हल किए गए प्रश्न

इन प्रश्नों का अभ्यास कैसे करें

नीचे 34 प्रश्न हल करके दिए गए हैं। इनमें इस अध्याय के पाँचों विषय मिले-जुले हैं। संख्याओं के प्रकार वाले प्रश्न के ठीक बाद शेषफल का प्रश्न आ सकता है, और उसके बाद महत्तम समापवर्तक (HCF) वाला कोई शाब्दिक प्रश्न।

इसलिए कोई भी तरीका चुनने से पहले यह तय कीजिए कि प्रश्न में असल में पूछा क्या गया है। कई शाब्दिक प्रश्न देखने में कुछ और लगते हैं, पर होते वे म.स. या लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के ही हैं। एक बात याद रखिए। प्रश्न में बराबर आकार के डिब्बे, टुकड़े या टाइलें चाहिए हों, तो म.स. लगता है। घंटियाँ फिर से कब एक साथ बजेंगी या धावक फिर से कब एक साथ मिलेंगे, ऐसा पूछा जाए तो ल.स. लगता है।

हर प्रश्न का उत्तर ढककर रखिए और पहले ख़ुद कागज़ पर हल कीजिए। एक प्रश्न में लगभग 36 से 45 सेकंड लगने चाहिए। किसी प्रश्न में एक मिनट से ज़्यादा लग जाए, तो शॉर्टकट और तेज़ तरीकों वाला खंड 6 खोलिए और वह तरीका ढूँढिए जिससे वहाँ समय बच सकता था। फिर वही प्रश्न अगले दिन दोबारा कीजिए।

कुछ प्रश्नों के साथ [Tier 2] लिखा है। ऐसे पाँच प्रश्न हैं, जैसे पूर्ण वर्ग गुणनखंडों वाला प्रश्न और म.स. वाले युग्मों का प्रश्न। टियर 1 में आम तौर पर जितना पूछा जाता है, ये उससे आगे के हैं। फिर भी टियर 1 की तैयारी करने वाले छात्र इन्हें ज़रूर करें, क्योंकि इन्हीं बातों के आसान रूप टियर 1 में भी पूछे जाते हैं।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

$\sqrt{0.0049} \times \sqrt{400}$ किस प्रकार की संख्या है? (a) एक प्राकृत संख्या (b) एक पूर्णांक, परंतु प्राकृत संख्या नहीं (c) एक परिमेय संख्या, परंतु पूर्णांक नहीं (d) एक अपरिमेय संख्या

उत्तर: पहले दोनों वर्गमूल अलग-अलग निकाल लेते हैं। $\sqrt{0.0049} = 0.07$, क्योंकि 0.07 × 0.07 = 0.0049 होता है, और $\sqrt{400} = 20$ है। अब गुणनफल 0.07 × 20 = 1.4 है। 1.4 को 14/10 लिख सकते हैं, तो यह परिमेय है, पर पूर्णांक नहीं है। इसलिए उत्तर है (c) एक परिमेय संख्या, परंतु पूर्णांक नहीं।

प्रश्न 2

तीन अंकों की किसी संख्या को लगातार दो बार लिखकर छह अंकों की एक संख्या बनाई जाती है, जैसे 3,86,386। ऐसी संख्या निम्नलिखित में से किससे सदैव विभाज्य होती है? (a) 9 (b) 17 (c) 77 (d) 111

उत्तर: मान लीजिए तीन अंकों की संख्या abc है। इसे दो बार लिखने का मतलब है abc × 1000 + abc, यानी abc × 1001। अब 1001 = 7 × 11 × 13 है। तो ऐसी हर संख्या 7, 11 और 13 से हमेशा विभाज्य होगी, और इनके गुणनफलों से भी, जैसे 77 से। उत्तर (c) 77 है।

प्रश्न 3

चार घंटियाँ क्रमशः 9, 12, 15 और 18 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। पूर्वाह्न 8:00 बजे वे एक साथ बजती हैं। वे अगली बार एक साथ कब बजेंगी?

