संयुक्त ठोस, पिघलाना और दोबारा ढालना

संयुक्त ठोस: आयतन जोड़ें, केवल बाहरी पृष्ठ

जब दो या उससे ज़्यादा सरल ठोस जुड़कर एक ठोस बनाते हैं, तो उसे संयुक्त ठोस (combined solid) कहते हैं। खिलौना, तंबू और कैप्सूल ऐसे ही ठोस हैं। इन सब पर बस दो नियम लगते हैं।

• आयतन: सभी भागों के आयतन जोड़ दीजिए। कोई भाग काटकर निकाला गया हो, तो उसका आयतन घटा दीजिए।
• पृष्ठ: पृष्ठीय क्षेत्रफल में केवल वे पृष्ठ जोड़िए, जिन्हें बाहर से छुआ जा सकता है। दो ठोस जहाँ जुड़ते हैं, वह जोड़ दोनों ओर से ढका रहता है। इसलिए उसे किसी भी ठोस में नहीं गिनते।

खिलौना: इन प्रश्नों में खिलौना अर्धगोले के ऊपर लगे शंकु जैसा होता है। दोनों की त्रिज्या r होती है। शंकु की ऊँचाई h और उसकी तिर्यक ऊँचाई (slant height) l मान लेते हैं।

$$\text{पृष्ठ} = \pi r l + 2\pi r^2 \qquad \text{आयतन} = \frac{1}{3}\pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3}\pi r^2(h + 2r)$$

जैसे किसी खिलौने में r = 7 सेमी है और उसकी कुल ऊँचाई 31 सेमी है। इसमें 7 सेमी तो अर्धगोले के हैं, इसलिए शंकु 24 सेमी ऊँचा है। शंकु की तिर्यक ऊँचाई $\sqrt{49 + 576} = 25$ सेमी आती है। अब पृष्ठ और आयतन निकालते हैं।

• पृष्ठ $= \frac{22}{7} \times 7 \times 25 + 2 \times \frac{22}{7} \times 49 = 550 + 308 = 858$ वर्ग सेमी।
• आयतन $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 \times (24 + 14) = \frac{154 \times 38}{3} = 1950\frac{2}{3}$ घन सेमी।

यहाँ दो गलतियाँ बहुत होती हैं। पहली गलती है पूरे 31 सेमी को शंकु की ऊँचाई मान लेना। ऐसा करने पर ऊँचाई का अर्धगोले वाला भाग छूट जाता है। दूसरी गलती है दोनों ठोसों के संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल जोड़ देना। शंकु का 704 वर्ग सेमी और अर्धगोले का 462 वर्ग सेमी जोड़ें, तो 1166 वर्ग सेमी आता है। इसमें छिपा हुआ जोड़ हर ठोस में एक-एक बार गिन लिया गया है, इसलिए यह $2\pi r^2$ ज़्यादा है।

जोड़ने और काटने, दोनों में यही बात लागू होती है। दो ठोस जोड़ें, तो दो फलक छिप जाते हैं, हर ठोस का एक। और किसी ठोस को काटें, तो दो नए फलक बन जाते हैं।

तंबू और मीनार: बेलन पर शंकु या गुंबद

तंबू: तंबू में नीचे ऊँचाई $h_1$ वाला बेलन होता है और उसके ऊपर ऊँचाई $h_2$ वाला शंकु। दोनों की त्रिज्या r होती है।

$$\text{कैनवास} = 2\pi r h_1 + \pi r l \qquad \text{भीतर की हवा} = \pi r^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi r^2 h_2$$

फ़र्श पर कैनवास नहीं लगता, और दोनों भागों के जोड़ पर भी नहीं लगता।

उदाहरण के लिए, एक तंबू की त्रिज्या 10.5 मीटर है। उसका बेलनाकार भाग 3 मीटर ऊँचा है और शंक्वाकार भाग 14 मीटर। शंकु की तिर्यक ऊँचाई $\sqrt{110.25 + 196} = 17.5$ मीटर है। अब पूरा हिसाब देखिए।

• कैनवास $= 2 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 3 + \frac{22}{7} \times 10.5 \times 17.5 = 198 + 577.5 = 775.5$ वर्ग मीटर।
• भीतर की हवा $= \frac{22}{7} \times 110.25 \times 3 + \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 110.25 \times 14 = 1039.5 + 1617 = 2656.5$ घन मीटर।
• कैनवास 3 मीटर चौड़े थान में आता हो, तो उसकी लंबाई 775.5 ÷ 3 = 258.5 मीटर होगी। इसे प्रति मीटर की दर से गुणा कर दीजिए, खर्च निकल आएगा।

गुंबद वाला बेलन: भंडारण टंकी, साइलो (अनाज का भंडार) और कई मंदिरों में बेलन के ऊपर अर्धगोलाकार गुंबद होता है।

$$\text{दीवारें और गुंबद} = 2\pi r h + 2\pi r^2 \qquad \text{आयतन} = \pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3$$

फ़र्श का $\pi r^2$ तभी जोड़िए, जब प्रश्न में फ़र्श भी पूछा गया हो। जैसे किसी साइलो की त्रिज्या 7 मीटर है और उसका बेलनाकार भाग 20 मीटर ऊँचा है। उसमें $3080 + 718\frac{2}{3} = 3798\frac{2}{3}$ घन मीटर अनाज समा जाता है। उसकी दीवारों और गुंबद का पृष्ठ मिलाकर 880 + 308 = 1188 वर्ग मीटर है।

पेंसिल या रॉकेट जैसे आकार में बेलन के ऊपर शंकु होता है। इसका हिसाब भी इसी तरह होता है, बस गुंबद के $2\pi r^2$ की जगह शंकु का $\pi r l$ आ जाता है।

कैप्सूल और आइसक्रीम कोन

कैप्सूल: कैप्सूल एक बेलन है, जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्धगोला लगा होता है। दोनों सिरों के अर्धगोले मिलकर एक पूरा गोला बनाते हैं।

