संख्याओं के प्रकार, स्थानीय मान और दशमलव

संख्याओं का परिवार

SSC में यह प्रश्न बहुत आता है कि दी गई संख्या किस "परिवार" की है। 2025 के पेपरों में भी ऐसे प्रश्न बार-बार पूछे गए। इसलिए संख्याओं के ये सारे समुच्चय अच्छी तरह समझ लीजिए।

प्राकृत संख्याएँ (natural numbers): गिनती की संख्याएँ 1, 2, 3, 4, … प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं। इनके समुच्चय को $\mathbb{N}$ से दिखाते हैं। इनमें न 0 आता है, न कोई ऋणात्मक संख्या।

पूर्ण संख्याएँ (whole numbers): प्राकृत संख्याओं के साथ 0 को भी ले लीजिए, तो पूर्ण संख्याएँ मिल जाती हैं। ये 0, 1, 2, 3, … हैं, और इनका चिह्न $\mathbb{W}$ है।

पूर्णांक (integers): अब पूर्ण संख्याओं के साथ −1, −2, −3 जैसी ऋणात्मक संख्याएँ भी जोड़ दीजिए। इस तरह पूर्णांक मिलते हैं, यानी …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …। ये 0 के दोनों ओर चलते हैं। इनका चिह्न $\mathbb{Z}$ है।

परिमेय संख्याएँ (rational numbers): किसी संख्या को $\frac{p}{q}$ के रूप में लिख सकें, तो वह परिमेय संख्या है। यहाँ $p$ और $q$ दोनों पूर्णांक होने चाहिए और $q \neq 0$ होना चाहिए। इनके समुच्चय को $\mathbb{Q}$ लिखते हैं।

हर पूर्णांक परिमेय होता है, क्योंकि उसे नीचे 1 रखकर भिन्न की तरह लिख सकते हैं, जैसे 5 = 5/1। 3/4 जैसी भिन्न भी परिमेय है। 0.75 जैसा सांत दशमलव (terminating decimal) भी परिमेय है, और 0.333… जैसा आवर्ती दशमलव (recurring decimal) भी।

अपरिमेय संख्याएँ (irrational numbers): कुछ संख्याओं को $\frac{p}{q}$ के रूप में लिख ही नहीं सकते। ये अपरिमेय संख्याएँ हैं। इनका दशमलव कभी ख़त्म नहीं होता, और उसमें अंकों का कोई समूह बार-बार भी नहीं आता। जैसे $\sqrt{2}$, $\sqrt{7}$, $\pi$ और 0.101001000…।

वास्तविक संख्याएँ (real numbers): सारी परिमेय और सारी अपरिमेय संख्याओं को एक साथ ले लें, तो वास्तविक संख्याएँ मिलती हैं। इनका चिह्न $\mathbb{R}$ है। संख्या रेखा का हर बिंदु किसी न किसी वास्तविक संख्या को दिखाता है।

ये समुच्चय डिब्बों की तरह एक-दूसरे के भीतर रखे हैं। हर छोटा डिब्बा अपने से बड़े डिब्बे के अंदर है।

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{W} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

अपरिमेय संख्याएँ भी $\mathbb{R}$ के भीतर हैं, पर $\mathbb{Q}$ से पूरी तरह बाहर।

एक बात याद रखिए। कोई संख्या या तो परिमेय होगी या अपरिमेय। दोनों एक साथ कभी नहीं हो सकती।

कौन-सी संख्या कहाँ

कुछ संख्याओं को इन समुच्चयों में रखकर देखिए।

मुख्य बात: 0 पूर्ण संख्या भी है और पूर्णांक भी, पर प्राकृत संख्या नहीं है। हर पूर्णांक परिमेय होता है। और इस पाठ्यक्रम में आने वाली हर संख्या वास्तविक संख्या है।

संख्या पहचानने वाले प्रश्नों में आम गलतियाँ

ऐसे ज़्यादातर प्रश्नों के अंक बिना मेहनत के मिल जाते हैं। बस विकल्प चुनने से पहले पाँच सेकंड रुकिए और हर विकल्प को परिभाषा से मिलाकर देख लीजिए।

