विभाज्यता के नियम और लुप्त अंक

2 से 125 तक विभाज्यता के नियम

कोई संख्या दूसरी संख्या से पूरी-पूरी बँटती है या नहीं, यह जानने के लिए हर बार लंबा भाग करने की ज़रूरत नहीं होती। हर भाजक का अपना एक नियम होता है, जिसे विभाज्यता का नियम (divisibility rule) कहते हैं। इससे बिना भाग किए ही पता चल जाता है।

2022 से 2024 तक के CGL टियर 1 पेपरों में संख्या पद्धति के कई प्रश्न इन्हीं नियमों से हल होते थे। इसलिए इनका इतना अभ्यास कीजिए कि प्रश्न देखते ही सही नियम अपने-आप याद आ जाए। ये नियम पक्के कर लीजिए।

अंतिम अंकों वाले नियमों के पीछे एक सीधी-सी बात है। 10 = 2 × 5, 100 = 4 × 25, 1000 = 8 × 125 और 10000 = 16 × 625 होता है। अब 8 को ही लीजिए। किसी संख्या के अंतिम तीन अंक छोड़ दें, तो बाकी हिस्सा 1000 का गुणज होता है, और 1000 तो 8 का गुणज है ही। मतलब वह हिस्सा पहले से 8 से विभाज्य है, इसलिए जाँच केवल अंतिम तीन अंकों की करनी पड़ती है।

इसे ऐसे याद रखिए। 2, 4, 8 और 16 के लिए क्रम से अंतिम 1, 2, 3 और 4 अंक देखिए। इसी तरह 5, 25 और 125 के लिए अंतिम 1, 2 और 3 अंक देखिए।

11 के नियम में अंकों के स्थान दाईं ओर से गिने जाते हैं। इकाई अंक स्थान 1 पर है, दहाई अंक स्थान 2 पर, और आगे इसी तरह। अब विषम स्थानों के अंकों का योग निकालिए, फिर सम स्थानों के अंकों का योग, और दोनों का अंतर लीजिए।

जैसे 9,28,147 लीजिए। विषम स्थानों पर 7, 1 और 2 हैं, जिनका योग 10 है। सम स्थानों पर 4, 8 और 9 हैं, जिनका योग 21 है। अंतर 21 − 10 = 11 आया, तो 9,28,147, 11 से विभाज्य है। असल में यह 11 × 84,377 के बराबर है। अगर अंतर 0 आए, तब भी संख्या 11 से विभाज्य होती है।

[SSC टिप] 8 की जाँच और भी जल्दी हो सकती है। सैकड़े का अंक सम हो, तो केवल अंतिम दो अंक देखिए कि वे 8 से विभाज्य हैं या नहीं। सैकड़े का अंक विषम हो, तो अंतिम दो अंकों से बनी संख्या में 4 जोड़कर देखिए। जैसे 59,136 में सैकड़े का अंक 1 विषम है, तो 36 + 4 = 40 = 8 × 5, और संख्या पास है। यह इसलिए चलता है कि 200, 8 का गुणज है, और 100 को 8 से भाग देने पर शेषफल (remainder) 4 बचता है।

मुख्य बात: 2, 4, 8, 16, 5, 25 और 125 के नियमों में केवल संख्या का अंतिम हिस्सा देखना होता है, जबकि 3, 9 और 11 के नियमों में हर अंक चाहिए।

7, 13, 17 और 19 के नियम

इन चारों भाजकों के लिए अंतिम अंकों वाला कोई छोटा रास्ता नहीं है। पर एक ही तरीका चारों पर चल जाता है।

संख्या का अंतिम अंक काट दीजिए। उसे एक तय संख्या से गुणा कीजिए, और बची हुई संख्या में जोड़ दीजिए या उसमें से घटा दीजिए। यही तब तक दोहराइए, जब तक संख्या इतनी छोटी न हो जाए कि देखते ही पता चल जाए कि वह भाजक से विभाज्य है या नहीं। नई संख्या भाजक से विभाज्य हो, तो पुरानी भी विभाज्य है। नई विभाज्य न हो, तो पुरानी भी नहीं है।

किस भाजक के लिए अंतिम अंक के साथ क्या करना है, यह याद कर लीजिए।

3,39,213 की 7 से जाँच करके देखते हैं। हर बार अंतिम अंक काटकर उसका दोगुना घटाना है।

• 33921 − 2 × 3 = 33915
• 3391 − 2 × 5 = 3381
• 338 − 2 × 1 = 336
• 33 − 2 × 6 = 21

21 = 7 × 3 है, इसलिए 3,39,213, 7 से विभाज्य है।

2,47,741 की 13 से जाँच में अंतिम अंक को 4 से गुणा करके जोड़ते हैं।

• 24774 + 4 × 1 = 24778
• 2477 + 4 × 8 = 2509
• 250 + 4 × 9 = 286
• 28 + 4 × 6 = 52

52 = 13 × 4 है, इसलिए 2,47,741, 13 से विभाज्य है।

17 से जाँच के लिए 39,865 लीजिए। यहाँ अंतिम अंक का 5 गुना घटाना है। 3986 − 5 × 5 = 3961, फिर 396 − 5 × 1 = 391, फिर 39 − 5 × 1 = 34। 34 = 17 × 2 है, तो 39,865, 17 से विभाज्य है।

19 से जाँच के लिए 86,773 लीजिए। यहाँ अंतिम अंक का दोगुना जोड़ना है। 8677 + 2 × 3 = 8683, फिर 868 + 2 × 3 = 874, फिर 87 + 2 × 4 = 95। 95 = 19 × 5 है, तो 86,773 भी 19 से विभाज्य है।

गुणक याद रखने के लिए भाजक का ऐसा गुणज सोचिए, जो किसी गोल संख्या से बस एक कम या एक अधिक हो। 7 के लिए 21 = 20 + 1 है, इसलिए 2 से गुणा करके घटाते हैं। 13 के लिए 39 = 40 − 1 है, तो 4 से गुणा करके जोड़ते हैं। 17 के लिए 51 = 50 + 1 है, तो 5 से गुणा करके घटाते हैं। और 19 तो ख़ुद 20 − 1 है, तो 2 से गुणा करके जोड़ते हैं।

