म.स. और ल.स.

गुणनखंड, गुणज, म.स., ल.स.

जो संख्या किसी संख्या को पूरा-पूरा बाँट दे, वह उसका गुणनखंड कहलाती है। जैसे 18 के गुणनखंड 1, 2, 3, 6, 9 और 18 हैं। किसी संख्या को 1, 2, 3, … से गुणा करते जाइए, तो उसके गुणज मिलते हैं। 18 के गुणज 18, 36, 54, 72, … हैं।

अब कुछ संख्याएँ एक साथ लीजिए। जो सबसे बड़ी संख्या उन सबको पूरा-पूरा बाँट दे, उसे उनका महत्तम समापवर्तक कहते हैं। इसे छोटे रूप में म.स. लिखते हैं। अंग्रेज़ी में इसे HCF (highest common factor) कहते हैं, और इसी का दूसरा नाम GCD (greatest common divisor) है।

इसी तरह, जिस सबसे छोटी संख्या को वे सारी संख्याएँ पूरा-पूरा बाँट दें, उसे उनका लघुत्तम समापवर्त्य कहते हैं। इसे छोटे रूप में ल.स. लिखते हैं, और अंग्रेज़ी में LCM (lowest common multiple) कहते हैं।

जैसे 12 और 18 लीजिए। दोनों के उभयनिष्ठ गुणनखंड 1, 2, 3 और 6 हैं, तो म.स. 6 है। दोनों के उभयनिष्ठ गुणज 36, 72, 108, … हैं, और इनमें सबसे छोटा 36 है। तो ल.स. 36 है।

अभाज्य गुणनखंडन से

पहले हर संख्या को अभाज्य संख्याओं में तोड़ लीजिए। इसे अभाज्य गुणनखंडन (prime factorisation) कहते हैं। इसके बाद म.स. और ल.स. ऐसे निकालिए।

• म.स.: केवल वे अभाज्य लीजिए जो सारी संख्याओं में हों। हर एक को उसकी सबसे छोटी घात के साथ लीजिए।
• ल.स.: हर वह अभाज्य लीजिए जो किसी भी संख्या में आया हो। हर एक को उसकी सबसे बड़ी घात के साथ लीजिए।

उदाहरण के लिए 72, 120 और 180 लेते हैं।

$$72 = 2^3 \times 3^2 \qquad 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \qquad 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$$

म.स. के लिए देखिए कि 2 और 3 तीनों संख्याओं में हैं। 2 की सबसे छोटी घात $2^2$ है और 3 की $3^1$, तो म.स. = $2^2 \times 3 = 12$। 5 तो 72 में है ही नहीं, इसलिए वह म.स. में नहीं आएगा।

ल.स. के लिए तीनों अभाज्य 2, 3 और 5 लीजिए। इनकी सबसे बड़ी घातें $2^3$, $3^2$ और $5^1$ हैं, तो ल.स. = 8 × 9 × 5 = 360।

अगर विकल्प अभाज्य घातों के रूप में लिखे हों, तो गुणा करने की ज़रूरत भी नहीं पड़ती। बस घातें मिलाकर देख लीजिए।

गलत विकल्प काटने वाले तथ्य

ये पाँच बातें याद रहें, तो कई गलत विकल्प बिना हल किए ही हट जाते हैं।

• म.स. हर दी गई संख्या को बाँटता है, और हर संख्या ल.स. को बाँटती है। इसलिए म.स. हमेशा ल.स. को बाँटता है।
• म.स. कभी भी दी गई सबसे छोटी संख्या से बड़ा नहीं होता, और ल.स. कभी भी सबसे बड़ी संख्या से छोटा नहीं होता।
• एक संख्या दूसरी को बाँटती हो, जैसे 15 और 45, तो म.स. छोटी संख्या होती है और ल.स. बड़ी संख्या।
• सह-अभाज्य (co-prime) संख्याओं का म.स. 1 होता है। इसलिए उनका ल.स. सीधे उनका गुणनफल होता है, जैसे 8 और 15 का ल.स. 120 है।
• दो क्रमागत संख्याओं का म.स. हमेशा 1 होता है, और दो क्रमागत सम संख्याओं का म.स. हमेशा 2 होता है।

भाग विधि और बड़ी संख्याएँ

संख्याएँ बड़ी हों, या उनमें कोई बड़ा अभाज्य गुणनखंड छिपा हो, तो अभाज्य गुणनखंडन में बहुत समय लगता है। ऐसे में भाग विधि लगाइए, जिसे यूक्लिड की विधि भी कहते हैं। यह कहीं ज़्यादा तेज़ है।

1. बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दीजिए।
2. अब पिछले भाजक को शेषफल से भाग दीजिए।
3. यही तब तक करते रहिए, जब तक शेषफल 0 न आ जाए। आख़िरी भाजक ही म.स. है।

जैसे 1517 और 1961 का म.स. निकालना है।

आख़िरी भाजक 37 है, तो म.स. 37 हुआ। चाहें तो जाँच लीजिए, सच में 1517 = 37 × 41 और 1961 = 37 × 53 है।

तीन संख्याएँ हों, तो पहले किन्हीं दो का म.स. निकालिए। फिर उस उत्तर और तीसरी संख्या का म.स. निकाल लीजिए।

अंतर वाला शॉर्टकट

दो संख्याओं का जो भी उभयनिष्ठ गुणनखंड हो, वह उनके अंतर को भी बाँटता है। 1517 और 1961 में यही देखिए। इनका म.स. 1961 − 1517 = 444 को भी बाँटेगा। अब 444 = $2^2 \times 3 \times 37$ है, तो 444 के केवल वे गुणनखंड जाँचने हैं जो विकल्पों में दिए हों।

1517 विषम है, इसलिए 2 और 4 हट गए। इसके अंकों का योग 14 है, इसलिए 3 भी हट गया। बचा 37, और जाँचने पर वही म.स. निकलता है।

बहुविकल्पीय प्रश्नों में अक्सर यही सबसे तेज़ रास्ता होता है।

एक साथ भाग देकर ल.स.

