संयुक्त घटनाएँ

परस्पर अपवर्जी घटनाएँ

कुछ घटनाएँ ऐसी होती हैं जो एक साथ घटित हो ही नहीं सकतीं। उनमें से एक घटी, तो दूसरी नहीं घट सकती। ऐसी घटनाओं को परस्पर अपवर्जी घटनाएँ (mutually exclusive events) कहते हैं। कुछ उदाहरण देखिए।

• एक पासा फेंका गया। "2 आना" और "5 आना" परस्पर अपवर्जी हैं।
• एक पत्ता निकाला गया। "पान का पत्ता" और "हुकुम का पत्ता" परस्पर अपवर्जी हैं।
• एक गेंद निकाली गई। "लाल गेंद" और "नीली गेंद" परस्पर अपवर्जी हैं।

ऐसी घटनाओं की प्रायिकताएँ सीधे जोड़ दी जाती हैं।

$$P(A \text{ या } B) = P(A) + P(B)$$

जैसे एक पासा फेंका गया, और 3 से छोटी या 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता चाहिए। ये दोनों बातें एक साथ नहीं हो सकतीं, इसलिए दोनों की प्रायिकताएँ जोड़ देते हैं, $P(1 \text{ या } 2) + P(5 \text{ या } 6) = \frac{2}{6} + \frac{2}{6} = \frac{2}{3}$।

जो परस्पर अपवर्जी नहीं हैं: "पान का पत्ता" और "बादशाह" एक साथ घट सकती हैं, क्योंकि पान का बादशाह पान का पत्ता भी है और बादशाह भी। इसी तरह पासे पर "सम संख्या" और "अभाज्य संख्या" भी साथ घट सकती हैं, क्योंकि 2 सम भी है और अभाज्य भी। ऐसी जोड़ियों में प्रायिकताएँ सीधे जोड़ दीं, तो कुछ परिणाम दो बार गिने जाएँगे। इनके लिए योग नियम (addition rule) लगता है, जिसे हम आगे देखेंगे।

जब इनमें से एक का होना तय हो: कभी घटनाएँ परस्पर अपवर्जी होती हैं, और यह भी तय होता है कि उनमें से कोई एक ज़रूर घटेगी। तब उनकी प्रायिकताओं का योग 1 होता है। जैसे किसी मैच में तीन ही बातें हो सकती हैं। टीम जीते, मैच बराबरी पर छूटे, या टीम हारे। मान लीजिए $P(\text{जीत}) = 0.55$ और $P(\text{बराबरी}) = 0.25$ है। तो $P(\text{हार}) = 1 - 0.55 - 0.25 = 0.2$ होगी। और टीम न हारे, इसकी प्रायिकता $P(\text{हार नहीं}) = 0.55 + 0.25 = 0.8$ है।

एक-दूसरे की तुलना में दी गई संभावनाएँ: कभी प्रायिकताएँ सीधे नहीं दी होतीं। बस इतना बताया होता है कि किसकी संभावना किसकी कितनी गुनी है। मान लीजिए एक पद के लिए तीन उम्मीदवार हैं, P, Q और R, और पद उनमें से ठीक एक को मिलेगा। P की संभावना Q की दोगुनी है, और Q की संभावना R की दोगुनी। R की संभावना $x$ मान लीजिए। तब Q की संभावना $2x$ होगी और P की $4x$। तीनों में से किसी एक को पद मिलना तय है, तो इनका योग 1 है।

$$x + 2x + 4x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{7}$$

तो P को पद मिलने की प्रायिकता $\frac{4}{7}$ है, Q की $\frac{2}{7}$ और R की $\frac{1}{7}$।

ऐसी सबसे सरल जोड़ी किसी घटना और उसकी पूरक घटना (complement of an event) की होती है, यानी "A" और "A नहीं"। ये दोनों साथ नहीं घट सकतीं, और इनमें से एक का होना तय है। इसीलिए $P(\text{नहीं } A) = 1 - P(A)$ होता है।

योग नियम

मान लीजिए A और B साथ-साथ घट सकती हैं। तब $P(A)$ और $P(B)$ जोड़ने पर, जो परिणाम दोनों में आते हैं, वे दो बार गिन लिए जाते हैं। इसलिए उन्हें एक बार घटा देते हैं।

$$P(A \text{ या } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ और } B)$$

यहाँ "A या B" का मतलब है A, या B, या दोनों।

समुच्चय वाले संकेतों में यही नियम $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ लिखा जाता है। इसमें $\cup$ का मतलब "या" है, $\cap$ का मतलब "और", और $\bar{A}$ का मतलब "A नहीं"। इसलिए $P(\bar{A} \cap \bar{B})$, यानी न A घटे और न B, $1 - P(A \cup B)$ के बराबर होती है।

इस चित्र में 52 पत्तों की गड्डी है, और इसमें से एक पत्ता निकालना है। मान लीजिए A = "लाल पत्ता" और B = "तस्वीर वाला पत्ता"। चित्र में लाल पत्ते छायांकित हैं, और तस्वीर वाले पत्तों की किनारी मोटी है। 6 लाल तस्वीर वाले पत्ते दोनों में आते हैं, यानी वे छायांकित भी हैं और मोटी किनारी वाले भी। इन्हें एक बार घटाना है।

$$P(\text{लाल या तस्वीर वाला पत्ता}) = \frac{26}{52} + \frac{12}{52} - \frac{6}{52} = \frac{32}{52} = \frac{8}{13}$$

एक-एक पत्ता गिनें, तब भी 32 ही आते हैं, जैसा "ताश, गेंदें और थैले" वाले खंड में किया था। सूत्र की ज़रूरत तब पड़ती है, जब प्रश्न में गिनने के लिए गड्डी नहीं, सीधे प्रायिकताएँ दी होती हैं।

दी गई प्रायिकताओं से: मान लीजिए $P(A) = 0.65$, $P(B) = 0.25$ और $P(A \text{ और } B) = 0.1$ है। तब $P(A \text{ या } B) = 0.65 + 0.25 - 0.1 = 0.8$ होगी।

कोई भी नहीं: A और B में से कोई भी न घटे, इसकी प्रायिकता $P(\text{न A, न B}) = 1 - P(A \text{ या } B)$ है। इसी उदाहरण में यह $1 - 0.8 = 0.2$ आती है।

केवल A: A घटे पर B न घटे, तो प्रायिकता $P(\text{A, पर B नहीं}) = P(A) - P(A \text{ और } B) = 0.65 - 0.1 = 0.55$ होती है।

