हल किए गए प्रश्न

इन प्रश्नों से अभ्यास का तरीका

नीचे 36 प्रश्न हल करके दिए गए हैं। इनमें इस अध्याय के सभी ठोसों के प्रश्न मिले-जुले हैं, किसी तय क्रम में नहीं, ठीक वैसे ही जैसे परीक्षा के प्रश्नपत्र में आते हैं। जैसे, कैप्सूल वाले प्रश्न के बाद कमरे वाला प्रश्न आ सकता है, और गेहूँ के ढेर वाले प्रश्न के बाद बाल्टी वाला।

इसलिए हल शुरू करने से पहले पहचानिए कि ठोस कौन-सा है, और लिख लीजिए कि पूछा क्या गया है। कहीं आयतन पूछा जाता है, कहीं वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (curved surface area), कहीं संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (total surface area), और कहीं यह कि कितने टुकड़े बनेंगे।

उत्तर पढ़ने से पहले हर प्रश्न कागज़ पर ख़ुद हल कीजिए। साथ में एक कच्ची आकृति बनाइए और उस पर त्रिज्या लिख दीजिए। इन प्रश्नों में बहुत-सी गलतियाँ इसी से होती हैं कि छात्र व्यास को ही त्रिज्या मान लेते हैं। गुणा करने से पहले हर लंबाई एक ही इकाई में बदल लीजिए।

संयुक्त ठोस (combined solid) में केवल वे पृष्ठ गिनिए, जिन्हें बाहर से छुआ जा सके। दोनों भाग जहाँ आपस में मिलते हैं, वहाँ का वृत्त इनमें नहीं आता। पिघलाने वाले प्रश्नों में शुरू में ही लिख लीजिए कि पिघलाने से पहले और बाद का आयतन बराबर है, फिर $\pi$ को तुरंत काट दीजिए।

अब देखिए कि किस तरह के कितने प्रश्न हैं। लगभग एक-तिहाई प्रश्न घनाभ, घन, प्रिज्म और पिरामिड के हैं। लगभग इतने ही प्रश्न बेलन, शंकु और गोले के हैं। बाकी प्रश्नों में संयुक्त ठोस, पिघलाकर दोबारा ढालना, जल स्तर और प्रतिशत परिवर्तन आते हैं। तीन प्रश्नों के साथ [Tier 2] लिखा है। ये सम चतुष्फलक (regular tetrahedron), त्रिभुजाकार आधार वाले पिरामिड और कुएँ के चारों ओर बने तटबंध के प्रश्न हैं।

टियर 1 में इस तरह का प्रश्न एक मिनट से कम में हो जाना चाहिए। किसी प्रश्न में इससे काफ़ी ज़्यादा समय लगे, तो उसका तेज़ रास्ता खोजिए। इसके लिए "शॉर्टकट और तेज़ तरीके" वाला खंड देखिए, और अगले दिन वही प्रश्न दोबारा कीजिए।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

एक घन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 1350 वर्ग सेमी है। उसका आयतन और उसके विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले किनारा निकालते हैं। $6a^2 = 1350$ है, तो $a^2 = 225$ और किनारा 15 सेमी। अब आयतन $= 15^3$ = 3375 घन सेमी। घन का विकर्ण $a\sqrt{3}$ होता है, तो यहाँ विकर्ण $15\sqrt{3}$ सेमी है, यानी लगभग 25.98 सेमी।

प्रश्न 2

एक बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात 2 : 3 है, और उसका आयतन 12936 घन सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: त्रिज्या $2k$ और ऊँचाई $3k$ मान लेते हैं। आयतन के सूत्र में रखें, तो $\frac{22}{7} \times 4k^2 \times 3k = 12936$ आता है। इससे $k^3 = 12936 \times \frac{7}{264} = 343$, यानी $k = 7$। मतलब त्रिज्या 14 सेमी और ऊँचाई 21 सेमी है। अब संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \times (14 + 21) = 88 \times 35$ = 3080 वर्ग सेमी।

प्रश्न 3

एक खिलौना 4.2 सेमी त्रिज्या वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर खड़ा है। पूरा खिलौना 9.8 सेमी ऊँचा है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: कुल ऊँचाई में से 4.2 सेमी अर्धगोले की है, तो शंकु 5.6 सेमी ऊँचा है। शंकु की तिर्यक ऊँचाई (slant height) $\sqrt{5.6^2 + 4.2^2} = 7$ सेमी है। यह 3-4-5 वाला त्रिभुज ही है, बस 1.4 गुना। शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 4.2 \times 7 = 92.4$ वर्ग सेमी, और अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{22}{7} \times 4.2^2 = 110.88$ वर्ग सेमी है। दोनों जहाँ मिलते हैं, वहाँ का समतल वृत्त अंदर छिपा रहता है, इसलिए केवल ये दो जोड़ने हैं। तो खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 203.28 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 4

एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई का अनुपात 6 : 3 : 2 है, और उसका विकर्ण 35 सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: तीनों माप $6k$, $3k$ और $2k$ मान लेते हैं। तब विकर्ण $\sqrt{36k^2 + 9k^2 + 4k^2} = 7k$ होगा, तो $7k = 35$ और $k = 5$। मतलब घनाभ 30 सेमी × 15 सेमी × 10 सेमी का है। संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2(450 + 150 + 300)$ = 1800 वर्ग सेमी, और आयतन $= 30 \times 15 \times 10$ = 4500 घन सेमी।

प्रश्न 5

एक शंक्वाकार तंबू 9.6 मीटर ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 2.8 मीटर है। इसे बनाने में 1.1 मीटर चौड़ा कितने मीटर कैनवास लगेगा, और ₹125 प्रति मीटर की दर से उसकी लागत कितनी होगी?

उत्तर: पहले तिर्यक ऊँचाई निकालते हैं, जो $\sqrt{2.8^2 + 9.6^2} = \sqrt{100} = 10$ मीटर है। यह 7-24-25 वाले त्रिभुज का ही 0.4 गुना है। तंबू का फ़र्श नहीं होता, इसलिए आधार नहीं गिनते और कैनवास केवल ढलान वाले पृष्ठ पर लगेगा। तो कैनवास का क्षेत्रफल $= \pi rl = \frac{22}{7} \times 2.8 \times 10 = 88$ वर्ग मीटर है। कैनवास 1.1 मीटर चौड़ा है, तो उसकी लंबाई $\frac{88}{1.1}$ = 80 मीटर होगी। लागत $80 \times 125$ = ₹10,000।

प्रश्न 6

एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरी जाती है, जिससे उसकी त्रिज्या 10.5 सेमी से बढ़कर 21 सेमी हो जाती है। उसके पहले और बाद के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात तथा उसमें भरी गई हवा का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: त्रिज्या दोगुनी हुई है, तो पृष्ठीय क्षेत्रफल 4 गुना हो जाएगा। पहले यह 1386 वर्ग सेमी था और बाद में 5544 वर्ग सेमी हो गया, तो अनुपात 1 : 4 है। आयतन 4851 घन सेमी से बढ़कर 38808 घन सेमी हो जाता है। तो भरी गई हवा $38808 - 4851$ = 33957 घन सेमी है।

प्रश्न 7

32 सेमी × 24 सेमी माप वाली एक आयताकार चादर के प्रत्येक कोने से 4 सेमी भुजा वाला एक वर्ग काट दिया जाता है, और बचे हुए हिस्सों को ऊपर की ओर मोड़कर एक खुला डिब्बा बनाया जाता है। डिब्बे का आयतन और उसमें लगी चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: हर भुजा के दोनों सिरों से 4 सेमी कटा है, तो हर भुजा 8 सेमी छोटी हो जाती है। डिब्बे का आधार 24 सेमी × 16 सेमी का रह जाता है। ऊपर मोड़े गए हिस्से ही दीवारें हैं, तो ऊँचाई 4 सेमी है। आयतन $= 24 \times 16 \times 4$ = 1536 घन सेमी। डिब्बे में लगी चादर के लिए पूरी चादर में से चारों वर्ग घटा देते हैं, यानी $768 - 64$ = 704 वर्ग सेमी। जाँच भी कर लेते हैं। आधार और चारों दीवारें जोड़ें, तो $384 + 2 \times 4 \times (24 + 16) = 384 + 320 = 704$ ही आता है।

प्रश्न 8

एक पिरामिड का आधार 32 सेमी भुजा वाला एक वर्ग है, और उसकी ऊँचाई 12 सेमी है। उसका आयतन और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: आयतन $= \frac{1}{3} \times 32^2 \times 12 = 1024 \times 4$ = 4096 घन सेमी। पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल निकालने के लिए तिर्यक ऊँचाई चाहिए। ऊँचाई और आधार की आधी भुजा से यह $\sqrt{12^2 + 16^2} = 20$ सेमी आती है। अब पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (lateral surface area) $= \frac{1}{2} \times 128 \times 20 = 1280$ वर्ग सेमी। इसमें आधार जोड़ दें, तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 1280 + 1024$ = 2304 वर्ग सेमी।