उत्तर: घंटियाँ फिर से एक साथ तब बजेंगी, जब ल.स.(9, 12, 15, 18) जितने मिनट बीत जाएँ। अभाज्य गुणनखंडन करें, तो 9 = $3^2$, 12 = $2^2 \times 3$, 15 = 3 × 5 और 18 = $2 \times 3^2$ आता है। हर अभाज्य की सबसे ऊँची घात लीजिए, तो ल.स. = $2^2 \times 3^2 \times 5$ = 180 मिनट, यानी 3 घंटे। पूर्वाह्न 8:00 बजे से 3 घंटे बाद वे फिर एक साथ बजेंगी, यानी पूर्वाह्न 11:00 बजे।

प्रश्न 4

2,000 में से कौन-सी न्यूनतम संख्या घटाई जाए कि वह पूर्ण वर्ग बन जाए? और यदि घटाने के स्थान पर जोड़ना हो, तो कौन-सी न्यूनतम संख्या जोड़नी होगी?

उत्तर: 2,000 के आस-पास के पूर्ण वर्ग देखिए। $44^2 = 1936$ और $45^2 = 2025$, तो 2,000 इन दोनों के बीच में है। घटाना हो, तो नीचे वाले वर्ग तक आना होगा, 2,000 − 1,936 = 64। जोड़ना हो, तो ऊपर वाले वर्ग तक जाना होगा, 2,025 − 2,000 = 25।

प्रश्न 5

किसी संख्या n को 7 से भाग देने पर शेषफल 5 प्राप्त होता है। $n^2 + 4n$ को 7 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

उत्तर: यहाँ केवल शेषफल चाहिए, इसलिए n की जगह सीधे 5 रख सकते हैं। तब 25 + 20 = 45 आता है। अब 45 = 6 × 7 + 3, तो शेषफल 3 है।

प्रश्न 6

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या अपरिमेय है? (a) $\sqrt{1.21}$ (b) $\sqrt{0.9}$ (c) $0.\overline{142857}$ (d) $\sqrt[3]{0.008}$

उत्तर: पहले वे विकल्प हटाइए जो साफ़ तौर पर परिमेय हैं। $\sqrt{1.21} = 1.1$ और $\sqrt[3]{0.008} = 0.2$, तो ये दोनों परिमेय हैं। $0.\overline{142857}$ आवर्ती दशमलव है, इसलिए यह भी परिमेय है। अब बचा (b)। 0.9 = 9/10 है और 10 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए $\sqrt{0.9}$ अपरिमेय है। उत्तर (b) है। जल्दबाज़ी में कई लोग $\sqrt{0.9} = 0.3$ मान लेते हैं, जो गलत है। $0.3^2$ तो 0.09 होता है, 0.9 नहीं।

प्रश्न 7

यदि सात अंकों की संख्या 41x948y, 88 से विभाज्य है, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 88 = 8 × 11 है, तो संख्या 8 और 11 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए। 8 के नियम से अंतिम तीन अंकों वाली संख्या 48y, 8 का गुणज होनी चाहिए। 480 और 488, दोनों चलते हैं, तो y = 0 या 8 हो सकता है। अब दोनों मानों को 11 के नियम पर परखना होगा। दाईं ओर से विषम स्थानों के अंकों का योग y + 4 + x + 4 है, और सम स्थानों का 8 + 9 + 1 = 18।

• y = 0 हो, तो अंतर (8 + x) − 18 = x − 10 है। यह 0 तभी होगा जब x = 10 हो, और −11 तभी जब x = −1 हो। इनमें से कोई भी अंक नहीं है, इसलिए y = 0 नहीं चलता।
• y = 8 हो, तो अंतर (16 + x) − 18 = x − 2 है, जो x = 2 पर 0 हो जाता है।

तो x = 2 और y = 8, और संख्या 41,29,488 है।

प्रश्न 8

एक फ़र्श 8.16 मीटर लंबा और 3.84 मीटर चौड़ा है। एक ही आकार की वर्गाकार टाइलों की वह न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए, जिनसे यह फ़र्श पूरा-पूरा ढक जाए।

उत्तर: पहले लंबाई और चौड़ाई को सेमी में बदल लेते हैं। लंबाई 816 सेमी है और चौड़ाई 384 सेमी। टाइल की भुजा ऐसी होनी चाहिए जो 816 और 384, दोनों में पूरी-पूरी समा जाए। टाइलें कम से कम चाहिए, तो टाइल सबसे बड़ी लेनी होगी, और उसकी भुजा = म.स.(816, 384)। 816 = $2^4 \times 3 \times 17$ और 384 = $2^7 \times 3$, तो म.स. = $2^4 \times 3$ = 48 सेमी। अब टाइलें = (816 ÷ 48) × (384 ÷ 48) = 17 × 8 = 136।

