प्रायिकता की मूल बातें

प्रयोग, परिणाम, प्रतिदर्श समष्टि, घटना

प्रायिकता का मतलब है किसी बात के होने की संभावना को एक संख्या में बताना। कोई भी सूत्र लगाने से पहले चार शब्द अच्छी तरह समझ लीजिए।

• प्रयोग (experiment) ऐसी क्रिया है जिसका नतीजा पहले से पता नहीं होता, फिर भी उसके सारे संभव नतीजे पता होते हैं। जैसे आँखें बंद करके 1 से 20 तक में से एक संख्या चुनना। सिक्का उछालना, पासा फेंकना या ताश की गड्डी से एक पत्ता निकालना भी प्रयोग ही है।
• परिणाम (outcome) प्रयोग का एक संभव नतीजा है। चुनी गई संख्या 13 हो, तो 13 एक परिणाम है।
• प्रतिदर्श समष्टि (sample space) सारे परिणामों की सूची है। इसे $S$ से दिखाते हैं, और इसके परिणामों की गिनती को $n(S)$ से।
• घटना (event) परिणामों का वह समूह है जिसे शब्दों में बताया जाए, जैसे "संख्या सम है"। घटना को $E$ से दिखाते हैं, और उसके परिणामों की गिनती को $n(E)$ से।

एक उदाहरण देखिए। प्रयोग है "1 से 20 तक में से एक संख्या चुनना"। इसमें $S = \{1, 2, 3, \dots, 20\}$ और $n(S) = 20$ है। अब घटना लीजिए "संख्या 6 का गुणज है"। तब $E = \{6, 12, 18\}$ है, और $n(E) = 3$।

नीचे कुछ और प्रयोग और उनकी प्रतिदर्श समष्टि देखिए।

पहले कुल गिनिए: हर प्रश्न में सबसे पहले यह गिनिए कि प्रतिदर्श समष्टि में कितने परिणाम हैं। संख्याएँ $a$ से $b$ तक हों और दोनों सम्मिलित हों, तो कुल $b - a + 1$ संख्याएँ होती हैं।

जैसे 15 से 40 तक $40 - 15 + 1 = 26$ संख्याएँ हैं, 25 नहीं। दो अंकों की संख्याएँ 10 से 99 तक होती हैं, तो वे $99 - 10 + 1 = 90$ हैं। इनकी गिनती 99 नहीं है, 100 भी नहीं।

यह गिनती गलत हुई, तो उत्तर भी गलत आएगा, भले ही घटना के परिणाम सही गिने गए हों।

सिक्कों और पासों की प्रतिदर्श समष्टि हम "सिक्के और पासे" वाले खंड में देखेंगे, और ताश और गेंदों की "ताश, गेंदें और थैले" वाले खंड में। इस खंड के प्रयोग संख्याओं, अक्षरों और सप्ताह के दिनों के हैं। इनमें बस ध्यान से गिनना होता है, और कुछ नहीं।

समसंभाव्य परिणाम और सूत्र

किसी प्रयोग के परिणाम समसंभाव्य (equally likely) तब कहलाते हैं, जब किसी एक का मौका किसी दूसरे से अधिक न हो। निष्पक्ष सिक्का, निष्पक्ष पासा और यादृच्छया (at random) चुनी गई संख्या, इन तीनों के परिणाम समसंभाव्य होते हैं। प्रश्न में "यादृच्छया" लिखा हो, तो उसका मतलब ठीक यही है।

जिन परिणामों में घटना घट जाती है, उन्हें अनुकूल परिणाम (favourable outcomes) कहते हैं। परिणाम समसंभाव्य हों, तो घटना $E$ की प्रायिकता यह होती है।

$$P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{परिणामों की कुल संख्या}} = \frac{n(E)}{n(S)}$$

जैसे 1 से 20 तक में से यादृच्छया एक संख्या चुनी गई, और उसके 4 का गुणज होने की प्रायिकता चाहिए। अनुकूल परिणाम 4, 8, 12, 16 और 20 हैं। तो प्रायिकता यह हुई।

$$P(\text{4 का गुणज}) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$$

विकल्प देखने से पहले भिन्न को काटकर न्यूनतम रूप में ले आइए। विकल्प न्यूनतम रूप में ही छपते हैं, तो वहाँ $\frac{5}{20}$ नहीं मिलेगा, $\frac{1}{4}$ मिलेगा।

जब परिणाम समसंभाव्य न हों: नीचे वाला चक्र देखिए। यह 8 बराबर भागों में बँटा है, जिनमें 3 भाग लाल हैं और 5 नीले। चक्र घुमाने पर सुई या तो लाल पर रुकेगी या नीले पर। पर लाल और नीला, ये दो नतीजे समसंभाव्य नहीं हैं, क्योंकि नीला रंग चक्र का अधिक भाग घेरता है।

कई छात्र सोचते हैं कि रंग दो हैं, तो लाल का मौका $\frac{1}{2}$ है। यह गलत है। यहाँ समसंभाव्य परिणाम तो 8 बराबर भाग हैं।

$$P(\text{लाल}) = \frac{3}{8}, \qquad P(\text{नीला}) = \frac{5}{8}$$

यही सोच दूसरी जगह भी काम आती है। मान लीजिए 1 से 10 तक में से एक संख्या चुनी गई, और पूछा गया कि उसके अभाज्य होने का मौका कितना है। यहाँ भी दो ही नतीजे दिखते हैं, अभाज्य और अभाज्य नहीं। पर ये दोनों समसंभाव्य नहीं हैं। समसंभाव्य परिणाम तो दसों संख्याएँ हैं, और इनमें 4 अभाज्य हैं, 2, 3, 5 और 7। तो $P(\text{अभाज्य}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$।

