वर्ग और घन सर्वसमिकाएँ

वर्ग सर्वसमिकाएँ

सर्वसमिका (identity) ऐसी समता है जो अक्षरों के हर मान पर सही रहती है। समीकरण से इसका फ़र्क समझ लीजिए। समीकरण $2x + 1 = 7$ केवल $x = 3$ पर सही है, किसी और मान पर नहीं। पर $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ में आप कोई भी $a$ और $b$ ले लीजिए, यह हर बार सही निकलेगी। इसीलिए किसी भी सर्वसमिका को संख्याएँ रखकर कभी भी जाँचा जा सकता है।

सर्वसमिका आती कहाँ से है: $(a + b)^2$ का मतलब है $(a + b)(a + b)$। अब पहले कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा कीजिए। $a \times a + a \times b + b \times a + b \times b = a^2 + 2ab + b^2$ मिल जाता है। नीचे की बाकी सर्वसमिकाएँ भी इसी तरह गुणा करके निकलती हैं।

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

$$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$

$$(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2) \qquad (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$$

$$(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$$

पदों के आगे संख्याएँ हों: $(3x - 4y)^2$ में पहला पद $3x$ है और दूसरा पद $4y$। हर पद का पूरा वर्ग लीजिए, और बीच में दोनों के गुणनफल का दोगुना लिखिए।

$$(3x - 4y)^2 = 9x^2 - 2 \times 3x \times 4y + 16y^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2$$

दोनों वर्गों का योग और अंतर: $(a + b)^2$ और $(a - b)^2$ को जोड़ें, तो $2ab$ वाले पद कट जाते हैं। एक में से दूसरा घटाएँ, तो वर्ग वाले पद कट जाते हैं। जैसे $(2x + 5y)^2 + (2x - 5y)^2 = 2(4x^2 + 25y^2) = 8x^2 + 50y^2$, और $(2x + 5y)^2 - (2x - 5y)^2 = 4 \times 2x \times 5y = 40xy$।

यही बात दो और तरह से भी लिखी जाती है। इनसे योग के वर्ग से अंतर का वर्ग, और अंतर के वर्ग से योग का वर्ग सीधे निकल आता है। $(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$ और $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$।

$(x + a)(x + b)$ में चिह्न: दोनों संख्याओं का योग मध्य पद का गुणांक (coefficient) होता है, और दोनों का गुणनफल अंतिम पद। जैसे $(x + 6)(x - 2) = x^2 + 4x - 12$, क्योंकि $6 - 2 = 4$ और $6 \times (-2) = -12$। इसी तरह $(x - 5)(x - 3) = x^2 - 8x + 15$।

गायब पद ढूँढना: मान लीजिए $16x^2 + kx + 25$ एक पूर्ण वर्ग (perfect square) है। ऐसा तभी हो सकता है, जब मध्य पद $2 \times 4x \times 5 = 40x$ हो। तो $k = 40$ है। वर्ग $(4x - 5)^2$ भी हो सकता है, इसलिए $-40$ भी चलेगा।

कभी यह पूछा जाता है कि पूर्ण वर्ग बनाने के लिए क्या जोड़ें। जैसे $x^2 + 10x$ को पूर्ण वर्ग बनाना है। 10 का आधा 5 है। इसका वर्ग जोड़ दीजिए, तो $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$ हो जाता है।

इन सर्वसमिकाओं से संख्याओं वाले हिसाब भी जल्दी हो जाते हैं। जैसे $67^2 - 33^2$ निकालना हो, या बड़ी संख्याओं वाले $(a + b)^2 - (a - b)^2$ को $ab$ से भाग देना हो। ऐसे हिसाब अध्याय 2 (सरलीकरण, करणी और घातांक) में देखिए।

एक गलती से हमेशा बचिए। $(a + b)^2$ को कभी $a^2 + b^2$ न लिखिए। $a = 1$ और $b = 1$ रखकर देख लीजिए। बायाँ पक्ष 4 आता है और दायाँ पक्ष 2। चार विकल्पों में अक्सर एक ऐसा होता है, जिसमें $2ab$ वाला पद है ही नहीं। या फिर उसमें $x$ का वर्ग तो किया गया है, पर $3x$ वाले 3 का नहीं।

योग, गुणनफल और अंतर: दो से तीसरा

दो अक्षरों वाले ज़्यादातर प्रश्न एक ही तरह के होते हैं। $a + b$, $a - b$, $ab$ और $a^2 + b^2$ में से कोई दो दिए होते हैं, और पूछा कुछ और जाता है। ऐसे प्रश्नों में $a$ और $b$ अलग-अलग निकालने की ज़रूरत कभी नहीं पड़ती। बस वर्ग सर्वसमिकाओं को थोड़ा उलट-पलटकर लिख लीजिए।

$$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (a - b)^2 + 2ab$$

$$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab \qquad (a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$$

$$ab = \frac{(a + b)^2 - (a^2 + b^2)}{2} = \frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{4}$$

एक जोड़ी से कई उत्तर: मान लीजिए $a + b = 13$ और $ab = 36$ दिया है। इन्हीं दो से ये सारे मान निकल आते हैं।

