ताश, गेंदें और थैले

52 पत्तों की ताश की गड्डी

कोई प्रश्न "52 पत्तों की ताश की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है" से शुरू हो, तो उसमें मान लिया जाता है कि आपको पूरी गड्डी ज़बानी याद है। गड्डी याद हो, तो ताश का हर प्रश्न बस गिनती का प्रश्न रह जाता है।

• रंग: गड्डी में 4 रंग (suit) होते हैं, और हर रंग में 13 पत्ते। हुकुम (♠) और चिड़ी (♣) काले होते हैं, पान (♥) और ईंट (♦) लाल। इसलिए गड्डी में 26 लाल पत्ते हैं और 26 काले पत्ते।
• मान: हर रंग में पत्ते इस क्रम में होते हैं, इक्का, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, गुलाम, बेगम, बादशाह। हर मान हर रंग में एक बार आता है। तो गड्डी में 4 इक्के हैं, 4 बादशाह हैं, चार सत्ते (7 वाले पत्ते) हैं, और बाकी मानों के भी इसी तरह चार-चार। किसी भी मान के 4 पत्तों में 2 लाल होते हैं और 2 काले।
• तस्वीर वाले पत्ते: गुलाम, बेगम और बादशाह को तस्वीर वाले पत्ते (face cards, court cards, picture cards) कहते हैं। हर रंग में ये 3 हैं, तो गड्डी में 12 हुए, जिनमें 6 लाल हैं और 6 काले। ध्यान रखिए, इक्का तस्वीर वाला पत्ता नहीं है।
• सम्मान पत्ते: हर रंग के इक्का, बादशाह, बेगम और गुलाम सम्मान पत्ते (honour cards) कहलाते हैं, कुल 16 पत्ते। कुछ प्रश्न बनाने वाले 10 को भी सम्मान पत्ता गिन लेते हैं। इसलिए प्रश्न में कोष्ठक के अंदर सम्मान पत्तों की सूची दी हो, तो उसी सूची से गिनिए।
• संख्या वाले पत्ते: 2 से 10 तक के पत्ते संख्या वाले पत्ते (number cards) हैं। हर रंग में ये 9 हैं, और पूरी गड्डी में 36।

नीचे वाली गिनतियाँ बार-बार काम आती हैं।

प्रश्न में "अच्छी तरह फेंटी गई" लिखा हो या "यादृच्छया निकाला गया", दोनों का मतलब एक ही है। 52 में से हर पत्ते के निकलने की संभावना बराबर है, यानी सारे पत्ते समसंभाव्य हैं। तो एक पत्ते के लिए प्रायिकता ऐसे निकलती है।

$$P(E) = \frac{\text{उस प्रकार के पत्तों की संख्या}}{52}$$

52 पत्तों की गड्डी में कोई जोकर नहीं होता। अगर प्रश्न कहे कि पहले कुछ पत्ते निकाल लिए गए हैं, तो कुल अब 52 नहीं रहता। तब बचे हुए पत्ते ही गिनिए।

शर्त वाला एक पत्ता

पहले वे पत्ते गिनिए जो शर्त पर खरे उतरते हैं। फिर उस गिनती को 52 से भाग दीजिए, और अंत में भिन्न को काटकर सरल कर लीजिए। कुछ उदाहरण देखिए।

• लाल बादशाह 2 हैं, पान का बादशाह और ईंट का बादशाह। तो $P = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$।
• तस्वीर वाला पत्ता निकलने की प्रायिकता $\frac{12}{52} = \frac{3}{13}$ है।
• काला तस्वीर वाला पत्ता निकलने की प्रायिकता $\frac{6}{52} = \frac{3}{26}$ है।
• पत्ता पान का न हो, तो पान के अलावा बचे 39 पत्ते गिनिए। $P = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}$। पूरक घटना से यह और जल्दी हो जाता है, $1 - \frac{13}{52} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।

"या" वाले प्रश्नों में हर पत्ता एक ही बार गिनिए: मान लीजिए पूछा गया है कि पत्ता हुकुम का हो या बादशाह हो। गड्डी में 13 हुकुम हैं और 4 बादशाह। पर हुकुम का बादशाह दोनों सूचियों में आता है। तो खरे पत्ते 13 हुकुम और बाकी 3 बादशाह हुए, यानी कुल 16 पत्ते।

$$P(\text{हुकुम का पत्ता या बादशाह}) = \frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$$

इसी तरह "लाल पत्ता या बेगम" में 26 लाल पत्ते हैं, और उनके साथ 2 काली बेगम और जुड़ती हैं। कुल 28 पत्ते हुए, तो $P = \frac{28}{52} = \frac{7}{13}$। यहाँ 26 और 4 जोड़कर 30 लेना गलत है, क्योंकि उसमें दोनों लाल बेगम दो बार गिन ली जाती हैं। असल में यही योग नियम है, जिसे यहाँ हमने गिनकर लगाया है। इसका सूत्र "संयुक्त घटनाएँ" वाले खंड में आएगा।

"न A, न B" वाले प्रश्न: जो पत्ते A में आते हैं या B में, उन सबको गिनकर 52 में से घटा दीजिए। जैसे पत्ता न पान का हो, न तस्वीर वाला पत्ता। पान 13 हैं, और पान के अलावा तस्वीर वाले पत्ते 9 हैं। ये 22 पत्ते बाहर हुए, तो 30 बचे। इसलिए $P = \frac{30}{52} = \frac{15}{26}$।

कुछ पत्ते हटा दिए गए हों तब: मान लीजिए सारे 12 तस्वीर वाले पत्ते बाहर निकाल दिए गए, और बचे 40 पत्तों में से एक पत्ता निकाला गया। इसके इक्का होने की प्रायिकता $\frac{4}{40} = \frac{1}{10}$ है, न कि $\frac{4}{52}$। मतलब नीचे का कुल बदलना पड़ता है। और अगर हटाए गए पत्तों में वे पत्ते भी हों जो पूछे गए हैं, तो ऊपर की गिनती भी बदलेगी।

