घनाभ और घन

घनाभ: फलक, किनारे और आयतन

ईंट, माचिस की डिब्बी, कमरा, पानी की टंकी, ये सब घनाभ (cuboid) के आकार के होते हैं। घनाभ में 6 आयताकार फलक होते हैं, और आमने-सामने के फलक बराबर होते हैं। इसके 12 किनारे और 8 शीर्ष (कोने) होते हैं।

घनाभ की तीन माप होती हैं, लंबाई l, चौड़ाई b और ऊँचाई h।

ये 12 किनारे चार-चार के तीन समूहों में बँटे होते हैं। चित्र में AB, DC, EF और HG लंबाइयाँ हैं। BC, AD, FG और EH चौड़ाइयाँ हैं, और AE, BF, CG और DH ऊँचाइयाँ। आयतन तीनों मापों का गुणा होता है, और हर माप के चार किनारे होते हैं। इसलिए

$$\text{आयतन} = l \times b \times h \qquad \text{सभी किनारों का योग} = 4(l + b + h)$$

चित्र वाला घनाभ 12 सेमी × 8 सेमी × 5 सेमी का है। इसका आयतन 12 × 8 × 5 = 480 घन सेमी है। तार से इसका ढाँचा बनाना हो, तो 4 × (12 + 8 + 5) = 100 सेमी तार लगेगा।

आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई: नीचे वाले फलक का क्षेत्रफल l × b है। तो आयतन को (आधार का क्षेत्रफल) × (ऊँचाई) भी लिख सकते हैं। आधार कोई भी फलक हो सकता है। तब ऊँचाई वह किनारा होगा, जो उस फलक से समकोण पर खड़ा है। आगे इस अध्याय में हर प्रिज्म और बेलन का आयतन भी इसी तरह निकालेंगे।

कोई किनारा पता न हो: आयतन और बाकी दो किनारे दिए हों, तो सूत्र को उलटकर तीसरा किनारा निकाल लीजिए, $h = \frac{V}{lb}$। जैसे आयतन 960 घन सेमी है और आधार 12 सेमी × 10 सेमी। तो ऊँचाई $\frac{960}{120} = 8$ सेमी होगी।

इकाइयाँ: गुणा करने से पहले तीनों लंबाइयाँ एक ही इकाई में बदल लीजिए। 1 मीटर = 100 सेमी होता है, तो

$$1 \text{ मीटर}^3 = 100 \times 100 \times 100 \text{ सेमी}^3 = 10^6 \text{ सेमी}^3$$

यानी एक घन मीटर में दस लाख घन सेमी होते हैं।

जैसे कंक्रीट का एक स्लैब 2 मीटर लंबा, 1.5 मीटर चौड़ा और 20 सेमी मोटा है। 20 सेमी को 0.2 मीटर लिखिए, तो कंक्रीट 2 × 1.5 × 0.2 = 0.6 घन मीटर लगेगी। कई छात्र 2 × 1.5 × 20 = 60 करके "60 घन मीटर" लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि इसमें मीटर और सेमी आपस में मिल गए हैं।

घनाभ का संपूर्ण और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल

एक बंद घनाभ लीजिए। उसे कुछ किनारों पर से काटकर खोलिए और समतल पर फैला दीजिए। जो आकृति मिलती है, उसे घनाभ का जाल (net) कहते हैं। इसमें छह आयत होते हैं। इनके तीन जोड़े हैं, और हर जोड़े के दोनों आयत बराबर होते हैं। ऊपर और नीचे वाले आयत l × b के हैं, आगे और पीछे वाले l × h के, और दोनों बगल वाले b × h के।

इन छहों आयतों के क्षेत्रफल जोड़ दें, तो घनाभ का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (total surface area, TSA) मिलता है।

$$\text{संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल} = 2(lb + bh + hl)$$

जैसे 12 × 8 × 5 वाले घनाभ में lb = 96, bh = 40 और hl = 60 है। इनका योग 196 है, तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 2 × 196 = 392 वर्ग सेमी हुआ।

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (lateral surface area, LSA) में ऊपर और नीचे वाले फलक छोड़ दिए जाते हैं। इसमें केवल चार बगल वाले फलक आते हैं। कमरे में यही चार फलक उसकी चार दीवारें हैं।

$$\text{पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल} = 2h(l + b) = \text{आधार का परिमाप} \times \text{ऊँचाई}$$

उसी घनाभ में यह 2 × 5 × (12 + 8) = 200 वर्ग सेमी है। जाँच के लिए संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल में से ऊपर और नीचे वाले फलक घटा दीजिए। 392 − 2 × 96 = 200 ही आता है।

जाल को देखें, तो यह सूत्र आसानी से समझ में आता है। जाल की बीच वाली पंक्ति में बगल, आगे, बगल और पीछे वाले फलक एक के बाद एक लगे हैं। ये चारों मिलकर एक लंबी पट्टी बनाते हैं। इस पट्टी की लंबाई 2(l + b) है और ऊँचाई h। इसीलिए पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल आधार के परिमाप × ऊँचाई के बराबर होता है।

संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल से तीसरा किनारा: कभी संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और दो किनारे दिए होते हैं, और तीसरा किनारा पूछा जाता है। तब संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का आधा लीजिए। उसमें से दिए गए दोनों किनारों का गुणनफल घटाइए, और फिर उनके योग से भाग दे दीजिए।

$$h = \frac{\frac{\text{संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल}}{2} - lb}{l + b}$$

जैसे संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 392 वर्ग सेमी है, l = 12 सेमी और b = 8 सेमी। तो $h = \frac{196 - 96}{20} = 5$ सेमी।

कौन-सा क्षेत्रफल कब लें: बंद डिब्बे को बाहर से रंगना या पॉलिश करना हो, तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल लीजिए। हॉल की चार दीवारों पर पलस्तर या रंग करना हो, तो पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल लीजिए। फिर सही क्षेत्रफल को दर से गुणा कर दीजिए, दर चाहे प्रति वर्ग मीटर हो या प्रति वर्ग सेमी।

घनाभ का विकर्ण

घनाभ का विकर्ण (diagonal) अंदर से होकर आमने-सामने के दो कोनों को मिलाता है, जैसे चित्र में AG। किसी डिब्बे या कमरे में जो सबसे लंबी सीधी छड़ आ सकती है, उसकी लंबाई इसी विकर्ण के बराबर होती है।

इसे दो कदमों में निकालते हैं। पहले फ़र्श पर AC लीजिए। यह l × b वाले आयत का विकर्ण है, तो $AC^2 = l^2 + b^2$। अब किनारा CG, बिंदु C से सीधा ऊपर जाता है। इसलिए त्रिभुज ACG में C पर समकोण है, और

$$AG^2 = AC^2 + CG^2 = l^2 + b^2 + h^2 \qquad d = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$$