पूछा	हल	मान
$a^2 + b^2$	$169 - 2 \times 36$	97
$(a - b)^2$	$169 - 4 \times 36$	25
$a - b$ ($a > b$ हो तो)	$\sqrt{25}$	5
$a^2 - b^2$	$(a + b)(a - b) = 13 \times 5$	65
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$	$\frac{a^2 + b^2}{ab}$	$\frac{97}{36}$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$	$\frac{a + b}{ab}$	$\frac{13}{36}$

पहली पंक्ति जाँच लेते हैं। यहाँ संख्याएँ 9 और 4 हैं, और $81 + 16 = 97$ ही आता है। पर परीक्षा में संख्याएँ ढूँढने में समय न लगाइए, सीधे सर्वसमिका लगाइए।

$a^2 + b^2$ और $ab$ दिए हों: मान लीजिए $a^2 + b^2 = 113$ और $ab = 56$ है, और दोनों संख्याएँ धनात्मक हैं। तो $(a + b)^2 = 113 + 112 = 225$, यानी $a + b = 15$। साथ में $(a - b)^2 = 113 - 112 = 1$ भी मिल जाता है। अगर $a > b$ हो, तो $a - b = 1$।

$a + b$ और $a^2 + b^2$ दिए हों: जैसे $a + b = 12$ और $a^2 + b^2 = 90$ है। तो $2ab = 144 - 90 = 54$, और $ab = 27$। यहाँ संख्याएँ 9 और 3 हैं।

ऐसी संख्याएँ हैं भी या नहीं: वास्तविक संख्याओं में $(a - b)^2$ कभी ऋणात्मक नहीं होता। इसलिए $(a + b)^2$ कम से कम $4ab$ के बराबर होना ही चाहिए। मान लीजिए प्रश्न में $a + b = 4$ और $ab = 5$ दिया है। वर्गों का योग निकालें, तो हिसाब फिर भी चल जाता है, $a^2 + b^2 = 16 - 10 = 6$। पर $(a - b)^2 = 16 - 20 = -4$ आता है। मतलब ऐसे वास्तविक $a$ और $b$ हैं ही नहीं। ऐसे मानों के साथ $a - b$ पूछा गया हो, तो प्रश्न दोबारा पढ़िए। हो सकता है कोई संख्या गलत पढ़ ली हो।

[SSC टिप] वर्गों का योग निकालना हो, तो $2ab$ चाहिए, और अंतर का वर्ग निकालना हो, तो $4ab$। इन प्रश्नों के ज़्यादातर गलत विकल्प इन्हीं दोनों को आपस में बदल देने से आते हैं। एक बात और याद रखिए। $a - b$ वर्गमूल से निकलता है, इसलिए उसके आगे $\pm$ लगता है। धनात्मक मान तभी लीजिए, जब प्रश्न में $a > b$ दिया हो।

चौथी घातें: $a^4 + b^4$, $a^4 - b^4$ और $a^4 + a^2b^2 + b^4$

$a^4 + b^4$: यहाँ $a^2$ और $b^2$ को ही दो पद मान लीजिए। तब $(a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$ होता है। इसमें से बीच वाला पद हटा दें, तो

$$a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2$$

हिसाब दो कदम में होता है। पहले $a^2 + b^2$ निकालिए। फिर उसका वर्ग कीजिए और उसमें से $2(ab)^2$ घटा दीजिए। जैसे $a - b = 3$ और $ab = 2$ है। तो $a^2 + b^2 = 9 + 4 = 13$, और $a^4 + b^4 = 169 - 2 \times 4 = 161$। ध्यान रखिए, यहाँ $2a^2b^2 = 8$ घटाना है, $2ab = 4$ नहीं।

चाहें तो पूरा हिसाब एक पंक्ति में भी लिख सकते हैं। $s = a + b$ और $p = ab$ हो, तो $a^4 + b^4 = (s^2 - 2p)^2 - 2p^2$।

$a^4 - b^4$: इसमें वर्गों का अंतर दो बार लगता है।

$$a^4 - b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2) = (a^2 + b^2)(a + b)(a - b)$$

जैसे $x^4 - 81 = (x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)$। यहाँ कोष्ठक $x^2 + 9$ वर्गों का योग है। वास्तविक संख्याओं में यह आगे नहीं टूटता।

$a^4 + a^2b^2 + b^4$: इसमें $a^2b^2$ एक बार जोड़िए और एक बार घटाइए। ऐसा करते ही एक पूरा वर्ग सामने आ जाता है।

$$a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - a^2b^2 = (a^2 + b^2)^2 - (ab)^2$$

यह वर्गों का अंतर है, इसलिए

$$a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$$

इसमें $b = 1$ रखें, तो $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$ मिलता है। यह रूप भी अलग से प्रश्नों में आता है।

आम प्रश्न: इस पर अक्सर ऐसा प्रश्न आता है, "यदि $a^4 + a^2b^2 + b^4 = 21$ और $a^2 + ab + b^2 = 7$ है, तो $a^2 - ab + b^2$, $a^2 + b^2$ और $ab$ ज्ञात कीजिए।"

