शॉर्टकट और तेज़ तरीके

संख्याओं के प्रकार और दशमलव

टियर 1 में गणित के 25 प्रश्नों के लिए 15 मिनट मिलते हैं। मतलब एक प्रश्न पर लगभग 36 सेकंड।

संख्या पद्धति के प्रश्न अक्सर पूरे पेपर में सबसे जल्दी हो जाते हैं। कोशिश कीजिए कि ये 15 से 20 सेकंड में हो जाएँ। जो समय बचेगा, वह लंबे प्रश्नों में काम आएगा।

इन प्रश्नों में ज़्यादातर समय तब बचता है जब आप पूरा हल करने के बजाय जाँच करते हैं। संख्याओं के समुच्चयों के बारे में कोई गलत कथन दिया हो, तो −1 जैसी कोई एक संख्या रखकर देखिए। कथन वहीं गलत साबित हो जाता है। गुणनफल या वर्गमूल वाले प्रश्नों में अक्सर विकल्पों का आख़िरी अंक देखकर ही उत्तर तय हो जाता है।

आगे हर तरीके के साथ यह भी देखेंगे कि उसमें गलती कहाँ होती है। जैसे कई छात्र भिन्न को सरलतम रूप में लाए बिना ही हर देखकर तय कर लेते हैं कि दशमलव सांत होगा या नहीं।

एक संख्या से कथन की जाँच

कई प्रश्नों में विकल्प कथनों के रूप में होते हैं, जैसे "हर पूर्ण संख्या एक प्राकृत संख्या है"। कभी समुच्चयों के नाम दिए होते हैं और पूछा जाता है, "किस समुच्चय में केवल धनात्मक संख्याएँ हैं?" ऐसे में कथन को सही साबित करने में समय मत लगाइए। कोई एक संख्या ढूँढिए जो उसे गलत साबित कर दे।

इसके लिए चार परीक्षण-संख्याएँ हमेशा ध्यान में रखिए, 0, −1, 1/2 और $\sqrt{2}$। इस विषय के लगभग हर गलत कथन को इनमें से कोई न कोई संख्या गलत साबित कर देती है।

मान लीजिए कथन है, "हर पूर्णांक एक पूर्ण संख्या है"। इस पर −1 रखकर देखिए। −1 पूर्णांक तो है, पर पूर्ण संख्या नहीं है। बस तीन सेकंड में कथन गलत साबित हो गया।

एक बात समझ लीजिए। परीक्षण-संख्या से कथन गलत तो साबित हो सकता है, पर सही साबित नहीं होता। अगर चारों में से कोई भी संख्या कथन को गलत साबित न कर पाए, तो कथन शायद सही है। पक्का करने के लिए एक बार परिभाषा पढ़ लीजिए।

छोटे शब्दों पर भी नज़र रखिए। "परिमेय × अपरिमेय = अपरिमेय" सुनने में ठीक लगता है, पर $0 \times \sqrt{2} = 0$ से यह गलत साबित हो जाता है। इसीलिए सही नियम में लिखा जाता है कि परिमेय संख्या शून्येतर हो, यानी 0 न हो।

आवर्ती दशमलव में 9 और 0 का नियम

जब प्रश्न में किसी अंक के ऊपर बार दिखे, या आवर्ती दशमलवों (recurring decimal) को जोड़ना या घटाना हो, तो पहले उन्हें भिन्न में बदल लीजिए। तरीका सीधा है।

ऊपर अंश में दशमलव के बाद के सारे अंक लिखिए, और उसमें से बिना बार वाला हिस्सा घटा दीजिए। नीचे हर में जितने अंकों पर बार है उतने 9 लिखिए, और उनके बाद जितने अंक बिना बार के हैं उतने 0।

एक उदाहरण देखिए। $0.3\overline{18} = \frac{318 - 3}{990} = \frac{315}{990} = \frac{7}{22}$। यहाँ 3 पर बार नहीं है और 18 पर बार है। इसलिए ऊपर 318 − 3 लिखा, और नीचे दो 9 के बाद एक 0, यानी 990।

पूर्ण संख्या वाला भाग इस नियम में नहीं आता। उसे अलग रखिए और अंत में जोड़िए। $2.\overline{4} = 2 + \frac{4}{9} = \frac{22}{9}$ होता है, $\frac{24}{99}$ नहीं।

9 हमेशा 0 से पहले लिखे जाते हैं। ऊपर वाले उदाहरण में नीचे 990 आया, 099 या 909 नहीं।

और अगर किसी अंक पर बार है ही नहीं, तो एक भी 9 नहीं लगेगा। 0.35 बस 35/100 है।

हर में केवल 2 और 5 हों तो सांत दशमलव

सांत दशमलव (terminating decimal) वह है जो कुछ अंकों के बाद ख़त्म हो जाता है। परीक्षा में पूछा जाता है, "इनमें से किस भिन्न का दशमलव रूप सांत है?" सबसे पहले भिन्न को सरलतम रूप में लाइए। उसके बाद केवल हर देखिए। हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों, तो दशमलव सांत होगा।

दशमलव के बाद कितने अंक आएँगे, यह भी हर से पता चल जाता है। हर में 2 की घात और 5 की घात में से जो बड़ी हो, दशमलव के बाद उतने ही अंक होंगे।

अब 21/56 देखिए। पहली नज़र में लगता है कि यह आवर्ती होगा, क्योंकि 56 = 8 × 7 है और हर में 7 है। पर 21/56 = 3/8, और 8 = $2^3$। तो दशमलव 3 स्थानों के बाद ख़त्म हो जाता है, 0.375।

कई छात्र भिन्न को सरल करना ही भूल जाते हैं। हर में 3 या 7 दिखे, तो वह तभी मायने रखता है जब काटने के बाद भी हर में बचा रहे। सरलतम रूप में लाने के बाद अंश से कोई फ़र्क नहीं पड़ता।

विभाज्यता और लुप्त अंक

भाज्य संख्या वाले भाजक

जब भाजक 12, 18, 24, 36, 45, 72, 88, 99 या कोई और भाज्य संख्या हो, तो उसका अलग नियम याद करने की ज़रूरत नहीं। भाजक को दो संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखिए। ये दोनों सह-अभाज्य (co-prime) होनी चाहिए, और इनके नियम आपको पता होने चाहिए। फिर संख्या को दोनों से जाँचिए।