ठीक एक: A और B में से ठीक एक घटे, इसकी प्रायिकता $P(A) + P(B) - 2P(A \text{ और } B)$ है। साझा भाग यहाँ दो बार घटाना पड़ता है, क्योंकि वह A में भी गिना गया था और B में भी। इसी उदाहरण में यह $0.65 + 0.25 - 0.2 = 0.7$ आती है।

साझा भाग निकालना: नियम को उलटकर साझा भाग भी निकाल सकते हैं। मान लीजिए $P(A) = \frac{3}{5}$, $P(B) = \frac{1}{2}$ और $P(A \text{ या } B) = \frac{4}{5}$ दिया है। तब

$$P(A \text{ और } B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{2} - \frac{4}{5} = \frac{3}{10}$$

किसी समूह के प्रतिशत: एक छात्रावास में 60% विद्यार्थियों को चाय पसंद है, 50% को कॉफ़ी, और 25% को दोनों। यादृच्छया एक विद्यार्थी चुना गया। तो $P(\text{चाय या कॉफ़ी}) = 0.6 + 0.5 - 0.25 = 0.85$ है। उसे दोनों में से कुछ भी पसंद न हो, इसकी प्रायिकता $1 - 0.85 = 0.15$ है, यानी $\frac{3}{20}$। प्रतिशत को प्रायिकता में बदलने के लिए बस 100 से भाग देना है, जैसा अध्याय 3 (प्रतिशत) में किया था।

तीन समूह और "ठीक एक": 50 विद्यार्थियों की एक कक्षा है। इनमें 30 हिंदी लेते हैं, 25 संस्कृत और 20 उर्दू। हर विद्यार्थी कम से कम एक भाषा लेता है, और 4 विद्यार्थी तीनों भाषाएँ लेते हैं। मान लीजिए $a$ विद्यार्थी ठीक एक भाषा लेते हैं और $b$ ठीक दो। पहले विद्यार्थियों को गिनिए, $a + b + 4 = 50$, तो $a + b = 46$। अब तीनों भाषाओं के विद्यार्थियों की संख्याएँ जोड़िए। इस जोड़ में हर विद्यार्थी उतनी बार गिना जाता है, जितनी भाषाएँ वह लेता है। तो $a + 2b + 3 \times 4 = 75$, यानी $a + 2b = 63$। दूसरे समीकरण में से पहला घटाएँ, तो $b = 17$ मिलता है, और फिर $a = 29$। इसलिए $P(\text{ठीक एक भाषा}) = \frac{29}{50}$।

हर उत्तर पर एक छोटी-सी जाँच कर लीजिए। $P(A \text{ या } B)$ कभी 1 से अधिक नहीं होती, और $P(A)$ व $P(B)$ में से जो बड़ी हो, उससे कभी कम नहीं होती। एक बात और याद रखिए। अगर $P(A) + P(B)$ ही 1 से अधिक आ जाए, तो दोनों घटनाओं में कुछ परिणाम साझा होंगे ही।

स्वतंत्र घटनाएँ

कभी एक घटना के घटने से दूसरी की प्रायिकता पर कोई असर नहीं पड़ता। ऐसी घटनाओं को स्वतंत्र घटनाएँ (independent events) कहते हैं। जैसे दो सिक्के उछालना, एक सिक्का और एक पासा फेंकना, प्रतिस्थापन सहित दो बार गेंद निकालना, या दो व्यक्तियों का अलग-अलग अपना काम करना। इन सबमें दोनों घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं। स्वतंत्र घटनाओं के लिए यह सूत्र लगता है।

$$P(A \text{ और } B) = P(A) \times P(B)$$

यह क्यों सही है: थैले X में 8 गेंदें हैं, जिनमें 3 लाल हैं। थैले Y में 5 गेंदें हैं, जिनमें 2 लाल हैं। हर थैले से एक गेंद निकालनी है। X की कोई भी गेंद Y की किसी भी गेंद के साथ आ सकती है, तो कुल $8 \times 5 = 40$ समसंभाव्य जोड़ियाँ हैं। इनमें लाल-लाल जोड़ियाँ $3 \times 2 = 6$ हैं। इसलिए

$$P(\text{दोनों लाल}) = \frac{6}{40} = \frac{3}{20} = \frac{3}{8} \times \frac{2}{5}$$

यानी दोनों थैलों की अलग-अलग प्रायिकताओं का गुणा ही उत्तर है।

दो से अधिक घटनाएँ: घटनाएँ दो से अधिक हों, तब भी सबकी प्रायिकताओं का गुणा कर दीजिए। मान लीजिए तीन मशीनें स्वतंत्र रूप से काम करती हैं, और उनके दिन भर ठीक चलने की प्रायिकताएँ 0.9, 0.8 और 0.5 हैं। तीनों के ठीक चलने की प्रायिकता $0.9 \times 0.8 \times 0.5 = 0.36$ है।

स्वतंत्र हैं या नहीं: प्रतिस्थापन रहित निकालने में घटनाएँ स्वतंत्र नहीं होतीं, क्योंकि पहली गेंद निकलते ही थैले में बची गेंदें बदल जाती हैं। यह हम "ताश, गेंदें और थैले" वाले खंड में देख चुके हैं। कभी प्रश्न $P(A)$, $P(B)$ और $P(A \text{ और } B)$ तीनों दे देता है। तब आप जाँच सकते हैं कि घटनाएँ स्वतंत्र हैं या नहीं। वे स्वतंत्र तभी होती हैं, जब $P(A \text{ और } B) = P(A) \times P(B)$ हो। जैसे $P(A) = 0.4$, $P(B) = 0.5$ और $P(A \text{ और } B) = 0.2$ हो, तो घटनाएँ स्वतंत्र हैं, क्योंकि पहली दो प्रायिकताओं का गुणनफल ठीक तीसरी के बराबर है।

स्वतंत्र होना और परस्पर अपवर्जी होना एक बात नहीं है

दो घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हों और उनमें से हर एक अपने-आप में संभव हो, तो वे कभी स्वतंत्र नहीं होतीं। कारण सीधा है। एक घट गई, तो दूसरी की प्रायिकता गिरकर 0 हो जाती है।

एक ही प्रश्न में दोनों नियम: मान लीजिए A और B स्वतंत्र हैं, $P(A) = 0.2$ है और $P(B) = 0.5$। पहले गुणा करके $P(A \text{ और } B) = 0.2 \times 0.5 = 0.1$ निकालिए। फिर योग नियम से $P(A \text{ या } B) = 0.2 + 0.5 - 0.1 = 0.6$ आ जाता है।

