लंब प्रिज्म और पिरामिड

लंब प्रिज्म: आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई

प्रिज्म (prism) ऐसा ठोस है, जिसके दो सिरे बिल्कुल बराबर होते हैं और आमने-सामने समांतर रहते हैं। इन दोनों सिरों को आधार कहते हैं। दोनों आधार बगल के समतल फलकों से आपस में जुड़े रहते हैं।

अगर बगल वाले किनारे आधारों पर समकोण बनाते हुए सीधे खड़े हों, तो उसे लंब प्रिज्म (right prism) कहते हैं। ऐसे प्रिज्म का हर बगल वाला फलक आयत होता है।

प्रिज्म का नाम उसके आधार से पड़ता है। आधार त्रिभुज हो तो त्रिभुजाकार प्रिज्म, और वर्ग हो तो वर्गाकार प्रिज्म। इसी तरह पंचभुजाकार, षट्भुजाकार आदि प्रिज्म भी होते हैं। घनाभ भी असल में आयत पर बना एक लंब प्रिज्म ही है।

अब देखिए, प्रिज्म को आधार के समांतर कहीं से भी काटें, तो कटी हुई सतह हूबहू आधार जैसी ही होती है। बगल वाले फलक ऊँचाई h के आयत हैं, और इन आयतों की चौड़ाइयाँ आधार की भुजाएँ ही हैं। इसी से प्रिज्म के तीन सूत्र मिलते हैं।

$$\text{आयतन} = \text{आधार का क्षेत्रफल} \times h$$

$$\text{पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \text{आधार का परिमाप} \times h$$

$$\text{संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \text{पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल} + 2 \times \text{आधार का क्षेत्रफल}$$

मान लीजिए किसी प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल 24 वर्ग सेमी है, आधार का परिमाप 20 सेमी है और ऊँचाई 10 सेमी। तो आयतन 240 घन सेमी होगा और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 200 वर्ग सेमी। संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल में दोनों आधार भी जुड़ेंगे, तो वह 200 + 48 = 248 वर्ग सेमी होगा।

ध्यान रखिए, आयतन के लिए आधार का क्षेत्रफल चाहिए और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए आधार का परिमाप।

आधार एक समतल आकृति है, इसलिए उसका क्षेत्रफल और परिमाप अध्याय 13 (क्षेत्रमिति 2D) के सूत्रों से निकलता है। प्रिज्म वाले प्रश्नों में यही आधार आते हैं।

यही तीन सूत्र बेलन पर भी लगते हैं। वहाँ आधार वृत्त होता है। इसे "बेलन और खोखले बेलन" वाले खंड में देखेंगे।

त्रिभुजाकार प्रिज्म: समकोण और समबाहु आधार

समकोण त्रिभुज वाला आधार: मान लीजिए एक प्रिज्म 10 सेमी ऊँचा है। उसका आधार एक समकोण त्रिभुज है, जिसकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ 9 सेमी और 12 सेमी हैं। तो कर्ण $\sqrt{81 + 144} = 15$ सेमी होगा। अब बाकी सब सीधा है।

• आधार का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54$ वर्ग सेमी, और आधार का परिमाप = 9 + 12 + 15 = 36 सेमी।
• आयतन = 54 × 10 = 540 घन सेमी।
• पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 36 × 10 = 360 वर्ग सेमी।
• संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 360 + 2 × 54 = 468 वर्ग सेमी।

प्रिज्म को किनारों से काटकर समतल पर खोल दें, तो जो आकृति मिलती है उसे जाल कहते हैं। इस प्रिज्म के जाल में तीनों बगल वाले फलक 9 × 10, 12 × 10 और 15 × 10 के आयत हैं। ये एक के बाद एक जुड़कर 36 सेमी लंबी एक पट्टी बनाते हैं। इसीलिए पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल परिमाप × ऊँचाई होता है। पट्टी के सिरों पर लगे दोनों त्रिभुज प्रिज्म के आधार हैं।

समबाहु त्रिभुज वाला आधार: अब एक और प्रिज्म लेते हैं। यह भी 10 सेमी ऊँचा है, पर इसका आधार 8 सेमी भुजा वाला समबाहु त्रिभुज है।

• आधार का क्षेत्रफल = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 64 = 16\sqrt{3}$ वर्ग सेमी, और आधार का परिमाप = 24 सेमी।
• आयतन = $16\sqrt{3} \times 10 = 160\sqrt{3}$ घन सेमी, जो लगभग 277 घन सेमी है।
• पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 24 × 10 = 240 वर्ग सेमी।
• संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = $240 + 32\sqrt{3}$ वर्ग सेमी।

कोई और त्रिभुज: आधार किसी और तरह का त्रिभुज हो, तो पहले उसका क्षेत्रफल निकालिए। इसके लिए त्रिभुज के आधार × ऊँचाई का आधा लीजिए, या हीरोन का सूत्र लगाइए। ये दोनों तरीके अध्याय 13 के "त्रिभुज: क्षेत्रफल और परिमाप" वाले खंड में हैं।

मान लीजिए आधार एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसकी भुजाएँ 13, 13 और 10 सेमी हैं। इसकी ऊँचाई $\sqrt{169 - 25} = 12$ सेमी आती है और क्षेत्रफल 60 वर्ग सेमी। यह आधार 7 सेमी ऊँचे प्रिज्म पर हो, तो आयतन 420 घन सेमी होगा। आधार का परिमाप 36 सेमी है, तो पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 36 × 7 = 252 वर्ग सेमी होगा।

[SSC टिप] कर्ण आधार के क्षेत्रफल में नहीं आता, पर परिमाप में आता है। ऊपर वाले पहले प्रिज्म में कोई परिमाप से 15 सेमी वाली भुजा छोड़ दे, तो पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 21 × 10 = 210 वर्ग सेमी आएगा। सही मान 360 वर्ग सेमी है।

वर्ग, समचतुर्भुज और समलंब आधार वाले प्रिज्म

वर्गाकार आधार: आधार की भुजा a हो और ऊँचाई h, तो आयतन $a^2h$ होता है। पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 4ah होगा और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $4ah + 2a^2$। यह प्रिज्म असल में a × a × h वाला घनाभ ही है। जैसे a = 5 सेमी और h = 12 सेमी हो, तो आयतन 300 घन सेमी, पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 240 वर्ग सेमी और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 290 वर्ग सेमी आता है।