मान लीजिए देखना है कि 4,73,616, 24 से विभाज्य है या नहीं। आख़िरी तीन अंक 616 हैं, और 616 = 8 × 77, तो 8 वाली जाँच पास हो गई। अंकों का योग 4 + 7 + 3 + 6 + 1 + 6 = 27 है, तो 3 वाली जाँच भी पास। इसलिए संख्या 24 से विभाज्य है।

99 के लिए इससे भी तेज़ तरीका है। संख्या को दाईं ओर से दो-दो अंकों के समूहों में बाँटिए और इन समूहों को जोड़ दीजिए। योग 99 का गुणज हो, तो संख्या भी 99 का गुणज है। जैसे 6,64,884 में 84 + 48 + 66 = 198 = 2 × 99, तो यह संख्या 99 से विभाज्य है।

ध्यान रखिए, दोनों टुकड़े सह-अभाज्य होने चाहिए। 24 = 4 × 6 लिखना ठीक लगता है, पर 4 और 6 दोनों 2 से कट जाते हैं। 36, 4 से भी विभाज्य है और 6 से भी, फिर भी 36 ÷ 24 पूर्ण संख्या नहीं है।

72 = 4 × 18 लिखने में भी यही गड़बड़ है। 36 दोनों जाँचें पास कर लेता है, पर 72 का गुणज नहीं है।

दो-दो अंकों के समूह जोड़ने वाला तरीका केवल 99 और उसके गुणनखंडों पर चलता है। पास की संख्याओं, जैसे 98 या 101, पर यह नहीं चलता।

9 और 11 वाले लुप्त अंक

कभी संख्या के किसी अंक की जगह कोई अक्षर लिखा होता है, और बताया जाता है कि संख्या 9 या 11 से, या 72, 88, 99 जैसी किसी भाज्य संख्या से विभाज्य है। तब लुप्त अंक 9 और 11 के नियम से ऐसे निकालिए।

9 के लिए ज्ञात अंकों का योग निकालिए। लुप्त अंक वह है जो इस योग को 9 के अगले गुणज तक पहुँचा दे। जैसे 63k812, 9 से विभाज्य है। ज्ञात अंकों का योग 6 + 3 + 8 + 1 + 2 = 20 है। 9 का अगला गुणज 27 है, तो k = 7।

11 के लिए दाईं ओर से गिनकर विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग अलग-अलग निकालिए। फिर लुप्त अंक ऐसा रखिए कि दोनों का अंतर 0, 11 या −11 हो जाए। जैसे 8k5764, 11 से विभाज्य है। दाईं ओर से विषम स्थानों का योग 4 + 7 + k = 11 + k है, और सम स्थानों का 6 + 5 + 8 = 19। अंतर k − 8 है, और इसे 0 होना चाहिए, तो k = 8।

दो लुप्त अंक हों और भाजक 72 या 88 जैसा हो, तो पहले 8 वाली जाँच निपटाइए। वह केवल आख़िरी तीन अंक देखती है, इसलिए आख़िरी अंक जल्दी तय हो जाता है। फिर दूसरे अंक के लिए 9 या 11 का नियम लगाइए।

यहाँ तीन गलतियाँ बहुत होती हैं।

• ज्ञात अंकों का योग पहले से ही 9 का गुणज हो, तो लुप्त अंक 0 या 9 हो सकता है। "कितने मान संभव हैं?" वाले प्रश्न ठीक इसी बात पर बनते हैं।
• 11 वाले प्रश्नों में लोग केवल अंतर 0 आज़माते हैं। उससे अंक 0 से नीचे या 9 से ऊपर आए, तो हार मानने से पहले 11 और −11 भी आज़माइए।
• 8 की जाँच में आख़िरी अंक के दो मान भी चल सकते हैं, जैसे 480 और 488 दोनों 8 के गुणज हैं। इसलिए दोनों मान लेकर आगे जाँचिए।

जोड़ी या घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या

सारा काम शेषफल से

प्रश्न ऐसे आता है, "N में कम से कम कौन-सी संख्या जोड़ी जाए (या N में से घटाई जाए) कि वह d से विभाज्य हो जाए?" इसी तरह यह भी पूछा जाता है कि d का n अंकों वाला सबसे बड़ा या सबसे छोटा गुणज कौन-सा है।

N को d से एक बार भाग दीजिए और शेषफल r निकालिए। घटाना हो तो r घटाइए। जोड़ना हो तो d − r जोड़िए।

जैसे 8,439 ÷ 37 करने पर शेषफल 3 आता है, क्योंकि 37 × 228 = 8,436। तो घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या 3 है, और जोड़ी जाने वाली न्यूनतम संख्या 37 − 3 = 34।

n अंकों वाले गुणज के लिए n अंकों की सबसे बड़ी या सबसे छोटी संख्या से शुरू कीजिए। 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। 9999 ÷ 37 में शेषफल 9 बचता है, तो 37 का 4 अंकों वाला सबसे बड़ा गुणज 9999 − 9 = 9990 है।

4 अंकों की सबसे छोटी संख्या 1000 है। 1000 ÷ 37 में शेषफल 1 बचता है, तो 4 अंकों वाला सबसे छोटा गुणज 1000 + (37 − 1) = 1036 है।

इन प्रश्नों में तीन बातों का ध्यान रखिए।

• जोड़ने वाली और घटाने वाली संख्या में गड़बड़ मत कीजिए। घटाना है तो r, जोड़ना है तो d − r। विकल्पों में लगभग हमेशा दोनों संख्याएँ होती हैं, इसलिए निशान लगाने से पहले प्रश्न एक बार फिर पढ़ लीजिए।
• शेषफल 0 आए, तो उत्तर 0 है। संख्या पहले से विभाज्य है, कुछ जोड़ना-घटाना ही नहीं है।
• कई भाजक हों, जैसे "12, 18 और 30 से विभाज्य", तो पहले उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), यानी ल.स., निकालिए। फिर उसी को d मानिए।

गुणज गिनना और जोड़ना

किसी सीमा में कितने गुणज

जब पूछा जाए, "a से b तक कितनी संख्याएँ k से विभाज्य हैं?", तो यह सूत्र लगाइए।

$$\text{गिनती} = \left\lfloor \frac{b}{k} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{a-1}{k} \right\rfloor$$

