हल किए गए प्रश्न

इन प्रश्नों से अभ्यास का तरीका

नीचे 33 प्रश्न हल करके दिए गए हैं। इनका क्रम वही है जो अध्याय का है। शुरू में संख्याओं, अक्षरों, कैलेंडर और संयोगानुपात के प्रश्न हैं। फिर सिक्के और पासे आते हैं, उसके बाद ताश और फिर गेंदों वाले थैले। आख़िर में वे प्रश्न हैं जिनमें दो या अधिक घटनाओं को साथ जोड़ना पड़ता है।

कई प्रश्न दो कदम में पूरे होते हैं। "या" वाले प्रश्न में दोनों समूहों का साझा हिस्सा घटाना पड़ता है। कहीं प्रायिकताओं का गुणा करने के बाद पूरक घटना से उत्तर निकलता है, और कहीं गेंद निकालने से पहले थैला चुनना होता है।

गिनना शुरू करने से पहले कुल परिणाम लिख लीजिए। गेंदें या पत्ते निकाले जा रहे हों, तो यह भी देख लीजिए कि वे प्रतिस्थापन सहित निकाले जा रहे हैं या प्रतिस्थापन रहित (without replacement)।

हर प्रश्न को लगभग एक मिनट दीजिए, जैसे परीक्षा में देते हैं। कोई प्रश्न इससे काफ़ी ज़्यादा समय ले, तो वह कदम लिख लीजिए जिस पर आप अटके थे, जैसे कुल गिनना, साझा हिस्सा पहचानना, या यह देखना कि पहली गेंद वापस रखी गई थी या नहीं। अभ्यास सेट हल कर लेने के बाद उस प्रश्न पर फिर लौटिए।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

1 से 150 तक की संख्याओं में से एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इसके 10 या 15 का गुणज होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: 150 तक 10 के गुणज $150 \div 10 = 15$ हैं, और 15 के गुणज $150 \div 15 = 10$। कुछ संख्याएँ दोनों सूचियों में आ जाती हैं। ये 30 के गुणज हैं, 150 के नहीं, क्योंकि 30 ही वह सबसे छोटी संख्या है जो 10 और 15 दोनों से पूरी-पूरी बँट जाती है। ऐसी 5 संख्याएँ दो बार गिनी गई हैं, तो इन्हें एक बार घटा देते हैं। $15 + 10 - 5 = 20$ संख्याएँ हुईं, और प्रायिकता $\frac{20}{150} =$ $\frac{2}{15}$ है।

प्रश्न 2

दो अंकों की एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इसके 3 से विभाज्य होने किंतु 9 से विभाज्य न होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: दो अंकों की संख्याएँ 10 से 99 तक हैं, यानी कुल 90। इनमें 3 के गुणज 12 से 99 तक हैं। ये $4 \times 3$ से $33 \times 3$ तक चलते हैं, तो 30 संख्याएँ हुईं। 9 के गुणज 18 से 99 तक 10 हैं, और इनमें से हर एक 3 का गुणज भी है। इन्हें 30 में से निकाल देते हैं, तो $30 - 10 = 20$ संख्याएँ बचती हैं। प्रायिकता $\frac{20}{90} =$ $\frac{2}{9}$ आती है।

प्रश्न 3

शब्द ENGINEERING में से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है। इसके स्वर होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: ENGINEERING के अक्षर एक-एक करके गिनें, तो E, N, G, I, N, E, E, R, I, N, G, यानी 11 अक्षर हैं। इनमें स्वर E, I, E, E और I हैं, जो 11 में से 5 हुए। तो प्रायिकता $\frac{5}{11}$ है। जो अक्षर दोहराया गया है, उसे उतनी बार गिनते हैं जितनी बार वह आया है, क्योंकि 11 में से हर अक्षर का चुना जाना समसंभाव्य है। अगर केवल अलग-अलग अक्षर E, N, G, I और R गिने, तो $\frac{2}{5}$ आएगा, और यह गलत है।

