सिक्के और पासे

एक सिक्का और दो सिक्के

सिक्के के दो पहलू होते हैं, चित (head) और पट (tail)। संक्षेप में इन्हें H और T लिखते हैं। सिक्का निष्पक्ष हो, तो दोनों पहलुओं के आने का मौका बराबर होता है, यानी दोनों समसंभाव्य हैं।

$$S = \{H, T\}, \qquad P(H) = P(T) = \frac{1}{2}$$

दो सिक्के: मान लीजिए ₹1 का सिक्का और ₹2 का सिक्का एक साथ उछाले गए। हर सिक्का दो तरह से गिर सकता है, तो कुल $2 \times 2 = 4$ परिणाम होंगे।

$$S = \{HH, HT, TH, TT\}$$

HT का मतलब है ₹1 के सिक्के पर चित और ₹2 के सिक्के पर पट। TH इसका उलटा है। ये दोनों अलग-अलग परिणाम हैं।

दोनों सिक्के बिलकुल एक जैसे दिखें, तब भी बात यही रहती है। एक को पहला सिक्का मान लीजिए और दूसरे को दूसरा सिक्का। चारों परिणाम वही रहेंगे। एक ही सिक्के को दो बार उछालें, तब भी यही चार परिणाम आते हैं। यहाँ पहला अक्षर पहली उछाल का पहलू बताता है।

तीन नतीजों वाली गलती: कुछ छात्र परिणाम इस तरह लिखते हैं, "दो चित, एक चित, एक भी चित नहीं"। ऐसे केवल 3 परिणाम होते हैं, और ठीक (exactly) एक चित की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ निकल आती है। पर ये तीनों नतीजे समसंभाव्य नहीं हैं। एक चित दो तरह से आ सकता है, HT से भी और TH से भी। बाकी दोनों नतीजे एक-एक तरह से ही आते हैं।

इसलिए हर सिक्के का पहलू अलग-अलग लिखिए। तब चारों परिणाम अपने आप सही आते हैं।

तीन सिक्के: आठ परिणाम

हर नया सिक्का परिणामों की संख्या को दोगुना कर देता है। तो तीन सिक्के उछालने पर $2 \times 2 \times 2 = 8$ परिणाम होते हैं।

ये सारे परिणाम वृक्ष-आरेख में साफ़ दिखते हैं। पहले सिक्के के लिए दो शाखाएँ निकलती हैं, H और T। फिर दूसरे सिक्के के लिए हर शाखा से दो शाखाएँ निकलती हैं, और तीसरे सिक्के के लिए फिर से दो-दो।

$$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$$

अब इन परिणामों को चितों की संख्या के हिसाब से अलग-अलग समूहों में रख लेते हैं।

चारों समूहों में 1, 3, 3 और 1 परिणाम हैं, जिनका जोड़ 8 है। तो तीन सिक्कों के लिए प्रायिकताएँ ये हैं।

• $P(\text{ठीक 3 चित}) = \frac{1}{8}$
• $P(\text{ठीक 2 चित}) = \frac{3}{8}$
• $P(\text{ठीक 1 चित}) = \frac{3}{8}$
• $P(\text{एक भी चित नहीं}) = \frac{1}{8}$

पटों के लिए भी यही गिनती चलती है। तीन सिक्कों पर ठीक 2 पट आने का मतलब है ठीक 1 चित आना। ये दोनों एक ही घटना हैं, इसलिए 2 पट आने की प्रायिकता भी $\frac{3}{8}$ है।

एक सिक्के को तीन बार उछालें, तब भी वही आठ परिणाम आते हैं जो तीन सिक्कों को एक बार उछालने पर आते हैं।

$n$ सिक्के हों, तो कुल $2^n$ परिणाम होते हैं। जैसे चार सिक्कों पर 16 परिणाम। हल करने का ढंग वही रहता है, बस सूची लंबी हो जाती है।

ठीक, कम से कम, अधिक से अधिक

प्रश्न में "ठीक", "कम से कम" (at least) या "अधिक से अधिक" (at most) लिखा हो, तो यही शब्द तय करते हैं कि चितों वाली तालिका के कौन-से स्तंभ जोड़ने हैं। तीन सिक्कों के उदाहरण से इसे समझिए।