छात्र अक्सर इन बातों में गलती कर बैठते हैं।

• सरल हो जाने वाले वर्गमूल: $\sqrt{16} = 4$, $\sqrt{0.25} = 0.5$ और $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$, ये तीनों परिमेय हैं। वर्गमूल का चिह्न देखते ही अपरिमेय मत मान लीजिए। अपरिमेय तो केवल उस संख्या का वर्गमूल होता है जो पूर्ण वर्ग न हो, जैसे $\sqrt{7}$ या $\sqrt{0.4}$। इसलिए हर बार पहले वर्गमूल को सरल करके देखिए।
• 22/7 परिमेय है: 22/7 एक भिन्न है, इसलिए परिमेय है। हिसाब में इसे $\pi$ की जगह लगा लेते हैं, पर यह बस काम चलाने लायक निकट मान है। $\pi$ ख़ुद अपरिमेय है।
• आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं: 0.333… और 3.142857142857…, दोनों में अंक बार-बार दोहराए जा रहे हैं, इसलिए दोनों परिमेय हैं। सिर्फ़ दशमलव का अंतहीन होना काफ़ी नहीं है। अपरिमेय होने के लिए दशमलव अंतहीन भी होना चाहिए और बिना दोहराव के भी।
• धनात्मक और ऋणेतर (non-negative): ये दोनों अलग बातें हैं। ऋणेतर का मतलब है जो ऋणात्मक न हो, तो इसमें 0 भी आ जाता है। प्राकृत संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक हैं, जबकि पूर्ण संख्याएँ ऋणेतर पूर्णांक हैं, क्योंकि इनमें 0 भी शामिल है।
• "पूर्णांक, पर प्राकृत नहीं": ऐसी संख्या 0 हो सकती है, या कोई ऋणात्मक पूर्णांक। "पूर्णांक, पर पूर्ण नहीं": यहाँ केवल ऋणात्मक पूर्णांक ही आते हैं।

कभी कई कथन देकर पूछा जाता है, "निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है?" ऐसे प्रश्नों में डिब्बों वाली बात याद कीजिए। छोटा समुच्चय हमेशा बड़े के भीतर होता है, बड़ा कभी छोटे के भीतर नहीं।

[SSC टिप] कभी विकल्पों में संख्याएँ नहीं, समुच्चयों के नाम दिए होते हैं, जैसे "पूर्णांक" या "वास्तविक संख्याएँ"। तब हर समुच्चय में कोई ऐसा सदस्य खोजिए जो शर्त पूरी न करता हो। मान लीजिए पूछा गया कि किस समुच्चय में केवल धनात्मक संख्याएँ हैं। पूर्णांक −1 के कारण बाहर हो जाते हैं। परिमेय और वास्तविक संख्याएँ −1/2 के कारण बाहर हो जाती हैं। बचीं केवल प्राकृत संख्याएँ, तो उत्तर वही है।

परिमेय-अपरिमेय का जोड़ और गुणा

परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को आपस में जोड़ें या गुणा करें, तो नतीजा कैसा आता है, यह याद रखिए।

दो अपरिमेय संख्याओं को जोड़ें या गुणा करें, तो नतीजा परिमेय भी आ सकता है और अपरिमेय भी। ये उदाहरण देखिए।

• $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ अपरिमेय है, पर $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ परिमेय है।
• $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ अपरिमेय है, पर $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ परिमेय है।

यहाँ एक पेच और है। 0 भी परिमेय संख्या है, और $0 \times \sqrt{2} = 0$ होता है। इसीलिए यह नियम केवल शून्येतर परिमेय संख्या के लिए है। उसे किसी अपरिमेय संख्या से गुणा करें, तभी नतीजा सदा अपरिमेय आता है।

[SSC टिप] फ़ैसला करने से पहले संख्या को सरल कर लीजिए। $7\sqrt{5} \times \sqrt{20} = 7\sqrt{100} = 70$ परिमेय है, जबकि दोनों हिस्सों में वर्गमूल थे। इसी तरह $(3 + \sqrt{5}) + (4 - \sqrt{5}) = 7$ भी परिमेय है, क्योंकि दोनों वर्गमूल आपस में कट गए।

सांत और आवर्ती दशमलव

हर परिमेय संख्या का दशमलव रूप दो में से एक तरह का होता है। या तो वह कहीं जाकर रुक जाता है, जिसे सांत दशमलव कहते हैं। या उसमें अंकों का कोई एक समूह बार-बार आता रहता है, जिसे आवर्ती दशमलव कहते हैं। अपरिमेय संख्याओं का दशमलव इन दोनों में से किसी तरह का नहीं होता।

