शेषफल और इकाई अंक

भाज्य, भाजक, भागफल, शेषफल

शेषफल का कोई भी प्रश्न हो, आख़िर में बात इसी एक संबंध पर आती है।

$$\text{भाज्य} = \text{भाजक} \times \text{भागफल} + \text{शेषफल}$$

जैसे 100 को 7 से भाग दीजिए। यहाँ 100 भाज्य (dividend) है और 7 भाजक (divisor)। भागफल (quotient) 14 आता है और शेषफल (remainder) 2, क्योंकि 7 × 14 + 2 = 100।

इस संबंध के साथ दो नियम भी याद रखिए। ये हर प्रश्न में लागू होते हैं।

• शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है। 7 से भाग देने पर शेषफल 9 आ जाए, तो समझ लीजिए कि भाग बहुत जल्दी रोक दिया गया। इसी तरह प्रश्न में शेषफल 39 दिया हो, तो भाजक कम से कम 40 होगा।
• अंतिम शेषफल कभी ऋणात्मक नहीं होता। शेषफल 0 हो सकता है, और इसका मतलब है कि संख्या भाजक से पूर्णतः विभाज्य है। ऋणात्मक शेषफल तो बस हल करते समय की एक तरकीब है, जिसे हम थोड़ी देर में देखेंगे। पर जो उत्तर आप चुनेंगे, वह हमेशा 0 से लेकर भाजक से एक कम तक ही होगा।

संबंधों से भाज्य निकालना

SSC अक्सर भाजक और भागफल सीधे नहीं देता। प्रश्न में बस "इतने गुना" वाली बातें लिखी होती हैं। मान लीजिए भाजक, भागफल का 14 गुना और शेषफल का 4 गुना है, और शेषफल 35 दिया है। यहाँ सीधे केवल शेषफल पता है। तो वहीं से शुरू कीजिए और एक-एक करके बाकी मान निकालिए।

• भाजक शेषफल का 4 गुना है, तो भाजक = 4 × 35 = 140।
• भाजक भागफल का 14 गुना है, तो भागफल = 140 ÷ 14 = 10।
• अब भाज्य = 140 × 10 + 35 = 1435।

जाँच भी कर लीजिए। 1435 को 140 से भाग देने पर भागफल 10 और शेषफल 35 आता है। 35, 140 से छोटा है, तो सब ठीक है।

गलत भाजक वाले प्रश्न

कभी प्रश्न में बताया जाता है कि किसी ने गलत संख्या से भाग दे दिया। ऐसे में याद रखिए कि भाज्य कभी नहीं बदलता। तो पहले गलत भाग से ही भाज्य निकालिए, फिर उसे सही भाजक से भाग दीजिए।

जैसे एक लड़के को किसी संख्या को 15 से भाग देना था, पर उसने 35 से भाग दे दिया। भागफल 27 और शेषफल 22 आया। तो संख्या = 35 × 27 + 22 = 967। अब सही भाग कीजिए। 967 को 15 से भाग देने पर भागफल 64 और शेषफल 7 आता है।

गलत भाग में कोई शेषफल न बचा हो, तो काम और भी जल्दी हो जाता है। एक छात्र ने 27 की जगह 72 को भाजक ले लिया और उत्तर 15 आया। तो संख्या = 72 × 15 = 1080, और सही उत्तर 1080 ÷ 27 = 40 है।

क्रमिक विभाजन

किसी संख्या को पहले 4 से भाग दें, फिर जो भागफल आए उसे 5 से भाग दें, तो इसे क्रमिक विभाजन (successive division) कहते हैं। ऐसे प्रश्न आख़िरी भाग से शुरू करके पीछे की ओर हल किए जाते हैं।

जैसे दोनों शेषफल क्रमशः 1 और 4 हैं। पहले भाग से जो भागफल आया, उसे $q$ मान लीजिए। $q$ को 5 से भाग देने पर शेषफल 4 बचता है, तो $q = 5k + 4$। अब संख्या लिखिए।

$$4q + 1 = 4(5k + 4) + 1 = 20k + 17$$

$k = 0$ लेने पर सबसे छोटी ऐसी संख्या 17 मिलती है। और ऐसी हर संख्या को 4 × 5 = 20 से भाग देने पर शेषफल 17 ही आता है।

योग, अंतर, गुणनफल का शेषफल

योग, अंतर या गुणनफल का शेषफल निकालना हो, तो पहले हर संख्या की जगह उसका शेषफल रख दीजिए। फिर इन छोटी संख्याओं से हिसाब कीजिए, और अंत में एक बार फिर शेषफल निकाल लीजिए। शेषफल के प्रश्नों में यही नियम सबसे ज़्यादा समय बचाता है।

जैसे 47 और 58 लीजिए, और भाजक 9 मानिए। 47 को 9 से भाग देने पर शेषफल 2 आता है और 58 को भाग देने पर 4।

• योग के लिए 2 + 4 = 6। तो 47 + 58 = 105 का शेषफल 6 होगा, और सचमुच 9 × 11 + 6 = 105 है।
• गुणनफल के लिए 2 × 4 = 8। तो 47 × 58 = 2726 का शेषफल 8 है, क्योंकि 9 × 302 + 8 = 2726।
• अंतर के लिए 4 − 2 = 2, तो 58 − 47 का शेषफल 2 है।

