गुणनखंड, अभाज्य संख्याएँ और पूर्ण वर्ग

अभाज्य की जाँच, अभाज्य गुणनखंडन

अभाज्य है या नहीं? मान लीजिए पूछा गया है कि कोई संख्या $n$ अभाज्य संख्या (prime number) है या नहीं। इसके लिए $\sqrt{n}$ तक की हर अभाज्य संख्या से भाग देकर देखिए। इनमें से किसी से भी वह संख्या पूरी-पूरी न बँटे, तो $n$ अभाज्य है।

वर्गमूल से आगे जाँचने की कभी ज़रूरत नहीं पड़ती। अगर $n = a \times b$ है, तो $a$ और $b$ में से छोटी संख्या $\sqrt{n}$ से बड़ी नहीं हो सकती। यानी कोई गुणनखंड होगा, तो वर्गमूल तक ही मिल जाएगा।

जैसे 389 को लीजिए। $19^2 = 361$ और $20^2 = 400$ हैं, तो 389 का वर्गमूल 19 से थोड़ा ही ज़्यादा है। इसलिए केवल 19 तक की अभाज्य संख्याएँ देखनी हैं, यानी 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 19। इनमें से किसी से भी 389 पूरा नहीं बँटता, तो 389 अभाज्य है।

दिखने में अभाज्य, पर हैं नहीं: ये संख्याएँ पहली नज़र में अभाज्य लगती हैं, पर असल में भाज्य संख्याएँ हैं। विकल्पों में ये बार-बार आती हैं, इसलिए इन्हें देखते ही पहचान लीजिए।

भाग विधि से अभाज्य गुणनखंडन: किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन (prime factorisation) करना हो, तो उसे उस सबसे छोटी अभाज्य संख्या से भाग दीजिए, जिससे वह पूरा-पूरा बँट जाए। जो भागफल आए, उसे लिख लीजिए और उसके साथ भी यही कीजिए। ऐसा तब तक करते रहिए, जब तक 1 न बच जाए। जैसे 2520 का गुणनखंडन देखिए।

अब एक जैसी अभाज्य संख्याओं को घात के रूप में लिख लीजिए। तो $2520 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7$ हुआ। आगे इस खंड का हर सूत्र इसी रूप से शुरू होता है, इसलिए सबसे पहले यही ठीक होना चाहिए।

जाँचने के लिए इन्हें फिर से गुणा करके देख लीजिए, 8 × 9 × 5 × 7 = 2520। इसमें पाँच सेकंड लगते हैं, और ज़्यादातर गलतियाँ यहीं पकड़ में आ जाती हैं।

सह-अभाज्य गुणनखंड-जोड़े: $N$ का गुणनखंड-जोड़ा ऐसी दो संख्याओं को कहते हैं, जिनका गुणनफल $N$ हो। अगर दोनों का महत्तम समापवर्तक (म.स.) 1 है, तो यह जोड़ा सह-अभाज्य (co-prime) है। ऐसे जोड़े में हर अभाज्य की पूरी घात किसी एक ही संख्या में जाती है, दोनों में बँटती नहीं।

मान लीजिए $N$ में $k$ अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड हैं। तो उसे दो सह-अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में $2^{k-1}$ तरीकों से लिख सकते हैं।

जैसे 2520 में चार अलग-अलग अभाज्य हैं, 2, 3, 5 और 7। तो इसके $2^3 = 8$ सह-अभाज्य जोड़े बनते हैं। ये जोड़े हैं 1 × 2520, 8 × 315, 9 × 280, 5 × 504, 7 × 360, 35 × 72, 40 × 63 और 45 × 56।

[SSC टिप] "अभाज्य गुणनखंड" वाला प्रश्न और "गुणनखंड" वाला प्रश्न अलग-अलग होते हैं। 2520 के 48 गुणनखंड हैं, पर इसके अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड केवल 4 हैं। दोहराए गए भी गिनें, तो 7 अभाज्य गुणनखंड होते हैं, 2, 2, 2, 3, 3, 5 और 7। इसलिए प्रश्न ध्यान से पढ़िए कि उसमें क्या पूछा गया है।

गुणनखंडों की संख्या, योग, गुणनफल

सबसे पहले संख्या को अभाज्य घातों के रूप में लिखिए, $N = p^a \times q^b \times r^c$। यहाँ $p$, $q$ और $r$ अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ हैं।

गुणनखंडों की संख्या $= (a + 1)(b + 1)(c + 1)$। किसी भी गुणनखंड में $p$ की घात 0 से $a$ तक कुछ भी हो सकती है, यानी इसके $a + 1$ विकल्प हैं। बाकी हर अभाज्य के साथ भी ऐसा ही है, इसलिए सबके विकल्पों का गुणा कर देते हैं। जैसे $2520 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7$ है, तो इसके 4 × 3 × 2 × 2 = 48 गुणनखंड हैं।

गुणनखंडों का योग $= (1 + p + \dots + p^a)(1 + q + \dots + q^b)(1 + r + \dots + r^c)$। जैसे $72 = 2^3 \times 3^2$ है, तो इसके गुणनखंडों का योग (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9) = 15 × 13 = 195 है।

हर कोष्ठक का मान $\frac{p^{a+1} - 1}{p - 1}$ से भी निकाल सकते हैं। घात बड़ी हो, तो इससे जल्दी होता है, जैसे $1 + 2 + 4 + \dots + 2^5 = 2^6 - 1 = 63$।

सभी गुणनखंडों का गुणनफल [Tier 2]: मान लीजिए $N$ के $d$ गुणनखंड हैं। हर गुणनखंड $f$ का एक जोड़ीदार $\frac{N}{f}$ होता है, और हर जोड़े का गुणनफल $N$ ही आता है। इसलिए सभी गुणनखंडों का गुणनफल $N^{d/2}$ होता है।