1. भाग देकर दूसरा कोष्ठक निकाल लीजिए, $a^2 - ab + b^2 = 21 \div 7 = 3$।
2. दोनों कोष्ठकों को जोड़िए। $2(a^2 + b^2) = 7 + 3 = 10$, तो $a^2 + b^2 = 5$।
3. एक कोष्ठक में से दूसरा घटाइए। $2ab = 7 - 3 = 4$, तो $ab = 2$।

इसके आगे $(a + b)^2 = 5 + 4 = 9$ आता है, और इसी तरह बाकी मान भी निकल आते हैं। जाँच के लिए संख्याएँ 2 और 1 लीजिए। $16 + 4 + 1 = 21$ ही आता है।

घन सर्वसमिकाएँ

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ को एक बार और $(a + b)$ से गुणा कीजिए और सजातीय पदों को इकट्ठा कर लीजिए। घन वाली सर्वसमिका मिल जाएगी।

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$$

$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$$

दो घनों के योग और दो घनों के अंतर के भी दो-दो रूप हैं, और दोनों ही काम के हैं।

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$$

$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$$

दो रूप, दो काम: कोष्ठक वाले रूप तब काम आते हैं, जब व्यंजक को गुणनखंडों में तोड़ना हो या भिन्न में कुछ काटना हो। $3ab$ वाले रूप तब काम आते हैं, जब योग, अंतर और गुणनफल से कोई मान निकालना हो। अगले हिस्से "योग, अंतर और गुणनफल से घन" में यही रूप लगेंगे।

कोष्ठक वाले रूप में चिह्न: दोनों को एक साथ ऐसे लिख सकते हैं, $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$। पहले कोष्ठक में वही चिह्न आता है जो दोनों घनों के बीच है, यानी समान। दूसरे कोष्ठक के मध्य पद का चिह्न विपरीत होता है। और अंतिम पद सदा धनात्मक रहता है। कुछ छात्र इसे SOAP (Same, Opposite, Always Positive) से याद रखते हैं, यानी समान, विपरीत, सदा धनात्मक।

गुणांक 1, 3, 3, 1: $(3x - 2y)^3$ को खोलें, तो चार पद आते हैं, $(3x)^3$, $3(3x)^2(2y)$, $3(3x)(2y)^2$ और $(2y)^3$। इनके चिह्न क्रम से धन, ऋण, धन, ऋण होते हैं।

$$(3x - 2y)^3 = 27x^3 - 54x^2y + 36xy^2 - 8y^3$$

पूर्ण घन पहचानना: $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ को देखिए। पहला पद $x^3$ है और अंतिम पद $8 = 2^3$। अब बीच के दोनों पद जाँचिए। $3 \times x^2 \times 2 = 6x^2$ और $3 \times x \times 4 = 12x$, दोनों मेल खाते हैं। तो यह पूर्ण घन (perfect cube) $(x + 2)^3$ है। अब $x = 3$ पर इसका मान बिना किसी लंबे हिसाब के $5^3 = 125$ निकल आता है।

इसी तरह $8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 = (2x - 1)^3$ है। यहाँ चिह्न बारी-बारी से बदल रहे हैं, इसलिए यह अंतर का घन है।

योग कोई संख्या हो, तो $3ab$ वाला पद: मान लीजिए $x + y = 2$ है। दोनों पक्षों का घन लें, तो $(x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy \times 2$ आता है। मतलब जिन भी दो संख्याओं का योग 2 हो, उन सबके लिए $x^3 + y^3 + 6xy = 8$ होगा। योग कोई और संख्या हो, तब भी बात यही रहती है।

$$a + b = k \Rightarrow a^3 + b^3 + 3kab = k^3 \qquad a - b = k \Rightarrow a^3 - b^3 - 3kab = k^3$$

[SSC टिप] $(a + b)^3$ का बीच वाला भाग पूरा $3ab(a + b)$ है, जिसमें दो चीज़ें आपस में गुणा हो रही हैं। केवल $3ab$ लिखना तभी सही है, जब $a + b = 1$ हो। किसी भी विस्तार (expansion) को झटपट जाँचना हो, तो $a = b = 1$ रख दीजिए। $(1 + 1)^3 = 8$ आता है, और $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ भी।

योग, अंतर और गुणनफल से घन

दो अक्षरों वाले घन के ज़्यादातर प्रश्न बस इन दो पंक्तियों से हल हो जाते हैं।

$$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) \qquad a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$$

सीधे सूत्र वाले प्रश्न:

• $a + b = 8$ और $ab = 7$ हो, तो $a^3 + b^3 = 512 - 3 \times 7 \times 8 = 512 - 168 = 344$। जाँच के लिए संख्याएँ 7 और 1 लीजिए, $343 + 1 = 344$।
• $a - b = 4$ और $ab = 5$ हो, तो $a^3 - b^3 = 64 + 3 \times 5 \times 4 = 64 + 60 = 124$। यहाँ संख्याएँ 5 और 1 हैं, और $125 - 1 = 124$।

यहाँ चिह्न पर ध्यान रखिए। घनों के योग में $3ab(a + b)$ घटता है, जबकि घनों के अंतर में $3ab(a - b)$ जुड़ता है।

$ab$ की जगह $a^2 + b^2$ दिया हो: तब पहले $ab$ निकाल लीजिए। या फिर सीधे कोष्ठक वाला रूप लगाइए। इससे अक्सर काम और जल्दी हो जाता है। जैसे $a + b = 9$ और $a^2 + b^2 = 45$ है।