प्रश्न 9

तांबे का एक पाइप 2.1 मीटर लंबा है। उसका बाहरी व्यास 10 सेमी और आंतरिक व्यास 6 सेमी है। यदि 1 घन सेमी तांबे का भार 9 ग्राम है, तो पाइप का भार ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले सब कुछ सेमी में ले लेते हैं। बाहरी त्रिज्या $R = 5$, आंतरिक त्रिज्या $r = 3$ और लंबाई 210 सेमी। धातु का आयतन $= \frac{22}{7} \times (5 + 3)(5 - 3) \times 210 = \frac{22}{7} \times 16 \times 210 = 10560$ घन सेमी है। तो पाइप का भार $= 10560 \times 9 = 95040$ ग्राम, यानी 95.04 किग्रा।

प्रश्न 10

15.4 सेमी × 7 सेमी × 2.5 सेमी माप वाला एक घनाभ बनाने के लिए 1.4 सेमी व्यास और 0.25 सेमी मोटाई वाले कितने सिक्के पिघलाने होंगे?

उत्तर: सिक्के का व्यास 1.4 सेमी है, तो हर सिक्का 0.7 सेमी त्रिज्या वाला एक चपटा बेलन है। उसका आयतन $\frac{22}{7} \times 0.49 \times 0.25 = 0.385$ घन सेमी है। घनाभ का आयतन $15.4 \times 7 \times 2.5 = 269.5$ घन सेमी है। तो सिक्कों की संख्या $= \frac{269.5}{0.385}$ = 700।

प्रश्न 11

एक कमरा 12 मीटर लंबा और 4.5 मीटर ऊँचा है। ₹30 प्रति वर्ग मीटर की दर से उसकी चार दीवारों को पेंट करने का खर्च ₹5,400 है। कमरे की चौड़ाई तथा ₹250 प्रति वर्ग मीटर की दर से उसके फ़र्श पर कालीन बिछाने का खर्च ज्ञात कीजिए।

उत्तर: खर्च को दर से भाग दें, तो दीवारों का क्षेत्रफल $\frac{5400}{30} = 180$ वर्ग मीटर आता है। चार दीवारों का क्षेत्रफल $= 2(l + b)h$ होता है। तो $2 \times (12 + b) \times 4.5 = 180$, जिससे $12 + b = 20$ और चौड़ाई 8 मीटर आती है। फ़र्श का क्षेत्रफल $12 \times 8 = 96$ वर्ग मीटर है, तो कालीन का खर्च $96 \times 250$ = ₹24,000 होगा।

प्रश्न 12

44 सेमी × 18 सेमी माप वाली एक आयताकार चादर से एक खोखला बेलन बनाया जाता है, पहले 44 सेमी वाली भुजा को गोलाई में मोड़कर और फिर 18 सेमी वाली भुजा को गोलाई में मोड़कर। दोनों स्थितियों में बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहली स्थिति में 44 सेमी वाली भुजा गोलाई में मुड़ती है, तो यही बेलन की परिधि होगी। $2\pi r = 44$ से $r = 7$ आता है, और ऊँचाई 18 सेमी है। आयतन $154 \times 18$ = 2772 घन सेमी। दूसरी स्थिति में 18 सेमी वाली भुजा गोलाई में मुड़ती है, तो $r = \frac{18 \times 7}{44} = \frac{63}{22}$ सेमी और ऊँचाई 44 सेमी है। अब आयतन $\frac{22}{7} \times \frac{63^2}{22^2} \times 44 = \frac{63^2 \times 2}{7}$ = 1134 घन सेमी। दोनों आयतनों का अनुपात $2772 : 1134 = 22 : 9$ है, जो $44 : 18$ के बराबर ही है। मतलब लंबी भुजा को गोलाई में मोड़ें, तो बड़ा बेलन मिलता है।

प्रश्न 13 [Tier 2]