$\lfloor x \rfloor$ का मतलब है केवल पूर्ण संख्या वाला भाग। यानी भाग दीजिए और शेषफल छोड़ दीजिए।

जैसे 100 से 500 तक 7 के गुणज गिनने हैं। 500 में 7 का भाग देने पर 71 आता है, और 99 में 7 का भाग देने पर 14। तो गुणज 71 − 14 = 57 हैं।

"6 और 8 दोनों से विभाज्य" पूछा हो, तो उनके ल.स. 24 के गुणज गिनिए। "6 या 8 से विभाज्य" पूछा हो, तो दोनों की गिनतियाँ जोड़िए और फिर 24 के गुणज एक बार घटा दीजिए, क्योंकि वे दो बार गिने गए हैं।

यहाँ ये गलतियाँ आम हैं।

• a − 1 की जगह a ले लेना। 105 से 210 तक 7 के 16 गुणज हैं, पर 210 ÷ 7 − 105 ÷ 7 = 30 − 15 = 15 आता है। इसमें 105 ख़ुद छूट गया।
• "100 और 500 के बीच" लिखा हो, तो कभी-कभी दोनों छोर नहीं गिने जाते। इससे फ़र्क तभी पड़ता है जब कोई छोर ख़ुद गुणज हो, इसलिए छोरों पर एक नज़र डाल लीजिए।
• "6 और 8 दोनों" के लिए ल.स. 24 के गुणज गिनने हैं, 6 × 8 = 48 के नहीं।

गुणजों का योग

कभी गुणजों का योग पूछा जाता है, जैसे "a और b के बीच k के सभी गुणजों का योग ज्ञात कीजिए"। यही तरीका ऐसी किसी भी सूची पर चलता है जिसके पदों के बीच का अंतर हर जगह एक जैसा हो।

$$\text{योग} = \text{गिनती} \times \frac{\text{पहला} + \text{आख़िरी}}{2}$$

ऊपर वाला उदाहरण लीजिए। 100 से 500 तक 7 के गुणज 105 से 497 तक हैं, और उनकी गिनती 57 है। योग = 57 × (105 + 497)/2 = 57 × 301 = 17,157।

यहाँ "पहला" और "आख़िरी" का मतलब पहला और आख़िरी गुणज है, सीमा के छोर नहीं। अगर (100 + 500)/2 = 300 लेकर 57 × 300 = 17,100 लिख दिया, तो उत्तर गलत होगा। और यही संख्या अक्सर विकल्पों में दी होती है।

यह तरीका तभी चलता है जब पदों के बीच का अंतर स्थिर हो।

तीन ख़ास योग याद कर लीजिए। पहला, $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$। दूसरा, पहली n विषम संख्याओं का योग $n^2$ होता है। तीसरा, पहली n सम संख्याओं का योग $n(n+1)$ होता है।

गुणनखंड और अंत के शून्य

घातों से गुणनखंडों की गिनती

SSC में अक्सर पूछा जाता है, "N के कितने गुणनखंड (भाजक) हैं?" कभी केवल विषम या केवल सम गुणनखंड पूछे जाते हैं।

N को अभाज्य संख्याओं की घातों के गुणनफल के रूप में लिखिए, $N = p^a \times q^b \times r^c$। तब गुणनखंडों की संख्या $(a+1)(b+1)(c+1)$ होती है। मतलब हर घात में 1 जोड़कर सबका गुणा कर दीजिए।

जैसे 720 = $2^4 \times 3^2 \times 5$। घातें 4, 2 और 1 हैं, तो गुणनखंड 5 × 3 × 2 = 30 हैं।

विषम गुणनखंडों में 2 आता ही नहीं, तो 2 वाला हिस्सा छोड़ दीजिए। तो विषम गुणनखंड 3 × 2 = 6 हैं। सम गुणनखंड बाकी सब हैं, यानी 30 − 6 = 24।

ध्यान रखिए कि आधार अभाज्य ही हों। 720 को $4^2 \times 45$ या 8 × 9 × 10 लिखकर उन्हीं घातों से गिनेंगे, तो गिनती गलत आएगी।

यह भी देखिए कि प्रश्न में गिनना क्या है। "गुणनखंड" में 1 और संख्या ख़ुद, दोनों शामिल होते हैं। "संख्या को छोड़कर गुणनखंड" पूछा हो, तो 1 घटा दीजिए।

उत्तर की जल्दी जाँच के लिए एक बात याद रखिए। पूर्ण वर्ग के गुणनखंडों की संख्या हमेशा विषम होती है।

$n!$ के अंत में शून्य

मान लीजिए पूछा गया है, "$250!$ के अंत में कितने शून्य हैं?" कभी यही बात 1 × 2 × 3 × … × n के रूप में पूछी जाती है। इस गुणनफल को n का क्रमगुणित (factorial) कहते हैं। इसके अंत के शून्य (trailing zeros) गिनने का तरीका सीधा है।

n को 5 से भाग दीजिए और शेषफल छोड़ दीजिए। जो आए, उसे फिर 5 से भाग दीजिए। 0 आने तक यही करते रहिए। फिर सारे भागफल जोड़ दीजिए।

$250!$ के लिए 250 ÷ 5 = 50, 50 ÷ 5 = 10, 10 ÷ 5 = 2, और 2 में 5 का भाग देने पर 0 आता है। तो शून्य 50 + 10 + 2 = 62 हैं।

दो गलतियों से बचिए।

• पहले भाग पर ही रुक जाना। यहाँ जो 50 पर रुक गया, वह गलत विकल्प चुनेगा, क्योंकि 50 अक्सर विकल्पों में दिया होता है। ऐसा करने से 25, 50, 75, 125 जैसी संख्याओं में छिपे अतिरिक्त 5 छूट जाते हैं।
• यह तरीका क्रमगुणित पर इसलिए चलता है कि उसमें 2 हमेशा 5 से ज़्यादा होते हैं। किसी दूसरे गुणनफल में 2 और 5 दोनों गिनिए, और जिनकी गिनती कम हो, उतने ही शून्य मानिए। जैसे $2^4 \times 5^9$ में 2 और 5 की केवल 4 जोड़ियाँ हैं, तो अंत में 4 शून्य होंगे, 9 नहीं।

पूर्ण वर्ग

क्या यह संख्या पूर्ण वर्ग हो सकती है?