प्रश्न 9

$1739^{78} \times 2588^{35}$ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: इकाई अंक के लिए केवल आधारों के अंतिम अंक काम आते हैं, तो $9^{78}$ और $8^{35}$ देखने हैं। 9 की सम घात का इकाई अंक हमेशा 1 होता है। 8 के लिए 35 को 4 से भाग दीजिए, शेषफल 3 आता है। 8 का चक्र 8, 4, 2, 6 है, और इसका तीसरा अंक 2 है। अब 1 × 2 = 2, तो इकाई अंक 2 है।

प्रश्न 10

योगफल 1 + 2 + 3 + … + 48 निम्नलिखित में से किससे विभाज्य है? (a) 47 (b) 48 (c) 49 (d) 96

उत्तर: 1 से 48 तक का योग $\frac{48 \times 49}{2} = 24 \times 49 = 1176$ है। यह सीधे-सीधे 49 का गुणज है। पर यह 48 का गुणज नहीं है, क्योंकि 2 से भाग देने पर 48 आधा होकर 24 रह गया। जाँच कर लीजिए, 1,176 ÷ 48 = 24.5 आता है। तो उत्तर (c) 49 है।

प्रश्न 11

दो संख्याओं का ल.स., उनके म.स. का 12 गुना है, तथा उनके म.स. और ल.स. का योग 403 है। यदि उनमें से एक संख्या 93 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: म.स. को h मान लीजिए, तो ल.स. 12h होगा। h + 12h = 13h = 403, तो h = 31 और ल.स. = 372। अब याद रखिए कि म.स. × ल.स. दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। इसलिए दूसरी संख्या = 31 × 372 ÷ 93 = 31 × 4 = 124। जाँच के लिए देखिए, 93 = 3 × 31 और 124 = 4 × 31, तो म.स. 31 है और ल.स. 3 × 4 × 31 = 372।

प्रश्न 12

$\frac{49}{2^4 \times 5^3 \times 7^2}$ का दशमलव प्रसार कितने दशमलव स्थानों के बाद समाप्त हो जाएगा?

उत्तर: हर में $7^2 = 49$ है, जो अंश के 49 से कट जाता है। तो $\frac{1}{2^4 \times 5^3}$ बचता है। अब हर में केवल 2 और 5 हैं, इसलिए यह सांत दशमलव है। दोनों घातों में बड़ी घात 4 है, तो दशमलव 4 स्थानों के बाद समाप्त हो जाएगा। जाँच के लिए $2^4 \times 5^3 = 2000$, और 1/2000 = 0.0005 आता है।

प्रश्न 13

वह सबसे छोटा पूर्ण वर्ग ज्ञात कीजिए जो 12, 20 और 27 में से प्रत्येक से विभाज्य हो।

उत्तर: संख्या 12, 20 और 27, तीनों से विभाज्य हो, तो वह इनके ल.स. का गुणज होगी। ल.स.(12, 20, 27) = 540 = $2^2 \times 3^3 \times 5$। पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। 2 की घात पहले से सम है। 3 और 5 से एक-एक बार और गुणा करना होगा, तो $2^2 \times 3^4 \times 5^2$ = 8100 आता है। उत्तर 8,100 है, जो $90^2$ के बराबर है।

प्रश्न 14

3,25,647 में कौन-सी न्यूनतम संख्या जोड़ी जाए कि प्राप्त संख्या 7, 11 और 13 से विभाज्य हो?

उत्तर: 7 × 11 × 13 = 1001, तो हमें 1001 का अगला गुणज चाहिए। 1001 × 325 = 3,25,325, और 3,25,647 − 3,25,325 = 322। मतलब 1001 से भाग देने पर शेषफल 322 है। अगले गुणज तक पहुँचने के लिए 1001 − 322 = 679 जोड़ना होगा। जोड़ने पर 3,26,326 मिलता है, जो 1001 × 326 है।

प्रश्न 15

6/7, 9/14 और 15/28 का म.स. और ल.स. ज्ञात कीजिए।

उत्तर: भिन्नों के लिए सूत्र याद रखिए। म.स. निकालना हो, तो अंशों के म.स. को हरों के ल.स. से भाग देते हैं। ल.स. निकालना हो, तो अंशों के ल.स. को हरों के म.स. से। यहाँ अंश 6, 9 और 15 हैं, जिनका म.स. 3 और ल.स. 90 है। हर 7, 14 और 28 हैं, जिनका म.स. 7 और ल.स. 28 है। तो म.स. = $\mathbf{\frac{3}{28}}$ और ल.स. = $\mathbf{\frac{90}{7}}$।