कई संख्याओं का ल.स. निकालना हो, तो सबको एक पंक्ति में लिखिए। अब ऐसे अभाज्य से भाग दीजिए जो कम से कम दो संख्याओं को बाँटता हो। जो संख्या न बँटे, उसे वैसे ही नीचे उतार दीजिए। यह तब तक कीजिए, जब तक नीचे बची संख्याओं में किन्हीं दो का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न रहे। अंत में सारे भाजकों और नीचे बची सारी संख्याओं का गुणा कर दीजिए। यही ल.स. है।

अब 12, 18 और 30 का ल.स. निकालकर देखते हैं।

• 2 से भाग देने पर 6, 9 और 15 मिलते हैं।
• अब 3 से भाग दीजिए, तो 2, 3 और 5 बचते हैं।
• 2, 3 और 5 में किन्हीं दो का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। तो ल.स. = 2 × 3 × 2 × 3 × 5 = 180।

[SSC टिप] ल.स. के प्रश्न में विकल्प दिए हों, तो सबसे छोटे विकल्प से जाँच शुरू कीजिए। जिस विकल्प को सारी दी गई संख्याएँ बाँट दें, वहीं रुक जाइए, वही ल.स. है। म.स. के प्रश्न में उलटा कीजिए और सबसे बड़े विकल्प से शुरू कीजिए। जो विकल्प सारी संख्याओं को बाँट दे, वही म.स. है।

भिन्नों और दशमलवों का म.स. और ल.स.

भिन्न

सबसे पहले हर भिन्न को सरलतम रूप में लिख लीजिए। फिर ये सूत्र लगाइए।

$$\text{म.स.} = \frac{\text{अंशों का म.स.}}{\text{हरों का ल.स.}} \qquad \text{ल.स.} = \frac{\text{अंशों का ल.स.}}{\text{हरों का म.स.}}$$

इन्हें याद रखने का एक आसान तरीका है। म.स. छोटा आना चाहिए, इसलिए नीचे बड़ी चीज़, यानी हरों का ल.स. रखते हैं। ल.स. बड़ा आना चाहिए, इसलिए नीचे छोटी चीज़, यानी हरों का म.स. रखते हैं।

उदाहरण के लिए $\frac{2}{3}$, $\frac{8}{9}$ और $\frac{10}{27}$ लीजिए।

• म.स. के लिए ऊपर म.स.(2, 8, 10) और नीचे ल.स.(3, 9, 27) रखिए। म.स. = $\frac{2}{27}$ आता है।
• ल.स. के लिए ऊपर ल.स.(2, 8, 10) और नीचे म.स.(3, 9, 27) रखिए। ल.स. = $\frac{40}{3}$ आता है।

ल.स. की जाँच भी कर लेते हैं। $\frac{40}{3}$ को हर भिन्न से भाग दीजिए, तो 20, 15 और 36 आते हैं। ये सब पूर्ण संख्याएँ हैं, तो यह सच में तीनों का उभयनिष्ठ गुणज है।

दशमलव

दशमलव वाली संख्याओं का म.स. या ल.स. तीन कदमों में निकलता है।

1. शून्य लगाकर हर संख्या में दशमलव के बाद के अंक बराबर कर लीजिए।
2. दशमलव बिंदु हटाइए और उन पूर्ण संख्याओं का म.स. या ल.स. निकालिए।
3. उत्तर में दशमलव के बाद उतने ही अंक वापस लगा दीजिए।

अब तीन उदाहरण देखिए।

• 0.48, 0.72 और 1.08 का ल.स. चाहिए, तो 48, 72 और 108 लीजिए। इनका ल.स. 432 है, तो उत्तर 4.32 होगा। इन्हीं का म.स. 12 है, इसलिए इन दशमलवों का म.स. 0.12 है।
• 3.06 और 5.1 का म.स. निकालना है। पहले 5.1 को 5.10 लिखिए। अब 306 और 510 का म.स. 102 है, तो उत्तर 1.02 है।
• 1.5 और 2.4 का ल.स. चाहिए, तो 15 और 24 लीजिए। इनका ल.स. 120 है, तो उत्तर 12.0, यानी बस 12 है। इनका म.स. 3 है, तो दशमलवों का म.स. 0.3 होगा।

सबसे ज़्यादा गलती कदम 1 छोड़ देने से होती है। कोई 3.06 और 5.1 में सीधे बिंदु हटा दे, तो उसके हाथ 306 और 51 आएँगे। इनका म.स. 51 है, तो वह उत्तर 0.51 लिख देगा, जो गलत है। इसी उदाहरण से साफ़ है कि पहले अंक बराबर करना क्यों ज़रूरी है।

एक संख्या दूसरी की गुणज

कोई भी हल शुरू करने से पहले देख लीजिए कि कहीं एक संख्या दूसरी की गुणज तो नहीं। जैसे 142.5 × 2 = 285, तो 142.5 और 285 का ल.स. 285 है और म.स. 142.5 है।

SSC ऐसे प्रश्नों में जान-बूझकर भारी-भरकम दिखने वाले दशमलव देता है, ताकि आप लंबा हल शुरू कर दें, जबकि उसकी ज़रूरत ही नहीं होती।

म.स. × ल.स. = गुणनफल (केवल दो संख्याएँ)

किन्हीं भी दो संख्याओं $a$ और $b$ के लिए यह सूत्र हमेशा सही है।

$$\text{म.स.} \times \text{ल.स.} = a \times b$$

यह क्यों चलता है, इसे समझना आसान है। हर अभाज्य के लिए म.स. उसकी छोटी घात लेता है और ल.स. बड़ी घात। दोनों को गुणा करें, तो दोनों घातें ठीक एक-एक बार आ जाती हैं। दोनों संख्याओं को गुणा करने पर भी ठीक यही होता है।