बस इतना याद रखिए कि गुणज गोल संख्या से एक अधिक हो तो घटाना है, और एक कम हो तो जोड़ना है। यही बात 23 पर भी लागू होती है। 69 = 70 − 1 है, तो 23 के लिए अंतिम अंक को 7 से गुणा करके जोड़िए। 1, 3, 7 या 9 पर ख़त्म होने वाले हर भाजक के लिए ऐसा गुणक मिल जाता है।

7, 11 और 13 की जाँच एक साथ भी हो सकती है। इसमें 1001 काम आता है, क्योंकि 1001 = 7 × 11 × 13 होता है। इस तरीके को तीन-तीन अंकों के समूह बनाने वाली विधि कहते हैं। संख्या को दाईं ओर से तीन-तीन अंकों के समूहों में बाँटिए। सबसे दाईं ओर वाला समूह लीजिए, उसमें से अगला समूह घटाइए, फिर उसके बाद वाला जोड़िए, और आगे इसी तरह बारी-बारी से घटाते-जोड़ते जाइए। जो नतीजा आए, वह 7, 11 या 13 में से जिससे विभाज्य हो, संख्या भी उसी से विभाज्य होगी।

जैसे 4516694 के समूह 4, 516 और 694 हैं। 694 − 516 + 4 = 182, और 182 = 2 × 7 × 13 है। तो 4516694, 7 और 13 से विभाज्य है, पर 11 से नहीं।

विकल्पों वाले प्रश्न में पहले आसान जाँचें कर लीजिए, जैसे 2, 3, 5 और 11 की। अंतिम अंक काटने वाला तरीका केवल उन एक-दो विकल्पों पर लगाइए जो बच जाएँ। अभ्यास हो जाने पर एक संख्या की जाँच में लगभग पंद्रह सेकंड लगते हैं।

भाज्य संख्या वाले भाजक

जब भाजक कोई भाज्य संख्या हो, तो उसे ऐसे गुणनखंडों में तोड़िए जो सह-अभाज्य (co-prime) हों। सह-अभाज्य का मतलब है कि उनमें 1 के सिवा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो। फिर हर गुणनखंड से अलग-अलग जाँच कीजिए। संख्या हर जाँच में पास हो, तभी वह पूरे भाजक से विभाज्य होगी।

ये बँटवारे सबसे ज़्यादा काम आते हैं।

एक झटपट उदाहरण देखिए। मान लीजिए जानना है कि 5,24,392, 88 से विभाज्य है या नहीं। 8 के लिए अंतिम तीन अंक 392 देखिए। 392 = 8 × 49 है, तो यह जाँच पास। 11 के लिए दाईं ओर से अंक 2, 9, 3, 4, 2, 5 हैं। विषम स्थानों का योग 2 + 3 + 2 = 7 है और सम स्थानों का 9 + 4 + 5 = 18। अंतर 11 आया, तो यह जाँच भी पास। संख्या दोनों जाँचों में पास है, इसलिए 5,24,392, 88 से विभाज्य है।

24 में एक जाल है। 24 = 4 × 6 सही है, पर 4 और 6 में 2 उभयनिष्ठ गुणनखंड है। इसलिए केवल 4 और 6 की जाँच काफ़ी नहीं है। जैसे 36 को लीजिए। यह 4 से भी विभाज्य है और 6 से भी, फिर भी 36 ÷ 24 = 1.5 आता है।

जो संख्या 4 और 6, दोनों में पास हो, उसके बारे में पक्का बस इतना कहा जा सकता है कि वह 4 और 6 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से विभाज्य है, जो 12 है। इसे संक्षेप में ल.स. लिखते हैं। 24 की जाँच के लिए हमेशा 3 × 8 लीजिए।

यही गलती दूसरे बँटवारों में भी होती है।

सह-अभाज्य बँटवारा इसलिए चलता है कि दो सह-अभाज्य संख्याएँ किसी संख्या को बाँटें, तो उनका गुणनफल भी उसे बाँटता है। पर उनमें कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड हो, तो पक्के तौर पर बस इतना कह सकते हैं कि उनका ल.स. उस संख्या को बाँटेगा। ल.स. के बारे में पूरे विस्तार से खंड 5, "म.स. और ल.स." में पढ़ेंगे।

99 के लिए इससे भी तेज़ रास्ता है। संख्या को दाईं ओर से दो-दो अंकों के समूहों में बाँटिए और इन समूहों को जोड़ दीजिए। योग 99 से विभाज्य हो, तो संख्या भी 99 से विभाज्य है। जैसे 5,13,216 के समूह 16, 32 और 51 हैं। इनका योग 99 है, तो 5,13,216, 99 से विभाज्य है। असल में यह 99 × 5184 है। यह तरीका इसलिए चलता है कि 100 को 99 से भाग देने पर शेषफल 1 बचता है।

लुप्त अंक वाले प्रश्न

इन प्रश्नों में संख्या के एक या दो अंक अज्ञात होते हैं, और साथ में विभाज्यता की कोई शर्त दी होती है। ऐसे अंकों को लुप्त अंक (missing digit) कहते हैं। इन्हें हल करने का तरीका हर बार एक ही है।

1. हर नियम से देखिए कि अज्ञात अंकों पर क्या शर्त लगती है। 3 और 9 के लिए अंकों का योग देखिए, 11 के लिए विषम और सम स्थानों के योग, और 2, 4, 5, 8 और 25 के लिए संख्या का अंतिम हिस्सा।
2. उस नियम से शुरू कीजिए जो सबसे जल्दी कोई अंक तय कर दे। अंतिम अंकों वाले नियमों (5, 10, 25, 8) से अक्सर अंतिम अंक तुरंत तय हो जाता है। फिर दूसरे अज्ञात अंक के लिए अंकों का योग या 11 का नियम लगाइए।
3. सीमाएँ याद रखिए। हर अज्ञात अंक 0 से 9 तक का ही कोई अंक हो सकता है, और संख्या का पहला अंक 0 नहीं हो सकता।
4. अतिरिक्त शर्त सबसे अंत में लगाइए, जैसे सबसे छोटा या सबसे बड़ा अंक, $Y - X = 6$, या दोनों अंक अभाज्य हों।