बेलनाकार भाग की लंबाई h हो, तो पूरे कैप्सूल की लंबाई L = h + 2r होती है।

$$\text{पृष्ठ} = 2\pi r h + 4\pi r^2 = 2\pi r(h + 2r) = 2\pi r L \qquad \text{आयतन} = \pi r^2 h + \frac{4}{3}\pi r^3$$

मतलब कैप्सूल का पृष्ठ निकालने के लिए सीधे $2\pi r$ को उसकी पूरी लंबाई से गुणा कर दीजिए। उतनी ही लंबी और दोनों सिरों से खुली नली का पृष्ठ भी इतना ही होता है।

जैसे एक कैप्सूल 15 मिमी लंबा है और उसका व्यास 7 मिमी है। तो r = 3.5 मिमी, और बेलनाकार भाग 15 − 7 = 8 मिमी लंबा है।

• पृष्ठ $= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 15 = 330$ वर्ग मिमी।
• आयतन $= \frac{22}{7} \times 12.25 \times 8 + 179\frac{2}{3} = 308 + 179\frac{2}{3} = 487\frac{2}{3}$ घन मिमी।

आइसक्रीम कोन: इसमें शंकु आइसक्रीम से भरा होता है और ऊपर आइसक्रीम का एक अर्धगोला बना होता है। यह असल में उलटा रखा हुआ खिलौना ही है।

$$\text{आइसक्रीम} = \frac{1}{3}\pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3$$

मान लीजिए r = 3 सेमी है और कोन 10 सेमी गहरा है। तब हर कोन में $30\pi + 18\pi = 48\pi$ घन सेमी आइसक्रीम आती है। अब 6 सेमी त्रिज्या और 16 सेमी ऊँचाई वाला एक बेलनाकार टब लीजिए। इसमें $\pi \times 36 \times 16 = 576\pi$ घन सेमी आइसक्रीम है। इससे $\frac{576\pi}{48\pi} = 12$ कोन भर जाएँगे।

ऐसे "कितने" वाले प्रश्नों में $\pi$ अंत में कट जाता है। इसलिए भाग देने तक उसे $\pi$ ही रहने दीजिए।

ठोस, जिसका एक भाग निकाला गया

किसी ठोस में से कोई भाग खोखला करके निकालें, तो उसमें गड्ढा बन जाता है। इससे आयतन घटता है, पर पृष्ठ प्रायः बढ़ जाता है। वजह यह है कि गड्ढे के मुँह पर जो समतल वृत्त था, वह हट जाता है, और उसकी जगह गड्ढे का वक्र भीतरी भाग जुड़ जाता है।

घन में अर्धगोलाकार गड्ढा: मान लीजिए किनारे a वाले घन के एक फलक से अर्धगोला खोखला करके निकाला गया है। सबसे बड़ा अर्धगोला तब निकलेगा, जब उसका व्यास किनारे a के बराबर हो, यानी $r = \frac{a}{2}$।

$$\text{पृष्ठ} = 6a^2 - \pi r^2 + 2\pi r^2 = 6a^2 + \pi r^2 \qquad \text{आयतन} = a^3 - \frac{2}{3}\pi r^3$$

जैसे 14 सेमी किनारे वाले घन के एक फलक से 14 सेमी व्यास वाला अर्धगोला निकाला गया। तो पृष्ठ = 1176 + 154 = 1330 वर्ग सेमी, और आयतन = $2744 - 718\frac{2}{3} = 2025\frac{1}{3}$ घन सेमी।

बेलन के दोनों सिरों पर गड्ढे: लकड़ी की कुछ चीज़ें ऐसी बनाई जाती हैं कि बेलन के दोनों सिरों से एक-एक अर्धगोला खोखला करके निकाल दिया जाता है। तब दोनों समतल सिरे हट जाते हैं और उनकी जगह दो अर्धगोलाकार गड्ढे बन जाते हैं।

$$\text{पृष्ठ} = 2\pi r h + 2 \times 2\pi r^2 \qquad \text{आयतन} = \pi r^2 h - \frac{4}{3}\pi r^3$$

त्रिज्या 3.5 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी हो, तो पृष्ठ = 220 + 154 = 374 वर्ग सेमी और आयतन = $385 - 179\frac{2}{3} = 205\frac{1}{3}$ घन सेमी। ध्यान रखिए, ऊँचाई कम से कम 2r होनी चाहिए। वरना दोनों गड्ढे बीच में आपस में मिल जाएँगे।

बेलन में से शंकु: बेलन में से उसी आधार और उसी ऊँचाई वाला शंकु काटकर निकाला जाए, तो ऊपर का वृत्त हट जाता है और शंकु का भीतरी भाग दिखने लगता है।

$$\text{पृष्ठ} = 2\pi r h + \pi r^2 + \pi r l \qquad \text{बचा हुआ आयतन} = \pi r^2 h - \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{2}{3}\pi r^2 h$$

जैसे त्रिज्या 5 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी हो, तो तिर्यक ऊँचाई 13 सेमी होगी। तब पृष्ठ $= 120\pi + 25\pi + 65\pi = 210\pi$ वर्ग सेमी, और बचा हुआ आयतन $= 200\pi$ घन सेमी।

[SSC टिप] ऐसे किसी भी ठोस का पृष्ठ निकालना हो, तो पहले लिख लीजिए, "पुराना पृष्ठ − हटाया गया वृत्त + गड्ढे का भीतरी भाग"। फिर एक-एक भाग का मान भरिए। ज़्यादातर गलत उत्तर दो ही गलतियों से आते हैं। या तो हटाया गया वृत्त भी गिन लिया जाता है, या गड्ढे का भीतरी भाग छूट जाता है।

पिघलाकर दोबारा ढालना: कितने टुकड़े?