इसलिए सूत्र लगाने से पहले देख लीजिए कि प्रयोग के समसंभाव्य परिणाम कौन-से हैं। फिर उन्हीं को गिनिए।

प्रायिकता 0 से 1 तक

अनुकूल परिणाम प्रतिदर्श समष्टि का ही हिस्सा होते हैं। इसलिए $n(E)$ कम से कम 0 होता है और अधिक से अधिक $n(S)$। अब सबको $n(S)$ से भाग दे दीजिए, तो प्रायिकता की सीमा मिल जाती है।

$$0 \le P(E) \le 1$$

• असंभव घटना (impossible event) में एक भी अनुकूल परिणाम नहीं होता, इसलिए उसकी प्रायिकता 0 होती है। जैसे 1 से 20 तक में से ऐसी संख्या चुननी है जो 25 का गुणज हो। ऐसी एक भी संख्या नहीं है, तो प्रायिकता 0 है।
• निश्चित घटना (sure event या certain event) हर परिणाम में घटती है, इसलिए उसकी प्रायिकता 1 होती है। जैसे 1 से 20 तक में से ऐसी संख्या चुननी है जो 21 से छोटी हो। सारी 20 संख्याएँ ऐसी हैं, तो प्रायिकता $\frac{20}{20} = 1$ है।

बाकी हर घटना की प्रायिकता 0 और 1 के बीच होती है, दोनों सिरों को छोड़कर। प्रायिकता 1 के जितनी पास हो, घटना के घटने की संभावना उतनी अधिक होती है। 0 के जितनी पास हो, संभावना उतनी ही कम।

कौन-सा मान प्रायिकता नहीं हो सकता: परीक्षा में एक पंक्ति का यह प्रश्न आता है, "निम्नलिखित में से कौन-सा किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकता?" इसमें हर विकल्प को इसी सीमा पर जाँच लीजिए।

• $\frac{3}{7}$, 0.8, 0 और 1, ये सब प्रायिकता हो सकते हैं।
• $\frac{9}{8}$, 1.2 और 105% में से कोई भी प्रायिकता नहीं हो सकता, क्योंकि तीनों 1 से अधिक हैं।
• कोई ऋणात्मक संख्या, जैसे $-0.4$, कभी प्रायिकता नहीं होती।

भिन्न में अंश हर से बड़ा हो, तो भिन्न 1 से अधिक होती है। ऐसी भिन्न सबसे जल्दी पकड़ में आती है। प्रतिशत में भी यही नियम लगता है। प्रायिकता 0% से 100% तक हो सकती है, दोनों सम्मिलित।

निश्चित और बहुत संभव में अंतर: जिस घटना की प्रायिकता 0.99 है, वह बहुत संभव है, पर निश्चित नहीं। प्रायिकता 1 केवल उसी घटना की होती है जो हर एक परिणाम में घटे।

पूरक घटना: घटना का न घटना

हर परिणाम या तो $E$ में होता है, या नहीं होता। जो परिणाम $E$ में नहीं हैं, उन सबसे मिलकर घटना "नहीं $E$" बनती है। इसी को पूरक घटना (complement of an event) कहते हैं। इसे $\bar{E}$ या $E'$ भी लिखते हैं।

$E$ और "नहीं $E$" को मिला दें, तो हर परिणाम ठीक एक बार आ जाता है। इसलिए दोनों की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।

$$P(E) + P(\text{नहीं } E) = 1 \quad \Rightarrow \quad P(\text{नहीं } E) = 1 - P(E)$$

जैसे 1 से 50 तक में से एक संख्या चुनी गई, और उसके 7 का गुणज न होने की प्रायिकता चाहिए। 7 के गुणज 7, 14, 21, 28, 35, 42 और 49 हैं, तो $P(\text{7 का गुणज}) = \frac{7}{50}$, और गुणज न होने की प्रायिकता यह है।

$$P(\text{7 का गुणज नहीं}) = 1 - \frac{7}{50} = \frac{43}{50}$$

बाकी 43 संख्याओं की सूची बनाने बैठें, तो कहीं ज़्यादा समय लगेगा।

जब उलटी घटना छोटी हो: उलटी घटना को गिनना आसान हो, तो यही तरीका लगाइए। मान लीजिए 1 से 100 तक में से चुनी गई संख्या के पूर्ण वर्ग न होने की प्रायिकता चाहिए। पूर्ण वर्ग गिन लीजिए, $1, 4, 9, \dots, 100$, ये दस हैं। तो उत्तर $1 - \frac{10}{100} = \frac{9}{10}$ है।

दशमलव और प्रतिशत में: ट्रेन के देर से आने की प्रायिकता 0.15 है, तो उसके समय पर आने की प्रायिकता $1 - 0.15 = 0.85$ है। इसी तरह कल वर्षा का मौका 30% है, तो वर्षा न होने का मौका 70% है।

पूरक घटना सबसे ज़्यादा काम "कम से कम एक" वाले प्रश्नों में आती है। उन्हें "संयुक्त घटनाएँ" वाले खंड में देखेंगे।

[SSC टिप] प्रश्न में "नहीं" लिखा हो, तो विकल्पों में अक्सर $P(E)$ और $1 - P(E)$ दोनों दिए होते हैं। पढ़ते समय "नहीं" के नीचे रेखा खींच लीजिए, और उत्तर पर निशान लगाने से पहले एक बार देख लीजिए कि दोनों में से आपने कौन-सा निकाला है।

