शॉर्टकट और तेज़ तरीके

22/7 कटने वाली त्रिज्या चुनना

ठोसों के प्रश्न कागज़ पर लंबे दिखते हैं। कहीं शंकु को पिघलाकर छोटी गोलियाँ बनाई जाती हैं, कहीं पाइप से टंकी भरती है, कहीं कमरे की दीवारों पर कागज़ लगता है, और कहीं एक घन छोटे घनों में काटा जाता है। पर असल में ज़्यादातर प्रश्न किसी एक अनुपात या एक सूत्र पर टिके होते हैं। संख्याएँ भी ऐसी चुनी जाती हैं कि आपस में कट जाएँ।

आगे के सारे तरीके इसी बात का फ़ायदा उठाते हैं। हर तरीके के साथ यह भी देखेंगे कि वह कहाँ नहीं चलता।

शुरू करने से पहले दो काम कर लीजिए। कच्ची आकृति पर त्रिज्या लिखिए, व्यास नहीं। और विकल्पों की इकाई देख लीजिए कि उत्तर घन सेमी में चाहिए, घन मीटर में या लीटर में।

बेलन, शंकु या गोले के किसी प्रश्न में $\pi$ का मान न दिया हो, तो हल शुरू करने से पहले विकल्पों पर नज़र डालिए। वहीं से पता चल जाता है कि कौन-सा मान लेना है।

• विकल्प 11 या 22 के गुणज हों, जैसे 154, 616, 1232 या 4851, या किसी भिन्न के हर में 7 हो, तो $\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए। ऐसे में त्रिज्या 7 या 3.5 की गुणज होगी। और कोई भी गुणा करने से पहले 7 काट लीजिए।
• विकल्प 314, 942 या 2512 जैसे हों, तो $\pi = 3.14$ लीजिए। तब त्रिज्या प्रायः 5, 10 या 20 होती है।
• विकल्पों में $\pi$ लिखा हो, जैसे $288\pi$ घन सेमी, तो अंत तक $\pi$ को अक्षर ही रहने दीजिए।

$\pi = \frac{22}{7}$ के साथ ये मान ज़बानी याद होने चाहिए।

त्रिज्या के बाद वाला पहला स्तंभ बेलन या शंकु के आधार का क्षेत्रफल है। दूसरा स्तंभ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है और तीसरा गोले का आयतन। अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (curved surface area) और आयतन चाहिए, तो आख़िरी दो स्तंभों का आधा ले लीजिए।

गोले का आयतन $\frac{88}{21}r^3$ होता है। यह पूर्ण संख्या में तभी आता है, जब $r^3$ से 21 कट जाए। इसीलिए त्रिज्या 10.5, 21 या 31.5 हो, तो आयतन पूर्ण संख्या में आता है, जबकि 7 और 14 पर उत्तर में तिहाई बच जाते हैं।

उदाहरण के लिए, किसी शंकु की त्रिज्या 14 सेमी और ऊँचाई 15 सेमी है। उसका आयतन $\frac{1}{3} \times 616 \times 15 = 616 \times 5 = 3080$ घन सेमी है। यहाँ 616 से गुणा करने से पहले ही 3 और 15 आपस में कट गए।

दो जगह सावधान रहिए।

• प्रश्न में $\pi = 3.14$ दिया हो, तो वही लीजिए, चाहे संख्याएँ बेढंगी हो जाएँ।
• तालिका त्रिज्या के हिसाब से बनी है। किसी गेंद का व्यास 21 सेमी हो, तो उसकी त्रिज्या 10.5 सेमी है। उसका आयतन 4851 घन सेमी होगा, 38808 घन सेमी नहीं।

लंबाई, पृष्ठ और आयतन का पैमाना

मान लीजिए दो ठोस समरूप हैं, यानी उनकी आकृति एक-सी है, और एक की हर लंबाई दूसरे की संगत लंबाई का $k$ गुना है। जैसे दो गोले, दो घन, एक शंकु और उसके ऊपर से काटा गया छोटा शंकु, या फूलता हुआ गुब्बारा।

जब हर लंबाई $k$ गुना होती है, तो हर क्षेत्रफल $k^2$ गुना हो जाता है। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल हो, संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (total surface area) हो या आधार का क्षेत्रफल, सब पर यही लगता है। आयतन $k^3$ गुना हो जाता है।

इसके लिए एक नियम बना लीजिए। आयतन से पृष्ठ निकालना हो या पृष्ठ से आयतन, बीच में हमेशा लंबाइयों का अनुपात निकालिए।

• आयतन से पृष्ठ पर जाना हो, तो पहले घनमूल लीजिए, फिर वर्ग कीजिए।
• पृष्ठ से आयतन पर जाना हो, तो पहले वर्गमूल लीजिए, फिर घन कीजिए।

ये जोड़े बार-बार आते हैं।

जैसे दो गोलों के आयतनों का अनुपात 64 : 343 है। घनमूल लेने पर त्रिज्याएँ 4 : 7 आती हैं, और उनका वर्ग करने पर पृष्ठीय क्षेत्रफल 16 : 49।

पर दो बातें देख लीजिए।

• हर लंबाई एक ही गुणक से बदलनी चाहिए। मान लीजिए दो बेलनों की त्रिज्याएँ 1 : 2 हैं और ऊँचाइयाँ बराबर। ये समरूप नहीं हैं, इसलिए इनके आयतन 1 : 4 में होंगे, 1 : 8 में नहीं। ऐसे बेलनों के लिए अगला तरीका देखिए।
• आयतनों का अनुपात पूर्ण घन न हो, जैसे 1 : 2, तो लंबाइयाँ $1 : \sqrt[3]{2}$ में होंगी। घनमूल को वैसे ही छोड़ दीजिए।

[SSC टिप] गुब्बारे वाले प्रश्न में भरी गई हवा दोनों आयतनों का अंतर होती है। आयतनों का अनुपात एक अलग सवाल है। इसलिए ध्यान से पढ़िए कि दोनों में से क्या पूछा गया है।

दो बेलन या शंकु: अनुपातों का गुणा

अब ऐसे दो बेलन लीजिए, जिनकी त्रिज्याएँ एक अनुपात में हैं और ऊँचाइयाँ किसी दूसरे अनुपात में। दो शंकु हों, तब भी यही बात है। पूछा जाता है कि उनके आयतनों या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात क्या है। कभी प्रश्न उलटी ओर से भी आता है।