• पहला रास्ता: $2ab = 81 - 45 = 36$, तो $ab = 18$। अब $a^3 + b^3 = 729 - 3 \times 18 \times 9 = 243$।
• दूसरा रास्ता: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + b^2 - ab) = 9 \times (45 - 18) = 243$।

घनों से गुणनफल: मान लीजिए $a + b = 5$ और $a^3 + b^3 = 65$ है। तो $125 - 3ab \times 5 = 65$, यानी $15ab = 60$, और $ab = 4$।

घनों से योग: कभी प्रश्न उलटा आता है, "यदि $a^3 + b^3 = 28$ और $ab = 3$ है, तो $a + b$ ज्ञात कीजिए।" योग को $s$ मान लीजिए। $a^3 + b^3 = s^3 - 3abs$ में मान रखने पर यह आता है।

$$s^3 - 9s = 28$$

इसे त्रिघात समीकरण की तरह हल करने की कोशिश न कीजिए। छोटी पूर्ण संख्याएँ, या विकल्पों के मान, रखकर देखिए। $s = 4$ रखने पर $64 - 36 = 28$ आता है, तो $a + b = 4$। फिर $(a - b)^2 = 16 - 12 = 4$, यानी $a - b = \pm 2$। संख्याएँ 3 और 1 हैं।

अंतर के लिए भी यही तरकीब चलती है। $a^3 - b^3$ और $ab$ दिए हों, तो $d = a - b$ मान लीजिए। $d^3 + 3abd = a^3 - b^3$ मिलेगा, और इसे भी मान रख-रखकर हल कर लीजिए।

वास्तविक संख्याओं वाली जाँच: योग मिल जाए, तो एक जाँच ज़रूर कीजिए। $s^2 \ge 4ab$ होना चाहिए, नहीं तो $a$ और $b$ दोनों वास्तविक नहीं हो सकते। यहाँ $16 \ge 12$ है, तो सब ठीक है।

गुणांक वाले रूप और आयत के प्रश्न

SSC अक्सर अक्षरों के आगे संख्याएँ लगाकर सर्वसमिका को छिपा देता है। ऐसा एक प्रश्न देखिए, "यदि $2x + 5y = 12$ और $xy = 2$ है, तो $8x^3 + 125y^3$ ज्ञात कीजिए।"

यहाँ $2x$ को एक पद मानिए और $5y$ को दूसरा। इन्हें नाम दे दीजिए, $A = 2x$ और $B = 5y$। तब ये बातें मिलती हैं।

• $A + B = 12$
• $AB = 2x \times 5y = 10xy = 20$
• $8x^3 + 125y^3 = A^3 + B^3$ और $4x^2 + 25y^2 = A^2 + B^2$

अब यह दो अक्षरों वाला सादा प्रश्न रह गया।

$$A^2 + B^2 = 144 - 2 \times 20 = 104 \qquad A^3 + B^3 = 12^3 - 3 \times 20 \times 12 = 1728 - 720 = 1008$$

जाँच के लिए $x = 5$ और $y = \frac{2}{5}$ लीजिए। दोनों शर्तें पूरी होती हैं, और $1000 + 8 = 1008$ आता है।

चाहें तो सर्वसमिका सीधे ऐसे भी लिख सकते हैं, $(2x + 5y)^3 = 8x^3 + 125y^3 + 30xy(2x + 5y)$, क्योंकि $3AB = 3 \times 2x \times 5y = 30xy$।

अंतर वाला रूप: यह प्रश्न देखिए, "यदि $2x - y = 5$ और $8x^3 - y^3 = 335$ है, जहाँ $x$ और $y$ धनात्मक हैं, तो $4x^2 - y^2$ ज्ञात कीजिए।" यहाँ $A = 2x$ और $B = y$ लीजिए।

1. $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$ है, तो $A^2 + AB + B^2 = 335 \div 5 = 67$।
2. $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 = 25$ है। इसे पहले कदम वाले व्यंजक में से घटाइए। $3AB = 42$ आता है, तो $AB = 14$।
3. $(A + B)^2 = (A - B)^2 + 4AB = 25 + 56 = 81$, तो $A + B = 9$। यहाँ धनात्मक मान लिया है।
4. $4x^2 - y^2 = (A - B)(A + B) = 5 \times 9 = 45$।

प्रश्न में "धनात्मक" शब्द ज़रूरी है। $A = -2$ और $B = -7$ भी दोनों शर्तें पूरी करते हैं, और तब उत्तर $-45$ आ जाता है।

आयत: आयत की लंबाई $l$ और चौड़ाई $b$ हो, तो परिमाप से $l + b$ मिलता है और क्षेत्रफल से $lb$। विकर्ण = $\sqrt{l^2 + b^2}$ होता है। यानी आयत वाला प्रश्न असल में योग और गुणनफल वाला प्रश्न ही है। मान लीजिए आयत का परिमाप 46 सेमी है और क्षेत्रफल 120 वर्ग सेमी। तो $l + b = 23$ और $lb = 120$। अब $l^2 + b^2 = 529 - 240 = 289$, और विकर्ण $\sqrt{289} = 17$ सेमी। भुजाएँ 15 सेमी और 8 सेमी हैं, पर इन्हें ढूँढने की ज़रूरत कहीं नहीं पड़ी।