पक्ष और विपक्ष में संयोगानुपात

संयोगानुपात में अनुकूल परिणामों की तुलना प्रतिकूल परिणामों से होती है, कुल परिणामों से नहीं। प्रतिकूल परिणाम वे हैं जिनमें घटना नहीं घटती। किसी घटना के लिए दो अनुपात लिखे जाते हैं, पक्ष में संयोगानुपात (odds in favour) और विपक्ष में संयोगानुपात (odds against)।

$$\text{पक्ष में संयोगानुपात} = \text{अनुकूल} : \text{प्रतिकूल}, \qquad \text{विपक्ष में संयोगानुपात} = \text{प्रतिकूल} : \text{अनुकूल}$$

जैसे 1 से 12 तक में से एक संख्या चुनी गई। इनमें 2, 3, 5, 7 और 11 अभाज्य हैं, यानी पाँच संख्याएँ। बाकी सात अभाज्य नहीं हैं। तो अभाज्य होने के पक्ष में संयोगानुपात $5 : 7$ है, विपक्ष में $7 : 5$, और $P(\text{अभाज्य}) = \frac{5}{12}$ है।

संयोगानुपात से प्रायिकता: पक्ष में संयोगानुपात $a : b$ हो, तो हर $a + b$ समसंभाव्य परिणामों में $a$ अनुकूल होते हैं। तो प्रायिकताएँ ये होंगी।

$$P(E) = \frac{a}{a + b}, \qquad P(\text{नहीं } E) = \frac{b}{a + b}$$

• पक्ष में $5 : 3$ हो, तो $P(E) = \frac{5}{5 + 3} = \frac{5}{8}$ होगी।
• विपक्ष में $7 : 4$ हो, तो ध्यान रखिए कि यहाँ प्रतिकूल गिनती पहले लिखी है। अनुकूल गिनती 4 है, तो $P(E) = \frac{4}{11}$ होगी।

प्रायिकता से संयोगानुपात: मान लीजिए $P(E) = \frac{2}{11}$ है। मतलब 11 में से 2 परिणाम अनुकूल हैं और 9 नहीं। तो पक्ष में संयोगानुपात $2 : 9$ हुआ और विपक्ष में $9 : 2$।

जल्दबाज़ी में कई लोग संयोगानुपात $3 : 4$ देखते ही प्रायिकता $\frac{3}{4}$ लिख देते हैं। पर 4 तो केवल प्रतिकूल परिणामों की गिनती है। कुल $3 + 4 = 7$ है, तो प्रायिकता $\frac{3}{7}$ होगी। याद रखिए, भिन्न के हर में हमेशा अनुपात के दोनों पदों का योग आता है।

कौन-सा पद पहले: "पक्ष में" हो, तो अनुकूल गिनती से शुरू कीजिए, और "विपक्ष में" हो, तो प्रतिकूल गिनती से। पक्ष में $a : b$ और विपक्ष में $b : a$, दोनों एक ही घटना की बात कहते हैं।

यादृच्छया संख्या: सम, विषम, अभाज्य, वर्ग

1 से $n$ तक में से एक संख्या चुनी जाए, तो कुल परिणाम $n$ होते हैं। असली काम अनुकूल संख्याओं को गिनना है। संख्याओं से जुड़े नियम हम अध्याय 1 (संख्या पद्धति, म.स. और ल.स.) में पढ़ चुके हैं। यहाँ केवल वे गिनतियाँ देखेंगे जो प्रश्नों में काम आती हैं।

सम और विषम: 1 से 40 तक सम और विषम संख्याएँ 20-20 हैं। पर $n$ विषम हो, तो विषम संख्याएँ एक अधिक होती हैं। जैसे 1 से 35 तक 18 विषम हैं और 17 सम, तो $P(\text{विषम}) = \frac{18}{35}$।

किसी संख्या के गुणज: $n$ को उस संख्या से भाग दीजिए और शेषफल छोड़ दीजिए। जैसे 1 से 70 तक 8 के गुणज गिनने हैं। $70 \div 8 = 8$, और शेषफल 6 बचा। तो 8 गुणज हैं, 8, 16 और इसी तरह 64 तक। इसलिए $P = \frac{8}{70} = \frac{4}{35}$।

अभाज्य संख्याएँ: 1 अभाज्य नहीं है, और 2 अकेली सम अभाज्य संख्या है। नीचे वाली गिनतियाँ ज़बानी याद रखिए।

जैसे 1 से 50 तक में से संख्या चुनी जाए, तो $P(\text{अभाज्य}) = \frac{15}{50} = \frac{3}{10}$ है। किसी ने 1 को भी अभाज्य गिन लिया, तो $\frac{16}{50} = \frac{8}{25}$ आएगा, और यह गलत मान विकल्पों में अक्सर दिया होता है।

पूर्ण वर्ग और पूर्ण घन: पूर्ण वर्ग गिनने हों, तो वे पूर्ण संख्याएँ गिनिए जिनका वर्ग $n$ से अधिक न हो। पूर्ण घन के लिए यही काम घन से कीजिए। 1 से 60 तक पूर्ण वर्ग 1, 4, 9, 16, 25, 36 और 49 हैं, यानी सात। तो $P = \frac{7}{60}$। 1 से 100 तक पूर्ण घन 1, 8, 27 और 64 हैं, तो $P = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$।

ध्यान रखिए, 1 पूर्ण वर्ग भी है और पूर्ण घन भी। इसे गिनना मत भूलिए।

गुणनखंड: "24 का गुणनखंड" वाले प्रश्न में गुणनखंड जोड़ों में लिखिए, $1 \times 24$, $2 \times 12$, $3 \times 8$ और $4 \times 6$। कुल 8 गुणनखंड हुए। संख्या 1 से 24 तक में से चुनी गई हो, तो प्रायिकता $\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ है। जोड़ों में लिखने से 1 और ख़ुद वह संख्या छूटते नहीं।