पिघलाकर दोबारा ढालना (melting and recasting) वाले प्रश्नों में एक बात पक्की है। ठोस को पिघलाकर नए ठोस बनाएँ, तो धातु जितनी थी, उतनी ही रहती है, यानी आयतन नहीं बदलता। हाँ, प्रश्न में लिखा हो कि कुछ धातु बर्बाद हुई, तो बात अलग है। आकार ज़रूर बदल जाता है, और उसके साथ पृष्ठ भी। आयतन वही रहता है, इसलिए नए टुकड़े कितने बनेंगे, यह एक भाग से निकल आता है।

$$\text{टुकड़ों की संख्या} = \frac{\text{मूल ठोस का आयतन}}{\text{एक नए टुकड़े का आयतन}}$$

गोले से छोटी गोलियाँ: बड़े गोले से छोटी गोलियाँ बनानी हों, तो भाग देते समय $\frac{4}{3}\pi$ कट जाता है, और $n = \left(\frac{R}{r}\right)^3$ बचता है। जैसे 18 सेमी व्यास वाले गोले से 3 सेमी व्यास वाली $\left(\frac{18}{3}\right)^3 = 216$ गोलियाँ बनेंगी। यहाँ त्रिज्या निकालने की ज़रूरत नहीं पड़ी। सीधे व्यास ले सकते हैं, क्योंकि व्यासों का अनुपात वही होता है जो त्रिज्याओं का।

अब इसी उदाहरण में पृष्ठ देखिए। छोटी गोलियों का कुल पृष्ठ $216 \times 4\pi \times 1.5^2 = 1944\pi$ वर्ग सेमी है, जबकि बड़े गोले का $4\pi \times 81 = 324\pi$ वर्ग सेमी था। छोटी गोलियों का पृष्ठ बड़े गोले का 6 गुना हो गया, यानी ठीक $\frac{R}{r}$ गुना। ठोस को छोटे-छोटे टुकड़ों में बाँटें, तो पृष्ठ हमेशा बढ़ता है। इसीलिए कुटी हुई बर्फ़ से शरबत जल्दी ठंडा होता है, बर्फ़ के एक बड़े टुकड़े से उतनी जल्दी नहीं।

घनाभ से सिक्के: सिक्का एक पतला बेलन ही है। मान लीजिए धातु का एक घनाभ 22 सेमी × 14 सेमी × 10 सेमी का है, यानी 3080 घन सेमी का। इससे 1 सेमी त्रिज्या और 2 मिमी मोटाई वाले सिक्के बनाने हैं। सबसे पहले 2 मिमी को 0.2 सेमी कर लीजिए। एक सिक्का $\frac{22}{7} \times 1 \times 0.2 = \frac{4.4}{7}$ घन सेमी का है, तो सिक्कों की संख्या $3080 \times \frac{7}{4.4} = 4900$ है।

घन से गोलियाँ: सीसे का एक घन 22 सेमी किनारे वाला है, यानी 10,648 घन सेमी का। इससे 1 सेमी त्रिज्या वाली गोलाकार गोलियाँ बनानी हैं। हर गोली $\frac{88}{21}$ घन सेमी की है, तो $10648 \times \frac{21}{88} = 121 \times 21 = 2541$ गोलियाँ बनेंगी।

बेलन से शंकु: एक बेलन को पिघलाकर उसी त्रिज्या और उसी ऊँचाई वाले ठीक 3 शंकु बनते हैं। माप अलग हों, तो शंकुओं की संख्या $n = \frac{\pi R^2 H}{\frac{1}{3}\pi r^2 h} = \frac{3R^2 H}{r^2 h}$ होती है।

"कितने" वाले प्रश्न का उत्तर पूर्ण संख्या ही होगा। पूर्ण संख्या न आए, तो देखिए कि कहीं मिमी और सेमी आपस में मिल तो नहीं गए, या त्रिज्या की जगह व्यास तो नहीं रख दिया।

एक नया आकार: तार, शंकु, बड़ा गोला

जब पिघलाकर केवल एक नया ठोस बनता है, तो पुराने आयतन को नए आयतन के बराबर रखिए। इससे अज्ञात लंबाई निकल आती है।

गोले से तार: तार असल में एक लंबा, पतला बेलन है। गोले को खींचकर तार बनाया जाए, तो आयतन बराबर रखकर $\frac{4}{3}\pi R^3 = \pi r^2 L$ लिखते हैं। जैसे 6 सेमी त्रिज्या वाले तांबे के गोले से तार बना, जिसकी त्रिज्या 2 मिमी = 0.2 सेमी है। तब

$$L = \frac{\frac{4}{3} \times 216}{0.04} = \frac{288}{0.04} = 7200 \text{ सेमी} = 72 \text{ मीटर}$$

शंकु से गोला: शंकु को पिघलाकर गोला बने, तो $\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{4}{3}\pi R^3$ लिखते हैं, जिससे $R^3 = \frac{r^2 h}{4}$ आता है। जैसे 6 सेमी त्रिज्या और 24 सेमी ऊँचाई वाले शंकु से गोला बने, तो $R^3 = \frac{36 \times 24}{4} = 216$, यानी R = 6 सेमी।

बेलन से एक शंकु: बेलन से शंकु बनाना हो, तो $\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ लिखिए। मान लीजिए 4 सेमी त्रिज्या और 9 सेमी ऊँचाई वाले बेलन से 6 सेमी त्रिज्या वाला शंकु बनाना है। तो $16 \times 9 = \frac{1}{3} \times 36 \times h$, यानी h = 12 सेमी।

खोखली गेंद: खोखली गेंद को पिघलाएँ, तो केवल उसकी धातु गिनी जाती है, यानी $\frac{4}{3}\pi(R^3 - r^3)$। इसे "गोला और अर्धगोला" वाले खंड में देख चुके हैं।

कई गोलों से एक गोला: कई गोलों को पिघलाकर एक गोला बनाएँ, तो उनके आयतन जुड़ते हैं। इसलिए

$$R^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$$

जैसे त्रिज्याएँ 7 सेमी, 14 सेमी और 17 सेमी हों, तो $343 + 2744 + 4913 = 8000$, और R = 20 सेमी। त्रिज्याएँ आपस में नहीं जुड़तीं। कोई 7 + 14 + 17 = 38 सेमी लिख दे, तो उत्तर बहुत बड़ा आएगा।

इस बार पृष्ठ घटता है। तीनों गोलों का कुल पृष्ठ $4\pi(49 + 196 + 289) = 2136\pi$ वर्ग सेमी था, जो अब $4\pi \times 400 = 1600\pi$ वर्ग सेमी रह गया।

[SSC टिप] तार वाले प्रश्नों में उत्तर इकाइयों पर ही टिका होता है। तार की त्रिज्या प्रायः मिमी में दी जाती है और लंबाई मीटर में पूछी जाती है। इसलिए पहले सब कुछ सेमी में बदलिए, और अंत में 100 से भाग देकर मीटर बना लीजिए।

पानी का विस्थापन: जल स्तर कितना उठेगा?

