3 + r^3 - 3pqr = \frac{1}{2}(p + q + r)\left[(p - q)^2 + (q - r)^2 + (r - p)^2\right] = 0$$

तो या तो $p + q + r = 0$ होगा, या $p = q = r$। धनात्मक संख्याओं के लिए केवल $p = q = r$ ही हो सकता है। यहाँ इसका मतलब है $2a = b = 3c$।

प्रश्न 12

यदि $x$, $y$ और $z$ धनात्मक हैं और $64x^3 + y^3 + 27z^3 = 36xyz$ है, तो $x : y : z$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आधार $4x$, $y$ और $3z$ हैं, और $3 \times 4 \times 1 \times 3 = 36$, तो शॉर्टकट लगेगा। मान धनात्मक हैं, इसलिए $4x = y = 3z$। इस साझा मान को 12 मान लेते हैं, जो 4 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.) है। तब $x = 3$, $y = 12$, $z = 4$, और $x : y : z$ = 3 : 12 : 4। इसमें भी लगभग 20 सेकंड ही लगते हैं।

इससे मिलते-जुलते दो रूप

• $a + b = 2c$ हो, तो $(a - c) + (b - c) = 0$, इसलिए $(a - c)^3 + (b - c)^3 = 0$।
• $a + b = c$ हो, तो $a + b + (-c) = 0$, इसलिए $a^3 + b^3 - c^3 = -3abc$।

शॉर्टकट लगाने से पहले जाँच लीजिए।

• $xyz$ से पहले वाली संख्या ठीक घनमूलों के गुणनफल का 3 गुना होनी चाहिए। $64x^3 + y^3 + 27z^3 = 24xyz$ में ऐसा नहीं है, तो शॉर्टकट से कुछ नहीं मिलेगा।
• प्रश्न में "धनात्मक" शब्द न हो, तो $4x + y + 3z = 0$ भी हो सकता है। हाँ, प्रश्न कहे कि $4x + y + 3z \neq 0$, तो इशारा $4x = y = 3z$ की ओर है।
• घनमूलों को ही अनुपात न लिख दीजिए। $4x = y = 3z$ से 3 : 12 : 4 आता है, 4 : 1 : 3 नहीं।

शेषफल प्रमेय, बस एक मान रखकर

कई प्रश्नों में बहुपद को $x - a$, $x + a$ या $ax - b$ से भाग देने पर शेषफल पूछा जाता है। कभी $k$ का वह मान पूछा जाता है जिसके लिए कोई दिया हुआ व्यंजक बहुपद का गुणनखंड हो, या वह संख्या जिसे बहुपद में से घटाने पर कोई व्यंजक उसका गुणनखंड बन जाए। यहाँ लंबा भाग करने बैठिए ही नहीं। शेषफल प्रमेय (remainder theorem) कहता है कि $f(x) \div (x - a)$ का शेषफल $f(a)$ होता है।

• भाजक $x + 2$ हो, तो $x = -2$ रखिए।
• भाजक $2x - 1$ हो, तो $x = \frac{1}{2}$ रखिए। जैसे $2x^3 - 5x^2 + 4x - 7$ के लिए $\frac{1}{4} - \frac{5}{4} + 2 - 7 = -6$।
• गुणनखंड वाले प्रश्न में मान को 0 के बराबर रखकर $k$ निकालिए।
• जिस संख्या को घटाने पर $x - a$ गुणनखंड हो जाए, वह संख्या ख़ुद शेषफल $f(a)$ है।

प्रश्न 13

यदि $x + 2$, $x^3 + kx^2 - 4x + 12$ का एक गुणनखंड है, तो $k$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $x = -2$ रखते हैं। $-8 + 4k + 8 + 12 = 0$, यानी $4k = -12$, तो $k$ = $-3$। जाँच के लिए गुणनखंड कर लेते हैं, $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = (x - 3)(x - 2)(x + 2)$। यह 15 सेकंड के आसपास का काम है।

[Tier 2] द्विघात से भाग

भाजक $(x - a)(x - b)$ हो, तो शेषफल $px + q$ जैसा एक रैखिक व्यंजक होता है, जहाँ $f(a) = pa + q$ और $f(b) = pb + q$। इन दो मानों से $p$ और $q$ के लिए दो समीकरण मिल जाते हैं।

शेषफल प्रमेय में ये गलतियाँ आम हैं।

• चिह्न की गलती। $x + 2$ का मतलब $x = -2$ है, और $x = 2$ रख देना बहुत आम चूक है।
• $ax - b$ के लिए $x = \frac{b}{a}$ रखिए, $x = b$ नहीं।
• शेषफल प्रमेय शेषफल देता है, भागफल नहीं। भागफल पूछा हो, तो पूरा भाग कीजिए या ठीक से गुणनखंड कीजिए।

समीकरण हल किए बिना मूलों वाले प्रश्न

मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$, $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं, और $\alpha^2 + \beta^2$, $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$, $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$ या कोई नया समीकरण पूछा गया है। यहाँ समीकरण हल करने की ज़रूरत नहीं है। $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ लिख लीजिए। यही इस खंड के पहले तरीके वाले $s$ और $p$ हैं, तो वहाँ वाली तालिका यहाँ भी काम करती है।

• समीकरण के मूल बराबर हों, तो $b^2 = 4ac$। जैसे $kx^2 - 12x + 9 = 0$ के लिए $144 = 36k$, यानी $k = 4$।
• एक मूल दिया हो, तो उसे समीकरण में रखकर $k$ निकालिए, या मूलों के गुणनफल से दूसरा मूल।
• ऐसा समीकरण चाहिए जिसके मूल $\frac{1}{\alpha}$ और $\frac{1}{\beta}$ हों, तो सिरे वाले गुणांक आपस में बदल दीजिए, $cx^2 + bx + a = 0$।
• मूलों का कोई भी नया जोड़ा हो, तो समीकरण $x^2 - (\text{योग})x + \text{गुणनफल} = 0$ होता है।

प्रश्न 14

यदि $\alpha$ और $\beta$, समीकरण $3x^2 - 8x + 2 = 0$ के मूल हैं, तो $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ $s = \frac{8}{3}$ और $p = \frac{2}{3}$ हैं। पहले $\alpha^2 + \beta^2 = \frac{64}{9} - \frac{4}{3} = \frac{52}{9}$ निकालते हैं। इसे $p$ से भाग देना है, तो $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{52}{9} \times \frac{3}{2}$ = $\frac{26}{3}$। यह करीब 20 सेकंड का प्रश्न है।

मूलों के योग में चिह्न की गलती सबसे आम है।

• मूलों का योग $-\frac{b}{a}$ होता है। $3x^2 + 8x + 2 = 0$ में योग $+\frac{8}{3}$ ले लेना बहुत आम चूक है।
• पहले सारे पद एक ओर ले आइए। $x^2 = 4x - 1$ को $x^2 - 4x + 1 = 0$ लिखिए, तब मूलों का योग 4 है।

[Tier 2] त्रिघात समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के लिए $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$, $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$ और $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$ होता है।