शेषफलों का अंतर ऋणात्मक आए, तो उसमें भाजक जोड़ दीजिए। जैसे 47 − 31 में 47 का शेषफल 2 है और 31 का 4। 2 − 4 = −2 आया, तो इसमें 9 जोड़िए, 7 मिलेगा। जाँच लीजिए, 47 − 31 = 16, और 16 को 9 से भाग देने पर शेषफल 7 ही आता है।

ऋणात्मक शेषफल

कोई संख्या भाजक के किसी गुणज से ज़रा-सी कम हो, तो उसका शेषफल ऋणात्मक (negative remainder) भी लिया जा सकता है। जैसे 1235 को 12 से भाग दीजिए। 1235, 1236 = 12 × 103 से एक कम है। तो इसका शेषफल 11 की जगह −1 भी लिख सकते हैं। दोनों सही हैं, पर −1 से गुणा करना कहीं आसान है।

अब 1235 × 1237 × 1239 को 12 से भाग देना है। तीनों के शेषफल 11 (या −1), 1 और 3 हैं।

• सामान्य शेषफल लें, तो 11 × 1 × 3 = 33, और 33 का शेषफल 9 है।
• ऋणात्मक शेषफल लें, तो (−1) × 1 × 3 = −3, और −3 + 12 = 9।

उत्तर वही आया, बस संख्याएँ छोटी रहीं। इसलिए दोनों में से जिस शेषफल की संख्या छोटी हो, वही लीजिए, चाहे उसके आगे ऋण का चिह्न ही क्यों न हो। अंतिम उत्तर ऋणात्मक आए, तो उसमें भाजक जोड़कर उसे 0 और भाजक के बीच ले आइए। इसका सबसे ज़्यादा फ़ायदा तब होता है जब संख्याएँ किसी गुणज से बिल्कुल सटी हों, जैसे 100 के पास 99 या 1000 के पास 1001।

शेषफलों से भाजक

कभी शेषफलों से ही भाजक निकालना होता है। मान लीजिए दो संख्याओं को एक ही भाजक से भाग देने पर शेषफल 17 और 23 आते हैं, और उनके योग को उसी भाजक से भाग देने पर शेषफल 9 आता है। दोनों शेषफल जोड़ें, तो 17 + 23 = 40 होता है। अगर इसमें से कुछ न निकलता, तो योग का शेषफल 40 ही आता। पर यह केवल 9 है। मतलब 40 में से एक पूरा भाजक निकल गया, और 40 − 9 = 31 ही वह भाजक है। 31 दोनों शेषफलों से बड़ा भी है, तो उत्तर ठीक है।

भाजक बदलना, व्यंजकों का शेषफल

भाजक बदलना

मान लीजिए किसी संख्या को 65 से भाग देने पर शेषफल 37 आता है, और पूछा गया है कि 13 से भाग देने पर कितना आएगा। संख्या को $65k + 37$ लिखिए। 65 = 13 × 5 है, तो $65k$ वाला भाग 13 का गुणज है, और उससे कोई शेषफल नहीं बचता। अब केवल 37 को 13 से भाग देना है। 37 = 13 × 2 + 11, तो शेषफल 11 है।

सीधा तरीका: नया भाजक पुराने भाजक का गुणनखंड हो, तो बस पुराने शेषफल को नए भाजक से भाग दे दीजिए। पर यह केवल तभी चलता है जब नया भाजक पुराने भाजक को पूरा-पूरा बाँटता हो।

यहीं छात्र गलती करते हैं। उसी संख्या को 15 से भाग देने पर शेषफल पूछा जाए, तो यह तरीका नहीं चलेगा। 65, 15 का गुणज नहीं है, इसलिए $65k$ वाला भाग अब नहीं हटता। $k$ बदलते ही उत्तर बदल जाता है। संख्या 37 हो तो शेषफल 7 आता है, 102 हो तो 12 और 167 हो तो 2। यानी कोई एक पक्का उत्तर निकलता ही नहीं।

उलटा भी नहीं चलता। 13 से भाग देने पर शेषफल 11 आता हो, तो 65 से भाग देने पर शेषफल 11, 24, 37, 50 या 63 कुछ भी हो सकता है, क्योंकि ये पाँचों 13 से भाग देने पर 11 ही छोड़ते हैं।

तो याद रखिए, छोटे भाजक वाला शेषफल जानकर बड़े भाजक वाला शेषफल कभी नहीं निकलता। SSC में ऐसा प्रश्न आए, तो पहले देखिए कि कौन-सा भाजक किसका गुणनखंड है।

व्यंजक का शेषफल

$n$ का शेषफल पता हो, तो $n$ वाले किसी भी व्यंजक का शेषफल निकल आता है। बस $n$ की जगह उसका शेषफल रखकर हिसाब कीजिए।