समचतुर्भुज वाला आधार: यहाँ क्षेत्रफल तो विकर्णों से सीधे निकल आता है। पर परिमाप के लिए भुजा चाहिए, और भुजा आधे विकर्णों से निकलती है, क्योंकि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर आधा-आधा काटते हैं।

मान लीजिए एक प्रिज्म 20 सेमी ऊँचा है, और उसका आधार ऐसा समचतुर्भुज है जिसके विकर्ण 24 सेमी और 18 सेमी हैं।

• आधार का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 24 \times 18 = 216$ वर्ग सेमी।
• भुजा = $\sqrt{12^2 + 9^2} = 15$ सेमी, तो परिमाप 60 सेमी है।
• आयतन = 216 × 20 = 4320 घन सेमी, पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 60 × 20 = 1200 वर्ग सेमी और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1200 + 432 = 1632 वर्ग सेमी।

समलंब वाला आधार, नाँद और नालियाँ: प्रिज्म हमेशा खड़ा हुआ नहीं होता, लेटा हुआ भी हो सकता है। किसी नाँद या नहर का अनुप्रस्थ काट समलंब के आकार का हो, तो वह लेटा हुआ प्रिज्म ही है। यहाँ उसकी लंबाई ऊँचाई का काम करती है।

चित्र वाली नाँद ऊपर 1.2 मीटर चौड़ी है और तली पर 0.6 मीटर। वह 0.4 मीटर गहरी और 3 मीटर लंबी है। हर ढलवाँ भुजा बाहर की ओर $\frac{1.2 - 0.6}{2} = 0.3$ मीटर फैली है, इसलिए ढलवाँ भुजा की चौड़ाई $\sqrt{0.09 + 0.16} = 0.5$ मीटर है।

• अनुप्रस्थ काट = $\frac{1}{2}(1.2 + 0.6) \times 0.4 = 0.36$ वर्ग मीटर।
• आयतन = 0.36 × 3 = 1.08 घन मीटर, मतलब नाँद में 1080 लीटर पानी आता है।
• नाँद ऊपर से खुली है, तो धातु तली, दोनों ढलानों और दोनों सिरों पर लगेगी। तली और दोनों ढलानें 3 मीटर लंबे आयत हैं। इनका क्षेत्रफल (0.6 + 0.5 + 0.5) × 3 = 4.8 वर्ग मीटर है। दोनों समलंब वाले सिरे मिलाकर 2 × 0.36 = 0.72 वर्ग मीटर हैं। कुल धातु 5.52 वर्ग मीटर लगेगी।

सम षट्भुजाकार प्रिज्म

भुजा a वाले सम षट्भुज के केंद्र से छहों कोनों तक रेखाएँ खींचिए। षट्भुज भुजा a वाले छह समबाहु त्रिभुजों में बँट जाता है। इसलिए

$$\text{षट्भुज का क्षेत्रफल} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \qquad \text{परिमाप} = 6a$$

मान लीजिए किसी षट्भुजाकार प्रिज्म की भुजा 4 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है।

• आधार का क्षेत्रफल = $\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 16 = 24\sqrt{3}$ वर्ग सेमी।
• आयतन = $24\sqrt{3} \times 10 = 240\sqrt{3}$ घन सेमी, जो लगभग 415.7 घन सेमी है।
• पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × 4 × 10 = 240 वर्ग सेमी।
• संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = $240 + 48\sqrt{3}$ वर्ग सेमी।

षट्भुज की दो चौड़ाइयाँ: षट्भुज की चौड़ाई दो तरह से नापी जाती है। आमने-सामने के दो कोनों के बीच यह 2a होती है। आमने-सामने की दो सपाट भुजाओं के बीच यह $a\sqrt{3}$ होती है, क्योंकि यह छह त्रिभुजों में से एक की ऊँचाई का दोगुना है। मान लीजिए किसी षट्भुजाकार छड़ की आमने-सामने वाली सपाट भुजाओं के बीच 12 सेमी की दूरी है। तो भुजा $\frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ सेमी हुई, और अनुप्रस्थ काट $\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 48 = 72\sqrt{3}$ वर्ग सेमी।

उलटी दिशा: कभी आयतन दिया होता है और भुजा पूछी जाती है। जैसे एक षट्भुजाकार प्रिज्म 5 सेमी ऊँचा है और उसका आयतन $120\sqrt{3}$ घन सेमी है। तो आधार $\frac{120\sqrt{3}}{5} = 24\sqrt{3}$ वर्ग सेमी हुआ। अब $\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = 24\sqrt{3}$ से $a^2 = 16$ आता है, तो भुजा 4 सेमी है।

खंभे की रंगाई: खंभे पर रंग केवल बगल वाले फलकों पर होता है। मान लीजिए एक षट्भुजाकार खंभे की भुजा 0.5 मीटर और ऊँचाई 4 मीटर है। उसका बगल वाला पृष्ठ 6 × 0.5 × 4 = 12 वर्ग मीटर हुआ। रंगाई ₹40 प्रति वर्ग मीटर हो, तो खर्च ₹480 आएगा।

आधार पंचभुज या अष्टभुज हो, तो प्रश्न में आधार का क्षेत्रफल प्रायः दिया होता है। तब बस वही सामान्य नियम लगाइए, आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई।

उलटी दिशा: आयतन से ऊँचाई, भुजा या आधार

प्रिज्म का हर सूत्र उलटकर भी लगाया जा सकता है।

$$h = \frac{\text{आयतन}}{\text{आधार का क्षेत्रफल}} \qquad h = \frac{\text{पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल}}{\text{आधार का परिमाप}} \qquad \text{आधार का क्षेत्रफल} = \frac{\text{संपूर्ण} - \text{पार्श्व}}{2}$$