• ठीक 2 चित: केवल वे परिणाम गिनिए जिनमें 2 चित हैं। प्रायिकता $\frac{3}{8}$ है।
• कम से कम 2 चित: 2 या उससे अधिक चित चाहिए, तो 2 चित वाले और 3 चित वाले परिणाम जोड़िए। प्रायिकता $\frac{3 + 1}{8} = \frac{1}{2}$ है।
• अधिक से अधिक 1 चित: 1 या उससे कम चित चाहिए। तो 1 चित वाले परिणाम और बिना चित वाला परिणाम जोड़िए। प्रायिकता यहाँ भी $\frac{3 + 1}{8} = \frac{1}{2}$ आती है।
• 2 से अधिक चित: इसमें केवल 3 चित वाला परिणाम आता है। प्रायिकता $\frac{1}{8}$ है।

पूरक घटना से "कम से कम एक": कम से कम एक चित तभी नहीं आता, जब तीनों सिक्कों पर पट हो, यानी TTT। इसलिए 1 में से केवल इसी एक परिणाम की प्रायिकता घटानी है।

$$P(\text{कम से कम एक चित}) = 1 - P(TTT) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$

इसी तरह "अधिक से अधिक 2 चित" वाली शर्त केवल HHH में पूरी नहीं होती। तो इसकी प्रायिकता भी $\frac{7}{8}$ है।

चित भी और पट भी: यह घटना केवल तब नहीं घटती, जब तीनों सिक्कों पर एक ही पहलू हो, यानी HHH या TTT।

$$P(\text{कम से कम एक चित और कम से कम एक पट}) = 1 - \frac{2}{8} = \frac{3}{4}$$

पटों से अधिक चित: तीन सिक्कों पर चित और पट बराबर नहीं हो सकते। तो इसका मतलब है 2 या 3 चित, और प्रायिकता $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ है।

कई छात्र "कम से कम एक" को "ठीक एक" समझकर हल कर देते हैं। तीन सिक्कों पर ठीक एक चित की प्रायिकता $\frac{3}{8}$ है, जबकि कम से कम एक चित की $\frac{7}{8}$। पूरी संभावना है कि विकल्पों में ये दोनों संख्याएँ दी हों।

याद रखिए, "कम से कम" का मतलब है "इतने या अधिक", और "अधिक से अधिक" का मतलब है "इतने या कम"। इतना ध्यान रहे, तो सही स्तंभ अपने आप पकड़ में आ जाते हैं।

एक पासा

पासा (die) एक घन होता है, जिसके फलकों पर 1 से 6 तक की संख्याएँ लिखी होती हैं। एक से अधिक हों, तो उन्हें पासे (dice) कहते हैं। निष्पक्ष पासे पर हर फलक के आने का मौका बराबर होता है।

$$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, \qquad n(S) = 6$$

कुछ घटनाएँ और उनकी प्रायिकताएँ देखिए।

एक पासे वाले प्रश्नों में ज़्यादातर गलतियाँ दो बातों से होती हैं। पहली बात, 1 अभाज्य संख्या नहीं है। इसलिए पासे पर "अभाज्य संख्या" के 3 ही अनुकूल परिणाम हैं, 4 नहीं।

दूसरी बात, "4 से अधिक" में 4 ख़ुद शामिल नहीं होता, जबकि "कम से कम 4" में 4 शामिल होता है। ऊपर इन दोनों घटनाओं के उत्तर इसी वजह से अलग आए हैं।

निश्चित और असंभव घटना: "7 से छोटी संख्या" हर फेंक पर आती है। यह निश्चित घटना है, और इसकी प्रायिकता 1 है। पासे पर 7 कभी आ ही नहीं सकता, इसलिए "7 आना" असंभव घटना है और इसकी प्रायिकता 0 है।

घटना को ध्यान से पढ़िए: "विषम अभाज्य" का मतलब है 3 या 5, तो प्रायिकता $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है। "6 का गुणनखंड" में 1 और 6 ख़ुद भी गिने जाते हैं।

इसलिए हर बार अनुकूल फलक लिखकर देख लीजिए। कुल फलक छह ही हैं, तो सूची कुछ सेकंड में बन जाती है, और संदेह की कोई गुंजाइश नहीं रहती।

दो पासे: 36 परिणाम

दो पासे फेंके जाएँ, तो पहले पासे का कोई भी फलक दूसरे पासे के किसी भी फलक के साथ आ सकता है। पहले के 6 फलक और दूसरे के 6 फलक, तो कुल $6 \times 6 = 36$ परिणाम होते हैं। हर परिणाम को (पहला पासा, दूसरा पासा) के जोड़े के रूप में लिखते हैं।

समझने के लिए मान लीजिए कि एक पासा लाल है और दूसरा नीला। तब (2, 5) का मतलब है लाल पासे पर 2 और नीले पर 5। (5, 2) इससे अलग परिणाम है। एक ही पासे को दो बार फेंकें, तब भी यही 36 जोड़े मिलते हैं।