दोनों, कोई भी नहीं, ठीक एक, कम से कम एक

दो स्वतंत्र घटनाएँ हों, तो प्रश्न में इन चार में से कोई भी स्थिति पूछी जा सकती है। एक ही उदाहरण से चारों को देखते हैं। दो विद्यार्थी A और B स्वतंत्र रूप से एक प्रश्न हल करने का प्रयास करते हैं। A के प्रश्न हल कर लेने की प्रायिकता $\frac{2}{3}$ है और B की $\frac{3}{5}$। तो A के असफल होने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है और B की $\frac{2}{5}$।

वृक्ष-आरेख में चार रास्ते हैं। हर रास्ते की प्रायिकता उस रास्ते पर लिखी प्रायिकताओं का गुणनफल है।

चारों का योग $\frac{15}{15} = 1$ है। अब हर स्थिति तालिका से सीधे पढ़ लीजिए।

• दोनों: $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$
• कोई भी नहीं: $\frac{2}{15}$
• ठीक एक: केवल A या केवल B, यानी $\frac{4}{15} + \frac{3}{15} = \frac{7}{15}$
• कम से कम एक: "कोई भी नहीं" को छोड़कर बाकी सब, यानी $1 - \frac{2}{15} = \frac{13}{15}$। यही "दोनों" और "ठीक एक" का जोड़ भी है, $\frac{6}{15} + \frac{7}{15}$।
• अधिक से अधिक एक: "दोनों" को छोड़कर बाकी सब, यानी $1 - \frac{6}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

सामान्य रूप से, अगर दोनों प्रायिकताएँ $p$ और $q$ हों, तो

$$P(\text{कम से कम एक}) = 1 - (1 - p)(1 - q)$$

[SSC टिप] यहाँ दो गलतियों से बचना है। पहली, "कम से कम एक" को "ठीक एक" की तरह हल कर देना। इसमें "दोनों" वाली स्थिति छूट जाती है, और $\frac{13}{15}$ की जगह $\frac{7}{15}$ आ जाता है। दूसरी, दोनों प्रायिकताएँ सीधे जोड़ देना। $\frac{2}{3} + \frac{3}{5} = \frac{19}{15}$ तो 1 से अधिक है, यह प्रायिकता हो ही नहीं सकती। सही तरीका है पहले "कोई भी नहीं" निकालना और फिर उसे 1 में से घटाना।

दो-तीन व्यक्ति: प्रश्न हल होना, निशाना लगना

दो बातें अच्छी तरह समझ लीजिए। "प्रश्न हल हो जाता है" का मतलब है कि कम से कम एक व्यक्ति उसे हल कर लेता है। इसी तरह "लक्ष्य पर निशाना लगता है" का मतलब है कि कम से कम एक गोली निशाने पर लगती है। यानी ये दोनों "कम से कम एक" वाले प्रश्न हैं। इसलिए ऐसे प्रश्नों में पहले यह निकालिए कि सब असफल रहें, इसकी प्रायिकता कितनी है।

तीन विद्यार्थी: A, B और C स्वतंत्र रूप से एक प्रश्न हल करने का प्रयास करते हैं। उनके हल कर लेने की प्रायिकताएँ $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$ और $\frac{1}{5}$ हैं। पहले यह देखते हैं कि कोई भी हल न करे, इसकी प्रायिकता कितनी है।

$$P(\text{कोई भी हल नहीं करता}) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}, \qquad P(\text{प्रश्न हल हो जाता है}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$$

ठीक एक विद्यार्थी हल करे, इसके तीन तरीके हैं, केवल A, केवल B या केवल C। तीनों को जोड़ते हैं।

$$\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} \times \frac{4}{5} + \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{12}{60} + \frac{8}{60} + \frac{6}{60} = \frac{13}{30}$$

और तीनों हल कर लें, इसकी प्रायिकता $\frac{1}{3} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{60}$ है।

"इतनी बार में से इतनी बार" भी प्रायिकता है: प्रश्न में लिखा हो कि "A, 5 गोलियों में 3 बार लक्ष्य पर निशाना लगाता है", तो इसका मतलब है $P(\text{A का निशाना लगना}) = \frac{3}{5}$। मान लीजिए B, 2 गोलियों में एक बार निशाना लगाता है, और दोनों एक-एक गोली चलाते हैं। तब लक्ष्य पर निशाना लगने की प्रायिकता $1 - \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{5}$ है। यहाँ 1 में से वह प्रायिकता घटाई है, जिसमें दोनों चूक जाते हैं।

एक व्यक्ति, कई गोलियाँ: एक निशानेबाज़ की हर गोली पर निशाना लगने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है, और उसकी गोलियाँ एक-दूसरे पर असर नहीं डालतीं। वह 3 गोलियाँ चलाता है। तो $P(\text{एक भी निशाना नहीं}) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$, और $P(\text{कम से कम एक निशाना}) = 1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}$।

कितनी गोलियाँ चाहिए: मान लीजिए हर गोली पर निशाना लगने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है। तब सारी $n$ गोलियों के चूकने की प्रायिकता $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ होगी। निशाना लगने की कम से कम 90% संभावना चाहिए, तो चूकने की यह प्रायिकता $\frac{1}{10}$ या उससे कम होनी चाहिए। तीन गोलियों पर यह $\frac{1}{8}$ आती है, जो अभी भी इससे अधिक है। चार गोलियों पर यह $\frac{1}{16}$ रह जाती है, जो इससे कम है। तो 4 गोलियाँ चाहिए।

n प्रयासों में ठीक k सफलताएँ

मान लीजिए एक ही काम $n$ बार किया जाता है, हर बार स्वतंत्र रूप से, और हर बार सफलता की प्रायिकता वही $p$ रहती है। जैसे निशानेबाज़ की $n$ गोलियाँ, $n$ बार सिक्का उछालना या $n$ बार पासा फेंकना। तब ठीक $k$ सफलताओं की प्रायिकता यह होती है।

$$P(\text{ठीक } k) = {}^{n}C_{k} \times p^{k} \times (1 - p)^{n - k}$$

यह क्यों सही है: एक निशानेबाज़ के निशाना लगाने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है, और वह 4 गोलियाँ चलाता है। ठीक 2 निशानों वाला एक क्रम लीजिए, निशाना, निशाना, चूक, चूक। इसकी प्रायिकता $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{81}$ है। ठीक 2 निशानों वाले हर दूसरे क्रम की प्रायिकता भी यही है, जैसे निशाना, चूक, निशाना, चूक। अब क्रम गिनने हैं। 4 गोलियों में से निशाने वाली 2 गोलियाँ चुननी हैं, और इसके $^{4}C_{2} = 6$ तरीके हैं। इसलिए

$$P(\text{ठीक 2 निशाने}) = 6 \times \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$$