कई बार पूछा जाता है, "इनमें से कौन-सा पूर्ण वर्ग है?" या "इनमें से कौन-सा पूर्ण वर्ग नहीं हो सकता?" यहाँ तीन जाँचें बहुत जल्दी हो जाती हैं।

1. आख़िरी अंक: वर्ग के अंत में कभी 2, 3, 7 या 8 नहीं आता। अंत में शून्यों की संख्या भी कभी विषम नहीं होती।
2. आख़िरी दो अंक: संख्या 5 पर ख़त्म हो, तो अंत में 25 होना चाहिए। 6 पर ख़त्म हो, तो दहाई अंक विषम होना चाहिए। 1, 4 या 9 पर ख़त्म हो, तो दहाई अंक सम होना चाहिए।
3. अंकों का योग: एक अंक बचने तक अंकों को जोड़ते जाइए। पूर्ण वर्ग में यह हमेशा 1, 4, 7 या 9 आता है।

जैसे 59,048 का अंत 8 पर है, तो यह बाहर। 63,246 का अंत 46 पर है। 6 पर ख़त्म होने वाले वर्ग में दहाई अंक विषम होना चाहिए, तो यह भी बाहर।

31,684 तीनों जाँचें पास करता है। इसके अंकों का योग 22 है, फिर 4। और सच में 31,684 = $178^2$ है।

पर याद रखिए, ये जाँचें केवल किसी संख्या को बाहर कर सकती हैं। जाँच पास कर लेने से यह साबित नहीं होता कि संख्या वर्ग है। 4,321 का अंत 1 पर है, दहाई अंक सम है, और अंकों का योग 10 और फिर 1 आता है। इसके बावजूद यह वर्ग नहीं है, क्योंकि $65^2 = 4225$ और $66^2 = 4356$।

अगर दो विकल्प बच जाएँ, तो अगला तरीका लगाइए, या जो मूल हो सकता है उसका वर्ग करके देख लीजिए।

5 अंकों की संख्या का वर्गमूल

कई बार पहले से पता होता है कि संख्या पूर्ण वर्ग है। या तो प्रश्न ख़ुद ऐसा कहता है, या हर विकल्प पूर्ण संख्या होता है। तब उसका मूल जल्दी निकालने के लिए ये तीन कदम कीजिए।

1. आख़िरी अंक से मूल के आख़िरी अंक के दो विकल्प मिलते हैं। संख्या का अंत 1 हो तो मूल का 1 या 9, 4 हो तो 2 या 8, 9 हो तो 3 या 7, 6 हो तो 4 या 6, 5 हो तो 5, और 0 हो तो 0।
2. आख़िरी दो अंक ढक दीजिए। बचे भाग में जो सबसे बड़ा वर्ग समा जाए, उसका मूल n लीजिए। उत्तर n से शुरू होगा।
3. अगर बचा भाग कम से कम n × (n + 1) है, तो दोनों विकल्पों में से बड़ा अंक लीजिए। वरना छोटा।

अब $\sqrt{54756}$ निकालते हैं। आख़िरी अंक 6 है, तो मूल का अंत 4 या 6 पर होगा। 56 ढकने पर 547 बचता है। $23^2 = 529$ इसमें समा जाता है, तो मूल 23 से शुरू होगा। 23 × 24 = 552 है, जो 547 से अधिक है। इसलिए छोटा विकल्प लेंगे, और मूल 234 है।

ध्यान रखिए, यह तरीका मानकर चलता है कि संख्या सच में पूर्ण वर्ग है। जो संख्या वर्ग नहीं है, उस पर भी यह कोई उत्तर दे देगा, बस वह उत्तर गलत होगा।

6 अंकों वाले वर्गों पर भी यही कदम चलते हैं। तब ढकने के बाद 4 अंकों का भाग बचता है।

पूर्ण वर्ग बनाने के लिए न्यूनतम गुणा या भाग

इस तरह का प्रश्न भी ख़ूब आता है, "N को कम से कम किस संख्या से गुणा करें (या भाग दें) कि वह पूर्ण वर्ग बन जाए?"

N का पूरा अभाज्य गुणनखंडन कीजिए और बराबर अभाज्यों के जोड़े बनाइए। जिन अभाज्यों की घात विषम है, उन्हें छाँट लीजिए। उनके गुणनफल से गुणा या भाग कर दीजिए।

जैसे 1,188 = $2^2 \times 3^3 \times 11$। यहाँ 3 और 11 की घातें विषम हैं। तो उत्तर 3 × 11 = 33 है, गुणा करना हो तब भी और भाग देना हो तब भी। जाँच कर लीजिए। 1,188 × 33 = 39,204 = $198^2$, और 1,188 ÷ 33 = 36 = $6^2$।

यहाँ कई छात्र पहला बचा हुआ अभाज्य देखकर ही रुक जाते हैं। अतिरिक्त 3 दिखा, उत्तर 3 लिख दिया, और 11 भूल गए।

पूर्ण घन [Tier 2] बनाना हो, तो हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। इसके लिए 1,188 में एक 2 और दो 11 कम हैं। तो 2 × $11^2$ = 242 से गुणा कीजिए, $66^3$ मिलेगा।

शेषफल के छोटे तरीके

भाजक बदल जाए तो

प्रश्न ऐसा होता है, "किसी संख्या को 56 से भाग देने पर शेषफल 41 बचता है। उसी संख्या को 8 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?"

