शॉर्टकट और तेज़ तरीके

सबसे पहले कुल परिणाम

पेपर में प्रायिकता के प्रश्न छोटे होते हैं। इनमें लगभग सारा समय गिनती में ही जाता है। आगे के सारे तरीके इसी गिनती का काम हल्का करने के लिए हैं।

हर प्रश्न में सबसे पहले कुल परिणामों की संख्या लिख लीजिए। यही प्रायिकता वाली भिन्न का हर होता है। इसी से यह भी पता चल जाता है कि कौन-से विकल्प उत्तर हो सकते हैं और कौन-से नहीं।

मान लीजिए दो सिक्के उछाले गए और साथ में एक पासा फेंका गया। कुल परिणाम $4 \times 6 = 24$ हुए। "दो चित और छक्का" इनमें से केवल एक परिणाम है, तो इसकी प्रायिकता $\frac{1}{24}$ है।

"कम से कम एक" हो तो "एक भी नहीं" घटाइए

प्रश्न में "कम से कम एक" या "कम से कम एक बार" लिखा दिखे, तो यह तरीका काम आता है। एक सफलता, दो सफलताएँ, तीन सफलताएँ, ऐसे सारे मामले अलग-अलग गिनने में बहुत समय जाता है। इसके उलट "एक भी नहीं" वाला मामला अक्सर एक पंक्ति में निकल आता है। इसलिए पहले वही निकालिए, फिर यह सूत्र लगाइए।

$$P(\text{कम से कम एक}) = 1 - P(\text{एक भी नहीं})$$

चार सिक्के उछाले गए हों, तो "एक भी चित नहीं" का मतलब है केवल TTTT वाला परिणाम। इसलिए कम से कम एक चित आने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ है।

पासा तीन बार फेंका जाए, तब भी यही करना है। हर फेंक में छक्के के अलावा पाँच संख्याएँ हैं, तो "एक भी छक्का नहीं" वाले परिणाम 216 में से $5 \times 5 \times 5 = 125$ हैं। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता $1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$ हुई।

एक बात ध्यान रहे। "ठीक एक" बिलकुल अलग प्रश्न है। दो पासों पर ठीक एक छक्का 10 परिणामों में आता है, जबकि कम से कम एक छक्का 11 परिणामों में। यह फ़र्क जोड़ी (6, 6) की वजह से है, जिसमें दोनों पासों पर छक्का है।

दो पासों के योग विकर्ण से

दो पासों के सारे परिणाम $6 \times 6$ की एक तालिका में आ जाते हैं। एक ही योग वाले सारे खाने उसमें एक ही तिरछी पंक्ति पर आते हैं, जिसे विकर्ण कहते हैं। योग 7 वाला विकर्ण सबसे लंबा है, उसमें छह खाने हैं। 7 से एक कदम दूर जाने पर एक खाना कम हो जाता है, और आगे भी हर कदम पर एक-एक खाना घटता जाता है। तो योग s आने के तरीके सीधे $6 - |s - 7|$ से मिल जाते हैं।

नीचे के चित्र में छह नीले खाने योग 7 के हैं और चार पीले खाने योग 9 के।

अब योग 8 लीजिए। यह 7 से एक कदम दूर है, तो इसके $6 - 1 = 5$ तरीके हैं और प्रायिकता $\frac{5}{36}$ है।

"योग 9 से अधिक" पूछा जाए, तो तालिका के आख़िरी तीन स्तंभ जोड़ दीजिए। $3 + 2 + 1 = 6$ तरीके हुए, यानी प्रायिकता $\frac{1}{6}$।

यहाँ बहुत-से छात्र चूक जाते हैं। ये 11 योग समसंभाव्य नहीं हैं। योग 12 की प्रायिकता केवल $\frac{1}{36}$ है, इसलिए किसी भी योग के लिए $\frac{1}{11}$ लिख देना गलत है।

[SSC टिप] प्रश्न में "दो पासे" लिखा हो, "पासों का एक जोड़ा" लिखा हो या "एक पासा दो बार फेंका", तीनों में वही 36 परिणाम होते हैं।

दो पासों की तैयार गिनतियाँ

कुछ घटनाएँ दो पासों के प्रश्नों में बार-बार आती हैं। 36 में से इनके तरीके कितने हैं, यह याद कर लीजिए, तो ज़्यादातर प्रश्नों में परिणामों की सूची बनाने की ज़रूरत ही नहीं पड़ेगी। दोनों पासों पर एक ही संख्या आए, तो इसे द्विक (doublet) कहते हैं।