गिनती एक ही सूत्र से: $^{n}C_{k}$ का मतलब है $n$ प्रयासों में से $k$ चुनने के तरीके। इसके कुछ मान याद रख लीजिए। $^{n}C_{0} = 1$, $^{n}C_{1} = n$, $^{n}C_{2} = \frac{n(n - 1)}{2}$ और $^{n}C_{3} = \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}$। इन्हें "ताश, गेंदें और थैले" वाले खंड में भी देखा था। एक बात और, $^{n}C_{k} = {}^{n}C_{n - k}$ होता है, क्योंकि सफल प्रयास चुनते ही असफल प्रयास भी अपने-आप तय हो जाते हैं। जैसे $^{5}C_{4} = {}^{5}C_{1} = 5$।

सिक्का: सिक्के में $p = \frac{1}{2}$ होता है। तब $n$ उछालों के हर परिणाम-क्रम की प्रायिकता $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ होती है, और सूत्र $\frac{^{n}C_{k}}{2^{n}}$ रह जाता है। जैसे 6 उछालों में ठीक 2 चित आने की प्रायिकता $\frac{^{6}C_{2}}{64} = \frac{15}{64}$ है।

कम से कम और अधिक से अधिक: ऐसे प्रश्नों में "ठीक" वाली स्थितियाँ जोड़ लीजिए, या उन्हें 1 में से घटा दीजिए। ऊपर वाला 4 गोलियों का उदाहरण ही लेते हैं, जिसमें $p = \frac{1}{3}$ है।

• एक भी निशाना न लगने की प्रायिकता $\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81}$ है।
• ठीक एक निशाना लगने की प्रायिकता $4 \times \frac{1}{3} \times \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{32}{81}$ है।
• कम से कम दो निशाने लगने की प्रायिकता $1 - \frac{16}{81} - \frac{32}{81} = \frac{33}{81} = \frac{11}{27}$ है।

सबसे आम गलती है $^{n}C_{k}$ से गुणा करना भूल जाना। ऊपर वाला $\frac{4}{81}$ निशानों और चूकों के एक खास क्रम की प्रायिकता है, ठीक 2 निशानों की नहीं।

ठीक एक: सच, चयन और जीवित रहना

कुछ प्रश्न "ठीक एक" और "दोनों" को दूसरे शब्दों में पूछते हैं। पर उन्हें हल करने का तरीका वही रहता है।

सच बोलना: A 70% मामलों में सच बोलता है और B 90% मामलों में, और दोनों एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से बोलते हैं। दोनों से एक ही तथ्य के बारे में पूछा गया।

• दोनों एक-दूसरे का खंडन तब करते हैं, जब उनमें से ठीक एक सच बोले। इसकी प्रायिकता $0.7 \times 0.1 + 0.3 \times 0.9 = 0.07 + 0.27 = 0.34$ है।
• दोनों एक-दूसरे से सहमत तब होते हैं, जब दोनों सच बोलें या दोनों झूठ बोलें। इसकी प्रायिकता $0.7 \times 0.9 + 0.3 \times 0.1 = 0.63 + 0.03 = 0.66$ है।

संकेतों में लिखना हो, तो मान लीजिए दोनों के सच बोलने की प्रायिकताएँ $p$ और $q$ हैं। तब

$$P(\text{खंडन}) = p(1 - q) + q(1 - p), \qquad P(\text{सहमति}) = pq + (1 - p)(1 - q)$$

इन दोनों प्रायिकताओं का योग 1 होता है। ध्यान दीजिए कि "सहमत" की प्रायिकता "दोनों सच बोलें" वाली 0.63 से अधिक है। कारण यह है कि हाँ-या-ना वाले प्रश्न पर दोनों झूठ बोलें, तब भी उनके उत्तर एक जैसे होते हैं, यानी वे सहमत होते हैं। प्रतिशत में कहें, तो 34% मामलों में वे एक-दूसरे का खंडन करते हैं।

चयन: एक भाई और उसकी बहन दो अलग-अलग पदों के लिए आवेदन करते हैं। भाई के चयन की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है और बहन की $\frac{2}{7}$, और दोनों का चयन स्वतंत्र रूप से होता है।

• केवल एक का चयन हो, इसकी प्रायिकता $\frac{1}{4} \times \frac{5}{7} + \frac{3}{4} \times \frac{2}{7} = \frac{5}{28} + \frac{6}{28} = \frac{11}{28}$ है।
• दोनों का चयन हो, इसकी प्रायिकता $\frac{1}{4} \times \frac{2}{7} = \frac{1}{14}$ है।
• किसी का भी चयन न हो, इसकी प्रायिकता $\frac{3}{4} \times \frac{5}{7} = \frac{15}{28}$ है। तो कम से कम एक के चयन की प्रायिकता $\frac{13}{28}$ हुई।

किसी आयु तक जीवित रहना: एक आदमी के अब से 20 वर्ष बाद जीवित रहने की प्रायिकता 0.7 है, और उसकी पत्नी के लिए यह 0.6 है। "केवल पत्नी जीवित रहेगी" का मतलब है कि आदमी जीवित न रहे और पत्नी जीवित रहे। इसकी प्रायिकता $0.3 \times 0.6 = 0.18$ है।

इन सब प्रश्नों में तरीका एक ही है। पहले दोनों "नहीं" वाली प्रायिकताएँ लिख लीजिए, $1 - p$ और $1 - q$। फिर हर स्थिति को गुणनफल के रूप में लिखिए। अंत में प्रश्न जो स्थितियाँ माँगे, उन्हें जोड़ दीजिए।

पहले थैला, फिर गेंद

कुछ प्रश्नों में दो चरण होते हैं। पहले चरण में तय होता है कि कौन-सा थैला लिया जाएगा, और दूसरे चरण में उसी थैले से एक गेंद निकाली जाती है। ऐसे प्रश्न में पहले वृक्ष-आरेख बनाइए। फिर हर रास्ते पर प्रायिकताओं का गुणा कीजिए। आखिर में वे सारे रास्ते जोड़ दीजिए, जो चाही गई घटना पर खत्म होते हैं।