दो पासों के ज़्यादातर प्रश्न दोनों संख्याओं के योग पर होते हैं। नीचे 36 खानों वाली तालिका में हर खाने का योग लिखा है। पहले पासे की संख्याएँ बाईं ओर ऊपर से नीचे लिखी हैं, और दूसरे पासे की संख्याएँ ऊपर बाएँ से दाएँ।

तालिका की उन तिरछी पंक्तियों को देखिए जो नीचे-बाएँ से ऊपर-दाएँ जाती हैं। ऐसे हर विकर्ण के सारे खानों में एक ही योग है। योग 7 वाला विकर्ण सबसे लंबा है, उसमें छह खाने हैं। योग 2 और 12 का एक-एक खाना है।

11 योग, पर 36 परिणाम: योग 2 से 12 तक कुछ भी हो सकता है, यानी 11 संभव योग। पर ये समसंभाव्य नहीं हैं। कई छात्र योग 9 की प्रायिकता $\frac{1}{11}$ लिख देते हैं। इसका मतलब है कि एक खाने वाले योग, जैसे 2, को छह खानों वाले योग, जैसे 7, के बराबर मान लिया। समसंभाव्य तो 36 खाने हैं। इसलिए दो पासों वाले किसी भी प्रश्न में हर 36 लेकर चलिए।

क्रम से फ़र्क पड़ता है: (3, 5) और (5, 3) दो अलग खाने हैं, एक नहीं। इसीलिए योग 8 के पाँच तरीके हैं, तीन नहीं। (2, 6) और (3, 5) के साथ उनके उलटे जोड़े भी गिने जाते हैं, और (4, 4) अकेला रहता है।

हर योग के तरीके

तालिका के हर विकर्ण के खाने गिनें, तो हर योग के तरीके इस तरह मिलते हैं।

योग 2 से 7 तक तरीके एक-एक करके बढ़ते हैं, और 7 से 12 तक एक-एक करके घटते हैं। सबका जोड़ 36 है।

इसे सूत्र में भी लिख सकते हैं। योग $s$ के तरीके $6 - |s - 7|$ होते हैं। जैसे योग 9 के लिए $6 - 2 = 4$ तरीके।

योग 8: इसके जोड़े (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) और (6, 2) हैं। इनमें (4, 4) का एक ही खाना है, क्योंकि दोनों पासों पर एक ही संख्या है। बाकी चार जोड़े दो-दो करके एक-दूसरे के उलटे हैं।

$$P(\text{योग } 8) = \frac{5}{36}$$

योग 7: इसके तरीके सबसे अधिक हैं, पूरे छह। इसकी प्रायिकता $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।

7 से बराबर दूरी वाले योग: जो योग 7 से बराबर दूरी पर हों, उनकी प्रायिकता भी बराबर होती है। 6 और 8 दोनों के 5 तरीके हैं, तो दोनों की प्रायिकता $\frac{5}{36}$ है। इसी तरह 3 और 11 दोनों के 2 तरीके हैं, और दोनों की प्रायिकता $\frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ है। मतलब तालिका का आधा भाग याद हो, तो बाकी आधा अपने आप मिल जाता है।

बिना तालिका के जोड़े: तालिका पास न हो, तब भी किसी योग के जोड़े आसानी से लिखे जा सकते हैं। मान लीजिए योग 8 चाहिए। पहले पासे पर सबसे छोटी चलने वाली संख्या से शुरू कीजिए, और उसके साथ वह संख्या रखिए जो योग पूरा करे। 2 के साथ 6, 3 के साथ 5, 4 के साथ 4, 5 के साथ 3 और 6 के साथ 2। पहले पासे पर 1 नहीं हो सकता, क्योंकि तब दूसरे पासे पर 7 चाहिए।

शर्त वाले योग

जब योग पर कोई शर्त हो, तो पहले वे सारे योग लिख लीजिए जो शर्त पूरी करते हैं। फिर तालिका से उनके तरीके जोड़िए और जोड़ को 36 पर रख दीजिए।

अभाज्य योग: दो पासों पर अभाज्य योग 2, 3, 5, 7 और 11 हैं। चित्र में इन्हीं के खाने रंगे हैं। इनके तरीकों का जोड़ $1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$ है।

$$P(\text{योग अभाज्य}) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$$

योग 1 हो ही नहीं सकता, और 9 अभाज्य नहीं है। इसलिए बस यही पाँच योग आते हैं।

3 के गुणज: योग 3 का गुणज हो, तो वह 3, 6, 9 या 12 होगा। इनके $2 + 5 + 4 + 1 = 12$ तरीके हैं, तो प्रायिकता $\frac{12}{36} = \frac{1}{3}$ है।