आयतन से ऊँचाई: एक प्रिज्म का आधार 6 सेमी भुजा वाला समबाहु त्रिभुज है। तो आधार का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3}$ वर्ग सेमी हुआ। आयतन $180\sqrt{3}$ घन सेमी दिया हो, तो ऊँचाई $\frac{180\sqrt{3}}{9\sqrt{3}} = 20$ सेमी होगी। देखिए, $\sqrt{3}$ ऊपर-नीचे कट गया, इसलिए 1.732 लगाने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

आयतन से आधार की भुजा: मान लीजिए समबाहु त्रिभुज वाले आधार का एक प्रिज्म 10 सेमी ऊँचा है और उसका आयतन $160\sqrt{3}$ घन सेमी है। तो आधार का क्षेत्रफल $16\sqrt{3}$ हुआ। अब $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 16\sqrt{3}$ से $a^2 = 64$ आता है, मतलब a = 8 सेमी।

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल से ऊँचाई: आधार 12 सेमी भुजा वाला समबाहु त्रिभुज है और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 360 वर्ग सेमी है। परिमाप 36 सेमी हुआ, तो h = 360 ÷ 36 = 10 सेमी।

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल से भुजा: वर्गाकार आधार वाला एक प्रिज्म 8 सेमी ऊँचा है और उसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 384 वर्ग सेमी है। परिमाप 384 ÷ 8 = 48 सेमी हुआ, तो भुजा 12 सेमी है। अब आयतन भी निकल आता है, 144 × 8 = 1152 घन सेमी।

दो प्रिज्मों की तुलना: दो प्रिज्मों के आधार बराबर हों, तो उनके आयतनों का अनुपात वही होगा जो उनकी ऊँचाइयों का है। ऊँचाई बराबर हो, तो आयतनों का अनुपात आधार के क्षेत्रफलों के अनुपात के बराबर होगा।

प्रिज्म और पिरामिड के फलक, किनारे, शीर्ष

n भुजाओं वाले आधार पर बने प्रिज्म में n आयत होते हैं और 2 आधार। दोनों आधारों में से हर एक पर n किनारे होते हैं, और इनके अलावा n बगल वाले किनारे। हर आधार पर n कोने भी होते हैं।

n भुजाओं वाले आधार पर बने पिरामिड (pyramid) में n त्रिभुज होते हैं और 1 आधार। इसके n किनारे आधार पर होते हैं और n किनारे शीर्ष तक जाते हैं। आधार के n कोनों के साथ ऊपर का शीर्ष भी गिना जाता है।

अब कुछ आधार लेकर गिनती देखिए। यहाँ F फलकों की संख्या है, E किनारों की और V शीर्षों की।

फलक, किनारे और शीर्ष का संबंध: इन सभी ठोसों पर ऑयलर का सूत्र (Euler's formula) लागू होता है। यही सूत्र समतल फलकों वाले हर उस ठोस पर भी लागू होता है, जिसके आर-पार कोई छेद न हो।

$$F + V - E = 2$$

जैसे चित्र वाले पंचभुजाकार प्रिज्म में 7 + 10 − 15 = 2, और पंचभुजाकार पिरामिड में 6 + 6 − 10 = 2।

गिनती वाले प्रश्न: ऐसे प्रश्नों में पहले n निकालिए। उसके बाद बाकी सब अपने-आप निकल आता है।

• 24 किनारों वाला प्रिज्म हो, तो 3n = 24, यानी n = 8। उसके 10 फलक और 16 शीर्ष होंगे।
• 9 फलकों वाला पिरामिड हो, तो n + 1 = 9 और n = 8। उसके 16 किनारे और 9 शीर्ष होंगे।
• किसी ठोस के 12 फलक और 30 किनारे हों, तो V = 2 − 12 + 30 = 20।

पंचभुज पर बने पिरामिड में जितने फलक हैं, उतने ही शीर्ष हैं, 6-6। यह बात हर पिरामिड पर लागू होती है, क्योंकि दोनों की संख्या n + 1 होती है।

लंब पिरामिड: ऊँचाई, तिर्यक ऊँचाई, पार्श्व किनारा

पिरामिड का आधार एक बहुभुज होता है। उसके बगल वाले फलक त्रिभुज होते हैं, जो ऊपर एक बिंदु पर मिलते हैं। इस बिंदु को शीर्ष V कहते हैं। शीर्ष अगर आधार के केंद्र O के ठीक ऊपर हो, तो उसे लंब पिरामिड (right pyramid) कहते हैं।

ज़्यादातर प्रश्नों में आधार सम बहुभुज होता है, जैसे समबाहु त्रिभुज, वर्ग या सम षट्भुज। तब सारे बगल वाले फलक बराबर होते हैं।

ऐसे पिरामिड में तीन लंबाइयाँ काम आती हैं।

• ऊँचाई h = VO, जो शीर्ष से सीधे नीचे आधार के केंद्र तक जाती है।
• तिर्यक ऊँचाई (slant height) l = VM, जो बगल वाले फलक के बीचोंबीच नीचे उतरकर आधार के किनारे के मध्य-बिंदु M तक जाती है।
• पार्श्व किनारा (lateral edge) e = VB, जो शीर्ष से आधार के एक कोने तक जाता है।

भुजा a वाले वर्गाकार आधार में OM भुजा का आधा होता है, और OB विकर्ण का आधा, यानी $\frac{a}{\sqrt{2}}$। अब समकोण त्रिभुज VOM और VOB से ये दोनों लंबाइयाँ मिल जाती हैं।

$$l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \qquad e = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}} = \sqrt{l^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$$

जैसे a = 20 सेमी और h = 24 सेमी हो, तो $l = \sqrt{576 + 100} = 26$ सेमी। पार्श्व किनारा $e = \sqrt{676 + 100} = \sqrt{776}$ सेमी है, जो लगभग 27.86 सेमी होता है। याद रखिए, तिर्यक ऊँचाई हमेशा ऊँचाई से लंबी और पार्श्व किनारे से छोटी होती है।

बाकी दो से तीसरी: इनमें से कोई दो लंबाइयाँ पता हों, तो तीसरी निकल आती है। तिर्यक ऊँचाई 26 सेमी हो और आधार की भुजा 20 सेमी, तो $h = \sqrt{676 - 100} = 24$ सेमी। इसी तरह तिर्यक ऊँचाई 29 सेमी और ऊँचाई 21 सेमी हो, तो $\frac{a}{2} = \sqrt{841 - 441} = 20$ आता है। मतलब आधार की भुजा 40 सेमी है।