कोई ठोस पानी में पूरी तरह डूब जाए, तो पानी ऊपर उठ जाता है। ऊपर उठे पानी का आयतन ठीक उस ठोस के आयतन जितना होता है। बर्तन की तली समतल हो और दीवारें सीधी हों, तो

$$\text{बर्तन के आधार का क्षेत्रफल} \times \text{जल स्तर में वृद्धि} = \text{डाले गए ठोसों का आयतन}$$

जार में गेंद: बेलनाकार जार में गेंद डालें, तो $\pi R^2 \times \text{वृद्धि} = \frac{4}{3}\pi r^3$, यानी वृद्धि $\frac{4r^3}{3R^2}$ होती है। जैसे 9 सेमी त्रिज्या वाली गेंद 12 सेमी त्रिज्या वाले जार में डालें, तो वृद्धि $= \frac{4 \times 729}{3 \times 144} = 6.75$ सेमी। यहाँ $\pi$ कट गया, इसलिए $\pi$ का कोई मान लेने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

कितने कंचे: 7 सेमी व्यास वाले बेलनाकार बर्तन में 1.4 सेमी व्यास वाले कंचे तब तक डाले जाते हैं, जब तक जल स्तर 5.6 सेमी न उठ जाए। कंचे की त्रिज्या 0.7 सेमी है और बर्तन की 3.5 सेमी। ध्यान दीजिए कि 3.5 = 5 × 0.7 और 5.6 = 8 × 0.7। इसलिए

$$n = \frac{\pi \times 3.5^2 \times 5.6}{\frac{4}{3}\pi \times 0.7^3} = \frac{25 \times 8}{\frac{4}{3}} = 150$$

टंकी में घन: आयताकार टंकी में किनारे a वाला घन डालें, तो वृद्धि $= \frac{a^3}{l \times b}$ होती है। जैसे 20 सेमी किनारे वाला धातु का घन 80 सेमी × 50 सेमी की टंकी में डालें, तो पानी $\frac{8000}{4000} = 2$ सेमी ऊपर उठेगा।

ठोस को बाहर निकाल लें, तो जल स्तर उतना ही गिर जाता है। और बर्तन लबालब भरा हो, तो ठोस के आयतन जितना पानी बाहर छलक जाता है।

हर लंबाई बदले: $k^2$ और $k^3$ नियम

किसी ठोस की हर लंबाई, जैसे त्रिज्या, ऊँचाई, तिर्यक ऊँचाई या किनारा, k गुना कर दी जाए, तो ठोस की शक्ल वैसी ही रहती है, बस वह बड़ा या छोटा हो जाता है। पर हर पृष्ठ $k^2$ गुना हो जाता है और आयतन $k^3$ गुना। यह बात हर ठोस पर लागू होती है, चाहे घन हो, बेलन, शंकु, गोला, या इनसे बना कोई खिलौना।

ऐसे ठोसों को समरूप ठोस (similar solids) कहते हैं। दो समरूप ठोसों की लंबाइयाँ a : b में हों, तो उनके पृष्ठ $a^2 : b^2$ में होंगे और आयतन $a^3 : b^3$ में।

प्रतिशत में: हर लंबाई x% बढ़े, तो

• पृष्ठ में वृद्धि $\left(2x + \frac{x^2}{100}\right)$% होती है।
• आयतन में वृद्धि $\left[\left(1 + \frac{x}{100}\right)^3 - 1\right] \times 100$% होती है।

कुछ आम मान ये हैं।

आयतन वाले मान क्रमिक परिवर्तन के नियम से ही निकलते हैं, बस इसमें एक ही प्रतिशत तीन बार लगाना पड़ता है। यह नियम अध्याय 3 (प्रतिशत) के "प्रतिशत परिवर्तन और क्रमिक परिवर्तन" वाले खंड में आ चुका है। जैसे 20% के लिए पहले 20 + 20 + 4 = 44 आता है, फिर $44 + 20 + \frac{44 \times 20}{100} = 72.8$।

कुछ ही लंबाइयाँ बदलें: तब सूत्र में हर लंबाई की जगह उसका गुणक रखिए और सबको आपस में गुणा कर दीजिए। जैसे बेलन की त्रिज्या 10% बढ़े और ऊँचाई 10% घटे, तो $1.1^2 \times 0.9 = 1.089$, यानी आयतन 8.9% बढ़ गया। शंकु की त्रिज्या दोगुनी और ऊँचाई आधी हो, तो $2^2 \times \frac{1}{2} = 2$, यानी आयतन दोगुना हो गया।

उलटा प्रश्न: कभी आयतन का बदलाव दिया होता है और पृष्ठ का बदलाव पूछा जाता है। जैसे आयतन $\frac{27}{8}$ गुना हुआ, तो $k = \frac{3}{2}$ होगा। तब पृष्ठ $\frac{9}{4}$ गुना होगा, यानी 125% की वृद्धि। इसी तरह आयतन 33.1% बढ़ा हो, तो हर लंबाई 10% बढ़ी है और पृष्ठ 21%।

[SSC टिप] लंबाई "100% बढ़ाई गई" का मतलब है कि वह दोगुनी कर दी गई। हर लंबाई ऐसे बढ़े, तो आयतन 8 गुना होता है, यानी वृद्धि 700% है, 800% नहीं।

बराबर आयतन वाले ठोसों की तुलना

दो ठोसों में बराबर मात्रा समाती हो, यानी दोनों का आयतन बराबर हो, तो दोनों के आयतन वाले सूत्र बराबर रख दीजिए। $\pi$ अपने आप कट जाता है।