जल्दी काटने के लिए याद रखिए कि $52 = 4 \times 13$ है। गिनती 4 का गुणज हो, तो नीचे 13 बचता है, जैसे $\frac{16}{52} = \frac{4}{13}$। कोई और सम गिनती हो, तो नीचे 26 बचता है, जैसे $\frac{6}{52} = \frac{3}{26}$। गिनती 13 का गुणज हो, तो भिन्न और आगे कट जाती है, जैसे $\frac{26}{52} = \frac{1}{2}$ और $\frac{39}{52} = \frac{3}{4}$।

दो या तीन चीज़ें एक साथ चुनना

जब दो या तीन गेंदें या पत्ते एक साथ निकाले जाते हैं, तो कौन पहले निकला और कौन बाद में, इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता। जोड़ी (बादशाह, 7) और जोड़ी (7, बादशाह) एक ही जोड़ी है।

$n$ चीज़ों में से $r$ चीज़ें चुनने के जितने तरीके हैं, उनकी संख्या को $^{n}C_{r}$ लिखते हैं और "n C r" पढ़ते हैं। इन चुनावों को संचय (combinations) कहते हैं। ज़्यादातर प्रश्नों में इसकी ज़रूरत केवल $r = 1$, 2 और 3 के लिए पड़ती है। "संयुक्त घटनाएँ" वाले खंड में यह एक और जगह काम आएगा, जब कोई प्रयास बार-बार किया जाता है।

एक चीज़ चुनना: $^{n}C_{1} = n$, यानी जितनी चीज़ें, उतने तरीके।

दो चीज़ें चुनना: पहली चीज़ $n$ में से कोई भी हो सकती है, और दूसरी बची हुई $n - 1$ में से कोई भी। इस तरह क्रम के साथ $n(n - 1)$ चुनाव होते हैं। पर इनमें हर जोड़ी दो बार गिनी गई है, एक बार A फिर B, और एक बार B फिर A। इसलिए 2 से भाग देते हैं।

$$^{n}C_{2} = \frac{n(n - 1)}{2}$$

एक बार जाँच कर लेते हैं। 5 गेंदें A, B, C, D, E लीजिए। इनकी जोड़ियाँ AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE हैं, कुल 10। सूत्र से भी $\frac{5 \times 4}{2} = 10$ ही आता है।

तीन चीज़ें चुनना: क्रम के साथ $n(n - 1)(n - 2)$ चुनाव होते हैं। पर तीन चीज़ों का हर समूह इनमें 6 बार आता है, ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA। इसलिए 6 से भाग देते हैं।

$$^{n}C_{3} = \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}$$

जैसे 5 गेंदों में से तीन चुननी हों, तो $^{5}C_{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{6} = 10$। ध्यान दीजिए, निकालने के लिए 3 गेंदें चुनना और पीछे छोड़ने के लिए 2 गेंदें चुनना एक ही बात है। इसीलिए $^{5}C_{3} = {}^{5}C_{2}$ है।

छोटी संख्याओं के लिए ये मान अक्सर काम आते हैं।

ताश के प्रश्नों में ये मान भी आते हैं, $^{13}C_{2} = 78$, $^{26}C_{2} = 325$ और $^{52}C_{2} = 1326$।

संचय से प्रायिकता: चीज़ें एक साथ निकाली गई हों, तो प्रायिकता ऐसे निकलती है।

$$P = \frac{\text{अनुकूल चुनावों की संख्या}}{\text{सभी चुनावों की संख्या}}$$

जब चुनाव में कुछ चीज़ें एक समूह से आएँ और कुछ दूसरे समूह से, तो दोनों के तरीकों का गुणा कर दीजिए। जैसे 5 लाल गेंदों में से एक और 4 नीली गेंदों में से एक चुननी हो, तो $5 \times 4 = 20$ तरीके हैं। 5 में से दो लाल और 4 में से एक नीली चुननी हो, तो $^{5}C_{2} \times 4 = 10 \times 4 = 40$ तरीके।

एक साथ निकाले गए दो पत्ते

गड्डी से दो पत्ते एक साथ निकाले जाएँ, तो कुल जोड़ियाँ इतनी होती हैं।

$$^{52}C_{2} = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$$

ये सारी जोड़ियाँ समसंभाव्य हैं। अनुकूल जोड़ियाँ भी इसी तरह गिनी जाती हैं। कुछ आम स्थितियाँ देखिए।

हर प्रकार का एक-एक: एक लाल और एक काला पत्ता चाहिए, तो $26 \times 26 = 676$ जोड़ियाँ हैं, और $P = \frac{676}{1326} = \frac{26}{51}$। एक बादशाह और एक बेगम के लिए $4 \times 4 = 16$ जोड़ियाँ हैं, तो $P = \frac{16}{1326} = \frac{8}{663}$।

अब एक जाँच कर लीजिए। "दोनों लाल", "दोनों काले" और "एक लाल, एक काला", इन तीनों में हर संभव जोड़ी आ जाती है। इसलिए तीनों प्रायिकताओं का योग 1 होना चाहिए, और होता भी है, $\frac{25}{102} + \frac{25}{102} + \frac{52}{102} = 1$। ऐसी जाँच से गिनती की गलती पकड़ में आ जाती है।

कम से कम एक: "कम से कम एक लाल पत्ता" में "दोनों काले" वाली जोड़ियों को छोड़कर बाकी सारी जोड़ियाँ आती हैं, क्योंकि केवल उन्हीं जोड़ियों में एक भी लाल पत्ता नहीं होता। दोनों काले पत्तों की $^{26}C_{2} = 325$ जोड़ियाँ हैं, ठीक उतनी ही जितनी दोनों लाल की। इसलिए

$$P(\text{कम से कम एक लाल पत्ता}) = 1 - \frac{325}{1326} = \frac{1001}{1326} = \frac{77}{102}$$

