बेलन और खोखले बेलन

बेलन और उसका आयतन

ड्रम, डिब्बे, पाइप, खंभे और सड़क के रोलर, ये सब बेलन हैं। लंब वृत्तीय बेलन (right circular cylinder) में दो बराबर वृत्ताकार सिरे होते हैं, जो बीच में एक वक्र पृष्ठ से जुड़े रहते हैं। दोनों सिरों के केंद्रों से होकर जो रेखा जाती है, उसे अक्ष कहते हैं। अक्ष दोनों सिरों पर लंब होता है।

किसी बेलन के लिए बस दो माप चाहिए, आधार की त्रिज्या r और ऊँचाई h। इन्हीं दो से पूरा बेलन तय हो जाता है।

अब बेलन को एक जैसे सिक्कों की गड्डी की तरह सोचिए। हर सिक्के का क्षेत्रफल आधार के क्षेत्रफल $\pi r^2$ के बराबर है, और गड्डी की ऊँचाई h है। तो आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई। घनाभ और प्रिज्म में भी यही नियम लगता है।

$$V = \pi r^2 h$$

जैसे r = 7 सेमी और h = 10 सेमी हो, तो आयतन $\frac{22}{7} \times 49 \times 10 = 1540$ घन सेमी होगा। अब r = 5 सेमी और h = 8 सेमी लीजिए। विकल्पों में $\pi$ लिखा हो, तो आयतन $200\pi$ घन सेमी ही रहने दीजिए। 3.14 लेने पर यही 628 घन सेमी आता है।

जब व्यास दिया हो: वर्ग करने से पहले व्यास को आधा कर लीजिए। या फिर सीधे $V = \frac{\pi d^2 h}{4}$ लगाइए। मान लीजिए किसी टंकी का व्यास 1.4 मीटर और ऊँचाई 2.5 मीटर है। तो r = 0.7 मीटर, और आयतन $\frac{22}{7} \times 0.49 \times 2.5 = 3.85$ घन मीटर है। कई छात्र 1.4 मीटर को ही त्रिज्या मान लेते हैं। तब 15.4 घन मीटर आता है, जो सही मान का चार गुना है।

लीटर में धारिता: 1 लीटर = 1000 घन सेमी, और 1 घन मीटर = 1000 लीटर। यह "घनाभ और घन" वाले खंड में आ चुका है। ऊपर वाली टंकी में 3.85 × 1000 = 3850 लीटर पानी आएगा, और 1540 घन सेमी वाले बेलन में 1.54 लीटर। यहाँ एक बात का ध्यान रखिए। त्रिज्या सेमी में हो और ऊँचाई मीटर में, तो गुणा करने से पहले दोनों को एक ही इकाई में बदल लीजिए।

$\pi$ का कौन-सा मान लें: त्रिज्या या व्यास 7 का गुणज हो (या 3.5 का), तो $\frac{22}{7}$ लीजिए। प्रश्न में "$\pi$ = 3.14 लीजिए" लिखा हो, तो 3.14 ही लीजिए। विकल्प $\pi$ के साथ लिखे हों, तो उसे $\pi$ ही रहने दीजिए। अध्याय 13 में भी यही किया था। 7 को शुरू में ही काट लीजिए, जैसे $\frac{22}{7} \times 49 = 154$। यह r = 7 वाले आधार का क्षेत्रफल है, और यह संख्या इस खंड में बार-बार आएगी।

वक्र पृष्ठ और संपूर्ण पृष्ठ

मान लीजिए बेलन के वक्र पृष्ठ को ऊपर से नीचे तक सीधा काट दिया और खोलकर समतल फैला दिया। तो हमें एक आयत मिलता है। आयत की एक भुजा बेलन की ऊँचाई h है। दूसरी भुजा पहले आधार के चारों ओर लिपटी हुई थी, इसलिए उसकी लंबाई आधार की परिधि $2\pi r$ के बराबर है।

इस आयत का क्षेत्रफल ही बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (curved surface area, CSA) है।

$$\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} = 2\pi rh$$

बेलन बंद हो, तो उसके दो वृत्ताकार सिरे भी होते हैं, और हर सिरे का क्षेत्रफल $\pi r^2$ है। इन्हें भी जोड़ दें, तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (total surface area, TSA) मिलता है।

$$\text{संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(r + h)$$

उदाहरण के लिए r = 7 सेमी और h = 10 सेमी लीजिए। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 10 = 440$ वर्ग सेमी है। दोनों सिरे 2 × 154 = 308 वर्ग सेमी के हैं। कुल मिलाकर 748 वर्ग सेमी हुआ। गुणनखंड वाले रूप से यह और जल्दी निकलता है। यहाँ $2\pi r = 44$ है और r + h = 17, तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 44 × 17 = 748 वर्ग सेमी।

पहले पृष्ठ गिनिए: कोई भी गणना करने से पहले यह तय कर लीजिए कि वस्तु के कौन-कौन से पृष्ठ हैं।

मान लीजिए ऊपर से खुली एक टंकी में r = 7 सेमी और h = 10 सेमी है। इसमें एक ही सिरा गिनेंगे, तो पृष्ठीय क्षेत्रफल 440 + 154 = 594 वर्ग सेमी होगा।

दो काम के संबंध: संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल में से वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल घटाएँ, तो $2\pi r^2$ बचता है। यह केवल दोनों सिरों का क्षेत्रफल है। इसलिए अगर प्रश्न में यह अंतर दिया हो, तो त्रिज्या सीधे निकल आती है। दूसरा संबंध इन दोनों के अनुपात का है।

$$\frac{\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}}{\text{संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल}} = \frac{h}{r + h}$$

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का आधा हो, तो h = r होगा। और $\frac{2}{3}$ हो, तो h = 2r।

[SSC टिप] संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल वाले प्रश्न के विकल्पों में प्रायः दो गलत मान भी दिए होते हैं। एक केवल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होता है (ऊपर के उदाहरण में 440 वर्ग सेमी), और दूसरा उसमें एक सिरा जोड़कर आया मान (594 वर्ग सेमी)। इसलिए पहले गिन लीजिए कि वस्तु के सचमुच कितने सिरे हैं, फिर जोड़िए।

त्रिज्या या ऊँचाई ज्ञात करना

ज़्यादातर प्रश्नों में दो बातें दी होती हैं और तीसरी पूछी जाती है। ऐसे में पहले त्रिज्या निकालिए। बाकी सब उसी से निकल आता है।