त्रिज्या बराबर हो, तो ये नतीजे याद रखने लायक हैं।

जैसे बराबर आधार वाले एक शंकु और एक बेलन में बराबर पानी आता है, और बेलन 8 सेमी ऊँचा है। तो शंकु 24 सेमी ऊँचा होगा। इसी तरह 9 सेमी त्रिज्या वाले गोले को पिघलाकर उसी त्रिज्या का बेलन बनाएँ, तो बेलन की ऊँचाई $\frac{4}{3} \times 9 = 12$ सेमी होगी।

ऊँचाई और आयतन बराबर: शंकु और बेलन की ऊँचाई बराबर हो और आयतन भी, तो $\frac{1}{3}\pi r^2 h = \pi R^2 h$, जिससे $r^2 = 3R^2$ आता है। मतलब शंकु की त्रिज्या बेलन की त्रिज्या से $\sqrt{3}$ गुना होगी।

आयतन बराबर, पृष्ठ अलग: बराबर आयतन वाले सभी ठोसों में गोले का पृष्ठ सबसे कम होता है। जैसे कोई गोला और उतने ही आयतन वाला घन लीजिए। घन का पृष्ठ गोले के पृष्ठ का लगभग 1.24 गुना होगा।

घन या घनाभ से कटा सबसे बड़ा ठोस

घन से: किनारे a वाले घन से काटे जा सकने वाले सबसे बड़े गोले की त्रिज्या $r = \frac{a}{2}$ होती है। सबसे बड़े बेलन और सबसे बड़े शंकु में भी त्रिज्या $r = \frac{a}{2}$ होती है और ऊँचाई पूरा किनारा a। तीनों के आयतनों का अनुपात देखिए।

$$\text{शंकु} : \text{गोला} : \text{बेलन} = \frac{\pi a^3}{12} : \frac{\pi a^3}{6} : \frac{\pi a^3}{4} = 1 : 2 : 3$$

जैसे 6 सेमी किनारे वाले घन से शंकु $18\pi$ घन सेमी का, गोला $36\pi$ घन सेमी का और बेलन $54\pi$ घन सेमी का निकलता है।

घनाभ से: सबसे बड़े गोले का व्यास घनाभ के सबसे छोटे किनारे के बराबर होता है। घनाभ में तीन तरह के फलक होते हैं, और बेलन (या शंकु) इनमें से किसी पर भी खड़ा हो सकता है। तब उसका व्यास उस फलक की छोटी भुजा के बराबर होगा और ऊँचाई तीसरे किनारे के बराबर। इसलिए तीनों स्थितियों का हिसाब कीजिए और सबसे बड़ा आयतन लीजिए। जैसे 14 सेमी × 10 सेमी × 7 सेमी का घनाभ लीजिए।

तो सबसे बड़ा बेलन 550 घन सेमी का है। सबसे बड़ा गोला r = 3.5 सेमी का होगा, जिसका आयतन $179\frac{2}{3}$ घन सेमी है।

बर्बाद हुई लकड़ी निकालनी हो, तो घनाभ के आयतन में से काटे गए ठोस का आयतन घटा दीजिए।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

एक खिलौना अर्धगोले पर लगे शंकु के आकार का है और दोनों की त्रिज्या 9 सेमी है। पूरे खिलौने की ऊँचाई 21 सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? (a) $459\pi$ वर्ग सेमी (b) $135\pi$ वर्ग सेमी (c) $297\pi$ वर्ग सेमी (d) $378\pi$ वर्ग सेमी

उत्तर: खिलौना 21 सेमी ऊँचा है, जिसमें से 9 सेमी अर्धगोले के हैं। तो शंकु 12 सेमी ऊँचा है, और उसकी तिर्यक ऊँचाई $\sqrt{81 + 144} = 15$ सेमी। बाहर से केवल शंकु और अर्धगोले के वक्र भाग दिखते हैं, तो पृष्ठ $= \pi \times 9 \times 15 + 2\pi \times 81 = 135\pi + 162\pi$ = (c) $297\pi$ वर्ग सेमी। दोनों के समतल वृत्त आपस में चिपके हैं, इसलिए इनमें से किसी को नहीं गिनते।

प्रश्न 2

एक खिलौने में 6 सेमी त्रिज्या और 8 सेमी ऊँचाई वाला एक शंकु उसी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर खड़ा है। खिलौने का आयतन कितना है? (a) $240\pi$ घन सेमी (b) $384\pi$ घन सेमी (c) $96\pi$ घन सेमी (d) $312\pi$ घन सेमी

उत्तर: आयतन सीधे जुड़ते हैं। शंकु का आयतन $\frac{1}{3}\pi \times 36 \times 8 = 96\pi$ है और अर्धगोले का $\frac{2}{3}\pi \times 216 = 144\pi$। दोनों जोड़कर कुल (a) $240\pi$ घन सेमी हुआ। शंकु के नीचे पूरा गोला होता, तब $384\pi$ घन सेमी आता। पर इस खिलौने में तो आधा ही गोला है।

प्रश्न 3

एक तंबू 21 मीटर त्रिज्या और 4 मीटर ऊँचाई वाले बेलन के आकार का है, जिसके ऊपर उसी त्रिज्या और 28 मीटर ऊँचाई वाला एक शंकु है। फ़र्श को छोड़कर, इसे बनाने में कितना कैनवास लगेगा? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 4224 वर्ग मीटर (b) 2838 वर्ग मीटर (c) 2310 वर्ग मीटर (d) 2376 वर्ग मीटर

उत्तर: कैनवास बेलन की दीवार और शंकु की छत पर लगेगा। न फ़र्श पर लगेगा, न दोनों के जोड़ पर। शंकु की तिर्यक ऊँचाई $\sqrt{21^2 + 28^2} = \sqrt{1225} = 35$ मीटर है। दीवार $= 2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 4 = 528$ वर्ग मीटर और छत $= \frac{22}{7} \times 21 \times 35 = 2310$ वर्ग मीटर। कैनवास = 528 + 2310 = (b) 2838 वर्ग मीटर। तिर्यक ऊँचाई की जगह ऊँचाई 28 मीटर ले लें, तो 2376 वर्ग मीटर आता है, जो गलत है।