गुणा से पहले काटिए: $\frac{^{4}C_{2}}{^{52}C_{2}} = \frac{4 \times 3}{52 \times 51}$ होता है, क्योंकि ऊपर और नीचे के 2 कट जाते हैं। इसलिए "दोनों बादशाह" की प्रायिकता सीधे ऐसे भी निकलती है, $\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$। यह गुणनफल असल में एक के बाद एक पत्ते निकालने वाला तरीका है, जिसे इसी खंड में आगे विस्तार से देखेंगे।

[SSC टिप] याद रखिए कि $1326 = 2 \times 3 \times 13 \times 17$ है। इसलिए दो पत्तों वाले प्रश्न में भिन्न को पूरा काटने के बाद उसका हर केवल 2, 3, 13 और 17 से ही बना होता है, जैसे 17, 51, 102, 221, 663 आदि। आपके उत्तर के हर में 5 या 7 आ जाए, तो समझ लीजिए कि गिनती में कहीं गलती हुई है।

रंगीन गेंदों वाला थैला

थैले में अलग-अलग रंगों की गेंदें हों, जार में कंचे हों, डिब्बे में पेन हों या कार्टन में बल्ब, ऐसे सारे प्रश्न ताश की तरह ही हल होते हैं। जो चीज़ें शर्त पर खरी उतरें, उन्हें गिनिए और कुल से भाग दे दीजिए।

इस थैले में 6 लाल, 3 नीली और 3 हरी गेंदें हैं, कुल 12। मान लीजिए इसमें से एक गेंद यादृच्छया निकाली गई।

• $P(\text{लाल}) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$, $P(\text{नीली}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ और $P(\text{हरी}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$। तीनों का योग 1 है, और होना भी चाहिए, क्योंकि गेंद का रंग इन्हीं तीन में से कोई एक होगा।
• $P(\text{हरी नहीं}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
• $P(\text{लाल या नीली}) = \frac{6 + 3}{12} = \frac{3}{4}$। एक गेंद के दो रंग नहीं हो सकते, इसलिए यहाँ गिनतियाँ सीधे जुड़ जाती हैं।
• $P(\text{पीली}) = 0$, क्योंकि थैले में कोई पीली गेंद है ही नहीं।

थैला बदल जाए तब: मान लीजिए इसी थैले में 3 हरी गेंदें और डाल दी गईं। अब थैले में 15 गेंदें हैं, जिनमें 6 हरी हैं। तो $P(\text{हरी}) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$। यहाँ गिनती और कुल, दोनों बदलते हैं। इनमें से केवल एक को बदला, तो उत्तर गलत आएगा।

रंग अनुपात में दिए हों तब: मान लीजिए लाल, नीली और हरी गेंदें 2 : 3 : 5 के अनुपात में हैं। तब असली संख्याओं की ज़रूरत ही नहीं पड़ती, $P(\text{नीली}) = \frac{3}{2 + 3 + 5} = \frac{3}{10}$।

दोषपूर्ण चीज़ें: 25 बल्बों के एक डिब्बे में 4 बल्ब काम नहीं करते। यादृच्छया उठाया गया बल्ब काम करे, इसकी प्रायिकता $\frac{21}{25}$ है। यहाँ ठीक बल्ब और दोषपूर्ण बल्ब वैसे ही हैं, जैसे थैले में दो रंगों की गेंदें।

एक साथ निकाली गई दो या तीन गेंदें

वही थैला लेते हैं, जिसमें 6 लाल, 3 नीली और 3 हरी गेंदें हैं। दो गेंदें एक साथ निकाली जाएँ, तो संभव जोड़ियाँ $^{12}C_{2} = \frac{12 \times 11}{2} = 66$ हैं।

• दोनों लाल: $^{6}C_{2} = 15$ जोड़ियाँ हैं, तो $P = \frac{15}{66} = \frac{5}{22}$।
• एक लाल और एक नीली: $6 \times 3 = 18$ जोड़ियाँ हैं, तो $P = \frac{18}{66} = \frac{3}{11}$।
• दोनों एक ही रंग की: दो लाल, दो नीली या दो हरी, यानी $15 + 3 + 3 = 21$ जोड़ियाँ। तो $P = \frac{21}{66} = \frac{7}{22}$।
• दो अलग-अलग रंग: बाकी सारी जोड़ियाँ, यानी $66 - 21 = 45$, तो $P = \frac{45}{66} = \frac{15}{22}$। सीधे गिनें, तब भी $6 \times 3 + 6 \times 3 + 3 \times 3 = 18 + 18 + 9 = 45$ ही आता है।
• कम से कम एक हरी: कोई हरी न हो, तो दोनों गेंदें 9 लाल और नीली गेंदों में से आएँगी, यानी $^{9}C_{2} = 36$ जोड़ियाँ। तो $P(\text{कम से कम एक हरी}) = 1 - \frac{36}{66} = \frac{30}{66} = \frac{5}{11}$।

अब तीन गेंदें एक साथ निकालिए। सारे चुनाव $^{12}C_{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{6} = 220$ हैं।

• तीनों लाल: $^{6}C_{3} = 20$, तो $P = \frac{20}{220} = \frac{1}{11}$।
• हर रंग की एक: $6 \times 3 \times 3 = 54$, तो $P = \frac{54}{220} = \frac{27}{110}$।
• दो लाल और एक नीली: $^{6}C_{2} \times 3 = 45$, तो $P = \frac{45}{220} = \frac{9}{44}$।

तरीका हर बार वही है। पहले सारे चुनाव गिनिए। फिर हर रंग से चुनने के तरीकों का गुणा करके अनुकूल चुनाव गिनिए। अंत में भाग देकर भिन्न काट लीजिए।

यहाँ एक गलती से बचना है। कुछ छात्र गेंदों की जगह रंगों के मेल गिनने लगते हैं। "लाल और लाल" रंगों का एक ही मेल है, पर उसके पीछे गेंदों की 15 अलग-अलग जोड़ियाँ हैं। याद रखिए, गेंदों की हर जोड़ी समसंभाव्य होती है, रंगों के मेल नहीं।