[SSC टिप] तिर्यक ऊँचाई आधार के किनारे के बीच में जाकर ख़त्म होती है, इसलिए इसमें भुजा का आधा आता है। a = 20 और h = 24 वाले उदाहरण में कोई पूरी भुजा पाइथागोरस में रख दे, तो $\sqrt{976}$ सेमी आएगा। यह मान गलत है, पर देखने में बिल्कुल ठीक-ठाक लगता है।

पिरामिड का आयतन: प्रिज्म का एक-तिहाई

$$\text{पिरामिड का आयतन} = \frac{1}{3} \times \text{आधार का क्षेत्रफल} \times h$$

मतलब पिरामिड का आयतन उसी आधार और उसी ऊँचाई वाले प्रिज्म के आयतन का ठीक एक-तिहाई होता है।

एक-तिहाई क्यों: a किनारे वाला एक घन लीजिए और उसके केंद्र को आठों कोनों से जोड़ दीजिए। घन 6 बराबर पिरामिडों में बँट जाता है, हर फलक पर एक। हर पिरामिड की ऊँचाई $\frac{a}{2}$ है। तो हर पिरामिड का आयतन $\frac{a^3}{6}$ हुआ। सूत्र भी यही देता है, $\frac{1}{3} \times a^2 \times \frac{a}{2} = \frac{a^3}{6}$।

जैसे किसी वर्गाकार पिरामिड के आधार की भुजा 20 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है। उसका आयतन $\frac{1}{3} \times 400 \times 24 = 3200$ घन सेमी होगा। उसी आधार और उसी ऊँचाई वाले प्रिज्म का आयतन 9600 घन सेमी होगा।

आयतन से ऊँचाई: एक वर्गाकार पिरामिड के आधार की भुजा 9 मीटर है और उसका आयतन 486 घन मीटर। तो $\frac{1}{3} \times 81 \times h = 27h = 486$, जिससे h = 18 मीटर आता है। ऐसे प्रश्नों में आधार के क्षेत्रफल से भाग देने से पहले आयतन को 3 से गुणा कर लीजिए।

प्रिज्म से तुलना:

• आधार और ऊँचाई एक हों, तो पिरामिड : प्रिज्म = 1 : 3 होगा।
• आधार और आयतन एक हों, तो पिरामिड 3 गुना ऊँचा होगा।

ध्यान रखिए, सूत्र में h लंबवत ऊँचाई है। प्रश्न में तिर्यक ऊँचाई दी हो, तो पहले उससे h निकालिए, जैसे पिछले भाग में निकाला था।

पिरामिड का पार्श्व और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल

लंब पिरामिड का हर बगल वाला फलक एक त्रिभुज है। इस त्रिभुज का आधार पिरामिड के आधार की एक भुजा होती है, और उसकी ऊँचाई तिर्यक ऊँचाई l होती है। सब त्रिभुजों के क्षेत्रफल जोड़ें, तो

$$\text{पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार का परिमाप} \times l$$

$$\text{संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \text{पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल} + \text{आधार का क्षेत्रफल}$$

यहाँ आधार केवल एक है, प्रिज्म की तरह दो नहीं। भुजा a वाले वर्गाकार आधार में पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 4a \times l = 2al$ होता है।

जाल में यह साफ़ दिखता है। बीच में 20 सेमी भुजा वाला वर्गाकार आधार है, और उसके चारों ओर चार त्रिभुज हैं, जिनकी ऊँचाई 26 सेमी है। पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 80 \times 26 = 1040$ वर्ग सेमी है, और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 1040 + 400 = 1440 वर्ग सेमी।

ऊँचाई से पृष्ठ तक: एक वर्गाकार पिरामिड के आधार की भुजा 16 सेमी है और ऊँचाई 6 सेमी। पहले तिर्यक ऊँचाई निकालिए, जो $\sqrt{36 + 64} = 10$ सेमी है। अब पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 64 \times 10 = 320$ वर्ग सेमी हुआ, और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 320 + 256 = 576 वर्ग सेमी। इसी पिरामिड का आयतन $\frac{1}{3} \times 256 \times 6 = 512$ घन सेमी है।

उलटी दिशा: 20 सेमी के वर्गाकार आधार पर पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 1040 वर्ग सेमी दिया हो, तो 2 × 20 × l = 1040, यानी l = 26 सेमी। इससे फिर h = 24 सेमी निकल आता है।

तंबू: पिरामिड के आकार के एक तंबू का आधार 6 मीटर भुजा वाला वर्ग है और उसकी ऊँचाई 4 मीटर है। तिर्यक ऊँचाई $\sqrt{16 + 9} = 5$ मीटर हुई। कैनवास केवल चारों बगल वाले फलकों पर लगता है, तो कैनवास $\frac{1}{2} \times 24 \times 5 = 60$ वर्ग मीटर लगेगा। ₹50 प्रति वर्ग मीटर के हिसाब से इसका खर्च ₹3,000 होगा।

[SSC टिप] पृष्ठ निकालना हो तो तिर्यक ऊँचाई लीजिए, और आयतन निकालना हो तो लंबवत ऊँचाई। ऊपर वाले 16 सेमी के पिरामिड में कोई पृष्ठ वाले सूत्र में h = 6 रख दे, तो 320 वर्ग सेमी की जगह 192 वर्ग सेमी आएगा।

आयताकार और षट्भुजाकार आधार वाले पिरामिड

आयताकार आधार: आयत सम बहुभुज नहीं है, इसलिए उस पर बने पिरामिड की दो तिर्यक ऊँचाइयाँ होती हैं। मान लीजिए आधार L × B है और ऊँचाई h। आधार का केंद्र हर लंबी भुजा से $\frac{B}{2}$ दूर है और हर छोटी भुजा से $\frac{L}{2}$ दूर।