• आयतन और ऊँचाई दी हों: $r^2 = \frac{V}{\pi h}$ लगाइए। जैसे आयतन 6160 घन सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है, तो $r^2 = \frac{6160 \times 7}{22 \times 10} = 196$, यानी r = 14 सेमी।
• वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और ऊँचाई दी हों: $r = \frac{\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}}{2\pi h}$ लगाइए। जैसे वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 1320 वर्ग सेमी और h = 15 सेमी है, तो $r = \frac{1320 \times 7}{44 \times 15} = 14$ सेमी।
• आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल दिए हों: एक को दूसरे से भाग दीजिए, $\frac{V}{\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}} = \frac{\pi r^2 h}{2\pi rh} = \frac{r}{2}$। मतलब $r = \frac{2V}{\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}}$। जैसे V = 4620 घन सेमी और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 660 वर्ग सेमी है, तो $r = \frac{9240}{660} = 14$ सेमी। फिर $h = \frac{660}{88} = 7.5$ सेमी। ऊँचाई का अनुमान कहीं नहीं लगाना पड़ा।
• संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और r + h दिए हों: संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi r(r + h)$ होता है, तो कुल को r + h से भाग दीजिए। $2\pi r$ मिल जाएगा। जैसे संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 2200 वर्ग सेमी और r + h = 25 सेमी है, तो $2\pi r = 88$, यानी r = 14 सेमी और h = 11 सेमी।

त्रिज्या और ऊँचाई अनुपात में हों: तब r = ak और h = bk लेकर सूत्र में रख दीजिए। आयतन दिया हो, तो $k^3$ मिलता है, k नहीं। मान लीजिए r : h = 2 : 3 है और आयतन 12936 घन सेमी है। तब

$$\pi (2k)^2 (3k) = 12\pi k^3 = 12936 \Rightarrow k^3 = \frac{12936 \times 7}{12 \times 22} = 343$$

तो k = 7, यानी r = 14 सेमी और h = 21 सेमी। अनुपात के साथ कोई पृष्ठीय क्षेत्रफल दिया हो, तो $k^2$ मिलता है। यहाँ वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi(2k)(3k) = 12\pi k^2$ होगा।

शब्दों में दिए संबंध: कभी प्रश्न में लिखा होता है कि वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल दोनों सिरों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है। इसे $2\pi rh = 2\pi r^2$ लिखिए, तो h = r आता है। "ऊँचाई व्यास की तीन गुनी है" का मतलब है h = 6r। हिसाब शुरू करने से पहले ऐसे वाक्य को r वाले एक समीकरण में बदल लीजिए।

दो बेलनों की तुलना

आयतन $\pi r^2 h$ होता है और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi rh$। तो दो बेलनों की तुलना ऐसे होती है।

$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^2 h_1}{r_2^2 h_2} \qquad \frac{\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}_1}{\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}_2} = \frac{r_1 h_1}{r_2 h_2}$$

$\pi$ ऊपर-नीचे से कट जाता है, इसलिए अनुपात वाले प्रश्न में उसका मान कभी नहीं चाहिए।

मान लीजिए त्रिज्याएँ 2 : 3 में हैं और ऊँचाइयाँ 5 : 3 में। तो आयतन $4 \times 5 : 9 \times 3 = 20 : 27$ में होंगे, और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \times 5 : 3 \times 3 = 10 : 9$ में। ध्यान दीजिए, त्रिज्याओं के अनुपात का वर्ग केवल आयतन में लगता है।

बराबर आयतन: दोनों बेलनों के आयतन बराबर हों, तो $r_1^2 h_1 = r_2^2 h_2$। यानी त्रिज्याओं के वर्गों का अनुपात उलट दीजिए, ऊँचाइयों का अनुपात मिल जाएगा।

$$\frac{h_1}{h_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$$

जैसे त्रिज्याएँ 3 : 4 में हों और आयतन बराबर हों, तो ऊँचाइयाँ 16 : 9 में होंगी। यह ठीक भी लगता है, क्योंकि पतले बेलन को ज़्यादा ऊँचा होना ही पड़ेगा।

बराबर वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल: तब $r_1 h_1 = r_2 h_2$ होता है। त्रिज्याएँ 3 : 4 में हों, तो ऊँचाइयाँ 4 : 3 में होंगी। यहाँ वर्ग कहीं नहीं आता।

आयतनों से त्रिज्याओं का अनुपात: मान लीजिए आयतन 9 : 8 में हैं और ऊँचाइयाँ 1 : 2 में। तो $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{8} \times \frac{2}{1} = \frac{9}{4}$, और त्रिज्याएँ 3 : 2 में हैं। वर्गमूल सबसे अंत में लीजिए।

दोगुना करने पर: त्रिज्या और ऊँचाई दोनों दोगुनी हो जाएँ, तो आयतन $2^2 \times 2 = 8$ गुना हो जाता है और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4 गुना। केवल त्रिज्या दोगुनी हो, तो आयतन 4 गुना होता है। केवल ऊँचाई दोगुनी हो, तो आयतन 2 गुना। किसी भी ठोस को हर ओर से एक समान बड़ा करने पर यही बात लागू होती है। इसे "संयुक्त ठोस, पिघलाना और दोबारा ढालना" वाले खंड में देखेंगे।

पर याद रखिए, केवल अनुपातों से संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफलों की तुलना नहीं हो सकती, क्योंकि $r(r + h)$ में r और h आपस में जुड़कर आते हैं। संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात निकालना हो, तो r और h के असली मान चाहिए।

आयताकार चादर को मोड़कर बेलन

किसी आयताकार चादर को तब तक मोड़ते जाइए, जब तक उसके आमने-सामने के दो किनारे आपस में न मिल जाएँ। आपके हाथ में एक बेलन आ जाएगा, जो दोनों सिरों पर खुला है और अंदर से खाली। जो किनारा घूमकर गोल हुआ, उसकी लंबाई आधार की परिधि है। दूसरा किनारा ऊँचाई बनता है। चादर को किसी भी ओर से मोड़ें, चादर का क्षेत्रफल ही बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होता है।

उदाहरण के लिए 44 सेमी × 22 सेमी की एक चादर लीजिए।

44 सेमी वाली भुजा गोल घूमे: प्रश्न में इसे "लंबाई के अनुदिश मोड़ा गया" लिखा जाता है। तब $2\pi r = 44$, यानी r = 7 सेमी, और ऊँचाई 22 सेमी है। आयतन = 154 × 22 = 3388 घन सेमी।

