गोला और अर्धगोला

गोला: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

गेंद जैसे आकार को गोला (sphere) कहते हैं। गोले के पृष्ठ का हर बिंदु उसके केंद्र O से एक ही दूरी पर होता है। इस दूरी r को गोले की त्रिज्या कहते हैं, और 2r उसका व्यास है।

गोले में न कोई समतल फलक होता है, न कोई किनारा। उसका पृष्ठ केवल एक ही है। इसलिए गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (curved surface area) और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (total surface area), दोनों एक ही संख्या होते हैं।

$$\text{पृष्ठीय क्षेत्रफल} = 4\pi r^2 \qquad \text{आयतन} = \frac{4}{3}\pi r^3$$

सूत्र में 4 कहाँ से आया: गोले को उसके केंद्र से होकर काटिए। काटने पर जो सपाट फलक दिखता है, वह एक वृत्त है। गोले के अंदर इससे बड़ा वृत्त नहीं समा सकता। इसे बृहत् वृत्त (great circle) कहते हैं। ग्लोब पर भूमध्य रेखा ऐसा ही वृत्त है।

बृहत् वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2$ होता है, और गोले का पूरा पृष्ठ ठीक ऐसे चार वृत्तों के बराबर है। इसे एक संतरे से समझिए। संतरे को सावधानी से छीलिए। उसका छिलका लगभग चार वृत्तों को ढक लेगा, और हर वृत्त संतरे जितना ही बड़ा होगा।

अब कुछ उदाहरण देखिए।

• r = 21 सेमी हो, तो पृष्ठ $4 \times \frac{22}{7} \times 441 = 5544$ वर्ग सेमी है और आयतन $\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 9261 = 38808$ घन सेमी।
• व्यास 21 सेमी दिया हो, तो पहले r = 10.5 सेमी लीजिए। तब पृष्ठ $4 \times \frac{22}{7} \times 110.25 = 1386$ वर्ग सेमी आता है और आयतन 4851 घन सेमी।
• r = 6 सेमी हो और उत्तर $\pi$ के रूप में देना हो, तो पृष्ठ $4\pi \times 36 = 144\pi$ वर्ग सेमी है और आयतन $\frac{4}{3}\pi \times 216 = 288\pi$ घन सेमी।

तेज़ गणना: $\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर गोले का आयतन $\frac{88}{21}r^3$ हो जाता है। गुणा करने से पहले हर के 21 को $r^3$ से काट लीजिए। जैसे r = 21 हो, तो सीधे $\frac{88}{21} \times 21^3 = 88 \times 441$ लिखिए।

ये मान बार-बार आते हैं। इन्हें याद कर लीजिए।

प्रश्न में "व्यास" शब्द पर नज़र रखिए। 14 सेमी व्यास वाली गेंद की त्रिज्या 7 सेमी है। कोई सूत्रों में सीधे 14 रख दे, तो पृष्ठ 4 गुना ज़्यादा आएगा और आयतन 8 गुना ज़्यादा।

पृष्ठ या आयतन से त्रिज्या

गोले के ज़्यादातर प्रश्नों में एक माप दिया होता है और दूसरा पूछा जाता है। ऐसे में हर बार पहले त्रिज्या निकालिए।

पृष्ठ दिया हो: तब $r^2 = \frac{S}{4\pi}$ होता है। जैसे पृष्ठ 2464 वर्ग सेमी हो, तो $r^2 = \frac{2464 \times 7}{88} = 196$, यानी r = 14 सेमी। अब आयतन $\frac{88}{21} \times 2744 = 11498\frac{2}{3}$ घन सेमी आता है।

आयतन दिया हो: तब $r^3 = \frac{3V}{4\pi}$ होता है। जैसे आयतन 4851 घन सेमी हो, तो $r^3 = \frac{4851 \times 21}{88} = 1157.625$ आता है। दशमलव वाली इस संख्या का घनमूल एकदम से नहीं सूझता। इसे 8 से गुणा कर दीजिए, $1157.625 \times 8 = 9261 = 21^3$। 8 से गुणा इसलिए किया, क्योंकि $d^3 = 8r^3$ होता है। तो यह 21 असल में व्यास है, और r = 10.5 सेमी।

$\pi$ को उत्तर में वैसे ही रहने दें, तो काम और छोटा हो जाता है। जैसे आयतन $972\pi$ घन सेमी हो, तो $\frac{4}{3}r^3 = 972$, जिससे $r^3 = 729$ और r = 9 सेमी। अब पृष्ठ $4\pi \times 81 = 324\pi$ वर्ग सेमी आता है।

घनमूल जल्दी पहचानने के लिए ये घन याद रखिए।

पृष्ठ से सीधे आयतन: $\frac{4}{3}\pi r^3 = 4\pi r^2 \times \frac{r}{3}$ होता है, इसलिए

$$V = \frac{S \times r}{3}$$

जैसे पृष्ठ 616 वर्ग सेमी हो, तो r = 7 सेमी आता है। फिर $V = \frac{616 \times 7}{3} = 1437\frac{1}{3}$ घन सेमी।