दशमलव कब सांत होगा: पहले भिन्न को न्यूनतम रूप में ले आइए। अब हर के अभाज्य गुणनखंड देखिए। 2 और 5 के सिवा कोई अभाज्य गुणनखंड न हो, तो दशमलव सांत होगा। कोई और भी हो, तो आवर्ती होगा।

• $\frac{7}{40}$ में 40 = $2^3 \times 5$ है। इसमें केवल 2 और 5 हैं, तो इसका दशमलव 0.175 है, जो सांत है।
• $\frac{7}{30}$ में 30 = 2 × 3 × 5 है। इसमें 3 भी है, इसलिए इसका दशमलव 0.2333… है, जो आवर्ती है।

भिन्न को पहले सरल करना कभी मत भूलिए। $\frac{9}{30} = \frac{3}{10} = 0.3$ सांत है, जबकि 30 में 3 मौजूद है। सरल करने पर वह 3 कट गया।

दशमलव के बाद कितने स्थान: भिन्न सांत हो और न्यूनतम रूप में हो, तो उसके हर को $2^m \times 5^n$ के रूप में लिखिए। $m$ और $n$ में से जो बड़ा है, दशमलव के बाद उतने ही स्थान होंगे। जैसे $\frac{7}{40}$ का हर $2^3 \times 5^1$ है। यहाँ बड़ा घातांक 3 है, तो इसमें 3 दशमलव स्थान होंगे।

बार लगाकर लिखना: आवर्ती दशमलव को छोटा करके लिखने के लिए जो अंक बार-बार आ रहे हैं, उनके ऊपर एक रेखा, यानी बार, लगा देते हैं। जैसे $0.\overline{3}$ = 0.333…, $0.\overline{45}$ = 0.4545… और $0.1\overline{6}$ = 0.1666…।

आवर्ती दशमलव से भिन्न

शुद्ध आवर्ती दशमलव (pure recurring decimal): इसमें दशमलव बिंदु के ठीक बाद से ही दोहराव शुरू हो जाता है। इसे भिन्न में बदलने के लिए ऊपर आवर्ती अंक लिखिए, यानी वे अंक जो बार-बार आ रहे हैं। नीचे उतने 9 लिखिए, जितने आवर्ती अंक हैं।

$$0.\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \qquad 0.\overline{45} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11} \qquad 0.\overline{123} = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$$

मिश्रित आवर्ती दशमलव (mixed recurring decimal): इसमें दोहराव शुरू होने से पहले कुछ अंक ऐसे होते हैं जो दोहराए नहीं जाते। ऊपर दशमलव के बाद के सारे अंक लिखिए और उनमें से बिना दोहराव वाले अंक घटा दीजिए। नीचे हर आवर्ती अंक के लिए एक 9 लिखिए, और फिर बिना दोहराव वाले हर अंक के लिए एक 0।

$$0.1\overline{6} = \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$$

$$0.2\overline{35} = \frac{235 - 2}{990} = \frac{233}{990}$$

दशमलव से पहले पूर्ण संख्या वाला हिस्सा भी हो, तो उसे अलग रख लीजिए और अंत में जोड़ दीजिए। जैसे $3.\overline{6} = 3 + \frac{6}{9} = 3\frac{2}{3}$।

[SSC टिप] $0.\overline{9} = \frac{9}{9} = 1$ होता है। सुनने में अजीब लगता है, पर 0.999… और 1 एक ही संख्या हैं। विकल्पों में कभी-कभी यही बात दी होती है।

आवर्ती दशमलवों को जोड़ना या घटाना हो, तो पहले उन्हें भिन्न में बदल लीजिए। 0.777… और 0.555… को अंक-दर-अंक जोड़ने चलेंगे, तो हासिल में गड़बड़ हो जाएगी। भिन्न में बदलकर जोड़ें, तो $\frac{7}{9} + \frac{5}{9} = \frac{12}{9}$ सीधे आ जाता है।

सम, विषम, अभाज्य, भाज्य, सह-अभाज्य

जो संख्या 2 से विभाज्य हो, वह सम संख्या (even number) है। जो 2 से विभाज्य न हो, वह विषम संख्या (odd number) है। 0 भी सम संख्या है, यह याद रखिए। इनके जोड़ और गुणा के नियम ये हैं।