प्रश्न 4

एक लीप वर्ष यादृच्छया चुना जाता है। उसमें 53 शुक्रवार, 53 शनिवार या 53 रविवार होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: लीप वर्ष में 52 सप्ताह और लगातार 2 अतिरिक्त दिन होते हैं। इन दोनों दिनों में शुक्रवार, शनिवार और रविवार में से कम से कम एक होना चाहिए। ऐसे जोड़े (गुरुवार, शुक्रवार), (शुक्रवार, शनिवार), (शनिवार, रविवार) और (रविवार, सोमवार) हैं। कुल 7 जोड़ों में से ये 4 हैं, तो प्रायिकता $\frac{4}{7}$ है। केवल तीन दिन देखकर कई छात्र $\frac{3}{7}$ या $\frac{6}{7}$ का अनुमान लगा लेते हैं। जोड़ों की सूची बना लेने से बात पक्की हो जाती है।

प्रश्न 5

किसी घटना की प्रायिकता 0.15 है। उस घटना के पक्ष में संयोगानुपात क्या है?

उत्तर: दशमलव को भिन्न में बदल लेते हैं, $0.15 = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$। मतलब 20 भागों में से 3 भाग घटना के पक्ष में हैं और बाकी 17 विपक्ष में। पक्ष में संयोगानुपात लिखते समय पक्ष वाला हिस्सा पहले आता है, तो उत्तर 3 : 17 है।

प्रश्न 6

1 से 80 तक की संख्याओं में से एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इसके पूर्ण वर्ग या पूर्ण घन होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: यहाँ दो सूचियाँ बनानी हैं। 80 तक के पूर्ण वर्ग 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 और 64 हैं, यानी 8 संख्याएँ। पूर्ण घन 1, 8, 27 और 64 हैं, जो 4 हुए। 1 और 64 दोनों सूचियों में हैं, तो उन्हें एक बार घटाना होगा। इस तरह $8 + 4 - 2 = 10$ संख्याएँ मिलती हैं, और प्रायिकता $\frac{10}{80} =$ $\frac{1}{8}$।

प्रश्न 7

चार सिक्के उछाले जाते हैं। कम से कम दो पट आने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: पट गिनने के लिए भी वही पंक्ति काम आती है जो चित के लिए आती है। 0 से 4 पट तक के परिणाम क्रम से 1, 4, 6, 4, 1 हैं। हमें दो, तीन या चार पट चाहिए, तो 16 में से $6 + 4 + 1 = 11$ परिणाम काम के हैं। प्रायिकता $\frac{11}{16}$ है। इससे भी जल्दी करना हो, तो 0 और 1 पट वाले परिणाम घटा दीजिए, $16 - 1 - 4 = 11$।

प्रश्न 8

चार सिक्के उछाले जाते हैं। पट की तुलना में अधिक चित आने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: चार सिक्कों में पट से अधिक चित का मतलब है 3 चित या 4 चित। दो चित और दो पट में तो बराबरी है, इसलिए उसे नहीं गिनेंगे। पंक्ति 1, 4, 6, 4, 1 की आख़िरी दो संख्याएँ लेनी हैं। इस तरह 16 में से $4 + 1 = 5$ परिणाम मिलते हैं, तो प्रायिकता $\frac{5}{16}$ हुई।

प्रश्न 9

एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। लगातार दो चित कभी न आने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: परिणाम केवल 8 हैं, तो सारे लिख ही लेते हैं। जिनमें HH साथ-साथ नहीं आता, वे TTT, TTH, THT, HTT और HTH हैं। ये 5 हैं, तो प्रायिकता $\frac{5}{8}$ हुई। छोड़े गए तीन परिणाम HHT, THH और HHH हैं।

प्रश्न 10

दो पासे फेंके जाते हैं। दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग 9 होने या दोनों पासों पर एक ही संख्या आने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: योग 9 के 4 तरीके हैं, और द्विक 6 हैं। द्विक का योग तो हमेशा सम होता है। इसलिए कोई भी जोड़ी दोनों समूहों में नहीं आती, और कुछ घटाना नहीं पड़ता। सीधे $4 + 6 = 10$ जोड़ियाँ लेते हैं, तो प्रायिकता $\frac{10}{36} =$ $\frac{5}{18}$ है।