एक के बाद एक: प्रतिस्थापन सहित और रहित

कभी-कभी गेंदें या पत्ते एक-एक करके निकाले जाते हैं। तब प्रश्न यह भी बताता है कि पहली गेंद या पहले पत्ते का क्या हुआ। उसे वापस रख दिया गया हो, तो इसे प्रतिस्थापन सहित (with replacement) निकालना कहते हैं, और न रखा गया हो, तो प्रतिस्थापन रहित (without replacement)।

प्रतिस्थापन रहित: पहली गेंद बाहर ही रहती है, तो दूसरी बार थैले में एक गेंद कम होती है। मान लीजिए थैले में 6 सफ़ेद और 3 काली गेंदें हैं, और दो गेंदें एक के बाद एक निकाली गईं।

वृक्ष-आरेख के हर रास्ते पर प्रायिकताओं का गुणा कीजिए। सफ़ेद फिर सफ़ेद के लिए $\frac{6}{9} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{12}$ आता है। दूसरी बार थैले में 8 गेंदें हैं और उनमें 5 सफ़ेद, क्योंकि एक सफ़ेद गेंद बाहर जा चुकी है। सफ़ेद फिर काली के लिए $\frac{6}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{1}{4}$ आता है, और काली फिर सफ़ेद के लिए भी उतना ही, $\frac{3}{9} \times \frac{6}{8} = \frac{1}{4}$। जाँच के लिए चारों रास्तों की प्रायिकताएँ जोड़ लीजिए, योग 1 आता है।

प्रश्न में क्रम ध्यान से पढ़िए।

• "पहली गेंद सफ़ेद और दूसरी काली" में एक ही रास्ता चलेगा, तो प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है।
• "एक गेंद सफ़ेद और दूसरी काली" में कोई भी क्रम चलेगा, तो $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$।

दो गेंदें एक साथ निकालें, तो भी उत्तर वही आता है जो एक के बाद एक, प्रतिस्थापन रहित निकालने पर आता है। दोनों सफ़ेद की प्रायिकता $\frac{^{6}C_{2}}{^{9}C_{2}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ है, और हर रंग की एक गेंद की $\frac{6 \times 3}{36} = \frac{1}{2}$।

प्रतिस्थापन सहित: दूसरी गेंद निकालने से पहले पहली गेंद वापस रख दी जाती है। थैला दोनों बार वही रहता है, तो पहली बार जो हुआ, उसका दूसरी बार पर कोई असर नहीं पड़ता। दोनों सफ़ेद आने की प्रायिकता $\frac{6}{9} \times \frac{6}{9} = \frac{4}{9}$ है।

तीन बार निकालना: आगे भी यही नियम चलता है। इसी थैले से तीन बार प्रतिस्थापन सहित गेंद निकालें, तो तीनों सफ़ेद आने की प्रायिकता $\left(\frac{6}{9}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$ है। प्रतिस्थापन रहित हो, तो $\frac{6}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{5}{21}$।

ताश में भी ऐसा ही होता है। एक के बाद एक दो इक्के निकालने हों, तो प्रतिस्थापन रहित में $\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{1}{221}$ आता है। पहला पत्ता वापस रखकर निकालें, तो $\frac{4}{52} \times \frac{4}{52} = \frac{1}{169}$।

[SSC टिप] जब तक प्रश्न में साफ़ न लिखा हो कि पहली गेंद या पहला पत्ता वापस रखा गया ("वापस रख दिया गया", "प्रतिस्थापन सहित"), तब तक प्रतिस्थापन रहित ही मानिए। "एक साथ", "एक बार में" और "एक के बाद एक", इन तीनों में दूसरी चीज़ निकलते समय थैले में एक चीज़ कम होती है।

गेंदों की अज्ञात संख्या निकालना

इन प्रश्नों में प्रायिकता दी होती है और कोई एक गिनती पता नहीं होती। तब गिनती को कुल से भाग देकर उसे दी हुई प्रायिकता के बराबर रखिए, और जो पता नहीं है, उसे निकाल लीजिए।

एक रंग से कुल: थैले में 8 हरी गेंदें हैं और कुछ पीली, और $P(\text{हरी}) = \frac{2}{5}$ दी है। मतलब 8 गेंदें कुल का $\frac{2}{5}$ हैं। तो कुल $8 \times \frac{5}{2} = 20$ है, और इनमें 12 गेंदें पीली हैं।

कुल के भीतर अज्ञात: थैले में 10 लाल गेंदें हैं और $x$ नीली, और $P(\text{नीली}) = \frac{1}{3}$ है।

$$\frac{x}{10 + x} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3x = 10 + x \Rightarrow x = 5$$

जाँच कर लेते हैं। 15 गेंदों में 5 नीली हैं, तो प्रायिकता $\frac{1}{3}$ ही है। ध्यान रखिए, $x$ कुल में भी आता है, इसीलिए वह हर में भी लिखा गया है।

कई रंग, प्रायिकताएँ दी हों तब: थैले में लाल, सफ़ेद और काली गेंदें हैं। $P(\text{लाल}) = \frac{1}{5}$ और $P(\text{सफ़ेद}) = \frac{1}{2}$ है, और काली गेंदें 12 हैं। काली गेंदों के हिस्से बची हुई प्रायिकता आती है, $1 - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$। यानी 12 गेंदें कुल का $\frac{3}{10}$ हैं। तो कुल $12 \times \frac{10}{3} = 40$ है, जिनमें 8 लाल और 20 सफ़ेद गेंदें हैं।

गेंदें डालने पर प्रायिकता बदले तब: थैले में 20 गेंदें हैं, जिनमें $x$ लाल हैं। 10 लाल गेंदें और डालने पर लाल गेंद निकलने की प्रायिकता दोगुनी हो जाती है।

$$\frac{x + 10}{30} = 2 \times \frac{x}{20} \Rightarrow \frac{x + 10}{30} = \frac{x}{10} \Rightarrow x + 10 = 3x \Rightarrow x = 5$$