जैसे 12 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं, यानी $d = 6$। तो इनका गुणनफल $12^3 = 1728$ होगा। चाहें तो सबका सीधा गुणा करके देख लीजिए, वही 1728 आता है।

N को दो गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखने के तरीके: यहाँ देखना होता है कि संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं।

• अगर $N$ पूर्ण वर्ग नहीं है, तो गुणनखंडों के पूरे-पूरे जोड़े बनते हैं, और $\frac{d}{2}$ तरीके होते हैं। जैसे 72 के 12 गुणनखंड हैं, तो 6 तरीके हैं, 1 × 72, 2 × 36, 3 × 24, 4 × 18, 6 × 12 और 8 × 9।
• अगर $N$ पूर्ण वर्ग है, तो एक जोड़ा $\sqrt{N} \times \sqrt{N}$ ऐसा होता है, जिसमें दोनों संख्याएँ एक ही हैं। तब $\frac{d + 1}{2}$ तरीके होते हैं। जैसे 36 के 9 गुणनखंड हैं, तो 6 × 6 को भी गिनकर 5 तरीके होते हैं।

गुणनखंडों की विषम संख्या: केवल पूर्ण वर्गों के गुणनखंड विषम संख्या में होते हैं, क्योंकि केवल इन्हीं में एक गुणनखंड ख़ुद अपना जोड़ीदार होता है। और जिस संख्या के ठीक 3 गुणनखंड हों, वह किसी अभाज्य संख्या का वर्ग होती है, जैसे 4, 9, 25, 49, 121 वगैरह।

[SSC टिप] गुणनखंड गिनते समय 1 और संख्या ख़ुद, दोनों गिने जाते हैं। प्रश्न में "1 और संख्या को छोड़कर गुणनखंड" पूछे जाएँ, तो कुल में से 2 घटा दीजिए। "उचित गुणनखंड (proper factors)" या "उचित भाजक (proper divisors)" का मतलब आम तौर पर संख्या को छोड़कर बाकी सब गुणनखंड होता है, तो वहाँ 1 घटाइए।

विषम, सम और वर्ग गुणनखंड

हर संख्या को $2^a \times$ (उसका विषम भाग) के रूप में लिख सकते हैं। जैसे $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ है, तो इसका विषम भाग $3^2 \times 5 = 45$ है।

विषम गुणनखंड: विषम गुणनखंड में 2 बिल्कुल नहीं होता। इसलिए 2 की घात हटा दीजिए और केवल विषम भाग के गुणनखंड गिनिए। 360 के लिए (2 + 1)(1 + 1) = 6 विषम गुणनखंड हैं, 1, 3, 5, 9, 15 और 45।

सम गुणनखंड = कुल गुणनखंड − विषम गुणनखंड: 360 के कुल 4 × 3 × 2 = 24 गुणनखंड हैं, तो सम गुणनखंड 24 − 6 = 18 हैं।

इसे दूसरे तरीके से भी निकाल सकते हैं। सम गुणनखंड में कम से कम एक 2 ज़रूर होता है। इसलिए 2 की घात के लिए $a$ ही विकल्प बचते हैं, 1 से $a$ तक, $a + 1$ नहीं। 360 के लिए 3 × 3 × 2 = 18 आता है।

विषम गुणनखंडों का योग: यहाँ योग वाला सूत्र ही लगता है, बस 2 वाला कोष्ठक छोड़ दीजिए। 360 के लिए (1 + 3 + 9)(1 + 5) = 13 × 6 = 78।

सम गुणनखंडों का योग = कुल योग − विषम गुणनखंडों का योग: 360 का कुल योग (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9)(1 + 5) = 15 × 13 × 6 = 1170 है। तो सम गुणनखंडों का योग 1170 − 78 = 1092 हुआ।

इसे सीधे भी निकाल सकते हैं। 2 वाले कोष्ठक में से 1 हटा दीजिए, तो (2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9)(1 + 5) = 14 × 13 × 6 = 1092।

वर्ग गुणनखंड: जो गुणनखंड पूर्ण वर्ग हो, उसमें हर अभाज्य की घात सम होती है। मान लीजिए संख्या में किसी अभाज्य की घात $a$ है। तो गुणनखंड में उसकी घात 0, 2, 4, … हो सकती है, बस $a$ से आगे नहीं जा सकती। विकल्प गिनने के लिए $a$ को 2 से भाग दीजिए, केवल पूर्णांक वाला हिस्सा लीजिए और उसमें 1 जोड़ दीजिए।

जैसे $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$ है। 2 के लिए $2^0$ या $2^2$ ले सकते हैं, यानी 2 विकल्प। 3 के लिए $3^0$ या $3^2$, यानी 2 विकल्प। 5 के लिए केवल $5^0$, यानी 1 विकल्प। तो 360 के 2 × 2 × 1 = 4 वर्ग गुणनखंड हैं, 1, 4, 9 और 36।

वर्ग गुणनखंडों का योग: हर कोष्ठक में केवल सम घातें रखिए। जैसे $484 = 2^2 \times 11^2$ है, तो योग $(1 + 2^2)(1 + 11^2)$ = 5 × 122 = 610 है। ये गुणनखंड हैं 1, 4, 121 और 484।

$4k + 2$ रूप वाले गुणनखंड: ये गुणनखंड सम होते हैं, पर 4 के गुणज नहीं होते। मतलब इनमें ठीक एक 2 होता है। अगर $N$ सम है, तो ऐसे गुणनखंडों की संख्या उसके विषम गुणनखंडों की संख्या के बराबर होती है। 360 के ऐसे 6 गुणनखंड हैं, 2, 6, 10, 18, 30 और 90।