कम से कम 10: योग कम से कम 10 चाहिए, तो योग 10, 11 और 12 लीजिए। इनके $3 + 2 + 1 = 6$ तरीके हैं, और प्रायिकता $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है। ध्यान रखिए, "10 से अधिक" लिखा हो तो योग 10 बाहर हो जाता है। तब प्रायिकता $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ रह जाती है।

सम योग: योग तभी सम होता है जब दोनों संख्याएँ सम हों या दोनों विषम। ऐसे $3 \times 3 + 3 \times 3 = 18$ खाने हैं, तो प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है। बाकी आधे खानों में योग विषम होता है।

छोटे योग और पूरक घटना: "योग 4 से अधिक" जैसी घटना में वे योग गिनना आसान है जो नहीं चाहिए, यानी 2, 3 और 4। इनके $1 + 2 + 3 = 6$ तरीके हैं। तो प्रायिकता $1 - \frac{6}{36} = \frac{5}{6}$ है।

[SSC टिप] दो पासों वाला प्रश्न शुरू करने से पहले रफ़ शीट पर सबसे ऊपर तरीकों की पंक्ति लिख लीजिए, 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1। फिर योग वाला हर प्रश्न 36 पर एक छोटा-सा जोड़ भर रह जाता है।

द्विक, और किस पासे पर अधिक

जिस फेंक में दोनों पासों पर एक ही संख्या आए, उसे द्विक (doublet) कहते हैं। जैसे (1, 1), (2, 2) और इसी तरह (6, 6) तक। ये तालिका के विकर्ण वाले 6 खाने हैं, जो नीचे के चित्र में पीले रंग में दिखाए गए हैं।

• $P(\text{द्विक}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$। "दोनों पासों पर एक ही संख्या" कहा जाए, तब भी यही घटना है।
• $P(\text{द्विक नहीं}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$। यही "दोनों पासों पर अलग-अलग संख्याएँ" वाली घटना है।
• अभाज्य संख्याओं का द्विक (2, 2), (3, 3) या (5, 5) हो सकता है। इसकी प्रायिकता $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ है।
• कोई एक खास द्विक, जैसे दोहरा छक्का, केवल एक खाने में आता है। उसकी प्रायिकता $\frac{1}{36}$ है।

पहले पासे पर बड़ी संख्या: 6 द्विक हटा दीजिए, तो 30 खाने बचते हैं। ये बराबर-बराबर बँट जाते हैं। 15 खानों में पहले पासे पर बड़ी संख्या है, और बाकी 15 में दूसरे पासे पर।

$$P(\text{पहले पासे पर बड़ी संख्या}) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$$

चित्र में ये 15 खाने नीले रंग में हैं, और सब विकर्ण के नीचे हैं।

यहाँ एक बात ध्यान रखिए। "पहले पासे पर बड़ी संख्या" और "दोनों पासों पर अलग-अलग संख्याएँ" एक ही घटना नहीं हैं। दूसरी घटना में विकर्ण से बाहर के सारे 30 खाने आते हैं, और उसकी प्रायिकता $\frac{5}{6}$ है।

किसी खास पासे पर कोई संख्या: मान लीजिए पहले पासे पर 4 आने की प्रायिकता चाहिए। यह तालिका की पूरी एक पंक्ति है, यानी 6 खाने। तो प्रायिकता $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है, ठीक उतनी जितनी एक पासा फेंकने पर होती है। दूसरे पासे पर कुछ भी आए, उससे फ़र्क नहीं पड़ता।

दोनों संख्याओं का गुणनफल और अंतर

गुणनफल: तालिका में योग की जगह गुणनफल भर लीजिए, या जोड़े सीधे गिन लीजिए।

• गुणनफल विषम: ऐसा केवल तब होता है जब दोनों संख्याएँ विषम हों। ऐसे $3 \times 3 = 9$ खाने हैं, जो चित्र में रंगे हुए हैं। तो $P(\text{विषम गुणनफल}) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$।
• गुणनफल सम: यह पूरक घटना है, तो प्रायिकता $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है। किसी भी पासे पर एक सम संख्या आ जाए, तो गुणनफल सम हो जाता है। इसीलिए 36 में से 27 खानों में गुणनफल सम है।
• गुणनफल 12: यह (2, 6), (6, 2), (3, 4) और (4, 3) में आता है, यानी चार खानों में। तो $P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$।
• गुणनफल 5 का गुणज: इसके लिए कम से कम एक पासे पर 5 आना ज़रूरी है। पूरक घटना से यह जल्दी निकलता है। किसी भी पासे पर 5 न आए, तो हर पासे के लिए 5 ही संख्याएँ बचती हैं, और $5 \times 5 = 25$ खाने होते हैं। बाकी $36 - 25 = 11$ खाने अनुकूल हैं, तो $P = \frac{11}{36}$।