यहाँ सूत्र के अचर हटा दीजिए। जो बचता है, उसी में अनुपात रख दीजिए।

• बेलन या शंकु का आयतन $r^2h$ के हिसाब से बदलता है। त्रिज्याएँ $a : b$ और ऊँचाइयाँ $c : d$ हों, तो आयतन $a^2c : b^2d$ में होंगे।
• बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $rh$ के हिसाब से बदलता है। तो उसी जोड़ी से $ac : bd$ मिलता है।
• आयतन बराबर हों, तो ऊँचाइयाँ $r^2$ के व्युत्क्रम अनुपात में होती हैं। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर हों, तो ऊँचाइयाँ $r$ के व्युत्क्रम अनुपात में होती हैं।

मान लीजिए त्रिज्याएँ 3 : 4 हैं और ऊँचाइयाँ 8 : 9। तो आयतन $9 \times 8 : 16 \times 9 = 72 : 144 = 1 : 2$ हुए, और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $3 \times 8 : 4 \times 9 = 2 : 3$।

शंकु की तुलना बेलन से हो, तो हटाया हुआ $\frac{1}{3}$ वापस लगाना न भूलिए। जैसे शंकु की त्रिज्या बेलन की दोगुनी है और ऊँचाई बराबर। तब शंकु का आयतन बेलन के आयतन का $\frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3}$ गुना होगा।

दो जगह यह सीधा गुणा नहीं चलता।

• शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi rl$ होता है। यह $rl$ के हिसाब से बदलता है, $rh$ के हिसाब से नहीं। इसलिए पहले दोनों की तिर्यक ऊँचाई (slant height) का अनुपात निकालिए।
• संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi r(r + h)$ एक योग है। इसमें अनुपात सीधे नहीं रखे जा सकते। दोनों का पूरा मान निकालिए, फिर तुलना कीजिए।

आयतन में प्रतिशत परिवर्तन

कई प्रश्नों में त्रिज्या, ऊँचाई या किनारे कुछ प्रतिशत बढ़ा या घटा दिए जाते हैं, और पूछा जाता है कि आयतन या पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना बदला।

देखिए, आयतन लंबाइयों का गुणनफल ही तो है। बेलन या शंकु में यह $r \times r \times h$ है, घन में $a \times a \times a$ और गोले में $r \times r \times r$। तो हर लंबाई का गुणक लिखिए और सबका गुणा कर दीजिए। चाहें तो क्रमिक परिवर्तन (successive change) का नियम $x + y + \frac{xy}{100}$ भी लगा सकते हैं। इसे पहले दो गुणनखंडों पर लगाइए, फिर हर अगले गुणनखंड के साथ एक बार और। यह नियम अध्याय 3 (प्रतिशत) में आ चुका है।

आम परिवर्तनों के नतीजे ये हैं।

एक उदाहरण लेते हैं। बेलन की त्रिज्या 50% बढ़ी और ऊँचाई आधी कर दी गई। आयतन का गुणक $1.5 \times 1.5 \times 0.5 = 1.125$ है, यानी आयतन में 12.5% की वृद्धि हुई।

उसी बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi rh$ है, जिसमें केवल दो गुणनखंड हैं। तो $1.5 \times 0.5 = 0.75$, यानी 25% की कमी। देखिए, एक ही बेलन में आयतन बढ़ा और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल घट गया।

तीन हालात में ध्यान देना पड़ता है।

• परिवर्तन प्रतिशत में न होकर किसी तय मात्रा में हो, जैसे त्रिज्या 2 सेमी बढ़ी, तो असली संख्याएँ लेकर हिसाब कीजिए।
• कभी आयतन का परिवर्तन देकर लंबाई का परिवर्तन पूछा जाता है। तब आयतन के गुणक का घनमूल लीजिए। आयतन 72.8% बढ़ा हो, तो लंबाइयाँ $\sqrt[3]{1.728} = 1.2$ गुना हुईं, यानी 20% वृद्धि। 72.8 को 3 से भाग देकर 24.3% लिखना गलत है।
• संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi r(r + h)$ गुणनफल नहीं है। $r$ और $h$ अलग-अलग प्रतिशत से बदलें, तो यहाँ भी संख्याएँ लेकर हिसाब कीजिए।

तीन फलकों से घनाभ

घनाभ के किसी एक कोने पर तीन फलक मिलते हैं, ऊपर वाला, सामने वाला और एक बगल वाला। इनके क्षेत्रफल $x = lb$, $y = bh$ और $z = hl$ मान लीजिए। तीनों का गुणा करें, तो $xyz = (lbh)^2$ आता है, यानी आयतन का वर्ग। इसलिए आयतन सीधे इस सूत्र से निकलता है।

$$V = \sqrt{xyz}$$

कोई किनारा चाहिए, तो आयतन को उस फलक से भाग दीजिए, जिसमें वह किनारा नहीं है। यानी $h = \frac{V}{x}$, $l = \frac{V}{y}$ और $b = \frac{V}{z}$।

मान लीजिए तीनों फलकों के क्षेत्रफल 54 वर्ग सेमी, 72 वर्ग सेमी और 48 वर्ग सेमी हैं। गुणा करने से पहले गुणनखंड कर लीजिए। $54 \times 72 \times 48 = 2^8 \times 3^6$, तो इसका वर्गमूल $2^4 \times 3^3 = 432$ हुआ। आयतन 432 घन सेमी है। किनारे $\frac{432}{54} = 8$, $\frac{432}{72} = 6$ और $\frac{432}{48} = 9$ सेमी आते हैं।

घन में तो एक ही फलक काफ़ी है। फलक का क्षेत्रफल 36 वर्ग सेमी हो, तो किनारा 6 सेमी है और आयतन 216 घन सेमी।

ये दो बातें भूलिए नहीं।

• तीनों फलक एक ही कोने पर मिलने चाहिए। आमने-सामने के दो फलकों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं, इसलिए उनसे कोई नई जानकारी नहीं मिलती।
• अकेले संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल से आयतन नहीं निकल सकता।

किनारे, विकर्ण और पृष्ठ: एक सर्वसमिका

घनाभ के किनारों का योग (या सीधे $l + b + h$), विकर्ण और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल, इन तीन में से कोई दो बातें कभी-कभी दी होती हैं। तब तीसरी बात इस एक सर्वसमिका से निकल आती है।

$$(l + b + h)^2 = (l^2 + b^2 + h^2) + 2(lb + bh + hl) = d^2 + \text{संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल}$$

घनाभ के 12 किनारों का योग $4(l + b + h)$ होता है। इसलिए किनारों का योग दिया हो, तो पहले उसे 4 से भाग दीजिए।

जैसे किसी घनाभ के किनारों का योग 124 सेमी है और विकर्ण 19 सेमी। तो $l + b + h = 31$, और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $31^2 - 19^2 = (31 + 19)(31 - 19) = 50 \times 12 = 600$ वर्ग सेमी हुआ। ऐसा एक घनाभ 6 सेमी × 10 सेमी × 15 सेमी का है।