मान लीजिए कोई कमरा 12 मीटर लंबा, 9 मीटर चौड़ा और 8 मीटर ऊँचा है। उसका विकर्ण $\sqrt{144 + 81 + 64} = \sqrt{289} = 17$ मीटर है। तो इस कमरे में सबसे लंबा बाँस 17 मीटर का आ सकता है। पर बाँस को फ़र्श पर लिटाना हो, तो वहाँ केवल $\sqrt{144 + 81} = 15$ मीटर तक का बाँस आएगा।

फलकों के विकर्ण तीन तरह के होते हैं, क्योंकि आमने-सामने वाले फलकों के तीन जोड़े हैं। ये $\sqrt{l^2 + b^2}$, $\sqrt{b^2 + h^2}$ और $\sqrt{h^2 + l^2}$ हैं।

किनारे, विकर्ण और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल एक साथ: तीनों किनारों के योग का वर्ग लीजिए।

$$(l + b + h)^2 = l^2 + b^2 + h^2 + 2(lb + bh + hl) = d^2 + \text{संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल}$$

मतलब किनारों का योग, विकर्ण और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल, इन तीनों में से कोई दो पता हों, तो तीसरा निकल आता है।

जैसे किसी घनाभ के बारहों किनारों का योग 116 सेमी है और विकर्ण 17 सेमी। तो $l + b + h = \frac{116}{4} = 29$, और

$$\text{संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल} = 29^2 - 17^2 = 841 - 289 = 552 \text{ सेमी}^2$$

ऊपर वाला कमरा ठीक ऐसा ही घनाभ है, तो उससे जाँच कर लेते हैं। वहाँ 12 + 9 + 8 = 29 है, और 2(108 + 72 + 96) = 552। परीक्षा में इसके लिए अलग-अलग किनारे निकालने की ज़रूरत कभी नहीं पड़ती।

[SSC टिप] कमरे में सबसे लंबी छड़ घनाभ के विकर्ण पर आती है, यानी नीचे के एक कोने से सामने वाले ऊपरी कोने तक। फ़र्श के विकर्ण पर नहीं। फ़र्श का विकर्ण तो ऊपर वाले कमरे में केवल 15 मीटर है।

घन: आयतन, पृष्ठ और विकर्ण

घन (cube) ऐसा घनाभ है, जिसमें l = b = h = a होता है। इसका हर फलक भुजा a वाला वर्ग होता है। घनाभ के सारे सूत्र घन पर भी लगते हैं, बस हर माप की जगह a रखना है।

घन का विकर्ण सीधे घनाभ वाले सूत्र से निकल आता है, $\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$।

किनारा 6 हो, तो घन के आयतन और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल, दोनों में एक ही संख्या (216) आती है। ऐसा केवल इसी घन में होता है। पर ध्यान रखिए, एक घन सेमी में है और दूसरा वर्ग सेमी में।

पहले किनारा निकालिए: a मिलते ही घन का लगभग हर प्रश्न आसान हो जाता है। किनारा इनमें से किसी भी माप से निकल आता है।

• आयतन से, $a = \sqrt[3]{V}$। जैसे आयतन 512 घन सेमी है, तो a = 8 सेमी, और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 6 × 64 = 384 वर्ग सेमी।
• संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल से, $a = \sqrt{\frac{\text{संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल}}{6}}$। जैसे यह 294 वर्ग सेमी है, तो $a^2 = 49$, यानी a = 7 सेमी, और आयतन 343 घन सेमी।
• विकर्ण से, $a = \frac{d}{\sqrt{3}}$। जैसे विकर्ण $9\sqrt{3}$ सेमी है, तो a = 9 सेमी। आयतन 729 घन सेमी और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 486 वर्ग सेमी होगा।
• फलक के विकर्ण से, $a = \frac{f}{\sqrt{2}}$। जैसे फलक का विकर्ण $5\sqrt{2}$ सेमी है, तो a = 5 सेमी।

विकर्ण से सीधे संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल: घन में $d^2 = 3a^2$ होता है, इसलिए

$$\text{संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल} = 6a^2 = 2d^2$$

जैसे विकर्ण 12 सेमी है, तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 2 × 144 = 288 वर्ग सेमी। कहीं भी वर्गमूल नहीं लेना पड़ा। उसी घन का किनारा $\frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ सेमी है, और आयतन $(4\sqrt{3})^3 = 192\sqrt{3}$ घन सेमी।

तीन फलकों से आयतन, और अनुपात में किनारे

कभी प्रश्न में किनारे नहीं दिए होते, केवल तीन फलकों के क्षेत्रफल दिए होते हैं। ये वे तीन फलक हैं, जो एक कोने पर मिलते हैं। इन्हें x = lb, y = bh और z = hl मान लीजिए, और तीनों का गुणा कीजिए।

$$xyz = lb \times bh \times hl = (lbh)^2 = V^2 \qquad V = \sqrt{xyz}$$

चित्र में hl = 24 वर्ग सेमी, bh = 32 वर्ग सेमी और lb = 48 वर्ग सेमी है। तो $V = \sqrt{24 \times 32 \times 48}$। यहाँ गुणा करने से पहले हर संख्या के अभाज्य गुणनखंड कर लीजिए। $24 \times 32 \times 48 = (2^3 \times 3)(2^5)(2^4 \times 3) = 2^{12} \times 3^2$ आता है। इसका वर्गमूल $2^6 \times 3$ है, यानी आयतन 192 घन सेमी।

अब हर किनारा भी अलग से निकल आता है। आयतन को उस फलक से भाग दीजिए, जिसमें वह किनारा न हो। $l = \frac{V}{bh} = \frac{192}{32} = 6$ सेमी, $b = \frac{V}{hl} = \frac{192}{24} = 8$ सेमी और $h = \frac{V}{lb} = \frac{192}{48} = 4$ सेमी।

घन में तीनों फलक बराबर होते हैं, तो एक ही फलक काफ़ी है। जैसे फलक 64 वर्ग सेमी का है, तो a = 8 सेमी और आयतन 512 घन सेमी।

अनुपात में दिए किनारे: किनारों को किसी एक संख्या k के गुणजों के रूप में लिख लीजिए। फिर जो दिया है, उससे k निकालिए।

• आयतन दिया हो: मान लीजिए किनारे 4 : 3 : 2 के अनुपात में हैं और आयतन 3000 घन सेमी है। तब $4k \times 3k \times 2k = 24k^3 = 3000$, तो $k^3 = 125$ और k = 5। किनारे 20, 15 और 10 सेमी हुए, और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 2(300 + 150 + 200) = 1300 वर्ग सेमी।
• संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल दिया हो: मान लीजिए किनारे 3 : 2 : 1 के अनुपात में हैं और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 1078 वर्ग सेमी है। तब $2(6 + 2 + 3)k^2 = 22k^2 = 1078$, तो $k^2 = 49$ और k = 7। किनारे 21, 14 और 7 सेमी हुए, और आयतन 21 × 14 × 7 = 2058 घन सेमी।