मान लीजिए थैले I में 3 लाल और 2 काली गेंदें हैं, और थैले II में 2 लाल और 4 काली। एक थैला यादृच्छया चुना गया, और उसमें से एक गेंद निकाली गई।

लाल गेंद तक दो रास्ते पहुँचते हैं। दोनों को जोड़ते हैं।

$$P(\text{लाल}) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{6} = \frac{3}{10} + \frac{1}{6} = \frac{9}{30} + \frac{5}{30} = \frac{7}{15}$$

तो $P(\text{काली}) = 1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$ हुई।

थैलों को एक साथ न उड़ेलें: कई छात्र सारी 11 गेंदें एक ढेर में मान लेते हैं और लाल के लिए $\frac{5}{11}$ लिख देते हैं। यह गलत है। हर थैले के चुने जाने की संभावना बराबर है, पर थैले II में गेंदें अधिक हैं। इसलिए उसकी हर एक गेंद के निकलने की संभावना कम है।

जब चुनाव आधा-आधा न हो: मान लीजिए पहले एक पासा फेंका जाता है। 1 या 2 आए, तो थैला I लेना है, नहीं तो थैला II। अब थैले I की संभावना $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।

$$P(\text{लाल}) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{2}{3} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{5} + \frac{2}{9} = \frac{19}{45}$$

एक गेंद दूसरे थैले में डालना: अब थैले I से एक गेंद यादृच्छया निकालकर, बिना देखे, थैले II में डाल दी गई। फिर थैले II से एक गेंद निकाली गई। डाली गई गेंद लाल हो, इसकी प्रायिकता $\frac{3}{5}$ है, और तब थैले II में 7 में से 3 गेंदें लाल होंगी। डाली गई गेंद काली हो, इसकी प्रायिकता $\frac{2}{5}$ है, और तब थैले II में 7 में से 2 गेंदें लाल होंगी।

$$P(\text{थैले II से लाल}) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{7} + \frac{2}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{9}{35} + \frac{4}{35} = \frac{13}{35}$$

[SSC टिप] वृक्ष-आरेख में शुरू में ही पहले चरण के हर थैले की संभावना लिख लीजिए। इन प्रश्नों में दो गलतियाँ अक्सर देखने को मिलती हैं। पहली, सारे थैलों की गेंदें एक साथ उड़ेल देना। दूसरी, पासे या सिक्के के हिसाब से थैलों की संभावनाएँ अलग-अलग हों, तब भी उन्हें समसंभाव्य मान लेना।

कुछ होने तक सिक्का उछालना

एक सिक्का तब तक उछाला जाता है जब तक चित न आ जाए, पर 3 बार से अधिक नहीं। इसके संभव परिणाम-क्रम H, TH, TTH और TTT हैं, जहाँ H = चित और T = पट।

ये चारों परिणाम-क्रम समसंभाव्य नहीं हैं। हर अगले उछाल के साथ प्रायिकता में $\frac{1}{2}$ का एक और गुणा हो जाता है।

• कभी न कभी चित आए, इसकी प्रायिकता $1 - P(\text{TTT}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ है।
• तीनों उछाल करने पड़ें, यानी TTH या TTT आए, इसकी प्रायिकता $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$ है।
• पहला चित तीसरे उछाल पर आए, इसकी प्रायिकता $\frac{1}{8}$ है।

कुछ छात्र चारों में से हर परिणाम-क्रम को $\frac{1}{4}$ दे देते हैं। यह ठीक नहीं है, क्योंकि आधी बार तो खेल पहले ही उछाल के बाद रुक जाता है।

बारी-बारी से उछालना: A और B बारी-बारी से सिक्का उछालते हैं, पहले A। जिसका चित पहले आए, वह जीतता है। पहले दौर में A तुरंत जीत जाए, इसकी प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है। B तभी उछालता है जब A का पट आए, तो उस दौर में B की जीत की प्रायिकता $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ है। दोनों के पट आएँ, तो खेल फिर ठीक पहले जैसा शुरू हो जाता है। इसलिए हर दौर में A की संभावना B की दोगुनी रहती है, और पूरे खेल में भी A : B = 2 : 1 होता है।

$$P(\text{A की जीत}) = \frac{2}{3}, \qquad P(\text{B की जीत}) = \frac{1}{3}$$

पासे के साथ भी यही तर्क चलता है। मान लीजिए जो पहले छक्का फेंके, वह जीते। एक दौर में A की संभावना $\frac{1}{6}$ है, और B की $\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$। तो A : B = 6 : 5, और $P(\text{A की जीत}) = \frac{6}{11}$।

सीमा वाला खेल: अब मान लीजिए हर खिलाड़ी अधिक से अधिक दो बार उछाल सकता है, यानी क्रम A, B, A, B है। A पहले या तीसरे उछाल पर जीत सकता है, तो उसकी प्रायिकता $\frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$ है। B दूसरे या चौथे उछाल पर जीत सकता है, तो उसकी प्रायिकता $\frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16}$ है। कोई भी न जीते, इसकी प्रायिकता $\frac{1}{16}$ है। तीनों का योग 1 है।

हल किए गए उदाहरण

अब इन नियमों को कुछ प्रश्नों पर लगाकर देखते हैं।

प्रश्न 1

हॉकी के एक मैच में किसी टीम के जीतने की प्रायिकता 0.4 है और मैच के बराबरी पर छूटने की प्रायिकता 0.25 है। टीम के न हारने की प्रायिकता क्या है? (a) 0.35 (b) 0.65 (c) 0.6 (d) 0.1

उत्तर: जीत, बराबरी और हार, ये तीनों एक साथ नहीं घट सकतीं, और इनमें से एक का होना तय है। "न हारना" का मतलब है जीतना या बराबरी, तो दोनों को सीधे जोड़ देते हैं, $0.4 + 0.25 = 0.65$। उत्तर (b) 0.65 है। बचा हुआ 0.35 तो हारने की प्रायिकता है।

प्रश्न 2

52 पत्तों की ताश की गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। इसके सम्मान पत्ता (इक्का, बादशाह, बेगम या गुलाम) या काला पत्ता होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{21}{26}$ (b) $\frac{2}{13}$ (c) $\frac{1}{2}$ (d) $\frac{17}{26}$