जैसे 72 = $2^3 \times 3^2$ और 60 = $2^2 \times 3 \times 5$ है। इनका म.स. $2^2 \times 3 = 12$ है और ल.स. $2^3 \times 3^2 \times 5 = 360$ है। अब 12 × 360 = 4320 आता है, और 72 × 60 भी 4320 ही है।

तीन आम उपयोग

• दूसरी संख्या: म.स. 12 है, ल.स. 360 है और एक संख्या 72 है। तो दूसरी संख्या = 12 × 360 ÷ 72 = 60।
• गुणनफल और ल.स. से म.स.: दो संख्याओं का गुणनफल 4800 है और ल.स. 240 है। तो म.स. = 4800 ÷ 240 = 20। 60 और 80 ऐसी ही संख्याएँ हैं।
• गुणनफल और म.स. से ल.स.: यहाँ वही बात उलटी ओर से लगती है। ल.स. निकालने के लिए गुणनफल को म.स. से भाग दे दीजिए।

तीन संख्याओं पर नहीं

2, 4 और 8 लेकर देखिए। इनका म.स. 2 है और ल.स. 8, तो म.स. × ल.स. = 16 आता है। पर तीनों का गुणनफल 64 है।

यानी यह सूत्र केवल दो संख्याओं के लिए है, तीन पर इसे कभी मत लगाइए। SSC कभी-कभी तीन संख्याओं वाले प्रश्न में "गुणनफल" वाला उत्तर भी विकल्पों में रख देता है। जो छात्र यही सूत्र लगा देते हैं, वे सीधे उसी विकल्प को चुन लेते हैं।

असंभव ल.स.

ल.स. हमेशा म.स. का गुणज होता है। मान लीजिए दो संख्याओं का म.स. 16 है। तो उनका ल.स. 64, 96 या 240 हो सकता है, पर 120 कभी नहीं, क्योंकि 120 ÷ 16 से पूर्ण संख्या नहीं आती।

इसलिए प्रश्न आए कि "इनमें से कौन-सा ल.स. नहीं हो सकता?", तो वह विकल्प चुनिए जिसे म.स. नहीं बाँटता।

यही जाँच उन प्रश्नों पर भी लगाइए जिनमें लिखा हो, "दो संख्याओं का म.स. और ल.स. … दिए हैं"। अगर दिया गया ल.स., म.स. का गुणज नहीं है, तो ऐसी कोई संख्या-जोड़ी है ही नहीं।

[SSC टिप] दूसरी संख्या निकल आए, तो पाँच सेकंड की एक जाँच कर लीजिए। देखिए कि म.स. उसे बाँटता है और वह ल.स. को बाँटती है। ऊपर वाली 60 को लीजिए। 60 ÷ 12 = 5 और 360 ÷ 60 = 6, तो उत्तर ठीक है।

अनुपात, योग और सह-अभाज्य भाग

मान लीजिए दो संख्याओं का म.स. $h$ है। दोनों में से $h$ बाहर निकाल लीजिए, तो संख्याओं को $ha$ और $hb$ लिख सकते हैं। यहाँ $a$ और $b$ हमेशा सह-अभाज्य होते हैं।

वजह सीधी है। अगर $a$ और $b$ में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड बचा रहता, तो $h$ सबसे बड़ा, यानी महत्तम, नहीं रहता।

इससे ये तीन सूत्र मिलते हैं।

$$\text{ल.स.} = h \times a \times b \qquad \frac{\text{ल.स.}}{\text{म.स.}} = a \times b \qquad \text{गुणनफल} = h^2 \times a \times b$$

म.स. वाला प्रश्न थोड़ा घुमाकर पूछा गया हो, तो वह लगभग हमेशा इन्हीं तीन सूत्रों से हल हो जाता है।

अनुपात और म.स. दिए हों, तो काम आसान है। जैसे दो संख्याएँ 4 : 7 के अनुपात में हैं और उनका म.स. 9 है। तो संख्याएँ 36 और 63 हैं, और ल.स. = 9 × 4 × 7 = 252। सरलतम रूप वाले अनुपात के पद हमेशा सह-अभाज्य होते हैं, इसलिए यहाँ जिस संख्या से गुणा किया, वही म.स. है।

अनुपात और ल.स. दिए हों, तब भी यही तरीका चलता है। मान लीजिए दो संख्याएँ 3 : 5 में हैं और उनका ल.स. 240 है। संख्याएँ $3x$ और $5x$ मानिए। तब ल.स. $15x = 240$ होगा, यानी $x = 16$। संख्याएँ 48 और 80 हुईं, और इनका म.स. 16 है।

तीन संख्याओं में यहाँ ध्यान रखना पड़ता है। अनुपात 2 : 3 : 4 हो, तो ल.स. = $x$ × ल.स.(2, 3, 4) = $12x$ होगा, $24x$ नहीं, क्योंकि 2 और 4 सह-अभाज्य नहीं हैं।

योग और म.स. दिए हों, तो जोड़ियाँ गिननी पड़ती हैं। जैसे दो संख्याओं का योग 144 है और म.स. 12 है। तब $12a + 12b = 144$, यानी $a + b = 12$, और यहाँ भी ये दोनों सह-अभाज्य होने चाहिए।

जिनका योग 12 है, ऐसी जोड़ियाँ (1, 11), (2, 10), (3, 9), (4, 8), (5, 7) और (6, 6) हैं। इनमें सह-अभाज्य केवल (1, 11) और (5, 7) हैं। तो संख्याओं की दो ही जोड़ियाँ बनती हैं, 12 और 132, तथा 60 और 84।

गुणनफल और म.स. दिए हों, तब भी यही करते हैं। जैसे दो संख्याओं का गुणनफल 7680 है और म.स. 16 है। तो $16^2 \times ab = 7680$, यानी $ab = 30$।