पृष्ठ और आयतन संख्या में बराबर हों: तब $4\pi r^2 = \frac{4}{3}\pi r^3$ लिखते हैं, और इससे r = 3 इकाई आता है। ध्यान रखिए, यहाँ केवल संख्याएँ बराबर हैं। पृष्ठ वर्ग इकाई में है और आयतन घन इकाई में।

[Tier 2] पृष्ठ और आयतन का एक संबंध: गोला कोई भी हो, उसके लिए $S^3 = 36\pi V^2$ होता है। देखिए, पृष्ठ का घन $64\pi^3 r^6$ है। अब आयतन के वर्ग को $36\pi$ से गुणा कीजिए, तो $36\pi \times \frac{16}{9}\pi^2 r^6 = 64\pi^3 r^6$ आता है, यानी ठीक वही। "निम्नलिखित में से कौन-सा सही है" वाले प्रश्नों में यह संबंध एक कथन के रूप में आता है।

अर्धगोला: वक्र पृष्ठ, संपूर्ण पृष्ठ, आयतन

गोले को उसके केंद्र से होकर काटें, तो दो अर्धगोले (hemisphere) मिलते हैं। ठोस अर्धगोले के दो पृष्ठ होते हैं। पहला उसका गोलाई वाला वक्र भाग है, जो गोले के पृष्ठ का आधा होता है। दूसरा त्रिज्या r वाला समतल वृत्ताकार फलक है।

$$\text{वक्र पृष्ठ} = 2\pi r^2 \qquad \text{संपूर्ण पृष्ठ} = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2 \qquad \text{आयतन} = \frac{2}{3}\pi r^3$$

दो उदाहरण देखिए।

• r = 21 सेमी हो, तो वक्र पृष्ठ 2772 वर्ग सेमी, संपूर्ण पृष्ठ 4158 वर्ग सेमी और आयतन 19,404 घन सेमी है।
• r = 7 सेमी हो, तो वक्र पृष्ठ 308 वर्ग सेमी, संपूर्ण पृष्ठ 462 वर्ग सेमी और आयतन $718\frac{2}{3}$ घन सेमी है।

कौन-सा पृष्ठ लें: यह इस पर निर्भर है कि प्रश्न में चीज़ कौन-सी है।

• ठोस अर्धगोला हो, जैसे पेपरवेट या खिलौने का आधार, और उसके समतल फलक पर कुछ चिपका न हो, तो संपूर्ण पृष्ठ लीजिए, $3\pi r^2$।
• गुंबद, अर्धगोलाकार छत या कटोरे का भीतरी भाग हो, तो केवल वक्र पृष्ठ लीजिए, $2\pi r^2$। इनमें रँगने के लिए कोई समतल फलक है ही नहीं।

उलटी गणना: मान लीजिए अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठ 1848 वर्ग सेमी है। तो $3 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 1848$, जिससे $r^2 = 196$ और r = 14 सेमी। अब आयतन $\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 2744 = 5749\frac{1}{3}$ घन सेमी निकल आता है।

एक बात ध्यान रखिए। त्रिज्या एक ही हो, तो अर्धगोले का आयतन गोले का आधा होता है। पर उसका संपूर्ण पृष्ठ ($3\pi r^2$) गोले के पृष्ठ ($4\pi r^2$) का तीन-चौथाई होता है, आधा नहीं। अर्धगोले में वक्र पृष्ठ और संपूर्ण पृष्ठ का अनुपात 2 : 3 होता है।

गोले को दो भागों में काटना: 7 सेमी त्रिज्या वाला एक गोला लीजिए। उसका पृष्ठ 616 वर्ग सेमी है। इसे काटकर दो अर्धगोले बनाइए। हर अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठ 462 वर्ग सेमी है, तो दोनों का मिलाकर 924 वर्ग सेमी हुआ। कटने से दो नए समतल फलक बने हैं, और हर एक 154 वर्ग सेमी का है। इसलिए पृष्ठ 308 वर्ग सेमी बढ़ा, यानी 50%। पर आयतन उतना ही रहता है।

[SSC टिप] हिसाब शुरू करने से पहले तय कीजिए कि समतल फलक गिनना है या नहीं। प्रश्न में "संपूर्ण पृष्ठ" या "ठोस अर्धगोला" लिखा हो, तो $3\pi r^2$ लीजिए। "वक्र पृष्ठ", "गुंबद" या "कटोरे का भीतरी भाग" लिखा हो, तो $2\pi r^2$।

दो गोलों की तुलना, गुब्बारा

मान लीजिए दो गोलों की त्रिज्याएँ a : b के अनुपात में हैं। तब

• उनके व्यास भी a : b में होते हैं, और उनके बृहत् वृत्तों की परिधियाँ भी।
• उनके पृष्ठीय क्षेत्रफल $a^2 : b^2$ में होते हैं।
• उनके आयतन $a^3 : b^3$ में होते हैं।

दो अर्धगोलों के लिए भी यही नियम है। अनुपात चाहे जिस चीज़ का दिया हो, पहले त्रिज्याओं का अनुपात निकालिए।