• $n$ को 9 से भाग देने पर शेषफल 4 आता है। $n^2 + 2n + 7$ में $n = 4$ रखिए, तो 16 + 8 + 7 = 31 आता है। 31 को 9 से भाग देने पर शेषफल 4 है, तो उत्तर 4 है।
• $m$ को 9 से भाग देने पर शेषफल 7 आता है, तो $5m$ का शेषफल वही है जो 5 × 7 = 35 का, यानी 8।
• किसी संख्या को 15 से भाग देने पर शेषफल 8 आता है, तो उसके वर्ग का शेषफल वही है जो 8 × 8 = 64 का, यानी 4।

इसका कारण देखिए। $n = 9k + 4$ लिखकर $n^2 + 2n + 7$ को फैलाइए। $k$ वाला हर पद 9 का गुणज निकलता है, और बचता केवल वह भाग है जो 4 से बनता है।

[SSC टिप] उत्तर जाँचना हो, तो शर्त पूरी करने वाली सबसे छोटी संख्या लेकर सीधे हिसाब कर लीजिए। यही सबसे तेज़ जाँच है। $n$ को 9 से भाग देने पर शेषफल 4 हो, तो $n = 4$ या $n = 13$ रखकर देख लीजिए। इसमें दस सेकंड लगते हैं, और हिसाब में कोई चूक हुई हो तो पकड़ में आ जाती है।

बड़ी घातों का शेषफल: भाजक ± 1

$19^{200}$ जैसी घात देखकर लगता है कि इसका शेषफल निकालना असंभव है। पर घात का शेषफल केवल आधार के शेषफल पर निर्भर करता है। बस कोशिश यह कीजिए कि आधार का शेषफल 1 या −1 आ जाए।

आधार भाजक से एक अधिक हो: तब आधार का शेषफल 1 होता है, और 1 की कोई भी घात 1 ही रहती है। इसलिए $(d + 1)^n$ को $d$ से भाग देने पर शेषफल हमेशा 1 आता है। जैसे $37^{94}$ को 36 से भाग देने पर शेषफल 1 है। $37^{94}$ को 9 से भाग देने पर भी शेषफल 1 ही है, क्योंकि 37 = 36 + 1 और 36, 9 का गुणज है।

आधार भाजक से एक कम हो: तब आधार का शेषफल −1 होता है। $n$ सम हो, तो $(-1)^n$ का मान 1 होता है, और $n$ विषम हो, तो −1। पूरी बात इस तालिका में है।

जैसे $17^{150}$ को 18 से भाग दीजिए। 18 के लिए 17 को −1 मान लीजिए। घात 150 सम है, तो शेषफल 1 आता है। इसी तरह $23^{75}$ को 24 से भाग देने पर घात 75 विषम है, तो शेषफल −1 आता है, यानी 23।

साथ में कोई संख्या जुड़ी हो: तब पहले घात का शेषफल निकालिए, फिर जोड़िए।

• $341^{1205} + 13$ को 342 से भाग देना है। 341 को −1 मानिए। घात विषम है, तो −1 + 13 = 12।
• $12^{12} + 7$ को 11 से भाग देना है। 12 का शेषफल 1 है, तो 1 + 7 = 8।
• $11^{25} + 2$ को 4 से भाग देना है। 11 का शेषफल 3 आता है, यानी −1। घात विषम है, तो −1 + 2 = 1।

जोड़ने पर संख्या भाजक से बड़ी हो जाए, तो उसका फिर से शेषफल निकाल लीजिए।

$x^x + x$ वाले प्रश्न: जैसे $49^{49} + 49$ को 50 से भाग देना है। 50 के लिए 49 को −1 मानिए। घात विषम है, तो $49^{49}$ से −1 मिलता है। अकेला 49 भी −1 देता है। कुल −2 हुआ, और −2 + 50 = 48।

इससे एक नियम निकलता है। $x$ विषम हो, तो $x^x + x$ को $x + 1$ से भाग देने पर शेषफल $x - 1$ आता है। और $x$ सम हो, तो घात वाला भाग +1 देता है, और कुल 1 + (−1) = 0 हो जाता है। जैसे $48^{48} + 48$, 49 से पूर्णतः विभाज्य है।

आधार भाजक के पास न हो, तब घात को ऐसे समूहों में बाँटिए कि आधार भाजक के पास आ जाए। जैसे $2^{100}$ को 7 से भाग देना है। $2^3 = 8$ है, जो 7 से एक अधिक है। इसलिए घात को 3-3 के समूहों में बाँटते हैं।

$$2^{100} = 2^{99} \times 2 = (2^3)^{33} \times 2$$

$(2^3)^{33}$ से शेषफल $1^{33} = 1$ आता है, तो उत्तर 1 × 2 = 2 है।

[SSC टिप] ये जोड़ियाँ याद कर लीजिए। $2^3 = 8$ के दोनों ओर 7 और 9 हैं, $2^4 = 16$ के 15 और 17, $2^5 = 32$ के 31 और 33, $3^3 = 27$ के 26 और 28, $3^4 = 81$ के 80 और 82, और $5^2 = 25$ के 24 और 26। SSC में घात वाले प्रश्न अक्सर इन्हीं में से किसी एक जोड़ी पर बने होते हैं।