प्रश्न 16

भाग के किसी प्रश्न में भाजक, भागफल का 5 गुना तथा शेषफल का 3 गुना है। यदि शेषफल 30 है, तो भाज्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: शेषफल 30 है और भाजक इसका 3 गुना है, तो भाजक = 3 × 30 = 90। भाजक भागफल का 5 गुना है, तो भागफल = 90 ÷ 5 = 18। अब भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल। यहाँ 90 × 18 = 1,620 है, और इसमें 30 जोड़ने पर भाज्य 1,620 + 30 = 1,650 आता है।

प्रश्न 17

3,86,41,982 में दोनों 8 के स्थानीय मानों का अंतर ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहला 8 दस लाख के स्थान पर है, तो उसका स्थानीय मान 80,00,000 है। दूसरा 8 दहाई के स्थान पर है, तो उसका स्थानीय मान 80 है। अंतर = 80,00,000 − 80 = 79,99,920।

प्रश्न 18

यदि पाँच अंकों की संख्या 6x07y, 36 से विभाज्य है, तो x + y का अधिकतम संभव मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 36 = 4 × 9 है, तो संख्या 4 और 9 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए। 4 के नियम से अंतिम दो अंकों वाली संख्या 7y, 4 का गुणज होनी चाहिए। तो y = 2 (72) या y = 6 (76) हो सकता है। अब दोनों पर 9 का नियम लगाते हैं।

• y = 2 हो, तो अंकों का योग 6 + x + 0 + 7 + 2 = 15 + x है। यह 18 होना चाहिए, तो x = 3 और x + y = 5।
• y = 6 हो, तो अंकों का योग 19 + x है। यह 27 होना चाहिए, तो x = 8 और x + y = 14।

x + y का सबसे बड़ा मान 14 है, और तब संख्या 68,076 होती है।

प्रश्न 19

किसी विद्यालय के तीन अनुभागों में क्रमशः 84, 126 और 196 विद्यार्थी हैं। प्रत्येक अनुभाग के विद्यार्थियों को समूहों में बाँटा जाता है, जहाँ सभी समूहों का आकार समान है और किसी भी समूह में अलग-अलग अनुभागों के विद्यार्थी एक साथ नहीं हैं। समूहों की न्यूनतम संभव संख्या कितनी है?

उत्तर: समूह सबसे कम चाहिए, तो हर समूह जितना हो सके उतना बड़ा होना चाहिए। साथ ही यह आकार तीनों संख्याओं को पूरा-पूरा बाँटना चाहिए। इसलिए समूह का आकार म.स.(84, 126, 196) होगा। 84 = $2^2 \times 3 \times 7$, 126 = $2 \times 3^2 \times 7$ और 196 = $2^2 \times 7^2$, तो म.स. = 2 × 7 = 14। अब समूह = 84/14 + 126/14 + 196/14 = 6 + 9 + 14 = 29।

प्रश्न 20

$\sqrt{413449}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: संख्या का अंतिम अंक 9 है, तो वर्गमूल का अंतिम अंक 3 या 7 होगा। अब अंतिम दो अंक ढक दीजिए, तो 4134 बचता है। $64^2 = 4096$ इससे छोटा है, पर $65^2 = 4225$ बड़ा है, तो वर्गमूल 64 से शुरू होगा। 64 × 65 = 4,160 है, और 4,134 इससे छोटा है। इसलिए 3 और 7 में से छोटा अंक लेंगे, और उत्तर 643 है।

प्रश्न 21

1 से 1,000 तक की कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं, परंतु 11 से नहीं?

उत्तर: 1,000 को 7 से भाग दीजिए, तो भागफल 142 आता है। मतलब 1,000 तक 7 के 142 गुणज हैं। इनमें से जो 11 से भी विभाज्य हैं, वे 77 के गुणज हैं। 1,000 को 77 से भाग देने पर भागफल 12 आता है, यानी ऐसे 12 गुणज हैं। तो 142 − 12 = 130।

प्रश्न 22

दो अंकों की एक संख्या अपने अंकों के योग की 4 गुनी है। यदि इस संख्या में 18 जोड़ दिया जाए, तो इसके अंकों के स्थान आपस में बदल जाते हैं। संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 18 जोड़ने से अंक उलट जाते हैं। किसी संख्या और उसके अंक उलटकर बनी संख्या का अंतर हमेशा 9 × (अंकों का अंतर) होता है। तो 9 × (अंकों का अंतर) = 18, यानी इकाई अंक दहाई अंक से 2 अधिक है। ऐसी संख्याएँ 13, 24, 35, 46, 57, 68 और 79 हैं। अब दूसरी शर्त देखिए, संख्या अपने अंकों के योग की 4 गुनी होनी चाहिए। 24 के अंकों का योग 6 है, और 4 × 6 = 24, तो संख्या 24 है। जाँच भी कर लीजिए, 24 + 18 = 42।