एक सम चतुष्फलक का प्रत्येक किनारा 6 सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल, ऊँचाई और आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: इसके चारों फलक 6 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज हैं। तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $4 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36$ = $36\sqrt{3}$ वर्ग सेमी है। ऊँचाई के लिए ध्यान रखना है कि शीर्ष आधार के केंद्र के ठीक ऊपर होता है, और यह केंद्र हर कोने से $\frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ सेमी दूर है। तो ऊँचाई $\sqrt{36 - 12} = \sqrt{24}$ = $2\sqrt{6}$ सेमी, यानी लगभग 4.9 सेमी। आधार भी इन्हीं चार फलकों में से एक है, तो उसका क्षेत्रफल पूरे पृष्ठ का चौथाई है। अब आयतन $= \frac{1}{3} \times 9\sqrt{3} \times 2\sqrt{6} = 6\sqrt{18}$ = $18\sqrt{2}$ घन सेमी आता है। जाँच के लिए सूत्र $\frac{a^3}{6\sqrt{2}} = \frac{216}{6\sqrt{2}}$ लगाकर देखते हैं, उससे भी यही आता है।

प्रश्न 14

एक अर्धगोलाकार बर्तन की आंतरिक त्रिज्या 21 सेमी है। उसकी धारिता लीटर में तथा ₹4 प्रति 100 वर्ग सेमी की दर से उसके आंतरिक पृष्ठ पर कलई करने की लागत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: धारिता के लिए आयतन निकालते हैं। आयतन $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 21^3 = 44 \times 441 = 19404$ घन सेमी, यानी 19.404 लीटर। आंतरिक पृष्ठ में केवल वक्र भाग आता है, तो उसका क्षेत्रफल $2\pi r^2 = 2 \times 1386 = 2772$ वर्ग सेमी है। कलई की लागत $\frac{2772}{100} \times 4$ = ₹110.88।

प्रश्न 15

एक तंबू 2.1 मीटर आधार त्रिज्या और 4 मीटर ऊँचाई वाले बेलन के आकार का है, जिसके ऊपर उसी आधार वाला 2.8 मीटर ऊँचा एक शंकु है। तंबू में लगने वाले कैनवास का क्षेत्रफल तथा ₹500 प्रति वर्ग मीटर की दर से उसकी लागत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: शंकु की तिर्यक ऊँचाई $\sqrt{2.1^2 + 2.8^2} = 3.5$ मीटर है। यह भी 3-4-5 वाले त्रिभुज का 0.7 गुना है। कैनवास बेलन के वक्र पृष्ठ और शंकु के वक्र पृष्ठ पर ही लगेगा। फ़र्श पर और जहाँ शंकु बेलन से मिलता है, उस वृत्त पर कोई कैनवास नहीं लगता। तो कैनवास का क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 4 + \frac{22}{7} \times 2.1 \times 3.5 = 52.8 + 23.1$ = 75.9 वर्ग मीटर। लागत $= 75.9 \times 500$ = ₹37,950।

प्रश्न 16

18 मीटर लंबी, 30 सेमी मोटी और 2.5 मीटर ऊँची एक दीवार 25 सेमी × 12.5 सेमी × 7.5 सेमी माप वाली ईंटों से बनाई जाती है। यदि गारा दीवार का $\frac{1}{10}$ भाग घेरता है, तो दीवार में कितनी ईंटें लगी हैं?

उत्तर: पहले सारी माप सेमी में बदल लेते हैं। दीवार का आयतन $1800 \times 30 \times 250 = 13500000$ घन सेमी है। गारे को छोड़कर बाकी $\frac{9}{10}$ भाग ईंटें भरती हैं, यानी 12150000 घन सेमी। एक ईंट का आयतन $25 \times 12.5 \times 7.5 = 2343.75$ घन सेमी है। तो ईंटों की संख्या $= \frac{12150000}{2343.75}$ = 5184।

प्रश्न 17

8 सेमी त्रिज्या और 6 सेमी ऊँचाई वाले एक शंकु के वक्र पृष्ठ को शीर्ष से आधार तक एक सीधी रेखा के अनुदिश काटकर समतल रूप में खोला जाता है। इससे बने त्रिज्यखंड की त्रिज्या और कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: शंकु की तिर्यक ऊँचाई $\sqrt{64 + 36} = 10$ सेमी है। खोलने पर यही त्रिज्यखंड की त्रिज्या होती है, तो त्रिज्या 10 सेमी हुई। त्रिज्यखंड का चाप उतना ही लंबा है, जितना शंकु के आधार का घेरा, यानी उसकी परिधि। इसलिए $\frac{\theta}{360} = \frac{r}{l} = \frac{8}{10}$, और कोण $0.8 \times 360$ = $288^\circ$।