शेषफलों का चक्र, फ़र्मा का लघु प्रमेय

कभी समझ नहीं आता कि घात के समूह कैसे बनाएँ। तब पहली कुछ घातों के शेषफल लिखकर देखिए। ये हमेशा एक चक्र में बार-बार आते हैं।

यहाँ चक्र 2, 4, 1 है, यानी इसकी लंबाई 3 है। अब $2^{65}$ को 7 से भाग देना हो, तो घात 65 को चक्र की लंबाई 3 से भाग दीजिए। शेषफल 2 आता है, तो चक्र का दूसरा मान (स्थान 2) लीजिए। उत्तर 4 है। घात चक्र की लंबाई से पूरी-पूरी बँट जाए, तो चक्र का आख़िरी मान लीजिए।

कुछ और चक्र भी याद रखने लायक हैं।

• 3 की घातों को 7 से भाग दें, तो शेषफल 3, 2, 6, 4, 5, 1 आते हैं। चक्र की लंबाई 6 है।
• 2 की घातों को 5 से भाग दें, तो 2, 4, 3, 1 आते हैं। लंबाई 4 है।
• 3 की घातों को 8 से भाग दें, तो 3, 1 आते हैं। विषम घात पर शेषफल 3 आता है और सम घात पर 1।

पूरी विधि तीन कदमों में है।

1. आधार, उसका वर्ग, उसका घन … इनके शेषफल लिखते जाइए, जब तक 1 न आ जाए।
2. 1 तक पहुँचने में जितने कदम लगे, वही चक्र की लंबाई है।
3. दी गई घात को चक्र की लंबाई से भाग दीजिए। जो शेषफल आए, वह चक्र में स्थान बताता है। शेषफल 0 आए, तो आख़िरी स्थान लीजिए।

असली काम 1 तक पहुँचना ही है। जिस घात पर शेषफल 1 आ गया, उसके बाद वही शेषफल शुरू से फिर आने लगते हैं।

फ़र्मा का लघु प्रमेय [Tier 2]

मान लीजिए $p$ एक अभाज्य संख्या है और $a$, $p$ का गुणज नहीं है। तब फ़र्मा का लघु प्रमेय (Fermat's little theorem) लगता है।

$$a^{p - 1} \text{ को भाग देने पर शेषफल 1, जहाँ भाजक = } p$$

मतलब 7 से भाग देने पर किसी भी $a^6$ का शेषफल 1 आता है। 11 से भाग देने पर किसी भी $a^{10}$ का शेषफल 1 आता है, और 13 से भाग देने पर किसी भी $a^{12}$ का भी 1।

जैसे $3^{100}$ को 7 से भाग देना है। $3^6$ से शेषफल 1 आता है। 100 = 6 × 16 + 4, तो $3^{100} = (3^6)^{16} \times 3^4$। अब शेषफल वही है जो $3^4 = 81$ का है। 81 = 7 × 11 + 4, तो शेषफल 4 है।

एक और उदाहरण लीजिए। $4^{50}$ को 13 से भाग देना है। $4^{12}$ से शेषफल 1 आता है, और 50 = 48 + 2। तो उत्तर वही है जो $4^2 = 16$ का शेषफल है, यानी 3।

ध्यान रखिए, असली चक्र $p - 1$ से छोटा भी हो सकता है। जैसे 2 की घातों को 7 से भाग देने पर चक्र 3 का है, जो 6 का गुणनखंड है। फिर भी $a^{p - 1}$ पर शेषफल हमेशा 1 ही आता है, इसलिए इस प्रमेय से उत्तर कभी गलत नहीं आता।

यह प्रमेय केवल अभाज्य भाजक पर लगता है। 8, 9 या 12 जैसे भाजक हों, तो चक्र वाली विधि लगाइए या ±1 वाली तरकीब।

9, 11, 4, 8, 16, 5, 25 से झटपट शेषफल

कुछ भाजकों के लिए भाग करने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती। संख्या के अंक देखकर ही शेषफल बताया जा सकता है।

9 से (और 3 से): किसी संख्या का शेषफल वही होता है जो उसके अंकों के योग का। जैसे 7,46,385 के अंकों का योग 7 + 4 + 6 + 3 + 8 + 5 = 33 है। 33 को 9 से भाग देने पर शेषफल 6 आता है, तो 746385 का शेषफल भी 6 है। 3 के लिए भी अंकों का योग ही देखिए। 33 को 3 से भाग देने पर शेषफल 0 आता है, तो 746385, 3 से विभाज्य है। दोहराए अंकों वाली संख्या पर भी यही चलता है। 555…5 में 5 तीस बार है, तो अंकों का योग 150 है और शेषफल 6।

11 से: गिनती इकाई अंक से शुरू कीजिए। दाईं ओर से पहला, तीसरा, पाँचवाँ … यानी 1, 3, 5, … विषम स्थान हैं। विषम स्थानों के अंकों के योग में से सम स्थानों के अंकों का योग घटाइए। जो आए, उसका 11 से शेषफल ही उत्तर है। नतीजा ऋणात्मक आए, तो उसमें 11 जोड़ते जाइए, जब तक वह ऋणात्मक न रहे।