• आयतन 64 : 125 में हैं, तो घनमूल लेकर त्रिज्याएँ 4 : 5 में आती हैं, और पृष्ठ 16 : 25 में।
• पृष्ठ 9 : 49 में हैं, तो वर्गमूल लेकर त्रिज्याएँ 3 : 7 में आती हैं, और आयतन 27 : 343 में।

गुब्बारा: हवा भरते समय गुब्बारा गोला ही रहता है, बस उसकी त्रिज्या बदलती है। जैसे त्रिज्या 7 सेमी से बढ़कर 10.5 सेमी हो जाए, तो त्रिज्याएँ 2 : 3 में हुईं, पृष्ठ 4 : 9 में और आयतन 8 : 27 में। अंदर भरी गई हवा दोनों आयतनों का अंतर है, $4851 - 1437\frac{1}{3} = 3413\frac{2}{3}$ घन सेमी।

उलटी तरफ़ से भी यही हिसाब लगता है। पृष्ठ 4 गुना हो गया, तो त्रिज्या दोगुनी हुई और आयतन 8 गुना हुआ। आयतन 27 गुना हुआ, तो त्रिज्या 3 गुना हुई और पृष्ठ 9 गुना।

बदलाव प्रतिशत में हो, तब भी यही होता है। त्रिज्या 10% बढ़ जाए, तो पृष्ठ $1.1^2 = 1.21$ गुना हो जाता है और आयतन $1.1^3 = 1.331$ गुना। इसका सामान्य नियम "संयुक्त ठोस, पिघलाना और दोबारा ढालना" वाले खंड में मिलेगा।

खोखले गोले (गोलीय कोश)

धातु की खोखली गेंद असल में एक गोला है, जिसके बीच से एक छोटा गोला निकाल लिया गया है। इसे खोखला गोला (hollow sphere) या गोलीय कोश (spherical shell) कहते हैं। इसकी बाहरी त्रिज्या R मान लेते हैं और आंतरिक त्रिज्या r। धातु की मोटाई R − r होती है।

$$\text{धातु का आयतन} = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi(R^3 - r^3)$$

बाहरी पृष्ठ $4\pi R^2$ होता है और भीतरी पृष्ठ $4\pi r^2$।

जैसे किसी खोखली गेंद की बाहरी त्रिज्या 10 सेमी है और आंतरिक त्रिज्या 8.5 सेमी, यानी धातु 1.5 सेमी मोटी है। तो धातु का आयतन $= \frac{88}{21} \times (1000 - 614.125) = \frac{88}{21} \times 385.875 = 1617$ घन सेमी हुआ। अब मान लीजिए इस धातु के 1 घन सेमी का भार 8 ग्राम है। तब गेंद का भार 1617 × 8 = 12,936 ग्राम, यानी 12.936 किग्रा होगा।

यहाँ मोटाई का घन नहीं करना है। $(R - r)^3 = 1.5^3 = 3.375$ होता है, और इसका $R^3 - r^3$ से कोई लेना-देना नहीं है।

धातु से आंतरिक त्रिज्या: मान लीजिए बाहरी त्रिज्या 6.5 सेमी है और धातु 627 घन सेमी है। तो $R^3 - r^3 = \frac{627 \times 21}{88} = 149.625$। अब $6.5^3 = 274.625$ है, इसलिए $r^3 = 274.625 - 149.625 = 125$ और r = 5 सेमी। मतलब धातु 1.5 सेमी मोटी है।

प्रश्न में बाहरी और आंतरिक व्यास दिए हों, तो घन करने से पहले दोनों को आधा कर लीजिए।

अर्धगोलाकार कटोरा: धारिता, भीतर, बाहर, किनारा

अर्धगोलाकार कटोरा (hemispherical bowl) असल में एक खोखला अर्धगोला ही है। कटोरे में कितना समाएगा, यह केवल उसकी आंतरिक त्रिज्या पर निर्भर करता है। लगी हुई धातु या बाहरी पृष्ठ निकालना हो, तो बाहरी त्रिज्या भी चाहिए।

मान लीजिए आंतरिक त्रिज्या r है और बाहरी त्रिज्या R, यानी मोटाई R − r है। तब

• धारिता (capacity) $= \frac{2}{3}\pi r^3$ होती है।
• भीतरी वक्र पृष्ठ $= 2\pi r^2$ होता है। कटोरे के भीतर पॉलिश, कलई (tin-plating) या रँगाई इसी पृष्ठ पर होती है।
• बाहरी वक्र पृष्ठ $= 2\pi R^2$ होता है।
• कटोरे का किनारा एक समतल वलयाकार पट्टी है। उसका क्षेत्रफल $\pi(R^2 - r^2)$ है।
• लगी हुई धातु $= \frac{2}{3}\pi(R^3 - r^3)$ होती है।
• भीतर, बाहर और किनारा मिलाकर पूरा पृष्ठ $= 2\pi r^2 + 2\pi R^2 + \pi(R^2 - r^2) = \pi(3R^2 + r^2)$ होता है।

धारिता लीटर में: मान लीजिए कटोरे का आंतरिक व्यास 21 सेमी है। तो r = 10.5 सेमी, और धारिता $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 1157.625 = 2425.5$ घन सेमी। एक लीटर में 1000 घन सेमी होते हैं, तो कटोरे में 2.4255 लीटर आएगा।