[SSC टिप] गुणांक वाले पदों का गुणा कीजिए, तो आगे की संख्याएँ भी आपस में गुणा होती हैं और साथ में $xy$ आता है, जैसे $2x \times 5y = 10xy$। पूरे गुणनफल की जगह सिर्फ़ $xy$ ले लेना सबसे आम गलती है, और इस गलती से आने वाला उत्तर SSC विकल्पों में ज़रूर रखता है। आयत वाले प्रश्नों में वर्ग करने से पहले परिमाप को आधा कर लीजिए।

गुणनखंडन: उभयनिष्ठ गुणनखंड, पदों का समूहन और विशेष रूप

किसी व्यंजक को गुणनफल के रूप में लिखना गुणनखंडन (factorisation) कहलाता है। यह विस्तार का उलटा काम है, इसलिए ऊपर की हर सर्वसमिका गुणनखंडन में भी काम आती है। गुणनखंड निकालते समय ये जाँचें इसी क्रम में कीजिए।

1. सबसे पहले साझा हिस्सा: हर पद में जो उभयनिष्ठ गुणनखंड (common factor) हो, उसे बाहर निकाल लीजिए। इसके लिए संख्याओं का म.स. (HCF) लीजिए, और हर अक्षर की वह सबसे छोटी घात जो हर पद में मौजूद हो।

$$12x^3y - 18x^2y^2 = 6x^2y(2x - 3y)$$

2. चार पद हों: तब पदों का समूहन (grouping) कीजिए। पदों की जोड़ियाँ ऐसे बनाइए कि हर जोड़ी में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड निकले, और उसे बाहर निकालने के बाद बचे कोष्ठक एक जैसे हों।

$$x^3 - 4x^2 + 3x - 12 = x^2(x - 4) + 3(x - 4) = (x - 4)(x^2 + 3)$$

कोष्ठक मेल न खाएँ, तो जोड़ियाँ दूसरी तरह बनाइए। जैसे $ab + cd + ac + bd$ में लिखे हुए क्रम से जोड़ियाँ बनाएँ, तो बात नहीं बनती। पर पदों का क्रम बदल दें, तो $(ab + ac) + (bd + cd) = a(b + c) + d(b + c) = (a + d)(b + c)$ हो जाता है।

3. वर्गों का अंतर: जैसे $25x^2 - 49y^2 = (5x - 7y)(5x + 7y)$। अक्सर एक वर्ग तीन पदों में छिपा होता है।

$$4x^2 - 4x + 1 - 9y^2 = (2x - 1)^2 - (3y)^2 = (2x - 1 - 3y)(2x - 1 + 3y)$$

इसे ऐसे पहचानिए। तीन पद मिलकर एक पूर्ण वर्ग होते हैं, और साथ में ऋण चिह्न वाला एक अकेला वर्ग होता है।

4. पूर्ण वर्ग: पहला और अंतिम पद वर्ग हों, और मध्य पद उन दोनों के वर्गमूलों के गुणनफल का दोगुना हो, तो पूरे व्यंजक को समेटकर एक वर्ग लिख दीजिए। जैसे $9x^2 - 30xy + 25y^2 = (3x - 5y)^2$।

5. घनों का योग और अंतर: यहाँ घन वाली सर्वसमिकाएँ सीधे लगती हैं।

$$27x^3 + 8 = (3x + 2)(9x^2 - 6x + 4) \qquad x^3 - 64y^3 = (x - 4y)(x^2 + 4xy + 16y^2)$$

तीन पदों वाला कोष्ठक $a^2 \pm ab + b^2$ वास्तविक संख्याओं में आगे कभी नहीं टूटता। वहीं रुक जाइए।

6. [Tier 2] छठी घातें: $x^6 - y^6$ में पहले वर्गों का अंतर लगाइए, फिर घन वाली सर्वसमिकाएँ।

$$x^6 - y^6 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3) = (x - y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 - xy + y^2)$$

कोई पहले घन वाला रास्ता ले, तो $(x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$ मिलता है। यह सही है, पर अधूरा है। इसे पूरा करने के लिए $a^4 + a^2b^2 + b^4$ वाला गुणनखंडन चाहिए, जो इसी खंड के "चौथी घातें" वाले हिस्से में है।

गुणनखंड वाला विकल्प चुनने से पहले एक मान रखकर जाँच लीजिए। प्रश्न में भी और विकल्प में भी $x = 1$ रखिए, और ज़रूरत हो तो $y = 1$ भी। जैसे $x^3 - 4x^2 + 3x - 12$ में $x = 1$ रखने पर $-12$ आता है, और $(x - 4)(x^2 + 3)$ में $x = 1$ रखने पर $(-3)(4) = -12$। किसी विकल्प में चिह्न की गलती हो, तो वह तुरंत पकड़ में आ जाती है।

मध्य पद को विभक्त करना

$x^2 + 7x + 12$ जैसा द्विघात बहुपद अक्सर दो कोष्ठकों में टूट जाता है। इसके लिए मध्य पद को विभक्त करना (splitting the middle term) पड़ता है। ऐसी दो संख्याएँ ढूँढिए जिनका गुणनफल अंतिम पद के बराबर हो और योग मध्य पद के गुणांक के बराबर। यहाँ ऐसी संख्याएँ 3 और 4 हैं, तो $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$।