घन में बात और आसान हो जाती है। वहाँ $d = a\sqrt{3}$ है, तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $6a^2$ सीधे $2d^2$ के बराबर है। विकर्ण $5\sqrt{3}$ सेमी वाले घन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 150 वर्ग सेमी होगा।

पर दो बातें याद रखिए।

• इस सर्वसमिका से पृष्ठीय क्षेत्रफल मिलता है, आयतन नहीं। किनारों का योग और विकर्ण एक जैसे हों, तब भी दो घनाभों के आयतन अलग हो सकते हैं।
• फलक का विकर्ण $\sqrt{l^2 + b^2}$ होता है। देख लीजिए कि प्रश्न में पूरे घनाभ का विकर्ण दिया है, फलक का नहीं।

दीवारें और पार्श्व फलक: आधार का परिमाप × ऊँचाई

कमरे की चार दीवारें, प्रिज्म के पार्श्व फलक और बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, तीनों एक ही तरह से निकलते हैं। सोचिए कि इन फलकों को खोलकर एक लंबी पट्टी बना दी गई है। इस पट्टी की लंबाई आधार का परिमाप है और चौड़ाई ऊँचाई। इस क्षेत्रफल को पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (lateral surface area) कहते हैं, और यह इस सूत्र से मिलता है।

$$\text{पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \text{आधार का परिमाप} \times \text{ऊँचाई}$$

• कमरे में चार दीवारें $= 2(l + b) \times h$। इसमें से दरवाज़े और खिड़कियाँ घटाइए, फिर दर से गुणा कीजिए।
• बेलन में यह $2\pi r \times h$ है। प्रिज्म का आधार भुजा $a$ वाला सम षट्भुज हो, तो यह $6a \times h$ है।
• चौड़ाई $w$ वाला कागज़ या कपड़ा लगाना हो, तो कितनी लंबाई चाहिए, यह क्षेत्रफल ÷ $w$ से निकलेगा।

उदाहरण के लिए, एक हॉल 16 मीटर × 11 मीटर का है और 4.5 मीटर ऊँचा है। उसकी दीवारों का क्षेत्रफल $2 \times 27 \times 4.5 = 243$ वर्ग मीटर हुआ। ₹40 प्रति वर्ग मीटर की दर से पेंट कराने का खर्च ₹9,720 होगा।

इस सूत्र में क्या नहीं आता, यह भी जान लीजिए।

• फ़र्श और छत इसमें शामिल नहीं हैं। खुला डिब्बा हो, यानी ढक्कन न हो, तो दीवारें और एक आधार लीजिए। बंद डिब्बा हो, तो दीवारें और दोनों आधार।
• पिरामिड और शंकु के फलक ढलवाँ होते हैं। उनका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{परिमाप} \times \text{तिर्यक ऊँचाई}$ होता है। वहाँ ऊँचाई से काम नहीं चलेगा।

घनों को काटना और जोड़ना

घन को छोटे घनों में काटना हो या कई घनों को जोड़ना हो, दोनों के लिए एक-एक नियम है।

• किनारा $a$ वाले घन को किनारा $b$ वाले घनों में काटें, तो $\left(\frac{a}{b}\right)^3$ घन बनते हैं। इनका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल पुराने घन का $\frac{a}{b}$ गुना होता है। हर कट से नए फलक खुलते हैं, पर आयतन वही रहता है।
• किनारा $a$ वाले $n$ घन एक पंक्ति में जोड़ें, तो $na \times a \times a$ का घनाभ बनता है, जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $(4n + 2)a^2$ है। हर जोड़ पर दो फलक छिप जाते हैं, इसलिए $6n - 2(n - 1) = 4n + 2$। दो घन जोड़ें तो $10a^2$, और तीन घन जोड़ें तो $14a^2$।

एक उदाहरण देखिए। 12 सेमी के घन को 3 सेमी के घनों में काटा, तो $4^3 = 64$ घन बने। पृष्ठीय क्षेत्रफल $6 \times 144 = 864$ वर्ग सेमी से बढ़कर $4 \times 864 = 3456$ वर्ग सेमी हो गया। मिलान के लिए $64 \times 54$ कर लीजिए, यही संख्या आती है।

दो जगह गलती हो सकती है।

• घन L आकार में या वर्ग बनाकर जुड़े हों, तो जोड़ गिनिए। हर जोड़ $2a^2$ छिपाता है। जैसे 2 × 2 के वर्ग में चार घन रखे हों, तो 4 जोड़ होते हैं, और पृष्ठीय क्षेत्रफल $24a^2 - 8a^2 = 16a^2$ रह जाता है।
• $\frac{a}{b}$ पूर्ण संख्या होनी चाहिए, वरना सारे टुकड़े घन नहीं बन सकते।

पाइथागोरस त्रिक से तिर्यक ऊँचाई

शंकु, वर्गाकार पिरामिड या छिन्नक (frustum) में ऊँचाई या तिर्यक ऊँचाई न दी हो, तो उसे निकालने के लिए एक समकोण त्रिभुज देखिए। ऊँचाई, त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई मिलकर यह त्रिभुज बनाते हैं, और तिर्यक ऊँचाई इसकी सबसे लंबी भुजा होती है। यानी $l^2 = r^2 + h^2$। अगर तीनों संख्याएँ कोई पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplet) बनाती हों, तो तिर्यक ऊँचाई बिना किसी वर्गमूल के सीधे मिल जाती है।

• काम आने वाले त्रिक हैं 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 20-21-29, 12-35-37 और 9-40-41, और इनके गुणज। जैसे त्रिज्या 10.5 और ऊँचाई 14 हो, तो तिर्यक ऊँचाई 17.5 होगी, जो 3-4-5 का 3.5 गुना है।
• वर्गाकार पिरामिड के आधार की भुजा $a$ हो, तो इस त्रिभुज की छोटी दो भुजाएँ ऊँचाई और आधार की आधी भुजा, यानी $\frac{a}{2}$ होती हैं।
• छिन्नक में छोटी दो भुजाएँ ऊँचाई और $R - r$ होती हैं।

मान लीजिए शंकु की त्रिज्या 14 सेमी और ऊँचाई 48 सेमी है। यह 7-24-25 वाला त्रिक ही है, बस दोगुना। तो तिर्यक ऊँचाई 50 सेमी है, और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\frac{22}{7} \times 14 \times 50 = 44 \times 50 = 2200$ वर्ग सेमी।