गुणनफल, क्रमगुणित में अभाज्य की अधिकतम घात

गुणनफल में: कई संख्याओं के गुणनफल में किसी अभाज्य की अधिकतम घात चाहिए, तो हर संख्या का गुणनखंडन कीजिए। देखिए कि हर एक में वह अभाज्य कितनी बार है, फिर सबको जोड़ दीजिए। जैसे $a$ का वह सबसे बड़ा मान निकालना है, जिसके लिए 42 × 25 × 54 × 135, $3^a$ से विभाज्य हो।

• 42 = 2 × 3 × 7, इसमें 3 एक बार है।
• 25 = $5^2$, इसमें 3 एक बार भी नहीं है।
• 54 = $2 \times 3^3$, इसमें 3 तीन बार है।
• 135 = $3^3 \times 5$, इसमें भी 3 तीन बार है।

कुल 1 + 0 + 3 + 3 = 7 हुआ, तो $a = 7$।

क्रमगुणित में: क्रमगुणित (factorial) का मतलब है $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$। $n!$ में किसी अभाज्य $p$ की घात निकालनी हो, तो $n$ को $p$ से, फिर $p^2$ से, फिर $p^3$ से भाग दीजिए, और इसी तरह आगे भी। हर बार केवल पूर्णांक वाला हिस्सा लीजिए और सबको जोड़ दीजिए।

$$\left\lfloor \frac{n}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3} \right\rfloor + \dots$$

प्रश्न हल करते समय इसे और आसानी से करते हैं। हर बार पिछले भागफल को ही $p$ से भाग देते जाइए।

जैसे 60! में 2 की अधिकतम घात निकालनी है। 60 ÷ 2 = 30 और 30 ÷ 2 = 15। फिर 15 ÷ 2 से 7 लेते हैं, यानी आधा छोड़ देते हैं। इसी तरह 7 ÷ 2 से 3 और 3 ÷ 2 से 1। कुल 30 + 15 + 7 + 3 + 1 = 56। 3 के साथ यही करें, तो 60! में 3 की अधिकतम घात 20 + 6 + 2 = 28 आती है।

यह तरीका क्यों चलता है, यह भी समझ लीजिए। 60 ÷ 2 से हर सम संख्या का एक 2 गिना जाता है। 60 ÷ 4 से 4 के हर गुणज का दूसरा 2 गिना जाता है, और 60 ÷ 8 से 8 के हर गुणज का तीसरा 2। आगे भी ऐसे ही चलता है।

भाज्य संख्याएँ, जैसे 12 या 10 [Tier 2]: भाज्य संख्या हो, तो पहले उसे अभाज्य घातों में तोड़िए। फिर $n!$ में हर अभाज्य की घात निकालिए और देखिए कि कौन-सा अभाज्य पहले कम पड़ता है।

• 12 = $2^2 \times 3$ है। 60! में 2 कुल 56 बार है, तो इनसे $2^2$ के 28 समूह बनते हैं। 3 भी 28 बार है। दोनों ओर से 28 ही आता है, तो 60! में 12 की अधिकतम घात 28 है।
• 10 = 2 × 5 है। क्रमगुणित में 2 हमेशा 5 से ज़्यादा होते हैं, तो $n!$ में 10 की अधिकतम घात 5 की घात के बराबर ही होती है। 60! में यह 12 + 2 = 14 है।

आम तौर पर सबसे बड़ा अभाज्य ही पहले कम पड़ता है, पर हमेशा ऐसा नहीं होता। भाज्य संख्या में $2^2$ या $2^3$ हो, तो उसे एक बार बनाने में ही कई 2 लग जाते हैं। जैसे 27! में 2 कुल 23 बार है, पर इनसे $2^2$ के केवल 11 समूह बनते हैं। 3 वहाँ 13 बार है। तो 27! में 12 की अधिकतम घात 11 है, और इस बार 2 पहले कम पड़े। इसलिए दोनों का हिसाब कीजिए, और जो छोटा आए वही लीजिए।

[SSC टिप] ऐसे प्रश्नों में घातांक पूछा जाता है, संख्या नहीं। विकल्पों में 7 और $3^7$ दोनों हो सकते हैं, इसलिए देख लीजिए कि प्रश्न कौन-सा रूप माँग रहा है।

गुणनफल, क्रमगुणित के अंत के शून्य

किसी गुणनफल के अंत के शून्य (trailing zeros) गिनने हों, तो याद रखिए कि अंत का हर शून्य एक 10 से बनता है, और 10 = 2 × 5 है। इसलिए गुणनफल में 2 और 5 को अलग-अलग गिनिए। शून्य उतने ही होंगे, जितनी इन दोनों में से छोटी गिनती है।

गुणनफल: जैसे 25 × 32 × 45 × 60 लीजिए।

• पहले 2 गिनिए। 32 = $2^5$ से 5 मिले और 60 = $2^2 \times 15$ से 2, यानी कुल 7।
• अब 5 गिनिए। 25 से 2, 45 से 1 और 60 से 1, यानी कुल 4।

छोटी गिनती 4 है, तो गुणनफल के अंत में 4 शून्य होंगे। गुणा करके देखें, तो गुणनफल सच में 21,60,000 आता है।

क्रमगुणित: $n!$ में 2 हमेशा 5 से ज़्यादा होते हैं। इसलिए $n!$ के अंत में उतने ही शून्य होते हैं, जितनी उसमें 5 की घात है।

$$\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{125} \right\rfloor + \dots$$