प्रश्न 18

धातु के एक खोखले गोले की बाहरी त्रिज्या 9 सेमी और आंतरिक त्रिज्या 6 सेमी है। इसे पिघलाकर 6 सेमी त्रिज्या वाला एक ठोस बेलन बनाया जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: खोखले गोले में केवल धातु का आयतन लेना है, अंदर की खाली जगह नहीं। धातु का आयतन $\frac{4}{3}\pi(9^3 - 6^3) = \frac{4}{3}\pi \times 513 = 684\pi$ है। बेलन की त्रिज्या 6 सेमी है, तो $\pi \times 36 \times h = 684\pi$। ऊँचाई $\frac{684}{36}$ = 19 सेमी।

प्रश्न 19

एक लंब प्रिज्म का आधार एक त्रिभुज है, जिसकी भुजाएँ 11 सेमी, 60 सेमी और 61 सेमी हैं, और प्रिज्म 8 सेमी ऊँचा है। उसका आयतन और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले देखते हैं कि $11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2$ है। मतलब आधार समकोण त्रिभुज है, और समकोण 11 सेमी और 60 सेमी वाली भुजाओं के बीच है। आधार का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 11 \times 60 = 330$ वर्ग सेमी है, तो आयतन $= 330 \times 8$ = 2640 घन सेमी। पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \text{परिमाप} \times \text{ऊँचाई} = 132 \times 8 = 1056$ वर्ग सेमी। इसमें दोनों त्रिभुजाकार सिरों के 660 वर्ग सेमी और जोड़ें, तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 1716 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 20

एक बाल्टी शंकु के छिन्नक के आकार की है। वह 45 सेमी गहरी है, और उसके ऊपरी और निचले सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 28 सेमी और 7 सेमी हैं। उसमें कितने लीटर पानी आ सकता है?

उत्तर: यहाँ छिन्नक (frustum) के आयतन का सूत्र लगेगा। ऊपरी सिरे की त्रिज्या 28 सेमी है, निचले की 7 सेमी और गहराई 45 सेमी। सूत्र में गहराई का तिहाई लगता है, जो 15 है। तो आयतन $= \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2) = \frac{22}{7} \times 15 \times (784 + 196 + 49)$। कोष्ठक का योग 1029 है, जो $7 \times 147$ है, तो 7 कट जाता है। अब $22 \times 15 \times 147 = 48510$ घन सेमी, यानी बाल्टी में 48.51 लीटर पानी आ सकता है।

प्रश्न 21

6 सेमी त्रिज्या और 16 सेमी ऊँचाई वाले एक ठोस शंकु को 8 सेमी त्रिज्या वाले एक बेलनाकार बर्तन में डाला जाता है, जिसमें कुछ पानी भरा है, और शंकु पूरी तरह पानी में डूब जाता है। बर्तन में जल स्तर कितना बढ़ जाएगा?

उत्तर: शंकु डूबकर अपने आयतन जितना पानी ऊपर धकेलता है। शंकु का आयतन $\frac{1}{3}\pi \times 36 \times 16 = 192\pi$ घन सेमी है। बर्तन के आधार का क्षेत्रफल $\pi \times 64$ वर्ग सेमी है। तो जल स्तर में वृद्धि $\frac{192\pi}{64\pi}$ = 3 सेमी। यहाँ $\pi$ का मान कहीं लगाना ही नहीं पड़ा।

प्रश्न 22

बगीचे का एक रोलर 1.4 मीटर लंबा है और उसका व्यास 70 सेमी है। एक लॉन को समतल करने में वह 500 पूरे चक्कर लगाता है। लॉन का क्षेत्रफल तथा ₹2.50 प्रति वर्ग मीटर की दर से उसे समतल करने की लागत ज्ञात कीजिए।

उत्तर: एक चक्कर में रोलर अपने वक्र पृष्ठ जितना क्षेत्र दबाता है। व्यास 70 सेमी है, तो त्रिज्या 0.35 मीटर हुई। एक चक्कर में दबने वाला क्षेत्र $2 \times \frac{22}{7} \times 0.35 \times 1.4 = 3.08$ वर्ग मीटर है। 500 चक्कर में लॉन का क्षेत्रफल 1540 वर्ग मीटर आता है, और समतल करने की लागत $1540 \times 2.5$ = ₹3,850 होगी।