यहाँ तीन गलतियाँ आम हैं।

• पहले देखिए कि कौन-सी दो लंबाइयाँ दी हैं। तिर्यक ऊँचाई 25 और त्रिज्या 7 हो, तो ऊँचाई 24 है। अगर वर्ग जोड़कर $\sqrt{674}$ आ गया, तो आपने तिर्यक ऊँचाई को छोटी भुजा मान लिया है।
• आयतन में ऊँचाई लगती है और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में तिर्यक ऊँचाई। कच्ची आकृति पर दोनों अलग-अलग लिखिए।
• पिरामिड की तिर्यक ऊँचाई आधार के किनारे के मध्य-बिंदु तक जाती है। शीर्ष से कोने तक जाने वाला किनारा, यानी पार्श्व किनारा, इससे लंबा होता है। उसके लिए आधार के विकर्ण का आधा लीजिए।

एक आधार पर शंकु, अर्धगोला, बेलन: 1 : 2 : 3

मान लीजिए त्रिज्या $r$ वाले एक ही आधार पर एक शंकु, एक अर्धगोला और एक बेलन खड़े हैं, और हर एक की ऊँचाई $r$ है। तब उनके आयतन एक आसान-से अनुपात में होते हैं। बेलन में ठीक-ठीक समाए गोले के साथ भी ऐसा ही है।

• शंकु का आयतन $\frac{1}{3}\pi r^3$, अर्धगोले का $\frac{2}{3}\pi r^3$ और बेलन का $\pi r^3$ होता है। तो आयतन 1 : 2 : 3 में हैं।

• गोला बेलन में ठीक-ठीक समाया हो, तो बेलन की ऊँचाई $2r$ होती है। आयतनों का अनुपात $\frac{4}{3}\pi r^3 : 2\pi r^3 = 2 : 3$ आता है। गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $4\pi r^2$ है, जो बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi r \times 2r$ के बराबर है। बेलन के दोनों सिरे जोड़ें, तो उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $6\pi r^2$ होता है। इसलिए संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल में भी अनुपात 2 : 3 है।
• शंकु और बेलन का आधार एक हो और ऊँचाई बराबर, तो ऊँचाई चाहे कुछ भी हो, आयतन 1 : 3 में होते हैं। यानी तीन शंकु भरकर डालें, तो बेलन भर जाता है।

उदाहरण के लिए, 38808 घन सेमी आयतन वाला एक गोला किसी बंद बेलन में ठीक-ठीक समाता है। बेलन का आयतन $38808 \times \frac{3}{2} = 58212$ घन सेमी होगा। गोले के चारों ओर की खाली जगह 19404 घन सेमी है, यानी गोले का ठीक आधा।

अब देखिए कि यह अनुपात कहाँ नहीं चलता।

• 1 : 2 : 3 के लिए हर ऊँचाई $r$ के बराबर होनी चाहिए। शंकु की ऊँचाई $2r$ हो, तो उसका आयतन अर्धगोले जितना हो जाता है।
• वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल इस अनुपात में नहीं होते। वे $\sqrt{2}\pi r^2$, $2\pi r^2$ और $2\pi r^2$ हैं।
• 2 : 3 केवल ठीक-ठीक समाने वाले बेलन के लिए है। बेलन ज़्यादा ऊँचा हो, तो उसका आयतन भी ज़्यादा होगा।

पिघलाकर दोबारा ढालना: घनों का अनुपात

कोई ठोस पिघलाकर उससे दूसरे ठोस बनाए जाते हैं, जैसे छोटी गोलियाँ, सिक्के, तार या शंकु। फिर पूछा जाता है कि कितने टुकड़े बने, या नई लंबाई कितनी है।

यहाँ बस एक बात याद रखनी है। पिघलाने से आयतन नहीं बदलता। तो लिखिए कि पहले का आयतन बाद के आयतन के बराबर है। दोनों ओर से $\pi$ और एक जैसी भिन्नें काट दीजिए, और उसके बाद ही गुणा कीजिए।

• एक गोले से छोटे गोले बनें, तो उनकी संख्या $\left(\frac{R}{r}\right)^3$ होती है।
• कई गोलों से एक गोला बने, तो $R^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$। जैसे त्रिज्याएँ 1, 6 और 8 हों, तो नया गोला 9 त्रिज्या का होगा, क्योंकि $1 + 216 + 512 = 729$।
• गोले को खींचकर त्रिज्या $r$ वाला तार बनाया जाए, तो तार की लंबाई $\frac{4R^3}{3r^2}$ होती है।
• गोले से उसी त्रिज्या वाला शंकु बने, तो $\frac{4}{3}r^3 = \frac{1}{3}r^2h$, यानी $h = 4r$। बेलन से उसी त्रिज्या वाला शंकु बने, तो शंकु 3 गुना ऊँचा होगा।

मान लीजिए 9 सेमी त्रिज्या और 16 सेमी ऊँचाई वाले बेलन से 3 सेमी त्रिज्या वाले गोले बनाने हैं। गोलों की संख्या $= \frac{9^2 \times 16}{\frac{4}{3} \times 3^3} = \frac{1296}{36} = 36$ होगी।

इन तीन बातों पर नज़र रखिए।

• पिघलाने पर पृष्ठीय क्षेत्रफल वही नहीं रहता। एक गेंद पिघलाकर 8 बराबर छोटी गोलियाँ बनाएँ, तो हर गोली की त्रिज्या आधी होगी, पर कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल दोगुना हो जाएगा ($8 \times \frac{1}{4}$)।
• खोखला ठोस हो, तो उसका बाहरी आयतन नहीं, केवल धातु का आयतन लीजिए, यानी $R^3 - r^3$।
• कुछ धातु नष्ट हो जाए, जैसे 10%, तो बची हुई 90% धातु से हिसाब कीजिए।

लीटर, घन मीटर और वर्षा

धारिता लीटर में पूछी जाए, पाइप से पानी बह रहा हो, या छत या खेत पर वर्षा का पानी गिरा हो, तो इकाइयों के ये संबंध पक्के याद होने चाहिए।

• 10 सेमी किनारे वाले घन में ठीक 1 लीटर पानी आता है।
• क्षेत्रफल $A$ पर गहराई $d$ की वर्षा हो, तो पानी का आयतन $A \times d$ होता है। बस $d$ को मीटर में लिखिए। एक हेक्टेयर पर 1 सेमी वर्षा हो, तो $10000 \times 0.01 = 100$ घन मीटर पानी गिरता है, यानी 100000 लीटर।
• पाइप से हर सेकंड कितना पानी आता है, यह जानने के लिए अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल को पानी की चाल से गुणा कीजिए। चाल किमी/घंटा में हो, तो मीटर प्रति मिनट के लिए $\times \frac{1000}{60}$ और मीटर प्रति सेकंड के लिए $\times \frac{5}{18}$ कीजिए। यह अध्याय 10 (समय, चाल और दूरी) में आ चुका है।