गुणनफल विषम तभी होता है जब दोनों संख्याएँ विषम हों। हर पासे पर विषम संख्याएँ तीन हैं, इसलिए $3 \times 3 = 9$ तरीके हुए।

अंतर के लिए भी एक सीधा नियम है। दोनों संख्याओं का अंतर k हो, तो तरीके $2(6 - k)$ होते हैं। k के 1 से 5 तक के मानों के लिए ये क्रम से 10, 8, 6, 4 और 2 आते हैं।

मसलन पूछा गया कि योग न 7 हो, न 11। योग 7 छह तरीकों से आता है और योग 11 दो तरीकों से, तो उत्तर $1 - \frac{6 + 2}{36} = \frac{28}{36} = \frac{7}{9}$ हुआ।

ठीक k चित के लिए $^{n}C_{k}$

n सिक्के एक साथ उछाले जाएँ, या एक ही सिक्का n बार, तो ठीक k चित वाले परिणाम $^{n}C_{k}$ होते हैं। कारण सीधा है। n उछालों में से कौन-से k उछालों पर चित आए, बस यही चुनना होता है।

ये तीन पंक्तियाँ याद रखने लायक हैं।

पाँच सिक्कों में ठीक 3 चित चाहिए, तो आख़िरी पंक्ति में 3 के नीचे देखिए। वहाँ 10 लिखा है, तो प्रायिकता $\frac{10}{32} = \frac{5}{16}$ हुई।

अधिक से अधिक एक चित का मतलब है 0 चित या 1 चित। उसी पंक्ति से 1 और 5 लेकर जोड़िए, तो $\frac{1 + 5}{32} = \frac{3}{16}$ आता है।

क्रम पर नज़र रखिए। दो सिक्कों पर "एक चित और एक पट" पूछा हो, तो HT भी चलेगा और TH भी। ये दो परिणाम हैं, इसलिए प्रायिकता $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ है। कई छात्र इसे एक ही बार गिनकर $\frac{1}{4}$ लिख देते हैं, जो केवल "पहले चित, फिर पट" वाले प्रश्न का उत्तर है।

दो अलग चीज़ें हों तो हिस्सों का गुणा

कई प्रश्नों में दो ऐसी चीज़ें होती हैं जो एक-दूसरे पर कोई असर नहीं डालतीं। जैसे एक सिक्का और एक पासा, दो अलग पासे, या दो थैले। तब "पहले पर यह और दूसरे पर वह" की प्रायिकता दोनों प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है। 12 या 36 परिणामों की सूची बनाने की ज़रूरत नहीं पड़ती।

एक सिक्का उछाला गया और एक पासा फेंका गया। पट आए और पासे पर 4 से बड़ी संख्या आए, इसकी प्रायिकता $\frac{1}{2} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$ है, क्योंकि 4 से बड़ी संख्याएँ दो ही हैं।

दो पासे फेंके गए हों और पहले पर सम संख्या चाहिए, दूसरे पर 2 से बड़ी। प्रायिकता $\frac{1}{2} \times \frac{4}{6} = \frac{1}{3}$ हुई।

"या" वाले प्रश्न में यह गुणा नहीं चलता। चित आए या 3 से छोटी संख्या, इसकी प्रायिकता $\frac{1}{2} \times \frac{2}{6}$ नहीं है। ऐसे में उलटी घटना लीजिए, यानी पट और 3 या उससे बड़ी संख्या। इसकी प्रायिकता $\frac{1}{2} \times \frac{4}{6} = \frac{1}{3}$ है, तो चित या 3 से छोटी संख्या की प्रायिकता $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।

ताश में समूह से गिनती

ताश के प्रश्न में पहले पहचानिए कि पूछा गया पत्ता किस समूह में आता है। समूह कोई रंग हो सकता है, कोई मान, या तस्वीर वाले पत्ते (face cards) और सम्मान पत्ते (honour cards) जैसे बड़े समूह भी। हर समूह में कितने पत्ते हैं, यह याद रखिए।

समूह पहचानते ही उसकी गिनती अंश में और 52 हर में रखिए, फिर भिन्न को काटकर छोटा कर लीजिए। $52 = 4 \times 13$ है, इसलिए एक पत्ते वाले प्रश्न में उत्तर का हर हमेशा 52, 26, 13, 4, 2 या 1 ही होता है।