याद रखिए, आयतन से $k^3$ मिलता है, तो घनमूल लेना है। क्षेत्रफल से $k^2$ मिलता है, तो वर्गमूल। कुछ छात्र अनुपात को k से गुणा करने के बजाय सीधे 125 या 49 से गुणा कर देते हैं। तब हर किनारा बहुत ज़्यादा लंबा आ जाता है।

कमरा: चार दीवारें, फ़र्श, छत, कागज़

कमरा भी एक घनाभ ही है, बस हम उसे अंदर से देखते हैं। CGL के प्रश्नपत्रों में कमरे वाले प्रश्न अक्सर आते हैं। फ़र्श और छत दोनों का क्षेत्रफल l × b होता है। चार दीवारें वही चार बगल वाले फलक हैं, जिनसे पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल निकलता है।

$$\text{चार दीवारों का क्षेत्रफल} = 2h(l + b)$$

दरवाज़े और खिड़कियाँ छोड़कर रंगाई: चित्र वाला कमरा 10 मीटर × 7 मीटर × 4 मीटर का है। इसकी चार दीवारों का क्षेत्रफल 2 × 4 × (10 + 7) = 136 वर्ग मीटर है। दरवाज़ा 2 मीटर × 1.5 मीटर का है, और दो खिड़कियाँ हैं, हर एक 1.5 मीटर × 1 मीटर की। इन पर रंग नहीं होगा, तो 3 + 1.5 + 1.5 = 6 वर्ग मीटर घटा दीजिए। 130 वर्ग मीटर बचा। ₹25 प्रति वर्ग मीटर की दर से दीवारें रंगने का खर्च 130 × 25 = ₹3,250 आएगा।

छत भी रंगनी हो, तो 10 × 7 = 70 वर्ग मीटर और जोड़िए। कुल 200 वर्ग मीटर हुआ, और खर्च ₹5,000।

मीटर के भाव बिकने वाला कागज़ या कालीन: दीवार का कागज़ (वॉलपेपर) और कालीन तय चौड़ाई वाले रोल में आते हैं। इनका दाम लंबाई के हर मीटर पर लगता है। इसलिए पहले लंबाई निकालिए।

$$\text{आवश्यक लंबाई} = \frac{\text{ढकने वाला क्षेत्रफल}}{\text{रोल की चौड़ाई}}$$

यहाँ चौड़ाई मीटर में लेनी है। जैसे दीवार के 130 वर्ग मीटर पर 50 सेमी चौड़ा कागज़ लगाना है। तो $\frac{130}{0.5} = 260$ मीटर कागज़ चाहिए, और ₹12 प्रति मीटर से इसका खर्च ₹3,120 होगा। इसी तरह 70 वर्ग मीटर फ़र्श पर 2 मीटर चौड़ा कालीन बिछाना हो, तो 35 मीटर कालीन लगेगा।

खर्च से माप निकालना: कभी खर्च और दर दी होती है, और कोई माप पूछी जाती है। तब पहले क्षेत्रफल निकालिए, फिर क्षेत्रफल से वह माप। जैसे 10 मीटर × 7 मीटर वाले कमरे की चार दीवारों को ₹20 प्रति वर्ग मीटर से रंगने में ₹3,400 खर्च हुए। तो दीवारों का क्षेत्रफल $\frac{3400}{20} = 170$ वर्ग मीटर है। अब 2h × 17 = 170, तो h = 5 मीटर।

कमरे की हवा: कमरे में जितनी हवा आती है, वह उसके आयतन के बराबर होती है। चित्र वाले कमरे में 10 × 7 × 4 = 280 घन मीटर हवा है। अगर हर व्यक्ति को 8 घन मीटर हवा चाहिए, तो यह कमरा 35 लोगों के लिए काफ़ी है।

[SSC टिप] भाग देने से पहले चौड़ाई को मीटर में बदल लीजिए। 50 सेमी चौड़ा कागज़ मतलब 0.5 मीटर चौड़ा, तो 130 वर्ग मीटर दीवार के लिए 260 मीटर कागज़ चाहिए। किसी ने 50 से भाग दे दिया, तो 2.6 मीटर आएगा। इतने-से कागज़ से दीवार ढक ही नहीं सकती।

खुला डिब्बा और चादर से बना डिब्बा

खुला डिब्बा मतलब ऐसा डिब्बा, जिसमें ढक्कन न हो। इसके बाहरी पृष्ठ में संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल वाले सारे फलक आते हैं, बस ऊपर वाला फलक नहीं आता।

$$\text{खुले डिब्बे का पृष्ठ} = lb + 2h(l + b)$$

चित्र में खुला डिब्बा 24 सेमी × 12 सेमी × 6 सेमी का है। इसका आधार 24 × 12 = 288 वर्ग सेमी है, और चार दीवारें 2 × 6 × (24 + 12) = 432 वर्ग सेमी। कुल 720 वर्ग सेमी हुआ। उसी माप का बंद डिब्बा हो, तो 2(288 + 72 + 144) = 1008 वर्ग सेमी आता है। यह ठीक एक ढक्कन (288 वर्ग सेमी) ज़्यादा है।

पतले खुले डिब्बे को अंदर और बाहर, दोनों ओर रंगना हो, तो क्षेत्रफल दोगुना लीजिए, यानी 1440 वर्ग सेमी।

चादर मोड़कर डिब्बा: L × B की एक आयताकार चादर लीजिए। उसके हर कोने से भुजा x वाला वर्ग काट दीजिए, और चारों ओर के भाग ऊपर मोड़ दीजिए। यही भाग डिब्बे की दीवारें बन जाते हैं। अब डिब्बे की माप ये होंगी।

$$(L - 2x) \times (B - 2x) \times x$$

चादर की हर भुजा के दोनों सिरों से x कटता है। इसीलिए 2x घटाते हैं, केवल x नहीं।

चित्र में चादर 36 सेमी × 24 सेमी की है, और कोनों से 6 सेमी के वर्ग काटे गए हैं। डिब्बा (36 − 12) × (24 − 12) × 6 = 24 × 12 × 6 का होगा, और उसका आयतन 1728 घन सेमी। यह वही खुला डिब्बा है, जो पहले चित्र में था।

जाँच भी कर लीजिए। काटने के बाद बची चादर 864 − 4 × 36 = 720 वर्ग सेमी है, और यही खुले डिब्बे का पृष्ठ है। मोड़ने से चादर न बढ़ती है, न घटती है।