• लंबाई L वाली भुजाओं पर खड़े दोनों फलकों की तिर्यक ऊँचाई $l_1 = \sqrt{h^2 + \left(\frac{B}{2}\right)^2}$ होती है।
• लंबाई B वाली भुजाओं पर खड़े दोनों फलकों की तिर्यक ऊँचाई $l_2 = \sqrt{h^2 + \left(\frac{L}{2}\right)^2}$ होती है।

हर तरह के दो त्रिभुज हैं, इसलिए पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = $L l_1 + B l_2$।

मान लीजिए आधार 18 सेमी × 10 सेमी का है और ऊँचाई 12 सेमी। 18 सेमी वाली भुजाओं पर $l_1 = \sqrt{144 + 25} = 13$ सेमी है, और 10 सेमी वाली भुजाओं पर $l_2 = \sqrt{144 + 81} = 15$ सेमी।

तो पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 18 × 13 + 10 × 15 = 234 + 150 = 384 वर्ग सेमी। संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 384 + 180 = 564 वर्ग सेमी, और आयतन = $\frac{1}{3} \times 180 \times 12 = 720$ घन सेमी। ध्यान दीजिए, आधार की लंबी भुजा पर तिर्यक ऊँचाई छोटी होती है।

षट्भुजाकार आधार: भुजा a वाले सम षट्भुज में केंद्र हर कोने से a दूर होता है और हर भुजा से $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ दूर। यह दूरी छह समबाहु त्रिभुजों में से एक की ऊँचाई है। इसलिए

$$l = \sqrt{h^2 + \frac{3a^2}{4}}$$

जैसे भुजा 8 सेमी और ऊँचाई 11 सेमी हो, तो केंद्र हर भुजा से $4\sqrt{3}$ सेमी दूर है। तब $l = \sqrt{121 + 48} = 13$ सेमी, और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 48 \times 13 = 312$ वर्ग सेमी। आधार $\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 64 = 96\sqrt{3}$ वर्ग सेमी है, तो आयतन $\frac{1}{3} \times 96\sqrt{3} \times 11 = 352\sqrt{3}$ घन सेमी हुआ। हर पार्श्व किनारा $\sqrt{121 + 64} = \sqrt{185}$ सेमी है।

[Tier 2] समबाहु त्रिभुज पर पिरामिड

यहाँ आधार भुजा a वाला समबाहु त्रिभुज है, और शीर्ष उसके केंद्रक (centroid) G के ठीक ऊपर है। समबाहु त्रिभुज में G ही अंतःकेंद्र भी है और परिकेंद्र भी।

आधार की माध्यिका $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ होती है, और G इसे 2 : 1 में बाँटता है। इसलिए

$$GM = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{a}{2\sqrt{3}} \qquad GA = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

G से भुजा तक की दूरी GM को अंतःत्रिज्या कहते हैं, और G से कोने तक की दूरी GA को परित्रिज्या।

अब समकोण त्रिभुज VGM और VGA से तिर्यक ऊँचाई और पार्श्व किनारा मिल जाते हैं।

$$l = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}} \qquad e = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{3}}$$

जैसे आधार की भुजा $10\sqrt{3}$ सेमी और ऊँचाई 12 सेमी हो, तो GM = 5 सेमी और GA = 10 सेमी।

• तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{144 + 25} = 13$ सेमी, और पार्श्व किनारा $e = \sqrt{144 + 100} = 2\sqrt{61}$ सेमी।
• आधार का क्षेत्रफल = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 300 = 75\sqrt{3}$ वर्ग सेमी, तो आयतन $\frac{1}{3} \times 75\sqrt{3} \times 12 = 300\sqrt{3}$ घन सेमी।
• पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 30\sqrt{3} \times 13 = 195\sqrt{3}$ वर्ग सेमी, और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = $270\sqrt{3}$ वर्ग सेमी।

उलटी दिशा: इसी आधार पर पार्श्व किनारा 26 सेमी दिया हो, तो $h = \sqrt{676 - 100} = 24$ सेमी।

याद रखिए, तिर्यक ऊँचाई के साथ GM आता है और पार्श्व किनारे के साथ GA। और GA हमेशा GM का दोगुना होता है।

[Tier 2] सम चतुष्फलक

सम चतुष्फलक (regular tetrahedron) एक त्रिभुजाकार पिरामिड है, जिसके चारों फलक भुजा a वाले समबाहु त्रिभुज होते हैं। इसके 4 फलक, 6 किनारे और 4 शीर्ष होते हैं। हर किनारा a है, और किसी भी फलक को आधार माना जा सकता है।

इसके सारे सूत्र पिछले भाग से ही निकलते हैं। बस पार्श्व किनारा e = a रख दीजिए।

ऊँचाई कहाँ से आई: GA = $\frac{a}{\sqrt{3}}$ है और पार्श्व किनारा a है। तो $h^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$। फिर आयतन $\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times a\sqrt{\frac{2}{3}}$ हुआ, जो सरल करने पर $\frac{a^3}{6\sqrt{2}}$ आता है।

जैसे किनारा 6 सेमी हो, तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $36\sqrt{3}$ वर्ग सेमी है। ऊँचाई $6\sqrt{\frac{2}{3}} = 2\sqrt{6}$ सेमी है, और आयतन $\frac{216}{6\sqrt{2}} = 18\sqrt{2}$ घन सेमी।

ठोस की ऊँचाई या फलक की ऊँचाई: हर फलक समबाहु त्रिभुज है, इसलिए तिर्यक ऊँचाई बस एक फलक की ऊँचाई है, $\frac{\sqrt{3}}{2}a$। a = 6 पर यह $3\sqrt{3}$ सेमी है, लगभग 5.2 सेमी। जबकि ठोस की ऊँचाई $2\sqrt{6}$ सेमी है, लगभग 4.9 सेमी। इसी चतुष्फलक के तीनों बगल वाले फलक मिलाकर $\frac{3\sqrt{3}}{4} \times 36 = 27\sqrt{3}$ वर्ग सेमी होते हैं।

उलटी दिशा: संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $64\sqrt{3}$ वर्ग सेमी दिया हो, तो $a^2 = 64$, यानी a = 8 सेमी। अब आयतन $\frac{512}{6\sqrt{2}} = \frac{128\sqrt{2}}{3}$ घन सेमी आता है।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