22 सेमी वाली भुजा गोल घूमे: प्रश्न में इसे "चौड़ाई के अनुदिश मोड़ा गया" लिखा जाता है। तब $2\pi r = 22$, यानी r = 3.5 सेमी, और ऊँचाई 44 सेमी है। आयतन = 38.5 × 44 = 1694 घन सेमी।

दोनों बार वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 44 × 22 = 968 वर्ग सेमी ही है, पर आयतन अलग-अलग हैं। आयतनों का अनुपात 3388 : 1694 = 2 : 1 है, जो ठीक 44 : 22 के बराबर है।

सामान्य रूप में, अगर भुजा a गोल घूमे और भुजा b ऊँचाई बने, तो

$$V = \pi \left(\frac{a}{2\pi}\right)^2 b = \frac{a^2 b}{4\pi}$$

भुजाएँ आपस में बदलने पर दोनों आयतन a : b के अनुपात में होते हैं। लंबी भुजा गोल घूमे, तो बेलन बड़ा होता है।

प्रश्न की भाषा पढ़िए: "लंबाई के अनुदिश मोड़ा गया" या "लंबाई को घुमाकर मोड़ा गया" का मतलब है कि लंबाई परिधि बनी। "इस तरह मोड़ा कि छोटे किनारे आपस में मिलें" में भी लंबी भुजा ही गोल घूमती है। चादर कभी ऐसे नहीं मुड़ती कि कोई भुजा त्रिज्या या व्यास बन जाए। इसलिए पहली पंक्ति हमेशा यही लिखिए, $2\pi r$ = गोल घूमने वाली भुजा। $\pi = \frac{22}{7}$ के साथ इसका मतलब है $r = \frac{7 \times \text{भुजा}}{44}$।

खोखले बेलन और पाइप: धातु का आयतन

पाइप हो, खोखला खंभा हो या धातु की नली, हर एक खोखला बेलन (hollow cylinder) है। इसमें दो त्रिज्याएँ होती हैं, बाहरी त्रिज्या R और आंतरिक त्रिज्या r। धातु इन दोनों के बीच की जगह में होती है। यह जगह $\pi(R^2 - r^2)$ क्षेत्रफल वाला एक वलय है, जो पाइप की पूरी लंबाई h में एक जैसा बना रहता है।

$$\text{धातु का आयतन} = \pi(R^2 - r^2)h = \pi(R + r)(R - r)h$$

पाइप की दीवार की मोटाई R − r होती है। व्यास दिए हों, तो पहले उन्हें आधा कीजिए। जैसे बाहरी व्यास 8 सेमी और आंतरिक व्यास 6 सेमी है, तो R = 4 सेमी और r = 3 सेमी। मोटाई 1 सेमी है, 2 सेमी नहीं।

गुणनखंड वाला रूप: इससे समय बचता है। मान लीजिए लोहे का एक पाइप 70 सेमी लंबा है, जिसमें R = 4 सेमी और r = 3 सेमी। तो उसमें लोहा $\frac{22}{7} \times 7 \times 1 \times 70 = 1540$ घन सेमी है। यहाँ वर्ग करने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

भार: भार = धातु का आयतन × 1 घन सेमी धातु का भार। अगर 1 घन सेमी लोहे का भार 8 ग्राम है, तो इस पाइप का भार 1540 × 8 = 12320 ग्राम, यानी 12.32 किग्रा होगा।

आयतन से आंतरिक त्रिज्या या मोटाई: मान लीजिए एक पाइप 21 सेमी लंबा है, उसकी बाहरी त्रिज्या 13 सेमी है और उसमें 1650 घन सेमी धातु है। तो

$$R^2 - r^2 = \frac{1650 \times 7}{22 \times 21} = 25$$

अब $r^2 = 169 - 25 = 144$, यानी r = 12 सेमी। मोटाई 1 सेमी हुई।

परिधियों से: बाहरी और आंतरिक परिधियाँ दी हों, तो $C = 2\pi r$ से R और r निकाल लीजिए। इससे भी छोटा रास्ता है। दोनों परिधियों का अंतर $2\pi(R - r)$ होता है, तो एक ही कदम में मोटाई मिल जाती है।

धातु के लिए हमेशा वर्गों का अंतर लीजिए, अंतर का वर्ग कभी नहीं। कोई $\pi(R - r)^2 h$ लिख दे, तो वह दीवार जितनी चौड़ी एक पतली ठोस छड़ का आयतन होगा। यह सही उत्तर से बहुत छोटा आता है।

पाइप के पृष्ठ

पाइप के चार पृष्ठ होते हैं, बाहरी वक्र पृष्ठ, आंतरिक वक्र पृष्ठ और दोनों सिरों पर एक-एक समतल वलय।

इनके क्षेत्रफल ये हैं।

• बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi Rh$
• आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi rh$
• दोनों सिरों के वलयों का क्षेत्रफल = $2\pi(R^2 - r^2)$
• संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi Rh + 2\pi rh + 2\pi(R^2 - r^2) = 2\pi(R + r)(h + R - r)$

ऊपर वाला लोहे का पाइप फिर से लीजिए, जिसमें R = 4 सेमी, r = 3 सेमी और h = 70 सेमी है। बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 1760 वर्ग सेमी है और आंतरिक 1320 वर्ग सेमी। दोनों सिरों के वलय $2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 44$ वर्ग सेमी के हैं। कुल 3124 वर्ग सेमी हुआ। गुणनखंड वाले रूप से यह सीधे आ जाता है, $2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 71 = 44 \times 71 = 3124$ वर्ग सेमी।

शब्दों से पृष्ठ पहचानिए: प्रश्न की भाषा से ही पता चलता है कि कौन-से पृष्ठ लेने हैं।

• "अंदर और बाहर से पेंट किया गया" लिखा हो और नली दोनों सिरों पर खुली हो, तो बाहरी और आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल जोड़िए। यह $2\pi(R + r)h$ है, जो ऊपर वाले पाइप में 3080 वर्ग सेमी आता है।
• "पाइप का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल" पूछा हो, तो चारों पृष्ठ लीजिए, यानी 3124 वर्ग सेमी।
• "बाहर से पॉलिश किया गया" या "बाहरी पृष्ठ" लिखा हो, तो केवल $2\pi Rh$ लीजिए।

दोनों वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अंतर: यह अंतर $2\pi(R - r)h$ होता है, जो केवल मोटाई और लंबाई पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, 14 सेमी लंबे एक पाइप में बाहरी और आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अंतर 88 वर्ग सेमी है। तो मोटाई $\frac{88}{2\pi \times 14} = 1$ सेमी है। इसी तरह योग $2\pi(R + r)h$ से R + r मिलता है। योग और अंतर दोनों दिए हों, तो R और r अलग-अलग निकल आते हैं।