• सम ± सम = सम, विषम ± विषम = सम, और सम ± विषम = विषम।
• विषम × विषम = विषम। गुणनफल में एक भी सम संख्या हो, तो पूरा गुणनफल सम होता है।

किसी संख्या के ठीक दो गुणनखंड हों, 1 और वह संख्या ख़ुद, तो वह अभाज्य संख्या (prime number) है। जैसे 2, 3, 5, 7, 11, 13, …। दो से अधिक गुणनखंड हों, तो वह भाज्य संख्या (composite number) है। जैसे 4, 6, 8, 9, 10, …। इनके बारे में ये बातें पक्की कर लीजिए।

• 1 न अभाज्य संख्या है, न भाज्य संख्या, क्योंकि उसका केवल एक ही गुणनखंड है।
• 2 अकेली सम अभाज्य संख्या है।
• 50 तक 15 अभाज्य संख्याएँ हैं, और 100 तक 25। ये हैं 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 और 97।
• जुड़वाँ अभाज्य संख्याएँ (twin primes): जिन दो अभाज्य संख्याओं का अंतर 2 हो, उन्हें जुड़वाँ अभाज्य संख्याएँ कहते हैं। जैसे (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61) और (71, 73)।

कोई संख्या अभाज्य है या नहीं: पहले संख्या का लगभग वर्गमूल निकालिए। फिर उस वर्गमूल तक की हर अभाज्य संख्या से भाग देकर देखिए। अगर इनमें से किसी से भी संख्या पूरी-पूरी नहीं बँटती, तो वह अभाज्य है।

जैसे 179 को लीजिए। $\sqrt{179}$ का मान 13 से थोड़ा ऊपर है, तो 2, 3, 5, 7, 11 और 13 से जाँचना काफ़ी है। 179 इनमें से किसी से भी पूरा नहीं बँटता, इसलिए 179 अभाज्य संख्या है।

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) 1 हो, तो उन्हें सह-अभाज्य संख्याएँ (co-prime numbers) कहते हैं। म.स. 1 होने का मतलब है कि दोनों में 1 के सिवा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। इसके लिए संख्याओं का ख़ुद अभाज्य होना ज़रूरी नहीं है। 8 और 15, दोनों में से कोई भी अभाज्य नहीं, फिर भी ये सह-अभाज्य हैं। दो बातें बहुत काम आती हैं।

• कोई भी दो क्रमागत संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं।
• कोई भी दो अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ भी सह-अभाज्य होती हैं।

परिपूर्ण संख्या (perfect number): किसी संख्या के गुणनखंडों में से उसे ख़ुद छोड़ दीजिए। बाकी गुणनखंडों का योग उसी संख्या के बराबर आए, तो वह परिपूर्ण संख्या है। जैसे 6 = 1 + 2 + 3 और 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14। प्रश्नों में यह कम ही आती है, पर यह शब्द कभी-कभी विकल्पों में दिख जाता है।

स्थानीय मान, जातीय मान और अंकों के प्रश्न

किसी अंक का जातीय मान (face value) वह अंक ख़ुद होता है। उसका स्थानीय मान (place value) निकालने के लिए अंक को उसके स्थान के मान से गुणा करते हैं।

जैसे 4,72,315 में 7 का जातीय मान 7 है। पर यह 7 दस हज़ार के स्थान पर है, इसलिए उसका स्थानीय मान 70,000 है।

सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या: दिए हुए अंकों से सबसे बड़ी संख्या बनानी हो, तो अंकों को अवरोही क्रम में लिखिए, यानी बड़े से छोटे की ओर। सबसे छोटी संख्या के लिए उन्हें आरोही क्रम में लिखिए, यानी छोटे से बड़े की ओर। बस ध्यान रखिए कि संख्या 0 से शुरू नहीं हो सकती।

मान लीजिए अंक 0, 3, 5 और 8 हैं, और हर अंक एक ही बार लेना है। सबसे बड़ी संख्या 8530 होगी। सबसे छोटी के लिए 0 को आगे नहीं रख सकते, इसलिए 3 आगे आएगा और संख्या 3058 होगी।

अंकों को नए क्रम में रखना: हाल के CGL पेपरों में ऐसा प्रश्न आया है। सात अंकों की एक संख्या दी होती है। उसके अंकों को आरोही (या अवरोही) क्रम में लगाकर नई संख्या लिखी जाती है, और पूछा जाता है कि मूल संख्या से इसका अंतर कितना है। इसमें असल में बस ध्यान से घटाना होता है। दोनों संख्याएँ एक के नीचे एक लिखिए और स्तंभ-दर-स्तंभ घटाइए।