काले रंग के तस्वीर वाले पत्ते 6 हैं, तो प्रायिकता $\frac{6}{52} = \frac{3}{26}$ हुई।

पत्ता पान का नहीं होना चाहिए, तो बाकी 39 पत्तों में से कोई भी चलेगा, और $\frac{39}{52} = \frac{3}{4}$ आता है।

"या" वाले प्रश्न: जोड़िए, फिर साझा घटाइए

जब "A या B" पूछा जाए, तो दोनों की गिनतियाँ जोड़िए और फिर वे मामले घटाइए जो दोनों में आते हैं। ये मामले जोड़ में दो बार गिने गए थे, इसलिए एक बार घटाने पड़ते हैं। ताश के ये तीन उदाहरण देखिए।

• हुकुम का पत्ता या बादशाह चाहिए, तो $13 + 4 - 1 = 16$ पत्ते हैं और प्रायिकता $\frac{4}{13}$।
• काला पत्ता या सम संख्या वाला पत्ता (2, 4, 6, 8, 10) हो, तो $26 + 20 - 10 = 36$ पत्ते हैं और प्रायिकता $\frac{9}{13}$।
• 2, 3 या 4 संख्या वाला पत्ता हो या चिड़ी का पत्ता, तो $12 + 13 - 3 = 22$ पत्ते हैं और प्रायिकता $\frac{11}{26}$।

संख्याओं पर भी यही नियम चलता है। 1 से n तक में k के गुणज गिनने हों, तो n को k से भाग दीजिए। शेषफल छोड़ दीजिए, भागफल ही गुणजों की गिनती है। यह बात अध्याय 1 (संख्या पद्धति, म.स. और ल.स.) में आ चुकी है।

एक उदाहरण लें। 1 से 70 तक की कोई संख्या चुनी गई, और उसे 2 या 7 का गुणज होना चाहिए। 14 के 5 गुणज दोनों सूचियों में हैं, तो उन्हें एक बार घटाइए। $35 + 10 - 5 = 40$ तरीके हुए, और प्रायिकता $\frac{40}{70} = \frac{4}{7}$।

कभी दोनों समूहों में कोई पत्ता साझा हो ही नहीं सकता। तब कुछ घटाना ही नहीं पड़ता। जैसे पान का पत्ता या काला इक्का पूछा हो, तो सीधे $\frac{13 + 2}{52} = \frac{15}{52}$ लिख दीजिए।

दो गेंदें एक साथ: $^{n}C_{2} = \frac{n(n - 1)}{2}$

थैले की n गेंदों में से दो गेंदें एक साथ निकालने के $^{n}C_{2}$ तरीके होते हैं। लाल गेंदें r हों और दोनों लाल चाहिए, तो $^{r}C_{2}$ तरीके होंगे। दोनों गिनतियों में आधा करना पड़ता है, पर भिन्न बनाने पर ऊपर का आधा और नीचे का आधा आपस में कट जाते हैं। इसलिए सीधे यह सूत्र लगाइए।

$$P(\text{दोनों लाल}) = \frac{r(r - 1)}{n(n - 1)}$$

नीली गेंदें b हों और "एक लाल और एक नीली" पूछा हो, तो जोड़ियाँ $r \times b$ होती हैं। इसमें आधा नहीं करना है।

कुछ मान बार-बार काम आते हैं, जैसे $^{6}C_{2} = 15$, $^{8}C_{2} = 28$, $^{10}C_{2} = 45$, $^{12}C_{2} = 66$ और $^{15}C_{2} = 105$। इन्हें याद कर लीजिए।

तीन गेंदें एक साथ निकाली जाएँ, तो $^{n}C_{3} = \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}$ लगता है।

एक थैले में 7 लाल, 5 सफ़ेद और 3 काली गेंदें हैं, और दो गेंदें एक साथ निकाली गईं। दोनों के सफ़ेद होने की प्रायिकता $\frac{5 \times 4}{15 \times 14} = \frac{2}{21}$ है।

इसी थैले से एक लाल और एक काली गेंद आने की प्रायिकता $\frac{7 \times 3}{105} = \frac{1}{5}$ है। हर में वही मान लगा है जो ऊपर याद किया था।