[SSC टिप] खोखले बेलन के सिरे वलय होते हैं, पूरे वृत्त नहीं। संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल वाले प्रश्न में छात्र अक्सर सिरों के लिए $2\pi R^2$ जोड़ देते हैं। सही तरीका है छेद को घटाना, यानी $2\pi(R^2 - r^2)$ लेना।

रोलर, खंभे और पेंट का खर्च

रोलर: बगीचे या सड़क का रोलर ज़मीन पर लेटा हुआ एक बेलन ही है। एक चक्कर में उसका पूरा वक्र पृष्ठ एक बार ज़मीन को छूता है। इसलिए एक चक्कर में जितनी ज़मीन दबती है, उसका क्षेत्रफल रोलर के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है।

$$\text{समतल हुआ क्षेत्रफल} = 2\pi rh \times \text{चक्करों की संख्या}$$

यहाँ h रोलर की लंबाई है। यही दबाई गई पट्टी की चौड़ाई भी है।

मान लीजिए रोलर का व्यास 84 सेमी और लंबाई 1.2 मीटर है। तो r = 0.42 मीटर, और एक चक्कर में $2 \times \frac{22}{7} \times 0.42 \times 1.2 = 3.168$ वर्ग मीटर ज़मीन समतल होती है। 500 चक्करों में 1584 वर्ग मीटर समतल होगी। ₹2.50 प्रति वर्ग मीटर की दर से इसका खर्च ₹3,960 आएगा।

उलटा पूछा जाए, तो A क्षेत्रफल वाली ज़मीन के लिए $\frac{A}{2\pi rh}$ चक्कर लगेंगे। ज़मीन वर्ग मीटर में नपी हो, तो r और h को पहले मीटर में बदल लीजिए।

पेंट और पॉलिश: खर्च = क्षेत्रफल × दर। यहाँ बस यह तय करना होता है कि वस्तु के कौन-से पृष्ठ खुले हैं, यानी दिखते हैं।

• खंभा फ़र्श पर खड़ा होता है और छत को थामे रहता है, इसलिए पेंट केवल उसके वक्र पृष्ठ पर होगा। मान लीजिए दस खंभे हैं, हर एक का व्यास 70 सेमी और ऊँचाई 4 मीटर। एक खंभे का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \times \frac{22}{7} \times 0.35 \times 4 = 8.8$ वर्ग मीटर है, तो दसों का 88 वर्ग मीटर। ₹12 प्रति वर्ग मीटर की दर से खर्च ₹1,056 होगा।
• कुएँ की भीतरी दीवार पर पलस्तर करना हो, तो वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल लीजिए। $\pi r^2$ तभी जोड़िए, जब फ़र्श पर भी पलस्तर करना हो।
• बंद ड्रम को चारों ओर से पेंट करना हो, तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल लीजिए। ऊपर से खुली टंकी को अंदर से पेंट करना हो, तो वक्र पृष्ठ और फ़र्श, दोनों का क्षेत्रफल लीजिए।

यहाँ एक गलती अक्सर होती है। दर प्रति वर्ग मीटर में हो और माप सेमी में, तो क्षेत्रफल को वर्ग मीटर में बदलना पड़ता है। 10,000 वर्ग सेमी = 1 वर्ग मीटर। यह बदलाव दर से गुणा करने से पहले कीजिए, बाद में नहीं।

पाइप में बहता पानी

मान लीजिए किसी पाइप की आंतरिक त्रिज्या r है और उसमें से पानी v की चाल से निकल रहा है। जो पानी बाहर आता है, वह r त्रिज्या वाला एक लंबा बेलन ही है। समय t में पानी का अगला सिरा v × t दूरी आगे पहुँच जाता है। यही पानी के इस बेलन की लंबाई है।

$$\text{प्रति इकाई समय आयतन} = \pi r^2 \times \text{चाल}$$

पहले इकाइयाँ: पाइप की त्रिज्या प्रायः सेमी में होती है, और चाल किमी/घंटा या मीटर/सेकंड में। दोनों लंबाइयों को एक ही इकाई में लाइए, और समय वही रखिए जो प्रश्न माँगता है। जैसे 4 किमी/घंटा का मतलब है एक घंटे में 4000 मीटर, यानी एक मिनट में $\frac{4000}{60}$ मीटर। 2 मीटर/सेकंड का मतलब है एक सेकंड में 200 सेमी। चाल की इकाइयाँ बदलना अध्याय 10 में विस्तार से आया है।

टंकी में जल स्तर की वृद्धि: मान लीजिए 7 सेमी आंतरिक त्रिज्या वाले एक पाइप से 4 किमी/घंटा की चाल से पानी, 7 मीटर त्रिज्या वाली एक बेलनाकार टंकी में आ रहा है। एक घंटे में पाइप से 4000 मीटर लंबा पानी का स्तंभ निकलता है। उसका आयतन $\frac{22}{7} \times 0.07^2 \times 4000 = 61.6$ घन मीटर है। टंकी का आधार $\frac{22}{7} \times 49 = 154$ वर्ग मीटर है। तो जल स्तर हर घंटे $\frac{61.6}{154} = 0.4$ मीटर ऊपर उठता है। टंकी को 2 मीटर की गहराई तक भरने में 5 घंटे लगेंगे।

भरने का समय, लीटर में: मान लीजिए पाइप की आंतरिक त्रिज्या 3.5 सेमी है और पानी 2 मीटर/सेकंड से बहता है। हर सेकंड पानी का 200 सेमी लंबा स्तंभ बाहर आता है। इसका आयतन $\frac{22}{7} \times 12.25 \times 200 = 7700$ घन सेमी, यानी 7.7 लीटर है। 4620 लीटर की टंकी भरने में $\frac{4620}{7.7} = 600$ सेकंड, यानी 10 मिनट लगेंगे।

ये दो पंक्तियाँ याद रखिए।

$$\text{भरने का समय} = \frac{\text{टंकी का आयतन}}{\text{प्रति इकाई समय बहाव}} \qquad \text{स्तर में वृद्धि} = \frac{\text{आया हुआ पानी}}{\text{टंकी के आधार का क्षेत्रफल}}$$

[SSC टिप] पाइप का व्यास दिया हो, तो उसे आधा कीजिए। व्यास को ही त्रिज्या मान लिया, तो बहाव चार गुना ज़्यादा आएगा और समय चार गुना कम। ये दोनों गलत मान प्रायः विकल्पों में होते हैं।