जैसे 100! में 20 + 4 = 24 शून्य हैं, और 1000! में 200 + 40 + 8 + 1 = 249 शून्य।

आम गलतियाँ: ऐसे प्रश्नों में छात्र अक्सर इन बातों में चूक जाते हैं।

• 25 = 5 × 5 में 5 दो बार है, और 125 में तीन बार। इन अतिरिक्त 5 को भूल जाना सबसे आम गलती है।
• गुणनफल में सम संख्याएँ कम हों, तो 2 पहले कम पड़ सकते हैं। जैसे 15 × 25 × 35 × 8 में 5 तो 4 बार है, पर 2 केवल 3 बार। तो गुणनफल (1,05,000) के अंत में 3 शून्य होंगे, 4 नहीं।
• केवल विषम संख्याओं का गुणनफल हो, जैसे 1 × 3 × 5 × … × 99, तो उसमें एक भी 2 नहीं होता। ऐसे गुणनफल के अंत में 5 आता है, 0 नहीं।
• पहली 50 सम संख्याओं का गुणनफल 2 × 4 × … × 100 = $2^{50} \times 50!$ होता है। इसमें 2 बहुत हैं, तो शून्य उतने ही होंगे, जितने 50! में 5 हैं, यानी 10 + 2 = 12।

एक बात और। "अंत के शून्य" और "10 की अधिकतम घात" एक ही बात है। दोनों में 2 और 5 के जोड़े ही गिनने होते हैं।

पूर्ण वर्ग: त्वरित जाँच, गिनती

किसी पूर्ण संख्या को ख़ुद से गुणा करने पर जो संख्या मिलती है, उसे पूर्ण वर्ग (perfect square) कहते हैं, जैसे 1, 4, 9, 16, 25 वगैरह।

नीचे दी गई जाँचें केवल यह साबित कर सकती हैं कि संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है। कोई संख्या सारी जाँचों में पास हो जाए, तब भी पक्की जाँच बाकी रहती है।

जाँच 1, अंतिम अंक: पूर्ण वर्ग का अंतिम अंक केवल 0, 1, 4, 5, 6 या 9 हो सकता है। संख्या के अंत में 2, 3, 7 या 8 हो, तो वह पूर्ण वर्ग नहीं है।

जाँच 2, अंत के शून्य: पूर्ण वर्ग के अंत में शून्य सम संख्या में होते हैं। 4900 में दो शून्य हैं, तो यह पूर्ण वर्ग हो सकता है। 49,000 में तीन शून्य हैं, तो यह पूर्ण वर्ग नहीं हो सकता।

जाँच 3, अंकीय मूल: संख्या के अंकों को तब तक बार-बार जोड़िए, जब तक एक ही अंक न बच जाए। यही उसका अंकीय मूल (digital root) है। पूर्ण वर्ग का अंकीय मूल हमेशा 1, 4, 7 या 9 होता है। अंकीय मूल 2, 3, 5, 6 या 8 आए, तो वह संख्या पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती। जैसे 4,21,356 के अंत में 6 है, जो चल सकता है। पर इसके अंकों का योग 21 है, और 2 + 1 = 3, तो यह पूर्ण वर्ग नहीं है।

जाँच 4, अंतिम दो अंक: जिस पूर्ण वर्ग के अंत में 5 हो, उसके अंत में हमेशा 25 होता है। सम पूर्ण वर्ग 4 का गुणज होता है, इसलिए उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य होती है। जिस पूर्ण वर्ग के अंत में 6 हो, उसका दहाई अंक विषम होता है, जैसे 16, 36, 196, 256 में। और जिसके अंत में 1, 4 या 9 हो, उसका दहाई अंक सम होता है, जैसे 81, 64, 49, 121 में।

वर्ग का इकाई अंक: वर्ग का इकाई अंक केवल संख्या के इकाई अंक पर निर्भर करता है।

इससे एक बात साफ़ है। जिस वर्ग के अंत में 9 हो, वह किसी ऐसी संख्या का वर्ग है जिसके अंत में 3 या 7 हो। मान लीजिए पूछा गया, दो अंकों की कितनी संख्याओं के वर्ग के अंत में 9 आता है? तो दो अंकों की वे संख्याएँ गिनिए जिनके अंत में 3 या 7 है, यानी 13, 17, 23, 27, …, 93, 97। 10 से 19, 20 से 29, और इसी तरह 90 से 99 तक, हर दहाई में ऐसी दो संख्याएँ हैं। तो कुल 9 × 2 = 18।

दो संख्याओं के बीच कितने पूर्ण वर्ग? पहले वे सबसे छोटी और सबसे बड़ी पूर्ण संख्याएँ ढूँढिए, जिनके वर्ग सीमा के भीतर हों। फिर इन दोनों को मिलाकर बीच की सारी संख्याएँ गिन लीजिए। जैसे 500 और 2000 के बीच देखना है। $22^2 = 484$ बहुत छोटा है, तो पहला वर्ग $23^2 = 529$ है। $45^2 = 2025$ बहुत बड़ा है, तो आख़िरी $44^2 = 1936$ है। कुल 44 − 23 + 1 = 22 पूर्ण वर्ग हैं।

"इनमें से कौन-सा पूर्ण वर्ग नहीं है" वाले प्रश्नों में चारों विकल्पों पर पहले अंतिम अंक की जाँच कीजिए, फिर अंकीय मूल की। आम तौर पर इनमें से एक जाँच से ही कुछ सेकंड में उत्तर मिल जाता है।

संख्या को पूर्ण वर्ग बनाना

घटाई या जोड़ी जाने वाली न्यूनतम संख्या: संख्या के ठीक नीचे और ठीक ऊपर वाले पूर्ण वर्ग देखिए। जैसे 3000 के लिए $54^2 = 2916$ और $55^2 = 3025$ हैं। तो घटाई जाने वाली न्यूनतम संख्या 3000 − 2916 = 84 है, और जोड़ी जाने वाली न्यूनतम संख्या 3025 − 3000 = 25।

सही वर्गमूल जल्दी पकड़ने के लिए गोल वर्गों से शुरू कीजिए, जैसे $50^2 = 2500$ और $60^2 = 3600$। फिर दायरा छोटा करते जाइए।

न्यूनतम गुणक या भाजक: पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। इसलिए संख्या का गुणनखंडन कीजिए और वे अभाज्य ढूँढिए जिनकी घात विषम है।