प्रश्न 23

तीन संख्याएँ 2 : 3 : 5 के अनुपात में हैं और उनका ल.स. 1,800 है। उनका म.स. ज्ञात कीजिए।

उत्तर: संख्याओं को 2h, 3h और 5h मान लीजिए, जहाँ h उनका म.स. है। इनका ल.स. = ल.स.(2, 3, 5) × h = 30h। अब 30h = 1800, तो h = 60। संख्याएँ 120, 180 और 300 हैं, और इनका म.स. 60 है।

प्रश्न 24 [Tier 2]

$3^{100}$ को 7 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $3^3 = 27 = 28 - 1$, तो $3^3$ को 7 से भाग देने पर शेषफल −1 मान सकते हैं। अब $3^{100} = (3^3)^{33} \times 3$ लिखिए। तब शेषफल $(-1)^{33} \times 3 = -3$ आता है। शेषफल ऋणात्मक है, इसलिए इसमें भाजक जोड़ दीजिए, −3 + 7 = 4।

प्रश्न 25

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 99 से विभाज्य है? (a) 6,16,986 (b) 2,40,438 (c) 3,68,973 (d) 8,14,044

उत्तर: 99 के लिए एक आसान तरीका है। दाईं ओर से दो-दो अंकों के जोड़े बनाइए और उन्हें जोड़ दीजिए। योग 99 का गुणज हो, तो संख्या भी 99 से विभाज्य होगी।

• (a) 86 + 69 + 61 = 216, जो 99 का गुणज नहीं है।
• (b) 38 + 04 + 24 = 66, यह भी नहीं।
• (c) 73 + 89 + 36 = 198 = 2 × 99, तो यह विभाज्य है।
• (d) 44 + 40 + 81 = 165, यह भी नहीं।

तो उत्तर (c) 3,68,973 है। 9 और 11 की अलग-अलग जाँच से भी यही मिलता, पर उसमें ज़्यादा समय लगता है।

प्रश्न 26

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 631, 1,019 और 1,397 को भाग देने पर क्रमशः 7, 11 और 5 शेषफल प्राप्त होते हैं।

उत्तर: हर संख्या में से उसका अपना शेषफल घटा दीजिए। 631 − 7 = 624, 1,019 − 11 = 1,008 और 1,397 − 5 = 1,392। अब हमें वह सबसे बड़ी संख्या चाहिए जो इन तीनों को पूरा-पूरा बाँटे, यानी म.स.(624, 1008, 1392)। 624 = $2^4 \times 3 \times 13$, 1008 = $2^4 \times 3^2 \times 7$ और 1392 = $2^4 \times 3 \times 29$। तो म.स. = $2^4 \times 3$ = 48। एक बात और देख लीजिए। 48 तीनों शेषफलों से बड़ा है, और ऐसा होना ज़रूरी भी है।

प्रश्न 27

15 × 25 × 32 × 40 × 75 के अंत में कितने शून्य हैं?

उत्तर: अंत के हर शून्य के लिए एक 2 और एक 5 चाहिए। पहले 5 गिनिए। 15 में एक, 25 में दो, 40 में एक और 75 में दो, यानी कुल 6। अब 2 गिनिए। 32 में पाँच और 40 में तीन, यानी कुल 8। 5 कम हैं, इसलिए अंत में 6 शून्य ही होंगे। गुणा करके देखें, तो गुणनफल 3,60,00,000 आता है।

प्रश्न 28 [Tier 2]

$0.2\overline{3} + 0.\overline{23}$ को भिन्न के रूप में व्यक्त कीजिए।

उत्तर: दोनों को अलग-अलग भिन्न में बदल लेते हैं। $0.2\overline{3} = \frac{23 - 2}{90} = \frac{21}{90} = \frac{7}{30}$ और $0.\overline{23} = \frac{23}{99}$। 30 और 99 का ल.स. 990 है, तो दोनों को इसी हर पर ले आते हैं। $\frac{7}{30} = \frac{231}{990}$ और $\frac{23}{99} = \frac{230}{990}$। अब योग = $\mathbf{\frac{461}{990}}$।