एक अज्ञात अंक हो, तो काम सीधा है। मान लीजिए $3x5217$, 9 से विभाज्य है। अंकों का योग 3 + 5 + 2 + 1 + 7 + $x$ = $18 + x$ है, और इसे 9 का गुणज होना चाहिए। तो $x = 0$ या $x = 9$ हो सकता है। ऐसे में प्रश्न में यह बताना ज़रूरी है कि सबसे छोटा अंक चाहिए या सबसे बड़ा।

3 की शर्त हो, तो अक्सर तीन या चार उत्तर निकलते हैं, जो आपस में 3-3 के अंतर पर होते हैं, जैसे 1, 4 और 7। इसलिए ऐसे प्रश्न में लगभग हमेशा सबसे छोटा या सबसे बड़ा अंक ही पूछा जाता है।

11 के नियम में पहले अंतर 0 मानकर देखिए। इससे जो अंक आए, वह 0 से 9 के बाहर हो, तो अंतर 11 या −11 मानकर देखिए।

दो अज्ञात अंक हों, तो हर अज्ञात के लिए एक नियम चाहिए। या फिर ऐसे दो नियम, जिनसे दो समीकरण मिल जाएँ। प्रश्नों में ये रूप सबसे ज़्यादा आते हैं।

• 8 और 5, दोनों से विभाज्य हो, तो मतलब संख्या 40 से विभाज्य है। उसका अंतिम अंक 0 होगा। फिर अंतिम तीन अंकों को 8 से विभाज्य बनाइए।
• 9 से विभाज्य, साथ में $Y - X = 6$ जैसी शर्त हो, तो पहले अंकों के योग से $X + Y$ के संभव मान निकालिए। अक्सर दो मान आते हैं, जैसे 3 या 12। हर एक को $Y - X = 6$ के साथ रखकर देखिए। $X + Y$ और $Y - X$ हमेशा दोनों सम होते हैं या दोनों विषम, इसलिए जिस मान का सम-विषम मेल नहीं खाता, वह तुरंत हट जाता है।
• 99 से विभाज्य हो, तो 9 के नियम से $X + Y$ और 11 के नियम से $X - Y$ निकालिए, फिर दोनों को साथ में हल कीजिए।
• 72 से विभाज्य हो, तो पहले 8 की जाँच कीजिए (अंतिम तीन अंक), फिर 9 की।
• 75 से विभाज्य हो, तो पहले 25 की जाँच कीजिए, जिसमें अंतिम दो अंक 00, 25, 50 या 75 होने चाहिए। फिर 3 की जाँच कीजिए।
• 36 से विभाज्य हो, तो पहले 4 की जाँच (अंतिम दो अंक), फिर 9 की।
• अंक अभाज्य होने चाहिए, ऐसा लिखा हो तो अंक केवल 2, 3, 5 या 7 हो सकते हैं।
• $2A + 3B$ जैसे किसी व्यंजक का अधिकतम या न्यूनतम मान पूछा हो, तो शर्तों पर खरी उतरने वाली हर जोड़ी की सूची बनाइए और फिर उनमें से चुनिए। जिस अंक का गुणांक बड़ा है, उसे जहाँ तक हो सके बड़ा रखिए। पक्का करने के लिए उससे ठीक नीचे वाली जोड़ी भी जाँच लीजिए।

[SSC टिप] विकल्पों में अंक के मान दिए हों, तो हल करने के बजाय विकल्प रखकर देखिए। जैसे सबसे बड़ा $x$ पूछा है और विकल्प 2, 5, 8 और 9 हैं। तो पहले 9 रखकर देखिए, फिर नीचे की ओर आइए। इससे अक्सर आधा मिनट बच जाता है।

विकल्पों की जाँच और न्यूनतम संख्या

विकल्पों में से विभाज्य संख्या चुननी हो, तो भाजक को सह-अभाज्य गुणनखंडों में तोड़िए और सबसे आसान जाँच पहले कीजिए। ज़्यादातर विकल्प आसान जाँच में ही हट जाते हैं, और उन पर कठिन जाँच की ज़रूरत ही नहीं पड़ती।

जैसे भाजक 72 हो, तो उसे 8 × 9 में तोड़िए। अंकों का योग देखना 8 की जाँच से जल्दी हो जाता है, इसलिए पहले 9 की जाँच कीजिए और फिर जो विकल्प बचें, उन पर 8 की। भाजक 88 हो, यानी 8 × 11, तो पहले अंतिम तीन अंकों से 8 की जाँच कीजिए। इसी में अक्सर दो-तीन विकल्प हट जाते हैं, और 11 का नियम कम विकल्पों पर लगाना पड़ता है।

कौन-सी संख्या विभाज्य नहीं है, यह पूछा हो, तो किसी एक जाँच में फ़ेल होना ही काफ़ी है। पर यहाँ सावधान रहिए। ऐसे प्रश्नों में अक्सर एक संख्या ऐसी रखी जाती है, जो लगभग हर जाँच में पास हो जाती है और बस एक में फ़ेल होती है। जैसे कोई संख्या 9 और 2 में पास है, पर 4 में फ़ेल। वह 18 से विभाज्य है, 36 से नहीं। इसलिए बँटवारे के हर हिस्से की जाँच कीजिए, केवल पहले हिस्से की नहीं।

जोड़ी या घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या (least number to be added/subtracted) निकालनी हो, तो पहले भाग देकर शेषफल $r$ निकालिए।

• $N$ में से कुछ घटाकर उसे $d$ से विभाज्य बनाना हो, तो $r$ घटाइए।
• जोड़कर विभाज्य बनाना हो, तो $d - r$ जोड़िए। $r = 0$ हो, तो कुछ जोड़ना ही नहीं पड़ता।

जैसे 5000 को 17 से विभाज्य बनाना है। 5000 = 17 × 294 + 2 है। तो 2 घटाने पर 4998 मिलेगा, या 15 जोड़ने पर 5015 मिलेगा।