एक के बाद एक: घटती भिन्नों का गुणा

पत्ते या गेंदें प्रतिस्थापन रहित (without replacement), एक के बाद एक निकाले जाएँ, तो हर बार एक वस्तु कम हो जाती है। इसलिए अगली भिन्न का हर पिछली से एक कम होता है। उसी प्रकार की वस्तु फिर निकले, तो अंश भी एक घटता है। प्रतिस्थापन सहित (with replacement) निकालने में हर बार वस्तु वापस रख दी जाती है, तो भिन्न वही रहती है।

एक बात और याद रखिए। दो वस्तुएँ एक साथ निकालें या प्रतिस्थापन रहित एक के बाद एक, उत्तर एक ही आता है।

थैले में 6 हरी और 9 पीली गेंदें हैं, और प्रतिस्थापन रहित एक के बाद एक दो गेंदें निकाली गईं। दोनों के हरी होने की प्रायिकता $\frac{6}{15} \times \frac{5}{14} = \frac{1}{7}$ है। दो गेंदें एक साथ निकालने पर भी ठीक इतनी ही आती है।

पहली गेंद वापस रख दी जाए, तो दूसरी बार भी भिन्न वही रहेगी। तब प्रायिकता $\frac{6}{15} \times \frac{6}{15} = \frac{4}{25}$ होगी।

यहाँ क्रम को लेकर गलती होती है। 3 लाल और 7 नीली गेंदों वाले थैले से "पहले लाल, फिर नीली" पूछा हो, तो उत्तर $\frac{3}{10} \times \frac{7}{9} = \frac{7}{30}$ है। पर "एक लाल और एक नीली" में नीली पहले आए, तो भी चलेगा। इसलिए इसे दोगुना कीजिए, प्रायिकता $\frac{7}{15}$ होगी।

दी गई प्रायिकता से छूटी हुई गिनती

कभी प्रायिकता दी होती है और कोई गिनती पूछी जाती है। तब प्रायिकता को भागों के रूप में देखिए। लाल गेंद की प्रायिकता $\frac{a}{b}$ है, तो कुल b भागों में से a भाग लाल गेंदें हैं और बाकी $b - a$ भाग दूसरी गेंदें।

जैसे थैले में 6 हरी गेंदें हैं और कुछ पीली। हरी गेंद निकलने की प्रायिकता $\frac{2}{5}$ दी है। मतलब 5 भागों में से 2 भाग हरी गेंदें हैं। ये 2 भाग 6 गेंदें हैं, तो एक भाग 3 गेंदों का हुआ। थैले में $5 \times 3 = 15$ गेंदें हैं, जिनमें 9 पीली हैं।

अगर दी गई प्रायिकता दो गेंदें एक साथ निकालने की हो, तो उसे $\frac{r(r - 1)}{n(n - 1)}$ के रूप में लिखिए और देखिए कि किस n पर दोनों बराबर होते हैं। n के लिए समीकरण हल करने के बजाय विकल्पों के मान रखकर देख लीजिए। यह कहीं जल्दी होता है।

संयोगानुपात से प्रायिकता, एक कदम में

संयोगानुपात में घटना के दोनों पक्षों की तुलना होती है, यानी घटने वाले पक्ष की और न घटने वाले पक्ष की। दोनों पक्षों का योग ही कुल होता है। इसलिए प्रायिकता एक ही कदम में मिल जाती है।

• पक्ष में संयोगानुपात (odds in favour) a : b हो, तो $P = \frac{a}{a + b}$।
• विपक्ष में संयोगानुपात (odds against) a : b हो, तो $P = \frac{b}{a + b}$।
• उलटा पूछा जाए, यानी प्रायिकता $\frac{p}{q}$ दी हो, तो पक्ष में संयोगानुपात $p : (q - p)$ होता है।

किसी टीम के जीतने के विपक्ष में संयोगानुपात 7 : 4 है। तो जीत की प्रायिकता $\frac{4}{11}$ है और हार की $\frac{7}{11}$।

प्रायिकता 0.35 दी हो, तो पहले इसे भिन्न में लिखिए, 0.35 = $\frac{7}{20}$। अब पक्ष में संयोगानुपात 7 : 13 हुआ।

जल्दबाज़ी में कई लोग 7 : 4 के संयोगानुपात से सीधे $\frac{7}{4}$ या $\frac{4}{7}$ लिख देते हैं। दोनों गलत हैं। प्रायिकता का हर सदा दोनों पक्षों का योग होता है, जो यहाँ 11 है।