जाँच कीजिए। पहले प्रायिकता $\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ थी, बाद में $\frac{15}{30} = \frac{1}{2}$ हो गई, यानी दोगुनी। ऐसे प्रश्नों में अक्सर यह गलती होती है कि नई गेंदें लाल गेंदों की गिनती में तो जोड़ दी जाती हैं, पर कुल में नहीं।

[SSC टिप] चारों विकल्प छोटी संख्याएँ हों, तो एक-एक विकल्प को थैले में रखकर जाँच लीजिए। कई बार यह समीकरण हल करने से जल्दी हो जाता है। जैसे पिछले थैले में लाल गेंदें 5 मानिए। तब प्रायिकता $\frac{5}{20}$ से बढ़कर $\frac{15}{30}$ हो जाती है, जो दोगुनी है।

1 से n तक क्रमांकित टिकट

एक डिब्बे में 1 से $n$ तक क्रमांकित टिकट हैं। हर टिकट पर एक संख्या लिखी है, और टिकट अच्छी तरह मिलाए हुए हैं। एक टिकट निकालना 1 से $n$ तक की कोई पूर्ण संख्या यादृच्छया चुनने जैसा ही है, जो "प्रायिकता की मूल बातें" वाले खंड में आ चुका है। गुणज और अभाज्य संख्याएँ गिनने का तरीका अध्याय 1 (संख्या पद्धति, म.स. और ल.स.) में देखिए।

जैसे 1 से 50 तक के टिकटों में से एक टिकट निकाला गया। 6 के गुणज 6, 12, 18 से लेकर 48 तक हैं, यानी $\frac{48}{6} = 8$ टिकट। तो $P = \frac{8}{50} = \frac{4}{25}$।

एक साथ निकाले गए दो टिकट: मान लीजिए 1 से 20 तक के टिकटों में से दो टिकट एक साथ निकाले गए। कुल $^{20}C_{2} = 190$ जोड़ियाँ हैं। 20 संख्याओं में 10 सम हैं और 10 विषम।

• दोनों सम हों, तो $^{10}C_{2} = 45$ जोड़ियाँ हैं, और $P = \frac{45}{190} = \frac{9}{38}$।
• योग सम हो, तो दोनों संख्याएँ सम होनी चाहिए या दोनों विषम। इसकी $45 + 45 = 90$ जोड़ियाँ हैं, तो $P = \frac{90}{190} = \frac{9}{19}$।
• योग विषम हो, तो एक सम और एक विषम चाहिए। इसकी $10 \times 10 = 100$ जोड़ियाँ हैं, तो $P = \frac{100}{190} = \frac{10}{19}$। योग सम और योग विषम, दोनों की प्रायिकताएँ मिलकर 1 होती हैं।
• गुणनफल सम हो, इसके लिए उलटी ओर से सोचिए। गुणनफल विषम केवल तब होता है, जब दोनों संख्याएँ विषम हों। तो $P = 1 - \frac{45}{190} = \frac{145}{190} = \frac{29}{38}$।
• दोनों अभाज्य हों, तो 20 तक के अभाज्य देखिए, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 19। ये 8 संख्याएँ हैं (1 अभाज्य नहीं है)। तो $P = \frac{^{8}C_{2}}{190} = \frac{28}{190} = \frac{14}{95}$।

प्रतिस्थापन सहित: एक टिकट निकालकर वापस रख दिया गया, फिर दूसरा टिकट निकाला गया। तब दोनों बार का एक-दूसरे पर कोई असर नहीं पड़ता। 1 से 20 वाले टिकटों से दोनों सम आने की प्रायिकता $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ है। दोनों टिकट एक साथ निकालने पर यही प्रायिकता $\frac{9}{38}$ थी।

सम और विषम के नियम पक्के याद रखिए। दो विषम संख्याओं का योग सम होता है, दो सम संख्याओं का भी सम, और एक विषम व एक सम संख्या का योग विषम। गुणनफल विषम केवल तब होता है, जब उसकी हर संख्या विषम हो। ज़्यादातर ऐसे प्रश्न इन्हीं नियमों से हल हो जाते हैं।

हल किए गए उदाहरण

अब इन तरीकों को कुछ प्रश्नों पर लगाकर देखते हैं।

प्रश्न 1

52 पत्तों की ताश की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। इसके ईंट का तस्वीर वाला पत्ता होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{3}{13}$ (b) $\frac{1}{13}$ (c) $\frac{3}{52}$ (d) $\frac{11}{26}$

उत्तर: ईंट के तस्वीर वाले पत्ते तीन ही हैं, ईंट का गुलाम, ईंट की बेगम और ईंट का बादशाह। यानी 52 में से 3 पत्ते शर्त पर खरे हैं, तो प्रायिकता (c) $\frac{3}{52}$ है। जल्दी में कई लोग $\frac{3}{13}$ चुन लेते हैं, पर वह तो किसी भी रंग का तस्वीर वाला पत्ता होने की प्रायिकता है।

प्रश्न 2

52 पत्तों की ताश की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। इसके चिड़ी का पत्ता या तस्वीर वाला पत्ता होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{11}{26}$ (b) $\frac{25}{52}$ (c) $\frac{3}{52}$ (d) $\frac{1}{4}$

उत्तर: पहले चिड़ी के पत्ते गिन लेते हैं, ये 13 हैं। चिड़ी के तस्वीर वाले पत्ते इनमें आ चुके हैं, तो अब बाकी तीन रंगों के गुलाम, बेगम और बादशाह जोड़ने हैं। ये 9 और हैं। कुल 22 पत्ते हुए, तो प्रायिकता $\frac{22}{52} = \frac{11}{26}$ है और विकल्प (a) $\frac{11}{26}$ मिलता है। 13 और 12 सीधे जोड़ना गलत है, क्योंकि उसमें चिड़ी के गुलाम, बेगम और बादशाह दो बार गिने जाते हैं।