एक लंब प्रिज्म का आधार एक समकोण त्रिभुज है, जिसकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ 8 सेमी और 15 सेमी हैं। प्रिज्म की ऊँचाई 12 सेमी है। उसका आयतन कितना है? (a) 1,440 घन सेमी (b) 480 घन सेमी (c) 720 घन सेमी (d) 240 घन सेमी

उत्तर: पहले आधार का क्षेत्रफल निकालते हैं, $\frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 60$ वर्ग सेमी। आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई, तो 60 × 12 = (c) 720 घन सेमी। अगर 1,440 घन सेमी आया, तो मतलब 8 × 15 का आधा करना छूट गया।

प्रश्न 2

10 सेमी ऊँचा एक लंब प्रिज्म ऐसे त्रिभुज पर खड़ा है, जिसकी भुजाएँ 7 सेमी, 24 सेमी और 25 सेमी हैं। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? (a) 560 वर्ग सेमी (b) 728 वर्ग सेमी (c) 644 वर्ग सेमी (d) 896 वर्ग सेमी

उत्तर: $7^2 + 24^2 = 625 = 25^2$ है, तो आधार समकोण त्रिभुज है। इसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84$ वर्ग सेमी हुआ। परिमाप 56 सेमी है, तो पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 56 × 10 = 560 वर्ग सेमी। प्रिज्म के दो आधार होते हैं, इसलिए संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 560 + 2 × 84 = (b) 728 वर्ग सेमी।

प्रश्न 3

एक प्रिज्म का आधार 6 सेमी भुजा वाला समबाहु त्रिभुज है और प्रिज्म 9 सेमी ऊँचा है। उसका आयतन कितना है? (a) $81\sqrt{3}$ घन सेमी (b) $27\sqrt{3}$ घन सेमी (c) $162\sqrt{3}$ घन सेमी (d) $324\sqrt{3}$ घन सेमी

उत्तर: आधार का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3}$ वर्ग सेमी है। तो आयतन = $9\sqrt{3} \times 9$ = (a) $81\sqrt{3}$ घन सेमी। यहाँ $\frac{1}{3}$ से गुणा नहीं करना है। वह पिरामिड के आयतन में लगता है, प्रिज्म में नहीं। इसलिए $27\sqrt{3}$ वाला विकल्प हट जाता है।

प्रश्न 4

15 सेमी ऊँचे एक प्रिज्म का आधार 10 सेमी भुजा वाला समबाहु त्रिभुज है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? (a) $450 + 25\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (b) 450 वर्ग सेमी (c) $300 + 50\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (d) $450 + 50\sqrt{3}$ वर्ग सेमी

उत्तर: पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = परिमाप × ऊँचाई = 30 × 15 = 450 वर्ग सेमी। हर आधार $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 100 = 25\sqrt{3}$ वर्ग सेमी का है, और ऐसे दो आधार हैं। तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = (d) $450 + 50\sqrt{3}$ वर्ग सेमी। केवल एक आधार जोड़ने वाले $450 + 25\sqrt{3}$ पर ही रुक जाते हैं।

प्रश्न 5

एक लंब प्रिज्म का आधार एक समचतुर्भुज है, जिसके विकर्ण 24 सेमी और 10 सेमी हैं। प्रिज्म 20 सेमी ऊँचा है। उसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? (a) 2,080 वर्ग सेमी (b) 1,040 वर्ग सेमी (c) 2,400 वर्ग सेमी (d) 1,280 वर्ग सेमी

उत्तर: समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर आधा-आधा काटते हैं। तो आधे विकर्ण 12 और 5 लेते हैं, और हर भुजा $\sqrt{12^2 + 5^2} = 13$ सेमी आती है। परिमाप = 52 सेमी, तो पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 52 × 20 = (b) 1,040 वर्ग सेमी। कोई पूरे विकर्ण ले ले, तो भुजा 26 सेमी आएगी और क्षेत्रफल दोगुना होकर 2,080 वर्ग सेमी हो जाएगा।

प्रश्न 6

पानी की एक 5 मीटर लंबी नाली का अनुप्रस्थ काट समलंब चतुर्भुज के आकार का है, जो ऊपर 2 मीटर चौड़ा, तली पर 1.2 मीटर चौड़ा और 0.8 मीटर गहरा है। पूरी भरी होने पर इसमें कितने लीटर पानी आता है? (a) 12,800 लीटर (b) 8,000 लीटर (c) 6,400 लीटर (d) 640 लीटर

उत्तर: नाली एक लेटा हुआ प्रिज्म है, और इसकी लंबाई ऊँचाई का काम करती है। अनुप्रस्थ काट = $\frac{1}{2}(2 + 1.2) \times 0.8 = 1.28$ वर्ग मीटर। आयतन = 1.28 × 5 = 6.4 घन मीटर। 1 घन मीटर में 1000 लीटर आते हैं, तो नाली में (c) 6,400 लीटर पानी आता है।

प्रश्न 7

7 सेमी ऊँचे एक प्रिज्म का आधार 6 सेमी भुजा वाला सम षट्भुज है। उसका आयतन कितना है? (a) $63\sqrt{3}$ घन सेमी (b) $126\sqrt{3}$ घन सेमी (c) $756\sqrt{3}$ घन सेमी (d) $378\sqrt{3}$ घन सेमी

उत्तर: षट्भुज को 6 सेमी भुजा वाले छह समबाहु त्रिभुजों में बाँट लेते हैं। हर त्रिभुज $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3}$ वर्ग सेमी का है, तो आधार $54\sqrt{3}$ वर्ग सेमी हुआ। आयतन = $54\sqrt{3} \times 7$ = (d) $378\sqrt{3}$ घन सेमी। $63\sqrt{3}$ तब आता है, जब छह में से केवल एक त्रिभुज गिना जाए।

प्रश्न 8

8 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के आधार वाले एक प्रिज्म का आयतन $480\sqrt{3}$ घन सेमी है। उसकी ऊँचाई कितनी है? (a) 30 सेमी (b) 10 सेमी (c) 90 सेमी (d) 7.5 सेमी