[Tier 2] कुआँ, तटबंध और खेत पर मिट्टी

कुआँ खोदने पर मिट्टी का एक बेलन बाहर निकलता है। उसका आयतन $\pi r^2 \times$ गहराई होता है। यह मिट्टी कहीं और ढेर कर दी जाए, तब भी उसका आयतन वही रहता है। ढीली मिट्टी थोड़ी फूल जाती है, पर प्रश्नों में इसे नहीं गिना जाता।

कुएँ के चारों ओर मिट्टी: कभी यह मिट्टी कुएँ के मुँह के चारों ओर w चौड़े वलय में समान रूप से फैला दी जाती है। इसे तटबंध (embankment) कहते हैं। तटबंध एक खोखला बेलन है, जिसकी आंतरिक त्रिज्या r और बाहरी त्रिज्या r + w है। खोदी गई मिट्टी और तटबंध की मिट्टी बराबर रखिए।

$$\pi[(r + w)^2 - r^2] \times H = \pi r^2 \times \text{गहराई}$$

$\pi$ दोनों ओर से कट जाता है, इसलिए उसका मान लेने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती। जैसे 4 मीटर व्यास वाला एक कुआँ 21 मीटर गहरा खोदा गया, और उसकी मिट्टी से 3 मीटर चौड़ा तटबंध बना। तो r = 2 मीटर और r + w = 5 मीटर। अब (25 − 4)H = 4 × 21, यानी 21H = 84, और H = 4 मीटर। आयतन निकालकर भी यही आता है। मिट्टी $\frac{22}{7} \times 4 \times 21 = 264$ घन मीटर है और वलय का क्षेत्रफल $\frac{22}{7} \times 21 = 66$ वर्ग मीटर। 264 ÷ 66 = 4।

खेत पर फैली मिट्टी: उठी हुई ऊँचाई = मिट्टी का आयतन ÷ ढका गया क्षेत्रफल। कुआँ खेत के अंदर हो, तो कुएँ के मुँह पर मिट्टी नहीं टिक सकती। तब ढका गया क्षेत्रफल = खेत का क्षेत्रफल − कुएँ का क्षेत्रफल।

जैसे 66 मीटर × 49 मीटर के खेत में 14 मीटर व्यास और 10 मीटर गहराई वाला कुआँ खोदा गया। मिट्टी $\frac{22}{7} \times 49 \times 10 = 1540$ घन मीटर है। ढकने के लिए 3234 − 154 = 3080 वर्ग मीटर बचते हैं। तो खेत $\frac{1540}{3080} = 0.5$ मीटर, यानी 50 सेमी ऊपर उठेगा। पूरे खेत (3234 वर्ग मीटर) से भाग देंगे, तो 48 सेमी से थोड़ा कम आएगा, पर यहाँ वह सही नहीं है।

इसलिए ध्यान से पढ़िए कि मिट्टी कहाँ गई। तटबंध बना हो, तो वलय लीजिए, यानी कुआँ घटाइए। कुआँ खेत के अंदर हो, तो खेत में से कुएँ का क्षेत्रफल कम कीजिए। मिट्टी किसी अलग भूखंड पर फैली हो, तो पूरा क्षेत्रफल लीजिए।

आयतन और पृष्ठ में प्रतिशत परिवर्तन

$V = \pi r^2 h$ में त्रिज्या दो बार आती है और ऊँचाई एक बार। इसलिए त्रिज्या a गुना और ऊँचाई b गुना हो जाए, तो

$$\text{नया आयतन} = a^2 b \times \text{पुराना आयतन} \qquad \text{नया वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} = ab \times \text{पुराना वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}$$

उदाहरण के लिए, त्रिज्या 20% बढ़ी (a = 1.2) और ऊँचाई 10% घटी (b = 0.9)। तो आयतन का गुणक 1.44 × 0.9 = 1.296 है, यानी आयतन में 29.6% वृद्धि हुई। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का गुणक 1.2 × 0.9 = 1.08 है, यानी उसमें 8% वृद्धि हुई। यह अध्याय 3 वाला क्रमिक परिवर्तन का नियम ही है, जो यहाँ तीन बार लगा है, +20%, +20% और −10%।

आयतन वही रखना हो: मान लीजिए त्रिज्या 25% बढ़ गई। तब $r^2$ का मान 1.5625 गुना हो जाता है। आयतन वही रखने के लिए ऊँचाई को $\frac{1}{1.5625} = 0.64$ गुना करना पड़ेगा, यानी 36% कमी। अब उलटा देखिए। त्रिज्या 20% घटे, तो $r^2$ का मान 0.64 गुना रह जाता है। तब ऊँचाई को $\frac{1}{0.64} = 1.5625$ गुना करना होगा, यानी 56.25% वृद्धि।

संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल: $2\pi r(r + h)$ के लिए एक ही गुणक तभी मिलता है, जब r और h एक ही प्रतिशत से बदलें। तब यह वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल की तरह ही बदलता है। r और h अलग-अलग प्रतिशत से बदलें, तो r और h के कोई आसान मान ले लीजिए (r = 10, h = 10 ठीक रहता है), और पहले और बाद के संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालकर उनकी तुलना कीजिए।

प्रतिशत वाले प्रश्नों में $\pi$ या बेलन का असली माप कभी नहीं चाहिए। सारा काम गुणकों से हो जाता है।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

पानी की एक बेलनाकार टंकी का व्यास 2.8 मीटर और ऊँचाई 3 मीटर है। इसमें कितने लीटर पानी आ सकता है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 18,480 लीटर (b) 73,920 लीटर (c) 1,848 लीटर (d) 6,160 लीटर

उत्तर: व्यास 2.8 मीटर है, तो त्रिज्या 1.4 मीटर हुई। आयतन = $\frac{22}{7} \times 1.4 \times 1.4 \times 3 = 18.48$ घन मीटर। एक घन मीटर में 1000 लीटर आते हैं, तो टंकी में (a) 18,480 लीटर पानी आएगा। जल्दबाज़ी में कुछ लोग 2.8 मीटर को ही त्रिज्या मान लेते हैं। तब उत्तर चार गुना, यानी 73,920 लीटर आ जाता है।

प्रश्न 2

10.5 सेमी त्रिज्या और 9.5 सेमी ऊँचाई वाले एक बंद बेलन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 627 वर्ग सेमी (b) 973.5 वर्ग सेमी (c) 1320 वर्ग सेमी (d) 660 वर्ग सेमी

