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संख्याओं के समुच्चय, एक के अंदर एक

हर समुच्चय अपने अगले समुच्चय के अंदर पूरा आ जाता है।

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{W} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

• प्राकृत संख्याएँ: गिनती की संख्याएँ, यानी 1, 2, 3 इत्यादि। इनमें 0 नहीं आता।
• पूर्ण संख्याएँ: 0, 1, 2, 3 इत्यादि। यानी प्राकृत संख्याओं के साथ 0 भी।
• पूर्णांक: पूर्ण संख्याएँ और उनके साथ ऋणात्मक संख्याएँ भी, जैसे −1, −2, −3।
• परिमेय संख्याएँ: वे संख्याएँ जो $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखी जा सकें, जहाँ $q \neq 0$ हो। सांत दशमलव (terminating decimal) और आवर्ती दशमलव (recurring decimal) भी इन्हीं में आते हैं।
• अपरिमेय संख्याएँ: इनमें दशमलव के बाद अंक कभी ख़त्म नहीं होते, और न ही किसी क्रम में दोहराते हैं। जैसे $\sqrt{2}$ और $\pi$।
• वास्तविक संख्याएँ: परिमेय और अपरिमेय, दोनों तरह की संख्याएँ मिलाकर।

इन बातों में छात्र अक्सर फँसते हैं। 0 पूर्ण संख्या है, पर प्राकृत संख्या नहीं। प्रश्न में "पूर्णांक, पर पूर्ण संख्या नहीं" लिखा हो, तो उसका मतलब ऋणात्मक संख्या है। $\sqrt{16} = 4$, इसलिए यह परिमेय है। 22/7 परिमेय है, पर $\pi$ परिमेय नहीं है। 22/7 तो उसका बस लगभग मान है। और कोई भी संख्या एक साथ परिमेय और अपरिमेय, दोनों नहीं हो सकती।

परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का जोड़, घटाव और गुणा

• दो परिमेय संख्याओं का जोड़, अंतर और गुणनफल हमेशा परिमेय होता है।
• किसी परिमेय और किसी अपरिमेय संख्या का जोड़ या अंतर हमेशा अपरिमेय होता है।
• शून्य के अलावा किसी भी परिमेय संख्या को अपरिमेय से गुणा करें, तो गुणनफल हमेशा अपरिमेय आता है।
• दो अपरिमेय संख्याओं का जोड़, अंतर या गुणनफल कुछ भी हो सकता है, परिमेय भी और अपरिमेय भी।
• $n$ पूर्ण वर्ग न हो, तो $\sqrt{n}$ अपरिमेय होता है।

कुछ उदाहरण देखिए। $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = 4$, जो परिमेय है। $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$, जो अपरिमेय है। और $(5 + \sqrt{3}) + (5 - \sqrt{3}) = 10$, जो फिर से परिमेय है।

[SSC टिप] परिमेय है या अपरिमेय, यह फ़ैसला करने से पहले संख्या को सरल कर लीजिए। $(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b$ होता है, इसलिए $a$ और $b$ परिमेय हों, तो यह गुणनफल हमेशा परिमेय आता है। नियम में "शून्य के अलावा" इसलिए लिखा है कि $0 \times \sqrt{2} = 0$ होता है।

सांत और आवर्ती दशमलव

• सबसे पहले भिन्न को सरलतम रूप में लाइए।
• अब हर में 2 और 5 के सिवा कोई अभाज्य गुणनखंड न हो, तो दशमलव सांत होगा, वरना आवर्ती। जैसे 56 में 7 है, फिर भी 21/56 = 3/8 सांत है, क्योंकि सरल करने पर 7 कट जाता है।
• भिन्न $\frac{a}{2^m \times 5^n}$ के रूप में हो, तो $m$ और $n$ में से जो बड़ा हो, दशमलव के बाद उतने ही अंक आते हैं।

आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलना। हर में कितने 9 और कितने 0 लगेंगे, यह दशमलव के बाद के अंक देखकर तय होता है।

• शुद्ध आवर्ती दशमलव हो, तो हर में उतने 9 लिखिए जितने आवर्ती अंक हैं। जैसे $0.\overline{45} = \frac{45}{99}$।
• मिश्रित आवर्ती दशमलव हो, तो हर में पहले उतने 9 लिखिए जितने आवर्ती अंक हैं, फिर बार के बाहर जितने अंक हैं, उतने 0। जैसे $0.1\overline{6} = \frac{16 - 1}{90}$।
• $0.\overline{9} = 1$ होता है, इससे ज़रा भी कम नहीं।

आवर्ती दशमलवों को जोड़ना हो, तो पहले उन्हें भिन्न में बदलिए, फिर जोड़िए। अंक-दर-अंक जोड़ने से उत्तर गलत आता है।