• जैसे 8,73,926 में विषम स्थानों पर 6 + 9 + 7 = 22 है और सम स्थानों पर 2 + 3 + 8 = 13। 22 − 13 = 9, तो शेषफल 9 है।
• 9182 में विषम स्थानों पर 2 + 1 = 3 है और सम स्थानों पर 8 + 9 = 17। 3 − 17 = −14 आया। इसमें 22 जोड़िए, तो 8 मिलता है। शेषफल 8 है।

गिनती हमेशा दाईं ओर से कीजिए। बाईं ओर से गिनेंगे, तो जिन संख्याओं में अंकों की संख्या सम है, उनमें चिह्न उलटा आ जाएगा।

2, 4, 8, 16 से: 10 को 2 पूरा-पूरा बाँटता है, 100 को 4, 1000 को 8 और 10000 को 16। इसलिए अंतिम 1, 2, 3 या 4 अंकों से पहले वाला हिस्सा अपने आप बँट जाता है। जैसे 8,73,926 को 4 से भाग देना हो, तो केवल 26 देखिए, शेषफल 2 है। 8 से भाग देना हो, तो 926 देखिए। 926 = 8 × 115 + 6, तो शेषफल 6 है।

5, 10 और 25 से: 5 और 10 के लिए अंतिम अंक देखिए, और 25 के लिए अंतिम दो अंक। जैसे 87,643 को 25 से भाग देना हो, तो केवल 43 देखिए। शेषफल 18 है।

जोड़ी या घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या

मान लीजिए किसी संख्या को $d$ से भाग देने पर शेषफल $r$ आता है। तो दो बातें सीधे पता चल जाती हैं।

• $d$ का गुणज पाने के लिए घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या $r$ है।
• जोड़ी जाने वाली न्यूनतम संख्या $d - r$ है (अगर $r$ 0 नहीं है)।

जैसे 23,659 को 17 से भाग देने पर शेषफल 12 आता है। 12 घटाइए, तो 23,647 मिलता है। या 17 − 12 = 5 जोड़िए, तो 23,664 मिलता है। दोनों 17 के गुणज हैं।

कई भाजकों वाले प्रश्न, और n अंकों की सबसे बड़ी या सबसे छोटी संख्या वाले प्रश्न "विभाज्यता के नियम और लुप्त अंक" वाले खंड में हैं।

इकाई अंक और चक्रीयता

किसी गुणनफल का इकाई अंक (unit digit) केवल उन संख्याओं के इकाई अंकों पर निर्भर करता है जिनका गुणा हो रहा है। जैसे $158^{175}$ का अंतिम अंक वही है जो $8^{175}$ का है। आगे वाले 15 की कभी ज़रूरत ही नहीं पड़ती।

किसी संख्या की घातों के इकाई अंक एक तय क्रम में बार-बार आते हैं। इसी को चक्रीयता (cyclicity) कहते हैं।

हर चक्र की लंबाई 1, 2 या 4 है, और ये तीनों 4 को पूरा-पूरा बाँटती हैं। इसलिए एक ही विधि सब पर चलती है।

1. आधार का अंतिम अंक लीजिए।
2. घात को 4 से भाग दीजिए और शेषफल $r$ निकालिए। इसके लिए घात के केवल अंतिम दो अंक काफ़ी हैं।
3. मान लीजिए अंतिम अंक $u$ है। $r$ = 1, 2 या 3 हो, तो उत्तर $u^r$ का इकाई अंक है। $r$ = 0 हो, तो $u^4$ का।

जैसे $158^{175}$ का अंतिम अंक 8 है। 175 को 4 से भाग देने पर शेषफल 3 आता है, और $8^3 = 512$, तो इकाई अंक 2 है। $2^{100}$ में 100 को 4 से भाग देने पर शेषफल 0 है, तो $2^4 = 16$ देखिए। इकाई अंक 6 है।

4 और 9 के लिए बस यह देखना है कि घात विषम है या सम। 4 की विषम घात के अंत में 4 आता है और सम घात के अंत में 6। 9 की विषम घात के अंत में 9 आता है और सम घात के अंत में 1। और 0, 1, 5 या 6 पर ख़त्म होने वाली संख्याओं की घात कुछ भी हो, अंतिम अंक वही रहता है।

गुणनफल: हर संख्या का इकाई अंक लीजिए, उनका गुणा कीजिए और केवल अंतिम अंक रखिए। जैसे 123 × 456 × 789 में 3 × 6 × 9 = 162, तो अंत में 2 आएगा।

अब $7^{35} \times 3^{71} \times 11^{55}$ लीजिए। 35 और 71, दोनों को 4 से भाग देने पर शेषफल 3 आता है। तो $7^{35}$ के अंत में 3 आता है और $3^{71}$ के अंत में 7। $11^{55}$ के अंत में 1 है। 3 × 7 × 1 = 21, तो गुणनफल के अंत में 1 आता है।

योग और अंतर: इकाई अंकों को जोड़िए या घटाइए। जैसे $2^{51} + 3^{62}$ में 51 को 4 से भाग देने पर शेषफल 3 है, तो $2^{51}$ के अंत में 8 है। 62 से शेषफल 2 है, तो $3^{62}$ के अंत में 9 है। 8 + 9 = 17, तो योग के अंत में 7 आता है।