मोटाई वाला कटोरा: आंतरिक त्रिज्या 9 सेमी और बाहरी त्रिज्या 10 सेमी लीजिए। भीतर का पृष्ठ $162\pi$ वर्ग सेमी है, बाहर का $200\pi$ वर्ग सेमी, और किनारा $\pi(100 - 81) = 19\pi$ वर्ग सेमी। तो पूरा पृष्ठ $381\pi$ वर्ग सेमी हुआ। इसमें लगी धातु $\frac{2}{3}\pi(1000 - 729) = \frac{542\pi}{3}$ घन सेमी है।

खर्च: 10.5 सेमी आंतरिक त्रिज्या वाले एक कटोरे के भीतर ₹16 प्रति 100 वर्ग सेमी की दर से कलई करानी है। भीतरी पृष्ठ $2 \times \frac{22}{7} \times 110.25 = 693$ वर्ग सेमी है। तो खर्च $\frac{693}{100} \times 16$ = ₹110.88 होगा।

[SSC टिप] आंतरिक व्यास और मोटाई दिए हों, तो बाहरी त्रिज्या निकालने के लिए आंतरिक त्रिज्या में मोटाई जोड़िए। कई लोग यहाँ मोटाई को व्यास में ही जोड़ देते हैं। और याद रखिए, कटोरे में कोई समतल फलक नहीं होता, इसलिए उस पर $3\pi r^2$ कभी नहीं लगता।

इकाइयाँ, भार और खर्च

टंकी, गेंद और गुंबद वाले प्रश्नों में सूत्र लगाने के बाद एक कदम और करना पड़ता है।

• धारिता: 1 लीटर = 1000 घन सेमी, और 1 घन मीटर = 1000 लीटर।
• भार: भार = आयतन × उस पदार्थ के 1 घन सेमी का भार।
• खर्च: रँगाई, पॉलिश या सोने का पानी चढ़ाने का खर्च पृष्ठ के हिसाब से लगता है। कुछ भरना हो या धातु का मूल्य निकालना हो, तो आयतन के हिसाब से।

अब हर एक का उदाहरण देखिए।

• 2.1 मीटर आंतरिक त्रिज्या वाली एक गोलाकार टंकी का आयतन $\frac{88}{21} \times 9.261 = 38.808$ घन मीटर है, यानी 38,808 लीटर।
• धातु की एक ठोस गेंद का व्यास 7 सेमी है, और उस धातु के 1 घन सेमी का भार 6 ग्राम है। गेंद का आयतन $179\frac{2}{3}$ घन सेमी है, तो उसका भार $179\frac{2}{3} \times 6 = 1078$ ग्राम, यानी 1.078 किग्रा है।
• 28 मीटर व्यास वाले एक अर्धगोलाकार गुंबद का भीतरी भाग ₹12 प्रति वर्ग मीटर की दर से रँगना है। रँगाई केवल वक्र पृष्ठ पर होगी, जो $2 \times \frac{22}{7} \times 196 = 1232$ वर्ग मीटर है। तो खर्च 1232 × 12 = ₹14,784 होगा।

दर को ध्यान से पढ़िए। "₹5 प्रति 100 वर्ग सेमी" लिखा हो, तो पहले क्षेत्रफल को 100 से भाग दीजिए, फिर 5 से गुणा कीजिए। त्रिज्या सेमी में हो और दर प्रति वर्ग मीटर, तो पहले क्षेत्रफल को वर्ग मीटर में बदल लीजिए (1 वर्ग मीटर = 10,000 वर्ग सेमी)।

घन में गोला, गोले में घन

घन के अंदर सबसे बड़ा गोला: यह गोला घन के छहों फलकों को छूता है। इसलिए उसका व्यास घन के किनारे के बराबर होता है, यानी $r = \frac{a}{2}$।

जैसे 14 सेमी किनारे वाला एक घन है। उसके अंदर सबसे बड़े गोले की त्रिज्या r = 7 सेमी है, और आयतन $1437\frac{1}{3}$ घन सेमी। घन का आयतन 2744 घन सेमी है। अब किसी भी घन के लिए यह अनुपात देखिए।

$$\frac{\text{गोला}}{\text{घन}} = \frac{\frac{4}{3}\pi\left(\frac{a}{2}\right)^3}{a^3} = \frac{\pi}{6}$$

$\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर यह $\frac{11}{21}$ आता है। मतलब घन का $\frac{10}{21}$ भाग खाली रहता है। गोला घन को तराशकर बनाया गया हो, तो इतनी ही लकड़ी कटकर निकलती है। 14 सेमी वाले घन में यह $2744 - 1437\frac{1}{3} = 1306\frac{2}{3}$ घन सेमी है। पृष्ठों का अनुपात भी यही होता है। यहाँ गोले का पृष्ठ 616 वर्ग सेमी है और घन का 1176 वर्ग सेमी।