अगर नया भाजक पुराने भाजक का गुणनखंड है, तो बस पुराने शेषफल को नए भाजक से भाग दीजिए। यहाँ 56 = 8 × 7, यानी 8, 56 का गुणनखंड है। 41 ÷ 8 में शेषफल 1 बचता है, और यही उत्तर है।

यह तभी चलता है जब नया भाजक पुराने का गुणनखंड हो। मान लीजिए नया भाजक 12 है, जो 56 को पूरा-पूरा नहीं बाँटता। 41 और 97, दोनों को 56 से भाग देने पर शेषफल 41 बचता है। पर 12 से भाग देने पर इनके शेषफल 5 और 1 आते हैं। उत्तर तय ही नहीं है, तो सही विकल्प "निर्धारित नहीं किया जा सकता" होगा।

उलटी दिशा में भी यह तरीका नहीं चलता। छोटे भाजक वाला शेषफल पता हो, तो उससे बड़े भाजक वाला शेषफल नहीं निकाला जा सकता।

ऋणात्मक शेषफल और $(d \pm 1)^n$

जब किसी गुणनफल या बड़ी घात को d से भाग देना हो, और संख्याएँ d के गुणजों से ठीक ऊपर या ठीक नीचे हों, तब ऋणात्मक शेषफल (negative remainder) बहुत काम आता है।

हर संख्या की जगह उसके सबसे पास वाले गुणज से उसकी दूरी लिखिए। संख्या गुणज से नीचे हो, तो दूरी ऋण चिह्न के साथ लिखिए।

घातों के लिए यह याद रखिए।

$$(d+1)^n \text{ का शेषफल } 1 \qquad (d-1)^n \text{ का शेषफल } (-1)^n$$

मतलब $(d-1)^n$ में n सम हो तो शेषफल 1 है, और n विषम हो तो d − 1।

जैसे 25 × 38 को 13 से भाग देना है। 25 = 26 − 1 और 38 = 39 − 1, तो शेषफल (−1) × (−1) = 1।

$17^{45}$ को 18 से भाग दें, तो 17 = 18 − 1 है। शेषफल $(-1)^{45}$ = −1 हुआ, जिसका मतलब है 18 − 1 = 17।

घात को अक्सर इसी रूप में लाया जा सकता है। मान लीजिए $2^{50}$ को 7 से भाग देना है। $2^3 = 8 = 7 + 1$, और $2^{50} = (2^3)^{16} \times 2^2$। तो शेषफल 1 × 4 = 4।

ध्यान रखिए, ऋणात्मक उत्तर अंतिम शेषफल नहीं है। उसमें भाजक जोड़िए। −1 आए तो शेषफल d − 1 है, −3 आए तो d − 3। $17^{45}$ ÷ 18 में 1 चुन लेना एक आम चूक है।

चक्रीयता से इकाई अंक

4 का चक्र

किसी संख्या की घातों के इकाई अंक (unit digit) कुछ घातों के बाद उसी क्रम में फिर से आने लगते हैं। इसी को चक्रीयता (cyclicity) कहते हैं। ऐसे प्रश्नों में पूछा जाता है, "$7^{154}$ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए"। कभी घातों के गुणनफल, योग या अंतर का इकाई अंक भी पूछा जाता है।

आधार का केवल आख़िरी अंक मायने रखता है। ज़्यादातर अंकों में यह चक्र 4 घातों का होता है, इसलिए घात को 4 से भाग दीजिए। शेषफल 1 हो तो चक्र का पहला मान लीजिए, 2 हो तो दूसरा, 3 हो तो तीसरा। शेषफल 0 आए, तो चौथा मान लीजिए।

घात बहुत बड़ी हो, तो उसे 4 से भाग देने के लिए केवल उसके आख़िरी दो अंक देखिए।

जैसे $1237^{154}$ में आधार का अंत 7 पर है। 154 को 4 से भाग देने पर शेषफल 2 बचता है। 7, 9, 3, 1 में दूसरा मान 9 है, तो इकाई अंक 9 है।

यहाँ तीन बातों पर ध्यान दीजिए।

• शेषफल 0 आए, तो चक्र का चौथा मान लीजिए, पहला नहीं।
• अंतर में उत्तर ऋणात्मक आए, तो 10 जोड़ दीजिए। $7^{35} - 3^{35}$ में 35 को 4 से भाग देने पर शेषफल 3 बचता है, तो पहली घात का अंत 3 पर है और दूसरी का 7 पर। 3 − 7 = −4 आता है। इसमें 10 जोड़ा, तो इकाई अंक 6 हुआ।
• गुणनफल में 5 पर ख़त्म होने वाली कोई संख्या किसी सम संख्या से गुणा हो रही हो, तो अंत में 0 आएगा। तालिका तक जाने से पहले यह देख लीजिए।

म.स. के छोटे तरीके

एक जैसा शेषफल हो तो अंतरों का म.स.

प्रश्न आता है, "वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 653, 1,165 और 1,741 को भाग देने पर हर बार एक ही शेषफल बचे"। इसका उत्तर संख्याओं के अंतरों का महत्तम समापवर्तक (HCF), यानी म.स., होता है।

संख्याओं को क्रम में लिखिए और पास-पास वाली संख्याओं का अंतर निकालिए। इन अंतरों का म.स. ही उत्तर है। शेषफल जानने की ज़रूरत कभी नहीं पड़ती।

यहाँ 1,165 − 653 = 512 और 1,741 − 1,165 = 576। म.स.(512, 576) = 64, तो उत्तर 64 है। (वैसे तीनों का साझा शेषफल 13 निकलता है।)

यह तरीका केवल एक जैसे अज्ञात शेषफल के लिए है। अगर अलग-अलग शेषफल दिए हों, जैसे "5, 7 और 9 छोड़ते हुए", तो हर संख्या में से उसका अपना शेषफल घटाइए। फिर बची संख्याओं का म.स. लीजिए।

अगर एक ही शेषफल बताया गया हो, जैसे "हर बार 5 छोड़ते हुए", तो हर संख्या में से 5 घटाकर म.स. निकालिए।

अनुपात और म.स.

कभी अनुपात के साथ म.स. दिया होता है, जैसे "दो संख्याएँ 4 : 7 के अनुपात में हैं और उनका म.स. 9 है"। कभी म.स. की जगह ल.स. दिया होता है, "…और उनका ल.स. 252 है"।

अनुपात को सरलतम रूप में a : b लिखिए और म.स. को h मानिए। तब संख्याएँ ah और bh होंगी, और ल.स. = a × b × h।

4 : 7 और म.स. 9 हो, तो संख्याएँ 36 और 63 हैं, और ल.स. 4 × 7 × 9 = 252 है।

उलटी दिशा में भी यही चलता है। अनुपात 3 : 5 और ल.स. 225 हो, तो h = 225 ÷ 15 = 15, और संख्याएँ 45 और 75 हैं।

दो बातों का ध्यान रखिए।

• अनुपात पहले सरलतम रूप में लाइए। 6 : 10 असल में 3 : 5 है।
• तीन संख्याएँ हों, तो ल.स. = ल.स.(a, b, c) × h होता है, a × b × c × h नहीं। अनुपात 2 : 3 : 4 और म.स. 5 हो, तो संख्याएँ 10, 15 और 20 हैं। इनका ल.स. 12 × 5 = 60 है, 24 × 5 = 120 नहीं।