अभाज्य, सह-अभाज्य और अंकों की बातें

• 1 न अभाज्य संख्या है, न भाज्य संख्या। 2 ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
• 100 तक 25 अभाज्य संख्याएँ हैं, और इनमें से 15 तो 50 तक ही आ जाती हैं।
• $n$ अभाज्य है या नहीं, यह जाँचना हो, तो उसे $\sqrt{n}$ तक की अभाज्य संख्याओं से भाग देकर देखिए। इनमें से कोई भी उसे पूरा-पूरा न बाँटे, तो वह अभाज्य है।
• जिन दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) 1 हो, वे सह-अभाज्य (co-prime) होती हैं। दो क्रमागत संख्याएँ हमेशा सह-अभाज्य होती हैं। 8 और 15 भी सह-अभाज्य हैं, जबकि इनमें से कोई भी अभाज्य नहीं है।
• 91, 119, 133, 143, 161, 187, 203, 209 और 221 देखने में अभाज्य लगती हैं, पर इनमें से कोई भी अभाज्य नहीं है।
• किसी अंक का स्थानीय मान (place value) निकालने के लिए उसे उसके स्थान के मान से गुणा कीजिए। जातीय मान (face value) बस वह अंक ख़ुद होता है।
• दो अंकों की किसी संख्या के अंक a और b हों, तो उसमें से अंक उलटकर बनी संख्या घटाने पर $9(a - b)$ आता है। दोनों को जोड़ें, तो $11(a + b)$ आता है।

विभाज्यता के नियम

1001 = 7 × 11 × 13 होता है। इसलिए abcabc जैसी छह अंकों की हर संख्या 7, 11 और 13, तीनों से विभाज्य होती है।

भाज्य संख्या वाले भाजक और लुप्त अंक

• सह-अभाज्य गुणनखंड लीजिए। भाज्य संख्या वाले भाजक को दो सह-अभाज्य गुणनखंडों में तोड़िए, जैसे 24 = 3 × 8, 36 = 4 × 9, 72 = 8 × 9, 88 = 8 × 11 और 99 = 9 × 11। 24 के लिए 4 × 6 कभी मत लीजिए, क्योंकि 4 और 6 दोनों में 2 उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
• लुप्त अंक ढूँढना हो, तो पहले अंतिम अंकों वाला नियम लगाइए, जैसे 5, 4 या 8 का। फिर अंकों के योग वाला या 11 वाला नियम देखिए।
• 99 से विभाज्यता जाँचनी हो, तो दाईं ओर से दो-दो अंकों के जोड़े बनाकर उन्हें जोड़िए। यह योग 99 का गुणज होना चाहिए।
• घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या शेषफल के बराबर होती है। जोड़ी जाने वाली न्यूनतम संख्या भाजक − शेषफल होती है।
• n अंकों का सबसे बड़ा गुणज चाहिए, तो n अंकों की सबसे बड़ी संख्या को भाजक से भाग दीजिए और उसमें से शेषफल घटा दीजिए।

गुणजों की गिनती और योग

• 1 से $N$ तक $k$ के कितने गुणज हैं, यह जानने के लिए $N \div k$ का पूर्णांक भाग लीजिए, यानी दशमलव के बाद वाला हिस्सा छोड़ दीजिए।
• $a$ और $b$ दोनों से विभाज्य संख्याएँ गिननी हों, तो उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के गुणज गिनिए।
• जो संख्याएँ $a$ से विभाज्य हों पर $b$ से नहीं, उन्हें गिनने के लिए $a$ के गुणजों में से ल.स.($a$, $b$) के गुणज घटा दीजिए।
• $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ होता है। पहली $n$ विषम संख्याओं का योग $n^2$ होता है।
• किसी दायरे में आने वाले गुणजों का योग निकालना हो, तो उनकी गिनती को (पहला + अंतिम) से गुणा करके 2 से भाग दीजिए।
• $a^n - b^n$ हमेशा $a - b$ से विभाज्य होता है। $a + b$ से यह तभी विभाज्य होता है, जब $n$ सम हो।
• $a^n + b^n$ तब $a + b$ से विभाज्य होता है, जब $n$ विषम हो।

गुणनखंडों के सूत्र

मान लीजिए किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन $N = p^a \times q^b \times r^c$ है। तब ये सूत्र लगते हैं।