अंतर में ज़रूरत पड़े तो उधार लीजिए। जैसे $7^{95} - 3^{58}$ में $7^{95}$ के अंत में 3 है और $3^{58}$ के अंत में 9। 3 में से 9 नहीं घटता, तो उधार लेकर 13 − 9 = 4। उधार इसलिए ले सकते हैं कि $7^{95}$ ही बड़ी संख्या है।

क्रमगुणित-योग, लंबे गुणनफल, अंतिम दो अंक

क्रमगुणितों का योग

$n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$ होता है। $5! = 120$ और उसके बाद के हर क्रमगुणित में 2 भी है और 5 भी, इसलिए उसके अंत में 0 आता है। तो $1! + 2! + 3! + \dots + 100!$ जैसे योग के इकाई अंक पर केवल पहले चार पदों का असर पड़ता है।

$$1 + 2 + 6 + 24 = 33$$

यानी इकाई अंक 3 है। योग $1!$ से शुरू हो और $4!$ से आगे तक जाए, तो उसका इकाई अंक हमेशा 3 ही होता है।

पर शुरुआत बदली, तो उत्तर भी बदल जाता है। योग $3!$ से शुरू हो, तो 6 + 24 = 30 बचता है, और अंत में 0 आएगा। और क्रमगुणितों के किसी गुणनफल में $5!$ आ जाए, तो उसका अंत हमेशा 0 होगा।

लंबे गुणनफल

• पहली 20 प्राकृत संख्याओं के गुणनफल में 2 भी है और 5 भी, तो अंत में 0 आता है।
• 1 से 99 तक की सभी विषम संख्याओं का गुणनफल विषम है, और इसमें 5 भी है। तो अंत में 5 आता है।
• 50 से छोटी सभी अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में 2 और 5 दोनों हैं, तो अंत में 0 आता है।
• 21 × 22 × 23 × 24 का अंत वैसा ही है जैसा 1 × 2 × 3 × 4 = 24 का, यानी 4।

तो गुणा करने से पहले एक नज़र डाल लीजिए। कोई 5 (या 5 पर ख़त्म होने वाली संख्या) और कोई सम संख्या, दोनों मौजूद हों, तो इकाई अंक 0 ही होगा। पूरा गुणा करने की ज़रूरत ही नहीं।

अंतिम दो अंक [Tier 2]

टियर 2 के ज़्यादातर प्रश्न इन दो विधियों से हल हो जाते हैं।

1 पर ख़त्म होने वाले आधार: 31 या 71 जैसे आधार की किसी भी घात का अंतिम अंक 1 होता है। दहाई अंक के लिए आधार के दहाई अंक को घात से गुणा कीजिए और उसका इकाई अंक लीजिए। जैसे $31^{46}$ में 3 × 46 = 138, तो दहाई अंक 8 है और अंतिम दो अंक 81 हैं। कारण यह है कि $(10a + 1)^n = 1 + 10an + \text{(100 के गुणज)}$ होता है।

7 की घातें: $7^4 = 2401$ के अंत में 01 है, तो हर $7^{4k}$ का अंत भी 01 होगा। जैसे $7^{42}$ लीजिए। $7^{42} = 7^{40} \times 7^2$, और पहले भाग का अंत 01 है। तो उत्तर के अंतिम दो अंक वही हैं जो $7^2 = 49$ के हैं।

3 पर भी यही तरीका चलता है। $3^4 = 81$ के अंत में 1 है, और $3^{20} = 81^5$। अब 1 पर ख़त्म होने वाले आधार का नियम लगाइए। दहाई अंक 8 × 5 = 40 का इकाई अंक है, यानी 0। तो $3^{20}$ का अंत 01 है।

बाकी आधारों पर कदम-दर-कदम गुणा कीजिए और हर बार केवल अंतिम दो अंक रखिए। इसमें समय ज़्यादा लगता है, पर उत्तर कभी गलत नहीं आता।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

भाग के एक प्रश्न में भाजक, भागफल का 9 गुना और शेषफल का 3 गुना है। यदि शेषफल 24 है, तो भाज्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ केवल शेषफल पता है, तो वहीं से शुरू करते हैं। भाजक शेषफल का 3 गुना है, तो भाजक = 3 × 24 = 72। भाजक भागफल का 9 गुना भी है, तो भागफल = 72 ÷ 9 = 8। अब भाज्य = 72 × 8 + 24 = 576 + 24 = 600।

प्रश्न 2

भाग के एक प्रश्न में भाजक, भागफल का 25 गुना और शेषफल का 5 गुना है। यदि भागफल 16 है, तो भाज्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर: इस बार भागफल दिया है। भाजक भागफल का 25 गुना है, तो भाजक = 25 × 16 = 400। भाजक शेषफल का 5 गुना है, तो शेषफल = 400 ÷ 5 = 80। अब भाज्य = 400 × 16 + 80 = 6400 + 80 = 6480। 80, भाजक 400 से छोटा है, तो यह शेषफल संभव है।