चिह्न: दोनों संख्याओं के चिह्न अंतिम पद और मध्य पद के चिह्नों से तय होते हैं।

अंतिम पद	मध्य पद	दोनों संख्याएँ
धनात्मक	धनात्मक	दोनों धनात्मक
धनात्मक	ऋणात्मक	दोनों ऋणात्मक
ऋणात्मक	धनात्मक	बड़ी संख्या धनात्मक
ऋणात्मक	ऋणात्मक	बड़ी संख्या ऋणात्मक

जैसे $x^2 - 2x - 15$ में गुणनफल $-15$ है और योग $-2$। संख्याएँ $-5$ और 3 हैं, तो गुणनखंड $(x - 5)(x + 3)$ हैं।

$x^2$ के साथ गुणांक हो: व्यंजक $ax^2 + bx + c$ हो, तो पहले $a$ और $c$ का गुणा कीजिए। फिर ऐसी दो संख्याएँ ढूँढिए जिनका गुणनफल यही हो और योग $b$। इन्हीं से मध्य पद को दो हिस्सों में बाँटिए, और फिर पदों का समूहन कीजिए। जैसे $6x^2 + 11x - 10$ में $ac = -60$ है। संख्याएँ 15 और $-4$ हैं, क्योंकि इनका गुणनफल $-60$ है और योग 11।

$$6x^2 + 15x - 4x - 10 = 3x(2x + 5) - 2(2x + 5) = (3x - 2)(2x + 5)$$

दो अक्षर: तरीका वही रहता है। $2x^2 + 5xy - 12y^2$ में $ac = -24$ है, और संख्याएँ 8 और $-3$ हैं।

$$2x^2 + 8xy - 3xy - 12y^2 = 2x(x + 4y) - 3y(x + 4y) = (2x - 3y)(x + 4y)$$

$x$ की जगह कोष्ठक: $(x + 1)^2 - 5(x + 1) + 6$ को देखिए। $t = x + 1$ मान लें, तो यह सीधा द्विघात हो जाता है, $t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3)$। अब $t$ की जगह वापस कोष्ठक रख दीजिए। $(x - 1)(x - 2)$ आता है।

$x$ की जगह वर्ग: $x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$। यहाँ $x^2$ को ही एक अक्षर मानकर मध्य पद विभक्त किया, और फिर हर कोष्ठक पर वर्गों का अंतर लगा दिया।

"इनमें से कौन-सा गुणनखंड है?": ऐसे प्रश्न में गुणनखंड निकालकर देख लीजिए। विकल्पों में अक्सर $3x - 4$ और $3x + 4$ जैसे कोष्ठक साथ-साथ होते हैं। ऐसे विकल्प चिह्न की गलती पकड़ने के लिए ही रखे जाते हैं। इसलिए अपने दोनों कोष्ठकों का वापस गुणा करके मध्य पद ज़रूर जाँच लीजिए।

पूर्ण संख्याओं की कोई भी जोड़ी न चले, तो समझ लीजिए कि यह द्विघात बहुपद साफ़-साफ़ नहीं टूटता। तब सूत्र से हल करना पड़ता है, जो "बहुपद और द्विघात समीकरण" वाले खंड में है।

$ac$ बड़ा हो, तो उसकी गुणनखंड-जोड़ियाँ बीच से शुरू करके लिखिए। जैसे $ac = -120$ है और मध्य पद का गुणांक $-7$। अंतिम पद ऋणात्मक है, तो मध्य पद का गुणांक जोड़ी की दोनों संख्याओं का अंतर होता है। इसलिए सीधे वह जोड़ी खोजिए जिसका अंतर 7 हो। यह 8 और 15 है, तो संख्याएँ 8 और $-15$ हैं।

बीजीय भिन्नों का सरलीकरण, और सरल मान रखकर जाँच

बीजीय भिन्न (algebraic fraction) को सरल करना हो, तो पहले अंश और हर, दोनों के पूरे गुणनखंड कर लीजिए। फिर जो कोष्ठक दोनों में साझा हों, उन्हें काट दीजिए। पर जो पद धन या ऋण चिह्न से जुड़े हों, उनमें से कोई एक पद अलग से कभी न काटिए। जैसे $\frac{x + 4}{x + 2}$ में कुछ भी नहीं कटता।

वर्गों का अंतर, बटा उसका एक कोष्ठक: अंश के गुणनखंड करते ही एक कोष्ठक कट जाता है।

$$\frac{16x^2 - 9y^2}{4x + 3y} = \frac{(4x - 3y)(4x + 3y)}{4x + 3y} = 4x - 3y$$

पूर्ण घन, बटा वर्गों का अंतर: ऊपर की घन सर्वसमिकाओं से $8x^3 - 12x^2 + 6x - 1$ असल में $(2x - 1)^3$ है। हर में $4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$ है।

$$\frac{8x^3 - 12x^2 + 6x - 1}{4x^2 - 1} = \frac{(2x - 1)^3}{(2x - 1)(2x + 1)} = \frac{(2x - 1)^2}{2x + 1}$$