उदाहरण के लिए, 3.5 मीटर × 2 मीटर × 1.5 मीटर की टंकी का आयतन 10.5 घन मीटर है, यानी उसमें 10500 लीटर पानी आएगा।

इकाइयों में ये दो गलतियाँ बहुत होती हैं।

• टंकी सेमी में नापी गई हो, तो आयतन घन सेमी में आएगा। 50 सेमी × 40 सेमी × 30 सेमी = 60000 घन सेमी, जो 60 लीटर है, 60000 लीटर नहीं।
• क्षेत्रफल की इकाई बदलते समय गुणक का वर्ग लगता है। 1 वर्ग मीटर में 10000 वर्ग सेमी होते हैं, 100 नहीं।

[SSC टिप] माप मीटर में हों, तो बिल्कुल अंत में 1000 से गुणा करके लीटर में बदलिए। माप सेमी में हों, तो 1000 से भाग दीजिए।

जल स्तर में वृद्धि

पानी भरे बर्तन में कोई ठोस डाला जाए, या एक बर्तन का पानी दूसरे बर्तन में डाला जाए, तो पानी ऊपर उठता है। जितना आयतन डाला गया, उसे बर्तन के आधार के क्षेत्रफल से भाग दीजिए। जल स्तर में वृद्धि मिल जाएगी।

$$\text{जल स्तर में वृद्धि} = \frac{\text{पानी में डूबे ठोसों का आयतन}}{\text{बर्तन के आधार का क्षेत्रफल}}$$

• त्रिज्या $R$ वाले बेलन में त्रिज्या $r$ वाले $n$ गोले डाले जाएँ, तो वृद्धि $= \frac{n \times \frac{4}{3}r^3}{R^2}$ होती है। $\pi$ ऊपर-नीचे से कट जाता है।
• जल स्तर $h$ ऊपर उठाने के लिए कितने कंचे चाहिए, यह $n = \frac{R^2h}{\frac{4}{3}r^3}$ से निकलता है।

जैसे 3 सेमी त्रिज्या वाली 8 गेंदें 12 सेमी त्रिज्या वाले बेलन में डाली गईं। $\pi$ को छोड़ दें, तो हर गेंद का आयतन $\frac{4}{3} \times 27 = 36$ है। तो वृद्धि $\frac{8 \times 36}{144} = 2$ सेमी हुई।

तीन बातें ध्यान में रखिए।

• ठोस पूरा पानी में डूबा होना चाहिए। उथले पानी में कोई लंबी छड़ खड़ी हो, तो केवल सतह के नीचे वाला भाग पानी को ऊपर धकेलता है।
• बर्तन छलक जाए, तो जल स्तर बर्तन के मुँह पर ही रुक जाता है।
• भाग आधार के क्षेत्रफल से देना है, बर्तन के आयतन से नहीं।

[SSC टिप] शुरू में पानी कितना गहरा था, इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता। बस ठोस अंत में पूरे डूबे होने चाहिए।

खोखले पाइप और गोले: पहले गुणनखंड

पाइप, नली या खोखले गोले में लगी धातु पूछी जाए और आंतरिक व बाहरी त्रिज्याएँ दी हों, तो वर्गों के अंतर को पहले गुणनखंडों में तोड़ लीजिए। हिसाब बहुत छोटा हो जाता है।

• लंबाई $h$ वाले पाइप में धातु का आयतन $= \pi(R^2 - r^2)h = \pi(R + r)(R - r)h$ होता है। यहाँ $R - r$ पाइप की मोटाई है।
• पाइप दोनों सिरों पर खुला हो और उसका पूरा पृष्ठ चाहिए, यानी बाहर, अंदर और दोनों सिरों के वलय, तो $2\pi Rh + 2\pi rh + 2\pi(R^2 - r^2) = 2\pi(R + r)(h + R - r)$।
• खोखले गोले में धातु का आयतन $= \frac{4}{3}\pi(R^3 - r^3)$ होता है। यहाँ $(R - r)^3$ जैसा कोई छोटा रास्ता नहीं है।

मान लीजिए पाइप 21 सेमी लंबा है, उसकी बाहरी त्रिज्या 8 सेमी और आंतरिक त्रिज्या 6 सेमी। धातु का आयतन $\frac{22}{7} \times 14 \times 2 \times 21 = 1848$ घन सेमी है। उसी पाइप का पूरा पृष्ठ $2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times (21 + 2) = 88 \times 23 = 2024$ वर्ग सेमी है।

दो गलतियों से बचिए।

• अगर $\pi(R - r)^2h$ लिख दिया, तो यह एक पतली छड़ का आयतन हो गया, जिसकी त्रिज्या पाइप की मोटाई के बराबर है। पाइप का आयतन यह नहीं है।
• ध्यान से पढ़िए कि मोटाई दी है या आंतरिक त्रिज्या। बाहरी व्यास 16 सेमी और मोटाई 2 सेमी हो, तो $R = 8$ और $r = 6$।

आधार के समांतर कटा शंकु: 1 : 7 : 19

शंकु को आधार के समांतर तलों से काटा जाए और टुकड़ों के आयतन या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल की तुलना पूछी जाए, तो पैमाने वाला तरीका ही काम आता है। ऊपर वाला टुकड़ा पूरे शंकु के समरूप एक छोटा शंकु है। इसलिए उसके पृष्ठ में $k^2$ और आयतन में $k^3$ लगता है। बस $k$ शीर्ष से मापिए।

• शंकु ऊँचाई के ठीक बीच से कटे, तो ऊपर का शंकु पूरे आयतन का $\frac{1}{8}$ होता है। यानी ऊपरी शंकु और छिन्नक 1 : 7 में होते हैं।
• बराबर ऊँचाइयों पर दो कट लगें, तो शीर्ष से बनने वाले शंकु 1 : 8 : 27 में होते हैं। इसलिए तीनों टुकड़े आयतन में 1 : 7 : 19 होते हैं और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में 1 : 3 : 5।
• छिन्नक का आयतन $= (1 - k^3) \times$ पूरे शंकु का आयतन, जहाँ $k = \frac{\text{छोटे शंकु की ऊँचाई}}{\text{पूरे शंकु की ऊँचाई}}$।

जैसे 1600 घन सेमी आयतन वाले शंकु को ऊँचाई के बीच से काटा, तो छिन्नक में $\frac{7}{8} \times 1600 = 1400$ घन सेमी आयतन रहेगा।