उत्तर: आधार का क्षेत्रफल = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 64 = 16\sqrt{3}$ वर्ग सेमी। ऊँचाई = $\frac{480\sqrt{3}}{16\sqrt{3}}$ = (a) 30 सेमी। वर्गमूल ऊपर-नीचे कट जाते हैं, इसलिए दशमलव की ज़रूरत ही नहीं पड़ती।

प्रश्न 9

वर्गाकार आधार वाले एक लंब प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 480 वर्ग सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है। उसका आयतन कितना है? (a) 480 घन सेमी (b) 1,200 घन सेमी (c) 1,440 घन सेमी (d) 4,800 घन सेमी

उत्तर: पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = परिमाप × ऊँचाई होता है। तो परिमाप = 480 ÷ 12 = 40 सेमी, और वर्ग की हर भुजा 10 सेमी हुई। आयतन = $10^2 \times 12$ = (b) 1,200 घन सेमी।

प्रश्न 10

एक प्रिज्म के 12 शीर्ष हैं। उसके कितने किनारे हैं? (a) 12 (b) 24 (c) 18 (d) 8

उत्तर: n भुजाओं वाले आधार पर बने प्रिज्म में 2n शीर्ष होते हैं। तो 2n = 12 और n = 6, मतलब यह षट्भुजाकार प्रिज्म है। इसके किनारे 3n = (c) 18 हैं, छह ऊपर, छह नीचे और छह खड़े।

प्रश्न 11

एक पिरामिड के 20 किनारे हैं। उसके कितने फलक हैं? (a) 11 (b) 10 (c) 12 (d) 22

उत्तर: n भुजाओं वाले आधार पर बने पिरामिड में 2n किनारे होते हैं, तो n = 10। इसमें 10 त्रिभुजाकार फलक हैं और 1 आधार, यानी कुल (a) 11 फलक। ऑयलर के सूत्र से जाँच भी कर लेते हैं, 11 फलक + 11 शीर्ष − 20 किनारे = 2।

प्रश्न 12

समतल फलकों वाले एक ठोस के 14 फलक और 24 शीर्ष हैं। उसके कितने किनारे हैं? (a) 38 (b) 40 (c) 12 (d) 36

उत्तर: ऑयलर का सूत्र F + V − E = 2 है। इससे E = F + V − 2 = 14 + 24 − 2 = (d) 36। यह 12 भुजाओं वाले आधार पर बना प्रिज्म हो सकता है, जिसके 14 फलक, 24 शीर्ष और 36 किनारे होते हैं।

प्रश्न 13

16 सेमी भुजा वाले वर्गाकार आधार पर बना एक लंब पिरामिड 15 सेमी ऊँचा है। उसकी तिर्यक ऊँचाई कितनी है? (a) $\sqrt{481}$ सेमी (b) 17 सेमी (c) 31 सेमी (d) $\sqrt{353}$ सेमी

उत्तर: तिर्यक ऊँचाई बगल वाले फलक के बीचोंबीच से आधार के किनारे के मध्य-बिंदु तक जाती है, और वह बिंदु केंद्र से 8 सेमी दूर है। तो $l = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{289}$ = (b) 17 सेमी। जल्दबाज़ी में कोई पूरी भुजा 16 रख दे, तो $\sqrt{481}$ आएगा। और $\sqrt{353}$ तो पार्श्व किनारा है, जो कोने तक जाता है।

प्रश्न 14

एक लंब पिरामिड का आधार 9 सेमी भुजा वाला वर्ग है और उसकी ऊँचाई 14 सेमी है। उसका आयतन कितना है? (a) 378 घन सेमी (b) 1,134 घन सेमी (c) 189 घन सेमी (d) 756 घन सेमी

उत्तर: आयतन = $\frac{1}{3} \times 9^2 \times 14 = \frac{1}{3} \times 1134$ = (a) 378 घन सेमी। एक-तिहाई लगाना भूल जाएँ, तो 1,134 घन सेमी आता है। वह तो उसी आधार और ऊँचाई वाले प्रिज्म का आयतन है।

प्रश्न 15

एक वर्गाकार पिरामिड के आधार की भुजा 12 सेमी और उसकी ऊँचाई 8 सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? (a) 240 वर्ग सेमी (b) 336 वर्ग सेमी (c) 384 वर्ग सेमी (d) 528 वर्ग सेमी

उत्तर: पहले तिर्यक ऊँचाई निकालते हैं। भुजा का आधा 6 है, तो $l = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ सेमी। पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 48 \times 10 = 240$ वर्ग सेमी। इसमें आधार के 144 वर्ग सेमी जोड़ दें, तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = (c) 384 वर्ग सेमी।

प्रश्न 16

एक वर्गाकार पिरामिड की तिर्यक ऊँचाई 25 सेमी और उसके आधार की भुजा 14 सेमी है। उसका आयतन कितना है? (a) 4,704 घन सेमी (b) $1633\frac{1}{3}$ घन सेमी (c) 784 घन सेमी (d) 1,568 घन सेमी

उत्तर: आयतन के लिए लंबवत ऊँचाई चाहिए, तो पहले वही निकालते हैं। भुजा का आधा 7 है, तो $h = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24$ सेमी। आयतन = $\frac{1}{3} \times 196 \times 24$ = (d) 1,568 घन सेमी। कुछ लोग h की जगह तिर्यक ऊँचाई 25 ही रख देते हैं और $1633\frac{1}{3}$ घन सेमी लिख देते हैं।

प्रश्न 17

15 मीटर भुजा वाले वर्गाकार आधार पर बने एक पिरामिड का आयतन 1,500 घन मीटर है। उसकी ऊँचाई कितनी है? (a) 20 मीटर (b) $6\frac{2}{3}$ मीटर (c) 60 मीटर (d) 10 मीटर

उत्तर: आयतन के सूत्र से $\frac{1}{3} \times 225 \times h = 1500$ लिखते हैं। इससे 75h = 1500, तो h = (a) 20 मीटर। 1500 को 3 से गुणा किए बिना सीधे 225 से भाग दे दिया, तो $6\frac{2}{3}$ मीटर आएगा।