दीवारों की मोटाई: आंतरिक और बाहरी माप

लकड़ी या धातु के डिब्बे की दीवारें कुछ मोटी होती हैं। इस मोटाई को t मान लेते हैं। इसलिए बाहर से ली गई माप अंदर की माप से बड़ी होती है।

• बंद डिब्बा: हर माप में दोनों सिरों से t घटता है। अंदर की माप (l − 2t) × (b − 2t) × (h − 2t) होती है।
• खुला डिब्बा (ढक्कन नहीं): लंबाई और चौड़ाई तब भी 2t कम होती हैं। पर ऊँचाई केवल t कम होती है, क्योंकि ऊपर ढक्कन नहीं है, केवल नीचे तली है।

डिब्बे के अंदर का आयतन उसकी धारिता (capacity) कहलाता है। डिब्बे में लगी लकड़ी निकालनी हो, तो बाहरी आयतन में से आंतरिक आयतन घटा दीजिए।

एक उदाहरण देखिए। एक बंद डिब्बे की बाहरी माप 20 सेमी × 16 सेमी × 12 सेमी है, और लकड़ी 1 सेमी मोटी है।

• अंदर का आयतन 18 × 14 × 10 = 2520 घन सेमी है। 1000 घन सेमी = एक लीटर, तो डिब्बे में 2.52 लीटर आएगा।
• बाहर का आयतन 20 × 16 × 12 = 3840 घन सेमी है।
• लकड़ी 3840 − 2520 = 1320 घन सेमी लगी। इस लकड़ी के 1 घन सेमी का भार 0.6 ग्राम हो, तो ख़ाली डिब्बे का भार 1320 × 0.6 = 792 ग्राम होगा।

यही डिब्बा बिना ढक्कन का हो, तो अंदर का आयतन 18 × 14 × 11 = 2772 घन सेमी होगा, और लकड़ी 3840 − 2772 = 1068 घन सेमी लगेगी।

आंतरिक माप दी हो: तब उलटा हिसाब कीजिए। बंद डिब्बे में हर आंतरिक माप में 2t जोड़ दीजिए, बाहरी माप मिल जाएगी।

[SSC टिप] खुले डिब्बे में ऊँचाई से t केवल एक बार घटाइए। ऊपर वाले खुले डिब्बे में किसी ने ऊँचाई से भी 2t घटा दिया, तो 2772 घन सेमी की जगह 2520 घन सेमी आएगा। विकल्पों में ये दोनों संख्याएँ दी हो सकती हैं।

टंकी और पानी: लीटर, धारिता, जल स्तर, वर्षा

द्रव की मात्रा लीटर में नापी जाती है, इसलिए ये बातें हमेशा याद रखिए।

• 1 लीटर = 1000 घन सेमी, और 1 मिली = 1 घन सेमी।
• 1 घन मीटर = 1000 लीटर। इसी को किलोलीटर भी कहते हैं।
• 1 घन मीटर = 10,00,000 घन सेमी।

टंकी की धारिता: मान लीजिए टंकी 3 मीटर × 2 मीटर × 1.5 मीटर की है। उसका आयतन 3 × 2 × 1.5 = 9 घन मीटर है, यानी 9000 लीटर। हर मिनट 300 लीटर देने वाला पंप इसे $\frac{9000}{300} = 30$ मिनट में भर देगा।

जल स्तर में वृद्धि: घनाभ के आकार की टंकी में जो पानी डाला जाता है, वह पूरे आधार पर फैल जाता है। इसलिए

$$\text{जल स्तर में वृद्धि} = \frac{\text{डाले गए पानी का आयतन}}{\text{आधार का क्षेत्रफल}}$$

जैसे 4 मीटर × 3 मीटर आधार वाली टंकी में 4800 लीटर पानी डाला गया। 4800 लीटर = 4.8 घन मीटर, और आधार 12 वर्ग मीटर है। तो स्तर $\frac{4.8}{12} = 0.4$ मीटर, यानी 40 सेमी बढ़ा।

पानी निकालने पर स्तर जितना गिरता है, वह भी इसी नियम से निकलता है। टंकी में कोई ठोस डाला जाए, तब भी स्तर इसी तरह बढ़ता है। ऐसे प्रश्न आगे "संयुक्त ठोस, पिघलाना और दोबारा ढालना" वाले खंड में आएँगे।

छत या खेत पर वर्षा: वर्षा हमेशा गहराई में बताई जाती है। गिरे हुए पानी का आयतन (क्षेत्रफल) × (वर्षा की गहराई) होता है, और गहराई मीटर में लेनी है। जैसे 20 मीटर × 15 मीटर की समतल छत पर 3 सेमी वर्षा हुई। तो पानी 20 × 15 × 0.03 = 9 घन मीटर, यानी 9000 लीटर गिरा। यही पानी ऊपर वाली 3 मीटर × 2 मीटर की टंकी में जाए, तो स्तर $\frac{9}{6} = 1.5$ मीटर बढ़ेगा। मतलब टंकी ठीक-ठीक भर जाएगी।

इस हिसाब में 3 सेमी को 0.03 मीटर लिखने वाला कदम ज़रूर जाँच लीजिए। कोई 3 को 3 ही रहने दे, तो उसी छत पर 900 घन मीटर पानी आ जाएगा, जो सौ गुना ज़्यादा है।

कितनी ईंटें, डिब्बे या घन समाएँ

दीवार में ईंटें: जब छोटे घनाभ बड़े घनाभ को पूरा भर दें, तब उनकी संख्या आयतनों के भाग से निकलती है।

$$\text{संख्या} = \frac{\text{बड़े घनाभ का आयतन}}{\text{एक छोटे घनाभ का आयतन}}$$

दोनों आयतन एक ही इकाई में होने चाहिए। जैसे एक दीवार 15 मीटर लंबी, 30 सेमी मोटी और 4 मीटर ऊँची है। उसका आयतन 15 × 0.3 × 4 = 18 घन मीटर है, यानी 1,80,00,000 घन सेमी। ईंट 25 सेमी × 12 सेमी × 8 सेमी की है, तो एक ईंट का आयतन 2400 घन सेमी हुआ। दीवार में 1,80,00,000 ÷ 2400 = 7500 ईंटें आएँगी।

पर ईंटों के बीच सीमेंट का मसाला भी भरा होता है। अगर मसाला दीवार का $\frac{1}{10}$ भाग घेरता है, तो ईंटें केवल $\frac{9}{10}$ भाग में हैं, और 6750 ईंटें चाहिए।

कार्टन में डिब्बे: डिब्बे काटे नहीं जा सकते। इसलिए गिनिए कि हर किनारे पर कितने डिब्बे आते हैं, और फिर गुणा कीजिए।