अंतर: "संख्याओं का अंतर" का मतलब है बड़ी संख्या में से छोटी घटाना। यह 0 से 5 तक हो सकता है।

इन तरीकों का जोड़ 36 है। अंतर 4 केवल (1, 5) और (2, 6) से आता है, और साथ में इन्हीं दोनों के उलटे जोड़ों से। ये 4 खाने हैं, तो $P(\text{अंतर } 4) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$। अंतर 0 का मतलब है द्विक।

तालिका पर "और" तथा "या": मान लीजिए योग 6 भी चाहिए और द्विक भी। तब दोनों बातें एक ही खाने में होनी चाहिए। ऐसा केवल (3, 3) में है, तो प्रायिकता $\frac{1}{36}$ है।

अब "योग 6 या द्विक" लीजिए। योग 6 वाले 5 खाने हैं और द्विक वाले 6। पर (3, 3) दोनों समूहों में है, तो उसे एक ही बार गिनिए। $5 + 6 - 1 = 10$ खाने हुए, यानी प्रायिकता $\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$।

आगे "संयुक्त घटनाएँ" वाले खंड में यही बात सूत्र के रूप में आएगी। तालिका पर तो दोनों में आने वाले खाने सीधे दिख जाते हैं।

एक सिक्का और एक पासा साथ

सिक्का उछाला जाए और साथ में पासा फेंका जाए, तो $2 \times 6 = 12$ परिणाम होते हैं। हर परिणाम में सिक्के का एक पहलू और पासे की एक संख्या होती है।

$$S = \{H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6\}$$

• चित और 3 का गुणज: यह H3 और H6 में है, तो $P = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$।
• पट और 1: यह केवल T1 है, तो $P = \frac{1}{12}$।
• चित या 3 से छोटी संख्या: चित वाले छह परिणाम H1 से H6 तक हैं। इनके साथ T1 और T2 भी लेने हैं। H1 और H2 तो पहले से चित वालों में हैं, इसलिए उन्हें दोबारा नहीं गिनते। कुल 8 परिणाम हुए, तो $P = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$।

यहाँ "और" तथा "या" का फ़र्क समझ लीजिए। "और" वाली घटना में दोनों शर्तें एक ही परिणाम में पूरी होनी चाहिए। "या" वाली घटना में कम से कम एक शर्त पूरी होना काफ़ी है।

"या" में हर परिणाम एक ही बार गिना जाता है। जो परिणाम दोनों शर्तें पूरी करते हैं, जैसे यहाँ H1 और H2, वही भूल से दो बार गिन लिए जाते हैं।

"और" वाली घटना में प्रायिकताओं का गुणा भी किया जा सकता है, क्योंकि सिक्का और पासा एक-दूसरे पर कोई असर नहीं डालते। जैसे $P(\text{चित और 3 का गुणज}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$। गिनकर भी यही उत्तर आया था। स्वतंत्र घटनाओं (independent events) का यह गुणन नियम आगे "संयुक्त घटनाएँ" वाले खंड में पढ़ेंगे।

दो सिक्के और एक पासा हों, तो $4 \times 6 = 24$ परिणाम होते हैं। सूची उसी ढंग से लिखी जाती है।

तीन पासे: सरल प्रश्न

तीन पासे फेंके जाएँ, तो $6 \times 6 \times 6 = 216$ परिणाम होते हैं। इन्हें त्रिकों के रूप में लिखते हैं, जैसे (2, 5, 5)। इन सबकी सूची बनाना तो संभव नहीं है। पर सरल प्रश्नों में कुछ ही परिणाम चाहिए होते हैं।

• तीनों पर एक ही संख्या: (1, 1, 1), (2, 2, 2) और इसी तरह (6, 6, 6) तक, कुल 6 परिणाम। तो $P = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$।
• योग 18: 18 केवल (6, 6, 6) से आता है, तो $P = \frac{1}{216}$। योग 3 भी केवल (1, 1, 1) से आता है, इसलिए उसकी प्रायिकता भी यही है।
• तीनों संख्याएँ एक जैसी नहीं: यह पहली वाली घटना की पूरक घटना है, तो प्रायिकता $1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$ है।

कुल परिणाम $6^3 = 216$ हैं, क्योंकि हर पासा परिणामों की संख्या को 6 गुना कर देता है, ठीक वैसे ही जैसे हर सिक्का इसे दोगुना करता था।