एक या दूसरी संख्या के गुणज

"3 या 5 का गुणज" का मतलब है 3 का गुणज, 5 का गुणज, या दोनों का। इसके लिए दोनों सूचियाँ अलग-अलग गिनिए, फिर जो संख्याएँ दो बार गिनी गईं, उन्हें घटा दीजिए।

जैसे 1 से 30 तक 3 के गुणज 10 हैं और 5 के गुणज 6। पर 15 और 30 दोनों सूचियों में हैं। चित्र में ये हरे खानों में दिखाए गए हैं। 10 और 6 जोड़ते समय ये दो बार गिन लिए गए। तो सही गिनती यह है।

$$10 + 6 - 2 = 14, \qquad P(\text{3 या 5 का गुणज}) = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}$$

दो बार गिनी गई संख्याएँ दोनों संख्याओं के ल.स. (LCM) के गुणज होती हैं, यहाँ 15 के। सामान्य रूप में नियम यह है।

$$\text{गुणज: } a \text{ या } b = \text{गुणज: } a + \text{गुणज: } b - \text{गुणज: ल.स.}(a, b)$$

अब 1 से 50 तक देखिए। 3 के गुणज 16 हैं, 5 के 10 और 15 के 3। तो $16 + 10 - 3 = 23$ संख्याएँ हुईं, और प्रायिकता $\frac{23}{50}$। केवल 16 और 10 जोड़ देंगे, तो $\frac{26}{50} = \frac{13}{25}$ आएगा। इसमें 15, 30 और 45 दो बार गिने गए हैं।

"और" वाले प्रश्न: "और" में केवल वे संख्याएँ चाहिए जो दोनों सूचियों में हों। 4 और 6 दोनों का गुणज मतलब उनके ल.स. 12 का गुणज, 24 का नहीं। 1 से 50 तक ये 12, 24, 36 और 48 हैं, तो प्रायिकता $\frac{4}{50} = \frac{2}{25}$ है।

"कोई भी नहीं": यह पूरक घटना है। 1 से 30 तक जो संख्याएँ न 3 की गुणज हैं, न 5 की, वे $30 - 14 = 16$ हैं। तो प्रायिकता $\frac{16}{30} = \frac{8}{15}$ है।

एक सूची या दूसरी, पर दोनों नहीं: दोनों सूचियाँ गिनिए, फिर साझा संख्याएँ दो बार घटाइए, हर सूची से एक बार। 1 से 30 तक ऐसी संख्याएँ, जो 3 या 5 की गुणज हों पर दोनों की नहीं, $10 + 6 - 2 \times 2 = 12$ हैं। प्रायिकता $\frac{12}{30} = \frac{2}{5}$ हुई।

सीमा 1 से शुरू न हो तब: ऊपरी सिरे तक के गुणज गिनिए, फिर निचले सिरे से नीचे वाले गुणज घटा दीजिए। जैसे 20 से 80 तक 7 के गुणज चाहिए। 80 तक 11 गुणज हैं और 19 तक 2, तो $11 - 2 = 9$। ये 21, 28 और इसी तरह 77 तक हैं। कुल संख्याएँ $80 - 20 + 1 = 61$ हैं, तो प्रायिकता $\frac{9}{61}$ है।

दो अंकों की संख्या, अंकों पर शर्त

दो अंकों की संख्याएँ 10 से 99 तक होती हैं, कुल 90। ऐसे हर प्रश्न में कुल 90 ही रहेगा। दहाई अंक 1 से 9 तक कुछ भी हो सकता है, और इकाई अंक 0 से 9 तक। पहले देखिए कि प्रश्न की शर्त दहाई अंक और इकाई अंक पर क्या रोक लगाती है, फिर गिनिए।

दोनों अंक एक जैसे: 11, 22, 33 और इसी तरह 99 तक, कुल 9 संख्याएँ हैं। तो $P = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$।

अंकों का योग दिया हो: योग 8 के लिए 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71 और 80 हैं, यानी 8 संख्याएँ। तो $P = \frac{8}{90} = \frac{4}{45}$। 80 इस सूची में है, क्योंकि इकाई अंक 0 हो सकता है। पर 08 नहीं है, क्योंकि दो अंकों की संख्या 0 से शुरू नहीं होती।

दहाई अंक इकाई अंक से बड़ा: दहाई अंक 1 हो, तो इकाई अंक केवल 0 हो सकता है। ऐसी बस एक संख्या है, 10। दहाई अंक 2 हो, तो इकाई अंक 0 या 1 हो सकता है, यानी दो संख्याएँ। इसी तरह आगे बढ़ते जाइए। दहाई अंक 9 पर नौ संख्याएँ मिलेंगी। कुल $1 + 2 + \dots + 9 = 45$ संख्याएँ हुईं, तो $P = \frac{45}{90} = \frac{1}{2}$।

कोई अंक कम से कम एक बार: मान लीजिए ऐसी संख्याएँ चाहिए जिनमें कम से कम एक 5 हो। दहाई अंक 5 हो, तो 50 से 59 तक दस संख्याएँ हैं। इकाई अंक 5 हो, तो 15, 25 और इसी तरह 95 तक नौ संख्याएँ। 55 दोनों सूचियों में है, तो गिनती $10 + 9 - 1 = 18$ हुई, और $P = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}$।