उत्तर: बेलन बंद है, तो दोनों सिरे भी गिनने हैं। संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए $2\pi r(r + h)$ लगाते हैं। यहाँ $2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 10.5 = 66$ और r + h = 20 है। तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 66 × 20 = (c) 1320 वर्ग सेमी। केवल वक्र भाग लेने पर 66 × 9.5 = 627 वर्ग सेमी आता है, पर उसमें दोनों सिरे छूट जाते हैं।

प्रश्न 3

एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 1760 वर्ग सेमी है और उसका आयतन 12320 घन सेमी है। उसकी ऊँचाई कितनी है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 14 सेमी (b) 20 सेमी (c) 10 सेमी (d) 28 सेमी

उत्तर: आयतन को वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल से भाग देते हैं, $\frac{\pi r^2 h}{2\pi rh} = \frac{r}{2}$। यहाँ $\frac{r}{2} = \frac{12320}{1760} = 7$, तो r = 14 सेमी। फिर $2\pi rh = 88h = 1760$, जिससे h = (b) 20 सेमी आता है। 14 सेमी पर रुक जाना गलत है, क्योंकि वह त्रिज्या है और प्रश्न में ऊँचाई पूछी गई है।

प्रश्न 4

एक बेलन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 1232 वर्ग सेमी है, और उसकी त्रिज्या तथा ऊँचाई का योग 28 सेमी है। उसका आयतन कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 1078 घन सेमी (b) 6468 घन सेमी (c) 2156 घन सेमी (d) 3234 घन सेमी

उत्तर: संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi r(r + h)$ होता है, और यहाँ r + h = 28 है। तो $2\pi r \times 28 = 1232$, जिससे $2\pi r = 44$ आता है। मतलब r = 7 सेमी और h = 28 − 7 = 21 सेमी। आयतन = $\frac{22}{7} \times 49 \times 21 = 154 \times 21$ = (d) 3234 घन सेमी।

प्रश्न 5

एक बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई 1 : 2 के अनुपात में हैं, और उसका आयतन 2156 घन सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 924 वर्ग सेमी (b) 616 वर्ग सेमी (c) 1232 वर्ग सेमी (d) 462 वर्ग सेमी

उत्तर: r = k और h = 2k मान लेते हैं। आयतन से $\pi k^2 \times 2k = 2\pi k^3 = \frac{44}{7}k^3 = 2156$, तो $k^3 = 343$ और k = 7। यानी r = 7 सेमी और h = 14 सेमी। संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi r(r + h) = 44 \times 21$ = (a) 924 वर्ग सेमी। 616 वर्ग सेमी केवल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है, जबकि प्रश्न में संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल पूछा गया है।

प्रश्न 6

एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का आधा है, और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 616 वर्ग सेमी है। उसका आयतन कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 2156 घन सेमी (b) 539 घन सेमी (c) 1078 घन सेमी (d) 1232 घन सेमी

उत्तर: दोनों क्षेत्रफलों का अनुपात लिखते हैं, $\frac{\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}}{\text{संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल}} = \frac{h}{r + h} = \frac{1}{2}$। इससे 2h = r + h, यानी h = r। अब संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2\pi r \times 2r = 4\pi r^2 = 616$, तो $r^2 = 49$ और r = 7 सेमी। h भी 7 सेमी है। आयतन = 154 × 7 = (c) 1078 घन सेमी।

प्रश्न 7

दो बेलनों की त्रिज्याएँ 3 : 5 के अनुपात में हैं और उनकी ऊँचाइयाँ 2 : 3 के अनुपात में हैं। उनके आयतनों का अनुपात क्या है? (a) 2 : 5 (b) 6 : 25 (c) 9 : 25 (d) 3 : 5

उत्तर: आयतन $r^2h$ के हिसाब से चलता है। तो अनुपात = $3^2 \times 2 : 5^2 \times 3 = 18 : 75$। दोनों को 3 से भाग देने पर (b) 6 : 25 आता है। 2 : 5 वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों ($rh$) का अनुपात है, आयतनों का नहीं।

प्रश्न 8

दो बेलनों के आयतन समान हैं और उनकी त्रिज्याएँ 2 : 3 के अनुपात में हैं। उनकी ऊँचाइयों का अनुपात क्या है? (a) 3 : 2 (b) 4 : 9 (c) 2 : 3 (d) 9 : 4

उत्तर: आयतन बराबर हैं, तो $r_1^2 h_1 = r_2^2 h_2$, यानी $\frac{h_1}{h_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{9}{4}$। ऊँचाइयाँ (d) 9 : 4 में हैं। जाँच भी कर लेते हैं। पहला बेलन पतला है, तो वही ज़्यादा ऊँचा होना चाहिए, और 9 : 4 में ऐसा ही है।

प्रश्न 9

66 सेमी × 30 सेमी की काग़ज़ की एक आयताकार चादर को उसकी लंबाई के अनुदिश मोड़कर एक खोखला बेलन बनाया जाता है, अर्थात् 66 सेमी वाली भुजा घूमकर गोलाई बनाती है। बेलन का आयतन कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 10,395 घन सेमी (b) 4,725 घन सेमी (c) 20,790 घन सेमी (d) 3,465 घन सेमी

उत्तर: 66 सेमी वाली भुजा परिधि है, तो $2\pi r = 66$, यानी $r = \frac{66 \times 7}{44} = 10.5$ सेमी। 30 सेमी वाली भुजा ऊँचाई है। आयतन = $\frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 \times 30 = 346.5 \times 30$ = (a) 10,395 घन सेमी।

प्रश्न 10

44 सेमी × 33 सेमी की एक चादर को दो अलग-अलग तरीकों से मोड़कर बेलन बनाया जाता है: पहले 44 सेमी वाली भुजा को गोलाई में घुमाकर, फिर 33 सेमी वाली भुजा को गोलाई में घुमाकर। बड़े आयतन और छोटे आयतन का अनुपात क्या है? (a) 16 : 9 (b) 1 : 1 (c) 4 : 3 (d) 64 : 27

उत्तर: भुजा a गोल घूमे और भुजा b ऊँचाई हो, तो आयतन $\frac{a^2b}{4\pi}$ होता है। भुजाएँ बदल दें, तो $\frac{b^2a}{4\pi}$। एक को दूसरे से भाग देने पर अनुपात a : b = 44 : 33 = (c) 4 : 3 आता है। संख्याओं से भी देख लेते हैं। 44 सेमी गोल घूमे, तो r = 7 और h = 33, और आयतन 5082 घन सेमी। 33 सेमी गोल घूमे, तो r = 5.25 और h = 44, और आयतन 3811.5 घन सेमी। दोनों बार वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर है, पर आयतन नहीं, इसलिए 1 : 1 गलत है।