जैसे कार्टन 60 सेमी × 40 सेमी × 30 सेमी का है और डिब्बे 15 सेमी × 10 सेमी × 6 सेमी के हैं, सब एक ही ढंग से रखे हुए। लंबाई में 4 डिब्बे आते हैं, चौड़ाई में 4 और ऊँचाई में 5। तो कार्टन में 4 × 4 × 5 = 80 डिब्बे आएँगे। यहाँ आयतनों का भाग करें, तब भी 72000 ÷ 900 = 80 ही आता है, क्योंकि हर किनारा पूरा-पूरा बँट जाता है।

अब मान लीजिए कार्टन 50 सेमी लंबा है। 50 सेमी में केवल 3 डिब्बे आएँगे (3 × 15 = 45, और 5 सेमी बच जाता है)। तो कुल 3 × 4 × 5 = 60 डिब्बे आएँगे। पर आयतनों का भाग करें, तो 66.67 आता है, जो हो ही नहीं सकता।

घनाभ से सबसे बड़े बराबर घन: घनाभ को बिना कुछ बचाए सबसे बड़े बराबर घनों में काटना हो, तो घन का किनारा घनाभ के तीनों किनारों का महत्तम समापवर्तक (HCF) लीजिए। इसे छोटे में म.स. लिखते हैं। जैसे घनाभ 28 सेमी × 21 सेमी × 14 सेमी का है। 28, 21 और 14 का म.स. 7 है, तो घन 7 सेमी का होगा, और ऐसे 4 × 3 × 2 = 24 घन मिलेंगे।

ईंटों से सबसे छोटा घन: मान लीजिए 12 सेमी × 9 सेमी × 6 सेमी की ईंटें जोड़कर एक ठोस घन बनाना है। घन का किनारा तीनों मापों में से हर एक का गुणज होना चाहिए। सबसे छोटा घन चाहिए, तो किनारा तीनों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लीजिए। छोटे में इसे ल.स. लिखते हैं। 12, 9 और 6 का ल.स. 36 है, तो घन 36 सेमी का होगा, और इसमें 3 × 4 × 6 = 72 ईंटें लगेंगी।

[SSC टिप] आयतनों का भाग केवल तब कीजिए, जब टुकड़े जगह को पूरा-पूरा भर दें, या प्रश्न में ख़ुद लिखा हो कि बर्बादी पर ध्यान न दें। कार्टन में डिब्बे रखने वाले प्रश्नों में हर किनारे पर अलग से गिनती कीजिए।

घन काटना और घन जोड़ना

घन काटना: किनारा A वाले घन को किनारा a वाले छोटे घनों में काटें, तो $\left(\frac{A}{a}\right)^3$ घन बनते हैं। कुल आयतन वही रहता है। पर हर बार काटने पर नए फलक सामने आ जाते हैं, इसलिए कुल पृष्ठ बढ़ जाता है।

जैसे 12 सेमी के घन को 3 सेमी के घनों में काटा। हर किनारे पर 4 घन आते हैं, तो $4^3 = 64$ छोटे घन बने।

• पहले संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 6 × 144 = 864 वर्ग सेमी था।
• बाद में संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 64 × 6 × 9 = 3456 वर्ग सेमी हो गया, यानी 4 गुना।

यह 4 असल में $\frac{A}{a}$ ही है। कुल पृष्ठ हमेशा $\frac{A}{a}$ गुना हो जाता है। यहाँ वृद्धि 3456 − 864 = 2592 वर्ग सेमी है, जो पुराने पृष्ठ का 300% है। किसी घन को 8 बराबर घनों में काटें, तो हर किनारा आधा होता है और कुल पृष्ठ दोगुना। 27 घनों में काटें, तो पृष्ठ 3 गुना होता है।

घन जोड़ना: किनारा a वाले n बराबर घन एक पंक्ति में सिरे से सिरा मिलाकर जोड़ें, तो na × a × a का घनाभ बनता है। हर जोड़ पर दो फलक छिप जाते हैं, हर घन का एक।

जैसे 5 सेमी के तीन घन जोड़े। 15 × 5 × 5 का घनाभ बना, और उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 2(75 + 25 + 75) = 350 वर्ग सेमी है। जब ये तीनों अलग-अलग थे, तब इनका कुल पृष्ठ 3 × 150 = 450 वर्ग सेमी था। दो जोड़ों पर 25 वर्ग सेमी वाले 4 फलक छिप गए, तो 450 − 100 = 350।

n घनों के लिए सूत्र यह है।

$$\text{पंक्ति में जुड़े } n \text{ घनों का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल} = (4n + 2)a^2$$

दो घन हों तो $10a^2$, और तीन घन हों तो $14a^2$। आयतन बस एक घन के आयतन का n गुना होता है।

किनारे बदलें तो आयतन और पृष्ठ

घन का किनारा दोगुना: घन का किनारा दोगुना करें, तो आयतन $2^3 = 8$ गुना हो जाता है, पर पृष्ठ केवल $2^2 = 4$ गुना। चित्र में देखिए, किनारा 2a वाले घन को किनारा a के 8 घन भर देते हैं।

प्रतिशत वाले प्रश्नों में भी यही नियम लगता है। किनारा 10% बढ़े, तो आयतन $1.1^3 = 1.331$ गुना हो जाता है, यानी 33.1% बढ़ता है। पृष्ठ $1.1^2 = 1.21$ गुना होता है, मतलब 21% की वृद्धि। किनारा 20% बढ़े, तो आयतन 1.728 गुना, यानी 72.8% बढ़ जाता है।

यही हिसाब उलटा भी लगता है। आयतन 33.1% बढ़ा हो, तो किनारा 10% बढ़ा था, क्योंकि $\sqrt[3]{1.331} = 1.1$। हर ठोस पर यही वर्ग और घन वाला नियम लगता है। इसे "संयुक्त ठोस, पिघलाना और दोबारा ढालना" वाले खंड में विस्तार से देखेंगे।

घनाभ के किनारों में अलग-अलग परिवर्तन: आयतन = l × b × h है, तो तीनों गुणकों का गुणा कर दीजिए। जैसे लंबाई 10% बढ़ी, चौड़ाई 20% बढ़ी और ऊँचाई 25% घटी। तो

$$1.1 \times 1.2 \times 0.75 = 0.99$$

यानी आयतन 1% घटा। अध्याय 3 (प्रतिशत) में क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन का जो तरीका पढ़ा था, उससे भी यही उत्तर आता है। पहले दो परिवर्तन मिलकर 10 + 20 + 2 = 32% होते हैं। फिर 32 − 25 − 8 = −1।

आयतन वही रखना हो: मान लीजिए टंकी की लंबाई और चौड़ाई दोनों 25% बढ़ा दी गईं। तो आधार 1.25 × 1.25 = 1.5625 गुना बड़ा हो गया। उतना ही पानी रखने के लिए गहराई $\frac{1}{1.5625} = 0.64$ गुना करनी होगी, यानी गहराई 36% कम करनी है।