किसी संख्या से विभाज्य: 8 के दो अंकों वाले गुणज $16 = 8 \times 2$ से $96 = 8 \times 12$ तक हैं। यानी $12 - 2 + 1 = 11$ संख्याएँ, और $P = \frac{11}{90}$।

तीन अंकों की संख्याएँ 100 से 999 तक होती हैं, कुल 900। उनमें भी गिनती का ढंग यही है।

शब्द में से एक अक्षर

शब्द का हर अक्षर एक परिणाम है, दोहराए गए अक्षर भी। जैसे शब्द PROBABILITY में 11 अक्षर हैं।

P, R, O, B, A, B, I, L, I, T, Y

तो $n(S) = 11$ है, भले ही अलग-अलग अक्षर केवल 9 हैं। B और I दो-दो बार आए हैं।

• B के चुने जाने की प्रायिकता $P(\text{B}) = \frac{2}{11}$ है।
• स्वर O, A, I, I हैं, कुल 4, तो $P(\text{स्वर}) = \frac{4}{11}$। स्वर केवल A, E, I, O, U माने जाते हैं, Y को व्यंजन गिनते हैं।

दोहराए अक्षर हर बार गिनिए: ACCOMMODATION में 13 अक्षर हैं।

तो $P(\text{O}) = \frac{3}{13}$। व्यंजन C, C, M, M, D, T, N हैं, इसलिए $P(\text{व्यंजन}) = \frac{7}{13}$। कुछ छात्र 8 अलग-अलग अक्षरों से हिसाब लगाकर $P(\text{O}) = \frac{1}{8}$ लिख देते हैं, मानो शब्द में तीन की जगह एक ही O हो।

वर्णमाला में से एक अक्षर: अंग्रेज़ी वर्णमाला में 26 अक्षर हैं, 5 स्वर और 21 व्यंजन। तो $P(\text{स्वर}) = \frac{5}{26}$।

वर्णमाला का अक्षर, जो शब्द में हो: अब प्रतिदर्श समष्टि वर्णमाला है, जिसमें हर अक्षर एक ही बार है। इसलिए शब्द के अलग-अलग अक्षर गिनिए। जैसे MATHEMATICS में आठ अलग-अलग अक्षर हैं, M, A, T, H, E, I, C, S। वर्णमाला से चुना गया अक्षर इनमें से एक हो, इसकी प्रायिकता $\frac{8}{26} = \frac{4}{13}$ है।

इस शब्द के सारे 11 अक्षर तभी गिने जाते हैं, जब अक्षर उसी शब्द में से चुना जाए।

कैलेंडर: वर्ष में 53 रविवार

सप्ताह में 7 दिन होते हैं, और $365 = 52 \times 7 + 1$। यानी साधारण वर्ष में 52 पूरे सप्ताह होते हैं और 1 अतिरिक्त दिन। 52 सप्ताहों में हर दिन 52 बार आ जाता है।

अतिरिक्त दिन सप्ताह के 7 दिनों में से कोई भी हो सकता है। वर्ष में 53 रविवार तभी होंगे, जब वह दिन रविवार हो।

$$P(\text{साधारण वर्ष में 53 रविवार}) = \frac{1}{7}$$

लीप वर्ष में $366 = 52 \times 7 + 2$ दिन होते हैं, यानी 2 अतिरिक्त दिन। ये दोनों दिन सप्ताह में एक-दूसरे के ठीक बाद आते हैं, तो 7 जोड़े संभव हैं।

रविवार 7 में से 2 जोड़ों में है, पहले और आख़िरी में।

$$P(\text{लीप वर्ष में 53 रविवार}) = \frac{2}{7}$$

लीप वर्ष को भी 365 दिन का मान लेंगे, तो $\frac{1}{7}$ आएगा। यह तो साधारण वर्ष का उत्तर है।

दो दिनों वाले "या" और "और" के प्रश्न: ऐसे प्रश्नों का उत्तर उन्हीं सात जोड़ों से सीधे पढ़ लीजिए।

• 53 रविवार या 53 सोमवार के लिए जोड़े 1, 2 और 7 देखिए, इनमें रविवार या सोमवार है। प्रायिकता $\frac{3}{7}$ है।
• 53 रविवार और 53 सोमवार, दोनों एक साथ तभी होंगे, जब जोड़ा 1 आए। प्रायिकता $\frac{1}{7}$ है।
• 53 रविवार और 53 बुधवार किसी भी जोड़े में साथ नहीं आते, क्योंकि दोनों अतिरिक्त दिन साथ-साथ होते हैं। यह असंभव घटना है, प्रायिकता 0।

महीने: यही बात महीनों पर भी लगती है। 31 दिन के महीने में 4 सप्ताह होते हैं और 3 अतिरिक्त दिन, जो लगातार आते हैं। ये तीन दिन सप्ताह के 7 दिनों में से किसी से भी शुरू हो सकते हैं। रविवार इन 7 क्रमों में से 3 में आता है, तो 5 रविवार की प्रायिकता $\frac{3}{7}$ है।

30 दिन के महीने में 2 अतिरिक्त दिन होते हैं, तो प्रायिकता $\frac{2}{7}$। लीप वर्ष की फ़रवरी में 29 दिन होते हैं, तो $\frac{1}{7}$। साधारण वर्ष की फ़रवरी में ठीक 4 सप्ताह होते हैं, इसलिए उसमें 5 रविवार होना असंभव है।