गोले के अंदर घन: अब घन गोले के अंदर है और उसके आठों कोने गोले पर हैं। तब घन का लंबा विकर्ण ही गोले का व्यास होता है। यह विकर्ण एक कोने से केंद्र से होकर सामने वाले कोने तक जाता है।

$$a\sqrt{3} = 2r$$

जैसे $10\sqrt{3}$ सेमी व्यास वाले गोले में 10 सेमी किनारे वाला घन समाता है। इस घन का आयतन 1000 घन सेमी है और पृष्ठ 600 वर्ग सेमी।

यहाँ लंबा विकर्ण $a\sqrt{3}$ लेना है, फलक का विकर्ण $a\sqrt{2}$ नहीं। चित्र में A, C, G और E से होकर कटा भाग देखिए। फलक का विकर्ण AC उस आयत की केवल एक भुजा है। गोले का व्यास तो AG है।

बेलन में गोला: आयतन 2 : 3

त्रिज्या r वाला गोला उस बेलन में ठीक-ठीक समा जाता है, जिसकी त्रिज्या r और ऊँचाई 2r हो। तब गोला बेलन के वक्र पृष्ठ, ऊपरी तल और निचले तल, तीनों को छूता है। आर्किमिडीज़ को इस आकृति से निकले नतीजों पर इतना गर्व था कि वे चाहते थे कि उनकी समाधि पर यही आकृति बनाई जाए।

• बेलन का आयतन $\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$ है और गोले का $\frac{4}{3}\pi r^3$। तो गोला : बेलन = $\frac{4}{3} : 2 = 2 : 3$।
• बेलन का वक्र पृष्ठ $2\pi r \times 2r = 4\pi r^2$ है, जो ठीक गोले के पृष्ठ के बराबर है।
• बेलन का संपूर्ण पृष्ठ $4\pi r^2 + 2\pi r^2 = 6\pi r^2$ है। तो गोले के पृष्ठ और बेलन के संपूर्ण पृष्ठ का अनुपात भी 2 : 3 ही है।

जैसे r = 7 सेमी हो, तो बेलन का आयतन 2156 घन सेमी है और गोले का $1437\frac{1}{3}$ घन सेमी। गोले के चारों ओर $718\frac{2}{3}$ घन सेमी जगह बचती है, जो बेलन का एक-तिहाई है। इसलिए पानी से भरे बेलन में गोला अंदर धकेलें, तो दो-तिहाई पानी बाहर निकल जाएगा।

डिब्बे में गेंदें: त्रिज्या r वाली तीन गेंदें r त्रिज्या वाले डिब्बे में ठीक-ठीक रखनी हैं, तो डिब्बे की ऊँचाई 6r चाहिए। डिब्बे का आयतन $6\pi r^3$ है और गेंदों का $3 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = 4\pi r^3$। यहाँ भी गेंदें दो-तिहाई जगह लेती हैं, और डिब्बे के एक-तिहाई भाग में हवा रहती है। जैसे 7 सेमी व्यास वाली टेनिस गेंदें 21 सेमी ऊँचे डिब्बे में रखी हैं। डिब्बा 808.5 घन सेमी का है, गेंदें 539 घन सेमी की हैं, और 269.5 घन सेमी जगह खाली है।

एक ही आधार पर अर्धगोला, शंकु, बेलन

मान लीजिए एक अर्धगोला, एक शंकु और एक बेलन हैं। तीनों की त्रिज्या r है और तीनों की ऊँचाई बराबर है। अर्धगोले की ऊँचाई उसकी त्रिज्या ही होती है, तो शंकु और बेलन भी r ऊँचे हैं।

$$\text{आयतन:} \quad \frac{2}{3}\pi r^3 : \frac{1}{3}\pi r^3 : \pi r^3 = 2 : 1 : 3$$

मतलब अर्धगोले में दो शंकुओं जितनी जगह है, और बेलन में शंकु और अर्धगोले, दोनों को मिलाकर जितनी (1 + 2 = 3)। जैसे r = 7 सेमी हो, तो तीनों के आयतन $718\frac{2}{3}$ घन सेमी, $359\frac{1}{3}$ घन सेमी और 1078 घन सेमी हैं।

त्रिज्या r और ऊँचाई 2r वाले गोले, शंकु और बेलन में भी यही 2 : 1 : 3 मिलता है, $\frac{4}{3}\pi r^3 : \frac{2}{3}\pi r^3 : 2\pi r^3$।

पृष्ठ 2 : 1 : 3 के अनुपात में नहीं होते: शंकु की तिर्यक ऊँचाई $\sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$ है, इसलिए

• वक्र पृष्ठ $2\pi r^2 : \pi r \times r\sqrt{2} : 2\pi r \times r$ के अनुपात में हैं, यानी $2 : \sqrt{2} : 2 = \sqrt{2} : 1 : \sqrt{2}$।
• संपूर्ण पृष्ठ $3\pi r^2 : (\sqrt{2} + 1)\pi r^2 : 4\pi r^2$ के अनुपात में हैं, यानी $3 : (\sqrt{2} + 1) : 4$।

[SSC टिप] प्रश्न में ठोस जिस क्रम में लिखे हों, अनुपात भी उसी क्रम में लिखिए। पूछा गया हो "बेलन : अर्धगोला : शंकु", तो उत्तर 3 : 2 : 1 है। वहाँ 2 : 1 : 3 लिखना गलत है।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