• गुणनखंडों की संख्या $(a + 1)(b + 1)(c + 1)$ होती है।
• विषम गुणनखंड गिनने हों, तो 2 की घात छोड़ दीजिए और बाकी घातों पर यही सूत्र लगाइए।
• सम गुणनखंड = कुल गुणनखंड − विषम गुणनखंड।
• जो गुणनखंड पूर्ण वर्ग हों, उन्हें गिनने के लिए केवल सम घातें लीजिए। जैसे $2^4$ में से 2 की घात 0, 2 या 4 ही ली जा सकती है, यानी 3 विकल्प हैं।
• [Tier 2] गुणनखंडों का योग $(1 + p + \dots + p^a)(1 + q + \dots + q^b)(1 + r + \dots + r^c)$ होता है।

जैसे 540 = $2^2 \times 3^3 \times 5$। इसके 3 × 4 × 2 = 24 गुणनखंड हैं। 2 की घात छोड़ दें, तो 4 × 2 = 8 विषम गुणनखंड बचते हैं, और बाकी 16 सम हैं।

केवल पूर्ण वर्गों के गुणनखंडों की संख्या विषम होती है, किसी और संख्या की नहीं।

अंत के शून्य और अधिकतम घात

• $n!$ के अंत के शून्य (trailing zeros) गिनने के लिए $n \div 5$, $n \div 25$, $n \div 125$, … के भागफल जोड़िए, और हर बार शेषफल छोड़ दीजिए। जैसे $100!$ के अंत में 20 + 4 = 24 शून्य हैं।
• $n!$ में किसी अभाज्य $p$ की अधिकतम घात भी इसी तरह निकलती है। बस $p$, $p^2$, $p^3$, … से भाग दीजिए।
• [Tier 2] क्रमगुणित में किसी भाज्य संख्या की अधिकतम घात चाहिए, जैसे 12 की, तो पहले उसे तोड़िए, $12 = 2^2 \times 3$। अब 2 की घात और 3 की घात अलग-अलग निकालिए। 2 वाली गिनती को आधा कीजिए, क्योंकि 12 में 2 की घात 2 है। फिर दोनों में से जो छोटी हो, वही उत्तर है।
• किसी गुणनफल के अंत में कितने शून्य हैं, यह जानने के लिए उसमें 2 और 5 के गुणनखंड गिनिए। जो गिनती छोटी हो, उतने ही शून्य होंगे।

पूर्ण वर्ग

• पूर्ण वर्ग का अंतिम अंक 0, 1, 4, 5, 6 या 9 ही होता है, कभी 2, 3, 7 या 8 नहीं।
• पूर्ण वर्ग के अंत में शून्य हमेशा जोड़ियों में आते हैं। इसलिए 1600 पूर्ण वर्ग हो सकता है, पर 16000 नहीं।
• पूर्ण वर्ग के अभाज्य गुणनखंडन में हर अभाज्य की घात सम होती है।
• किसी संख्या को सबसे छोटी संख्या से गुणा या भाग करके पूर्ण वर्ग बनाना हो, तो उसके अभाज्य गुणनखंडन में विषम घात वाले अभाज्य देखिए। इनका गुणनफल ही वह सबसे छोटी संख्या है।
• पूर्ण वर्ग बनाने के लिए जोड़ी या घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या चाहिए, तो संख्या के ठीक ऊपर और ठीक नीचे वाले पूर्ण वर्ग देखिए।
• A और B के बीच कितने पूर्ण वर्ग हैं, यह जानने के लिए वे संख्याएँ गिनिए जिनके वर्ग इस दायरे में आते हैं।
• दी गई संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटा पूर्ण वर्ग चाहिए, तो पहले उनका ल.स. निकालिए, फिर उसके अभाज्य गुणनखंडन में हर घात को सम बना दीजिए।

शेषफल और भाजक बदलना

• भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल। शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है।
• योग या गुणनफल का शेषफल चाहिए, तो हर संख्या का शेषफल लेकर उन्हीं पर हिसाब कीजिए। नतीजा भाजक से बड़ा आए, तो उसे फिर से भाजक से भाग दीजिए।
• भाजक बदलना। मान लीजिए N को D से भाग देने पर शेषफल r आता है, और d, D को पूरा बाँटता है। तब N को d से भाग देने पर वही शेषफल आएगा जो r को d से भाग देने पर आता है। d, D को पूरा न बाँटे, तो उत्तर तय नहीं हो सकता।
• ऋणात्मक शेषफल से समय बचता है। जैसे 17 को 18 से भाग देने पर शेषफल −1 मान लीजिए। अंत में उत्तर ऋणात्मक आए, तो उसमें भाजक जोड़ दीजिए।
• हर भाजक से भाग देने पर वही शेषफल r बचे, तो N = ल.स. × k + r होगा।
• हर बार भाजक और शेषफल का अंतर एक ही हो, मान लीजिए c, तो N = ल.स. × k − c होगा।