कुछ छात्र हर में $6 + 6 + 6 = 18$ लिख देते हैं। उन्होंने फलकों को गुणा करने की जगह जोड़ दिया, जो गलत है।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है। कम से कम एक पट आने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{2}$ (b) $\frac{1}{4}$ (c) $\frac{3}{4}$ (d) $\frac{2}{3}$

उत्तर: चार परिणाम हैं, HH, HT, TH और TT। इनमें केवल HH में कोई पट नहीं है। बाकी 3 परिणामों में कम से कम एक पट है, तो प्रायिकता (c) $\frac{3}{4}$ है। चाहें तो सीधे $1 - \frac{1}{4}$ भी कर सकते हैं, यानी 1 में से HH की प्रायिकता घटा देते हैं।

प्रश्न 2

दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। दोनों सिक्कों पर एक ही पहलू आने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{2}$ (b) $\frac{2}{3}$ (c) $\frac{1}{4}$ (d) $\frac{3}{4}$

उत्तर: एक ही पहलू का मतलब है HH या TT। 4 परिणामों (HH, HT, TH, TT) में से ये 2 हैं, तो प्रायिकता (a) $\frac{1}{2}$ है। कोई परिणाम "दो चित, दो पट, एक-एक" लिख ले, तो उसे $\frac{2}{3}$ मिलेगा। पर "एक-एक" दो तरह से आता है, HT से भी और TH से भी।

प्रश्न 3

तीन सिक्के उछाले जाते हैं। ठीक एक पट आने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{8}$ (b) $\frac{3}{8}$ (c) $\frac{1}{4}$ (d) $\frac{1}{2}$

उत्तर: पट पहले सिक्के पर हो सकता है, दूसरे पर या तीसरे पर। तो ठीक एक पट वाले परिणाम THH, HTH और HHT हैं। 8 परिणामों में से ये 3 हैं, यानी उत्तर (b) $\frac{3}{8}$।

प्रश्न 4

तीन सिक्के उछाले जाते हैं। अधिक से अधिक दो पट आने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{3}{8}$ (b) $\frac{1}{2}$ (c) $\frac{3}{4}$ (d) $\frac{7}{8}$

उत्तर: अधिक से अधिक दो पट का मतलब है 0, 1 या 2 पट। इसमें केवल एक परिणाम छूटता है, TTT, जिसमें तीनों पट हैं। 1 में से उसकी प्रायिकता $\frac{1}{8}$ घटा दें, तो (d) $\frac{7}{8}$ आता है। इसे ठीक दो पट समझकर हल करेंगे, तो केवल $\frac{3}{8}$ मिलेगा।

प्रश्न 5

तीन सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। तीनों सिक्कों पर एक ही पहलू आने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{4}$ (b) $\frac{1}{8}$ (c) $\frac{1}{2}$ (d) $\frac{3}{4}$

उत्तर: तीनों सिक्कों पर एक ही पहलू तभी आएगा, जब HHH हो या TTT, यानी 8 परिणामों में से 2। प्रायिकता $\frac{2}{8}$ है, जो काटने पर (a) $\frac{1}{4}$ होती है। यहाँ HHH के साथ TTT भी गिनना है। जो केवल HHH गिनते हैं, उन्हें $\frac{1}{8}$ मिलता है।

प्रश्न 6

एक पासा एक बार फेंका जाता है। विषम अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{2}$ (b) $\frac{2}{3}$ (c) $\frac{1}{3}$ (d) $\frac{1}{6}$

उत्तर: पासे पर अभाज्य संख्याएँ 2, 3 और 5 हैं। इनमें विषम केवल 3 और 5 हैं। तो 6 में से 2 फलक अनुकूल हैं, और प्रायिकता $\frac{2}{6}$ है। न्यूनतम रूप में यह (c) $\frac{1}{3}$ है। 1 विषम तो है, पर अभाज्य नहीं, इसलिए वह गिनती से बाहर रहता है।

प्रश्न 7

एक पासा एक बार फेंका जाता है। पासे पर आई संख्या के 12 का गुणनखंड होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{2}{3}$ (b) $\frac{5}{6}$ (c) 1 (d) $\frac{1}{2}$

उत्तर: 12 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं। पासे पर 12 तो आ ही नहीं सकता। तो अनुकूल फलक 1, 2, 3, 4 और 6 हैं, यानी 6 में से 5। प्रायिकता (b) $\frac{5}{6}$ है। पासे पर केवल 5 ही ऐसी संख्या है जो 12 का गुणनखंड नहीं है।

प्रश्न 8

दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग 9 होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{11}$ (b) $\frac{1}{18}$ (c) $\frac{5}{36}$ (d) $\frac{1}{9}$