21 सेमी व्यास वाले एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 5544 वर्ग सेमी (b) 1386 वर्ग सेमी (c) 346.5 वर्ग सेमी (d) 4851 वर्ग सेमी

उत्तर: व्यास 21 सेमी है, तो त्रिज्या 10.5 सेमी हुई। पृष्ठ $= 4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5$ होगा। यहाँ 7 को एक 10.5 से काट देते हैं, तो $4 \times 22 \times 1.5 \times 10.5 = 1386$ आता है। उत्तर (b) 1386 वर्ग सेमी है। 21 को ही त्रिज्या मान लें, तो 5544 वर्ग सेमी आता है, जो चार गुना ज़्यादा है।

प्रश्न 2

एक गोले का आयतन 38,808 घन सेमी है। उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 1386 वर्ग सेमी (b) 2772 वर्ग सेमी (c) 4158 वर्ग सेमी (d) 5544 वर्ग सेमी

उत्तर: पहले त्रिज्या निकालते हैं। $\frac{88}{21}r^3 = 38808$, तो $r^3 = \frac{38808 \times 21}{88} = 441 \times 21 = 9261$, यानी r = 21 सेमी। अब पृष्ठ $4 \times \frac{22}{7} \times 441 = 88 \times 63$ = (d) 5544 वर्ग सेमी।

प्रश्न 3

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 616 वर्ग सेमी है। उसका आयतन कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) $1437\frac{1}{3}$ घन सेमी (b) $718\frac{2}{3}$ घन सेमी (c) 4312 घन सेमी (d) $11498\frac{2}{3}$ घन सेमी

उत्तर: $4 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 616$, तो $r^2 = \frac{616 \times 7}{88} = 49$ और r = 7 सेमी। अब $V = \frac{S \times r}{3}$ लगा देते हैं। आयतन $\frac{616 \times 7}{3} = \frac{4312}{3}$ आता है, यानी (a) $1437\frac{1}{3}$ घन सेमी।

प्रश्न 4

एक गोले का आयतन $2304\pi$ घन सेमी है। उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? (a) $144\pi$ वर्ग सेमी (b) $288\pi$ वर्ग सेमी (c) $576\pi$ वर्ग सेमी (d) $1152\pi$ वर्ग सेमी

उत्तर: $\frac{4}{3}\pi r^3 = 2304\pi$ लिखते हैं। तो $r^3 = 2304 \times \frac{3}{4} = 1728$, यानी r = 12 सेमी। पृष्ठ $= 4\pi \times 144$ = (c) $576\pi$ वर्ग सेमी।

प्रश्न 5

एक ठोस अर्धगोले की त्रिज्या 10.5 सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 693 वर्ग सेमी (b) 1039.5 वर्ग सेमी (c) 1386 वर्ग सेमी (d) 2425.5 वर्ग सेमी

उत्तर: अर्धगोला ठोस है, तो समतल फलक भी गिनना होगा। संपूर्ण पृष्ठ $= 3\pi r^2 = 3 \times \frac{22}{7} \times 110.25 = 3 \times 346.5$ = (b) 1039.5 वर्ग सेमी। कोई केवल वक्र भाग ले, तो 693 वर्ग सेमी आएगा, जो गलत है।

प्रश्न 6

एक अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2772 वर्ग सेमी है। उसका आयतन कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 4158 घन सेमी (b) 38,808 घन सेमी (c) 9702 घन सेमी (d) 19,404 घन सेमी

उत्तर: $2 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 2772$, तो $r^2 = \frac{2772 \times 7}{44} = 441$ और r = 21 सेमी। आयतन $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 9261 = \frac{44}{21} \times 9261 = 44 \times 441$ = (d) 19,404 घन सेमी।

प्रश्न 7

एक ठोस अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $108\pi$ वर्ग सेमी है। उसका आयतन कितना है? (a) $144\pi$ घन सेमी (b) $72\pi$ घन सेमी (c) $288\pi$ घन सेमी (d) $216\pi$ घन सेमी

उत्तर: प्रश्न में संपूर्ण पृष्ठ दिया है, तो $3\pi r^2 = 108\pi$। इससे $r^2 = 36$, यानी r = 6 सेमी। आयतन $= \frac{2}{3}\pi \times 216$ = (a) $144\pi$ घन सेमी।

प्रश्न 8

दो गोलों के आयतनों का अनुपात 8 : 125 है। उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात कितना है? (a) 2 : 5 (b) 8 : 125 (c) 4 : 25 (d) 16 : 25

उत्तर: आयतन $r^3$ के अनुपात में होते हैं, तो त्रिज्याएँ $\sqrt[3]{8} : \sqrt[3]{125} = 2 : 5$ में हैं। पृष्ठ $r^2$ के अनुपात में होते हैं, इसलिए उनका अनुपात (c) 4 : 25 है।

प्रश्न 9

एक गोलाकार गुब्बारे को इस प्रकार फुलाया जाता है कि उसकी त्रिज्या 10 सेमी से बढ़कर 15 सेमी हो जाती है। फुलाने से पहले और बाद में उसके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात कितना है? (a) 2 : 3 (b) 4 : 9 (c) 8 : 27 (d) 9 : 4