ध्यान रखिए, घनाभ के पृष्ठ में एक ही गुणक तभी लगता है, जब तीनों किनारे एक ही प्रतिशत से बदलें। नहीं तो नए किनारे निकालिए, और उनसे नया संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

एक घनाभ की माप 15 सेमी × 10 सेमी × 8 सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? (a) 1,200 वर्ग सेमी (b) 400 वर्ग सेमी (c) 700 वर्ग सेमी (d) 350 वर्ग सेमी

उत्तर: घनाभ में तीन तरह के फलक हैं, 15 × 10 = 150, 10 × 8 = 80 और 8 × 15 = 120। इनका योग 350 है। हर फलक दो बार आता है (ऊपर-नीचे, आगे-पीछे, दोनों बगल), तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 2 × 350 = (c) 700 वर्ग सेमी। 350 पर ही रुककर उसे उत्तर मान लेना आम गलती है।

प्रश्न 2

एक घनाभ का आयतन 1,440 घन सेमी है। उसकी लंबाई 16 सेमी और चौड़ाई 12 सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? (a) 804 वर्ग सेमी (b) 402 वर्ग सेमी (c) 420 वर्ग सेमी (d) 1,608 वर्ग सेमी

उत्तर: पहले ऊँचाई निकालते हैं। 1440 ÷ (16 × 12) = 1440 ÷ 192 = 7.5 सेमी। अब तीनों फलक 16 × 12 = 192, 12 × 7.5 = 90 और 7.5 × 16 = 120 हैं। इनका योग 402 है, तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 2 × 402 = (a) 804 वर्ग सेमी।

प्रश्न 3

18 मीटर लंबे, 9 मीटर चौड़े और 6 मीटर ऊँचे कमरे में रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ की लंबाई कितनी है? (a) 21 मीटर (b) 33 मीटर (c) $9\sqrt{5}$ मीटर (d) 27 मीटर

उत्तर: सबसे लंबी छड़ नीचे के एक कोने से सामने वाले ऊपरी कोने तक जाएगी, तो कमरे का विकर्ण चाहिए। $\sqrt{18^2 + 9^2 + 6^2} = \sqrt{324 + 81 + 36} = \sqrt{441}$ = (a) 21 मीटर। $9\sqrt{5}$ मीटर तो केवल फ़र्श का विकर्ण है, इसलिए वह गलत है।

प्रश्न 4

एक घनाभ के सभी किनारों की लंबाइयों का योग 88 सेमी है और उसका विकर्ण 14 सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? (a) 144 वर्ग सेमी (b) 470 वर्ग सेमी (c) 680 वर्ग सेमी (d) 288 वर्ग सेमी

उत्तर: हर तरह के 4 किनारे होते हैं, तो l + b + h = 88 ÷ 4 = 22। अब $(l + b + h)^2 = d^2 + \text{संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल}$ से संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 484 − 196 = (d) 288 वर्ग सेमी। किनारे अलग-अलग (4, 6 और 12 सेमी) निकालने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी। जो $14^2$ की जगह केवल 14 घटा दे, उसे 470 वर्ग सेमी मिलेगा, जो गलत है।

प्रश्न 5

एक घन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 1,350 वर्ग सेमी है। उसका आयतन कितना है? (a) 2,744 घन सेमी (b) 3,375 घन सेमी (c) 4,096 घन सेमी (d) 1,125 घन सेमी

उत्तर: घन के 6 बराबर वर्गाकार फलक होते हैं, तो एक फलक 1350 ÷ 6 = 225 वर्ग सेमी का है। किनारा $\sqrt{225} = 15$ सेमी है, और आयतन $15^3$ = (b) 3,375 घन सेमी।

प्रश्न 6

एक घन का विकर्ण 15 सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? (a) 1,350 वर्ग सेमी (b) 225 वर्ग सेमी (c) 450 वर्ग सेमी (d) 675 वर्ग सेमी

उत्तर: विकर्ण $a\sqrt{3}$ होता है, तो $d^2 = 3a^2$, और $a^2 = \frac{225}{3} = 75$। संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $6a^2$ = 6 × 75 = (c) 450 वर्ग सेमी। इससे छोटा रास्ता भी है। संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = $2d^2$ होता है, तो सीधे 2 × 225 कर दीजिए। कई लोग 15 सेमी को किनारा मानकर 1,350 वर्ग सेमी लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि 15 सेमी तो विकर्ण है।

प्रश्न 7

एक घनाभ के तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल 20 वर्ग सेमी, 36 वर्ग सेमी और 45 वर्ग सेमी हैं। उसका आयतन कितना है? (a) 180 घन सेमी (b) 101 घन सेमी (c) 360 घन सेमी (d) 32,400 घन सेमी

उत्तर: तीनों फलकों के क्षेत्रफलों का गुणनफल $(lbh)^2$ होता है, यानी आयतन का वर्ग। 20 × 36 × 45 = 32400, तो आयतन $\sqrt{32400}$ = (a) 180 घन सेमी। इसके किनारे 5, 4 और 9 सेमी हैं, क्योंकि 5 × 4 = 20, 4 × 9 = 36 और 9 × 5 = 45। 32,400 पर रुकना गलत है। वह तो आयतन का वर्ग है, उसका वर्गमूल लेना ज़रूरी है।

प्रश्न 8

एक घनाभ के किनारे 5 : 4 : 2 के अनुपात में हैं और उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 1,216 वर्ग सेमी है। उसका आयतन कितना है? (a) 640 घन सेमी (b) 2,560 घन सेमी (c) 1,280 घन सेमी (d) 5,120 घन सेमी

उत्तर: किनारे 5k, 4k और 2k मान लेते हैं। फलक $20k^2$, $8k^2$ और $10k^2$ हुए, तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \times 38k^2 = 76k^2 = 1216$। इससे $k^2 = 16$, यानी k = 4, और किनारे 20, 16 और 8 सेमी। आयतन = 20 × 16 × 8 = (b) 2,560 घन सेमी। कुछ लोग $k^3$ की जगह $k^2 = 16$ रख देते हैं और 40 × 16 = 640 घन सेमी लिख देते हैं। यह गलत है।

प्रश्न 9

एक कमरा 8 मीटर लंबा, 6 मीटर चौड़ा और 4 मीटर ऊँचा है। इसमें 2 मीटर × 1 मीटर का एक दरवाज़ा और दो खिड़कियाँ हैं, जिनमें से प्रत्येक 1.5 मीटर × 1 मीटर की है। ₹30 प्रति वर्ग मीटर की दर से इसकी चार दीवारों को पेंट करने का खर्च कितना होगा? (a) ₹3,210 (b) ₹3,360 (c) ₹4,650 (d) ₹3,255