प्रश्न 11

दो पासे फेंके जाते हैं। दोनों संख्याओं के गुणनफल के पूर्ण घन होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: दो पासों का गुणनफल अधिक से अधिक 36 हो सकता है। इसलिए यहाँ पूर्ण घन केवल 1, 8 और 27 ही हो सकते हैं। गुणनफल 1 के लिए (1, 1) चाहिए, और 8 के लिए (2, 4) या (4, 2)। 27 के लिए $3 \times 9$ चाहिए, पर किसी पासे पर 9 होता ही नहीं। कुल 3 जोड़ियाँ बनीं, और प्रायिकता $\frac{3}{36} =$ $\frac{1}{12}$ निकली।

प्रश्न 12

दो पासे फेंके जाते हैं। उन पर आई संख्याओं का अंतर कम से कम 3 होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: किसी भी अंतर k के लिए $2(6 - k)$ तरीके होते हैं। कम से कम 3 का मतलब है अंतर 3, 4 या 5, जिनके तरीके $6 + 4 + 2 = 12$ हैं। प्रायिकता $\frac{12}{36} =$ $\frac{1}{3}$ आती है।

प्रश्न 13

दो पासे फेंके जाते हैं। दोनों पासों पर आई संख्याओं के योग के 2 या 3 से विभाज्य होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: यहाँ दो गिनतियाँ जोड़कर उनका साझा हिस्सा घटाना है। सम योग 18 तरीकों से आता है। 3 से विभाज्य योग 3, 6, 9 और 12 हैं, जो 12 तरीकों से आते हैं। योग 6 और 12 दोनों गिनतियों में आ गए हैं, तो इनके $5 + 1 = 6$ तरीके एक बार घटाने होंगे। अब $18 + 12 - 6 = 24$ तरीके हुए, तो प्रायिकता $\frac{24}{36} =$ $\frac{2}{3}$ निकलती है।

प्रश्न 14

दो सिक्के उछाले जाते हैं और एक पासा फेंका जाता है। सिक्कों पर कम से कम एक चित और पासे पर 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: सिक्कों का पासे पर कोई असर नहीं पड़ता, और न पासे का सिक्कों पर। इसलिए दोनों प्रायिकताएँ अलग-अलग निकालकर गुणा कर देंगे। दो सिक्कों पर कम से कम एक चित के लिए दोनों पट वाला परिणाम छोड़ना है, तो $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$। पासे पर 4 से बड़ी संख्या मतलब 5 या 6, तो $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$। दोनों का गुणा करें, तो $\frac{3}{4} \times \frac{1}{3} =$ $\frac{1}{4}$ मिलता है।

प्रश्न 15

52 पत्तों की ताश की गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। इसके पान का पत्ता या काले रंग का तस्वीर वाला पत्ता होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: पान के 13 पत्ते हैं और काले रंग के तस्वीर वाले पत्ते 6। पान के पत्ते लाल होते हैं, तो कोई पत्ता दोनों गिनतियों में नहीं आ सकता। इसलिए सीधे जोड़ देते हैं, $13 + 6 = 19$ पत्ते। प्रायिकता $\frac{19}{52}$ है। यह भिन्न आगे नहीं कटती, क्योंकि 19 और 52 का कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

प्रश्न 16

52 पत्तों की ताश की गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। इसके न बादशाह, न बेगम और न ही पान का पत्ता होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: जिन पत्तों से बचना है, पहले उन्हें गिन लेते हैं। बादशाह, बेगम या पान के पत्ते $8 + 13 - 2 = 19$ हैं। यहाँ पान का बादशाह और पान की बेगम दोनों समूहों में आ गए थे, इसलिए उन्हें एक बार घटाया है। बाकी $52 - 19 = 33$ पत्ते न बादशाह हैं, न बेगम और न पान, तो प्रायिकता $\frac{33}{52}$ है।

प्रश्न 17

52 पत्तों की ताश की गड्डी में से दो पत्ते एक साथ निकाले जाते हैं। दोनों के ईंट के पत्ते होने या दोनों के चिड़ी के पत्ते होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: दो ईंट चुनने के $^{13}C_{2} = 78$ तरीके हैं, और दो चिड़ी चुनने के भी 78। कुल 156 जोड़ियाँ हुईं। कोई जोड़ी दो ईंट वाली भी हो और दो चिड़ी वाली भी, ऐसा तो हो ही नहीं सकता, इसलिए दोनों गिनतियाँ सीधे जुड़ जाती हैं। सारी जोड़ियाँ $^{52}C_{2} = 1326$ हैं, इसलिए प्रायिकता $\frac{156}{1326} =$ $\frac{2}{17}$ है।