प्रश्न 3

एक छात्र को किसी संख्या को 16 से भाग देना था, परंतु उसने गलती से उसे 36 से भाग दे दिया और भागफल 38 तथा शेषफल 29 प्राप्त किया। सही भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: भाग गलत हुआ, पर संख्या तो वही है। तो पहले वह संख्या निकाल लेते हैं, 36 × 38 + 29 = 1368 + 29 = 1397। अब इसे 16 से भाग देते हैं। 16 × 87 = 1392 और 1397 − 1392 = 5। तो सही भागफल 87 है और शेषफल 5।

प्रश्न 4

किसी संख्या को क्रमिक रूप से 3 और 7 से भाग देने पर शेषफल क्रमशः 2 और 5 प्राप्त होते हैं। उस संख्या को 21 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

उत्तर: आख़िरी भाग से उलटा चलते हैं। पहली बार भाग देने पर जो भागफल आया, उसे 7 से भाग देने पर शेषफल 5 बचता है, तो वह भागफल $7k + 5$ है। अब संख्या = $3(7k + 5) + 2 = 21k + 17$। $k$ कुछ भी हो, $21k$ तो 21 से पूरा बँट जाता है। तो शेषफल 17 है। सबसे छोटी ऐसी संख्या 17 ख़ुद है। जाँच लीजिए, 17 को 3 से भाग देने पर भागफल 5 और शेषफल 2 आता है, और 5 को 7 से भाग देने पर भागफल 0 और शेषफल 5।

प्रश्न 5

523 × 527 × 531 को 25 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ गुणा करने की ज़रूरत ही नहीं है। 523 = 525 − 2, और 525, 25 का गुणज है, तो 523 का शेषफल −2 ले लेते हैं। 527 का शेषफल 2 है और 531 का 6। अब (−2) × 2 × 6 = −24। शेषफल ऋणात्मक नहीं हो सकता, तो इसमें 25 जोड़ते हैं, −24 + 25 = 1।

प्रश्न 6

दो संख्याओं को एक ही भाजक से भाग देने पर शेषफल क्रमशः 19 और 26 प्राप्त होते हैं। उनके योग को उसी भाजक से भाग देने पर शेषफल 7 प्राप्त होता है। भाजक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों शेषफलों का योग 19 + 26 = 45 है, जबकि योग को भाग देने पर शेषफल केवल 7 बचा। यानी 45 में से एक पूरा भाजक और निकल गया, तो भाजक = 45 − 7 = 38। 38, 26 से बड़ा है, तो दोनों शेषफल संभव हैं।

प्रश्न 7

किसी संख्या को 342 से भाग देने पर शेषफल 47 प्राप्त होता है। उसी संख्या को 18 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

उत्तर: पहले देखते हैं कि 18, 342 को पूरा-पूरा बाँटता है या नहीं। 342 = 18 × 19, तो बाँटता है। इसलिए 342 वाला हिस्सा हट जाता है और केवल 47 को 18 से भाग देना बचता है। 47 = 18 × 2 + 11, तो शेषफल 11 है।

प्रश्न 8

$n$ को 8 से भाग देने पर शेषफल 5 प्राप्त होता है। $n^2 + 4n + 3$ को 8 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

उत्तर: $n$ की जगह 5 रखते हैं, तो 25 + 20 + 3 = 48 आता है। 48 = 8 × 6, तो शेषफल 0 है। पक्का करने के लिए $n = 13$ रखकर भी देख लेते हैं। 169 + 52 + 3 = 224 = 8 × 28, यहाँ भी शेषफल 0 ही आता है।

प्रश्न 9

किसी संख्या को 13 से भाग देने पर शेषफल 10 प्राप्त होता है। उस संख्या के वर्ग को 13 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

उत्तर: वर्ग का शेषफल वही होगा जो 10 × 10 = 100 का है। 13 × 7 = 91, और 100 − 91 = 9। इसे और जल्दी करना हो, तो 13 के लिए 10 को −3 मान लीजिए। (−3) × (−3) = 9, उत्तर वही आता है।

प्रश्न 10

$25^{180}$ को 26 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 25, 26 से एक कम है, तो इसका शेषफल −1 मान लेते हैं। घात 180 सम है, और $(-1)^{180} = 1$। तो शेषफल 1 है।

प्रश्न 11

$313^{2017} + 21$ को 314 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 314 के लिए 313 को −1 मान लेते हैं। घात 2017 विषम है, तो $313^{2017}$ का शेषफल −1 है। अब −1 + 21 = 20।

प्रश्न 12

$9^9 + 5$ को 8 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

उत्तर: 9, 8 से एक अधिक है, तो इसका शेषफल 1 है, और $1^9$ भी 1 ही है। तो शेषफल 1 + 5 = 6।

प्रश्न 13

$59^{59} + 59$ को 60 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 60 के लिए 59 को −1 मान लेते हैं। घात विषम है, तो $59^{59}$ से −1 मिलता है, और अकेला 59 भी −1 देता है। कुल −2 हुआ, तो −2 + 60 = 58। ऐसा हमेशा होता है। $x$ विषम हो, तो $x^x + x$ को $x + 1$ से भाग देने पर शेषफल $x - 1$ आता है।