कैलेंडर वाले प्रश्न: अतिरिक्त दिन गिनिए

लीप वर्ष में 366 दिन होते हैं, यानी 52 पूरे सप्ताह और 2 दिन ऊपर। ये दोनों अतिरिक्त दिन लगातार आते हैं, इसलिए इनका जोड़ा सात में से कोई एक होगा, (रविवार, सोमवार), (सोमवार, मंगलवार), और इसी तरह आगे (शनिवार, रविवार) तक।

सप्ताह का कोई दिन वर्ष में 53 बार तभी आता है, जब वह अतिरिक्त दिनों में हो। साधारण वर्ष में 365 दिन होते हैं, और उसमें अतिरिक्त दिन केवल एक होता है। इससे दो सीधी बातें निकलती हैं।

• लीप वर्ष में 53 रविवार तभी होंगे जब अतिरिक्त जोड़े में रविवार हो। ऐसे जोड़े 7 में से 2 हैं, तो प्रायिकता $\frac{2}{7}$ है।
• साधारण वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता $\frac{1}{7}$ है।

लीप वर्ष में 53 रविवार या 53 बुधवार होने के लिए अतिरिक्त जोड़ा (शनिवार, रविवार), (रविवार, सोमवार), (मंगलवार, बुधवार) या (बुधवार, गुरुवार) होना चाहिए। ये चार जोड़े हैं, तो प्रायिकता $\frac{4}{7}$ है।

अगर दोनों दिन लगातार हों, जैसे 53 रविवार या 53 सोमवार पूछा हो, तो जोड़ा (रविवार, सोमवार) दोनों में आता है। इसे एक ही बार गिनिए। तब कुल 3 जोड़े होते हैं और प्रायिकता $\frac{3}{7}$ आती है।

दो लोगों का प्रयास: असफलताओं का गुणा

दो लोग स्वतंत्र रूप से कोई काम करने की कोशिश करें, और उनकी सफलता की प्रायिकताएँ p और q हों, तो पहले असफलता की प्रायिकताएँ लिख लीजिए। ये $1 - p$ और $1 - q$ हैं। इन्हीं से हर तरह का प्रश्न हल हो जाता है।

• कोई भी सफल न हो, इसकी प्रायिकता $(1 - p)(1 - q)$ है।
• कम से कम एक सफल हो, यानी प्रश्न हल हो जाए या लक्ष्य पर निशाना लग जाए, तो $1 - (1 - p)(1 - q)$।
• ठीक एक सफल हो, तो $p(1 - q) + q(1 - p)$।
• दोनों सफल हों, तो $pq$।

उदाहरण के लिए, A के प्रश्न हल कर लेने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है और B की $\frac{2}{5}$। कोई भी हल न करे, इसकी प्रायिकता $\frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ है। तो प्रश्न हल हो जाने की प्रायिकता $\frac{3}{5}$ है।

इसी उदाहरण में ठीक एक के हल कर लेने की प्रायिकता $\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{5} + \frac{4}{15} = \frac{7}{15}$ है। पहले हिस्से में A हल करता है और B नहीं, दूसरे में B हल करता है और A नहीं।

तीन लोग हों, तब भी यही चलता है। "कोई भी सफल नहीं" की प्रायिकता तीनों की असफलता की प्रायिकताओं का गुणनफल होती है।

असंभव विकल्प पहले काटिए

गिनती शुरू करने से पहले विकल्पों पर एक नज़र डाल लीजिए। इन तीन बातों से कई विकल्प बिना हिसाब किए कट जाते हैं।

• प्रायिकता 0 से 1 तक ही होती है। 1 से बड़ा कोई विकल्प हो, तो उसे तुरंत हटा दीजिए।
• उत्तर न्यूनतम रूप में हो, तो उसका हर कुल परिणामों की संख्या को पूरा-पूरा बाँटता है। दो पासों में कुल 36 है, तीन सिक्कों में 8, एक पत्ते में 52 और तीन पासों में 216।
• "कम से कम एक" की प्रायिकता किसी अकेले मामले से कभी छोटी नहीं होती। और "दोनों" की प्रायिकता किसी भी एक हिस्से से कभी बड़ी नहीं होती।

दो पासे फेंके गए हैं और $P(\text{योग 4 या 8})$ पूछी गई है। विकल्प $\frac{2}{9}$, $\frac{5}{24}$, $\frac{1}{7}$ और $\frac{4}{11}$ हैं। इनके हर 9, 24, 7 और 11 में से केवल 9 ही 36 को पूरा बाँटता है। तो बिना गिने ही उत्तर $\frac{2}{9}$ है।