जिनका गुणनफल 30 है, ऐसी सह-अभाज्य जोड़ियाँ (1, 30), (2, 15), (3, 10) और (5, 6) हैं। तो चार जोड़ियाँ बनती हैं, 16 और 480, 32 और 240, 48 और 160, तथा 80 और 96।

म.स., ल.स. और अंतर तीनों दिए हों, तो दोनों शर्तें एक साथ लगाइए। जैसे म.स. 14 है, ल.स. 420 है और अंतर 98 है। $ab$ = 420 ÷ 14 = 30 हुआ, और $14(a - b) = 98$ से $a - b = 7$ आता है। ऊपर वाली जोड़ियों में केवल (10, 3) में अंतर 7 है। तो संख्याएँ 140 और 42 हैं।

म.स. और ल.स. के बाकी गुणनखंड वाला प्रश्न कुछ इस तरह आता है, "दो संख्याओं का म.स. 19 है और उनके ल.स. के अन्य दो गुणनखंड 7 और 11 हैं"। यहाँ संख्याएँ 19 × 7 = 133 और 19 × 11 = 209 हैं। तो बड़ी संख्या 209 है, और ल.स. = 19 × 7 × 11 = 1463।

दिए शेषफल, सबसे बड़ी संख्या

मान लीजिए प्रश्न है, "वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 437 और 623 को भाग देने पर शेषफल 5 और 11 बचें"।

437 में से 5 बचता है, तो वह संख्या 437 − 5 = 432 को पूरा-पूरा बाँटती है। इसी तरह वह 623 − 11 = 612 को भी पूरा बाँटती है। दोनों को बाँटने वाली सबसे बड़ी संख्या म.स.(432, 612) है, जो 36 है।

नियम यह है कि हर शेषफल को उसकी अपनी संख्या में से घटाइए, फिर म.स. निकालिए।

एक जाँच ज़रूर कर लीजिए। उत्तर हर शेषफल से बड़ा होना चाहिए। यहाँ 36, 11 से बड़ा है, तो ठीक है। अगर म.स. किसी शेषफल से छोटा निकले, तो वह शेषफल बच ही नहीं सकता। ऐसे में प्रश्न दोबारा पढ़िए।

एक जैसा शेषफल, दिया नहीं

अब यह प्रश्न देखिए, "वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 158, 248 और 383 को भाग देने पर हर बार एक ही शेषफल बचे"।

हर संख्या में एक ही शेषफल $r$ बचता है, तो आपस में घटाने पर यह शेषफल कट जाता है। यानी वह संख्या इनके अंतरों 248 − 158 = 90, 383 − 248 = 135 और 383 − 158 = 225, तीनों को पूरा-पूरा बाँटती है।

म.स.(90, 135, 225) = 45, तो संख्या 45 है। हर बार बचने वाला शेषफल जानने के लिए 158 ÷ 45 कीजिए, शेषफल 23 आता है।

नियम यह है कि संख्याओं को क्रम में लिखिए और आस-पास वाली संख्याओं के अंतरों का म.स. निकालिए। दो अंतर काफ़ी हैं, क्योंकि तीसरा अंतर उन्हीं दोनों का योग होता है।

SSC अक्सर इसके बाद उस संख्या से जुड़ी कोई और चीज़ पूछ लेता है। जैसे उसके अंकों का योग, जो यहाँ 4 + 5 = 9 है, या ख़ुद शेषफल (23), या दोनों का जोड़। इसलिए उत्तर पर निशान लगाने से पहले प्रश्न की आख़िरी पंक्ति ध्यान से पढ़िए।

एक जैसा शेषफल, दिया हुआ

प्रश्न में लिखा हो कि "हर बार शेषफल 7 बचे", तो हर संख्या में से 7 घटाइए और फिर म.स. निकालिए।

पूरा-पूरा भाग

कोई शेषफल न बचे, तो सीधे म.स. निकालिए। जैसे "1517 और 1961 को पूरा बाँटने वाली सबसे बड़ी संख्या" 37 है।

[SSC टिप] "संख्याओं को बाँटे" और "संख्याओं से विभाज्य हो", इन दोनों में घालमेल मत कीजिए। जो संख्या 432 और 612 को बाँटती है, वह दोनों से छोटी होगी, इसलिए वह म.स. से निकलेगी। जिस संख्या को 432 और 612 दोनों बाँटें, वह दोनों से बड़ी होगी, इसलिए वह ल.स. से निकलेगी। ल.स. वाले ऐसे प्रश्न ठीक अगले भाग में हैं।

दिए शेषफल, सबसे छोटी संख्या

अब दी गई संख्याएँ हमारे उत्तर में जाती हैं, यानी वे उत्तर को बाँटती हैं। इसलिए यहाँ ल.स. लगता है।

एक ही शेषफल $r$ बचे, तो ल.स. निकालकर उसमें शेषफल जोड़ दीजिए। जैसे वह सबसे छोटी संख्या चाहिए जिसे 12, 18 और 27 से भाग देने पर शेषफल 5 बचे। ल.स.(12, 18, 27) = 108, तो संख्या 108 + 5 = 113 है।

ऐसी हर संख्या $108k + 5$ के रूप में होती है। वैसे 5 को भी इनसे भाग दें, तो शेषफल 5 ही बचता है। पर SSC के प्रश्नों में भाजकों से बड़ी संख्या ही चाहिए होती है। इसलिए $k = 1$ लेते हैं।

स्थिर अंतर वाले प्रश्नों में शेषफल अलग-अलग होते हैं। जैसे 6, 8 और 10 से भाग देने पर शेषफल 4, 6 और 8 बचें। यहाँ हर शेषफल अपने भाजक से 2 कम है। मतलब संख्या में 2 जोड़ दें, तो वह तीनों से विभाज्य हो जाएगी। तो संख्या = ल.स. − 2 = 120 − 2 = 118।