दो जगह छात्र चूक जाते हैं।

• छोटे शंकु की ऊँचाई हमेशा शीर्ष से मापिए। कट आधार से ऊपर की ओर ऊँचाई के एक-तिहाई पर लगा हो, तो ऊपरी शंकु के लिए $k = \frac{2}{3}$ होगा, और उसका आयतन पूरे शंकु का $\frac{8}{27}$।
• 1 : 3 : 5 केवल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए है। छिन्नक के संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल में दोनों वृत्ताकार फलक भी जुड़ते हैं।

त्रिज्यखंड से शंकु: एक अनुपात

वृत्त का कोई त्रिज्यखंड (sector) मोड़कर शंकु बनाया जाए, तो त्रिज्यखंड की त्रिज्या ही शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ होती है, और उसका चाप ही आधार की परिधि। शंकु के वक्र पृष्ठ को तिर्यक रेखा के साथ काटकर समतल खोल दें, तब भी यही होता है। इसलिए यह अनुपात मिलता है।

$$\frac{r}{l} = \frac{\theta}{360^\circ}$$

• शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
• अर्धवृत्त से बने शंकु में $r = \frac{l}{2}$ होता है, और चतुर्थांश से बने शंकु में $r = \frac{l}{4}$।

उदाहरण देखिए। त्रिज्यखंड की त्रिज्या 20 सेमी है और कोण $216^\circ$। तो $r = 20 \times \frac{216}{360} = 12$ सेमी। 12-16-20 त्रिक से ऊँचाई 16 सेमी आती है, और आयतन $\frac{1}{3}\pi \times 144 \times 16 = 768\pi$ घन सेमी।

इसमें दो भूलें होती हैं।

• त्रिज्यखंड की त्रिज्या तिर्यक ऊँचाई है, ऊँचाई नहीं। $h$ के लिए पाइथागोरस लगाइए।
• शंकु बनाते समय त्रिज्यखंड के दोनों सीधे किनारे एक-दूसरे पर चढ़ाए गए हों, तो पहले चाप में से उतना भाग घटा दीजिए।

घन या घनाभ में सबसे बड़ा ठोस

किनारा $a$ वाले घन में से सबसे बड़ा गोला, बेलन या शंकु काटना हो, तो ये मान सीधे काम आते हैं।

• कभी उलटा होता है, यानी घन त्रिज्या $R$ वाले गोले के अंदर रखा होता है। तब घन का विकर्ण गोले का व्यास होता है, यानी $a\sqrt{3} = 2R$।
• घनाभ में सबसे बड़े गोले का व्यास सबसे छोटे किनारे के बराबर होता है। बेलन या शंकु के लिए हर फलक को बारी-बारी से आधार मानिए। त्रिज्या उस फलक की छोटी भुजा की आधी होगी और ऊँचाई तीसरा किनारा। फिर तीनों में $r^2h$ की तुलना कीजिए।

जैसे 42 सेमी किनारे वाले घन से सबसे बड़ा गोला काटें, तो उसकी त्रिज्या 21 सेमी और आयतन 38808 घन सेमी होगा। घन का आयतन 74088 घन सेमी है, तो 35280 घन सेमी हिस्सा बेकार जाता है, जो आधे से थोड़ा कम है।

दो बातें और।

• घन को बाहर से घेरने वाला गोला घन के कोनों को छूता है। उसके लिए घन का विकर्ण $a\sqrt{3}$ लीजिए, फलक का विकर्ण नहीं।
• घनाभ में सबसे बड़ा बेलन हमेशा सबसे बड़े फलक पर खड़ा नहीं होता। 10 × 6 × 6 के डिब्बे में 6 × 6 वाले सिरे पर खड़ा बेलन ($r = 3$, $h = 10$), 10 × 6 वाले फलक पर खड़े बेलन ($r = 3$, $h = 6$) से बड़ा है।

विभाज्यता और आकार से विकल्प-जाँच

लंबा हिसाब शुरू करने से पहले एक बार देख लीजिए कि कौन-से विकल्प संभव भी हैं। हल पूरा होने के बाद भी इसी से उत्तर की जाँच हो जाती है।

• $\pi = \frac{22}{7}$ हो और त्रिज्या 7 (या 3.5) की गुणज हो, तो हर आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल 11 का गुणज होगा। जो विकल्प 11 से न बँटे, उसे हटा दीजिए।
• आकार से भी अंदाज़ा लगता है। शंकु उसी आधार और ऊँचाई वाले बेलन का एक-तिहाई होता है। गोला अपने चारों ओर वाले घन का लगभग आधा भरता है।
• गलत विकल्प प्रायः कुछ गिनी-चुनी चूकों से बनते हैं, जैसे संपूर्ण की जगह वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ले लेना, व्यास को त्रिज्या मान लेना (इससे बेलन का आयतन 4 गुना और गोले का 8 गुना बड़ा आता है), शंकु का $\frac{1}{3}$ भूल जाना, आयतन के लिए $k^2$ लगा देना, या लीटर और घन सेमी में गड़बड़ कर देना।

एक उदाहरण लेते हैं। 14 सेमी त्रिज्या और 9 सेमी ऊँचाई वाले शंकु का आयतन पूछा गया है, और विकल्प हैं (a) 1848 घन सेमी (b) 5544 घन सेमी (c) 1846 घन सेमी (d) 7392 घन सेमी।

1846 तो 11 का गुणज ही नहीं है, इसलिए वह बाहर। 5544, 1848 का तीन गुना है, यानी इसमें $\frac{1}{3}$ छूट गया। 7392, 1848 का चार गुना है, यानी व्यास को त्रिज्या मान लिया गया। बचा 1848 घन सेमी, और $\frac{1}{3} \times 616 \times 9 = 1848$ से इसकी पुष्टि भी हो जाती है।

पर यह जाँच हर बार काम नहीं आती।

• दो विकल्प पास-पास हों और दोनों इस जाँच में टिक जाएँ, तो पूरा हल करना ही पड़ेगा।
• $\pi = 3.14$ हो, तो 11 वाली जाँच से कुछ पता नहीं चलता।

हल किए गए उदाहरण

आगे का हर प्रश्न ऊपर बताए किसी एक तरीके से हल होता है। पहले घड़ी लगाकर प्रश्न ख़ुद हल कीजिए, फिर अपना समय उत्तर के नीचे लिखे समय से मिलाइए।

प्रश्न 1

एक अर्धगोलाकार कटोरे की आंतरिक त्रिज्या 10.5 सेमी है। उसमें कितने लीटर सूप आ सकता है?