उत्तर: सम्मान पत्ते 16 हैं और काले पत्ते 26। पर काले सम्मान पत्ते, यानी हुकुम के 4 और चिड़ी के 4, दोनों गिनतियों में आ गए हैं। इन्हें एक बार घटा देते हैं, $P = \frac{16}{52} + \frac{26}{52} - \frac{8}{52} = \frac{34}{52} = \frac{17}{26}$। तो उत्तर (d) $\frac{17}{26}$ है।

प्रश्न 3

दो घटनाओं A और B के लिए $P(A) = 0.35$, $P(B) = 0.5$ और $P(A \text{ या } B) = 0.65$ है। $P(A \text{ और } B)$ का मान क्या है? (a) 0.2 (b) 0.175 (c) 0.15 (d) 0.85

उत्तर: यहाँ योग नियम को उलटकर लगाना है, $P(A \text{ और } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ या } B) = 0.35 + 0.5 - 0.65 = 0.2$। उत्तर (a) 0.2 है। कुछ लोग 0.35 को 0.5 से गुणा करके 0.175 लिख देते हैं। ऐसा तभी कर सकते हैं जब A और B स्वतंत्र हों, और प्रश्न में ऐसा कुछ नहीं कहा गया।

प्रश्न 4

एक क्लब में 45% सदस्य समाचार-पत्र A पढ़ते हैं, 35% समाचार-पत्र B पढ़ते हैं और 20% दोनों पढ़ते हैं। एक सदस्य यादृच्छया चुना जाता है। उस सदस्य के न तो समाचार-पत्र A और न ही समाचार-पत्र B पढ़ने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{5}$ (b) $\frac{3}{5}$ (c) $\frac{2}{5}$ (d) $\frac{1}{4}$

उत्तर: पहले देखते हैं कि कम से कम एक समाचार-पत्र पढ़ने वाले कितने हैं, $45\% + 35\% - 20\% = 60\%$। बाकी $100\% - 60\% = 40\%$ सदस्य कोई भी समाचार-पत्र नहीं पढ़ते। प्रायिकता में 40% का मतलब $\frac{40}{100} = \frac{2}{5}$ है, तो उत्तर (c) $\frac{2}{5}$ है। अगर 20% घटाना भूल गए, तो पाठक 80% आएँगे और केवल $\frac{1}{5}$ बचेगा, जो गलत है।

प्रश्न 5

A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, जिनके लिए $P(A) = 0.3$ और $P(B) = 0.6$ है। A या B के घटित होने की प्रायिकता क्या है? (a) 0.72 (b) 0.9 (c) 0.18 (d) 0.54

उत्तर: A और B स्वतंत्र हैं, तो $P(A \text{ और } B) = 0.3 \times 0.6 = 0.18$। अब योग नियम लगाते हैं, $0.3 + 0.6 - 0.18 = 0.72$। दूसरे रास्ते से भी देख सकते हैं। कोई भी घटना न घटे, इसकी प्रायिकता $0.7 \times 0.4 = 0.28$ है, और $1 - 0.28 = 0.72$। दोनों तरह से उत्तर (a) 0.72 आता है।

प्रश्न 6

शनिवार को बारिश होने की प्रायिकता 0.3 है और रविवार को 0.4 है, तथा दोनों दिन एक-दूसरे को प्रभावित नहीं करते। दोनों में से कम से कम एक दिन बारिश होने की प्रायिकता क्या है? (a) 0.7 (b) 0.12 (c) 0.46 (d) 0.58

उत्तर: सबसे आसान है पहले यह देखना कि किसी भी दिन बारिश न हो। इसकी प्रायिकता $0.7 \times 0.6 = 0.42$ है। तो कम से कम एक दिन बारिश होने की प्रायिकता $1 - 0.42 = 0.58$ है, यानी (d) 0.58। सीधे $0.3 + 0.4$ कर देने से वह स्थिति दो बार गिन ली जाती है, जिसमें दोनों दिन बारिश होती है।

प्रश्न 7

थैले P में 4 सफ़ेद और 5 काली गेंदें हैं। थैले Q में 3 सफ़ेद और 7 काली गेंदें हैं। प्रत्येक थैले में से एक गेंद निकाली जाती है। दोनों गेंदों के सफ़ेद होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{7}{57}$ (b) $\frac{2}{15}$ (c) $\frac{11}{18}$ (d) $\frac{67}{90}$

उत्तर: दोनों गेंदें अलग-अलग थैलों से निकल रही हैं, इसलिए दोनों घटनाएँ स्वतंत्र हैं। P से सफ़ेद गेंद की प्रायिकता $\frac{4}{9}$ है और Q से $\frac{3}{10}$। दोनों का गुणा करते हैं, $\frac{4}{9} \times \frac{3}{10} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$, यानी (b) $\frac{2}{15}$।

प्रश्न 8

थैले P में 4 सफ़ेद और 5 काली गेंदें हैं। थैले Q में 3 सफ़ेद और 7 काली गेंदें हैं। प्रत्येक थैले में से एक गेंद निकाली जाती है। इनमें से एक गेंद के सफ़ेद और दूसरी के काली होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{14}{45}$ (b) $\frac{2}{15}$ (c) $\frac{43}{90}$ (d) $\frac{1}{2}$

उत्तर: एक सफ़ेद और एक काली, यह दो तरह से हो सकता है। P से सफ़ेद और Q से काली, तो $\frac{4}{9} \times \frac{7}{10} = \frac{28}{90}$। या P से काली और Q से सफ़ेद, तो $\frac{5}{9} \times \frac{3}{10} = \frac{15}{90}$। दोनों का जोड़ $\frac{43}{90}$ है, यानी (c) $\frac{43}{90}$। केवल पहले तरीके पर रुक गए, तो $\frac{28}{90} = \frac{14}{45}$ आएगा, जो अधूरा उत्तर है।

प्रश्न 9

दो विद्यार्थी A और B एक प्रश्न को स्वतंत्र रूप से हल करने का प्रयास करते हैं। A के उसे हल कर लेने की प्रायिकता $\frac{3}{4}$ है और B के उसे हल कर लेने की प्रायिकता $\frac{2}{5}$ है। प्रश्न के हल हो जाने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{17}{20}$ (b) $\frac{3}{10}$ (c) $\frac{11}{20}$ (d) $\frac{3}{20}$

उत्तर: प्रश्न हल होने का मतलब है कि कम से कम एक उसे हल कर ले। तो पहले दोनों के असफल होने की प्रायिकता निकालते हैं, $\frac{1}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{20}$। इसे 1 में से घटाएँ, तो $1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$ आता है। विकल्प (a) $\frac{17}{20}$ यही है।