म.स. × ल.स. = गुणनफल

जब दो संख्याओं का म.स., ल.स. और उनमें से एक संख्या दी हो और दूसरी पूछी जाए, तो यह नियम लगाइए। पहली संख्या × दूसरी संख्या = म.स. × ल.स. होता है।

जैसे म.स. 12, ल.स. 360 और एक संख्या 72 है। तो दूसरी संख्या = 12 × 360 ÷ 72 = 60।

यहाँ भी दो बातें याद रखिए।

• यह नियम केवल दो संख्याओं पर सही है। 4, 6 और 10 का म.स. × ल.स. = 2 × 60 = 120 है, पर इनका गुणनफल 240 है।
• म.स. हमेशा ल.स. को पूरा-पूरा बाँटता है। प्रश्न कहे कि म.स. 8 और ल.स. 60 है, तो ऐसी कोई जोड़ी है ही नहीं। ऐसी जोड़ी वाला कोई भी विकल्प सीधे काट दीजिए।

ल.स. के छोटे तरीके

हर बार एक ही शेषफल r हो तो ल.स. + r

मान लीजिए प्रश्न है, "वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसे 6, 9 और 15 से भाग देने पर शेषफल 4 बचे"। भाजकों का ल.स. निकालिए और उसमें r जोड़ दीजिए। ल.स.(6, 9, 15) = 90, तो उत्तर 94 है।

कोई और शर्त भी हो, जैसे "…और जो 7 से भी विभाज्य हो", तो संख्या को 90k + 4 के रूप में लिखिए। अब k = 1, 2, 3, … रखते जाइए। 94, 184, 274, 364 आते हैं, और इनमें 7 से विभाज्य पहली संख्या 364 है।

यहाँ तीन बातें समझ लीजिए।

• r हर भाजक से छोटा होना चाहिए, वरना प्रश्न का कोई मतलब ही नहीं रह जाता।
• ठीक-ठीक देखें, तो 4 ख़ुद भी 6, 9 और 15 से भाग देने पर शेषफल 4 देता है। पर SSC इन प्रश्नों में भाजकों से बड़ी संख्या ही पूछता है। इसलिए उत्तर ल.स. + r ही लिया जाता है।
• कोई और शर्त हो, तो k को एक-एक करके आज़माइए और पहले सही k पर रुक जाइए। यह मत मानिए कि k = 1 ही होगा।

भाजक और शेषफल का अंतर एक जैसा हो तो ल.स. − अंतर

एक और तरह का प्रश्न है, "वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसे 5, 7 और 11 से भाग देने पर शेषफल 3, 5 और 9 बचें"। यहाँ हर बार पहले भाजक − शेषफल देखिए। 5 − 3 = 2, 7 − 5 = 2 और 11 − 9 = 2, तो अंतर एक जैसा है।

ऐसे में उत्तर = ल.स. − अंतर। ल.स.(5, 7, 11) = 385, तो उत्तर 385 − 2 = 383 है।

यह छोटा तरीका तभी लगता है जब हर अंतर बराबर हो। अंतर अलग-अलग हों, तो यह नहीं चलेगा। तब परीक्षा में अक्सर सबसे जल्दी यही होता है कि हर विकल्प को हर भाजक से भाग देकर देख लें।

म.स. लगेगा या ल.स., कैसे तय करें

जैसे तीन घंटियाँ हर 12, 15 और 20 मिनट पर बजती हैं। इनका ल.स. 60 है, तो वे 60 मिनट बाद फिर एक साथ बजेंगी।

एक फ़र्श 4.2 मीटर × 3.6 मीटर का है और उस पर वर्गाकार टाइलें लगानी हैं। टाइल की भुजा म.स.(420, 360) = 60 सेमी होगी। टाइलें (420 ÷ 60) × (360 ÷ 60) = 7 × 6 = 42 लगेंगी।

यहाँ "टाइलों की न्यूनतम संख्या" पूछी गई है, फिर भी टाइल का माप म.स. से ही निकला। इसलिए केवल "न्यूनतम" या "सबसे बड़ा" जैसे शब्द देखकर फ़ैसला मत कीजिए। यह देखिए कि ढूँढना क्या है। ऐसा माप चाहिए जो सब चीज़ों में पूरा-पूरा समा जाए, तो म.स. लगेगा। ऐसा समय या लंबाई चाहिए जिसमें सब पूरा-पूरा समा जाएँ, तो ल.स. लगेगा।

शुरू करने से पहले हर माप एक ही इकाई में बदल लीजिए, अक्सर सेमी में।

विकल्पों की छँटाई

SSC में विकल्प अक्सर पास-पास होते हैं। फिर भी ये जाँचें लगाने के बाद शायद ही कोई गलत विकल्प बचता है। जब सीधे हल करने में समय ज़्यादा लगे, तब इन्हें लगाइए। उत्तर निकाल लिया हो, तब भी इनसे दो सेकंड में उसकी जाँच हो जाती है।

आख़िरी अंक

गुणनफल, वर्ग, घातें या कोई भी लंबा गुणा हो, तो उत्तर का केवल इकाई अंक निकालिए। जिस विकल्प का अंक मेल न खाए, उसे काट दीजिए।

जैसे 347 × 286 में 7 × 6 = 42, तो उत्तर का अंत 2 पर होगा। 99,242, 99,244, 99,246 और 99,248 में से केवल 99,242 बचता है।

दो विकल्पों का आख़िरी अंक एक जैसा हो, तो इससे काम नहीं चलेगा। तब कोई दूसरी जाँच भी लगाइए।

अंकों का योग और विभाज्यता

आख़िरी अंक देखने के बाद भी दो विकल्प बचें, या प्रश्न म.स. और ल.स. का हो, तो यह जाँच लगाइए। दोनों संख्याओं के अंकों का योग निकालकर उनका गुणा कीजिए। गुणनफल के अंकों का योग भी उसी से मेल खाएगा।

जैसे 678 × 243 में 678 के अंकों का योग 21, फिर 3 है, और 243 का 9 है। 3 × 9 = 27, फिर 9, तो उत्तर 9 का गुणज होगा। 1,64,754 और 1,65,754 दोनों का अंत 4 पर है, पर केवल 1,64,754 के अंकों का योग 27 है।