प्रश्न 23

दवा का एक कैप्सूल बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्धगोला लगा है। यह एक सिरे से दूसरे सिरे तक 14 मिमी लंबा है और इसका व्यास 5 मिमी है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: व्यास 5 मिमी है, तो त्रिज्या 2.5 मिमी हुई। दोनों अर्धगोले मिलकर लंबाई में से 5 मिमी लेते हैं, इसलिए बेलन वाला भाग 9 मिमी लंबा है। पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi rh + 4\pi r^2 = 2\pi r(h + 2r) = 2\pi \times 2.5 \times 14$, क्योंकि कोष्ठक वाला भाग पूरी लंबाई ही है। यानी $\pi \times 5 \times 14 = \frac{22}{7} \times 70$ = 220 वर्ग मिमी। इससे एक तेज़ रास्ता भी मिलता है। कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल बस $\pi \times \text{चौड़ाई} \times \text{पूरी लंबाई}$ होता है।

प्रश्न 24

एक बेलन की त्रिज्या में 20% की कमी की जाती है। उसकी ऊँचाई में कितने प्रतिशत की वृद्धि की जाए कि उसका आयतन वही रहे?

उत्तर: त्रिज्या 20% घटी, तो आधार का क्षेत्रफल $0.8^2 = 0.64$ गुना रह जाता है। आयतन वही रखना है, इसलिए ऊँचाई $\frac{1}{0.64} = \frac{25}{16}$ गुनी करनी होगी। तो वृद्धि $\frac{9}{16} \times 100$ = 56.25% है। जल्दबाज़ी में लोग 20% का दोगुना, यानी 40% लिख देते हैं। यह कम पड़ता है, क्योंकि आयतन में त्रिज्या का वर्ग लगता है।

प्रश्न 25

एक लंब प्रिज्म का आधार 8 सेमी भुजा वाला एक सम षट्भुज है, और उसका आयतन $1440\sqrt{3}$ घन सेमी है। उसकी ऊँचाई और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सम षट्भुज में 8 सेमी भुजा वाले छह समबाहु त्रिभुज आते हैं। तो आधार का क्षेत्रफल $= 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64 = 96\sqrt{3}$ वर्ग सेमी है। आयतन को इससे भाग दें, तो ऊँचाई $= \frac{1440\sqrt{3}}{96\sqrt{3}}$ = 15 सेमी आती है। छहों भुजाएँ 8-8 सेमी की हैं, तो आधार का परिमाप 48 सेमी है, और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \text{परिमाप} \times \text{ऊँचाई} = 48 \times 15$ = 720 वर्ग सेमी।

प्रश्न 26 [Tier 2]

3 मीटर व्यास वाला एक कुआँ 14 मीटर गहरा खोदा जाता है। निकाली गई मिट्टी को उसके चारों ओर समान रूप से फैलाकर 4 मीटर चौड़ा एक तटबंध बनाया जाता है। तटबंध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: कुएँ की त्रिज्या 1.5 मीटर है। निकाली गई मिट्टी $= \frac{22}{7} \times 1.5^2 \times 14 = 99$ घन मीटर है। तटबंध एक वलय है, जो 1.5 मीटर त्रिज्या से $1.5 + 4 = 5.5$ मीटर त्रिज्या तक फैला है। वलय का क्षेत्रफल $\frac{22}{7} \times (5.5^2 - 1.5^2) = \frac{22}{7} \times 28 = 88$ वर्ग मीटर है। तो तटबंध की ऊँचाई $= \frac{99}{88}$ = 1.125 मीटर। कई छात्र बाहरी त्रिज्या 4 मीटर ले लेते हैं। यह गलत है, क्योंकि 4 मीटर तो वलय की चौड़ाई है और कुएँ के किनारे से नापी गई है।

प्रश्न 27

गेहूँ का एक ढेर शंकु के आकार का है, जिसके आधार का व्यास 12 मीटर और ऊँचाई 8 मीटर है। उसका आयतन तथा उसे ठीक ढकने के लिए आवश्यक कैनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi = 3.14$ लीजिए।)

उत्तर: व्यास 12 मीटर है, तो $r = 6$, और $h = 8$ है। इससे तिर्यक ऊँचाई 10 मीटर आती है। आयतन $= \frac{1}{3} \times 3.14 \times 36 \times 8 = 3.14 \times 96$ = 301.44 घन मीटर। ढेर को ढकने में कैनवास केवल ढलान वाले पृष्ठ पर लगेगा, तो कैनवास का क्षेत्रफल $3.14 \times 6 \times 10$ = 188.4 वर्ग मीटर है।