उत्तर: गुब्बारे की केवल त्रिज्या बदली है। पहले और बाद की त्रिज्याएँ 10 : 15 = 2 : 3 में हैं। पृष्ठ त्रिज्या के वर्ग के अनुपात में बदलता है, तो अनुपात (b) 4 : 9 है। 8 : 27 तो आयतनों का अनुपात है, यानी अंदर की हवा का।

प्रश्न 10

एक गुब्बारे में तब तक हवा भरी जाती है, जब तक उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल पहले का 9 गुना नहीं हो जाता। उसका नया आयतन पुराने आयतन का कितना गुना है? (a) 3 गुना (b) 9 गुना (c) 18 गुना (d) 27 गुना

उत्तर: पृष्ठ 9 गुना हुआ, तो त्रिज्या $\sqrt{9} = 3$ गुना हुई। आयतन त्रिज्या के घन के अनुपात में बढ़ता है, तो नया आयतन $3^3$, यानी (d) 27 गुना होगा।

प्रश्न 11

धातु की एक खोखली गेंद का बाहरी व्यास 13 सेमी और आंतरिक व्यास 10 सेमी है। उसमें कितने आयतन की धातु है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 627 घन सेमी (b) 313.5 घन सेमी (c) 5016 घन सेमी (d) 1254 घन सेमी

उत्तर: पहले दोनों व्यास आधे कर लेते हैं, R = 6.5 सेमी और r = 5 सेमी। धातु $= \frac{88}{21} \times (6.5^3 - 5^3) = \frac{88}{21} \times (274.625 - 125) = \frac{88}{21} \times 149.625$। अब 149.625 ÷ 21 = 7.125, और 88 × 7.125 = (a) 627 घन सेमी। कोई व्यासों का ही घन कर दे, तो 5016 घन सेमी आता है, जो आठ गुना ज़्यादा है।

प्रश्न 12

एक खोखली गोलाकार गेंद की बाहरी त्रिज्या 5.5 सेमी है और उसकी धातु 1.5 सेमी मोटी है। यदि इस धातु के 1 घन सेमी का भार 10 ग्राम है, तो गेंद का भार कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 6.97 किग्रा (b) 6.32 किग्रा (c) 4.29 किग्रा (d) 2.68 किग्रा

उत्तर: पहले आंतरिक त्रिज्या निकालते हैं, 5.5 − 1.5 = 4 सेमी। धातु $= \frac{88}{21} \times (5.5^3 - 4^3) = \frac{88}{21} \times (166.375 - 64) = \frac{88}{21} \times 102.375 = 429$ घन सेमी। भार = 429 × 10 = 4290 ग्राम, यानी (c) 4.29 किग्रा।

प्रश्न 13

एक अर्धगोलाकार टंकी की आंतरिक त्रिज्या 2.1 मीटर है। उसमें कितने लीटर पानी आ सकता है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 38,808 लीटर (b) 19,404 लीटर (c) 1940.4 लीटर (d) 9702 लीटर

उत्तर: धारिता $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1^3 = \frac{44}{21} \times 9.261$। अब 9.261 ÷ 21 = 0.441, और 44 × 0.441 = 19.404 घन मीटर। एक घन मीटर में 1000 लीटर होते हैं, तो उत्तर (b) 19,404 लीटर है। 38,808 लीटर तो इसी त्रिज्या वाले पूरे गोले में आएगा।

प्रश्न 14

एक अर्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक व्यास 28 सेमी है। ₹25 प्रति 100 वर्ग सेमी की दर से उसके भीतरी पृष्ठ पर पॉलिश कराने का खर्च कितना होगा? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) ₹308 (b) ₹462 (c) ₹616 (d) ₹77

उत्तर: पॉलिश केवल भीतरी वक्र पृष्ठ पर होगी। r = 14 सेमी है, तो यह पृष्ठ $2 \times \frac{22}{7} \times 196 = 1232$ वर्ग सेमी है। हर 100 वर्ग सेमी के ₹25 लगते हैं, तो खर्च $\frac{1232}{100} \times 25$ = (a) ₹308।

प्रश्न 15

[Tier 2] एक अर्धगोलाकार कटोरे की आंतरिक त्रिज्या 6 सेमी है और वह 1 सेमी मोटा है। उसके भीतरी पृष्ठ, बाहरी पृष्ठ और कटोरे के किनारे को मिलाकर कुल क्षेत्रफल कितना है? (a) $170\pi$ वर्ग सेमी (b) $157\pi$ वर्ग सेमी (c) $183\pi$ वर्ग सेमी (d) $219\pi$ वर्ग सेमी

उत्तर: बाहरी त्रिज्या = 6 + 1 = 7 सेमी। भीतर का पृष्ठ $2\pi \times 36 = 72\pi$ है, और बाहर का $2\pi \times 49 = 98\pi$। कटोरे का किनारा एक समतल वलयाकार पट्टी है, जिसका क्षेत्रफल $\pi(49 - 36) = 13\pi$ है। तीनों को जोड़ें, तो (c) $183\pi$ वर्ग सेमी आता है। सूत्र से जाँच भी कर लेते हैं, $\pi(3R^2 + r^2) = \pi(147 + 36) = 183\pi$।