चाहें तो गिनकर पक्का कर लीजिए। दोनों योगों के तरीके जोड़ने पर $3 + 5 = 8$ आते हैं, और $\frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ ही मिलता है।

हल किए गए उदाहरण

नीचे का हर प्रश्न ऊपर के किसी न किसी तरीके से हल होता है। उत्तर पढ़ने से पहले हर प्रश्न काग़ज़ पर ख़ुद हल कीजिए, और देखिए कि कितने प्रश्न एक मिनट के भीतर पूरे हो जाते हैं।

प्रश्न 1

एक पासे को दो बार फेंका जाता है। दोनों फेंकों में से कम से कम एक में 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: "कम से कम एक" लिखा है, तो पहले "एक भी नहीं" निकाल लेते हैं। एक फेंक में 4 या उससे कम आने की प्रायिकता $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है। दोनों फेंकों में ऐसा हो, इसकी प्रायिकता $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$ है। तो कम से कम एक फेंक में 4 से ऊपर आने की प्रायिकता $1 - \frac{4}{9} =$ $\frac{5}{9}$ है।

प्रश्न 2

दो पासे फेंके जाते हैं। दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग 6 या 9 होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: विकर्णों से गिन लेते हैं। योग 6 के $6 - 1 = 5$ तरीके हैं और योग 9 के $6 - 2 = 4$ तरीके। दोनों मिलाकर 36 में से 9 तरीके हुए। प्रायिकता $\frac{9}{36} =$ $\frac{1}{4}$ है।

प्रश्न 3

दो पासे फेंके जाते हैं। दोनों पासों पर आई संख्याओं का अंतर 4 या उससे अधिक होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: अंतर k के $2(6 - k)$ तरीके होते हैं। तो अंतर 4 के 4 तरीके हैं और अंतर 5 के 2 तरीके। कुल 36 में से 6 तरीके हुए, इसलिए प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है। ये जोड़ियाँ (1, 5), (2, 6), (1, 6) हैं, और यही तीनों उलटे क्रम में भी।

इसमें करीब 15 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 4

चार सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। ठीक दो चित आने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: चार सिक्कों वाली पंक्ति 1, 4, 6, 4, 1 है। इसमें ठीक दो चित वाले परिणाम 6 हैं, कुल 16 में से। तो प्रायिकता $\frac{6}{16} =$ $\frac{3}{8}$ है।

प्रश्न 5

एक सिक्का उछाला जाता है और एक पासा फेंका जाता है। पट आने या पासे पर 6 के किसी गुणनखंड के आने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: यह "या" वाला प्रश्न है, तो उलटी घटना लेते हैं, यानी चित आए और पासे पर ऐसी संख्या आए जो 6 का गुणनखंड न हो। 6 के गुणनखंड 1, 2, 3 और 6 हैं, तो बचीं केवल 4 और 5। इसकी प्रायिकता $\frac{1}{2} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$ हुई, इसलिए उत्तर $1 - \frac{1}{6} =$ $\frac{5}{6}$ है।

प्रश्न 6

1 से 90 तक की संख्याओं में से एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इसके 6 या 9 का गुणज होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: 6 के गुणज $90 \div 6 = 15$ हैं और 9 के गुणज $90 \div 9 = 10$। 18 के गुणज दोनों सूचियों में आते हैं, और ऐसी 5 संख्याएँ हैं। तो $15 + 10 - 5 = 20$ संख्याएँ हुईं, और प्रायिकता $\frac{20}{90} =$ $\frac{2}{9}$ है।

प्रश्न 7

52 पत्तों की ताश की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। इसके बादशाह या काले रंग का तस्वीर वाला पत्ता होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: बादशाह 4 हैं और काले रंग के तस्वीर वाले पत्ते 6। काले बादशाह दो हैं और वे दोनों समूहों में आते हैं, तो उन्हें एक बार घटाते हैं। $4 + 6 - 2 = 8$ पत्ते हुए, तो प्रायिकता $\frac{8}{52} =$ $\frac{2}{13}$ है।

