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मूल नियम

• सिक्का उछालने या पत्ता निकालने जैसे हर प्रयोग के कुछ परिणाम होते हैं। सभी परिणामों की सूची प्रतिदर्श समष्टि (sample space) कहलाती है।
• घटना परिणामों का एक समूह होती है। सभी परिणाम समसंभाव्य (equally likely) हों, तो प्रायिकता इस सूत्र से निकालते हैं। $$P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}}$$
• किसी भी घटना के लिए $0 \le P(E) \le 1$ होता है। निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है और असंभव घटना की 0।
• उत्तर हमेशा न्यूनतम रूप में लिखिए। $\frac{3}{20}$, 0.15 और 15%, तीनों एक ही प्रायिकता हैं।

जैसे 1 से 20 तक की संख्याओं में से एक संख्या चुनी जाए और वह 6 का गुणज हो। ऐसी 3 संख्याएँ हैं, 6, 12 और 18, तो $P = \frac{3}{20}$।

पूरक घटना और संयोगानुपात

• किसी घटना के न होने को उसकी पूरक घटना (complement) कहते हैं, और $P(\text{नहीं } E) = 1 - P(E)$ होती है। "नहीं" वाले और "कम से कम एक" वाले प्रश्नों में यही नियम काम आता है।
• पक्ष में संयोगानुपात (odds in favour) a : b हो, तो $P(E) = \frac{a}{a + b}$ होती है।
• विपक्ष में संयोगानुपात (odds against) a : b हो, तो $P(E) = \frac{b}{a + b}$ होती है।
• $P(E) = \frac{p}{q}$ दी हो, तो पक्ष में संयोगानुपात $p : (q - p)$ होता है और विपक्ष में संयोगानुपात $(q - p) : p$।

मान लीजिए पक्ष में संयोगानुपात 5 : 6 है। तब $P(E) = \frac{5}{11}$ और $P(\text{नहीं } E) = \frac{6}{11}$ होगी, और विपक्ष में संयोगानुपात 6 : 5 होगा।

संख्याएँ और अक्षर

• 1 से n तक k के गुणज गिनने हों, तो n को k से भाग दीजिए और शेषफल छोड़ दीजिए।
• a या b के गुणज गिनने हों, तो दोनों की गिनतियाँ जोड़िए और फिर उनके ल.स. (LCM) के गुणज घटा दीजिए।
• 50 तक 15 अभाज्य संख्याएँ हैं और 100 तक 25। 1 अभाज्य संख्या नहीं है।
• 50 तक 7 पूर्ण वर्ग हैं और 100 तक 10। दो अंकों की संख्याएँ कुल 90 हैं।
• किसी शब्द में से एक अक्षर चुनना हो, तो दोहराए गए अक्षर भी हर बार गिनिए। ACCOUNTANT में 10 अक्षर हैं, और इनमें 4 स्वर हैं।

देखिए, 1 से 60 तक 5 या 6 के गुणज $12 + 10 - 2 = 20$ हैं, तो $P = \frac{1}{3}$।

कैलेंडर वाले प्रश्न

• साधारण वर्ष में 52 सप्ताह और 1 अतिरिक्त दिन होता है। लीप वर्ष में 52 सप्ताह और 2 अतिरिक्त दिन होते हैं, जो लगातार आते हैं।
• लीप वर्ष के अतिरिक्त दिनों की जोड़ी (रविवार, सोमवार), (सोमवार, मंगलवार) से लेकर (शनिवार, रविवार) तक, 7 में से कोई भी एक हो सकती है।
• 53 रविवार होने की प्रायिकता साधारण वर्ष में $\frac{1}{7}$ है और लीप वर्ष में $\frac{2}{7}$।
• लीप वर्ष में दो पड़ोसी दिनों में से किसी एक के भी 53 बार आने की प्रायिकता $\frac{3}{7}$ है, और दोनों के 53 बार आने की $\frac{1}{7}$।
• दो दिन पड़ोसी न हों, जैसे रविवार और गुरुवार, तो 53 रविवार या 53 गुरुवार होने की प्रायिकता $\frac{4}{7}$ है।

सिक्के

• n सिक्के उछालें, या एक सिक्का n बार, तो $2^{n}$ परिणाम होते हैं। एक से पाँच सिक्कों के लिए ये क्रम से 2, 4, 8, 16 और 32 हैं।
• ठीक k चित आने की प्रायिकता $\frac{^{n}C_{k}}{2^{n}}$ है। ऐसे परिणामों की गिनतियाँ तीन सिक्कों में 1, 3, 3, 1 होती हैं और चार सिक्कों में 1, 4, 6, 4, 1।
• कम से कम एक चित आने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{2^{n}}$ है।
• दो सिक्कों पर एक चित और एक पट दो तरह से आते हैं, HT या TH, इसलिए इसकी प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है।
• पहला चित आने तक सिक्का उछालते रहें, तो पहला चित k-वें उछाल पर आने की प्रायिकता $\frac{1}{2^{k}}$ है।