प्रश्न 3

52 पत्तों की ताश की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। इसके न तो हुकुम का पत्ता और न ही इक्का होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{3}{4}$ (b) $\frac{35}{52}$ (c) $\frac{4}{13}$ (d) $\frac{9}{13}$

उत्तर: पहले वे पत्ते गिन लेते हैं जिन्हें बाहर छोड़ना है। 13 हुकुम हैं, और हुकुम के अलावा इक्के 3 हैं। ये 16 पत्ते बाहर हुए, तो 36 पत्ते बचे। प्रायिकता $\frac{36}{52} = \frac{9}{13}$ है, यानी (d) $\frac{9}{13}$।

प्रश्न 4

52 पत्तों की ताश की गड्डी में से चारों इक्के हटा दिए जाते हैं। फिर शेष पत्तों में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। इसके तस्वीर वाला पत्ता होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{3}{13}$ (b) $\frac{1}{4}$ (c) $\frac{1}{3}$ (d) $\frac{4}{13}$

उत्तर: इक्के हटने के बाद 48 पत्ते बचे, और सारे 12 तस्वीर वाले पत्ते अब भी इन्हीं में हैं। तो प्रायिकता $\frac{12}{48} = \frac{1}{4}$ है, जो विकल्प (b) $\frac{1}{4}$ है। हर में 52 ही रहने दें, तो $\frac{3}{13}$ आता है। यह गलत है, क्योंकि गड्डी में अब 52 पत्ते बचे ही नहीं।

प्रश्न 5

52 पत्तों की ताश की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी में से दो पत्ते एक साथ यादृच्छया निकाले जाते हैं। दोनों के हुकुम के पत्ते होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{16}$ (b) $\frac{4}{17}$ (c) $\frac{1}{17}$ (d) $\frac{1}{4}$

उत्तर: दो पत्तों की सारी जोड़ियाँ $^{52}C_{2} = 1326$ हैं। इनमें हुकुम की जोड़ियाँ $^{13}C_{2} = \frac{13 \times 12}{2} = 78$ हैं। तो $P = \frac{78}{1326} = \frac{1}{17}$, यानी (c) $\frac{1}{17}$। छोटे रास्ते से भी यही मान आता है, $\frac{13}{52} \times \frac{12}{51} = \frac{1}{4} \times \frac{4}{17} = \frac{1}{17}$।

प्रश्न 6

52 पत्तों की ताश की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी में से दो पत्ते एक साथ यादृच्छया निकाले जाते हैं। इनमें से एक के पान का पत्ता और दूसरे के ईंट का पत्ता होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{13}{102}$ (b) $\frac{13}{51}$ (c) $\frac{1}{8}$ (d) $\frac{1}{17}$

उत्तर: पान का पत्ता 13 तरह से चुना जा सकता है, और ईंट का पत्ता भी 13 तरह से। तो ऐसी $13 \times 13 = 169$ जोड़ियाँ हैं। कुल जोड़ियाँ 1326 हैं, तो प्रायिकता $\frac{169}{1326} = \frac{13}{102}$ हुई, और उत्तर (a) $\frac{13}{102}$ है। जोड़ी एक साथ निकली है, इसलिए क्रम के लिए 2 से गुणा नहीं करना है।

प्रश्न 7

52 पत्तों की ताश की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी में से दो पत्ते एक साथ यादृच्छया निकाले जाते हैं। इनमें से कम से कम एक के इक्का होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{32}{221}$ (b) $\frac{188}{221}$ (c) $\frac{2}{13}$ (d) $\frac{33}{221}$

उत्तर: "कम से कम एक इक्का" के लिए उलटी ओर से चलना आसान है। कोई इक्का न हो, तो दोनों पत्ते इक्कों के अलावा बचे 48 पत्तों में से आएँगे, यानी $^{48}C_{2} = 1128$ जोड़ियाँ। तो $P(\text{कोई इक्का नहीं}) = \frac{1128}{1326}$, और $P(\text{कम से कम एक इक्का}) = \frac{1326 - 1128}{1326} = \frac{198}{1326} = \frac{33}{221}$। उत्तर (d) $\frac{33}{221}$ है। केवल "ठीक एक इक्का" गिनना गलत होगा, क्योंकि उसमें दोनों इक्कों वाली जोड़ियाँ छूट जाती हैं।

प्रश्न 8

52 पत्तों की ताश की गड्डी में से प्रतिस्थापन रहित, एक के बाद एक दो पत्ते निकाले जाते हैं। पहले पत्ते के बादशाह और दूसरे के इक्का होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{4}{663}$ (b) $\frac{1}{169}$ (c) $\frac{8}{663}$ (d) $\frac{1}{221}$

उत्तर: पहला पत्ता बादशाह चाहिए, तो 52 में से 4। बादशाह बाहर ही रहता है, इसलिए अब 51 पत्ते बचे, और सारे 4 इक्के अब भी उन्हीं में हैं। तो दूसरी बार 51 में से 4। $P = \frac{4}{52} \times \frac{4}{51} = \frac{1}{13} \times \frac{4}{51} = \frac{4}{663}$। प्रश्न में क्रम पहले से तय है कि पहले बादशाह आए, इसलिए इसे दोगुना नहीं करना है। तो उत्तर (a) $\frac{4}{663}$ है।

प्रश्न 9

52 पत्तों की ताश की गड्डी में से एक पत्ता निकालकर वापस रख दिया जाता है, और गड्डी को फेंटा जाता है। फिर दूसरा पत्ता निकाला जाता है। दोनों पत्तों के तस्वीर वाले पत्ते होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{11}{221}$ (b) $\frac{9}{169}$ (c) $\frac{6}{13}$ (d) $\frac{3}{13}$