• $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ में केवल 5 की घात विषम है। 5 से गुणा करें तो 900 = $30^2$ मिलता है, और 5 से भाग दें तो 36 = $6^2$।
• $2450 = 2 \times 5^2 \times 7^2$ में 2 से गुणा करने पर 4900 = $70^2$ मिलता है, और 2 से भाग देने पर 1225 = $35^2$।

दी गई संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटा पूर्ण वर्ग: पहले उनका लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.) निकालिए और उसका गुणनखंडन कीजिए। फिर उस संख्या से गुणा कीजिए जो अधूरे जोड़े पूरे कर दे। जैसे 6, 8 और 15 का ल.स. $120 = 2^3 \times 3 \times 5$ है। हर घात सम करने के लिए 2 × 3 × 5 = 30 से गुणा करना होगा। तो उत्तर 120 × 30 = 3600 = $60^2$ है। ल.स. निकालना खंड 5, "म.स. और ल.स." में विस्तार से समझाया गया है।

n अंकों का सबसे बड़ा और सबसे छोटा पूर्ण वर्ग: दोनों के तरीके थोड़े अलग हैं।

• सबसे बड़ा: n अंकों की सबसे बड़ी संख्या का वर्गमूल निकालिए, उसका केवल पूर्णांक वाला हिस्सा लीजिए और उसका वर्ग कीजिए। $\sqrt{9999}$ का मान 100 से ज़रा कम है, तो चार अंकों का सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग $99^2 = 9801$ है। इसी तरह छह अंकों का सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग $999^2 = 998001$ है।
• सबसे छोटा: n अंकों की सबसे छोटी संख्या का वर्गमूल निकालिए। वह पूर्णांक न हो, तो उससे अगला पूर्णांक लीजिए और उसका वर्ग कीजिए। $31^2 = 961$ में केवल तीन अंक हैं, तो चार अंकों का सबसे छोटा पूर्ण वर्ग $32^2 = 1024$ है। पाँच अंकों के लिए $\sqrt{10000} = 100$ ठीक-ठीक आता है, तो 10,000 ख़ुद ही सबसे छोटा पूर्ण वर्ग है। छह अंकों के लिए $\sqrt{100000}$ लगभग 316.2 है, तो छह अंकों का सबसे छोटा पूर्ण वर्ग $317^2$ = 1,00,489 है।

सबसे छोटा पूर्ण वर्ग निकालते समय यह ज़रूर देखिए कि अंकों की संख्या विषम है या सम। अंकों की संख्या विषम हो, जैसे 10,000 में, तो n अंकों की सबसे छोटी संख्या ख़ुद पूर्ण वर्ग होती है। अंकों की संख्या सम हो, जैसे 1,00,000 में, तो वह पूर्ण वर्ग नहीं होती, और उससे बड़ा अगला वर्ग लेना पड़ता है।

[SSC टिप] जिन संख्याओं के अंत में 5 हो, उनका वर्ग झट से निकलता है। $\overline{n5}^2$ के लिए पहले $n \times (n + 1)$ लिखिए और उसके बाद 25 लगा दीजिए। जैसे $85^2$ = 7225, क्योंकि 8 × 9 = 72 और फिर 25। $315^2$ = 99,225, क्योंकि 31 × 32 = 992 और फिर 25। आगे इकाई अंक से वर्गमूल निकालते समय दायरा तय करने में यही काम आएगा।

इकाई अंक से वर्गमूल, वर्ग में सजाना

पूर्ण वर्ग का वर्गमूल, तीन कदमों में: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल लंबी भाग विधि के बिना भी निकल आता है।

1. अंतिम अंक: इकाई अंक वाली तालिका देखिए। इससे मूल के अंतिम अंक के दो विकल्प मिल जाते हैं।
2. आगे के भाग का दायरा: अंतिम दो अंक हटा दीजिए और देखिए कि बचा हुआ भाग किन दो वर्गों के बीच है। इससे मूल का पहला भाग मिल जाता है।
3. दो में से चुनाव: दोनों विकल्पों के बीच 5 पर ख़त्म होने वाली संख्या आती है। उसका वर्ग निकालकर दी गई संख्या से तुलना कीजिए।

जैसे 73441 का वर्गमूल निकालना है।

• इसके अंत में 1 है, तो मूल के अंत में 1 या 9 होगा।
• 41 हटाने पर 734 बचता है। $27^2 = 729$ और $28^2 = 784$ हैं, तो मूल 270 और 280 के बीच है, यानी 271 या 279।
• $275^2$ = 75,625 है (27 × 28 = 756, फिर 25)। यह 73,441 से बड़ा है, तो मूल 275 से कम है, यानी 271।

SSC में पाँच और छह अंकों वाले पूर्ण वर्ग आते हैं, और उन पर यह तरीका लंबी भाग विधि से कहीं तेज़ है।

चीज़ों को वर्ग में सजाना: सैनिक या छात्र वर्ग के आकार में खड़े करने हों, या पेड़ वर्ग के आकार में लगाने हों, तो पंक्तियाँ और स्तंभ बराबर होते हैं। इसलिए जितने सैनिक या पेड़ वर्ग में लगे, उनकी संख्या पूर्ण वर्ग होती है।

• कितने बचे, यह जानने के लिए संख्या में से वह सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग घटाइए, जो उसमें समा जाए।
• और कितने चाहिए, यह जानने के लिए अगले पूर्ण वर्ग में से संख्या घटाइए।

जैसे 4000 पौधे हैं। $63^2 = 3969$ है, तो 63 × 63 वाले वर्ग में 3969 पौधे लगेंगे और 31 बचेंगे। 64 × 64 वाला वर्ग बनाना हो, तो $64^2$ − 4000 = 4096 − 4000 = 96 पौधे और चाहिए।

कुछ बचें, फिर कुछ कम पड़ें: कभी-कभी प्रश्न इस तरह आता है, "एक सेनापति अपने सैनिकों को वर्ग में खड़ा करता है, तो 20 सैनिक बच जाते हैं। एक पंक्ति और एक स्तंभ बढ़ाने पर 41 सैनिक कम पड़ जाते हैं। सैनिक कितने हैं?"