[SSC टिप] प्रश्न में कोई खास वर्ष दिया हो, तो पहले तय कीजिए कि वह लीप वर्ष है या नहीं। 4 से विभाज्य वर्ष लीप वर्ष होता है। शताब्दी वर्ष इसमें अपवाद हैं। वह तभी लीप वर्ष होता है, जब 400 से विभाज्य हो। इसलिए 2024 और 2000 लीप वर्ष हैं, पर 1900 और 2100 नहीं।

भिन्न, दशमलव या प्रतिशत में

एक ही प्रायिकता तीन रूपों में लिखी जा सकती है, और तीनों का मतलब एक ही है।

$$\frac{3}{8} = 0.375 = 37.5\%$$

भिन्न को प्रतिशत में बदलना हो, तो 100 से गुणा कीजिए, $\frac{3}{8} \times 100 = 37.5$। वापस भिन्न में लाना हो, तो 100 से भाग देकर काट लीजिए, $35\% = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$।

अध्याय 3 (प्रतिशत) वाली भिन्न और प्रतिशत की तालिका यहाँ भी समय बचाती है।

जब प्रश्न प्रतिशत में माँगे: 1 से 40 तक में से एक संख्या चुनी गई। उसके 5 का गुणज होने की प्रायिकता $\frac{8}{40} = \frac{1}{5}$ है, जो प्रतिशत में 20% हुई। उत्तर उसी रूप में लिखिए जो प्रश्न माँगे, क्योंकि विकल्प भी उसी रूप में छपे होंगे।

पूरक घटना हर रूप में: किसी घटना की प्रायिकता 0.36 है, तो उसके न घटने की प्रायिकता $1 - 0.36 = 0.64$ है, यानी 64%। प्रायिकता प्रतिशत में दी हो, तो उसे 100% में से घटा दीजिए।

प्रायिकताओं की तुलना: मान लीजिए तीन घटनाएँ हैं। A की प्रायिकता $\frac{5}{12}$ है, B की 0.4 और C की 42%। पूछा गया है कि कौन-सी घटना सबसे अधिक संभव है। तीनों को दशमलव में लिख लीजिए। A के लिए $\frac{5}{12} = 0.4166\ldots$ आता है, B का 0.40 है और C का 0.42। तो C सबसे अधिक संभव है, पर A से बस ज़रा-सा आगे।

सब कुछ एक रूप में बदलने में कुछ ही सेकंड लगते हैं। इससे संख्याओं की शक्ल देखकर अंदाज़ा लगाने की गलती नहीं होती।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

18 से 54 तक (दोनों सम्मिलित) की संख्याओं में से एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इसके 6 का गुणज होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{7}{36}$ (b) $\frac{7}{37}$ (c) $\frac{1}{6}$ (d) $\frac{6}{37}$

उत्तर: सबसे पहले कुल गिन लेते हैं। 18 से 54 तक $54 - 18 + 1 = 37$ संख्याएँ हैं, 36 नहीं। इनमें 6 के गुणज 18, 24, 30, 36, 42, 48 और 54 हैं, यानी 7। तो प्रायिकता (b) $\frac{7}{37}$ है। यहाँ सीमा के दोनों सिरे ख़ुद 6 के गुणज हैं, इसलिए जाँच लेते हैं कि 18 और 54 दोनों गिने गए हैं या नहीं।

प्रश्न 2

1 से 40 तक की संख्याओं में से एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इसके 40 का गुणनखंड होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{5}$ (b) $\frac{3}{20}$ (c) $\frac{7}{40}$ (d) $\frac{1}{4}$

उत्तर: 40 के गुणनखंड जोड़ों में लिख लेते हैं, $1 \times 40$, $2 \times 20$, $4 \times 10$ और $5 \times 8$। यानी कुल 8 गुणनखंड हैं। प्रायिकता $\frac{8}{40}$ हुई, जो काटने पर (a) $\frac{1}{5}$ रह जाती है। जोड़ों में लिखने का फ़ायदा यह है कि 1 और 40 छूटते नहीं।

प्रश्न 3

एक चक्र को 12 बराबर भागों में बाँटा गया है, जिनमें से 5 भाग लाल, 4 भाग हरे और 3 भाग पीले हैं। चक्र को एक बार घुमाया जाता है। सुई के लाल भाग पर न रुकने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{2}{3}$ (b) $\frac{5}{12}$ (c) $\frac{7}{12}$ (d) $\frac{1}{3}$

उत्तर: यहाँ समसंभाव्य परिणाम 12 बराबर भाग हैं, 3 रंग नहीं। लाल के 5 भाग हैं, तो बाकी $4 + 3 = 7$ भाग लाल नहीं हैं। इसलिए प्रायिकता (c) $\frac{7}{12}$ है। कोई सोचे कि तीन में से दो रंग लाल नहीं हैं, तो वह $\frac{2}{3}$ लिख देगा। पर हरा और पीला मिलकर भी चक्र का दो-तिहाई भाग नहीं घेरते।

प्रश्न 4

निम्नलिखित में से कौन-सा किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकता? (a) $\frac{2}{3}$ (b) 0 (c) $\frac{13}{12}$ (d) 1

उत्तर: प्रायिकता 0 से 1 तक ही होती है, दोनों सम्मिलित। 0 और 1 तो मान्य हैं, ये असंभव घटना और निश्चित घटना की प्रायिकताएँ हैं। $\frac{2}{3}$ इन दोनों के बीच है, वह भी ठीक है। $\frac{13}{12}$ में अंश हर से बड़ा है, तो यह 1 से अधिक है। इसलिए (c) $\frac{13}{12}$ प्रायिकता नहीं हो सकता।

प्रश्न 5

1 से 60 तक की संख्याओं में से एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इसके 4 का गुणज न होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{3}{4}$ (b) $\frac{1}{4}$ (c) $\frac{4}{5}$ (d) $\frac{11}{15}$