प्रश्न 29

चार अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 3, 4 और 5 से भाग देने पर क्रमशः 2, 3 और 4 शेषफल प्राप्त होते हैं।

उत्तर: हर भाजक में से उसका शेषफल घटाइए। 3 − 2 = 1, 4 − 3 = 1 और 5 − 4 = 1। यह अंतर हर बार 1 है, तो संख्या ल.स.(3, 4, 5) = 60 के किसी गुणज से 1 कम होगी। 9,999 को 60 से भाग देने पर शेषफल 39 आता है, तो 60 का चार अंकों वाला सबसे बड़ा गुणज 9,960 है। उत्तर = 9,960 − 1 = 9,959।

प्रश्न 30

$7^{95} - 3^{58}$ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 95 को 4 से भाग दें, तो शेषफल 3 आता है। 7 का चक्र 7, 9, 3, 1 है, तो $7^{95}$ का इकाई अंक 3 है। 58 को 4 से भाग दें, तो शेषफल 2 आता है। 3 का चक्र 3, 9, 7, 1 है, तो $3^{58}$ का इकाई अंक 9 है। अब 3 − 9 ऋणात्मक है, इसलिए 10 उधार लेते हैं, 13 − 9 = 4। तो इकाई अंक 4 है। यहाँ उधार लेना ठीक है, क्योंकि $7^{95}$, $3^{58}$ से बहुत बड़ा है।

प्रश्न 31 [Tier 2]

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या $29^{24} - 1$ को पूर्णतः विभाजित करती है? (a) 27 (b) 28 (c) 31 (d) 33

उत्तर: याद रखिए, $a^n - 1$ हमेशा a − 1 से विभाज्य होता है। तो $29^{24} - 1$, 29 − 1 = 28 से विभाज्य है। घात 24 सम है, इसलिए यह 29 + 1 = 30 से भी विभाज्य है। उत्तर (b) 28 है। सही विकल्प केवल एक होता है, इसलिए बाकी तीन को परखने की ज़रूरत नहीं।

प्रश्न 32 [Tier 2]

6,048 के कितने गुणनखंड पूर्ण वर्ग हैं?

उत्तर: पहले अभाज्य गुणनखंडन कर लेते हैं, 6,048 = $2^5 \times 3^3 \times 7$। जो गुणनखंड पूर्ण वर्ग हो, उसमें हर घात सम होनी चाहिए। 2 के लिए $2^0$, $2^2$ या $2^4$ ले सकते हैं, यानी 3 विकल्प। 3 के लिए $3^0$ या $3^2$, यानी 2 विकल्प। 7 के लिए केवल $7^0$, यानी 1 विकल्प। कुल = 3 × 2 × 1 = 6 गुणनखंड पूर्ण वर्ग हैं, और ये 1, 4, 9, 16, 36 और 144 हैं।

प्रश्न 33

1,250 पृष्ठों वाली एक पुस्तक के पृष्ठों पर क्रमांक लिखने में कुल कितने अंकों का प्रयोग होगा?

उत्तर: पृष्ठ संख्या में कितने अंक हैं, इस हिसाब से पृष्ठों को बाँट लेते हैं। पृष्ठ 1 से 9 तक 9 अंक लगते हैं। पृष्ठ 10 से 99 तक 90 पृष्ठ हैं और हर एक पर 2 अंक, तो 180। पृष्ठ 100 से 999 तक 900 पृष्ठ हैं और हर एक पर 3 अंक, तो 2,700। पृष्ठ 1,000 से 1,250 तक 251 पृष्ठ हैं और हर एक पर 4 अंक, तो 1,004। कुल = 9 + 180 + 2,700 + 1,004 = 3,893।

प्रश्न 34 [Tier 2]

दो संख्याओं का योग 216 है और उनका म.स. 27 है। ऐसे कितने संख्या-युग्म संभव हैं?

उत्तर: म.स. 27 है, तो संख्याएँ 27a और 27b लिखी जा सकती हैं, जहाँ a और b सह-अभाज्य (co-prime) हैं। ऐसा न हो, तो म.स. 27 से बड़ा हो जाएगा। अब 27(a + b) = 216, तो a + b = 8। योग 8 वाले युग्म (1, 7), (2, 6), (3, 5) और (4, 4) हैं। (2, 6) और (4, 4) में 1 के अलावा भी उभयनिष्ठ गुणनखंड है, इसलिए ये बाहर हो जाते हैं। केवल (1, 7) और (3, 5) बचते हैं। तो ऐसे 2 युग्म हैं, 27 और 189, तथा 81 और 135।