घन, बटा मेल खाता कोष्ठक: $\frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} = a - b$ और $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} = a + b$। गुणांक वाले पदों में भी यही होता है। $\frac{a^3 - 27b^3}{a^2 + 3ab + 9b^2} = a - 3b$, क्योंकि $27b^3 = (3b)^3$।

भिन्नों का गुणनफल: पहले हर भिन्न के गुणनखंड कीजिए, फिर पूरे गुणनफल में जो कटता हो, एक साथ काट दीजिए।

$$\frac{a^2 - b^2}{a^3 - b^3} \times \frac{a^2 + ab + b^2}{a + b} = \frac{(a - b)(a + b)}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} \times \frac{a^2 + ab + b^2}{a + b} = 1$$

भिन्नों का जोड़-घटाना: हरों में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो, तो दोनों हरों का गुणनफल ही हर ले लीजिए। $\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2} = \frac{(x + 2) - (x - 2)}{x^2 - 4} = \frac{4}{x^2 - 4}$।

मान रखकर विकल्प परखना: सर्वसमिका हर मान्य मान पर सही होती है। इसलिए प्रश्न और विकल्प, दोनों को ऐसी संख्याओं से परखिए जिनसे हिसाब बहुत छोटा हो जाए। इसी को सरल मान रखकर जाँचना (put simple values to test options) कहते हैं। इसके लिए $a = 1, b = 0$ या $a = 2, b = 1$ जैसे मान अच्छे रहते हैं।

यह प्रश्न देखिए, "$\frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{a^2b + ab^2}$ किसके बराबर है? (a) $\frac{4}{a + b}$ (b) $\frac{2}{a + b}$ (c) $4ab$ (d) $a + b$"

$b = 0$ रखें, तो हर शून्य हो जाता है। इसलिए $a = b = 1$ लीजिए। प्रश्न का मान $\frac{4 - 0}{2} = 2$ आता है। पर विकल्प (a) और (d), दोनों का मान भी 2 है। इन दोनों में से एक चुनने के लिए अब $a = 2, b = 1$ रखिए। अब प्रश्न का मान $\frac{9 - 1}{6} = \frac{4}{3}$ है, जो (a) से मिलता है। (d) से नहीं मिलता, क्योंकि उसका मान 3 है। तो उत्तर (a) है। बीजगणित से भी यही आता है, क्योंकि अंश $4ab$ है और हर $ab(a + b)$।

मान चुनते समय दो बातें ध्यान रखिए। ऐसे मान न लीजिए जिनसे कोई हर शून्य हो जाए, जैसे $\frac{4}{x^2 - 4}$ में $x = 2$। और अगर हर में दो अक्षरों का अंतर हो, तो उन दोनों को बराबर न लीजिए। एक जाँच के बाद भी दो विकल्प बच जाएँ, तो मानों की दूसरी जोड़ी से फ़ैसला कर लीजिए।

हल किए गए उदाहरण

अब इन सर्वसमिकाओं पर कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

सरल कीजिए: $(5x - 2y)^2 + 20xy$। (a) $25x^2 - 4y^2$ (b) $25x^2 + 4y^2 + 40xy$ (c) $25x^2 + 4y^2$ (d) $5x^2 + 2y^2$

उत्तर: पहले वर्ग खोल लेते हैं, $(5x - 2y)^2 = 25x^2 - 2 \times 5x \times 2y + 4y^2 = 25x^2 - 20xy + 4y^2$। इसमें $20xy$ जोड़ें, तो बीच वाला पद कट जाता है। बचता है (c) $25x^2 + 4y^2$।

प्रश्न 2

$\frac{(4a + 3b)^2 - (4a - 3b)^2}{ab}$ का मान क्या है? (a) $24$ (b) $48$ (c) $12$ (d) $4$

उत्तर: यह $(A + B)^2 - (A - B)^2 = 4AB$ वाला रूप है, जिसमें $A = 4a$ और $B = 3b$। तो अंश = $4 \times 4a \times 3b = 48ab$। इसे $ab$ से भाग दें, तो (b) $48$ आता है। भूल से $2AB$ ले लिया, तो 24 पर पहुँच जाएँगे।

प्रश्न 3

यदि $(x + 7)(x - 3) = x^2 + px + q$ है, तो $p + q$ का मान क्या है? (a) $17$ (b) $-25$ (c) $25$ (d) $-17$

उत्तर: $(x + a)(x + b)$ में मध्य पद का गुणांक $a + b$ होता है और अंतिम पद $ab$। यहाँ दोनों संख्याएँ 7 और $-3$ हैं। तो $p = 7 - 3 = 4$ और $q = 7 \times (-3) = -21$। अब $p + q = 4 - 21$ हुआ, जो (d) $-17$ है।

प्रश्न 4

$k$ के किस धनात्मक मान के लिए $9x^2 - kx + 49$ एक पूर्ण वर्ग होगा? (a) 42 (b) 21 (c) 84 (d) 14

उत्तर: $9x^2 = (3x)^2$ और $49 = 7^2$ है। मध्य पद के आगे ऋण है, तो वर्ग $(3x - 7)^2 = 9x^2 - 42x + 49$ होगा। मध्य पद $2 \times 3x \times 7 = 42x$ है, इसलिए $k$ = (a) 42।