उत्तर: योग 9 वाले जोड़े (3, 6), (4, 5), (5, 4) और (6, 3) हैं। पहले पासे पर 1 या 2 नहीं हो सकता, क्योंकि तब दूसरे पर 8 या 7 चाहिए। तो 36 में से 4 परिणाम हैं, यानी $\frac{4}{36}$, जो (d) $\frac{1}{9}$ है। जल्दबाज़ी में लोग (4, 5) और (5, 4) को एक ही मान लेते हैं। तब केवल 2 जोड़े बचते हैं और $\frac{1}{18}$ आता है, जो गलत है।

प्रश्न 9

दो पासे फेंके जाते हैं। दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग 6 से कम होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{6}$ (b) $\frac{5}{18}$ (c) $\frac{4}{11}$ (d) $\frac{5}{12}$

उत्तर: योग 6 से कम हो, तो वह 2, 3, 4 या 5 होगा। तरीकों वाली तालिका देखें, तो इनके 1, 2, 3 और 4 तरीके हैं, यानी $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ खाने। $\frac{10}{36}$ को सरल करें, तो (b) $\frac{5}{18}$ मिलता है।

प्रश्न 10

दो पासे फेंके जाते हैं। दोनों पासों पर आई संख्याओं के योग के 5 का गुणज होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{7}{36}$ (b) $\frac{2}{11}$ (c) $\frac{1}{6}$ (d) $\frac{1}{9}$

उत्तर: दो पासों का योग 2 से 12 तक ही होता है। इनमें 5 के गुणज केवल 5 और 10 हैं। इनके 4 और 3 तरीके हैं, कुल 7 खाने। तो प्रायिकता (a) $\frac{7}{36}$ है। 11 योगों में से 2 लेकर $\frac{2}{11}$ लिखना गलत है, क्योंकि ये योग समसंभाव्य नहीं होते।

प्रश्न 11

दो पासे फेंके जाते हैं। दोनों पासों पर आई संख्याओं के योग के 12 का गुणनखंड होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{5}{11}$ (b) $\frac{5}{12}$ (c) $\frac{1}{4}$ (d) $\frac{1}{3}$

उत्तर: यहाँ पहले 12 के गुणनखंड देखने हैं। ये 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं। दो पासों का योग 1 नहीं हो सकता, बाकी कोई भी हो सकता है। योग 2, 3, 4, 6 और 12 के $1 + 2 + 3 + 5 + 1 = 12$ तरीके हैं। प्रायिकता $\frac{12}{36}$ हुई, तो उत्तर (d) $\frac{1}{3}$ है।

प्रश्न 12

दो पासे फेंके जाते हैं। विषम संख्याओं का द्विक आने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{6}$ (b) $\frac{1}{4}$ (c) $\frac{1}{12}$ (d) $\frac{1}{36}$

उत्तर: विषम संख्याओं का द्विक (1, 1), (3, 3) या (5, 5) ही हो सकता है। ये 36 में से 3 खाने हैं, तो $\frac{3}{36}$, जो काटने पर (c) $\frac{1}{12}$ है। छहों द्विक गिन लें, तो $\frac{1}{6}$ आएगा। पर यहाँ सम संख्याओं वाले द्विक नहीं गिने जाते।

प्रश्न 13

दो पासे फेंके जाते हैं। दोनों पासों पर आई संख्याओं का गुणनफल 4 होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{12}$ (b) $\frac{1}{9}$ (c) $\frac{1}{18}$ (d) $\frac{1}{6}$

उत्तर: गुणनफल 4 वाले जोड़े (1, 4), (4, 1) और (2, 2) हैं। (2, 2) को उलटें, तो वही जोड़ा रहता है, इसलिए उसका एक ही खाना है। कुल 3 खाने हुए, तो उत्तर (a) $\frac{1}{12}$ है।

प्रश्न 14

दो पासे फेंके जाते हैं। दोनों पासों पर आई संख्याओं के गुणनफल के 3 का गुणज होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{3}$ (b) $\frac{4}{9}$ (c) $\frac{2}{3}$ (d) $\frac{5}{9}$

उत्तर: इसमें उलटी घटना गिनना आसान है। गुणनफल 3 का गुणज तभी नहीं होगा, जब किसी भी पासे पर 3 या 6 न आए। मतलब हर पासे पर 1, 2, 4 या 5 आए, और ऐसे $4 \times 4 = 16$ खाने हैं। बाकी $36 - 16 = 20$ खाने अनुकूल हैं। प्रायिकता $\frac{20}{36}$ है, जो (d) $\frac{5}{9}$ के बराबर है।