निकटतम गुणज पूछा हो, तो $r$ और $d - r$ की तुलना कीजिए। जो छोटा हो, उसी तरफ़ जाइए। 5000 के सबसे पास 17 का गुणज 4998 है, जो केवल 2 दूर है।

अंकों के योग से 9 या 3 से भाग देने पर बचने वाला शेषफल तुरंत मिल जाता है। किसी संख्या को 9 से भाग देने पर वही शेषफल आता है, जो उसके अंकों के योग को 9 से भाग देने पर आता है। जैसे 7,84,326 के अंकों का योग 30 है। 30 ÷ 9 करने पर शेषफल 3 बचता है, तो 7,84,326 को 9 से भाग देने पर भी शेषफल 3 ही बचेगा। इसे 9 से विभाज्य बनाने के लिए 3 घटाइए या 6 जोड़िए। 3 के लिए भी यही तरकीब चलती है। शेषफल के बारे में पूरे विस्तार से खंड 4, "शेषफल और इकाई अंक" में पढ़ेंगे।

n अंकों के सबसे बड़े और सबसे छोटे गुणज इस तरह निकालिए।

• सबसे बड़ा गुणज चाहिए, तो n अंकों की सबसे बड़ी संख्या को $d$ से भाग दीजिए और शेषफल घटा दीजिए। चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। 9999 = 37 × 270 + 9, तो 37 का चार अंकों वाला सबसे बड़ा गुणज 9999 − 9 = 9990 है।
• सबसे छोटा गुणज चाहिए, तो n अंकों की सबसे छोटी संख्या को $d$ से भाग दीजिए और $d - r$ जोड़ दीजिए। चार अंकों की सबसे छोटी संख्या 1000 है। 1000 = 37 × 27 + 1, तो 37 का चार अंकों वाला सबसे छोटा गुणज 1000 + 36 = 1036 है।

भाजक कई हों, जैसे "12, 15 और 18 से विभाज्य चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या", तो पहले उनका ल.स. निकालिए और फिर यही कदम दोहराइए। यह खंड 5, "म.स. और ल.स." में विस्तार से आएगा।

[SSC टिप] "जोड़ी जाने वाली न्यूनतम संख्या" और "घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या" के उत्तर अलग होते हैं, और दोनों ही अक्सर विकल्पों में दिए होते हैं। उत्तर चुनने से पहले प्रश्न एक बार फिर पढ़ लीजिए कि पूछा कौन-सा गया है।

किसी दायरे में गुणजों की गिनती

1 से $N$ तक $k$ के कितने गुणज हैं, यह $\frac{N}{k}$ के पूर्णांक भाग से पता चलता है। जैसे 1 से 500 तक 7 के 71 गुणज हैं, क्योंकि 500 ÷ 7 = 71.4… आता है।

दायरा 1 से शुरू न हो, तो पहले दायरे के भीतर पहला और अंतिम गुणज निकालिए। फिर यह सूत्र लगाइए।

$$\text{गिनती} = \frac{\text{अंतिम} - \text{पहला}}{k} + 1$$

जैसे 100 से 500 तक 7 के गुणज गिनने हैं। पहला गुणज 105 है और अंतिम 497। गिनती (497 − 105) ÷ 7 + 1 = 56 + 1 = 57 है। दूसरा तरीका भी है। 500 तक 7 के 71 गुणज हैं और 99 तक 14, तो 71 − 14 = 57। उत्तर वही 57 आया।

"से … तक" और "के बीच" का फ़र्क समझ लीजिए। "140 से 280 तक" में दोनों सिरे शामिल होते हैं। "140 और 280 के बीच" में आम तौर पर दोनों सिरे छोड़ दिए जाते हैं। फ़र्क तभी पड़ता है जब कोई सिरा ख़ुद गुणज हो, इसलिए सिरों को एक बार देख लीजिए। जैसे 140 से 280 तक, दोनों सिरों समेत, 7 के (280 − 140) ÷ 7 + 1 = 21 गुणज हैं। पर दोनों सिरे छोड़ दें, तो बीच में केवल 19 गुणज बचते हैं।

दोनों से विभाज्य संख्याओं के लिए याद रखिए कि जो संख्या $a$ और $b$ दोनों से विभाज्य है, वह उनके ल.स. से भी विभाज्य होती है। जैसे 1 से 1000 तक 6 और 9 दोनों से विभाज्य संख्याएँ असल में 18 के गुणज हैं। 1000 ÷ 18 का पूर्णांक भाग 55 है, तो ऐसी 55 संख्याएँ हैं।

किसी एक से विभाज्य, यानी "या" वाली गिनती में दोनों गिनतियाँ जोड़िए और दोनों से विभाज्य संख्याओं की गिनती घटा दीजिए, ताकि कोई संख्या दो बार न गिनी जाए।

$$n(a \text{ या } b) = n(a) + n(b) - n(\text{दोनों})$$

1 से 1000 तक 6 या 9 से विभाज्य संख्याएँ 166 + 111 − 55 = 222 हैं।

एक से विभाज्य पर दूसरे से नहीं, ऐसी गिनती में उस एक की गिनती में से दोनों वाली गिनती घटाइए। 1 से 1000 तक 9 से विभाज्य पर 6 से नहीं, ऐसी संख्याएँ 111 − 55 = 56 हैं।

किसी से भी विभाज्य नहीं, ऐसी संख्याएँ गिननी हों, तो कुल में से "किसी एक से" वाली गिनती घटा दीजिए। यहाँ 1000 − 222 = 778 संख्याएँ ऐसी हैं।

[Tier 2] तीन भाजक हों, तब भी यही तरीका चलता है। मान लीजिए 1 से 300 तक 2, 3 या 5 से विभाज्य संख्याएँ गिननी हैं। पहले तीनों की अलग-अलग गिनतियाँ जोड़िए। फिर दो-दो से विभाज्य वाली तीनों गिनतियाँ घटाइए। अंत में तीनों से विभाज्य वाली गिनती वापस जोड़ दीजिए।

$$150 + 100 + 60 - 50 - 30 - 20 + 10 = 220$$

इसलिए 1 से 300 तक की 300 − 220 = 80 संख्याएँ ऐसी हैं, जो 2, 3 और 5 में से किसी से भी विभाज्य नहीं हैं।