प्रश्न 4

एक कैप्सूल 21 मिमी लंबा है और उसका व्यास 7 मिमी है। यह एक बेलन से बना है, जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्धगोला लगा है। कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 616 वर्ग मिमी (b) 308 वर्ग मिमी (c) 385 वर्ग मिमी (d) 462 वर्ग मिमी

उत्तर: 21 मिमी की लंबाई में दोनों सिरों के 3.5 मिमी त्रिज्या वाले अर्धगोले भी शामिल हैं। तो बेलनाकार भाग 21 − 7 = 14 मिमी का है। पृष्ठ $= 2\pi r h + 4\pi r^2 = 2\pi r(h + 2r)$, यानी $2\pi r$ × पूरी लंबाई। इसलिए सीधे $2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 21$ = (d) 462 वर्ग मिमी।

प्रश्न 5

6 सेमी त्रिज्या और 15 सेमी ऊँचाई वाला एक बेलनाकार टब आइसक्रीम से भरा है। यह आइसक्रीम 3 सेमी त्रिज्या और 12 सेमी ऊँचाई वाले कोनों में बाँटी जाती है। हर कोन को आइसक्रीम से भरकर उसके ऊपर आइसक्रीम का एक अर्धगोला भी बनाया जाता है। कितने कोन परोसे जा सकते हैं? (a) 10 कोन (b) 15 कोन (c) 30 कोन (d) 12 कोन

उत्तर: एक कोन की आइसक्रीम = शंकु + अर्धगोला $= \frac{1}{3}\pi \times 9 \times 12 + \frac{2}{3}\pi \times 27 = 36\pi + 18\pi = 54\pi$ घन सेमी। टब में $\pi \times 36 \times 15 = 540\pi$ घन सेमी आइसक्रीम है। तो कोनों की संख्या $= \frac{540\pi}{54\pi}$, यानी (a) 10 कोन। 15 तब आता है, जब ऊपर का अर्धगोला भूल जाएँ।

प्रश्न 6

10 सेमी किनारे वाले एक घन के एक फलक से सबसे बड़े संभव आकार का एक अर्धगोला खोखला करके निकाला गया है। शेष ठोस का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = 3.14$ लीजिए।) (a) 521.5 वर्ग सेमी (b) 678.5 वर्ग सेमी (c) 757 वर्ग सेमी (d) 600 वर्ग सेमी

उत्तर: घन का पृष्ठ 6 × 100 = 600 वर्ग सेमी है। सबसे बड़े अर्धगोले का व्यास किनारे जितना, यानी 10 सेमी होगा, तो r = 5 सेमी। ऊपरी फलक से 3.14 × 25 = 78.5 वर्ग सेमी का वृत्त हट गया, और कटोरे जैसा भीतरी भाग 2 × 3.14 × 25 = 157 वर्ग सेमी जुड़ गया। नया पृष्ठ = 600 − 78.5 + 157 = (b) 678.5 वर्ग सेमी। जल्दी करना हो, तो सीधे $6a^2 + \pi r^2$ लगा दीजिए।

प्रश्न 7

3.5 सेमी त्रिज्या और 15 सेमी ऊँचाई वाले एक ठोस बेलन के दोनों सिरों से उसी त्रिज्या वाला एक-एक अर्धगोला खोखला करके निकाला गया है। शेष ठोस का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 407 वर्ग सेमी (b) 330 वर्ग सेमी (c) 484 वर्ग सेमी (d) 561 वर्ग सेमी

उत्तर: यहाँ दोनों समतल सिरे हट गए हैं, और हर एक की जगह एक अर्धगोले का भीतरी भाग आ गया है। बेलन का वक्र भाग $= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 15 = 330$ वर्ग सेमी है। दोनों अर्धगोलाकार गड्ढे $= 2 \times 2 \times \frac{22}{7} \times 12.25 = 154$ वर्ग सेमी। कुल = 330 + 154 = (c) 484 वर्ग सेमी।

प्रश्न 8

एक ठोस 7 सेमी त्रिज्या और 10 सेमी ऊँचाई वाले बेलन से बना है, जिसके ऊपर उसी त्रिज्या और 24 सेमी ऊँचाई वाला एक शंकु है। आधार सहित इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 990 वर्ग सेमी (b) 1122 वर्ग सेमी (c) 1298 वर्ग सेमी (d) 1144 वर्ग सेमी

उत्तर: इस ठोस में बाहर से तीन ही भाग छुए जा सकते हैं, बेलन का वक्र भाग, शंकु का वक्र पृष्ठ और नीचे का समतल आधार। बेलन का ऊपरी तल शंकु से ढका है। तिर्यक ऊँचाई $= \sqrt{49 + 576} = 25$ सेमी है। अब बेलन का वक्र भाग $= 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 10 = 440$, शंकु $= \frac{22}{7} \times 7 \times 25 = 550$ और आधार = 154। तीनों जोड़ें, तो कुल (d) 1144 वर्ग सेमी आता है।

प्रश्न 9

15 सेमी व्यास वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर 3 सेमी व्यास वाली छोटी गोलियाँ बनाई जाती हैं। कितनी गोलियाँ बनेंगी? (a) 125 गोलियाँ (b) 25 गोलियाँ (c) 5 गोलियाँ (d) 375 गोलियाँ

उत्तर: आयतन छोटी गोलियों में बँट जाता है, तो संख्या = $\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \left(\frac{R}{r}\right)^3$। व्यासों का अनुपात त्रिज्याओं के अनुपात जितना ही है, तो $\frac{15}{3} = 5$ और उत्तर $5^3$, यानी (a) 125 गोलियाँ। 25 तो बड़े गोले और एक छोटी गोली के पृष्ठों का अनुपात है।