प्रश्न 14

$2^{31}$ को 15 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 2 तो 15 के आस-पास भी नहीं है। पर $2^4 = 16$ है, जो 15 से एक अधिक है, तो इसका शेषफल 1 है। अब घात को बाँटते हैं। 31 = 4 × 7 + 3, तो $2^{31} = (2^4)^7 \times 2^3$। पहले भाग से $1^7 = 1$ मिलता है, तो शेषफल 1 × 8 = 8 है।

प्रश्न 15 [Tier 2]

$5^{62}$ को 13 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 13 अभाज्य है और 5, 13 का गुणज नहीं है, तो फ़र्मा का लघु प्रमेय लगेगा। इससे $5^{12}$ का शेषफल 1 है। 62 = 12 × 5 + 2, तो $5^{62} = (5^{12})^5 \times 5^2$, और शेषफल 1 × 25 = 25 आता है। 25 = 13 + 12, तो शेषफल 12 है। दूसरा रास्ता भी है। $5^2 = 25$ है, जो 26 से एक कम है, तो 13 के लिए यह −1 है। $5^{62} = (5^2)^{31}$ लिखिए, तो $(-1)^{31} = -1$ आता है, यानी 12। उत्तर वही आया।

प्रश्न 16

बिना भाग किए ज्ञात कीजिए कि 5,29,174 को 9, 11 और 8 से भाग देने पर क्रमशः कितने शेषफल प्राप्त होंगे।

उत्तर: 9 के लिए अंकों का योग देखते हैं। 5 + 2 + 9 + 1 + 7 + 4 = 28, और 28 का शेषफल 1 है। 11 के लिए दाईं ओर से विषम स्थानों पर 4, 1, 2 हैं, जिनका योग 7 है। सम स्थानों पर 7, 9, 5 हैं, जिनका योग 21 है। 7 − 21 = −14, और इसमें 22 जोड़ने पर 8 आता है। 8 के लिए अंतिम तीन अंक 174 देखते हैं। 174 = 8 × 21 + 6, तो शेषफल 6 है। यानी तीनों शेषफल 1, 8 और 6 हैं।

प्रश्न 17

777…7 (7 पच्चीस बार) को 9 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

उत्तर: 9 से भाग देने पर शेषफल वही होता है जो अंकों के योग का। अंकों का योग 25 × 7 = 175 है। 175 के अंकों का योग 1 + 7 + 5 = 13 है, और 13 का शेषफल 4। तो उत्तर 4 है।

प्रश्न 18

9876 में से कौन-सी न्यूनतम संख्या घटाई जाए कि परिणाम 37 से पूर्णतः विभाज्य हो? और कौन-सी न्यूनतम संख्या जोड़ी जाए कि परिणाम 37 से पूर्णतः विभाज्य हो?

उत्तर: 37 × 266 = 9842 और 9876 − 9842 = 34, तो 9876 का शेषफल 34 है। शेषफल घटा दें तो 37 का गुणज मिल जाता है, इसलिए 34 घटानी होगी। अगले गुणज तक पहुँचने के लिए 37 − 34 = 3 जोड़नी होगी। जाँच कर लेते हैं, 9879 = 37 × 267।

प्रश्न 19

$263^{157}$ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ केवल अंतिम अंक 3 देखना है। 3 की घातों के अंत में 3, 9, 7, 1 आते हैं, और फिर यही क्रम चलता रहता है। तो चक्र 4 का है। 157 को 4 से भाग देने पर शेषफल 1 आता है, तो चक्र का पहला अंक लेंगे। इकाई अंक 3 है।

प्रश्न 20

$3^{65} \times 6^{59} \times 7^{71}$ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए। साथ ही, $3^{65} + 6^{59} + 7^{71}$ का इकाई अंक भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 65 को 4 से भाग देने पर शेषफल 1 है, तो $3^{65}$ के अंत में 3 है। 6 की हर घात के अंत में 6 ही आता है। 71 को 4 से भाग देने पर शेषफल 3 है, तो $7^{71}$ का अंत वैसा ही है जैसा $7^3 = 343$ का, यानी 3। अब गुणनफल के लिए 3 × 6 × 3 = 54, तो अंत में 4 है। योग के लिए 3 + 6 + 3 = 12, तो अंत में 2 है।

प्रश्न 21

$4! + 5! + 6! + \dots + 40!$ का इकाई अंक क्या है?

उत्तर: $5!$ और उसके बाद के हर क्रमगुणित में 2 भी है और 5 भी, इसलिए उनके अंत में 0 आता है। तो इकाई अंक केवल $4! = 24$ से तय होता है, यानी 4। जल्दी में कई छात्र 3 लिख देते हैं, क्योंकि वही सबको याद रहता है। पर वह उत्तर $1!$ से शुरू होने वाले योगों का है।

प्रश्न 22 [Tier 2]

$21^{38}$ के अंतिम दो अंक ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आधार के अंत में 1 है, तो अंतिम अंक 1 होगा। दहाई अंक के लिए 2 × 38 = 76 का इकाई अंक लेते हैं, जो 6 है। तो अंतिम दो अंक 61 हैं।