मान लीजिए वर्ग की हर पंक्ति में $n$ सैनिक हैं। तब $n^2 + 20 = (n + 1)^2 - 41$ होगा। चूँकि $(n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1$ होता है, इसलिए $2n + 1 = 61$, यानी $n = 30$। सैनिक $30^2$ + 20 = 920 हैं।

यहाँ एक नियम काम आता है। दो क्रमागत वर्गों का अंतर उन दोनों संख्याओं के योग के बराबर होता है, $(n + 1)^2 - n^2 = n + (n + 1)$। जैसे $51^2 - 50^2 = 101$। जिन प्रश्नों में पहले कुछ बचें और फिर कुछ कम पड़ें, वे इसी से सबसे जल्दी हल होते हैं।

वर्ग सर्वसमिकाएँ, $a^2 - b^2$, पूर्ण घन

चार क्रमागत संख्याएँ, फिर + 1: चार क्रमागत संख्याओं का गुणनफल लेकर उसमें 1 जोड़ दें, तो हमेशा पूर्ण वर्ग मिलता है।

$$p(p+1)(p+2)(p+3) + 1 = (p^2 + 3p + 1)^2$$

जैसे $p = 4$ लें, तो 4 × 5 × 6 × 7 + 1 = 841 = $29^2$ आता है। सूत्र से भी $4^2 + 3 \times 4 + 1 = 29$ ही आता है।

ऐसा क्यों होता है, यह भी देख लीजिए। $p(p + 3) = p^2 + 3p$ है और $(p + 1)(p + 2) = p^2 + 3p + 2$। अब $m = p^2 + 3p + 1$ मान लीजिए। तो ये दोनों गुणनफल $m - 1$ और $m + 1$ हो जाते हैं, और $(m - 1)(m + 1) + 1 = m^2$।

दो वर्गों का अंतर: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ होता है। मान लीजिए $a$ और $b$ धनात्मक पूर्णांक हैं, और यह अंतर एक अभाज्य संख्या $q$ है। तब इस अंतर को दो गुणनखंडों में लिखने का एक ही तरीका है, $a - b = 1$ और $a + b = q$। जैसे $a^2 - b^2 = 19$ हो, तो $a = 10$ और $b = 9$।

अंतर कोई भाज्य संख्या हो, तो उसके वे गुणनखंड-जोड़े (छोटा × बड़ा) आज़माइए, जिनमें दोनों संख्याएँ विषम हों या दोनों सम। तभी $a$ और $b$ पूर्ण संख्याएँ आती हैं। जैसे $a^2 - b^2 = 45$ के लिए जोड़े 1 × 45, 3 × 15 और 5 × 9 हैं। इनसे $(a, b)$ = (23, 22), (9, 6) और (7, 2) मिलते हैं, यानी तीन हल।

एक बात और याद रखिए। जो संख्या 4 से भाग देने पर शेषफल 2 छोड़े, जैसे 6, 10 या 14, वह कभी $a^2 - b^2$ के रूप में नहीं लिखी जा सकती, क्योंकि उसके हर गुणनखंड-जोड़े में एक संख्या विषम और एक सम होती है।

पूर्ण घन, संक्षेप में: पूर्ण घन (perfect cube) में हर अभाज्य की घात 3 का गुणज होती है। सबसे छोटा गुणक निकालना हो, तो हर घात को 3 के अगले गुणज तक बढ़ाइए।

• $3456 = 2^7 \times 3^3$ में 2 को $2^9$ तक ले जाना है, तो $2^2 = 4$ से गुणा कीजिए। 3456 × 4 = 13,824 = $24^3$।
• भाग देकर घन बनाना हो, तो घात को नीचे वाले 3 के गुणज तक घटाइए। 2 से भाग देने पर 1728 = $12^3$ मिलता है।

घन का इकाई अंक भी काम आता है। जिस संख्या के अंत में 0, 1, 4, 5, 6 या 9 हो, उसके घन के अंत में भी वही अंक आता है। 2 और 8 आपस में बदल जाते हैं, और 3 और 7 भी, क्योंकि $2^3 = 8$, $8^3 = 512$, $3^3 = 27$ और $7^3 = 343$।

जैसे 3375 का घनमूल निकालना है। अंत में 5 है, तो मूल के अंत में भी 5 होगा। $10^3 = 1000$ और $20^3 = 8000$ हैं, तो मूल 10 और 20 के बीच है, यानी 15।

घनमूल में अंतिम तीन अंक हटाकर आगे के भाग का दायरा देखिए, और इकाई अंक से मूल का अंतिम अंक लीजिए। छह अंकों तक के पूर्ण घन का घनमूल इससे एक ही बार में निकल आता है।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

क्या 437 एक अभाज्य संख्या है?