प्रश्न 15

दो पासे फेंके जाते हैं। दोनों पासों पर आई संख्याओं का अंतर 3 होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{12}$ (b) $\frac{1}{9}$ (c) $\frac{1}{6}$ (d) $\frac{5}{36}$

उत्तर: अंतर 3 वाले जोड़े (1, 4), (2, 5) और (3, 6) हैं, और इन्हीं तीनों के उलटे (4, 1), (5, 2) और (6, 3)। 36 में से 6 खाने हुए, तो प्रायिकता (c) $\frac{1}{6}$ है। उलटे जोड़े भूल गए, तो इनमें से केवल आधे ही गिने जाएँगे।

प्रश्न 16

दो पासे, एक लाल और एक नीला, फेंके जाते हैं। लाल पासे पर आई संख्या के नीले पासे पर आई संख्या की दोगुनी होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{6}$ (b) $\frac{1}{12}$ (c) $\frac{1}{18}$ (d) $\frac{1}{9}$

उत्तर: बड़ी संख्या लाल पासे पर होगी, और वह नीले वाली की दोगुनी होगी। जोड़े (लाल, नीला) के रूप में लिखें, तो (2, 1), (4, 2) और (6, 3) मिलते हैं। नीले पासे पर 4 या उससे बड़ी संख्या नहीं आ सकती, क्योंकि तब लाल पर 8 या अधिक चाहिए। इस तरह 3 खाने हैं, और प्रायिकता (b) $\frac{1}{12}$ है। यहाँ जोड़ों को उलटकर दोबारा गिनना गलत होगा, क्योंकि प्रश्न ख़ुद बता रहा है कि बड़ी संख्या किस पासे पर है।

प्रश्न 17

दो पासे फेंके जाते हैं। दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग 5 से कम होने या द्विक आने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{3}$ (b) $\frac{1}{6}$ (c) $\frac{1}{18}$ (d) $\frac{5}{18}$

उत्तर: योग 5 से कम का मतलब है योग 2, 3 या 4, जिनके $1 + 2 + 3 = 6$ खाने हैं। द्विक के भी 6 खाने हैं। पर दो खाने, (1, 1) और (2, 2), दोनों समूहों में आते हैं, तो उन्हें एक ही बार गिनना है। तो $6 + 6 - 2 = 10$ खाने हुए। प्रायिकता $\frac{10}{36}$ है, और अंश व हर दोनों को आधा करने पर (d) $\frac{5}{18}$ आता है। साझा 2 खाने न घटाएँ, तो $\frac{12}{36} = \frac{1}{3}$ आ जाता है, जो गलत है।

प्रश्न 18

एक सिक्का उछाला जाता है और साथ ही एक पासा फेंका जाता है। पट और विषम संख्या आने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{4}$ (b) $\frac{1}{2}$ (c) $\frac{3}{4}$ (d) $\frac{1}{6}$

उत्तर: कुल $2 \times 6 = 12$ परिणाम हैं। पट के साथ विषम संख्या वाले परिणाम केवल T1, T3 और T5 हैं, यानी कुल 3। बारह में से तीन परिणाम अनुकूल हैं, तो उत्तर (a) $\frac{1}{4}$ है। गुणा करके भी देख सकते हैं, $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ ही आता है।

प्रश्न 19

एक सिक्का उछाला जाता है और एक पासा फेंका जाता है। चित या 1 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{5}{12}$ (b) $\frac{5}{6}$ (c) $\frac{11}{12}$ (d) $\frac{1}{2}$

उत्तर: अनुकूल परिणामों की सूची बनाने में समय लगेगा, इसलिए उलटा देखते हैं कि शर्त कब पूरी नहीं होती। ऐसा तभी होगा जब सिक्के पर पट आए और पासे पर 1, यानी केवल T1 में। तो 12 में से 11 परिणाम अनुकूल हैं, और प्रायिकता (c) $\frac{11}{12}$ है। $\frac{5}{12}$ तो "चित और 1 से बड़ी संख्या" का उत्तर है, और वह अलग प्रश्न है।

प्रश्न 20

तीन पासे एक साथ फेंके जाते हैं। तीनों पासों पर एक ही सम संख्या आने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{36}$ (b) $\frac{1}{72}$ (c) $\frac{1}{216}$ (d) $\frac{1}{8}$

उत्तर: तीन पासों पर $6 \times 6 \times 6 = 216$ परिणाम होते हैं। तीनों पर एक ही सम संख्या (2, 2, 2), (4, 4, 4) या (6, 6, 6) में आती है, यानी 3 परिणाम। $\frac{3}{216}$ के अंश और हर को 3 से भाग दें, तो (b) $\frac{1}{72}$ मिलता है।