दो अंकों की संख्या को उलटना: दो अंकों की संख्या $10a + b$ हो, तो उसके अंक उलटने पर $10b + a$ मिलती है। इसलिए

$$(10a + b) - (10b + a) = 9(a - b) \qquad (10a + b) + (10b + a) = 11(a + b)$$

यानी किसी संख्या में से उसकी उलटी संख्या घटाएँ, तो नतीजा हमेशा 9 का गुणज आएगा। और दोनों को जोड़ें, तो हमेशा 11 का गुणज।

अंक गिनना: मान लीजिए किसी किताब के पृष्ठों पर 1 से 150 तक पृष्ठ-संख्या छापनी है, और गिनना है कि कुल कितने अंक लगेंगे। एक अंक वाली संख्याएँ 9 हैं, तो इनमें 9 अंक लगेंगे। दो अंकों वाली 90 संख्याओं में 180 अंक लगेंगे, और तीन अंकों वाली 51 संख्याओं में 153 अंक। कुल 9 + 180 + 153 = 342 अंक लगेंगे।

द्विआधारी संख्याएँ [Tier 2]

द्विआधारी संख्या (binary number) में केवल दो अंक होते हैं, 0 और 1। इसमें हर स्थान का मान 2 की घात होता है, 10 की नहीं। दाईं ओर से स्थानों के मान 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, … होते हैं।

द्विआधारी से दशमलव पद्धति में: जिन-जिन स्थानों पर 1 है, उन स्थानों के मान जोड़ दीजिए।

$$101101_2 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45$$

दशमलव पद्धति से द्विआधारी में: संख्या को बार-बार 2 से भाग दीजिए और हर बार का शेषफल लिखते जाइए। फिर शेषफलों को उलटे क्रम में लिखिए, यानी आख़िरी शेषफल सबसे पहले।

जैसे 13 को लीजिए। 13 ÷ 2 = 6 शेषफल 1, 6 ÷ 2 = 3 शेषफल 0, 3 ÷ 2 = 1 शेषफल 1 और 1 ÷ 2 = 0 शेषफल 1। अब शेषफल नीचे से ऊपर पढ़िए, तो 1, 1, 0, 1 मिलते हैं। यानी 13 = $1101_2$।

ऐसे प्रश्न CGL टियर 1 से ज़्यादा टियर 2 में और SSC के दूसरे पेपरों में आते हैं। इसलिए इनके लिए इतना-सा तरीका जान लेना काफ़ी है, ज़्यादा गहराई में जाने की ज़रूरत नहीं।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या पूर्णांक है, परंतु पूर्ण संख्या नहीं है: 0, 7, −4, 3/2?

उत्तर: पूर्ण संख्याएँ 0 से शुरू होकर ऊपर की ओर चलती हैं, तो 0 और 7 पूर्ण संख्याएँ हैं। 3/2 तो पूर्णांक ही नहीं है। बचा −4। यह पूर्णांक तो है, पर ऋणात्मक है, इसलिए पूर्ण संख्या नहीं हो सकता। तो −4 ही वह संख्या है।

प्रश्न 2

कौन-सी संख्या चारों समुच्चयों (पूर्ण संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ और वास्तविक संख्याएँ) में आती है और शून्य नहीं है? (a) −2 (b) 0 (c) 9 (d) 2.5

उत्तर: एक-एक विकल्प देखते हैं। −2 पूर्ण संख्या नहीं है। 0 को तो प्रश्न ने ख़ुद ही बाहर कर दिया है। 2.5 पूर्णांक नहीं है। बचा 9, जो पूर्ण संख्या भी है, पूर्णांक भी, परिमेय भी (9/1) और वास्तविक भी। तो उत्तर (c) 9 है।

प्रश्न 3

निम्नलिखित में से किस समुच्चय में केवल धनात्मक संख्याएँ हैं? (a) पूर्णांक (b) परिमेय संख्याएँ (c) प्राकृत संख्याएँ (d) वास्तविक संख्याएँ