उत्तर: पहले वर्गमूल का अंदाज़ा लगाते हैं। $20^2 = 400$ और $21^2 = 441$ हैं, तो $\sqrt{437}$ का मान 21 से ज़रा कम है। मतलब 19 तक की अभाज्य संख्याएँ जाँचनी हैं। 437 विषम है। इसके अंकों का योग 14 है, तो यह 3 से भी नहीं बँटेगा, और इसके अंत में 0 या 5 भी नहीं है। 7 से भाग दें तो 7 × 62 = 434, शेषफल 3 बचता है। 11 के लिए अंकों को बारी-बारी से घटाते-जोड़ते हैं, 7 − 3 + 4 = 8, जो 11 से नहीं बँटता। 13 से 13 × 33 = 429, शेषफल 8। 17 से 17 × 25 = 425, शेषफल 12। अब 19 से भाग देकर देखा, तो 19 × 23 = 437 आया, यानी पूरा-पूरा बँट गया। तो 437 = 19 × 23, यह अभाज्य नहीं है।

प्रश्न 2

7560 को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखिए तथा इसके गुणनखंडों की संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 7560 को 2 से भाग दिया तो 3780 आया, फिर 1890, फिर 945। यानी 2 से तीन बार भाग गया। अब 945 को 3 से भाग देते हैं, तो 315, फिर 105, फिर 35 आता है। यानी 3 से भी तीन बार भाग गया। 35 को 5 से भाग देने पर 7 बचता है, और 7 को 7 से भाग देने पर 1। तो $7560 = 2^3 \times 3^3 \times 5 \times 7$ हुआ। गुणनखंडों की संख्या = (3 + 1)(3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 4 × 4 × 2 × 2 = 64।

प्रश्न 3

540 के सभी गुणनखंडों का योग ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले $540 = 2^2 \times 3^3 \times 5$ लिखते हैं। अब हर अभाज्य का एक कोष्ठक बनाते हैं, (1 + 2 + 4)(1 + 3 + 9 + 27)(1 + 5) = 7 × 40 × 6 = 1680।

प्रश्न 4

2160 के कितने गुणनखंड विषम हैं और कितने सम?

उत्तर: $2160 = 2^4 \times 3^3 \times 5$ है। विषम गुणनखंड गिनने के लिए 2 को छोड़ देते हैं, तो (3 + 1)(1 + 1) = 8 विषम गुणनखंड हैं। सभी गुणनखंड (4 + 1)(3 + 1)(1 + 1) = 40 हैं। बाकी 40 − 8 = 32 सम गुणनखंड हैं।

प्रश्न 5

240 के विषम गुणनखंडों का योग तथा सम गुणनखंडों का योग ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $240 = 2^4 \times 3 \times 5$ है। विषम गुणनखंडों का योग (1 + 3)(1 + 5) = 24 है। सभी गुणनखंडों का योग (1 + 2 + 4 + 8 + 16)(1 + 3)(1 + 5) = 31 × 4 × 6 = 744 है। तो सम गुणनखंडों का योग 744 − 24 = 720 हुआ।

प्रश्न 6

3600 के कितने गुणनखंड पूर्ण वर्ग हैं?

उत्तर: $3600 = 2^4 \times 3^2 \times 5^2$ है। वर्ग गुणनखंड में हर घात सम होनी चाहिए। 2 के लिए $2^0$, $2^2$ या $2^4$ ले सकते हैं, यानी 3 विकल्प। 3 के लिए $3^0$ या $3^2$, यानी 2 विकल्प। 5 के लिए $5^0$ या $5^2$, यानी 2 विकल्प। तो 3 × 2 × 2 = 12 वर्ग गुणनखंड हैं।

प्रश्न 7

1764 के उन सभी गुणनखंडों का योग ज्ञात कीजिए, जो पूर्ण वर्ग हैं।

उत्तर: $1764 = 2^2 \times 3^2 \times 7^2$ है। हर कोष्ठक में केवल सम घातें रखते हैं, तो (1 + 4)(1 + 9)(1 + 49) = 5 × 10 × 50 = 2500।

प्रश्न 8

180 को दो प्राकृत संख्याओं के गुणनफल के रूप में कितने प्रकार से लिखा जा सकता है? इनमें से कितने प्रकारों में दोनों संख्याएँ सह-अभाज्य हैं?

उत्तर: $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ है, तो इसके (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18 गुणनखंड हैं। 180 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए गुणनखंडों के पूरे-पूरे जोड़े बनते हैं, 18 ÷ 2 = 9 प्रकार। सह-अभाज्य जोड़ों में हर अभाज्य घात, यानी 4, 9 और 5, पूरी की पूरी एक ही ओर जाती है। 3 अलग-अलग अभाज्य हैं, तो $2^{3-1} = 4$ जोड़े बनते हैं, 1 × 180, 4 × 45, 9 × 20 और 5 × 36। यानी इनमें से 4 सह-अभाज्य हैं।

प्रश्न 9

$a$ का वह अधिकतम मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए 24 × 36 × 50 × 18, $2^a$ से पूर्णतः विभाज्य हो।

उत्तर: हर संख्या में 2 कितनी बार है, यह गिन लेते हैं। 24 = $2^3 \times 3$ में 3 बार, 36 = $2^2 \times 3^2$ में 2 बार, 50 = $2 \times 5^2$ में 1 बार और 18 = $2 \times 3^2$ में भी 1 बार। कुल 3 + 2 + 1 + 1 = 7।

प्रश्न 10

7 की वह अधिकतम घात ज्ञात कीजिए, जिससे 500! पूर्णतः विभाज्य हो।

उत्तर: 500 को बार-बार 7 से भाग देते हैं और हर बार केवल पूर्णांक वाला हिस्सा लेते हैं। 500 ÷ 7 से 71, 71 ÷ 7 से 10 और 10 ÷ 7 से 1 मिलता है। जोड़ 71 + 10 + 1 = 82 है। मतलब 500!, $7^{82}$ से विभाज्य है, पर $7^{83}$ से नहीं।

प्रश्न 11 [Tier 2]

12 की वह अधिकतम घात ज्ञात कीजिए, जिससे 50! पूर्णतः विभाज्य हो।

उत्तर: 12 = $2^2 \times 3$ है। 50! में 2 की गिनती 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 47 है, तो इनसे $2^2$ के 23 समूह बनते हैं। 50! में 3 की गिनती 16 + 5 + 1 = 22 है। तो 3 पहले कम पड़ते हैं, और उत्तर 22 है।

प्रश्न 12

15 × 32 × 25 × 22 × 40 × 75 × 98 × 112 × 125 के गुणनफल के अंत में कितने शून्य होंगे?