उत्तर: पहला पत्ता वापस रख दिया गया, तो दोनों बार पूरी 52 पत्तों वाली गड्डी से पत्ता निकलता है। हर बार तस्वीर वाला पत्ता आने की प्रायिकता $\frac{12}{52} = \frac{3}{13}$ है। दोनों बार तस्वीर वाला पत्ता आए, इसकी प्रायिकता $\frac{3}{13} \times \frac{3}{13} = \frac{9}{169}$ है, तो (b) $\frac{9}{169}$ मिलता है। तुलना के लिए देखिए, पत्ता वापस न रखा जाता, तो $\frac{12}{52} \times \frac{11}{51} = \frac{11}{221}$ आता।

प्रश्न 10

एक थैले में 4 लाल, 6 सफ़ेद और 5 काली गेंदें हैं।

थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसके सफ़ेद न होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{2}{5}$ (b) $\frac{4}{15}$ (c) $\frac{3}{5}$ (d) $\frac{1}{3}$

उत्तर: गेंद सफ़ेद न हो, तो वह लाल या काली होगी। 15 में से ऐसी $4 + 5 = 9$ गेंदें हैं, तो $P = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$। उलटी ओर से भी देख लेते हैं। सफ़ेद की प्रायिकता $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ है, और $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$। दोनों तरह से एक ही मान आया, तो उत्तर (c) $\frac{3}{5}$ है।

प्रश्न 11

उसी थैले में से दो गेंदें एक साथ निकाली जाती हैं। दोनों के काली होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{9}$ (b) $\frac{4}{21}$ (c) $\frac{1}{3}$ (d) $\frac{2}{21}$

उत्तर: कुल जोड़ियाँ $^{15}C_{2} = \frac{15 \times 14}{2} = 105$ हैं, और काली गेंदों की जोड़ियाँ $^{5}C_{2} = 10$। तो $P = \frac{10}{105} = \frac{2}{21}$, और विकल्प (d) $\frac{2}{21}$ है।

प्रश्न 12

उसी थैले में से दो गेंदें एक साथ निकाली जाती हैं। इनमें से एक के लाल और दूसरी के सफ़ेद होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{8}{35}$ (b) $\frac{8}{75}$ (c) $\frac{16}{75}$ (d) $\frac{2}{7}$

उत्तर: 4 में से एक लाल गेंद और 6 में से एक सफ़ेद गेंद चुननी है, तो $4 \times 6 = 24$ तरीके हैं। सारी जोड़ियाँ 105 हैं, तो प्रायिकता $\frac{24}{105} = \frac{8}{35}$ हुई। इस तरह (a) $\frac{8}{35}$ मिलता है।

प्रश्न 13

एक थैले में 4 लाल, 6 सफ़ेद और 5 काली गेंदें हैं। दो गेंदें एक साथ निकाली जाती हैं। दोनों गेंदों के एक ही रंग की होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{74}{105}$ (b) $\frac{31}{105}$ (c) $\frac{77}{225}$ (d) $\frac{1}{7}$

उत्तर: एक ही रंग का मतलब है दो लाल, दो सफ़ेद या दो काली। तीनों रंग अलग-अलग गिनेंगे और अंत में जोड़ देंगे। दो लाल की $^{4}C_{2} = 6$ जोड़ियाँ हैं, दो सफ़ेद की $^{6}C_{2} = 15$ और दो काली की $^{5}C_{2} = 10$। अब इन्हें जोड़ें, तो $6 + 15 + 10 = 31$ जोड़ियाँ हुईं, और सारी जोड़ियाँ 105 हैं, तो $P = \frac{31}{105}$। उत्तर (b) $\frac{31}{105}$ है।

प्रश्न 14

एक थैले में 3 लाल, 4 हरी और 2 नीली गेंदें हैं। तीन गेंदें एक साथ यादृच्छया निकाली जाती हैं। तीनों गेंदों के तीन अलग-अलग रंगों की होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{21}$ (b) $\frac{2}{7}$ (c) $\frac{16}{81}$ (d) $\frac{5}{14}$

उत्तर: 9 गेंदों में से 3 चुनने के सारे चुनाव $^{9}C_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{6} = 84$ हैं। हर रंग की एक गेंद $3 \times 4 \times 2 = 24$ तरह से चुनी जा सकती है। तो $P = \frac{24}{84} = \frac{2}{7}$, यानी (b) $\frac{2}{7}$। कुछ लोग 24 को $9 \times 8 \times 7 = 504$ से भाग दे देते हैं और $\frac{1}{21}$ लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि 504 में क्रम भी गिना गया है, जबकि 24 में क्रम नहीं है।

प्रश्न 15

एक थैले में 3 लाल, 4 हरी और 2 नीली गेंदें हैं। तीन गेंदें एक साथ यादृच्छया निकाली जाती हैं। इनमें से किसी के भी हरी न होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{5}{42}$ (b) $\frac{1}{21}$ (c) $\frac{125}{729}$ (d) $\frac{37}{42}$

उत्तर: कोई हरी न हो, तो तीनों गेंदें 5 लाल और नीली गेंदों में से आएँगी। ऐसे $^{5}C_{3} = 10$ तरीके हैं, और कुल चुनाव $^{9}C_{3} = 84$ हैं। तो प्रायिकता $\frac{10}{84} = \frac{5}{42}$ है, जो विकल्प (a) $\frac{5}{42}$ है।

प्रश्न 16

एक थैले में 7 सफ़ेद और 3 काली गेंदें हैं। प्रतिस्थापन रहित, एक के बाद एक दो गेंदें निकाली जाती हैं। पहली गेंद के काली और दूसरी के सफ़ेद होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{21}{100}$ (b) $\frac{7}{15}$ (c) $\frac{1}{15}$ (d) $\frac{7}{30}$