[SSC टिप] "दो अंकों की संख्याएँ" का मतलब है 10 से 99 तक। दो अंकों वाले 7 के गुणज गिनने हों, तो 99 तक के 14 गुणजों में से 9 तक का 1 गुणज घटाइए। कुल 13 आते हैं। यहाँ बहुत से छात्र एक अंक वाले गुणज घटाना भूल जाते हैं।

संख्या-पैटर्नों का योग और औसत

किसी दायरे में किसी संख्या के गुणज बराबर दूरी पर होते हैं। ऐसे में औसत = (पहला + अंतिम) ÷ 2 और योग = गिनती × औसत होता है। यह हर उस सूची पर चलता है जिसमें पदों का अंतर बराबर हो, जैसे क्रमागत संख्याएँ, विषम संख्याएँ, सम संख्याएँ या 7 के गुणज।

मान लीजिए 100 और 300 के बीच 8 के सभी गुणजों का योग चाहिए। पहला गुणज 104 है और अंतिम 296। गिनती (296 − 104) ÷ 8 + 1 = 25 है, और औसत (104 + 296) ÷ 2 = 200 है। तो योग 25 × 200 = 5000 हुआ।

ये योग याद रखिए।

$n = 10$ रखकर इन्हें झटपट जाँच लीजिए। 1 + 2 + … + 10 = 55 है। पहली दस विषम संख्याओं 1 + 3 + … + 19 का योग 100 है, और पहली दस सम संख्याओं 2 + 4 + … + 20 का योग 110। $10^2$ तक के वर्गों का योग 385 है, और $10^3$ तक के घनों का योग 3025, जो $55^2$ के बराबर है। मतलब पहले $n$ घनों का योग हमेशा पहली $n$ प्राकृत संख्याओं के योग का वर्ग होता है।

बीच का कोई हिस्सा जोड़ना हो, तो 1 से शुरू होने वाले दो योगों का अंतर लीजिए। 21 + 22 + … + 50 = (1 + … + 50) − (1 + … + 20) = 1275 − 210 = 1065।

पदों की गिनती में ध्यान रखिए। 1 से 99 तक विषम संख्याएँ 50 हैं, 49 नहीं। इसलिए उनका योग $50^2 = 2500$ है। तय अंतर वाली किसी भी सूची में पदों की गिनती (अंतिम − पहला) ÷ अंतर + 1 होती है। सबसे ज़्यादा गलती "+ 1" छोड़ देने में होती है।

घातों के योग और $a^n \pm b^n$ की विभाज्यता

एक ही आधार की कई घातें जुड़ी हों, तो सबसे छोटी घात को उभयनिष्ठ गुणनखंड की तरह बाहर निकाल लीजिए। फिर कोष्ठक में जो बचे, उसे देखिए।

$$4^{12} + 4^{13} + 4^{14} + 4^{15} = 4^{12}(1 + 4 + 16 + 64) = 4^{12} \times 85$$

85 = 5 × 17 है, इसलिए यह योग 5, 17 और 85 से विभाज्य है। यह 10 और 20 से भी विभाज्य है, क्योंकि $4^{12}$ में 2 के गुणनखंड भरपूर हैं।

$$6^{25} + 6^{26} + 6^{27} + 6^{28} = 6^{25}(1 + 6 + 36 + 216) = 6^{25} \times 259$$

259 = 7 × 37 है, तो यह योग 7 और 37 से विभाज्य है। $6^{25}$ के हर गुणनखंड से तो यह विभाज्य है ही।

$a^n - b^n$ और $a^n + b^n$ के ये तीन नियम याद रखिए।

• $a^n - b^n$ हर $n$ पर $a - b$ से विभाज्य होता है।
• $a^n - b^n$, $n$ सम हो तो $a + b$ से भी विभाज्य होता है।
• $a^n + b^n$, $n$ विषम हो तो $a + b$ से विभाज्य होता है।

$b = 1$ रखने पर ये नियम और काम के हो जाते हैं। $8^m - 1$ हमेशा 8 − 1 = 7 से विभाज्य है। और $m$ सम हो, तो 8 + 1 = 9 से भी, यानी 63 से। इसी तरह $5^7 + 1$, 5 + 1 = 6 से विभाज्य है, क्योंकि 7 विषम है।

एक नियम और है, जो विकल्पों वाले ऐसे प्रश्नों में बहुत काम आता है। $m$ अगर $n$ को बाँटता है, तो $a^m - 1$ भी $a^n - 1$ को बाँटता है। जैसे $2^{12} - 1 = 4095$ है। 3, 4 और 6, तीनों 12 को बाँटते हैं, इसलिए यह $2^3 - 1 = 7$ से, $2^4 - 1 = 15$ से और $2^6 - 1 = 63$ से विभाज्य है।

क्रमागत पूर्णांकों के गुणनफल के बारे में ये बातें याद रखिए।

• $n^3 - n = (n - 1)n(n + 1)$ तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है, इसलिए यह हमेशा 6 से विभाज्य है। $n$ विषम हो, तो यह 24 से विभाज्य है, क्योंकि तब $n - 1$ और $n + 1$ दो क्रमागत सम संख्याएँ होती हैं, और इनमें से एक 4 का गुणज होती है।
• $r$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $r!$ (क्रमगुणित) से विभाज्य होता है, यानी 1 × 2 × … × r से। लगातार दो पूर्णांकों का गुणनफल 2 का गुणज है, तीन का 6 का, चार का 24 का और पाँच का 120 का।
• इसीलिए $n(n + 1)(n + 2)(n + 3)$ हमेशा 24 से विभाज्य है। जैसे 5 × 6 × 7 × 8 = 1680 = 24 × 70।

[SSC टिप] किसी विकल्प में "ये सभी" लिखा हो, तो कोई एक विकल्प चुनने से पहले दी गई हर संख्या को इन नियमों से जाँच लीजिए। $a^{24} - 1$ जैसा व्यंजक अक्सर दो-तीन संख्याओं से एक साथ विभाज्य होता है।