प्रश्न 18

52 पत्तों की ताश की गड्डी में से दो पत्ते एक साथ निकाले जाते हैं। इनमें से एक के हुकुम का पत्ता और दूसरे के लाल इक्का होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: हुकुम के 13 पत्ते हैं और लाल इक्के 2, और कोई पत्ता दोनों नहीं हो सकता। एक हुकुम और एक लाल इक्के वाली जोड़ियाँ $13 \times 2 = 26$ बनती हैं। तो प्रायिकता $\frac{26}{1326} =$ $\frac{1}{51}$ है।

प्रश्न 19

52 पत्तों की ताश की गड्डी में से एक के बाद एक दो पत्ते निकाले जाते हैं, और दूसरा पत्ता निकालने से पूर्व पहला पत्ता वापस रख दिया जाता है। पहले पत्ते के लाल पत्ता और दूसरे के बादशाह होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: पहला पत्ता वापस रख दिया गया, तो दूसरी बार भी गड्डी पूरी है। पहली बार जो भी निकले, उसका दूसरी बार पर कोई असर नहीं पड़ता, इसलिए प्रायिकताओं का गुणा करेंगे, $\frac{26}{52} \times \frac{4}{52} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{13} =$ $\frac{1}{26}$। पहला पत्ता लाल बादशाह निकले, तब भी कोई फ़र्क नहीं पड़ता। दूसरी बार से पहले वह बादशाह गड्डी में वापस आ चुका होता है।

प्रश्न 20

52 पत्तों की ताश की गड्डी में से दो पत्ते एक साथ निकाले जाते हैं। इनमें से कम से कम एक के तस्वीर वाला पत्ता होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: पहले एक भी तस्वीर वाला पत्ता न आने की प्रायिकता निकाल लेते हैं। तब दोनों पत्ते उन 40 पत्तों में से आने चाहिए जो तस्वीर वाले नहीं हैं, यानी $\frac{40 \times 39}{52 \times 51}$। इसमें $\frac{39}{52} = \frac{3}{4}$ कर लें, तो $\frac{3}{4} \times \frac{40}{51} = \frac{30}{51} = \frac{10}{17}$ आता है। अब कम से कम एक तस्वीर वाले पत्ते की प्रायिकता $1 - \frac{10}{17} =$ $\frac{7}{17}$ है।

प्रश्न 21

1 से 30 तक क्रमांकित टिकट एक डिब्बे में रखे जाते हैं और उनमें से एक टिकट यादृच्छया निकाला जाता है। उसकी संख्या के अभाज्य संख्या या 5 का गुणज होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: 30 तक की अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 और 29 हैं, यानी 10। 5 के गुणज 5, 10, 15, 20, 25 और 30 हैं, जो 6 हुए। दोनों सूचियों में केवल 5 आता है। तो $10 + 6 - 1 = 15$ टिकट हुए, और प्रायिकता $\frac{15}{30} =$ $\frac{1}{2}$।

प्रश्न 22

एक थैले में 6 लाल, 4 नीली और 2 सफ़ेद गेंदें हैं। दो गेंदें एक साथ निकाली जाती हैं। दोनों गेंदों के एक ही रंग की होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: सारी गेंदों में से दो चुनने के $^{12}C_{2} = 66$ तरीके हैं। एक ही रंग की जोड़ी तीन तरह से बन सकती है। दो लाल के $^{6}C_{2} = 15$ तरीके हैं, दो नीली के $^{4}C_{2} = 6$, और दो सफ़ेद चुनने का केवल 1 तरीका है। कुल 22 जोड़ियाँ हुईं, तो प्रायिकता $\frac{22}{66} =$ $\frac{1}{3}$ है।