उत्तर: त्रिज्या 10.5 वाले पूरे गोले का आयतन तालिका से सीधे 4851 घन सेमी मिल जाता है। कटोरा उसका आधा है, यानी 2425.5 घन सेमी। लीटर के लिए 1000 से भाग देते हैं, तो लगभग 2.43 लीटर सूप आएगा।

यह 15 सेकंड के आसपास का काम है।

प्रश्न 2

दो समरूप शंकुओं के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात 16 : 25 है। छोटे शंकु का आयतन 320 घन सेमी है। बड़े शंकु का आयतन कितना है?

उत्तर: पृष्ठ 16 : 25 में हैं, तो लंबाइयाँ 4 : 5 में होंगी और आयतन 64 : 125 में। बड़े शंकु का आयतन $320 \times \frac{125}{64} = 5 \times 125$ = 625 घन सेमी है।

तालिका याद हो, तो इसमें लगभग 15 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 3

दो बेलनों की त्रिज्याओं का अनुपात 2 : 3 है और उनकी ऊँचाइयों का अनुपात 9 : 5 है। पहले बेलन का आयतन 1232 घन सेमी है। दूसरे बेलन का आयतन और दोनों बेलनों के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आयतन $r^2h$ के हिसाब से चलता है, तो आयतनों का अनुपात $4 \times 9 : 9 \times 5 = 36 : 45 = 4 : 5$ है। इसलिए दूसरा बेलन $1232 \times \frac{5}{4}$ = 1540 घन सेमी का होगा। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $rh$ के हिसाब से चलता है, तो उनका अनुपात $2 \times 9 : 3 \times 5$ = 6 : 5 है।

दोनों भाग मिलाकर लगभग 20 सेकंड चाहिए।

प्रश्न 4

एक शंकु की त्रिज्या में 20% की वृद्धि और उसकी ऊँचाई में 30% की कमी की जाती है। उसके आयतन में प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आयतन में त्रिज्या दो बार आती है, इसलिए त्रिज्या वाला परिवर्तन दो बार लगाते हैं। $20 + 20 + \frac{20 \times 20}{100} = 44$। अब इसके साथ ऊँचाई की कमी लेते हैं, $44 - 30 + \frac{44 \times (-30)}{100} = 14 - 13.2 = 0.8$। तो आयतन 0.8% बढ़ता है। गुणकों से भी यही आता है, $1.44 \times 0.7 = 1.008$।

पूरा हल लगभग 15 सेकंड में हो जाता है।

प्रश्न 5

एक घनाभ के एक ही कोने पर मिलने वाले तीन फलकों के क्षेत्रफल 120 वर्ग सेमी, 72 वर्ग सेमी और 60 वर्ग सेमी हैं। उसका आयतन और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आयतन $V = \sqrt{120 \times 72 \times 60} = \sqrt{518400}$ = 720 घन सेमी है। घनाभ में हर फलक का एक जोड़ीदार फलक सामने होता है, तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल इन तीनों फलकों का ठीक दोगुना होगा। यानी $2 \times (120 + 72 + 60)$ = 504 वर्ग सेमी। किनारे पूछे जाएँ, तो वे $\frac{720}{120} = 6$, $\frac{720}{72} = 10$ और $\frac{720}{60} = 12$ सेमी हैं।

आयतन और पृष्ठ, दोनों करीब 20 सेकंड में निकल आते हैं।

प्रश्न 6

एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई का योग 25 सेमी है तथा उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 400 वर्ग सेमी है। उसका विकर्ण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सर्वसमिका से $d^2 = 25^2 - 400 = 625 - 400 = 225$, तो विकर्ण 15 सेमी है। जाँच के लिए 10 सेमी × 10 सेमी × 5 सेमी वाला डिब्बा लीजिए। यह दोनों शर्तें पूरी करता है।

यह लगभग 10 सेकंड का प्रश्न है।

प्रश्न 7

एक कमरा 12 मीटर लंबा, 8 मीटर चौड़ा और 4 मीटर ऊँचा है। उसमें 2 मीटर × 1.25 मीटर माप का एक दरवाज़ा और प्रत्येक 1.5 मीटर × 1 मीटर माप की दो खिड़कियाँ हैं। उसकी दीवारों पर 75 सेमी चौड़ा कागज़ लगाना है, जिसका मूल्य ₹15 प्रति मीटर है। कुल खर्च ज्ञात कीजिए।

उत्तर: चार दीवारें $= 2 \times (12 + 8) \times 4 = 160$ वर्ग मीटर। दरवाज़ा और दोनों खिड़कियाँ मिलाकर $2.5 + 3 = 5.5$ वर्ग मीटर हैं, तो कागज़ 154.5 वर्ग मीटर पर लगेगा। कागज़ 0.75 मीटर चौड़ा है, इसलिए उसकी लंबाई $\frac{154.5}{0.75} = 206$ मीटर चाहिए। खर्च $206 \times 15$ = ₹3,090 होगा।

प्रश्न थोड़ा लंबा है, तो करीब 30 सेकंड लग जाते हैं।

प्रश्न 8

5 सेमी किनारे वाले तीन घनों को सिरे से सिरा मिलाकर जोड़ा जाता है। इस प्रकार बने घनाभ का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, और यह भी बताइए कि यह तीनों घनों के संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफलों के योग से कितना कम है।

उत्तर: एक पंक्ति में जुड़े घनों वाला नियम लगाते हैं। $(4 \times 3 + 2) \times 25 = 14 \times 25$ = 350 वर्ग सेमी। तीनों घन अलग-अलग होते, तो उनका पृष्ठ $3 \times 150 = 450$ वर्ग सेमी होता। यानी घनाभ का पृष्ठ 100 वर्ग सेमी कम है, क्योंकि दो जोड़ों पर चार फलक छिप गए।

इतना हिसाब करीब 10 सेकंड में हो जाता है।

प्रश्न 9

एक शंकु की तिर्यक ऊँचाई 37 सेमी और उसके आधार की त्रिज्या 12 सेमी है। उसका आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 12-35-37 एक त्रिक है, तो ऊँचाई 35 सेमी है। अब $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 144 \times 35 = 22 \times 48 \times 5$ = 5280 घन सेमी।

त्रिक दिख जाए, तो लगभग 15 सेकंड में उत्तर आ जाता है।

प्रश्न 10

एक शंकु, एक अर्धगोला और एक बेलन समान आधारों पर खड़े हैं, तथा शंकु और बेलन की ऊँचाई आधार की त्रिज्या के बराबर है। तीनों का कुल आयतन 58212 घन सेमी है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: तीनों आयतनों को $\pi r^3$ के तिहाइयों में गिनें, तो वे 1, 2 और 3 तिहाई हैं। कुल 6 तिहाई हुए, यानी कुल आयतन $2\pi r^3$ है। तो $r^3 = 58212 \times \frac{7}{44} = 9261$, और त्रिज्या 21 सेमी है।

पूरे हल के लिए 20 सेकंड के आसपास रखिए।

प्रश्न 11

6 सेमी त्रिज्या और 24 सेमी ऊँचाई वाले धातु के एक ठोस शंकु को पिघलाकर 1.5 सेमी त्रिज्या वाले गोले बनाए जाते हैं। कितने गोले बनेंगे?