अतिरिक्त शर्त के साथ भी प्रश्न आते हैं। जैसे वह सबसे छोटी संख्या चाहिए जिसे 6, 9 और 15 से भाग देने पर शेषफल 4 बचे, और जो 7 से भी विभाज्य हो। ऐसी संख्याएँ $90k + 4$ के रूप की होती हैं, यानी 94, 184, 274, 364, …। इनमें 7 का पहला गुणज 364 = 7 × 52 है।

यह और जल्दी भी निकल सकता है। 90 = 84 + 6 है, तो 7 से भाग देने पर 90 का शेषफल 6 है, जिसे −1 मान सकते हैं। तब $90k + 4$ का शेषफल $4 - k$ होगा, जो $k = 4$ पर 0 हो जाता है। उत्तर फिर से 364 आता है।

कई संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटा पूर्ण वर्ग भी पूछा जाता है। 6, 9 और 15 का ल.स. $90 = 2 \times 3^2 \times 5$ है। पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। यहाँ 2 और 5 की घात सम नहीं है, तो ल.स. को 2 × 5 से और गुणा कीजिए। उत्तर 900 = $30^2$ है।

n अंकों की सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्याएँ वाले प्रश्न ऐसे हल होते हैं।

• 12, 15 और 20 से विभाज्य 4 अंकों की सबसे छोटी संख्या चाहिए। ल.स. 60 है। 1000 को 60 से भाग देने पर शेषफल 40 आता है, तो 1000 में 60 − 40 = 20 जोड़िए। उत्तर 1020 है।
• 12, 15 और 20 से विभाज्य 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या चाहिए। 9999 को 60 से भाग देने पर शेषफल 39 आता है। इसे 9999 में से घटाइए, तो 9960 मिलता है।
• 4 अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या चाहिए, जिसे 8, 12 और 15 से भाग देने पर शेषफल 5 बचे। ल.स. 120 है, और 120 का 4 अंकों वाला सबसे बड़ा गुणज 9960 है। इसमें 5 जोड़िए, तो 9965 आता है। ऐसे प्रश्नों में हर बार देखिए कि शेषफल जोड़ने के बाद संख्या 9999 से आगे तो नहीं निकल गई।

जोड़ी जाने वाली न्यूनतम संख्या भी इसी तरह निकलती है। मान लीजिए 2000 में कुछ जोड़कर उसे 12, 18 और 30 से विभाज्य बनाना है। ल.स. 180 है। 2000 को 180 से भाग देने पर शेषफल 20 आता है, तो कम से कम 180 − 20 = 160 जोड़ना होगा।

किसी सीमा में कितनी संख्याएँ हैं, यह भी पूछा जाता है। 1000 और 3000 के बीच 12, 18 और 30 से विभाज्य संख्याएँ बस 180 के गुणज हैं। ये 1080 (180 × 6) से 2880 (180 × 16) तक हैं। तो कुल 16 − 6 + 1 = 11 संख्याएँ हुईं।

शाब्दिक प्रश्न (घंटियाँ, टाइलें आदि)

सबसे पहले तय कीजिए कि प्रश्न में पूछा क्या गया है। कुछ चीज़ें फिर से एक साथ होनी हों, तो ल.स. लगेगा। सबसे बड़ा बराबर टुकड़ा चाहिए, तो म.स. लगेगा।

ल.स. वाले प्रश्न

घंटियाँ और लाइटें वाले प्रश्न सबसे आम हैं। चार घंटियाँ हर 6, 8, 12 और 15 मिनट पर बजती हैं, और सुबह 9:00 बजे एक साथ बजीं। अगली बार वे ल.स.(6, 8, 12, 15) = 120 मिनट बाद एक साथ बजेंगी, यानी सुबह 11:00 बजे।

6 घंटों में, यानी 360 मिनट में, वे 360 ÷ 120 = 3 बार और एक साथ बजेंगी। सुबह 9:00 बजे वाली घंटी भी गिनें, तो कुल 4 बार। इसलिए हर बार ध्यान से पढ़िए कि शुरुआत वाली बार भी गिननी है या नहीं।

यहाँ इकाइयों पर भी ध्यान रखिए। लाइटें हर 20, 30 और 45 सेकंड पर चमकती हैं, तो वे हर 180 सेकंड, यानी 3 मिनट पर एक साथ चमकेंगी। शुरू होने के बाद एक घंटे में ऐसा 20 बार होगा।

ट्रैफ़िक लाइटें हर 36, 54 और 90 सेकंड पर बदलती हैं, और सुबह 7:00:00 बजे एक साथ बदलीं। ल.स. 540 सेकंड है, यानी 9 मिनट। तो वे अगली बार सुबह 7:09:00 बजे एक साथ बदलेंगी।

गोल ट्रैक पर धावक वाले प्रश्न भी इसी तरह हल होते हैं। A, B और C एक चक्कर में 36, 48 और 60 सेकंड लगाते हैं और एक साथ दौड़ना शुरू करते हैं। ल.स.(36, 48, 60) = 720 सेकंड है, यानी 12 मिनट। तीनों 12 मिनट बाद शुरुआती बिंदु पर फिर एक साथ होंगे। तब तक A के 20 चक्कर, B के 15 और C के 12 चक्कर पूरे हो चुके होंगे।

म.स. वाले प्रश्न

वर्गाकार टाइलें लगानी हों, तो टाइल की भुजा म.स. से आती है। मान लीजिए फ़र्श 6 मीटर 24 सेमी × 4 मीटर 32 सेमी का है। पहले दोनों माप सेमी में लिखिए, 624 और 432। सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल की भुजा म.स.(624, 432) = 48 सेमी होगी। टाइलों की संख्या = (624 ÷ 48) × (432 ÷ 48) = 13 × 9 = 117।

सबसे लंबा फ़ीता या पैमाना भी म.स. से मिलता है। मान लीजिए 3 मीटर 85 सेमी, 7 मीटर 70 सेमी और 12 मीटर 95 सेमी, तीनों लंबाइयाँ एक ही फ़ीते से पूरी-पूरी नापनी हैं। तो सबसे लंबा फ़ीता म.स.(385, 770, 1295) = 35 सेमी का होगा।