प्रश्न 10

दो विद्यार्थी A और B एक प्रश्न को स्वतंत्र रूप से हल करने का प्रयास करते हैं। A के उसे हल कर लेने की प्रायिकता $\frac{3}{4}$ है और B के उसे हल कर लेने की प्रायिकता $\frac{2}{5}$ है। उनमें से ठीक एक के प्रश्न हल कर लेने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{17}{20}$ (b) $\frac{3}{10}$ (c) $\frac{9}{20}$ (d) $\frac{11}{20}$

उत्तर: केवल A हल करे, तो $\frac{3}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{20}$। केवल B हल करे, तो $\frac{1}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{20}$। ठीक एक का मतलब इन दोनों का जोड़ है, यानी $\frac{11}{20}$। उत्तर (d) $\frac{11}{20}$ है। जाँच के लिए बाकी दो स्थितियाँ भी देख लेते हैं। दोनों हल करें तो $\frac{6}{20}$, कोई भी नहीं तो $\frac{3}{20}$, और $\frac{11 + 6 + 3}{20} = 1$। हिसाब ठीक है।

प्रश्न 11

तीन मित्रों के किसी पहेली को हल कर लेने की प्रायिकताएँ $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$ और $\frac{1}{6}$ हैं, और वे स्वतंत्र रूप से प्रयास करते हैं। पहेली के हल हो जाने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{5}{16}$ (b) $\frac{11}{16}$ (c) $\frac{1}{48}$ (d) $\frac{23}{48}$

उत्तर: पहेली हल होने के लिए कम से कम एक मित्र को उसे हल करना है। इसलिए पहले यह देखते हैं कि कोई भी हल न करे, $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}$। अब पहेली हल होने की प्रायिकता $1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$ है, यानी (b) $\frac{11}{16}$। तीनों प्रायिकताएँ सीधे जोड़ने पर $\frac{11}{12}$ आता है, जो बहुत बड़ा है। उसमें वे स्थितियाँ एक से अधिक बार गिनी जाती हैं, जिनमें दो या तीनों मित्र पहेली हल कर लेते हैं।

प्रश्न 12

A किसी लक्ष्य पर 5 गोलियों में से 4 बार निशाना लगाता है और B 6 गोलियों में से 5 बार। दोनों लक्ष्य पर एक-एक गोली चलाते हैं। लक्ष्य पर निशाना लगने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{2}{3}$ (b) $\frac{3}{10}$ (c) $\frac{29}{30}$ (d) $\frac{1}{30}$

उत्तर: A के चूकने की प्रायिकता $\frac{1}{5}$ है और B की $\frac{1}{6}$। दोनों चूक जाएँ, इसकी प्रायिकता $\frac{1}{5} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{30}$ है। लक्ष्य पर निशाना लगने का मतलब है कि कम से कम एक का निशाना लगे। तो प्रायिकता $1 - \frac{1}{30} = \frac{29}{30}$ है, और उत्तर (c) $\frac{29}{30}$।

प्रश्न 13

तीन निशानेबाज़ों के लक्ष्य पर निशाना लगाने की प्रायिकताएँ $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$ और $\frac{3}{4}$ हैं, और प्रत्येक स्वतंत्र रूप से एक गोली चलाता है। लक्ष्य पर कम से कम दो बार निशाना लगने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{17}{24}$ (b) $\frac{11}{24}$ (c) $\frac{1}{4}$ (d) $\frac{23}{24}$

उत्तर: कम से कम दो बार का मतलब है ठीक दो निशाने या तीनों निशाने। ठीक दो निशानों के तीन तरीके हैं, और तीनों को जोड़ने पर $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{24} + \frac{3}{24} + \frac{6}{24} = \frac{11}{24}$ आता है। तीनों निशाने लगें, इसकी प्रायिकता $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{24}$ है। कुल $\frac{17}{24}$ हुआ, तो उत्तर (a) $\frac{17}{24}$ है।

प्रश्न 14

एक तीरंदाज़ के प्रत्येक तीर से लक्ष्य के केंद्र पर निशाना लगने की प्रायिकता $\frac{4}{5}$ है, और तीर एक-दूसरे को प्रभावित नहीं करते। यदि 5 तीर चलाए जाएँ, तो उनमें से ठीक 4 के केंद्र पर लगने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{256}{3125}$ (b) $\frac{1024}{3125}$ (c) $\frac{4}{5}$ (d) $\frac{256}{625}$

उत्तर: पहले एक क्रम लेते हैं, जैसे पहले चार तीर केंद्र पर लगें और पाँचवाँ चूक जाए। इसकी प्रायिकता $\left(\frac{4}{5}\right)^4 \times \frac{1}{5} = \frac{256}{3125}$ है। चूकने वाला तीर 5 में से कोई भी हो सकता है, तो ऐसे $^{5}C_{4} = 5$ क्रम हैं। इसलिए $P = 5 \times \frac{256}{3125} = \frac{256}{625}$, यानी (d) $\frac{256}{625}$। जो छात्र एक ही क्रम लेकर रुक जाते हैं, उनका उत्तर $\frac{256}{3125}$ आता है, और यही गलती है।

प्रश्न 15

एक पासे को 4 बार फेंका जाता है। ठीक दो बार छक्का आने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{25}{1296}$ (b) $\frac{25}{216}$ (c) $\frac{1}{36}$ (d) $\frac{671}{1296}$

उत्तर: हर फेंक पर छक्का आने की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है, और कुछ और आने की $\frac{5}{6}$। एक क्रम लेते हैं, छक्का, छक्का, कुछ और, कुछ और। इसकी प्रायिकता $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{1296}$ है। दोनों छक्के 4 में से किन्हीं भी 2 फेंकों पर आ सकते हैं, और इसके $^{4}C_{2} = 6$ तरीके हैं। तो $P = 6 \times \frac{25}{1296} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$, यानी उत्तर (b) $\frac{25}{216}$ है।

प्रश्न 16

A 60% मामलों में सच बोलता है और B 90% मामलों में। किसी एक ही तथ्य को बताते समय कितने प्रतिशत मामलों में उनके एक-दूसरे का खंडन करने की संभावना है? (a) 58% (b) 42% (c) 54% (d) 36%