प्रश्न 11

लोहे का एक पाइप 21 सेमी लंबा है। उसका बाहरी व्यास 16 सेमी और आंतरिक व्यास 12 सेमी है। यदि 1 घन सेमी लोहे का भार 7.5 ग्राम है, तो पाइप का भार कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 55.44 किग्रा (b) 13.86 किग्रा (c) 31.68 किग्रा (d) 1.98 किग्रा

उत्तर: पहले त्रिज्याएँ निकालते हैं, R = 8 सेमी और r = 6 सेमी। लोहे का आयतन = $\pi(R + r)(R - r)h = \frac{22}{7} \times 14 \times 2 \times 21 = 1848$ घन सेमी। भार = 1848 × 7.5 = 13860 ग्राम, यानी (b) 13.86 किग्रा। सूत्र में व्यास 16 और 12 ही रख दिए, तो भार चार गुना, यानी 55.44 किग्रा आएगा।

प्रश्न 12

एक खोखला बेलनाकार पाइप 28 सेमी लंबा है और उसकी बाहरी त्रिज्या 12 सेमी है। यदि उसमें 5544 घन सेमी धातु है, तो पाइप की मोटाई कितनी है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 9 सेमी (b) 6 सेमी (c) 1.5 सेमी (d) 3 सेमी

उत्तर: धातु का आयतन $\pi(R^2 - r^2)h$ होता है, तो $R^2 - r^2 = \frac{5544 \times 7}{22 \times 28} = 63$। अब $r^2 = 144 - 63 = 81$, यानी r = 9 सेमी। मोटाई = R − r = 12 − 9 = (d) 3 सेमी।

प्रश्न 13

धातु का एक पाइप 10 सेमी लंबा है। उसकी बाहरी त्रिज्या 7 सेमी और आंतरिक त्रिज्या 3.5 सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 891 वर्ग सेमी (b) 660 वर्ग सेमी (c) 968 वर्ग सेमी (d) 440 वर्ग सेमी

उत्तर: यहाँ बाहरी त्रिज्या R = 7 सेमी और आंतरिक त्रिज्या r = 3.5 सेमी है, और पाइप के चारों पृष्ठ जोड़ने हैं। बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 10 = 440$ है, और आंतरिक $2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 10 = 220$। दोनों सिरों के वलय $2 \times \frac{22}{7} \times (49 - 12.25) = 2 \times \frac{22}{7} \times 36.75 = 231$ हैं। कुल = 440 + 220 + 231 = (a) 891 वर्ग सेमी। गुणनखंड वाले रूप से भी यही आता है, $2\pi(R + r)(h + R - r) = 66 \times 13.5$। 968 वर्ग सेमी तब आता है, जब सिरों को वलय के बजाय पूरे वृत्त मान लिया जाए।

प्रश्न 14

सड़क के एक रोलर का व्यास 1.4 मीटर और लंबाई 2 मीटर है। 750 चक्करों में वह कितना क्षेत्रफल समतल करता है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 13200 वर्ग मीटर (b) 3300 वर्ग मीटर (c) 6600 वर्ग मीटर (d) 8910 वर्ग मीटर

उत्तर: एक चक्कर में रोलर अपने वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल जितनी ज़मीन समतल करता है, यानी $2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times 2 = 8.8$ वर्ग मीटर। 750 चक्करों में 8.8 × 750 = (c) 6600 वर्ग मीटर। रोलर के सिरे कभी ज़मीन को नहीं छूते, इसलिए यहाँ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल नहीं लगेगा। उसे लेने पर 8910 वर्ग मीटर आता है।

प्रश्न 15

बगीचे के एक रोलर की त्रिज्या 35 सेमी और लंबाई 1 मीटर है। 55 मीटर लंबे और 40 मीटर चौड़े एक लॉन को एक बार समतल करने के लिए उसे कितने चक्कर लगाने होंगे? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 500 (b) 1000 (c) 2000 (d) 100

उत्तर: पहले 35 सेमी को 0.35 मीटर में बदल लेते हैं। एक चक्कर में $2 \times \frac{22}{7} \times 0.35 \times 1 = 2.2$ वर्ग मीटर समतल होता है। लॉन का क्षेत्रफल 55 × 40 = 2200 वर्ग मीटर है। तो चक्कर = $\frac{2200}{2.2}$ = (b) 1000।

प्रश्न 16

एक हॉल में 14 बेलनाकार खंभे हैं, जिनमें से प्रत्येक का व्यास 50 सेमी और ऊँचाई 3.5 मीटर है। ₹16 प्रति वर्ग मीटर की दर से उनके वक्र पृष्ठों पर पेंट कराने का खर्च कितना होगा? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) ₹2,464 (b) ₹616 (c) ₹1,320 (d) ₹1,232

उत्तर: खंभे पर केवल वक्र पृष्ठ पेंट हो सकता है, क्योंकि ऊपर और नीचे के सिरे छत और फ़र्श से सटे हैं। r = 0.25 मीटर और h = 3.5 मीटर है, तो एक खंभे का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \times \frac{22}{7} \times 0.25 \times 3.5 = 5.5$ वर्ग मीटर है। 14 खंभों का कुल 77 वर्ग मीटर हुआ। खर्च = 77 × 16 = (d) ₹1,232।

प्रश्न 17

ऊपर से खुली एक बेलनाकार टंकी का आंतरिक व्यास 4.2 मीटर और गहराई 3 मीटर है। ₹50 प्रति वर्ग मीटर की दर से उसके भीतरी पृष्ठ (दीवार और फ़र्श) पर पलस्तर कराने का खर्च कितना होगा? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) ₹2,673 (b) ₹1,980 (c) ₹3,366 (d) ₹693

उत्तर: टंकी में दीवार और फ़र्श हैं, ढक्कन नहीं है। r = 2.1 मीटर है। दीवार $2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 3 = 39.6$ वर्ग मीटर की है, और फ़र्श $\frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 = 13.86$ वर्ग मीटर का। कुल 53.46 वर्ग मीटर हुआ, तो खर्च = 53.46 × 50 = (a) ₹2,673। दोनों सिरे जोड़ने पर ₹3,366 आता है, पर इसका मतलब होगा ऐसे ढक्कन पर पलस्तर करना जो टंकी में है ही नहीं।