प्रश्न 23

उसी थैले में से तीन गेंदें एक साथ निकाली जाती हैं। प्रत्येक रंग की एक-एक गेंद होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: तीन गेंदों के सारे समूह $^{12}C_{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{6} = 220$ हैं। हर रंग की एक गेंद चाहिए, तो लाल के 6, नीली के 4 और सफ़ेद के 2 विकल्पों का गुणा करते हैं, $6 \times 4 \times 2 = 48$। प्रायिकता $\frac{48}{220}$ हुई। अंश और हर दोनों को 4 से भाग दें, तो $\frac{12}{55}$ रह जाता है।

प्रश्न 24

उसी थैले में से एक गेंद निकालकर वापस रख दी जाती है, और फिर दूसरी गेंद निकाली जाती है। पहली गेंद के लाल और दूसरी के सफ़ेद होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: गेंद वापस रख दी गई, इसलिए दूसरी बार भी थैला पहले जैसा ही है। तो पहली बार लाल और दूसरी बार सफ़ेद की प्रायिकताओं का गुणा कर देते हैं, $\frac{6}{12} \times \frac{2}{12} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} =$ $\frac{1}{12}$।

प्रश्न 25

एक डिब्बे में 12 पेन हैं, जिनमें से 4 दोषपूर्ण हैं। तीन पेन एक साथ निकाले जाते हैं। उनमें से किसी के भी दोषपूर्ण न होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: कोई पेन दोषपूर्ण न हो, इसका मतलब है कि तीनों पेन 8 ठीक पेनों में से आएँ। ऐसे $^{8}C_{3} = 56$ तरीके हैं, जबकि कुल तरीके $^{12}C_{3} = 220$ हैं। प्रायिकता $\frac{56}{220} =$ $\frac{14}{55}$ है। इसी गिनती से यह भी पता चल जाता है कि कम से कम एक पेन के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता $1 - \frac{14}{55} = \frac{41}{55}$ है।

प्रश्न 26

एक थैले में 4 हरी गेंदें और कुछ पीली गेंदें हैं। दो गेंदें एक साथ निकाली जाती हैं, और दोनों के हरी होने की प्रायिकता $\frac{1}{11}$ है। थैले में कितनी पीली गेंदें हैं?

उत्तर: मान लेते हैं कि थैले में कुल n गेंदें हैं। तब दोनों के हरी होने की प्रायिकता $\frac{4 \times 3}{n(n - 1)}$ होगी। अब इसे दी गई प्रायिकता के बराबर रखते हैं, $\frac{12}{n(n - 1)} = \frac{1}{11}$, तो $n(n - 1) = 132 = 12 \times 11$ आता है। साफ़ है कि n = 12, यानी थैले में 12 गेंदें हैं। इनमें हरी 4 हैं, तो बाकी $12 - 4 =$ 8 पीली गेंदें हैं।

प्रश्न 27

A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, जिनके लिए $P(A) = \frac{1}{4}$ और $P(B) = \frac{2}{5}$ है। $P(A \text{ या } B)$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर: घटनाएँ स्वतंत्र हैं, तो दोनों के एक साथ घटित होने की प्रायिकता गुणा से मिलती है, $P(A \text{ और } B) = \frac{1}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{10}$। अब दोनों प्रायिकताएँ जोड़कर इसे एक बार घटा देते हैं, $P(A \text{ या } B) = \frac{1}{4} + \frac{2}{5} - \frac{1}{10} = \frac{5 + 8 - 2}{20} =$ $\frac{11}{20}$। दूसरे रास्ते से भी देख लेते हैं। कोई भी घटना घटित न हो, इसकी प्रायिकता $\frac{3}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{20}$ है, और $1 - \frac{9}{20}$ से वही उत्तर आता है।

प्रश्न 28

A, B और C के किसी लक्ष्य पर निशाना लगाने की प्रायिकताएँ क्रमशः $\frac{3}{5}$, $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{3}$ हैं। प्रत्येक एक गोली चलाता है। लक्ष्य पर निशाना लग जाने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: लक्ष्य पर निशाना तभी नहीं लगेगा, जब तीनों चूक जाएँ। तीनों के चूकने की प्रायिकता $\frac{2}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$ है। बाकी हर स्थिति में किसी न किसी का निशाना लग ही जाता है, तो उत्तर $1 - \frac{2}{15} =$ $\frac{13}{15}$ है।