म.स. और ल.स. वाले प्रश्नों में याद रखिए कि म.स. हर दी गई संख्या को पूरा-पूरा बाँटता है, और ल.स. हर संख्या का गुणज होता है। एक छोटा-सा भाग करते ही अक्सर दो विकल्प हट जाते हैं।

दो विकल्पों का अंतर 9 का गुणज हो, तो अंकों के योग से उनमें फ़र्क नहीं पता चलता। तब आख़िरी अंक या आकार वाली जाँच पर लौटिए।

उत्तर का आकार

मूल, बड़े गुणनफल, और म.स. या ल.स. वाले उत्तरों में अनुमान से काफ़ी काम हो जाता है। म.स. कभी सबसे छोटी संख्या से बड़ा नहीं होता। ल.स. कभी सबसे बड़ी संख्या से छोटा नहीं होता। 5 अंकों वाली संख्या का वर्गमूल 100 से 316 तक की कोई 3 अंकों वाली संख्या होता है।

जैसे $\sqrt{60025}$ के विकल्प 235, 245, 255 और 265 हैं। सबका अंत 5 पर है, तो आख़िरी अंक से कोई मदद नहीं मिलती। पर $240^2 = 57600$ और $250^2 = 62500$, तो मूल 240 और 250 के बीच है। उत्तर 245 है।

अनुमान से केवल वही विकल्प हटते हैं जो एक-दूसरे से काफ़ी दूर हों। जहाँ विकल्पों में 1 या 2 का ही अंतर हो, जैसे शेषफल या लुप्त अंक वाले प्रश्नों में, वहाँ पूरा हल करना ही पड़ेगा।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं। हर प्रश्न पहले तेज़ तरीके से करेंगे। फिर देखेंगे कि उसमें कितना समय लगा, और लंबे तरीके से कितना समय लगता है।

प्रश्न 1

$1.2\overline{45}$ को सरलतम भिन्न के रूप में व्यक्त कीजिए।

उत्तर: 1 को अलग रख देते हैं और $0.2\overline{45}$ पर काम करते हैं। ऊपर 245 − 2 = 243 आया। यहाँ दो अंकों पर बार है और एक पर नहीं, तो नीचे 990 लिखेंगे। $\frac{243}{990} = \frac{27}{110}$। अब 1 वापस जोड़ दीजिए, $1 + \frac{27}{110} = \mathbf{\frac{137}{110}}$।

इसमें लगभग 15 सेकंड लगते हैं। लंबे तरीके में x = 1.2454… लिखकर 10 और 1000 से गुणा करना पड़ता है, फिर घटाना। उसमें लगभग एक मिनट चला जाता है।

प्रश्न 2

यदि छह अंकों की संख्या 3x462y, 72 से विभाज्य है, तो x + y का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 72 = 8 × 9, तो पहले 8 वाली जाँच करते हैं। आख़िरी तीन अंक 62y हैं, और इन्हें 8 का गुणज होना है। 624 = 8 × 78 चलता है, कोई और अंक नहीं चलता, तो y = 4। अब 9 वाली जाँच। अंकों का योग 3 + x + 4 + 6 + 2 + 4 = 19 + x है, और इसे 27 होना चाहिए, तो x = 8। इसलिए x + y = 12, और संख्या 3,84,624 है।

यह लगभग 20 सेकंड का काम है। अंकों के जोड़े एक-एक करके आज़माएँ, तो दर्जनों भाग करने पड़ सकते हैं।

प्रश्न 3

यदि 86x031, 11 से विभाज्य है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दाईं ओर से गिनें, तो विषम स्थानों के अंकों का योग 1 + 0 + 6 = 7 है, और सम स्थानों का 3 + x + 8 = 11 + x। अंतर 7 − (11 + x) = −4 − x आता है। यह 0 नहीं हो सकता, क्योंकि तब x = −4 होगा। इसलिए अंतर −11 लेते हैं, और x = 7 आता है। जाँच कर लीजिए, 8,67,031 = 11 × 78,821।

पूरा हल 15 सेकंड का है। चूक यहाँ होती है कि अंतर 0 रखने पर x = −4 आता है, और कई छात्र यह मानकर वहीं रुक जाते हैं कि कोई उत्तर है ही नहीं।

प्रश्न 4

50,000 में कौन-सी न्यूनतम संख्या जोड़ी जाए कि वह 47 से पूर्णतः विभाज्य हो जाए?

उत्तर: 47 × 1,000 = 47,000, तो 3,000 बचे। 47 × 63 = 2,961, मतलब 50,000 = 47 × 1,063 + 39। शेषफल 39 है, और हमें जोड़ना है, तो 47 − 39 = 8 जोड़ेंगे। 39 मत चुनिए, वह तो घटाने वाली संख्या है। SSC अक्सर 39 को भी विकल्पों में रख देता है।

बस एक भाग करना पड़ा, लगभग 25 सेकंड। 50,001, 50,002 जैसी संख्याएँ एक-एक करके आज़माएँ, तो कहीं ज़्यादा समय लगेगा।

प्रश्न 5

150 से 750 तक (दोनों सम्मिलित) कितनी संख्याएँ 4 या 6 से विभाज्य हैं?

उत्तर: पहले 4 के गुणज गिनते हैं। 750 में 4 का भाग देने पर 187 आता है और 149 में 4 का भाग देने पर 37, तो 187 − 37 = 150 गुणज हुए। इसी तरह 6 के गुणज 125 − 24 = 101 हैं। जो संख्याएँ दोनों से विभाज्य हैं, वे 12 के गुणज हैं, और वे 62 − 12 = 50 हैं। ये दो बार गिनी गई हैं, तो इन्हें एक बार घटाइए। 150 + 101 − 50 = 201।

तीन गिनतियाँ करनी पड़ीं, फिर भी लगभग 30 सेकंड में हो गया। गुणजों की सूची बनाकर गिनना परीक्षा के समय में संभव ही नहीं है।

प्रश्न 6

200 और 800 के बीच 17 के सभी गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहला गुणज 204 है (17 × 12) और आख़िरी 799 (17 × 47)। गिनती 47 − 11 = 36 है। योग = 36 × (204 + 799)/2 = 18 × 1003 = 18,054। यहाँ 200 और 800 नहीं, 204 और 799 लिए, क्योंकि सीमा के छोर 17 के गुणज नहीं हैं।

यह भी लगभग 30 सेकंड का प्रश्न है। 36 संख्याएँ एक-एक करके जोड़ने का तो सवाल ही नहीं उठता।

प्रश्न 7

1,800 के कितने गुणनखंड हैं, और उनमें से कितने विषम हैं?