प्रश्न 18

7 सेमी आंतरिक व्यास वाले एक पाइप से 5 मीटर/सेकंड की चाल से पानी, 70 सेमी त्रिज्या और 1.5 मीटर ऊँचाई वाली एक बेलनाकार टंकी में बहता है। टंकी को भरने में कितना समय लगेगा? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 30 सेकंड (b) 8 मिनट (c) 2 मिनट (d) 20 मिनट

उत्तर: सब कुछ सेमी और सेकंड में बदल लेते हैं। पाइप की त्रिज्या 3.5 सेमी है, और एक सेकंड में पानी 500 सेमी आगे बढ़ता है। प्रति सेकंड बहाव = $\frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 500 = 19250$ घन सेमी। टंकी की धारिता $\frac{22}{7} \times 70 \times 70 \times 150 = 2310000$ घन सेमी है। समय = $\frac{2310000}{19250} = 120$ सेकंड, यानी (c) 2 मिनट।

प्रश्न 19

7 सेमी आंतरिक व्यास वाले एक पाइप से 6 किमी/घंटा की चाल से पानी, 3.5 मीटर त्रिज्या वाली एक बेलनाकार टंकी में बहता है। 30 मिनट में टंकी में पानी का स्तर कितना ऊपर उठेगा? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 60 सेमी (b) 30 सेमी (c) 1.2 मीटर (d) 7.5 सेमी

उत्तर: 30 मिनट में पानी पाइप में 3 किमी, यानी 3000 मीटर आगे बढ़ता है। पाइप की त्रिज्या 3.5 सेमी = 0.035 मीटर है। तो टंकी में आया पानी $\frac{22}{7} \times 0.035 \times 0.035 \times 3000 = 11.55$ घन मीटर है। टंकी का आधार $\frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 = 38.5$ वर्ग मीटर है। स्तर में वृद्धि = $\frac{11.55}{38.5} = 0.3$ मीटर, यानी (b) 30 सेमी। समय पर ध्यान दीजिए। 60 सेमी पूरे एक घंटे की वृद्धि है, आधे घंटे की नहीं।

प्रश्न 20

[Tier 2] 6 मीटर व्यास वाला एक कुआँ 20 मीटर गहरा खोदा जाता है। उससे निकाली गई मिट्टी को उसके चारों ओर समान रूप से फैलाकर 4 मीटर चौड़ा एक तटबंध बनाया जाता है। तटबंध की ऊँचाई कितनी है? (a) 11.25 मीटर (b) 2.25 मीटर (c) 9 मीटर (d) 4.5 मीटर

उत्तर: कुएँ की त्रिज्या 3 मीटर है। तटबंध 3 मीटर से 3 + 4 = 7 मीटर त्रिज्या तक का वलय है। निकली मिट्टी और तटबंध की मिट्टी बराबर है, तो $\pi(7^2 - 3^2) \times H = \pi \times 3^2 \times 20$। $\pi$ दोनों ओर से कट जाता है, और 40H = 180 बचता है। तो H = (d) 4.5 मीटर।

प्रश्न 21

[Tier 2] 70 मीटर लंबे और 55 मीटर चौड़े एक खेत के एक कोने में 14 मीटर व्यास और 18 मीटर गहराई वाला एक कुआँ खोदा जाता है। खोदकर निकाली गई मिट्टी को खेत के शेष भाग पर समान रूप से फैला दिया जाता है। खेत का तल कितना ऊपर उठ जाता है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 75 सेमी (b) 72 सेमी (c) 50 सेमी (d) 1.5 मीटर

उत्तर: मिट्टी = $\frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 18 = 2772$ घन मीटर। खेत का क्षेत्रफल 70 × 55 = 3850 वर्ग मीटर है। इसमें से 154 वर्ग मीटर कुएँ का मुँह है, तो मिट्टी 3850 − 154 = 3696 वर्ग मीटर पर फैलेगी। वृद्धि = $\frac{2772}{3696} = 0.75$ मीटर, यानी (a) 75 सेमी। पूरे 3850 वर्ग मीटर पर फैलाने से 72 सेमी आता है, पर कुएँ के ऊपर तो मिट्टी टिक ही नहीं सकती।

प्रश्न 22

एक बेलन की त्रिज्या 10% बढ़ा दी जाती है और उसकी ऊँचाई 20% घटा दी जाती है। उसके आयतन में क्या परिवर्तन होगा? (a) 10% की कमी (b) 3.2% की कमी (c) कोई परिवर्तन नहीं (d) 3.2% की वृद्धि

उत्तर: आयतन $r^2h$ के हिसाब से बदलता है, तो गुणकों का गुणा करते हैं, $1.1^2 \times 0.8 = 1.21 \times 0.8 = 0.968$। नया आयतन पुराने का 96.8% है, यानी (b) 3.2% की कमी। प्रतिशत सीधे जोड़ने पर 10 + 10 − 20 = 0 आता है, और लगता है कि कोई परिवर्तन नहीं हुआ। पर यहाँ गुणक गुणा होते हैं, जुड़ते नहीं।

प्रश्न 23

एक बेलन की त्रिज्या 20% घटा दी जाती है। उसकी ऊँचाई कितने प्रतिशत बढ़ाई जाए कि उसका आयतन पहले जितना ही रहे? (a) 20% (b) 25% (c) 56.25% (d) 44%

उत्तर: नई त्रिज्या पुरानी की 0.8 गुनी है, तो $r^2$ का मान 0.64 गुना रह जाता है। $r^2h$ को वही रखना है, इसलिए ऊँचाई $\frac{1}{0.64} = 1.5625$ गुनी करनी होगी। यानी वृद्धि (c) 56.25% की है।

प्रश्न 24

एक बेलन की त्रिज्या 25% बढ़ा दी जाती है और उसकी ऊँचाई 20% घटा दी जाती है। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है? (a) आयतन में 25% की वृद्धि होती है, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में कोई परिवर्तन नहीं होता (b) आयतन में कोई परिवर्तन नहीं होता, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में 25% की वृद्धि होती है (c) दोनों में 5% की वृद्धि होती है (d) आयतन में 56.25% की वृद्धि होती है, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में 25% की वृद्धि होती है

उत्तर: आयतन का गुणक = $1.25^2 \times 0.8 = 1.5625 \times 0.8 = 1.25$, यानी आयतन में 25% वृद्धि। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का गुणक 1.25 × 0.8 = 1 है, तो वह जितना था उतना ही रहता है। इसलिए सत्य कथन है (a) आयतन में 25% की वृद्धि होती है, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में कोई परिवर्तन नहीं होता।