उदाहरण के लिए, तीन सिक्कों पर अधिक से अधिक एक चित आने की प्रायिकता $\frac{1 + 3}{8} = \frac{1}{2}$ है।

एक पासा और दो पासे

• एक पासे पर सम संख्या वाले 3 फलक हैं, अभाज्य संख्या वाले भी 3 (2, 3, 5), और 4 से बड़ी संख्या वाले 2।
• दो पासों के 36 परिणाम होते हैं। (2, 5) और (5, 2) अलग-अलग परिणाम गिने जाते हैं।
• योग s आने के $6 - |s - 7|$ तरीके होते हैं। योग 2 से 12 तक के तरीके क्रम से 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 हैं।
• एक सिक्का और एक पासा साथ हों, तो 12 परिणाम होते हैं। चाहें तो दोनों की प्रायिकताओं का गुणा भी कर सकते हैं।

मान लीजिए दो पासों पर योग 5 या उससे कम चाहिए। इसके $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ तरीके हैं, तो $P = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$।

दो पासों की गिनतियाँ (36 में से)

• द्विक (doublet) 6 हैं, सम योग वाले परिणाम 18 और अभाज्य योग वाले 15। योग 3 का गुणज हो, ऐसे परिणाम 12 हैं, और 4 का गुणज हो, ऐसे 9।
• गुणनफल विषम तभी होता है, जब दोनों संख्याएँ विषम हों, इसलिए ऐसे परिणाम 9 हैं। सम गुणनफल वाले परिणाम 27 हैं।
• कम से कम एक छक्का 11 परिणामों में आता है, और ठीक एक छक्का 10 में।
• अंतर k आने के $2(6 - k)$ तरीके होते हैं। k = 1 से 5 के लिए ये 10, 8, 6, 4 और 2 हैं।
• तीन पासों के 216 परिणाम होते हैं। तीनों पर एक ही संख्या आने के 6 तरीके हैं, तो इसकी प्रायिकता $\frac{1}{36}$ है। योग 18 का केवल 1 तरीका है और योग 17 के 3 तरीके।

52 पत्तों की गड्डी

• गड्डी में 4 रंग (suit) होते हैं और हर रंग में 13 पत्ते। हुकुम और चिड़ी काले होते हैं, पान और ईंट लाल।
• पत्तों के 13 मान होते हैं, इक्का, 2 से 10, गुलाम, बेगम और बादशाह। हर मान के 4 पत्ते होते हैं।
• गुलाम, बेगम और बादशाह तस्वीर वाले पत्ते (face cards) हैं, कुल 12, जिनमें 6 लाल हैं। इक्का, बादशाह, बेगम और गुलाम सम्मान पत्ते (honours) हैं, कुल 16। 2 से 10 तक के संख्या वाले पत्ते 36 हैं।
• "या" वाले प्रश्नों में साझा भाग घटाइए। ईंट का पत्ता या सत्ता (7 वाला पत्ता) चाहिए, तो अनुकूल पत्ते $13 + 4 - 1 = 16$ हैं।
• एक पत्ते वाले प्रश्न का उत्तर ऐसी भिन्न होती है, जिसके हर से 52 पूरा बँट जाए।

जैसे ईंट का ऐसा पत्ता चाहिए, जो तस्वीर वाला न हो। ऐसे 10 पत्ते हैं, तो प्रायिकता $\frac{10}{52} = \frac{5}{26}$ है।

दो पत्ते

• दो पत्ते एक साथ निकालें, तो कुल $^{52}C_{2} = 1326$ जोड़े होते हैं। दोनों पत्तों के g पत्तों वाले किसी एक समूह से होने की प्रायिकता $\frac{g(g - 1)}{52 \times 51}$ है।
• एक के बाद एक, प्रतिस्थापन रहित (without replacement) निकालें, तो प्रायिकता $\frac{a}{52} \times \frac{b}{51}$ होती है। यहाँ b वे अनुकूल पत्ते हैं, जो पहला पत्ता निकलने के बाद बचे हैं।
• प्रतिस्थापन सहित (with replacement) निकालें, तो प्रायिकता $\frac{a}{52} \times \frac{b}{52}$ होती है।
• एक साथ निकाले गए दो पत्तों में "हर तरह का एक" चाहिए, तो दोनों क्रम उसी गिनती में अपने-आप आ जाते हैं।

जैसे दोनों पत्तों के बादशाह होने की प्रायिकता प्रतिस्थापन रहित $\frac{1}{221}$ है और प्रतिस्थापन सहित $\frac{1}{169}$। एक साथ निकाले गए दो पत्तों में एक लाल पत्ता और एक काला पत्ता आने की प्रायिकता $\frac{26 \times 26}{1326} = \frac{26}{51}$ है।