प्रश्न 18

एक वर्गाकार पिरामिड के आधार की भुजा $12\sqrt{2}$ सेमी और उसकी ऊँचाई 16 सेमी है। उसके प्रत्येक पार्श्व किनारे की लंबाई कितनी है? (a) $2\sqrt{82}$ सेमी (b) 20 सेमी (c) 28 सेमी (d) $4\sqrt{34}$ सेमी

उत्तर: पार्श्व किनारा शीर्ष से एक कोने तक जाता है, और कोना केंद्र से आधे विकर्ण की दूरी पर होता है। विकर्ण $12\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 24$ सेमी है, तो यह दूरी 12 सेमी हुई। अब किनारा = $\sqrt{16^2 + 12^2}$ = (b) 20 सेमी।

प्रश्न 19

24 सेमी ऊँचा एक पिरामिड 20 सेमी × 14 सेमी के आयताकार आधार पर खड़ा है। उसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? (a) 850 वर्ग सेमी (b) 884 वर्ग सेमी (c) 864 वर्ग सेमी (d) 816 वर्ग सेमी

उत्तर: आधार आयत है, तो यहाँ दो तिर्यक ऊँचाइयाँ होंगी। 20 सेमी वाली भुजाएँ केंद्र से 7 सेमी दूर हैं, तो उन पर खड़े फलकों की तिर्यक ऊँचाई $\sqrt{24^2 + 7^2} = 25$ सेमी हुई। 14 सेमी वाली भुजाएँ केंद्र से 10 सेमी दूर हैं, तो उन फलकों की तिर्यक ऊँचाई $\sqrt{24^2 + 10^2} = 26$ सेमी है। पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × $\frac{1}{2}$ × 20 × 25 + 2 × $\frac{1}{2}$ × 14 × 26 = 500 + 364 = (c) 864 वर्ग सेमी। चारों फलकों पर 25 सेमी ही लगा देने वालों का उत्तर 850 वर्ग सेमी आता है।

प्रश्न 20

9 सेमी ऊँचे एक पिरामिड का आधार 4 सेमी भुजा वाला सम षट्भुज है। उसका आयतन कितना है? (a) $216\sqrt{3}$ घन सेमी (b) $24\sqrt{3}$ घन सेमी (c) $36\sqrt{3}$ घन सेमी (d) $72\sqrt{3}$ घन सेमी

उत्तर: आधार 4 सेमी भुजा वाले छह समबाहु त्रिभुजों से मिलकर बना है, तो उसका क्षेत्रफल $6 \times 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ वर्ग सेमी है। आयतन = $\frac{1}{3} \times 24\sqrt{3} \times 9$ = (d) $72\sqrt{3}$ घन सेमी।

प्रश्न 21

[Tier 2] 8 सेमी ऊँचा एक लंब पिरामिड $12\sqrt{3}$ सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के आधार पर खड़ा है। उसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? (a) $144\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (b) $180\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (c) $288\sqrt{3}$ वर्ग सेमी (d) $360\sqrt{3}$ वर्ग सेमी

उत्तर: शीर्ष केंद्रक के ऊपर है। केंद्रक हर भुजा से $\frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 6$ सेमी दूर है, तो तिर्यक ऊँचाई = $\sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ सेमी। पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 36\sqrt{3} \times 10$ = (b) $180\sqrt{3}$ वर्ग सेमी। तिर्यक ऊँचाई की जगह ऊँचाई 8 रख देने से $144\sqrt{3}$ आता है।

प्रश्न 22

[Tier 2] एक लंब पिरामिड $9\sqrt{3}$ सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के आधार पर खड़ा है, और उसका प्रत्येक पार्श्व किनारा 15 सेमी है। उसका आयतन कितना है? (a) $243\sqrt{3}$ घन सेमी (b) $729\sqrt{3}$ घन सेमी (c) $\frac{1215\sqrt{3}}{4}$ घन सेमी (d) $81\sqrt{3}$ घन सेमी

उत्तर: पार्श्व किनारा कोने तक जाता है, और कोना केंद्रक से $\frac{a}{\sqrt{3}} = 9$ सेमी दूर है। तो $h = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12$ सेमी। आधार का क्षेत्रफल = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 243 = \frac{243\sqrt{3}}{4}$ वर्ग सेमी। अब आयतन = $\frac{1}{3} \times \frac{243\sqrt{3}}{4} \times 12$ = (a) $243\sqrt{3}$ घन सेमी।

प्रश्न 23

[Tier 2] एक सम चतुष्फलक का प्रत्येक किनारा $6\sqrt{2}$ सेमी है। उसका आयतन कितना है? (a) $72\sqrt{2}$ घन सेमी (b) $36\sqrt{2}$ घन सेमी (c) 72 घन सेमी (d) 144 घन सेमी

उत्तर: सम चतुष्फलक का आयतन $\frac{a^3}{6\sqrt{2}}$ होता है। यहाँ $a^3 = (6\sqrt{2})^3 = 216 \times 2\sqrt{2} = 432\sqrt{2}$ है। तो आयतन $\frac{432\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}$ = (c) 72 घन सेमी। जो केवल 6 से भाग देते हैं और नीचे का $\sqrt{2}$ भूल जाते हैं, उन्हें $72\sqrt{2}$ मिलता है।

प्रश्न 24

[Tier 2] 9 सेमी लंबे किनारों वाले एक सम चतुष्फलक की ऊँचाई कितनी है? (a) $\frac{9\sqrt{3}}{2}$ सेमी (b) $3\sqrt{3}$ सेमी (c) $6\sqrt{2}$ सेमी (d) $3\sqrt{6}$ सेमी

उत्तर: शीर्ष आधार के केंद्रक के ऊपर है, और केंद्रक हर कोने से $\frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ सेमी दूर है। पार्श्व किनारा 9 सेमी है, तो $h = \sqrt{81 - 27} = \sqrt{54}$ = (d) $3\sqrt{6}$ सेमी। सूत्र $a\sqrt{\frac{2}{3}}$ से जाँचें, तो भी यही आता है। $\frac{9\sqrt{3}}{2}$ सेमी तो एक फलक की तिर्यक ऊँचाई है, पूरे ठोस की ऊँचाई नहीं।