उत्तर: हर समुच्चय में कोई एक ऋणात्मक संख्या ढूँढ़ते हैं। पूर्णांकों में −1 है, परिमेय संख्याओं में −1/2 है, और वास्तविक संख्याओं में भी −1 है। प्राकृत संख्याएँ 1 से शुरू होती हैं, तो इनका हर सदस्य धनात्मक है। इसलिए सही विकल्प (c) प्राकृत संख्याएँ है।

प्रश्न 4

निम्नलिखित संख्याओं को परिमेय और अपरिमेय में बाँटिए: $\sqrt{49}$, $\sqrt{50}$, 22/7, $0.\overline{36}$, $\pi$।

उत्तर: $\sqrt{49} = 7$, तो यह परिमेय है। 50 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ अपरिमेय है। 22/7 एक भिन्न है, तो यह परिमेय है, भले ही $\pi$ के बहुत पास हो। $0.\overline{36}$ आवर्ती दशमलव है, इसलिए यह भी परिमेय है। और $\pi$ अपरिमेय है। तो $\sqrt{49}$, 22/7 और $0.\overline{36}$ परिमेय हैं, जबकि $\sqrt{50}$ और $\pi$ अपरिमेय हैं।

प्रश्न 5

कौन-सा कथन सत्य है? (a) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्णांक है। (b) प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या है। (c) प्रत्येक वास्तविक संख्या परिमेय है। (d) कुछ पूर्णांक अपरिमेय हैं।

उत्तर: पूर्णांक तो परिमेय संख्याओं के भीतर आते हैं, इसलिए (b) सत्य है। बाकी को भी परख लेते हैं। (a) गलत है, क्योंकि 1/2 परिमेय है पर पूर्णांक नहीं। (c) भी गलत है, क्योंकि $\sqrt{2}$ वास्तविक है पर परिमेय नहीं। (d) तो हो ही नहीं सकता, क्योंकि कोई संख्या परिमेय और अपरिमेय, दोनों नहीं होती। तो सही कथन (b) है।

प्रश्न 6

$7\sqrt{5} \times \sqrt{20}$ परिमेय है या अपरिमेय?

उत्तर: दोनों वर्गमूलों को मिलाकर भीतर ही गुणा कर देते हैं। $7\sqrt{5 \times 20} = 7\sqrt{100} = 7 \times 10 = 70$। नतीजा एक पूर्ण संख्या है, तो यह परिमेय है। शुरू में वर्गमूल देखकर प्रश्न कठिन लग रहा था, पर आख़िर में एक भी वर्गमूल नहीं बचा।

प्रश्न 7

एक छात्र कहता है, "दो अपरिमेय संख्याओं का योग सदा अपरिमेय होता है।" कौन-सा युग्म उसे गलत सिद्ध करता है? (a) $\sqrt{2}$ और $\sqrt{3}$ (b) $3 + \sqrt{2}$ और $3 - \sqrt{2}$ (c) $\pi$ और $\sqrt{2}$ (d) $2\sqrt{3}$ और $\sqrt{3}$

उत्तर: हमें ऐसी दो अपरिमेय संख्याएँ चाहिए जिनका योग परिमेय निकले। (b) में $(3 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) = 6$ आता है, क्योंकि $\sqrt{2}$ वाले हिस्से आपस में कट जाते हैं। दोनों संख्याएँ अपरिमेय हैं, फिर भी योग 6 है। इसलिए युग्म (b) उस छात्र की बात गलत सिद्ध करता है।

प्रश्न 8

किस भिन्न से सांत दशमलव प्राप्त होता है? (a) 7/12 (b) 9/40 (c) 11/30 (d) 5/14

उत्तर: चारों भिन्न पहले से न्यूनतम रूप में हैं, तो बस हर देखना है। 12 में 3 है, 30 में भी 3 है और 14 में 7 है, इसलिए ये तीनों आवर्ती दशमलव देंगी। 40 = $2^3 \times 5$ में केवल 2 और 5 हैं। तो उत्तर (b) 9/40 है। भाग करके देखें, तो 9/40 = 0.225 आता है, जो सांत है।

प्रश्न 9

$0.\overline{45}$ को न्यूनतम रूप वाली भिन्न में लिखिए।

उत्तर: यहाँ दो अंक दोहराए जा रहे हैं, तो 45 के नीचे 99 लिखेंगे और $\frac{45}{99}$ मिलेगा। ऊपर और नीचे, दोनों 9 से विभाज्य हैं। 9 से काटने पर $\frac{5}{11}$ बचता है।