उत्तर: चार दीवारों का क्षेत्रफल 2 × 4 × (8 + 6) = 112 वर्ग मीटर है। दरवाज़ा 2 वर्ग मीटर का है और हर खिड़की 1.5 वर्ग मीटर की, तो कुल 5 वर्ग मीटर पर रंग नहीं होगा। 107 वर्ग मीटर बचा, तो खर्च 107 × 30 = (a) ₹3,210 होगा। प्रश्न में केवल दीवारें पूछी गई हैं, इसलिए छत नहीं जोड़नी है।

प्रश्न 10

6 मीटर लंबे, 5 मीटर चौड़े और 3.5 मीटर ऊँचे एक कमरे की चार दीवारों पर 70 सेमी चौड़ा कागज़ लगाना है। कागज़ का मूल्य ₹15 प्रति मीटर है। कुल खर्च कितना होगा? (दरवाज़ों और खिड़कियों को छोड़ दें।) (a) ₹1,155 (b) ₹825 (c) ₹3,300 (d) ₹1,650

उत्तर: दीवारों का क्षेत्रफल 2 × 3.5 × (6 + 5) = 77 वर्ग मीटर है। कागज़ 70 सेमी, यानी 0.7 मीटर चौड़ा है, तो उसकी लंबाई 77 ÷ 0.7 = 110 मीटर होगी। ₹15 प्रति मीटर से खर्च 110 × 15 = (d) ₹1,650। दर को प्रति वर्ग मीटर मान लें, तो ₹1,155 आता है, पर यहाँ दाम कागज़ की लंबाई के हर मीटर का है।

प्रश्न 11

9 मीटर लंबे और 6 मीटर चौड़े एक कमरे की चार दीवारों को ₹20 प्रति वर्ग मीटर की दर से पेंट करने का खर्च ₹2,400 है। कमरे की ऊँचाई कितनी है? (a) 8 मीटर (b) 4 मीटर (c) 5 मीटर (d) 2 मीटर

उत्तर: रंगा गया क्षेत्रफल 2400 ÷ 20 = 120 वर्ग मीटर है। चार दीवारें 2h(l + b) = 2h × 15 = 30h होती हैं, तो 30h = 120, और h = (b) 4 मीटर। 2h(l + b) का 2 छूट जाए, तो उत्तर गलती से 8 मीटर आ जाता है।

प्रश्न 12

30 सेमी × 20 सेमी की एक आयताकार चादर के हर कोने से 5 सेमी भुजा वाले वर्ग काटे जाते हैं, और चारों ओर के भागों को ऊपर की ओर मोड़कर एक खुला डिब्बा बनाया जाता है। डिब्बे का आयतन कितना है? (a) 1,875 घन सेमी (b) 3,000 घन सेमी (c) 1,000 घन सेमी (d) 2,000 घन सेमी

उत्तर: चादर की हर भुजा के दोनों सिरों से 5 सेमी कटते हैं। तो डिब्बे का आयतन (30 − 10) × (20 − 10) × 5 = 20 × 10 × 5 = (c) 1,000 घन सेमी है। जो हर भुजा से केवल 5 सेमी घटाए, उसे 25 × 15 × 5 = 1875 मिलेगा। यह गलत है, क्योंकि वर्ग दोनों सिरों पर कटे हैं।

प्रश्न 13

लकड़ी के एक बंद डिब्बे की बाहरी माप 30 सेमी × 20 सेमी × 15 सेमी है और लकड़ी 2.5 सेमी मोटी है। डिब्बा बनाने में कितने आयतन की लकड़ी लगी? (a) 5,250 घन सेमी (b) 3,750 घन सेमी (c) 4,312.5 घन सेमी (d) 9,000 घन सेमी

उत्तर: डिब्बा बंद है, तो हर माप दोनों ओर से 2.5 सेमी कम होगी। अंदर का आयतन 25 × 15 × 10 = 3750 घन सेमी है, और बाहर का 30 × 20 × 15 = 9000 घन सेमी। लकड़ी इन दोनों का अंतर है, 9000 − 3750 = (a) 5,250 घन सेमी। 3,750 घन सेमी तो डिब्बे की धारिता है, लकड़ी नहीं।

प्रश्न 14

2 सेमी मोटी धातु से बने, बिना ढक्कन वाले एक खुले डिब्बे की बाहरी माप 54 सेमी × 34 सेमी × 26 सेमी है। इस डिब्बे की धारिता कितने लीटर है? (a) 33 लीटर (b) 360 लीटर (c) 3.6 लीटर (d) 36 लीटर

उत्तर: लंबाई और चौड़ाई में दोनों सिरों से 2 सेमी घटेगा, तो अंदर ये 50 सेमी और 30 सेमी रह जाएँगी। ढक्कन नहीं है, तो ऊँचाई में से 2 सेमी केवल एक बार घटेगा, तली के लिए। ऊँचाई 24 सेमी रह गई। आंतरिक आयतन 50 × 30 × 24 = 36000 घन सेमी है। 1000 घन सेमी = एक लीटर, तो धारिता (d) 36 लीटर है। जो इसे बंद डिब्बा मान ले, उसे 33 लीटर मिलेगा, जबकि इस डिब्बे में ढक्कन है ही नहीं।

प्रश्न 15

एक टंकी 2.5 मीटर लंबी, 1.6 मीटर चौड़ी और 1.2 मीटर गहरी है। एक नल से इसमें हर मिनट 240 लीटर पानी आता है। ख़ाली टंकी को भरने में कितना समय लगेगा? (a) 2 मिनट (b) 20 मिनट (c) 200 मिनट (d) 12 मिनट

उत्तर: टंकी का आयतन 2.5 × 1.6 × 1.2 = 4.8 घन मीटर है। एक घन मीटर = 1000 लीटर, तो टंकी में 4800 लीटर पानी आएगा। टंकी भरने में 4800 ÷ 240 = (b) 20 मिनट लगेंगे।

प्रश्न 16

6 मीटर लंबी और 4 मीटर चौड़ी एक आयताकार टंकी में पानी भरा है। जल स्तर को 30 सेमी नीचे लाने के लिए कितने लीटर पानी निकालना होगा? (a) 7,200 लीटर (b) 720 लीटर (c) 72,000 लीटर (d) 60,000 लीटर

उत्तर: जितना पानी निकालना है, उसे एक पतला घनाभ मान लीजिए। इसका आधार वही है जो टंकी का है, और ऊँचाई 30 सेमी, यानी 0.3 मीटर। आयतन 6 × 4 × 0.3 = 7.2 घन मीटर है, और 7.2 घन मीटर = (a) 7,200 लीटर।