प्रश्न 10

14 सेमी व्यास और 30 सेमी ऊँचाई वाले धातु के एक ठोस बेलन को पिघलाकर 3.5 सेमी व्यास और 2 मिमी मोटाई वाले सिक्के बनाए जाते हैं। कितने सिक्के बनेंगे? (a) 240 सिक्के (b) 600 सिक्के (c) 2400 सिक्के (d) 24,000 सिक्के

उत्तर: पहले मोटाई सेमी में बदल लेते हैं, 2 मिमी = 0.2 सेमी। दोनों आकार बेलन हैं, तो $\pi$ कट जाता है। संख्या $\frac{7^2 \times 30}{1.75^2 \times 0.2} = \frac{1470}{0.6125}$, यानी (c) 2400 सिक्के। कोई 2 मिमी को 2 सेमी ही मान ले, तो केवल 240 सिक्के आते हैं।

प्रश्न 11

44 सेमी × 21 सेमी × 12 सेमी माप वाले सीसे के एक घनाभाकार टुकड़े को पिघलाकर 3 सेमी व्यास वाली गोलाकार गोलियाँ बनाई जाती हैं। ऐसी कितनी गोलियाँ बनाई जा सकती हैं? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 1568 गोलियाँ (b) 784 गोलियाँ (c) 98 गोलियाँ (d) 392 गोलियाँ

उत्तर: सीसे का टुकड़ा 44 × 21 × 12 = 11,088 घन सेमी का है। एक गोली की त्रिज्या 1.5 सेमी है, तो उसका आयतन $\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 3.375 = \frac{99}{7}$ घन सेमी। संख्या $= 11088 \times \frac{7}{99} = 112 \times 7$, यानी (b) 784 गोलियाँ।

प्रश्न 12

3 सेमी त्रिज्या वाले धातु के एक ठोस गोले को खींचकर 4 मिमी व्यास वाला तार बनाया जाता है। तार कितना लंबा है? (a) 2.25 मीटर (b) 36 मीटर (c) 90 मीटर (d) 9 मीटर

उत्तर: गोले का आयतन $\frac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi$ घन सेमी है। तार 2 मिमी = 0.2 सेमी त्रिज्या वाला एक लंबा बेलन है। तो $\pi \times 0.04 \times L = 36\pi$, और L = 900 सेमी। मीटर में यह (d) 9 मीटर है। 4 मिमी को ही त्रिज्या मान लें, तो 2.25 मीटर आता है। इसलिए पहले व्यास को आधा कीजिए।

प्रश्न 13

18 सेमी व्यास वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर 36 सेमी आधार व्यास वाले एक ठोस शंकु के रूप में दोबारा ढाला जाता है। शंकु की ऊँचाई कितनी है? (a) 36 सेमी (b) 9 सेमी (c) 4.5 सेमी (d) 18 सेमी

उत्तर: गोले की त्रिज्या R = 9 सेमी है, तो उसका आयतन $\frac{4}{3}\pi \times 729 = 972\pi$। शंकु की त्रिज्या r = 18 सेमी है, तो उसका आयतन $\frac{1}{3}\pi \times 324 \times h = 108\pi h$। दोनों बराबर हैं, तो 108h = 972, यानी h = (b) 9 सेमी।

प्रश्न 14

3 सेमी, 10 सेमी और 18 सेमी त्रिज्या वाली धातु की तीन गेंदों को एक साथ पिघलाकर एक बड़ी गेंद बनाई जाती है। बड़ी गेंद की त्रिज्या कितनी है? (a) 31 सेमी (b) 21 सेमी (c) 19 सेमी (d) 18.5 सेमी

उत्तर: कुल आयतन वही रहता है और $\frac{4}{3}\pi$ कट जाता है। तो $R^3 = 3^3 + 10^3 + 18^3 = 27 + 1000 + 5832 = 6859$। अब $19^3 = 6859$, इसलिए R = (c) 19 सेमी। त्रिज्याएँ जोड़कर 31 सेमी लिखना गलत है, क्योंकि आयतन जुड़ते हैं, लंबाइयाँ नहीं।

प्रश्न 15

1.5 सेमी त्रिज्या वाली गोलाकार गेंदें 6 सेमी त्रिज्या वाले एक बेलनाकार बर्तन में डाली जाती हैं, जिसमें कुछ पानी भरा है। जल स्तर को 5 सेमी ऊपर उठाने के लिए कितनी गेंदें डालनी होंगी? (a) 40 गेंदें (b) 20 गेंदें (c) 5 गेंदें (d) 120 गेंदें

उत्तर: जितना पानी ऊपर उठता है, उसका आयतन गेंदों के कुल आयतन के बराबर होता है। ऊपर उठा पानी $= \pi \times 36 \times 5 = 180\pi$ घन सेमी है। एक गेंद $= \frac{4}{3}\pi \times 3.375 = 4.5\pi$ घन सेमी की है। तो संख्या $= \frac{180\pi}{4.5\pi}$, यानी (a) 40 गेंदें।

प्रश्न 16

5 सेमी त्रिज्या और 18 सेमी ऊँचाई वाले एक ठोस शंकु को 10 सेमी त्रिज्या वाले एक बेलनाकार बर्तन में डाला जाता है, जिसमें इतना पानी है कि शंकु पूरी तरह डूब जाए। जल स्तर कितना ऊपर उठेगा? (a) 4.5 सेमी (b) 1.5 सेमी (c) 6 सेमी (d) 3 सेमी

उत्तर: यहाँ बर्तन के आधार का क्षेत्रफल × वृद्धि = शंकु का आयतन। शंकु $= \frac{1}{3}\pi \times 25 \times 18 = 150\pi$ घन सेमी है और बर्तन का आधार $= \pi \times 100$। तो वृद्धि $= \frac{150\pi}{100\pi}$ = (b) 1.5 सेमी। शंकु के आयतन में $\frac{1}{3}$ लगाना भूल गए, तो 4.5 सेमी आ जाएगा।

प्रश्न 17

एक घनाभ के प्रत्येक किनारे में 30% की वृद्धि की जाती है। उसके आयतन में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी? (a) 90% (b) 69% (c) 119.7% (d) 219.7%