बराबर पंक्तियाँ या समूह बनाने हों, तब भी म.स. लगता है। जैसे 391 लड़के और 323 लड़कियाँ हैं। हर पंक्ति में बराबर विद्यार्थी हों, और हर पंक्ति में या तो केवल लड़के हों या केवल लड़कियाँ। तो सबसे बड़ी पंक्ति म.स.(391, 323) = 17 विद्यार्थियों की होगी, और पंक्तियाँ 23 + 19 = 42 बनेंगी।

याद रखिए, सबसे कम पंक्तियाँ हमेशा सबसे बड़ी पंक्ति से ही बनती हैं।

छड़ें काटनी हों, तो भी यही होता है। 84 सेमी, 140 सेमी और 196 सेमी की छड़ों से बराबर टुकड़े काटने हैं, जितने लंबे हो सकें। हर टुकड़ा 28 सेमी का होगा, और टुकड़े 3 + 5 + 7 = 15 बनेंगे।

डिब्बे और टंकियाँ वाले प्रश्न में मान लीजिए तीन तरह का तेल है, 120 लीटर, 168 लीटर और 216 लीटर। इन्हें बिना मिलाए एक जैसे डिब्बों में भरना है। सबसे कम डिब्बे तब लगेंगे, जब डिब्बा सबसे बड़ा हो, यानी तीनों के म.स. जितना, 24 लीटर का। तब डिब्बे 5 + 7 + 9 = 21 लगेंगे।

म.स. या ल.स.? पहचान और शॉर्टकट

प्रश्न में आए शब्दों से अक्सर पता चल जाता है कि प्रश्न म.स. का है या ल.स. का।

पर केवल शब्द देखकर फ़ैसला मत कीजिए, वे धोखा भी दे सकते हैं। "टाइलों की न्यूनतम संख्या" में न्यूनतम लिखा है, फिर भी यह म.स. का प्रश्न है, क्योंकि सबसे कम टाइलें सबसे बड़ी टाइल से लगती हैं।

इसी तरह "12, 15 और 20 से विभाज्य 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या" में सबसे बड़ी लिखा है, फिर भी यह ल.स. का प्रश्न है। यहाँ ये संख्याएँ उत्तर में जाती हैं, यानी उत्तर को बाँटती हैं।

इसलिए ख़ुद से बस एक सवाल पूछिए। उत्तर दी गई संख्याओं से छोटा होगा या बड़ा? छोटा होगा, तो वह उन्हें बाँटेगा और म.स. लगेगा। बड़ा होगा, तो वे उसे बाँटेंगी और ल.स. लगेगा।

बिना हल किए विकल्प-जाँच

कई बार हल किए बिना, केवल विकल्प जाँचकर ही उत्तर मिल जाता है।

• म.स. वाला विकल्प हर दी गई संख्या को बाँटना चाहिए। जो न बाँटे, उसे हटा दीजिए।
• ल.स. वाला विकल्प हर दी गई संख्या से विभाज्य होना चाहिए। जो न हो, उसे हटा दीजिए।
• म.स. दिया हो, तो ल.स. वाला विकल्प उसका भी गुणज होना चाहिए।

शॉर्टकट 1: दोनों को एक ही संख्या से गुणा

दोनों संख्याओं को एक ही $k$ से गुणा करें, तो उनका म.स. और ल.स. भी $k$ गुना हो जाता है।

जैसे 18 और 24 का म.स. 6 है, तो 180 और 240 का म.स. 60 होगा, और 1.8 और 2.4 का म.स. 0.6 होगा। इसी तरह 18 और 24 का ल.स. 72 है, तो 180 और 240 का ल.स. 720 होगा।

एक बात और याद रखिए। $a$ और $b$ का म.स. वही है जो $a$ और $b - a$ का है। यह वही अंतर वाला शॉर्टकट है जो ऊपर भाग विधि वाले भाग में आया था।

शॉर्टकट 2: $2^m - 1$ वाला रूप [Tier 2]

यहाँ आधार $a$ कोई भी पूर्ण संख्या हो सकती है, बस वह 2 या उससे बड़ी हो। तब यह नियम लगता है।

$$\text{म.स.}(a^m - 1,\ a^n - 1) = a^{\text{म.स.}(m, n)} - 1$$

जैसे $2^{100} - 1$ और $2^{120} - 1$ का म.स. $2^{20} - 1$ है, क्योंकि 100 और 120 का म.स. 20 है। इसी तरह $3^{12} - 1$ और $3^{18} - 1$ का म.स. $3^6 - 1 = 728$ है।

यह नियम केवल "घटा 1" वाले रूप पर चलता है। $2^m + 1$ जैसी संख्याओं में बात अलग है, इसलिए उन पर इसे मत लगाइए।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

84, 126 और 210 का म.स. और ल.स. ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले तीनों के अभाज्य गुणनखंड लिख लेते हैं। 84 = $2^2 \times 3 \times 7$, 126 = $2 \times 3^2 \times 7$ और 210 = 2 × 3 × 5 × 7। म.स. में वही अभाज्य आएँगे जो तीनों में हैं, वह भी सबसे छोटी घात के साथ। तो म.स. = 2 × 3 × 7 = 42। ल.स. में हर अभाज्य अपनी सबसे बड़ी घात के साथ आएगा, तो ल.स. = $2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$ = 4 × 9 × 35 = 1260।

प्रश्न 2

1591 और 2279 का म.स. ज्ञात कीजिए।

उत्तर: संख्याएँ बड़ी हैं, तो भाग विधि लगाते हैं।

• 2279 = 1 × 1591 + 688
• 1591 = 2 × 688 + 215
• 688 = 3 × 215 + 43
• 215 = 5 × 43 + 0

आख़िरी भाजक 43 है, तो म.स. 43 है। जाँच के लिए देखिए, 1591 = 43 × 37 और 2279 = 43 × 53।