उत्तर: बाकी संख्याएँ गिनने के बजाय 4 के गुणज गिनना जल्दी होता है, $60 \div 4 = 15$। तो 4 का गुणज होने की प्रायिकता $\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ है। गुणज न होने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{4}$, यानी (a) $\frac{3}{4}$ है।

प्रश्न 6

किसी घटना के पक्ष में संयोगानुपात 4 : 9 है। उस घटना के घटित होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{4}{9}$ (b) $\frac{9}{13}$ (c) $\frac{5}{13}$ (d) $\frac{4}{13}$

उत्तर: पक्ष में 4 : 9 का मतलब है कि हर 9 प्रतिकूल परिणामों पर 4 अनुकूल हैं। कुल $4 + 9 = 13$ परिणाम हुए, और उनमें से 4 अनुकूल हैं। तो प्रायिकता (d) $\frac{4}{13}$ है। $\frac{4}{9}$ लिखना गलत होगा, क्योंकि 9 तो केवल प्रतिकूल परिणाम हैं, कुल नहीं।

प्रश्न 7

किसी घटना की प्रायिकता $\frac{3}{11}$ है। उस घटना के विपक्ष में संयोगानुपात क्या है? (a) 3 : 8 (b) 8 : 3 (c) 11 : 3 (d) 8 : 11

उत्तर: 11 में से 3 परिणाम अनुकूल हैं, तो $11 - 3 = 8$ प्रतिकूल हैं। विपक्ष में संयोगानुपात लिखते समय प्रतिकूल गिनती पहले आती है। इसलिए उत्तर (b) 8 : 3 है।

प्रश्न 8

1 से 40 तक की संख्याओं में से एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इसके अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{13}{40}$ (b) $\frac{11}{40}$ (c) $\frac{1}{4}$ (d) $\frac{3}{10}$

उत्तर: पहले 40 तक की अभाज्य संख्याएँ लिख लेते हैं, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 और 37। ये 12 हैं। प्रायिकता $\frac{12}{40}$ हुई, जो न्यूनतम रूप में (d) $\frac{3}{10}$ है। सूची में 1 नहीं है, क्योंकि 1 अभाज्य नहीं होता। पर 2 है, क्योंकि 2 अभाज्य है।

प्रश्न 9

1 से 60 तक की संख्याओं में से एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इसके 4 या 6 का गुणज होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{3}$ (b) $\frac{5}{12}$ (c) $\frac{1}{12}$ (d) $\frac{1}{4}$

उत्तर: दोनों के गुणज अलग-अलग गिनते हैं। 4 के गुणज $60 \div 4 = 15$ हैं और 6 के गुणज $60 \div 6 = 10$। 4 और 6 का ल.स. 12 है, और 12 के गुणज दोनों सूचियों में आ गए हैं। ये $60 \div 12 = 5$ हैं। तो गिनती $15 + 10 - 5 = 20$ हुई, और प्रायिकता $\frac{20}{60}$, मतलब (a) $\frac{1}{3}$। 5 घटाना भूल गए, तो 15 और 10 जोड़कर $\frac{25}{60} = \frac{5}{12}$ आएगा।

प्रश्न 10

1 से 100 तक की संख्याओं में से एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इसके पूर्ण वर्ग या पूर्ण घन होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{7}{50}$ (b) $\frac{1}{10}$ (c) $\frac{3}{25}$ (d) $\frac{13}{100}$

उत्तर: दोनों सूचियाँ बना लेते हैं। पूर्ण वर्ग 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 और 100 हैं, यानी 10। पूर्ण घन 1, 8, 27 और 64, कुल 4 हैं। 1 और 64 दोनों सूचियों में हैं, इन्हें एक ही बार गिनना है। तो $10 + 4 - 2 = 12$, और प्रायिकता $\frac{12}{100}$ हुई। काटने पर (c) $\frac{3}{25}$ मिलता है।

प्रश्न 11

दो अंकों की एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इसके अंकों का योग 12 होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{4}{45}$ (b) $\frac{7}{90}$ (c) $\frac{7}{99}$ (d) $\frac{1}{15}$

उत्तर: दो अंकों की संख्याएँ कुल 90 हैं। अंकों का योग 12 हो, तो दहाई अंक कम से कम 3 होगा, क्योंकि इकाई अंक अधिक से अधिक 9 हो सकता है। ऐसी संख्याएँ 39, 48, 57, 66, 75, 84 और 93 हैं, कुल सात। 90 में से 7, यानी (b) $\frac{7}{90}$।

प्रश्न 12

दो अंकों की एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इसके दोनों अंकों के विषम होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{4}$ (b) $\frac{1}{2}$ (c) $\frac{2}{9}$ (d) $\frac{5}{18}$

उत्तर: दहाई अंक 1, 3, 5, 7 या 9 हो सकता है, और इकाई अंक भी इन्हीं में से कोई। दहाई के 5 अंकों में से हर एक के साथ इकाई के 5 अंक आ सकते हैं। तो ऐसी $5 \times 5 = 25$ संख्याएँ हैं, 11 से लेकर 99 तक। 90 दो अंकों वाली संख्याओं में से 25 अनुकूल हैं, तो प्रायिकता $\frac{25}{90}$ हुई। अंश और हर दोनों को 5 से भाग देने पर (d) $\frac{5}{18}$ आता है।

प्रश्न 13

दो अंकों की एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इसके पूर्ण वर्ग होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{15}$ (b) $\frac{2}{33}$ (c) $\frac{1}{9}$ (d) $\frac{7}{90}$