बड़ी घातें और इकाई अंक का चक्र

• बड़ी घात का शेषफल चाहिए, तो ऐसी छोटी घात ढूँढिए जिसका शेषफल 1 या −1 आए। जैसे $2^4 = 16$ को 5 से भाग देने पर शेषफल 1 आता है, और 17 से भाग देने पर −1।
• $(D - 1)^n$ को D से भाग देने पर $n$ सम हो तो शेषफल 1 आता है, और $n$ विषम हो तो D − 1।
• [Tier 2] $p$ अभाज्य हो और $a$ को पूरा न बाँटे, तो $a^{p-1}$ को $p$ से भाग देने पर शेषफल 1 आता है।
• इकाई अंक। 0, 1, 5 और 6 पर ख़त्म होने वाली संख्याओं की घातों का इकाई अंक कभी नहीं बदलता। 4 और 9 पर ख़त्म होने वाली संख्याओं में चक्र 2 घातों का होता है। 2, 3, 7 और 8 में चक्र 4 घातों का होता है। 2 के लिए यह 2-4-8-6 है, 3 के लिए 3-9-7-1, 7 के लिए 7-9-3-1 और 8 के लिए 8-4-2-6।
• घात को 4 से भाग दीजिए, और जितना शेषफल आए, चक्र में उसी स्थान वाला अंक लीजिए। शेषफल 0 आए, तो उसे 4 मानिए, यानी चक्र का चौथा अंक लीजिए।

म.स. और ल.स. के नियम

• म.स. में केवल उभयनिष्ठ अभाज्य आते हैं, अपनी सबसे छोटी घातों के साथ। ल.स. में सभी अभाज्य आते हैं, अपनी सबसे बड़ी घातों के साथ।
• म.स. × ल.स. = दोनों संख्याओं का गुणनफल। यह नियम केवल दो संख्याओं पर चलता है, तीन पर नहीं।
• म.स. हमेशा ल.स. को पूरा बाँटता है। सह-अभाज्य संख्याओं का म.स. 1 होता है और ल.स. उनका गुणनफल होता है।
• दो संख्याओं का अनुपात सरलतम रूप में $a : b$ हो और म.स. $h$ हो, तो संख्याएँ $ah$ और $bh$ होंगी। उनका ल.स. $abh$ होगा।
• भिन्नों का म.स. निकालने के लिए अंशों के म.स. को हरों के ल.स. से भाग दीजिए। ल.स. के लिए अंशों के ल.स. को हरों के म.स. से भाग दीजिए।
• दशमलव संख्याओं का म.स. या ल.स. चाहिए, तो पहले सबमें दशमलव के बाद अंकों की संख्या बराबर कर लीजिए। फिर उन्हें पूर्ण संख्याएँ मानकर हिसाब कीजिए और अंत में दशमलव बिंदु वापस लगा दीजिए।
• कितनी जोड़ियों का म.स. $h$ और गुणनफल P है, यह गिनना हो, तो ऐसी सह-अभाज्य जोड़ियाँ गिनिए जिनका गुणनफल $P \div h^2$ हो।

शाब्दिक प्रश्नों में म.स. और ल.स. की पहचान

म.स. वाले शब्द। प्रश्न में महत्तम, सबसे बड़ा, अधिकतम, बराबर टुकड़े, सबसे बड़ी टाइल, सबसे लंबी रस्सी, सबसे बड़ा बर्तन, या बराबर बाँटने के लिए अधिक से अधिक छात्र जैसी बातें हों, तो आमतौर पर म.स. निकालना होता है।

ल.स. वाले शब्द। प्रश्न में न्यूनतम, सबसे छोटा, घंटियों का फिर एक साथ बजना, बत्तियों का एक साथ जलना-बुझना, आरंभ बिंदु पर फिर मिलना, "… की पंक्तियों में सजाने के लिए न्यूनतम संख्या" या टाइलों से बना सबसे छोटा वर्ग जैसी बातें हों, तो ज़्यादातर ल.स. लगता है।

• हर बार वही शेषफल r बचना हो, तो सबसे बड़ा भाजक (हर संख्या − r) का म.स. होगा। और ऐसी सबसे छोटी संख्या पूछी जाए जिसे इन संख्याओं से भाग देने पर हर बार r बचे, तो वह ल.स. + r होगी।
• शेषफल अलग-अलग हों, तो पहले हर संख्या में से उसका अपना शेषफल घटाइए, फिर म.स. निकालिए।
• सबसे पहले सभी माप एक ही इकाई में बदल लीजिए, जैसे मीटर को सेमी में और मिनट को सेकंड में।
• "कितनी बार एक साथ" वाले प्रश्न में जाँच लीजिए कि शुरू वाली बार भी गिननी है या नहीं।