दोहराए अंकों और पैटर्न वाली संख्याएँ

4,44,444 जैसी संख्या को दोहराए अंकों वाली संख्या (repeated-digit number) कहते हैं। ऐसी संख्याओं के गुणनखंड पहले से तय होते हैं। संख्या को गुणनफल के रूप में लिख दीजिए, तो उत्तर अक्सर सामने ही दिख जाता है।

जैसे 5,85,585 = 585 × 1001 और 4,44,444 = 4 × 1,11,111 है। कोई एक ही अंक 6, 12, 18 … बार दोहराकर लिखा जाए, तो वह संख्या 7, 11 और 13 से विभाज्य होती है, क्योंकि वह 1,11,111 का गुणज होती है और 1,11,111 इन तीनों से विभाज्य है।

संख्या और उसके अंक उलटकर बनी संख्या में भी एक तय पैटर्न होता है। दो अंकों की संख्या $\overline{ab}$ के लिए

$$\overline{ab} + \overline{ba} = 11(a + b) \qquad \overline{ab} - \overline{ba} = 9(a - b)$$

तीन अंकों में $\overline{abc} - \overline{cba} = 99(a - c)$ होता है, यानी अंतर हमेशा 99 का गुणज होता है। पर तीन अंकों की संख्या और उसकी उलटी संख्या को जोड़ें, तो योग का कोई तय गुणनखंड नहीं होता। इसलिए यहाँ कोई गुणनखंड पहले से मानकर न चलिए।

चक्रीय योग में $\overline{abc}$ के अंकों को घुमाकर $\overline{bca}$ और $\overline{cab}$ लिखते हैं। इन तीनों में हर अंक हर स्थान पर ठीक एक बार आता है, इसलिए

$$\overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab} = 111(a + b + c) = 3 \times 37 \times (a + b + c)$$

यह योग हमेशा 3, 37, 111 और $a + b + c$ से विभाज्य होता है। जैसे 254 लीजिए। 254 + 542 + 425 = 1221 = 111 × 11।

संख्या में से उसके अंकों का योग घटाएँ, तो जो बचता है, वह हमेशा 9 का गुणज होता है। जैसे 5372 के अंकों का योग 17 है, और 5372 − 17 = 5355 = 9 × 595।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 8 से विभाज्य है? (a) 7,35,428 (b) 4,82,316 (c) 6,19,544 (d) 3,50,762

उत्तर: 8 के लिए केवल अंतिम तीन अंक देखने हैं, और साथ में सैकड़े के अंक वाली तरकीब लगा लेते हैं। 428 में सैकड़े का अंक 4 सम है, तो 28 को ख़ुद 8 का गुणज होना चाहिए, जो नहीं है। 316 में 3 विषम है, तो 16 + 4 = 20, यह 8 का गुणज नहीं है। 762 में 7 विषम है, और 62 + 4 = 66, यह भी नहीं। 544 में 5 विषम है, और 44 + 4 = 48 = 8 × 6, यह चल गया। तो उत्तर (c) 6,19,544 है।

प्रश्न 2

क्या संख्या 2,73,581, 7 से विभाज्य है?

उत्तर: अंतिम अंक काटते जाते हैं और हर बार उसका दोगुना घटाते जाते हैं।

• 27358 − 2 = 27356
• 2735 − 12 = 2723
• 272 − 6 = 266
• 26 − 12 = 14

14 = 7 × 2 है, तो हाँ, 2,73,581, 7 से विभाज्य है। असल में यह 7 × 39,083 है।

प्रश्न 3

क्या संख्या 52,853, 17 से विभाज्य है? क्या यह 19 से विभाज्य है?

उत्तर: 17 के लिए अंतिम अंक को 5 से गुणा करके घटाना है। 5285 − 15 = 5270, फिर 527 − 0 = 527, फिर 52 − 35 = 17। आख़िर में 17 ही बचा, तो 52,853, 17 से विभाज्य है। 19 के लिए अंतिम अंक का दोगुना जोड़ना है। 5285 + 6 = 5291, फिर 529 + 2 = 531, फिर 53 + 2 = 55। 55, 19 का गुणज नहीं है, तो 52,853, 19 से विभाज्य नहीं है। असल में 52,853 = 17 × 3109 है।

प्रश्न 4

एक छात्र देखता है कि 3612, 4 और 6 दोनों से विभाज्य है, और कहता है कि यह संख्या 24 से अवश्य विभाज्य होगी। क्या वह सही है?

उत्तर: नहीं, वह सही नहीं है। 4 और 6 में 2 उभयनिष्ठ गुणनखंड है, इसलिए दोनों में पास होने से पक्का बस इतना पता चलता है कि 3612 उनके ल.स. 12 से विभाज्य है। 24 के लिए सह-अभाज्य बँटवारा 3 × 8 लेना होगा। अंकों का योग 12 है, तो 3 वाली जाँच ठीक है। 8 के लिए अंतिम तीन अंक 612 देखते हैं। सैकड़े का अंक 6 सम है, तो 12 को 8 का गुणज होना चाहिए, जो नहीं है। इसलिए 3612, 24 से विभाज्य नहीं है (3612 ÷ 24 = 150.5)।

प्रश्न 5

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 88 से विभाज्य है? (a) 5,27,304 (b) 6,43,148 (c) 7,18,256 (d) 3,92,502

उत्तर: 88 = 8 × 11 है। 8 और 11 सह-अभाज्य हैं, तो पहले अंतिम तीन अंकों से 8 की जाँच कर लेते हैं।

• 304 = 8 × 38, तो यह पास है।
• 148 में सैकड़े का अंक 1 विषम है, तो 48 + 4 = 52, जो 8 का गुणज नहीं। यह बाहर।
• 256 = 8 × 32, तो यह भी पास है।
• 502 तो 4 का भी गुणज नहीं है, क्योंकि अंतिम दो अंक 02 हैं। यह भी बाहर।