उत्तर: दो अंकों वाले पूर्ण वर्ग $4^2 = 16$ से शुरू होते हैं और $9^2 = 81$ पर ख़त्म। ये 16, 25, 36, 49, 64 और 81 हैं। 90 में से 6, तो प्रायिकता $\frac{6}{90}$, यानी (a) $\frac{1}{15}$। हर में भूल से 99 ले लेते, तो $\frac{6}{99} = \frac{2}{33}$ आ जाता।

प्रश्न 14

शब्द STATISTICS में से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है। इसके व्यंजन होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{3}{5}$ (b) $\frac{3}{10}$ (c) $\frac{7}{10}$ (d) $\frac{1}{2}$

उत्तर: STATISTICS में 10 अक्षर हैं, S, T, A, T, I, S, T, I, C, S। इनमें स्वर A, I, I हैं, तो व्यंजन $10 - 3 = 7$ हुए। प्रायिकता (c) $\frac{7}{10}$ है। हर S और हर T को अलग-अलग गिना है, क्योंकि इनमें से कोई भी अक्षर चुना जा सकता है।

प्रश्न 15

शब्द MISSISSIPPI में से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है। इसके S होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{4}$ (b) $\frac{4}{11}$ (c) $\frac{4}{7}$ (d) $\frac{3}{11}$

उत्तर: इस शब्द में 11 अक्षर हैं। M एक बार आया है, I चार बार, S चार बार और P दो बार। 11 में से चार S हैं, तो प्रायिकता (b) $\frac{4}{11}$ है। अलग-अलग अक्षर केवल 4 हैं, पर चारों का मौका बराबर नहीं है। एक बार आने वाले M के चुने जाने का मौका चार बार आने वाले S जितना नहीं हो सकता।

प्रश्न 16

अंग्रेज़ी वर्णमाला में से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है। इसके शब्द LETTER के अक्षरों में से एक होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{3}{13}$ (b) $\frac{1}{26}$ (c) $\frac{2}{3}$ (d) $\frac{2}{13}$

उत्तर: यहाँ ध्यान देने वाली बात यह है कि अक्षर वर्णमाला में से चुना गया है, शब्द में से नहीं। वर्णमाला के 26 अक्षरों में हर अक्षर केवल एक बार है। LETTER में चार अलग-अलग अक्षर हैं, L, E, T और R। तो 26 में से 4 अनुकूल हैं, और प्रायिकता $\frac{4}{26}$, यानी (d) $\frac{2}{13}$।

प्रश्न 17

किसी साधारण वर्ष (जो लीप वर्ष नहीं है) में 53 शुक्रवार होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{7}$ (b) $\frac{2}{7}$ (c) $\frac{6}{7}$ (d) $\frac{53}{365}$

उत्तर: साधारण वर्ष में 365 दिन होते हैं, यानी 52 सप्ताह और 1 दिन। 52 सप्ताहों में 52 शुक्रवार तो आ ही गए। बचा हुआ एक अतिरिक्त दिन 7 दिनों में से कोई भी हो सकता है। वह शुक्रवार हो, तभी वर्ष में 53वाँ शुक्रवार आएगा। तो प्रायिकता (a) $\frac{1}{7}$ है।

प्रश्न 18

किसी लीप वर्ष में 53 शुक्रवार या 53 शनिवार होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{4}{7}$ (b) $\frac{2}{7}$ (c) $\frac{3}{7}$ (d) $\frac{1}{7}$

उत्तर: लीप वर्ष में 52 सप्ताह और 2 दिन होते हैं, और ये 2 अतिरिक्त दिन एक-दूसरे के ठीक बाद आते हैं। ऐसे 7 जोड़े संभव हैं, (रविवार, सोमवार) से (शनिवार, रविवार) तक। इनमें शुक्रवार या शनिवार वाले जोड़े (गुरुवार, शुक्रवार), (शुक्रवार, शनिवार) और (शनिवार, रविवार) हैं। 7 में से 3 जोड़े, तो प्रायिकता (c) $\frac{3}{7}$ है। शुक्रवार के 2 जोड़े और शनिवार के 2 जोड़े अलग-अलग ले लिए, तो (शुक्रवार, शनिवार) दो बार गिना जाएगा और $\frac{4}{7}$ आएगा।

प्रश्न 19

30 दिनों वाला एक महीना चुना जाता है। उसमें 5 बुधवार होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{3}{7}$ (b) $\frac{2}{7}$ (c) $\frac{1}{7}$ (d) $\frac{1}{6}$

उत्तर: 30 दिन यानी 4 सप्ताह और 2 दिन। महीने में हर दिन 4 बार आता है, और ऊपर से 2 अतिरिक्त दिन होते हैं, जो एक-दूसरे के ठीक बाद आते हैं। बुधवार 7 संभव जोड़ों में से 2 में है, (मंगलवार, बुधवार) और (बुधवार, गुरुवार)। तो 5 बुधवार होने की प्रायिकता (b) $\frac{2}{7}$ है।

प्रश्न 20

किसी घटना के घटित न होने की प्रायिकता 0.62 है। उसके घटित होने की प्रायिकता, प्रतिशत में, कितनी है? (a) 62% (b) 3.8% (c) 0.38% (d) 38%

उत्तर: घटना के घटने और न घटने की प्रायिकताओं का योग 1 होता है। तो घटना घटने की प्रायिकता $1 - 0.62 = 0.38$ है। प्रतिशत में बदलें, तो $0.38 \times 100 = 38$, यानी (d) 38%।