उत्तर: हर लंबाई 1.3 से गुणा होती है, तो आयतन $1.3^3 = 2.197$ से गुणा होगा। वृद्धि 2.197 − 1, यानी पुराने आयतन का 1.197 गुना है। तो उत्तर (c) 119.7% है। 69% तो पृष्ठ में हुआ परिवर्तन है, क्योंकि $1.3^2 = 1.69$।

प्रश्न 18

एक शंकु की त्रिज्या में 20% की कमी और उसकी ऊँचाई में 50% की वृद्धि की जाती है। उसके आयतन पर क्या प्रभाव पड़ेगा? (a) आयतन में 4% की कमी होगी (b) आयतन में 30% की वृद्धि होगी (c) आयतन में 20% की वृद्धि होगी (d) आयतन में कोई परिवर्तन नहीं होगा

उत्तर: आयतन $= \frac{1}{3}\pi r^2 h$ है, तो त्रिज्या वाले गुणक का वर्ग लेना होगा, $0.8^2 = 0.64$। ऊँचाई का गुणक 1.5 है। दोनों मिलाकर $0.64 \times 1.5 = 0.96$, तो (a) आयतन में 4% की कमी होगी। त्रिज्या का वर्ग किए बिना 0.8 × 1.5 कर दें, तो 20% वृद्धि वाला गलत विकल्प चुन लेंगे।

प्रश्न 19

एक गोले का आयतन पहले का 8 गुना हो जाता है। उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होती है? (a) 700% (b) 400% (c) 100% (d) 300%

उत्तर: आयतन 8 गुना हुआ, तो हर लंबाई $\sqrt[3]{8} = 2$ गुना हुई। पृष्ठ $2^2 = 4$ गुना होगा। वृद्धि 4 − 1, यानी पुराने पृष्ठ का 3 गुना है, तो उत्तर (d) 300% है। 400% गलत है। पृष्ठ बढ़कर पहले का 400% हुआ है, पर बढ़ा केवल 300% है।

प्रश्न 20

एक शंकु और एक अर्धगोले के आधार बराबर हैं और उनके आयतन भी बराबर हैं। अर्धगोले की त्रिज्या 7 सेमी है। शंकु की ऊँचाई कितनी है? (a) 7 सेमी (b) 14 सेमी (c) 21 सेमी (d) 28 सेमी

उत्तर: आधार बराबर हैं, तो त्रिज्या भी बराबर है। $\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{2}{3}\pi r^3$ से h = 2r आता है। तो शंकु की ऊँचाई (b) 14 सेमी है। 28 सेमी तब सही होता, जब शंकु का आयतन पूरे गोले के बराबर होता।

प्रश्न 21

एक बेलन और एक शंकु की ऊँचाइयाँ बराबर हैं और उनके आयतन भी बराबर हैं। बेलन की त्रिज्या और शंकु की त्रिज्या का अनुपात कितना है? (a) $1 : \sqrt{3}$ (b) $\sqrt{3} : 1$ (c) 1 : 3 (d) 3 : 1

उत्तर: बेलन की त्रिज्या R और शंकु की त्रिज्या r मान लेते हैं। $\pi R^2 h = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ से $r^2 = 3R^2$ आता है, तो $R : r = 1 : \sqrt{3}$, यानी (a) $1 : \sqrt{3}$। शंकु के आयतन में $\frac{1}{3}$ लगा है, इसलिए बराबर आयतन के लिए उसका आधार ज़्यादा चौड़ा होना चाहिए।

प्रश्न 22

21 सेमी × 14 सेमी × 10 सेमी माप वाले लकड़ी के एक घनाभाकार टुकड़े से काटे जा सकने वाले सबसे बड़े बेलन का आयतन कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 1540 घन सेमी (b) 1100 घन सेमी (c) 1650 घन सेमी (d) 2156 घन सेमी

उत्तर: हर फलक को आधार मानकर देखते हैं। 21 × 14 वाले फलक पर त्रिज्या 7 और ऊँचाई 10 है, तो $\frac{22}{7} \times 49 \times 10 = 1540$। 21 × 10 वाले फलक पर r = 5 और h = 14, तो आयतन 1100। 14 × 10 वाले फलक पर r = 5 और h = 21, तो $\frac{22}{7} \times 25 \times 21 = 1650$। सबसे बड़ा (c) 1650 घन सेमी है। पहला वाला सबसे अच्छा लगता है, क्योंकि उसकी त्रिज्या सबसे बड़ी है। पर ऊँचाई ज़्यादा होने से तीसरा आगे निकल जाता है।

प्रश्न 23

21 सेमी किनारे वाले एक घन से काटे जा सकने वाले सबसे बड़े शंकु का आयतन कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 2425.5 घन सेमी (b) 7276.5 घन सेमी (c) 4851 घन सेमी (d) 9702 घन सेमी

उत्तर: शंकु का आधार घन के एक फलक में समाना चाहिए, तो r = 10.5 सेमी, और ऊँचाई किनारे जितनी, यानी 21 सेमी। आयतन $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 110.25 \times 21 = 22 \times 110.25$ = (a) 2425.5 घन सेमी। जाँच के लिए याद रखिए कि इसी घन से निकला सबसे बड़ा बेलन इसका तीन गुना होता है।

प्रश्न 24

9 सेमी आंतरिक त्रिज्या वाला एक अर्धगोलाकार कटोरा किसी द्रव से पूरा भरा है। यह द्रव 3 सेमी व्यास और 4 सेमी ऊँचाई वाली बेलनाकार बोतलों में डाला जाता है। कितनी बोतलें भरेंगी? (a) 108 बोतलें (b) 72 बोतलें (c) 36 बोतलें (d) 54 बोतलें

उत्तर: कटोरे में द्रव $= \frac{2}{3}\pi \times 729 = 486\pi$ घन सेमी है। एक बोतल $= \pi \times 1.5^2 \times 4 = 9\pi$ घन सेमी की है। तो बोतलें $= \frac{486\pi}{9\pi}$, यानी (d) 54 बोतलें। 108 तब आता है, जब कटोरे को पूरा गोला मान लिया जाए।