बची हुई दो संख्याओं पर अब 11 का नियम लगाते हैं। 5,27,304 में दाईं ओर से विषम स्थानों पर 4, 3 और 2 हैं, जिनका योग 9 है। सम स्थानों पर 0, 7 और 5 हैं, योग 12। अंतर 3 है, तो यह नहीं चलेगा। 7,18,256 में विषम स्थानों पर 6, 2 और 1 हैं, योग 9। सम स्थानों पर 5, 8 और 7 हैं, योग 20। अंतर 11 है, तो यह चल गया। उत्तर (c) 7,18,256 है।

प्रश्न 6

यदि संख्या $73x452$, 9 से विभाज्य है, तो अंक $x$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ज्ञात अंकों का योग 7 + 3 + 4 + 5 + 2 = 21 है। अब $21 + x$ को 9 का गुणज होना चाहिए। 21 के बाद 9 का अगला गुणज 27 है, तो $x = 6$। उसके बाद 36 आता है, पर उसके लिए $x = 15$ चाहिए, जो अंक हो ही नहीं सकता। तो $x = 6$।

प्रश्न 7

यदि संख्या $58x642$, 11 से विभाज्य है, तो अंक $x$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दाईं ओर से अंक हैं 2, 4, 6, $x$, 8, 5। विषम स्थानों का योग 2 + 6 + 8 = 16 है, और सम स्थानों का 4 + $x$ + 5 = $9 + x$। अंतर $16 - (9 + x) = 7 - x$ है, जो 0 या 11 का गुणज होना चाहिए। $x$ तो 0 से 9 के बीच ही है, इसलिए केवल $7 - x = 0$ हो सकता है। तो $x = 7$, और संख्या 5,87,642 है।

प्रश्न 8

संख्या $46x2y$, 8 और 5 दोनों से विभाज्य है। $x$ कितने मान ले सकता है?

उत्तर: संख्या 8 और 5, दोनों से विभाज्य है, तो 40 से भी विभाज्य होगी। इसका अंतिम अंक 0 होगा, यानी $y = 0$। अब अंतिम तीन अंक $x20$ हैं, और इन्हें 8 से विभाज्य होना चाहिए। यहाँ सैकड़े के अंक वाली तरकीब काम आती है। 20 तो 8 का गुणज नहीं है, पर 20 + 4 = 24 है, जो 8 का गुणज है। इसका मतलब सैकड़े का अंक $x$ विषम होना चाहिए। $x$ = 1, 3, 5, 7 या 9 हो सकता है, तो $x$ के 5 मान संभव हैं।

प्रश्न 9

संख्या $7X3Y5$, 9 से विभाज्य है तथा $Y - X = 6$ है। $X \times Y$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: अंकों का योग 7 + 3 + 5 + $X + Y$ = $15 + X + Y$ है, जो 9 का गुणज होना चाहिए। तो $X + Y$ या तो 3 होगा या 12। 21 नहीं हो सकता, क्योंकि दो अंकों का योग ज़्यादा से ज़्यादा 18 होता है। अब $X + Y$ और $Y - X$ हमेशा दोनों सम होते हैं या दोनों विषम। $Y - X = 6$ सम है, इसलिए $X + Y = 3$ नहीं चलेगा। अब $X + Y = 12$ और $Y - X = 6$ बचे। दोनों को जोड़ने पर $2Y = 18$, तो $Y = 9$ और $X = 3$। संख्या 73,395 है, और $X \times Y$ = 27।

प्रश्न 10

यदि संख्या $3x52y$, 99 से विभाज्य है, तो $x + y$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 99 = 9 × 11, तो दोनों नियम लगाने होंगे। 9 के लिए अंकों का योग 3 + 5 + 2 + $x + y$ = $10 + x + y$ है, इसलिए $x + y$ = 8 या 17। 11 के लिए दाईं ओर से अंक $y$, 2, 5, $x$, 3 हैं। विषम स्थानों का योग $y$ + 5 + 3 = $8 + y$ है, और सम स्थानों का 2 + $x$। अंतर $6 + y - x$ आता है, जो 0 या 11 होना चाहिए। इससे $x - y = 6$ या $y - x = 5$ मिलता है। अब इन्हें जोड़ी बनाकर देखते हैं। $x + y = 8$ और $x - y = 6$ से $x = 7$ और $y = 1$ आते हैं। बाकी तीन जोड़ियों में या तो दशमलव वाले मान आते हैं, जो अंक हो ही नहीं सकते, या कोई अंक 9 से बड़ा आ जाता है। संख्या 37,521 है, और $x + y$ = 8।

प्रश्न 11

यदि संख्या $4a63b$, 72 से विभाज्य है, तो $a + b$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 72 = 8 × 9। शुरुआत 8 से करते हैं, क्योंकि उसकी जाँच में केवल $b$ आता है। अंतिम तीन अंक $63b$ हैं, जिन्हें 8 से विभाज्य होना चाहिए। 630 से 639 के बीच 8 का एक ही गुणज है, 632 = 8 × 79, तो $b = 2$। अब 9 के लिए 4 + $a$ + 6 + 3 + 2 = $15 + a$ को 9 का गुणज होना चाहिए, तो $a = 3$। संख्या 43,632 = 72 × 606 है, और $a + b$ = 5।

प्रश्न 12

संख्या $34x2y$, 75 से विभाज्य है। ऐसी कितनी संख्याएँ हैं?

उत्तर: 75 = 3 × 25। 25 के लिए अंतिम दो अंक $2y$ को 00, 25, 50 या 75 में से कोई एक होना चाहिए। 2 से शुरू होने वाला इनमें केवल 25 है, तो $y = 5$। अब 3 के लिए 3 + 4 + $x$ + 2 + 5 = $14 + x$ को 3 का गुणज होना चाहिए, तो $x$ = 1, 4 या 7। संख्याएँ 34,125, 34,425 और 34,725 हैं, यानी ऐसी 3 संख्याएँ हैं।

प्रश्न 13

संख्या $x567y$, 36 से विभाज्य है। ऐसी सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 36 = 4 × 9। 4 के लिए अंतिम दो अंक $7y$ को 4 का गुणज होना चाहिए, तो वे 72 या 76 होंगे, यानी $y$ = 2 या 6। 9 के लिए अंकों का योग $18 + x + y$ है। अब दोनों स्थितियाँ देख लेते हैं।