प्रश्न 29

इन्हीं तीन निशानेबाज़ों में से कम से कम दो के लक्ष्य पर निशाना लगाने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: ठीक दो का निशाना तीन तरह से लग सकता है, और हर बार कोई एक चूकता है।

• A और B का निशाना लगे और C चूके, तो $\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{30}$
• A और C का निशाना लगे और B चूके, तो $\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{30}$
• B और C का निशाना लगे और A चूके, तो $\frac{2}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{30}$

तीनों का निशाना लगने की प्रायिकता भी जोड़नी है, जो $\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{30}$ है। चारों का योग $\frac{6 + 3 + 2 + 3}{30} = \frac{14}{30} =$ $\frac{7}{15}$ है।

प्रश्न 30

A 75% मामलों में सच बोलता है और B 85% मामलों में। किसी एक ही तथ्य को बताते समय कितने प्रतिशत मामलों में उनके एक-दूसरे का खंडन करने की संभावना है?

उत्तर: दोनों एक-दूसरे का खंडन तभी करेंगे जब उनमें से ठीक एक सच बोले। A सच बोले और B झूठ, इसकी प्रायिकता $0.75 \times 0.15 = 0.1125$ है। A झूठ बोले और B सच, इसकी $0.25 \times 0.85 = 0.2125$ है। दोनों मिलाकर 0.325 हुआ, यानी 32.5% मामलों में वे एक-दूसरे का खंडन करेंगे।

प्रश्न 31

थैले I में 4 लाल गेंदें और 1 काली गेंद है, तथा थैले II में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। एक पासा फेंका जाता है। यदि पासे पर अभाज्य संख्या आती है, तो थैले I में से एक गेंद निकाली जाती है, अन्यथा थैले II में से एक गेंद निकाली जाती है। निकाली गई गेंद के लाल होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: पासे पर अभाज्य संख्याएँ 2, 3 और 5 हैं। तो थैले I के चुने जाने की प्रायिकता $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है, और थैले II की भी $\frac{1}{2}$। वृक्ष-आरेख में लाल गेंद तक दो रास्ते पहुँचते हैं। पहले रास्ते से $\frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$ मिलता है और दूसरे से $\frac{1}{2} \times \frac{3}{8} = \frac{3}{16}$। दोनों रास्ते जोड़ने पर $\frac{2}{5} + \frac{3}{16} = \frac{32 + 15}{80} =$ $\frac{47}{80}$ आता है।

प्रश्न 32

एक ऐसा वर्ष यादृच्छया चुना जाता है, जो शताब्दी वर्ष नहीं है। उसमें 53 रविवार होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: शताब्दी वर्ष छोड़ दें, तो ऐसे हर चार वर्षों में से एक लीप वर्ष होता है और बाकी साधारण वर्ष। लीप वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता $\frac{2}{7}$ है, और साधारण वर्ष में $\frac{1}{7}$। अब दोनों प्रायिकताओं को लीप वर्ष और साधारण वर्ष के हिस्से से गुणा करके जोड़ देते हैं, $\frac{1}{4} \times \frac{2}{7} + \frac{3}{4} \times \frac{1}{7} = \frac{2}{28} + \frac{3}{28} =$ $\frac{5}{28}$।

प्रश्न 33

किसी घटना A के पक्ष में संयोगानुपात 2 : 3 है, और किसी घटना B के विपक्ष में संयोगानुपात 5 : 2 है। दोनों घटनाएँ स्वतंत्र हैं। इनमें से कम से कम एक के घटित होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: पहले संयोगानुपातों को प्रायिकता में बदलते हैं। A के पक्ष में 2 : 3 है, तो $P(A) = \frac{2}{5}$। B के विपक्ष में 5 : 2 है, यानी पक्ष में 2 : 5, तो $P(B) = \frac{2}{7}$। दोनों में से एक भी घटना घटित न होने की प्रायिकता $\frac{3}{5} \times \frac{5}{7} = \frac{3}{7}$ है। इसलिए कम से कम एक के घटित होने की प्रायिकता $1 - \frac{3}{7} =$ $\frac{4}{7}$ है।