प्रश्न 3

$\frac{4}{5}$, $\frac{6}{25}$ और $\frac{8}{15}$ का म.स. और ल.स. ज्ञात कीजिए।

उत्तर: तीनों भिन्नें पहले से सरलतम रूप में हैं। म.स. के लिए ऊपर म.स.(4, 6, 8) और नीचे ल.स.(5, 25, 15) रखते हैं, तो $\frac{2}{75}$ आता है। ल.स. के लिए ऊपर ल.स.(4, 6, 8) और नीचे म.स.(5, 25, 15) रखते हैं, तो $\frac{24}{5}$ आता है। तो उत्तर है, म.स. 2/75 और ल.स. 24/5।

प्रश्न 4

2.52, 0.84 और 1.4 का म.स. और ल.स. ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले तीनों में दशमलव के बाद दो-दो अंक कर लेते हैं, 2.52, 0.84 और 1.40। अब बिंदु हटाइए, तो 252, 84 और 140 मिलते हैं। 252 = $2^2 \times 3^2 \times 7$, 84 = $2^2 \times 3 \times 7$ और 140 = $2^2 \times 5 \times 7$ है। इनका म.स. = $2^2 \times 7 = 28$ और ल.स. = $2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 1260$। अब दशमलव बिंदु फिर से दो अंक पहले लगा दीजिए। म.स. 0.28 हुआ, और ल.स. 12.60, यानी 12.6 हुआ।

प्रश्न 5

112.4 और 337.2 का ल.स. और म.स. ज्ञात कीजिए।

उत्तर: कुछ भी हल करने से पहले देख लेते हैं कि कहीं एक संख्या दूसरी की गुणज तो नहीं। 112.4 × 3 = 337.2 है, यानी बड़ी संख्या छोटी की गुणज है। इसलिए ल.स. बड़ी संख्या, यानी 337.2 है, और म.स. छोटी संख्या, यानी 112.4 है।

प्रश्न 6

दो संख्याओं का म.स. 18 और ल.स. 540 है। यदि उनमें से एक संख्या 108 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दो संख्याओं का म.स. × ल.स. उन दोनों के गुणनफल के बराबर होता है। तो दूसरी संख्या = 18 × 540 ÷ 108 = 9720 ÷ 108 = 90। जाँच कर लीजिए, 108 और 90 का म.स. सच में 18 है और ल.स. 540 है।

प्रश्न 7

दो संख्याओं का गुणनफल 6912 है और उनका ल.स. 288 है। उनका म.स. ज्ञात कीजिए।

उत्तर: गुणनफल को ल.स. से भाग दे दीजिए, म.स. मिल जाएगा। म.स. = 6912 ÷ 288 = 24। 72 और 96 ऐसी ही दो संख्याएँ हैं, जिनका म.स. 24 और ल.स. 288 है।

प्रश्न 8

दो संख्याओं का म.स. 14 है। निम्नलिखित में से कौन-सा उनका ल.स. नहीं हो सकता? (a) 98 (b) 126 (c) 168 (d) 189

उत्तर: ल.स. हमेशा म.स. का गुणज होता है, तो हर विकल्प को 14 से भाग देकर देखते हैं। 98 = 14 × 7, 126 = 14 × 9 और 168 = 14 × 12, तो ये तीनों ल.स. हो सकते हैं। 189 विषम है, इसलिए 14 उसे बाँट ही नहीं सकता। उत्तर (d) 189 है।

प्रश्न 9

दो संख्याएँ 5 : 8 के अनुपात में हैं और उनका म.स. 7 है। उनका ल.स. ज्ञात कीजिए।

उत्तर: संख्याएँ 7 × 5 = 35 और 7 × 8 = 56 हैं। 5 और 8 सह-अभाज्य हैं, तो ल.स. = 7 × 5 × 8 = 280।

प्रश्न 10

दो संख्याओं का योग 216 है और उनका म.स. 12 है। ऐसे कितने संख्या-युग्म हैं?

उत्तर: संख्याएँ $12a$ और $12b$ मान लेते हैं, जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं। तब $12(a + b) = 216$, यानी $a + b = 18$। जिनका योग 18 है, ऐसी जोड़ियाँ (1, 17), (2, 16), (3, 15), (4, 14), (5, 13), (6, 12), (7, 11), (8, 10) और (9, 9) हैं। इनमें सह-अभाज्य केवल (1, 17), (5, 13) और (7, 11) हैं। तो 3 जोड़ियाँ बनती हैं, 12 और 204, 60 और 156, तथा 84 और 132।

प्रश्न 11

दो संख्याओं का म.स. 13 है तथा उनके ल.स. के अन्य दो गुणनखंड 11 और 15 हैं। बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: म.स. को बाकी दोनों गुणनखंडों से अलग-अलग गुणा कीजिए। संख्याएँ 13 × 11 = 143 और 13 × 15 = 195 हैं, तो बड़ी संख्या 195 है। चाहें तो इनका ल.स. भी निकाल लीजिए, 13 × 11 × 15 = 2145।

प्रश्न 12

वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 701 और 1109 को भाग देने पर क्रमशः 5 और 7 शेष बचें।

उत्तर: पहले शेषफल हटा देते हैं। 701 − 5 = 696 और 1109 − 7 = 1102। अब वह संख्या इन दोनों को पूरा-पूरा बाँटती है, तो इनका म.स. निकालना है। इसके लिए भाग विधि लगाते हैं।

• 1102 = 1 × 696 + 406
• 696 = 1 × 406 + 290
• 406 = 1 × 290 + 116
• 290 = 2 × 116 + 58
• 116 = 2 × 58 + 0