उत्तर: शंकु का आयतन $\frac{1}{3}\pi \times 36 \times 24 = 288\pi$ है और हर गोले का $\frac{4}{3}\pi \times 3.375 = 4.5\pi$। तो गोलों की संख्या $= \frac{288}{4.5}$ = 64 होगी।

ऐसे प्रश्न में लगभग 15 सेकंड लगने चाहिए।

प्रश्न 12

9 सेमी व्यास वाले ताँबे के एक गोले को खींचकर 3 मिमी व्यास वाला तार बनाया जाता है। तार कितना लंबा है?

उत्तर: गोले की त्रिज्या $R = 4.5$ सेमी है। तार का व्यास 3 मिमी है, तो उसकी त्रिज्या 0.15 सेमी हुई। तार की लंबाई $= \frac{4 \times 4.5^3}{3 \times 0.15^2} = \frac{121.5}{0.0225} = 5400$ सेमी है, यानी 54 मीटर।

इकाई बदलने समेत इसमें करीब 20 सेकंड का समय जाता है।

प्रश्न 13

22 मीटर × 14 मीटर माप की एक समतल छत पर 5 सेमी वर्षा होती है, और उसका सारा पानी 2.8 मीटर व्यास वाली एक बेलनाकार टंकी में चला जाता है। टंकी में जल स्तर कितना ऊपर उठेगा?

उत्तर: छत पर गिरे पानी का आयतन $= 22 \times 14 \times 0.05 = 15.4$ घन मीटर है। टंकी के आधार का क्षेत्रफल $\frac{22}{7} \times 1.4^2 = 6.16$ वर्ग मीटर है। तो जल स्तर $\frac{15.4}{6.16}$ = 2.5 मीटर ऊपर उठेगा।

छत से टंकी तक का पूरा हिसाब लगभग 20 सेकंड का है।

प्रश्न 14

14 सेमी आंतरिक व्यास वाले एक पाइप से 5 किमी/घंटा की चाल से पानी 50 मीटर लंबी और 44 मीटर चौड़ी एक टंकी में बहता है। टंकी में जल स्तर 7 सेमी ऊपर उठने में कितना समय लगेगा?

उत्तर: एक घंटे में पाइप से जितना पानी आता है, वह 0.07 मीटर त्रिज्या और 5000 मीटर लंबाई वाले बेलन जितना है। यानी $\frac{22}{7} \times 0.0049 \times 5000 = 77$ घन मीटर। टंकी में जल स्तर 7 सेमी उठाने के लिए $50 \times 44 \times 0.07 = 154$ घन मीटर पानी चाहिए। तो समय $= \frac{154}{77}$ = 2 घंटे।

इकाइयाँ कई हैं, फिर भी यह 25 सेकंड के आसपास हो जाना चाहिए।

प्रश्न 15

6 सेमी व्यास वाले एक बेलनाकार बीकर में कुछ पानी भरा है। जल स्तर 4 सेमी ऊपर उठाने के लिए उसमें 3 सेमी व्यास वाले कितने कंचे डालने होंगे?

उत्तर: बीकर की त्रिज्या 3 सेमी है, कंचे की 1.5 सेमी, और जल स्तर 4 सेमी उठाना है। इन्हें कंचों की संख्या वाले सूत्र में रख देते हैं। $n = \frac{R^2h}{\frac{4}{3}r^3} = \frac{9 \times 4}{\frac{4}{3} \times 3.375} = \frac{36}{4.5}$ = 8 कंचे।

यह भी करीब 15 सेकंड में निपट जाता है।

प्रश्न 16

लोहे का एक पाइप 42 सेमी लंबा है। उसका बाहरी व्यास 16 सेमी और मोटाई 1 सेमी है। यदि 1 घन सेमी लोहे का भार 8 ग्राम है, तो पाइप का भार ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बाहरी त्रिज्या $R = 8$ है, और मोटाई घटाने पर आंतरिक त्रिज्या $r = 7$। धातु का आयतन $= \frac{22}{7} \times (8 + 7)(8 - 7) \times 42 = 22 \times 15 \times 6 = 1980$ घन सेमी है। भार $= 1980 \times 8 = 15840$ ग्राम, यानी 15.84 किग्रा।

आयतन से भार तक पहुँचने में लगभग 20 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 17

5400 घन सेमी आयतन वाले एक शंकु को उसके आधार के समांतर दो तलों द्वारा बराबर ऊँचाई वाले तीन टुकड़ों में काटा जाता है। बीच वाले टुकड़े का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बराबर ऊँचाई वाले तीन टुकड़े आयतन में 1 : 7 : 19 होते हैं, यानी कुल 27 भाग। बीच वाला टुकड़ा $\frac{7}{27} \times 5400$ = 1400 घन सेमी का है।

इसके लिए लगभग 10 सेकंड काफ़ी हैं।

प्रश्न 18

35 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त से $144^\circ$ कोण वाला एक त्रिज्यखंड काटा जाता है और उसे मोड़कर एक शंकु बनाया जाता है। शंकु की त्रिज्या और उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $r = 35 \times \frac{144}{360} = 35 \times 0.4$ = 14 सेमी। शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल के बराबर है, यानी $0.4 \times 3850$ = 1540 वर्ग सेमी। जाँच भी कर लेते हैं, $\pi rl = \frac{22}{7} \times 14 \times 35 = 1540$।

दोनों भाग लगभग 10 सेकंड में हो जाते हैं।

प्रश्न 19

21 सेमी × 28 सेमी × 35 सेमी माप वाले लकड़ी के एक घनाभ से काटे जा सकने वाले सबसे बड़े गोले का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: गोले का व्यास सबसे छोटे किनारे से बड़ा नहीं हो सकता, और सबसे छोटा किनारा 21 सेमी है। तो गोले की त्रिज्या 10.5 सेमी है, और तालिका से आयतन 4851 घन सेमी। कुछ लोग त्रिज्या 17.5 सेमी ले लेते हैं। पर तब गोले को हर दिशा में 35 सेमी चौड़ा होना पड़ेगा, और 21 सेमी वाली दिशा में इतनी जगह ही नहीं है।

सबसे छोटा किनारा पहचान लें, तो यह करीब 10 सेकंड में हो जाता है।