प्रश्न 28

लकड़ी के एक बंद डिब्बे की बाहरी माप 52 सेमी × 40 सेमी × 29 सेमी है, और लकड़ी 2 सेमी मोटी है। डिब्बे में लगी लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: लकड़ी हर माप के दोनों ओर लगी है, तो अंदर की हर माप 4 सेमी कम है, यानी 48 सेमी × 36 सेमी × 25 सेमी। बाहरी आयतन $= 52 \times 40 \times 29 = 60320$ घन सेमी है, और आंतरिक आयतन $= 48 \times 36 \times 25 = 43200$ घन सेमी। तो डिब्बे में लगी लकड़ी $= 60320 - 43200$ = 17120 घन सेमी।

प्रश्न 29

एक आइसक्रीम कोन 4 सेमी त्रिज्या और 10 सेमी ऊँचाई वाले शंकु के आकार का है, जिसमें आइसक्रीम भरी है और उसके ऊपर उसी त्रिज्या वाला आइसक्रीम का एक अर्धगोला है। 8 सेमी त्रिज्या और 18 सेमी ऊँचाई वाले एक बेलनाकार बर्तन से ऐसे कितने कोन भरे जा सकते हैं?

उत्तर: एक कोन में शंकु के अंदर भरी आइसक्रीम और ऊपर का अर्धगोला, दोनों गिनने हैं। तो एक कोन में $\frac{1}{3}\pi \times 16 \times 10 + \frac{2}{3}\pi \times 64 = \frac{160\pi}{3} + \frac{128\pi}{3} = 96\pi$ घन सेमी आइसक्रीम है। बर्तन में $\pi \times 64 \times 18 = 1152\pi$ घन सेमी आइसक्रीम है। तो कोनों की संख्या $= \frac{1152\pi}{96\pi}$ = 12। यहाँ $\pi$ का मान रखा ही नहीं, इसलिए अंत में वह अपने-आप कट गया।

प्रश्न 30

धातु के तीन ठोस गोलों की त्रिज्याएँ 4 सेमी, 17 सेमी और 22 सेमी हैं। इन्हें पिघलाकर एक गोला बनाया जाता है। नए गोले की त्रिज्या तथा तीनों गोलों के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और नए गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पिघलाने पर तीनों गोलों के आयतन जुड़ जाते हैं। तो $R^3 = 64 + 4913 + 10648 = 15625$, और नई त्रिज्या 25 सेमी है। पृष्ठीय क्षेत्रफल $r^2$ के अनुपात में होते हैं। तीनों गोलों की त्रिज्याओं के वर्गों का जोड़ $16 + 289 + 484 = 789$ है, और नए गोले के लिए $625$। तो अनुपात 789 : 625 है। मतलब छोटे गोलों को पिघलाकर एक बड़ा गोला बनाने पर कुल पृष्ठ कुछ घट जाता है।

प्रश्न 31 [Tier 2]

एक लंब पिरामिड $6\sqrt{3}$ सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज पर खड़ा है। उसके प्रत्येक पार्श्व फलक की तिर्यक ऊँचाई 5 सेमी है। पिरामिड की ऊँचाई, आयतन और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पिरामिड की ऊँचाई शीर्ष से सीधे त्रिभुज के केंद्र पर आती है। केंद्र से हर भुजा की दूरी अंतःत्रिज्या होती है, जो $\frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 3$ सेमी है। तिर्यक ऊँचाई शीर्ष से भुजा के मध्य तक जाती है, तो ऊँचाई $= \sqrt{5^2 - 3^2}$ = 4 सेमी। यह 3-4-5 वाला त्रिभुज है। आधार का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 108 = 27\sqrt{3}$ वर्ग सेमी है, तो आयतन $\frac{1}{3} \times 27\sqrt{3} \times 4$ = $36\sqrt{3}$ घन सेमी। आधार का परिमाप भुजा का तीन गुना है, तो पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 18\sqrt{3} \times 5$ = $45\sqrt{3}$ वर्ग सेमी है।

प्रश्न 32

दोनों सिरों पर खुला एक खोखला बेलन 15 सेमी लंबा है। उसकी बाहरी त्रिज्या 10.5 सेमी और आंतरिक त्रिज्या 7 सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (बाहरी पृष्ठ, आंतरिक पृष्ठ और दोनों सिरों की वलयाकार पट्टियाँ मिलाकर) ज्ञात कीजिए।