उत्तर: 2 और 5 को अलग-अलग गिनते हैं।

• 2 के लिए 32 से 5, 22 से 1, 40 से 3, 98 से 1 और 112 से 4 मिले, यानी कुल 14।
• 5 के लिए 15 से 1, 25 से 2, 40 से 1, 75 से 2 और 125 से 3 मिले, यानी कुल 9।

छोटी गिनती 9 है, तो गुणनफल के अंत में 9 शून्य होंगे।

प्रश्न 13

250! के अंत में कितने शून्य होंगे?

उत्तर: यहाँ 5 गिनने हैं। 250 ÷ 5 = 50, 50 ÷ 5 = 10 और 10 ÷ 5 = 2, तो कुल 50 + 10 + 2 = 62। 2 तो इससे कहीं ज़्यादा हैं, इसलिए 250! के अंत में 62 शून्य होंगे।

प्रश्न 14

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती? (a) 1,23,904 (b) 2,41,081 (c) 5,32,416 (d) 6,09,961

उत्तर: चारों के अंत में 4, 1, 6 और 1 हैं, और ये सब पूर्ण वर्ग के अंत में आ सकते हैं। तो अंतिम अंक से कुछ पता नहीं चलता। अब अंकीय मूल देखते हैं। (a) में 1 + 2 + 3 + 9 + 0 + 4 = 19, और 1 + 9 = 10, तो अंकीय मूल 1 है। (b) में अंकों का योग 16 है, तो 7। (c) में 21 है, तो 3। (d) में 31 है, तो 4। पूर्ण वर्ग का अंकीय मूल केवल 1, 4, 7 या 9 हो सकता है, इसलिए (c) 5,32,416 पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती। बाकी तीनों $352^2$, $491^2$ और $781^2$ हैं।

प्रश्न 15

300 और 3000 के बीच कितने पूर्ण वर्ग हैं?

उत्तर: $17^2 = 289$ बहुत छोटा है, तो सीमा के भीतर पहला वर्ग $18^2 = 324$ है। $54^2 = 2916$ भीतर है, पर $55^2 = 3025$ बहुत बड़ा है। तो वर्ग $18^2$ से $54^2$ तक हैं, यानी 54 − 18 + 1 = 37।

प्रश्न 16

6000 में से कौन-सी न्यूनतम संख्या घटाई जाए कि परिणाम पूर्ण वर्ग हो? और कौन-सी न्यूनतम संख्या जोड़ी जाए कि परिणाम पूर्ण वर्ग हो?

उत्तर: $77^2 = 5929$ और $78^2 = 6084$ हैं, तो 6000 इन दोनों के बीच है। नीचे वाले वर्ग तक जाने के लिए घटाना होगा, 6000 − 5929 = 71। ऊपर वाले वर्ग तक जाने के लिए जोड़ना होगा, 6084 − 6000 = 84।

प्रश्न 17

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 2940 को गुणा करने पर पूर्ण वर्ग प्राप्त हो। प्राप्त पूर्ण वर्ग का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $2940 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7^2$ है। इसमें 3 और 5 की घातें विषम हैं, तो 3 × 5 = 15 से गुणा करना होगा। परिणाम 44,100 = $2^2 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^2$ आता है, जिसका वर्गमूल 2 × 3 × 5 × 7 = 210 है।

प्रश्न 18

वह सबसे छोटा पूर्ण वर्ग ज्ञात कीजिए, जो 10, 12, 15 और 18 में से प्रत्येक से विभाज्य हो।

उत्तर: 10, 12, 15 और 18 का ल.स. = 180 = $2^2 \times 3^2 \times 5$ है। इसमें 5 का कोई जोड़ीदार नहीं है, तो 5 से गुणा करते हैं, 180 × 5 = 900 = $30^2$।

प्रश्न 19

1,07,584 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: अंत में 4 है, तो मूल के अंत में 2 या 8 होगा। अंतिम दो अंक हटाने पर 1075 बचता है। $32^2 = 1024$ और $33^2 = 1089$ हैं, तो मूल 320 और 330 के बीच है, यानी 322 या 328। अब $325^2$ = 1,05,625 है (32 × 33 = 1056, फिर 25)। यह 1,07,584 से कम है, तो मूल 325 से ऊपर है, यानी 328।

प्रश्न 20

एक माली के पास 7000 पौधे हैं। वह इन्हें इस प्रकार लगाना चाहता है कि प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या, पंक्तियों की संख्या के बराबर हो। कितने पौधे बच जाएँगे? एक पंक्ति और एक स्तंभ और बढ़ाने के लिए उसे कितने और पौधों की आवश्यकता होगी?

उत्तर: $83^2 = 6889$ और $84^2 = 7056$ हैं। 83 पंक्तियों में 83-83 पौधे लगाएँ, तो 6889 पौधे लगेंगे और 7000 − 6889 = 111 बचेंगे। 84 पंक्तियों में 84-84 पौधे लगाने हों, तो 7056 − 7000 = 56 पौधे और चाहिए।

प्रश्न 21

$a$ और $b$ धनात्मक पूर्णांक हैं तथा $a^2 - b^2 = 31$ है। $a^2 + b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) = 31$ है, और 31 अभाज्य है। इसलिए $a - b = 1$ और $a + b = 31$ ही हो सकता है। इनसे $a = 16$ और $b = 15$ मिलते हैं। तो $a^2 + b^2$ = 256 + 225 = 481।

प्रश्न 22

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 1323 को गुणा करने पर पूर्ण घन प्राप्त हो।

उत्तर: $1323 = 3^3 \times 7^2$ है। 3 वाला हिस्सा पहले से पूरा घन है। 7 की घात 2 है, तो एक 7 और चाहिए। 7 से गुणा करने पर 1323 × 7 = 9261 = $21^3$ मिलता है।