उत्तर: 1,800 = 18 × 100 = $2^3 \times 3^2 \times 5^2$। घातें 3, 2 और 2 हैं, तो गुणनखंड 4 × 3 × 3 = 36 हैं। विषम गुणनखंडों के लिए 2 वाला हिस्सा छोड़ दीजिए। तब 3 × 3 = 9 विषम गुणनखंड मिलते हैं।

करीब 20 सेकंड में दोनों उत्तर मिल जाते हैं। 36 गुणनखंड जोड़ियों में लिखने बैठें, तो दो मिनट लग जाते हैं, और अक्सर कोई एक छूट भी जाता है।

प्रश्न 8

$380!$ के अंत में कितने शून्य हैं?

उत्तर: 380 ÷ 5 = 76। 76 में 5 का भाग देने पर शेषफल छोड़कर 15 आता है। 15 ÷ 5 = 3, और 3 में 5 का भाग देने पर 0। अब सब जोड़िए, 76 + 15 + 3 = 94।

यह 10 सेकंड का काम है। परीक्षा के समय में इसका कोई दूसरा तरीका चल ही नहीं सकता।

प्रश्न 9

$\sqrt{75076}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आख़िरी अंक 6 है, तो मूल का अंत 4 या 6 पर होगा। आख़िरी दो अंक ढकने पर 750 बचता है। $27^2 = 729$ इसमें समा जाता है, तो मूल 27 से शुरू होगा। 27 × 28 = 756 है, जो 750 से अधिक है, इसलिए छोटा विकल्प लेंगे। मूल 274 है।

यह 15 सेकंड के आसपास हो जाता है। 75,076 का अभाज्य गुणनखंडन करें, तो एक मिनट से ज़्यादा लग जाता है।

प्रश्न 10

वह छोटी से छोटी संख्या कौन-सी है, जिससे 7,425 को भाग देने पर परिणाम एक पूर्ण वर्ग हो?

उत्तर: 7,425 = 25 × 297 = 25 × 27 × 11 = $3^3 \times 5^2 \times 11$। इसमें 3 और 11 की घातें विषम हैं, तो 3 × 11 = 33 से भाग देना होगा। परिणाम 225 = $15^2$ आता है। केवल 3 से भाग देते, तो 11 बिना जोड़ी के रह जाता।

यह 20 सेकंड में हो जाता है। हर विकल्प से भाग देकर फिर वर्ग की जाँच करें, तो लगभग एक मिनट लगता है।

प्रश्न 11

$5^{63}$ को 31 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $5^3 = 125 = 4 \times 31 + 1$, यानी $5^3$ को 31 से भाग देने पर शेषफल 1 बचता है। अब $5^{63} = (5^3)^{21}$, तो शेषफल $1^{21}$ = 1 होगा।

यहाँ 15 सेकंड काफ़ी हैं। 5, 25, 125, … के शेषफल तब तक लिखते जाएँ जब तक कोई पैटर्न न दिखे, तो कहीं ज़्यादा समय लगता है, और गलती होने के मौके भी बहुत रहते हैं।

प्रश्न 12

$2^{38} \times 3^{57} \times 7^{43}$ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 38 को 4 से भाग देने पर शेषफल 2 बचता है, तो $2^{38}$ का अंत 4 पर होगा। 57 ÷ 4 में शेषफल 1 है, तो $3^{57}$ का अंत 3 पर। 43 ÷ 4 में शेषफल 3 है, तो $7^{43}$ का अंत भी 3 पर। अब 4 × 3 × 3 = 36, इसलिए इकाई अंक 6 है।

तालिका याद हो, तो करीब 20 सेकंड लगते हैं। उसके बिना इसे करने का कोई ढंग का तरीका है ही नहीं।

प्रश्न 13

वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 2,128, 2,633 और 3,441 को भाग देने पर प्रत्येक दशा में समान शेषफल बचे।

उत्तर: यहाँ शेषफल जानने की ज़रूरत ही नहीं है। बस अंतर लीजिए, 2,633 − 2,128 = 505 और 3,441 − 2,633 = 808। 505 = 5 × 101 और 808 = 8 × 101, तो म.स. 101 है। (हर संख्या में शेषफल 7 बचता है।)

इसमें 20 सेकंड से ज़्यादा नहीं लगते। भाजक का अंदाज़ा लगाकर आज़माने बैठें, तो यह काम ख़त्म ही नहीं होगा।

प्रश्न 14

वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसे 12, 16 और 18 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 5 शेष बचे, तथा जो 7 से पूर्णतः विभाज्य हो।

उत्तर: ल.स.(12, 16, 18) = 144, तो संख्या 144k + 5 के रूप में होगी। हर संख्या को 7 से भाग देने के बजाय शेषफल से ही हिसाब लगाते हैं। 144 को 7 से भाग देने पर शेषफल 4 बचता है, तो 4k + 5 को 7 का गुणज होना चाहिए। k = 4 रखने पर यह 21 हो जाता है। तो संख्या = 144 × 4 + 5 = 581। जाँच कर लीजिए, 581 = 7 × 83।

शेषफल वाला हिसाब लगाएँ, तो करीब 30 सेकंड लगते हैं। पहले 149, 293 और 437 को लंबे भाग से जाँचें, तो दुगना समय लगता है।

प्रश्न 15

$\sqrt{93025}$ = ? (a) 295 (b) 305 (c) 315 (d) 325

उत्तर: चारों विकल्पों का अंत 5 पर है, तो आख़िरी अंक से कोई मदद नहीं मिलती। अब आकार देखिए। $300^2 = 90000$ और $310^2 = 96100$, और 93,025 इन दोनों के बीच है। तो मूल 300 और 310 के बीच होगा। केवल (b) 305 इसमें आता है।

आकार वाली जाँच से यह 10 सेकंड में हो गया। विकल्पों का एक-एक करके वर्ग करें, तो लगभग एक मिनट लगता है।