उत्तर: पहली बार काली गेंद चाहिए, तो 10 में से 3। काली गेंद वापस नहीं जाती, तो दूसरी बार थैले में 9 गेंदें रहती हैं, और सारी 7 सफ़ेद गेंदें उन्हीं में हैं। इसलिए दूसरी बार 9 में से 7। $P = \frac{3}{10} \times \frac{7}{9} = \frac{21}{90} = \frac{7}{30}$, इस तरह (d) $\frac{7}{30}$ आता है।

प्रश्न 17

एक थैले में 7 सफ़ेद और 3 काली गेंदें हैं। एक गेंद निकालकर उसका रंग देख लिया जाता है और उसे वापस रख दिया जाता है। फिर दूसरी गेंद निकाली जाती है। इनमें से एक गेंद के सफ़ेद और दूसरी के काली होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{21}{100}$ (b) $\frac{7}{15}$ (c) $\frac{21}{50}$ (d) $\frac{29}{50}$

उत्तर: गेंद वापस रख दी जाती है, तो दोनों बार थैले में वही 10 गेंदें रहती हैं। सफ़ेद फिर काली की प्रायिकता $\frac{7}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{21}{100}$ है, और काली फिर सफ़ेद की $\frac{3}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{21}{100}$। प्रश्न ने क्रम नहीं बताया, तो दोनों क्रम चलेंगे, और दोनों को जोड़ते हैं, $\frac{42}{100} = \frac{21}{50}$। उत्तर (c) $\frac{21}{50}$ है। एक ही क्रम लेकर रुक जाएँ, तो उत्तर आधा ही आएगा।

प्रश्न 18

एक थैले में 3 लाल और 2 हरी गेंदें हैं। एक गेंद निकालकर उसका रंग देख लिया जाता है और उसे वापस रख दिया जाता है। ऐसा तीन बार किया जाता है। निकाली गई तीनों गेंदों के लाल होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{10}$ (b) $\frac{27}{125}$ (c) $\frac{9}{25}$ (d) $\frac{3}{5}$

उत्तर: हर बार गेंद वापस रख दी जाती है, तो थैले में हमेशा वही 5 गेंदें रहती हैं, और लाल की प्रायिकता हर बार $\frac{3}{5}$ होती है। तीनों बार का एक-दूसरे पर कोई असर नहीं पड़ता, तो सीधे गुणा कर देते हैं, $\frac{3}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{27}{125}$। यानी उत्तर (b) $\frac{27}{125}$ है। गेंदें वापस न रखी जातीं, तो $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{10}$ आता।

प्रश्न 19

एक थैले में 12 सफ़ेद गेंदें और कुछ लाल गेंदें हैं। एक लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $\frac{3}{7}$ है। थैले में कितनी लाल गेंदें हैं? (a) 9 (b) 16 (c) 21 (d) 7

उत्तर: लाल गेंदें $x$ मान लेते हैं। तब $\frac{x}{12 + x} = \frac{3}{7}$ है। तिरछा गुणा करने पर $7x = 36 + 3x$, फिर $4x = 36$, और $x = 9$ आता है। जाँचकर देखें, तो 21 गेंदों में 9 लाल हैं, और प्रायिकता $\frac{3}{7}$ ही आती है। इसलिए थैले में (a) 9 लाल गेंदें हैं। एक और रास्ता भी है। सफ़ेद गेंदें थैले का $\frac{4}{7}$ हैं, तो थैले में $12 \times \frac{7}{4} = 21$ गेंदें हैं, और उनमें 9 लाल हैं।

प्रश्न 20

एक थैले में केवल लाल, नीली और हरी गेंदें हैं। एक लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है और एक नीली गेंद निकालने की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है। यदि थैले में 10 हरी गेंदें हैं, तो नीली गेंदें कितनी हैं? (a) 8 (b) 24 (c) 6 (d) 4

उत्तर: कुल प्रायिकता में से लाल और नीली की प्रायिकताएँ घटा दें, तो जो बचता है, वह हरी गेंदों का है, $1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}$। यानी 10 हरी गेंदें थैले का $\frac{5}{12}$ हैं, तो थैले में $10 \times \frac{12}{5} = 24$ गेंदें हैं। नीली गेंदें 24 का चौथाई हैं, तो उत्तर (c) 6 है। ध्यान रखिए, 8 तो लाल गेंदों की संख्या है, नीली की नहीं।

प्रश्न 21

एक डिब्बे में 1 से 25 तक क्रमांकित 25 टिकट हैं। दो टिकट एक साथ यादृच्छया निकाले जाते हैं। दोनों संख्याओं के विषम होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{169}{625}$ (b) $\frac{13}{50}$ (c) $\frac{13}{25}$ (d) $\frac{1}{4}$

उत्तर: 1 से 25 तक 13 विषम संख्याएँ हैं (1, 3, 5, और इसी तरह 25 तक), और 12 सम। कुल जोड़ियाँ $^{25}C_{2} = \frac{25 \times 24}{2} = 300$ हैं, और विषम संख्याओं की जोड़ियाँ $^{13}C_{2} = 78$। दोनों विषम होने की प्रायिकता $\frac{78}{300} = \frac{13}{50}$ है, यानी (b) $\frac{13}{50}$।

प्रश्न 22

1 से 25 तक क्रमांकित टिकटों वाले उसी डिब्बे में से दो टिकट एक साथ निकाले जाते हैं। दोनों संख्याओं का गुणनफल सम होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{11}{50}$ (b) $\frac{13}{25}$ (c) $\frac{12}{25}$ (d) $\frac{37}{50}$

उत्तर: गुणनफल विषम तभी होता है, जब दोनों संख्याएँ विषम हों, और पिछले प्रश्न में इसकी प्रायिकता $\frac{13}{50}$ निकल चुकी है। तो गुणनफल सम होने की प्रायिकता $1 - \frac{13}{50} = \frac{37}{50}$ है, यानी (d) $\frac{37}{50}$। केवल "दोनों सम" वाली जोड़ियाँ गिनना काफ़ी नहीं है, क्योंकि गुणनफल सम होने के लिए एक सम संख्या ही बहुत है।