प्रश्न 8

52 पत्तों की ताश की गड्डी में से दो पत्ते एक साथ निकाले जाते हैं। दोनों में से प्रत्येक पत्ते के इक्का या बादशाह होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: इक्के और बादशाह मिलाकर 8 पत्ते हैं, और दोनों पत्ते इन्हीं में से चाहिए। "दोनों लाल" वाले सूत्र की तरह प्रायिकता $\frac{8 \times 7}{52 \times 51}$ है। गुणा करने से पहले काट लेते हैं। 8 और 52 दोनों 4 से कट जाते हैं, तो $\frac{2 \times 7}{13 \times 51} =$ $\frac{14}{663}$।

प्रश्न 9

52 पत्तों की ताश की गड्डी में से एक के बाद एक दो पत्ते निकाले जाते हैं, और दूसरा पत्ता निकालने से पूर्व पहला पत्ता वापस रख दिया जाता है। पहले पत्ते के बादशाह और दूसरे के पान का पत्ता होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: पहला पत्ता वापस रख दिया गया, तो दूसरा पत्ता भी पूरी गड्डी से ही निकलता है। इसलिए दोनों हिस्सों का सीधा गुणा कर देते हैं। $\frac{4}{52} \times \frac{13}{52} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{4} =$ $\frac{1}{52}$।

प्रश्न 10

एक डिब्बे में 10 बल्ब हैं, जिनमें से 3 दोषपूर्ण हैं। दो बल्ब एक साथ निकाले जाते हैं। उनमें से कम से कम एक के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: पहले "एक भी दोषपूर्ण नहीं" निकालते हैं। इसका मतलब है दोनों बल्ब 7 ठीक बल्बों में से आएँ, जिसकी प्रायिकता $\frac{7 \times 6}{10 \times 9} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$ है। तो कम से कम एक के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता $1 - \frac{7}{15} =$ $\frac{8}{15}$ है।

प्रश्न 11

एक थैले में 3 सफ़ेद, 4 काली और 5 लाल गेंदें हैं। तीन गेंदें एक साथ निकाली जाती हैं। तीनों गेंदों के अलग-अलग रंगों की होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: पहले कुल निकाल लेते हैं, $^{12}C_{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{6} = 220$। हर रंग की एक गेंद चुनने के $3 \times 4 \times 5 = 60$ तरीके हैं। तो प्रायिकता $\frac{60}{220} =$ $\frac{3}{11}$ है।

प्रश्न 12

एक थैले में 5 लाल गेंदें और कुछ नीली गेंदें हैं। दो गेंदें एक साथ निकालने पर दोनों के लाल होने की प्रायिकता $\frac{2}{11}$ है। थैले में कितनी नीली गेंदें हैं?

उत्तर: मान लेते हैं कि थैले में n गेंदें हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता $\frac{5 \times 4}{n(n - 1)}$ है। तो $\frac{20}{n(n - 1)} = \frac{2}{11}$, जिससे $n(n - 1) = 110 = 11 \times 10$ आता है, यानी $n = 11$। इनमें 5 लाल हैं, तो थैले में $11 - 5 =$ 6 नीली गेंदें हैं।

पूरा हल लगभग 30 सेकंड का है।

प्रश्न 13

किसी घटना के पक्ष में संयोगानुपात 3 : 8 है। उस घटना के घटित न होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: दोनों पक्षों का योग $3 + 8 = 11$ है। घटना 3 भागों में घटती है और 8 भागों में नहीं घटती। तो घटित न होने की प्रायिकता $\frac{8}{11}$ है।

प्रश्न 14

किसी लीप वर्ष में 53 मंगलवार होने, किंतु 53 बुधवार न होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: 53 मंगलवार के लिए अतिरिक्त जोड़े में मंगलवार होना ज़रूरी है, यानी जोड़ा (सोमवार, मंगलवार) या (मंगलवार, बुधवार)। पर दूसरे जोड़े से 53 बुधवार भी हो जाते हैं, इसलिए उसे छोड़ना होगा। केवल (सोमवार, मंगलवार) बचा, तो प्रायिकता $\frac{1}{7}$ है।

प्रश्न 15

A के किसी लक्ष्य पर निशाना लगाने की प्रायिकता $\frac{3}{5}$ है और B के निशाना लगाने की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है। प्रत्येक एक गोली चलाता है। लक्ष्य पर निशाना लग जाने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: लक्ष्य तभी बचेगा जब दोनों का निशाना चूक जाए। इसकी प्रायिकता $\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{10}$ है। तो निशाना लग जाने की प्रायिकता $1 - \frac{3}{10} =$ $\frac{7}{10}$ है।