गेंदें, थैले और टिकट

• $^{n}C_{2} = \frac{n(n - 1)}{2}$ और $^{n}C_{3} = \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}$ याद रखिए।
• n गेंदों में से r लाल हों, तो एक साथ निकाली गई दो गेंदों के लाल होने की प्रायिकता $\frac{r(r - 1)}{n(n - 1)}$ है। b नीली गेंदें हों, तो एक लाल और एक नीली के $r \times b$ जोड़े होते हैं, और इन्हें $^{n}C_{2}$ से भाग देते हैं।
• दोनों गेंदें एक ही रंग की चाहिए, तो "दोनों लाल", "दोनों नीली" और बाकी रंगों की गिनतियाँ जोड़ दीजिए।
• कम से कम एक लाल के लिए $1 - P(\text{एक भी लाल नहीं})$ लीजिए।
• किसी रंग की गेंदों की गिनती न दी हो, तो दी गई प्रायिकता से लिखिए कि वे कुल गेंदों का कितना हिस्सा हैं।
• 1 से n तक क्रमांकित टिकट वाले प्रश्न 1 से n तक की संख्याओं की तरह ही हल होते हैं।

मान लीजिए थैले में 3 लाल और 6 नीली गेंदें हैं, और दो गेंदें एक साथ निकाली जाती हैं। दोनों के नीली होने की प्रायिकता $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ है।

"या", "और", स्वतंत्र घटनाएँ

• $P(A \text{ या } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ और } B)$ होता है। समुच्चय संकेतन में $\cup$ का मतलब "या" है, $\cap$ का "और", और $\bar{A}$ का "A नहीं"।
• A और B परस्पर अपवर्जी (mutually exclusive) हों, तो $P(A \text{ या } B) = P(A) + P(B)$ होता है।
• A और B स्वतंत्र (independent) हों, तो $P(A \text{ और } B) = P(A) \times P(B)$ होता है।
• दो चरण हों, जैसे पहले थैला चुनना और फिर उसमें से गेंद निकालना, तो हर रास्ते पर प्रायिकताएँ गुणा कीजिए और फिर सारे रास्ते जोड़ दीजिए।
• तीन समूह हों और हर व्यक्ति कम से कम एक समूह में हो, तो ठीक एक समूह वाले, ठीक दो समूहों वाले और तीनों समूहों वाले लोगों का जोड़ कुल के बराबर होता है। ठीक एक वालों में ठीक दो वालों का 2 गुना और तीनों वालों का 3 गुना जोड़ें, तो समूहों के आकारों का योग आता है।

दो या तीन व्यक्ति

• दो व्यक्तियों के सफल होने की प्रायिकताएँ p और q हों, तो दोनों के सफल होने की प्रायिकता $pq$ है और किसी के भी सफल न होने की $(1 - p)(1 - q)$। कम से कम एक के सफल होने की प्रायिकता $1 - (1 - p)(1 - q)$ है और ठीक एक की $p(1 - q) + q(1 - p)$।
• "प्रश्न हल हो जाता है" या "निशाना लग जाता है" का मतलब है कि कम से कम एक व्यक्ति सफल हुआ।
• दो व्यक्ति एक-दूसरे का खंडन तब करते हैं, जब उनमें से ठीक एक सच बोले।
• तीन व्यक्तियों में "ठीक दो" की तीन स्थितियाँ होती हैं, और हर एक में कोई एक व्यक्ति असफल होता है।

दो विद्यार्थी किसी प्रश्न को $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{6}$ प्रायिकता से हल करते हों, तो किसी के भी हल न कर पाने की प्रायिकता $\frac{1}{2} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{12}$ है। इसलिए प्रश्न हल होने की प्रायिकता $\frac{7}{12}$ है।

परीक्षा से पहले

इन गलतियों से बचिए।

• दो पासों के 11 योगों को समसंभाव्य मान लेना।
• (2, 3) और (3, 2) को एक ही परिणाम गिन लेना।
• "कम से कम एक" को "ठीक एक" की तरह हल करना, या "कोई भी नहीं" वाली प्रायिकता की तरह।
• "लाल पत्ता या बादशाह" में लाल बादशाह दो बार गिन लेना।
• प्रतिस्थापन रहित निकालने को प्रतिस्थापन सहित की तरह हल करना।
• संयोगानुपात को ही प्रायिकता बता देना।
• लीप वर्ष को 365 दिन का मान लेना, या 1 को अभाज्य संख्या।

इसके बाद अध्याय टेस्ट दीजिए। इसमें 25 प्रश्न हैं और समय 25 मिनट का है। हर सही उत्तर पर $+3$ अंक मिलते हैं और हर गलत उत्तर पर $-1$ अंक।