उत्तर: तीनों हिस्से अलग-अलग निकाल लेते हैं। बाहरी पृष्ठ $= 2 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 15 = 990$ वर्ग सेमी, आंतरिक पृष्ठ $= 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 15 = 660$ वर्ग सेमी, और दोनों वलयाकार पट्टियाँ $= 2 \times \frac{22}{7} \times (110.25 - 49) = 385$ वर्ग सेमी। सब जोड़ें, तो कुल 2035 वर्ग सेमी आता है। तेज़ तरीके से यह एक ही पंक्ति में हो जाता है। $2\pi(R + r)(h + R - r) = 2 \times \frac{22}{7} \times 17.5 \times 18.5 = 110 \times 18.5$, और इससे भी 2035 ही आता है।

प्रश्न 33

14 सेमी किनारे वाले एक ठोस घन के एक फलक से अधिकतम संभव व्यास वाला एक अर्धगोला खोखला करके निकाला जाता है। बचे हुए ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सबसे बड़ा अर्धगोला तब आएगा, जब उसका व्यास किनारे के बराबर हो। तो उसकी त्रिज्या किनारे की आधी, यानी 7 सेमी है। खोखला करने से ऊपरी फलक से $\pi r^2 = 154$ वर्ग सेमी का वृत्त हट जाता है, पर अंदर $2\pi r^2 = 308$ वर्ग सेमी का कटोरे जैसा नया पृष्ठ निकल आता है। तो पृष्ठीय क्षेत्रफल $6 \times 196 - 154 + 308 = 1176 + 154$ = 1330 वर्ग सेमी है। यह घन के पहले वाले पृष्ठीय क्षेत्रफल से अधिक है।

प्रश्न 34

एक प्रिज्म के 30 किनारे हैं। उसके कितने फलक और कितने शीर्ष हैं? उसी आधार वाले पिरामिड के कितने फलक, किनारे और शीर्ष होंगे?

उत्तर: $n$ भुजाओं वाले आधार पर बने प्रिज्म में $3n$ किनारे होते हैं। यहाँ किनारे 30 हैं, तो 30 को 3 से भाग देकर $n = 10$ आता है। प्रिज्म में फलक $n + 2$ होते हैं और शीर्ष $2n$, तो इसके 12 फलक और 20 शीर्ष हैं। जाँच कर लेते हैं। $12 + 20 - 30 = 2$ आता है, और ऑयलर का सूत्र भी यही कहता है। अब 10 भुजाओं वाले आधार पर बना पिरामिड लेते हैं। इसमें फलक $n + 1$ होते हैं, किनारे $2n$ और शीर्ष $n + 1$। तो पिरामिड में 11 फलक, 20 किनारे और 11 शीर्ष होंगे।

प्रश्न 35

शंकु के एक छिन्नक के सिरों की त्रिज्याएँ 20 सेमी और 12 सेमी हैं, तथा उसकी ऊँचाई 15 सेमी है। $\pi$ के पदों में उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई उसकी ऊँचाई और दोनों त्रिज्याओं के अंतर से निकलती है। त्रिज्याओं का अंतर 8 सेमी है, तो तिर्यक ऊँचाई $\sqrt{15^2 + 8^2} = 17$ सेमी। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi(R + r)l = \pi \times 32 \times 17$ = $544\pi$ वर्ग सेमी। इसमें दोनों वृत्ताकार सिरों का क्षेत्रफल $400\pi + 144\pi$ भी जोड़ दें, तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $1088\pi$ वर्ग सेमी है।

प्रश्न 36

32 सेमी ऊँचे एक शंकु को उसके आधार के समांतर एक तल द्वारा इस प्रकार काटा जाता है कि ऊपर बने छोटे शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल पूरे शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का $\frac{1}{16}$ हो। यह काट आधार से कितनी ऊँचाई पर लगाया गया है?

उत्तर: पृष्ठीय क्षेत्रफल लंबाइयों के वर्ग के अनुपात में होते हैं। इसलिए ऊपर वाले छोटे शंकु की ऊँचाई पूरे शंकु की ऊँचाई का $\sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$ होगी, यानी 8 सेमी। यह 8 सेमी शीर्ष से नापा गया है। आधार से नापें, तो $32 - 8$ आता है, यानी काट आधार से 24 सेमी ऊपर लगा है। यहाँ दो गलतियाँ अक्सर होती हैं। कुछ छात्र घनमूल ले लेते हैं, जबकि घनमूल आयतन के लिए लिया जाता है। कुछ उत्तर में 8 सेमी ही लिख देते हैं, पर यह तो ऊपर शीर्ष से नीचे की ओर नापी गई दूरी है।