प्रश्न 17

22 मीटर × 20 मीटर की एक समतल छत पर 2.5 सेमी वर्षा होती है। सारा पानी एक टंकी में जाता है, जिसका आधार 4 मीटर × 2.75 मीटर है। टंकी में पानी का स्तर कितना ऊपर उठता है? (a) 10 सेमी (b) 25 सेमी (c) 1 मीटर (d) 1.1 मीटर

उत्तर: 2.5 सेमी = 0.025 मीटर, तो छत से 22 × 20 × 0.025 = 11 घन मीटर पानी आया। टंकी का आधार 4 × 2.75 = 11 वर्ग मीटर है। स्तर में वृद्धि = 11 ÷ 11 = (c) 1 मीटर।

प्रश्न 18

10 मीटर लंबी, 24 सेमी मोटी और 3 मीटर ऊँची एक दीवार 24 सेमी × 12 सेमी × 8 सेमी माप वाली ईंटों से बनाई जाती है। दीवार का पाँचवाँ भाग मसाले ने घेरा है। दीवार में कितनी ईंटें लगी हैं? (a) 3,125 (b) 625 (c) 3,750 (d) 2,500

उत्तर: सब कुछ सेमी में ले लेते हैं। दीवार का आयतन 1000 × 24 × 300 = 72,00,000 घन सेमी है, और एक ईंट का 24 × 12 × 8 = 2304 घन सेमी। पूरी दीवार ईंटों की होती, तो 72,00,000 ÷ 2304 = 3125 ईंटें लगतीं। पर ईंटें दीवार का केवल चार-पाँचवाँ भाग घेरती हैं, तो $\frac{4}{5}$ × 3125 = (d) 2,500 ईंटें लगी हैं।

प्रश्न 19

20 सेमी × 15 सेमी × 12 सेमी के डिब्बे 90 सेमी × 60 सेमी × 50 सेमी के एक कार्टन में इस प्रकार रखे जाते हैं कि 20 सेमी वाली भुजा 90 सेमी वाली भुजा के साथ, 15 सेमी वाली भुजा 60 सेमी वाली भुजा के साथ और 12 सेमी वाली भुजा खड़ी रहे। कार्टन में कितने डिब्बे आ सकते हैं? (a) 75 (b) 64 (c) 80 (d) 60

उत्तर: यहाँ हर किनारे पर अलग से गिनती करनी है। 90 सेमी पर 4 डिब्बे आते हैं (80 सेमी, और 10 सेमी बचा)। 60 सेमी पर ठीक 4 आते हैं। 50 सेमी की ऊँचाई में 4 डिब्बे एक के ऊपर एक आते हैं (48 सेमी, और 2 सेमी बचा)। तो कुल 4 × 4 × 4 = (b) 64 डिब्बे। आयतनों का भाग करें, तो 75 आता है, पर उसमें बची हुई ख़ाली जगह भी डिब्बों में गिन ली जाती है।

प्रश्न 20

10 सेमी किनारे वाले एक घन को काटकर 2 सेमी किनारे वाले छोटे घन बनाए जाते हैं। संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होती है? (a) 400% (b) 500% (c) 125% (d) 2,400%

उत्तर: हर किनारे पर पाँच छोटे घन आते हैं, तो कुल $5^3 = 125$ घन बने। पहले पृष्ठ 6 × 100 = 600 वर्ग सेमी था। बाद में 125 × 6 × 4 = 3000 वर्ग सेमी हो गया, यानी पाँच गुना। वृद्धि 2400 वर्ग सेमी है, जो 600 का (a) 400% है। 500% लिखना गलत है, क्योंकि वह तो पुराने के मुक़ाबले पूरा नया पृष्ठ है। प्रश्न में वृद्धि पूछी गई है।

प्रश्न 21

4 सेमी किनारे वाले चार घन एक पंक्ति में सिरे से सिरा मिलाकर जोड़े जाते हैं। इस प्रकार बने घनाभ का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? (a) 384 वर्ग सेमी (b) 256 वर्ग सेमी (c) 288 वर्ग सेमी (d) 320 वर्ग सेमी

उत्तर: जुड़ने पर 16 सेमी × 4 सेमी × 4 सेमी का घनाभ बनता है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 2(16 × 4 + 4 × 4 + 4 × 16) = 2(64 + 16 + 64) = (c) 288 वर्ग सेमी है। दूसरे तरीके से जाँच भी कर लेते हैं। चारों घनों का पृष्ठ 4 × 96 = 384 वर्ग सेमी है। तीन जोड़ों पर 16 वर्ग सेमी वाले 6 फलक छिप गए, तो 384 − 96 = 288।

प्रश्न 22

एक घन का प्रत्येक किनारा 50% बढ़ा दिया जाता है। उसका आयतन कितने प्रतिशत बढ़ जाता है? (a) 150% (b) 125% (c) 337.5% (d) 237.5%

उत्तर: किनारा 1.5 गुना हुआ, तो आयतन $1.5^3 = 3.375$ गुना होगा। तो वृद्धि 3.375 − 1 = 2.375 गुना हुई, यानी पुराने आयतन का (d) 237.5%। 337.5% तो पुराने के मुक़ाबले पूरा नया आयतन है, वृद्धि नहीं।

प्रश्न 23

घनाभ के आकार की एक टंकी की लंबाई और चौड़ाई दोनों 20% बढ़ा दी जाती हैं। उसमें उतना ही पानी आए, इसके लिए उसकी गहराई कितने प्रतिशत घटानी होगी? (a) 40% (b) $30\frac{5}{9}\%$ (c) 44% (d) 36%

उत्तर: आधार 1.2 × 1.2 = 1.44 गुना बड़ा हो गया। आयतन वही रखना है, तो गहराई पहले की $\frac{1}{1.44} = \frac{25}{36}$ करनी होगी। कमी पुरानी गहराई का $\frac{11}{36}$ भाग है, यानी $\frac{1100}{36}\%$ = (b) $30\frac{5}{9}\%$। 44% तो आधार के क्षेत्रफल में वृद्धि है, गहराई में कमी नहीं।

प्रश्न 24

30 सेमी × 24 सेमी × 18 सेमी के एक घनाभ को बिना कुछ बचाए सबसे बड़े संभव बराबर घनों में काटा जाता है। कितने घन प्राप्त होंगे? (a) 120 (b) 20 (c) 60 (d) 6

उत्तर: सबसे बड़े घन का किनारा ऐसा होना चाहिए, जिससे 30, 24 और 18 तीनों पूरे-पूरे बँट जाएँ। ऐसी सबसे बड़ी संख्या इनका म.स. है, यानी 6 सेमी। तीनों किनारों पर 5, 4 और 3 घन आते हैं, तो कुल 5 × 4 × 3 = (c) 60 घन। जाँच के लिए आयतनों का भाग कीजिए, 12960 ÷ 216 = 60।