प्रश्न 10

$2.1\overline{6}$ को भिन्न के रूप में लिखिए।

उत्तर: 2 को अलग रख लेते हैं और केवल $0.1\overline{6}$ पर काम करते हैं। दशमलव के बाद के अंक 16 हैं और बिना दोहराव वाला हिस्सा 1 है, तो ऊपर 16 − 1 = 15 आएगा। एक अंक दोहराया जा रहा है और एक नहीं, इसलिए नीचे 90 आएगा। तो $0.1\overline{6} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$ हुआ। अब 2 वापस जोड़ दीजिए, $2\frac{1}{6} = \frac{13}{6}$।

प्रश्न 11

$0.\overline{7} + 0.\overline{5}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले दोनों को भिन्न में बदल लेते हैं। $0.\overline{7} = \frac{7}{9}$ और $0.\overline{5} = \frac{5}{9}$। दोनों का योग $\frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ है, यानी $1.\overline{3}$।

प्रश्न 12

50 और 80 के बीच कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं?

उत्तर: 50 और 80 के बीच 53, 59, 61, 67, 71, 73 और 79 अभाज्य हैं। यानी कुल 7 अभाज्य संख्याएँ हैं। 51 (3 × 17), 57 (3 × 19) और 77 (7 × 11) से सावधान रहिए। ये अभाज्य जैसी दिखती हैं, पर हैं नहीं।

प्रश्न 13

क्या 221 एक अभाज्य संख्या है?

उत्तर: $\sqrt{221}$ का मान 15 से ज़रा कम है, तो 13 तक की अभाज्य संख्याओं से जाँचना काफ़ी है। 221 विषम है। इसके अंकों का योग 5 है, तो यह 3 से विभाज्य नहीं है। अंत में 0 या 5 भी नहीं है, तो 5 से भी विभाज्य नहीं है। 7 और 11 से भी यह विभाज्य नहीं है। पर 221 ÷ 13 = 17 आता है। यानी 221 = 13 × 17, इसलिए 221 अभाज्य नहीं है।

प्रश्न 14

कौन-सा युग्म सह-अभाज्य है? (a) 12 और 18 (b) 15 और 28 (c) 21 और 35 (d) 16 और 24

उत्तर: सह-अभाज्य होने के लिए दोनों संख्याओं में 1 के सिवा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होना चाहिए। 12 और 18 में 6 उभयनिष्ठ है, 21 और 35 में 7, और 16 और 24 में 8। अब 15 = 3 × 5 और 28 = 2 × 2 × 7 देखिए, इनमें कुछ भी उभयनिष्ठ नहीं है। तो (b) 15 और 28 सह-अभाज्य हैं। ध्यान दीजिए कि इन दोनों में से कोई भी ख़ुद अभाज्य संख्या नहीं है।

प्रश्न 15

4,72,315 में 7 के स्थानीय मान और जातीय मान का अंतर ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 7 दस हज़ार के स्थान पर है, तो इसका स्थानीय मान 70,000 है। जातीय मान बस 7 है। अंतर = 70,000 − 7 = 69,993।

प्रश्न 16

8462913 के अंकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। मूल संख्या और नई संख्या का अंतर कितना है?

उत्तर: अंक 8, 4, 6, 2, 9, 1 और 3 हैं। इन्हें आरोही क्रम में लगाएँ, तो 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 आते हैं, और नई संख्या 1234689 होती है। अब मूल संख्या में से नई संख्या घटाते हैं। 8462913 − 1234689 = 7228224।

प्रश्न 17

दो अंकों की एक संख्या, उसके अंकों को उलटने से बनी संख्या से 27 अधिक है। उसके अंकों का अंतर कितना है?

उत्तर: किसी संख्या में से उसकी उलटी संख्या घटाएँ, तो हमेशा 9 × (अंकों का अंतर) आता है। यहाँ यह 27 है, तो 9 × (अंतर) = 27, और अंकों का अंतर 3 है।

प्रश्न 18 [Tier 2]

द्विआधारी संख्या 110011 को दशमलव पद्धति में बदलिए।

उत्तर: दाईं ओर से स्थानों के मान 1, 2, 4, 8, 16 और 32 हैं। जिन स्थानों पर 1 है, उनके मान 32, 16, 2 और 1 हैं। इन्हें जोड़ दीजिए, 32 + 16 + 2 + 1 = 51।