उत्तर: खंडन तब होता है, जब उनमें से ठीक एक सच बोले। A सच बोले और B झूठ, तो $0.6 \times 0.1 = 0.06$। A झूठ बोले और B सच, तो $0.4 \times 0.9 = 0.36$। कुल $0.42$ हुआ, यानी (b) 42%। बाकी 58% वे मामले हैं, जिनमें दोनों सहमत होते हैं।

प्रश्न 17

रवि और मीना दो अलग-अलग पदों के लिए साक्षात्कार देते हैं। रवि के चयनित होने की प्रायिकता $\frac{1}{5}$ है और मीना के चयनित होने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है। उनमें से केवल एक के चयनित होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{7}{15}$ (b) $\frac{1}{15}$ (c) $\frac{2}{5}$ (d) $\frac{8}{15}$

उत्तर: रवि का चयन हो और मीना का न हो, इसकी प्रायिकता $\frac{1}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{15}$ है। रवि का न हो और मीना का हो, तो $\frac{4}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{15}$। केवल एक का चयन इन दोनों का जोड़ है, $\frac{2}{15} + \frac{4}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$, तो (c) $\frac{2}{5}$।

प्रश्न 18

डिब्बे A में 4 हरी और 2 सफ़ेद गेंदें हैं, तथा डिब्बे B में 3 हरी और 5 सफ़ेद गेंदें हैं। एक डिब्बा यादृच्छया चुना जाता है और उसमें से एक गेंद निकाली जाती है। उस गेंद के हरी होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{25}{48}$ (b) $\frac{1}{2}$ (c) $\frac{1}{4}$ (d) $\frac{23}{48}$

उत्तर: दोनों रास्ते देखते हैं। डिब्बा A चुना और हरी गेंद निकली, तो $\frac{1}{2} \times \frac{4}{6} = \frac{1}{3}$। डिब्बा B चुना और हरी गेंद निकली, तो $\frac{1}{2} \times \frac{3}{8} = \frac{3}{16}$। दोनों को जोड़ने पर $\frac{16}{48} + \frac{9}{48} = \frac{25}{48}$ आता है, यानी (a) $\frac{25}{48}$। सारी 14 गेंदें एक साथ मान लें, तो $\frac{7}{14} = \frac{1}{2}$ आएगा। पर ऐसा नहीं कर सकते, क्योंकि दोनों डिब्बों में गेंदों की संख्या बराबर नहीं है।

प्रश्न 19

एक पासा फेंका जाता है। यदि पासे पर 6 आता है, तो थैले I (जिसमें 3 लाल और 1 नीली गेंद है) में से एक गेंद निकाली जाती है, अन्यथा थैले II (जिसमें 1 लाल और 4 नीली गेंदें हैं) में से एक गेंद निकाली जाती है। निकाली गई गेंद के लाल होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{19}{40}$ (b) $\frac{4}{9}$ (c) $\frac{1}{8}$ (d) $\frac{7}{24}$

उत्तर: थैला I तभी लिया जाता है जब पासे पर 6 आए, तो उसकी संभावना $\frac{1}{6}$ है और थैले II की $\frac{5}{6}$। थैले I के रास्ते लाल गेंद की प्रायिकता $\frac{1}{6} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{8}$ है, और थैले II के रास्ते $\frac{5}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{6}$। कुल $\frac{3}{24} + \frac{4}{24} = \frac{7}{24}$ हुआ, यानी (d) $\frac{7}{24}$।

प्रश्न 20

थैले A में 4 सफ़ेद गेंदें और 1 काली गेंद है, तथा थैले B में 3 सफ़ेद और 4 काली गेंदें हैं। थैले A में से एक गेंद यादृच्छया निकालकर, बिना देखे, थैले B में डाल दी जाती है। फिर थैले B में से एक गेंद निकाली जाती है। उस गेंद के सफ़ेद होने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{3}{7}$ (b) $\frac{19}{40}$ (c) $\frac{1}{2}$ (d) $\frac{3}{8}$

उत्तर: डाली गई गेंद के लिए दो ही स्थितियाँ हैं। वह सफ़ेद हो, इसकी संभावना $\frac{4}{5}$ है, और तब थैले B में 8 में से 4 गेंदें सफ़ेद होंगी। वह काली हो, इसकी संभावना $\frac{1}{5}$ है, और तब थैले B में 8 में से 3 सफ़ेद होंगी। तो $P = \frac{4}{5} \times \frac{4}{8} + \frac{1}{5} \times \frac{3}{8} = \frac{16}{40} + \frac{3}{40} = \frac{19}{40}$, और उत्तर (b) $\frac{19}{40}$ है। ध्यान रखना है कि गेंद डालने के बाद थैले B में 8 गेंदें हैं, 7 नहीं।

प्रश्न 21

एक सिक्के को तब तक उछाला जाता है जब तक चित न आ जाए या जब तक उसे 4 बार उछाला न जा चुका हो, इनमें से जो भी पहले हो। सिक्के के ठीक 4 बार उछाले जाने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{1}{16}$ (b) $\frac{2}{5}$ (c) $\frac{1}{8}$ (d) $\frac{1}{4}$

उत्तर: चौथा उछाल तभी होगा, जब पहले तीनों उछालों पर पट आए। इसकी प्रायिकता $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ है। चौथे उछाल पर कुछ भी आए, TTTH या TTTT, खेल वहीं खत्म हो जाता है। तो उत्तर (c) $\frac{1}{8}$ है। पाँचों परिणाम-क्रम (H, TH, TTH, TTTH और TTTT) समसंभाव्य नहीं हैं, इसलिए "5 में से 2" वाला तर्क यहाँ नहीं चलता।

प्रश्न 22

A और B बारी-बारी से एक पासा फेंकते हैं, पहले A। जो पहले 4 से बड़ी संख्या फेंकता है, वह जीतता है। A के जीतने की प्रायिकता क्या है? (a) $\frac{3}{5}$ (b) $\frac{1}{2}$ (c) $\frac{2}{3}$ (d) $\frac{1}{3}$

उत्तर: 4 से बड़ी संख्या का मतलब है 5 या 6, तो हर फेंक पर इसकी प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है। एक दौर में A के जीतने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है। B तभी फेंकता है जब A असफल हो, इसलिए उस दौर में B के जीतने की प्रायिकता $\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ है। दोनों असफल हों, तो खेल फिर नए सिरे से शुरू होता है। इसलिए दोनों की संभावनाओं का अनुपात $\frac{1}{3} : \frac{2}{9} = 3 : 2$ है, और A के जीतने की प्रायिकता $\frac{3}{5}$ है, यानी (a) $\frac{3}{5}$।