प्रश्न 5

यदि $a + b = 16$ और $ab = 55$ है, तो $a^2 + b^2$ का मान क्या है? (a) 201 (b) 146 (c) 366 (d) 36

उत्तर: $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 256 - 110$, यानी (b) 146। संख्याएँ 11 और 5 हैं, और $121 + 25 = 146$ से भी यही पक्का होता है। विकल्प 36 असल में $(a - b)^2$ का मान है, जो पूछा ही नहीं गया।

प्रश्न 6

यदि $a - b = 4$ और $ab = 21$ है, जहाँ $a$ और $b$ धनात्मक हैं, तो $a + b$ का मान क्या है? (a) $\sqrt{58}$ (b) $\sqrt{37}$ (c) $10$ (d) $100$

उत्तर: $(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab = 16 + 84 = 100$। दोनों संख्याएँ धनात्मक हैं, तो $a + b$ भी धनात्मक होगा। इसलिए धनात्मक वर्गमूल (c) $10$ ही लेंगे। संख्याएँ 7 और 3 हैं, जिनका अंतर 4 है और गुणनफल 21।

प्रश्न 7

यदि $a + b = 9$ और $a^2 + b^2 = 53$ है, तो $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ का मान क्या है? (a) $\frac{14}{53}$ (b) $\frac{81}{14}$ (c) $\frac{53}{28}$ (d) $\frac{53}{14}$

उत्तर: पहले $ab$ निकाल लेते हैं। $2ab = (a + b)^2 - (a^2 + b^2) = 81 - 53 = 28$, तो $ab = 14$। अब $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$ में मान रख देते हैं, तो (d) $\frac{53}{14}$ आता है।

प्रश्न 8

यदि $a^2 + b^2 = 130$ और $ab = 63$ है, जहाँ $a > b > 0$ है, तो $a^2 - b^2$ का मान क्या है? (a) 32 (b) 16 (c) 67 (d) 2

उत्तर: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$, तो दोनों कोष्ठक चाहिए। $(a + b)^2 = 130 + 126 = 256$, तो $a + b = 16$। $(a - b)^2 = 130 - 126 = 4$, तो $a - b = 2$। यहाँ धनात्मक मान लिया है, क्योंकि $a > b$ है। दोनों का गुणा करने पर (a) 32 आता है। संख्याएँ 9 और 7 हैं, और $81 - 49 = 32$।

प्रश्न 9

एक आयत का परिमाप 82 सेमी और क्षेत्रफल 420 वर्ग सेमी है। उसके विकर्ण की लंबाई कितनी है? (a) 41 सेमी (b) 29 सेमी (c) 21 सेमी (d) 1 सेमी

उत्तर: आधा परिमाप भुजाओं का योग होता है, तो $l + b = 41$। क्षेत्रफल से $lb = 420$। विकर्ण = $\sqrt{l^2 + b^2}$ है, और $l^2 + b^2 = (l + b)^2 - 2lb = 1681 - 840 = 841$। तो विकर्ण = $\sqrt{841}$, यानी (b) 29 सेमी। भुजाएँ 21 सेमी और 20 सेमी हैं। कोई $2lb$ की जगह $4lb$ घटा दे, तो 1 सेमी आता है, पर वह तो $l - b$ है, विकर्ण नहीं।

प्रश्न 10

यदि $a + b = 5$ और $ab = 3$ है, तो $a^4 + b^4$ का मान क्या है? (a) 361 (b) 355 (c) 343 (d) 352

उत्तर: यह दो कदम में होगा। पहले $a^2 + b^2 = 25 - 6 = 19$। फिर $a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 = 361 - 2 \times 9$, जो (c) 343 हुआ। जल्दी में कई लोग $2a^2b^2$ की जगह $2ab$ घटा देते हैं और 355 चुन लेते हैं।

प्रश्न 11

यदि $a^4 + a^2b^2 + b^4 = 273$ और $a^2 + ab + b^2 = 21$ है, तो $a^2 + b^2$ का मान क्या है? (a) 13 (b) 4 (c) 34 (d) 17

उत्तर: $a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)$, तो $a^2 - ab + b^2 = 273 \div 21 = 13$। दोनों कोष्ठकों को जोड़ें, तो $2(a^2 + b^2) = 21 + 13 = 34$, और $a^2 + b^2$ = (d) 17। साथ में एक कोष्ठक में से दूसरा घटाएँ, तो $2ab = 8$, यानी $ab = 4$ भी मिल जाता है।

प्रश्न 12

यदि $a + b = 5$ और $a - b = 1$ है, तो $a^4 - b^4$ का मान क्या है? (a) 65 (b) 5 (c) 13 (d) 130

उत्तर: $a^4 - b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)$। दूसरा कोष्ठक आसान है, $(a + b)(a - b) = 5 \times 1 = 5$। पहले कोष्ठक के लिए $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$ लगाते हैं, तो $a^2 + b^2 = \frac{25 + 1}{2} = 13$। अब $a^4 - b^4 = 13 \times 5$, यानी (a) 65। जाँच भी कर लेते हैं। यहाँ $a = 3$ और $b = 2$ हैं, और $81 - 16 = 65$।