• $y = 2$ हो, तो $x + 2$ को 9 का गुणज होना चाहिए। $x = 7$ आता है, और संख्या 75,672 होगी।
• $y = 6$ हो, तो $x + 6$ को 9 का गुणज होना चाहिए। $x = 3$ आता है, और संख्या 35,676 होगी।

इनमें सबसे बड़ी संख्या 75,672 है।

प्रश्न 14

संख्या $A35B2$, 12 से विभाज्य है। $2A + 3B$ का अधिकतम संभव मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 12 = 3 × 4। 4 के लिए अंतिम दो अंक $B2$ को 4 का गुणज होना चाहिए। 12, 32, 52, 72 और 92, सब चलते हैं, तो $B$ विषम होगा, यानी 1, 3, 5, 7 या 9। 3 के लिए $A$ + 3 + 5 + $B$ + 2 = $10 + A + B$ को 3 का गुणज होना चाहिए। $B$ का गुणांक बड़ा है, इसलिए पहले $B = 9$ लेकर देखते हैं। तब $19 + A$ को 3 का गुणज होना चाहिए, तो $A$ = 2, 5 या 8। $A = 8$ लेने पर 2 × 8 + 3 × 9 = 16 + 27 = 43 आता है। पक्का करने के लिए $B = 7$ भी देख लेते हैं। वहाँ सबसे अच्छा $A = 7$ है, और मान केवल 14 + 21 = 35 आता है। तो सबसे बड़ा मान 43 है, जो संख्या 83,592 से मिलता है।

प्रश्न 15

8,46,375 में से कौन-सी न्यूनतम संख्या घटाई जाए कि प्राप्त संख्या 13 से विभाज्य हो जाए? और कौन-सी न्यूनतम संख्या जोड़ी जाए?

उत्तर: पहले 13 से भाग देते हैं। 846375 = 13 × 65105 + 10, यानी शेषफल 10 है। घटाना हो तो बस शेषफल घटाना है, यानी 10, और 8,46,365 मिलता है। जोड़ना हो तो 13 − 10 = 3 जोड़ने होंगे, और 8,46,378 मिलता है।

प्रश्न 16

47 से विभाज्य पाँच अंकों की सबसे बड़ी संख्या और 83 से विभाज्य छह अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पाँच अंकों की सबसे बड़ी संख्या 99,999 है। 99999 = 47 × 2127 + 30, तो 30 घटाने पर 99,969 मिलता है। छह अंकों की सबसे छोटी संख्या 1,00,000 है। 100000 = 83 × 1204 + 68, तो अगले गुणज तक पहुँचने के लिए 83 − 68 = 15 और चाहिए। इसलिए दूसरी संख्या 1,00,015 है।

प्रश्न 17

300 और 800 के बीच कितनी संख्याएँ 9 से विभाज्य हैं?

उत्तर: 300 के बाद 9 का पहला गुणज 306 है (3 + 0 + 6 = 9)। 800 से पहले अंतिम गुणज 792 है (7 + 9 + 2 = 18)। गिनती = (792 − 306) ÷ 9 + 1 = 54 + 1 = 55। यहाँ 300 और 800 में से कोई भी 9 का गुणज नहीं है, इसलिए "के बीच" लें या "से … तक", उत्तर एक ही आएगा।

प्रश्न 18

1 से 600 तक कितनी संख्याएँ 4 या 6 से विभाज्य हैं? कितनी संख्याएँ 4 से विभाज्य हैं, परंतु 6 से नहीं?

उत्तर: 4 के गुणज 600 ÷ 4 = 150 हैं, और 6 के गुणज 600 ÷ 6 = 100। दोनों से विभाज्य संख्याएँ ल.स. 12 से विभाज्य होंगी, और ये 600 ÷ 12 = 50 हैं। तो 4 या 6 से विभाज्य संख्याएँ 150 + 100 − 50 = 200 हैं। और 4 से विभाज्य पर 6 से नहीं, ऐसी संख्याएँ 150 − 50 = 100 हैं।

प्रश्न 19

100 और 400 के बीच 6 के सभी गुणजों का योग और औसत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहला गुणज 102 है और अंतिम 396। गिनती = (396 − 102) ÷ 6 + 1 = 49 + 1 = 50। औसत = (102 + 396) ÷ 2 = 249। तो योग = 50 × 249 = 12,450।

प्रश्न 20

$7^{20} + 7^{21} + 7^{22}$ निम्नलिखित में से किससे विभाज्य है? (a) 17 (b) 23 (c) 57 (d) 61

उत्तर: सबसे छोटी घात बाहर निकालने पर $7^{20}(1 + 7 + 49) = 7^{20} \times 57$ आता है। 57 तो सीधे भाजक के रूप में सामने आ गया। उत्तर (c) 57 है।

प्रश्न 21

$17^{24} - 1$ निम्नलिखित में से किससे विभाज्य है? (a) 16 (b) 18 (c) 288 (d) ये सभी

उत्तर: $a^n - 1$ हमेशा $a - 1$ से विभाज्य होता है, तो 16 ठीक है। घात 24 सम है, इसलिए यह $a + 1 = 18$ से भी विभाज्य है। फिर $17^{24} - 1 = (17^2)^{12} - 1$ भी लिख सकते हैं, तो यह $17^2 - 1 = 288$ से भी विभाज्य है। तीनों ठीक हैं, इसलिए उत्तर (d) ये सभी है।

प्रश्न 22

किसी तीन अंकों की संख्या को दो बार लिखकर छह अंकों की एक संख्या बनाई जाती है, जैसे 3,62,362। निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या ऐसी हर संख्या को सदा विभाजित करती है? (a) 17 (b) 77 (c) 111 (d) 101

उत्तर: $\overline{abc}$ को दो बार लिखने का मतलब है $\overline{abc} \times 1000 + \overline{abc} = \overline{abc} \times 1001$। और 1001 = 7 × 11 × 13 है, तो 7, 11 और 13 हमेशा भाजक होंगे। 77 = 7 × 11 भी हमेशा बाँटेगा। बाकी विकल्प इस पर निर्भर हैं कि कौन-सी तीन अंकों की संख्या चुनी गई। उत्तर (b) 77 है।