तो म.स. 58 है। यह 5 और 7 दोनों से बड़ा है, इसलिए ये शेषफल बच सकते हैं।

प्रश्न 13

N वह बड़ी से बड़ी संख्या है, जिससे 1023, 1527 और 2283 को भाग देने पर हर बार समान शेषफल बचता है। N के अंकों का योग और वह शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: शेषफल एक जैसा है, तो अंतर लेते हैं। 1527 − 1023 = 504 और 2283 − 1527 = 756। अब इनका म.स. चाहिए। 756 − 504 = 252, और 504 = 2 × 252, तो म.स. 252 है, यानी N = 252। N के अंकों का योग 2 + 5 + 2 = 9 है। शेषफल के लिए 1023 को 252 से भाग दीजिए। 1023 − 4 × 252 = 1023 − 1008 = 15, तो शेषफल 15 है।

प्रश्न 14

वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसे 15, 20, 24 और 32 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 7 शेष बचे।

उत्तर: पहले ल.स. निकालते हैं। 15 = 3 × 5, 20 = $2^2 \times 5$, 24 = $2^3 \times 3$ और 32 = $2^5$ है। हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात लें, तो ल.स. = $2^5 \times 3 \times 5 = 480$। इसमें शेषफल 7 जोड़ दीजिए, उत्तर 487 है।

प्रश्न 15

वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसे 9, 12 और 15 से भाग देने पर क्रमशः 7, 10 और 13 शेष बचें।

उत्तर: यहाँ 9 − 7 = 12 − 10 = 15 − 13 = 2, यानी हर शेषफल अपने भाजक से 2 कम है। तो संख्या में 2 और जुड़ते ही वह 9, 12 और 15 तीनों से पूरी-पूरी बँट जाएगी। ल.स.(9, 12, 15) = 180, तो संख्या = 180 − 2 = 178।

प्रश्न 16

वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसे 5, 6 और 8 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 3 शेष बचे, तथा जो 11 से पूर्णतः विभाज्य हो।

उत्तर: ल.स.(5, 6, 8) = 120, तो ऐसी हर संख्या $120k + 3$ के रूप में होगी। अब 11 वाली शर्त देखिए। 120 = 121 − 1 है, और 121 तो 11 से पूरा बँटता है। इसलिए 11 से भाग देने पर 120 को −1 मान सकते हैं। तब $120k + 3$ का शेषफल $3 - k$ होगा, जो $k = 3$ पर 0 हो जाता है। संख्या = 360 + 3 = 363, और सच में 363 = 11 × 33 है। ($k = 0$ लेने पर 3 आता है, जो 11 से विभाज्य नहीं है।)

प्रश्न 17

4 अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसे 6, 10 और 14 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 4 शेष बचे।

उत्तर: ल.स.(6, 10, 14) = 210 है। अब 9999 को 210 से भाग देने पर भागफल 47 और शेषफल 129 आता है। तो 210 का 4 अंकों वाला सबसे बड़ा गुणज 9999 − 129 = 9870 है। इसमें शेषफल 4 जोड़िए, उत्तर 9874 है, और यह अब भी 4 अंकों की संख्या है।

प्रश्न 18

चार घंटियाँ 9, 12, 15 और 18 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। पूर्वाह्न 8:00 बजे वे एक साथ बजती हैं। पूर्वाह्न 8:00 बजे से रात 8:00 बजे तक, इन दोनों समयों को मिलाकर, वे कितनी बार एक साथ बजेंगी?

उत्तर: ल.स.(9, 12, 15, 18) = 180 मिनट, यानी 3 घंटे। तो घंटियाँ हर 3 घंटे पर एक साथ बजेंगी, सुबह 8, सुबह 11, दोपहर 2, शाम 5 और रात 8 बजे। सुबह 8 और रात 8, दोनों को गिनकर कुल 5 बार।

प्रश्न 19

A, B और C एक वृत्ताकार पथ पर दौड़ते हैं और एक चक्कर लगाने में क्रमशः 30, 45 और 54 सेकंड लेते हैं। वे एक ही बिंदु से एक साथ दौड़ना आरंभ करते हैं। कितने समय बाद वे तीनों फिर से आरंभिक बिंदु पर एक साथ होंगे?

उत्तर: यहाँ ल.स.(30, 45, 54) चाहिए। 30 = 2 × 3 × 5, 45 = $3^2 \times 5$ और 54 = $2 \times 3^3$ है। तो ल.स. = $2 \times 3^3 \times 5 = 270$ सेकंड, यानी 4 मिनट 30 सेकंड। तब तक A के 9 चक्कर, B के 6 और C के 5 चक्कर पूरे हो जाएँगे।

प्रश्न 20

एक फ़र्श की माप 5 मीटर 44 सेमी × 3 मीटर 74 सेमी है। इस पर एक ही माप की वर्गाकार टाइलें लगानी हैं, जो यथासंभव बड़ी हों। प्रत्येक टाइल की भुजा और टाइलों की संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले फ़र्श की माप सेमी में लिखते हैं, 544 × 374। अब म.स. निकालिए। 544 = 1 × 374 + 170, 374 = 2 × 170 + 34 और 170 = 5 × 34। तो टाइल की भुजा 34 सेमी होगी। टाइलें = (544 ÷ 34) × (374 ÷ 34) = 16 × 11 = 176।

प्रश्न 21

एक दुकान में तीन अलग-अलग प्रकार के तेल क्रमशः 357 लीटर, 408 लीटर और 459 लीटर हैं। इन्हें बिना मिलाए एक जैसे डिब्बों में भरना है, और हर डिब्बा पूरा भरा होना चाहिए। कम से कम कितने डिब्बों की आवश्यकता होगी?

उत्तर: डिब्बे सबसे कम तभी लगेंगे, जब हर डिब्बा सबसे बड़ा हो। इसलिए डिब्बे की क्षमता म.स.(357, 408, 459) होगी। 357 = 3 × 7 × 17, 408 = $2^3 \times 3 \times 17$ और 459 = $3^3 \times 17$ है। तो म.स. = 3 × 17 = 51 लीटर। डिब्बे = 357 ÷ 51 + 408 ÷ 51 + 459 ÷ 51 = 7 + 8 + 9 = 24।