प्रश्न 16

धातु की एक ठोस गेंद का व्यास 14 सेमी है और इस धातु के 1 घन सेमी का भार 7.5 ग्राम है। गेंद का भार कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 86.24 किग्रा (b) 5.39 किग्रा (c) 4.62 किग्रा (d) 10.78 किग्रा

उत्तर: त्रिज्या 7 सेमी है, तो आयतन $\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 343 = \frac{4312}{3}$ घन सेमी। भार $= \frac{4312}{3} \times 7.5 = 4312 \times 2.5 = 10780$ ग्राम, यानी (d) 10.78 किग्रा।

प्रश्न 17

10.5 मीटर त्रिज्या वाले एक अर्धगोलाकार गुंबद के बाहरी पृष्ठ को ₹20 प्रति वर्ग मीटर की दर से रँगवाना है। इसका खर्च कितना होगा? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) ₹20,790 (b) ₹13,860 (c) ₹27,720 (d) ₹6,930

उत्तर: गुंबद में रँगने के लिए कोई समतल फलक नहीं होता, केवल वक्र पृष्ठ होता है। यह $2 \times \frac{22}{7} \times 110.25 = 693$ वर्ग मीटर है। खर्च = 693 × 20 = (b) ₹13,860।

प्रश्न 18

21 सेमी किनारे वाले एक घन से काटे जा सकने वाले सबसे बड़े गोले का आयतन कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 38,808 घन सेमी (b) 9261 घन सेमी (c) 4851 घन सेमी (d) 1386 घन सेमी

उत्तर: सबसे बड़ा गोला घन के छहों फलकों को छूता है। तो उसका व्यास किनारे के बराबर, यानी 21 सेमी है, और r = 10.5 सेमी। आयतन $= \frac{88}{21} \times 1157.625$ = (c) 4851 घन सेमी। r = 21 सेमी ले लें, तो ऐसा गोला घन के अंदर समाएगा ही नहीं।

प्रश्न 19

$4\sqrt{3}$ सेमी त्रिज्या वाले एक गोले के अंदर एक घन इस प्रकार रखा गया है कि उसके सभी कोने गोले को स्पर्श करते हैं। घन का आयतन कितना है? (a) 512 घन सेमी (b) $1536\sqrt{3}$ घन सेमी (c) $384\sqrt{6}$ घन सेमी (d) 64 घन सेमी

उत्तर: घन के आठों कोने गोले पर हैं, तो घन का लंबा विकर्ण गोले का व्यास है। $a\sqrt{3} = 2 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$, यानी a = 8 सेमी। आयतन $8^3$ = (a) 512 घन सेमी। भूल से फलक का विकर्ण $a\sqrt{2}$ ले लें, तो किनारा $4\sqrt{6}$ सेमी आता है, जो गलत है।

प्रश्न 20

एक ठोस गोला एक बंद बेलनाकार डिब्बे के अंदर ठीक-ठीक समा जाता है और डिब्बे के ऊपरी तल, निचले तल तथा वक्र पृष्ठ को स्पर्श करता है। डिब्बे का आयतन 2156 घन सेमी है। डिब्बे का कितना आयतन खाली है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) $1437\frac{1}{3}$ घन सेमी (b) 1078 घन सेमी (c) $359\frac{1}{3}$ घन सेमी (d) $718\frac{2}{3}$ घन सेमी

उत्तर: बेलन में ठीक-ठीक समाने वाले गोले का आयतन बेलन के आयतन का $\frac{2}{3}$ होता है। तो खाली भाग $\frac{1}{3} \times 2156$ है, यानी (d) $718\frac{2}{3}$ घन सेमी। यहाँ त्रिज्या निकालने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी (वैसे वह 7 सेमी है)।

प्रश्न 21

6 सेमी व्यास वाली तीन टेनिस गेंदें एक बेलनाकार डिब्बे में इस प्रकार भरी गई हैं कि वे उसमें ठीक-ठीक समा जाती हैं। डिब्बे का कितना आयतन गेंदों से नहीं भरा है? (a) $108\pi$ घन सेमी (b) $54\pi$ घन सेमी (c) $162\pi$ घन सेमी (d) $36\pi$ घन सेमी

उत्तर: हर गेंद की त्रिज्या 3 सेमी है। डिब्बे की त्रिज्या भी यही है, और उसकी ऊँचाई 3 × 6 = 18 सेमी। डिब्बे का आयतन $\pi \times 9 \times 18 = 162\pi$ घन सेमी है और गेंदों का $3 \times \frac{4}{3}\pi \times 27 = 108\pi$ घन सेमी। खाली भाग इन दोनों का अंतर है, (b) $54\pi$ घन सेमी। जाँच कर लेते हैं। यह डिब्बे का एक-तिहाई है, जैसा होना चाहिए।

प्रश्न 22

एक शंकु, एक अर्धगोला और एक बेलन बराबर आधारों पर खड़े हैं और उनकी ऊँचाइयाँ भी बराबर हैं। शंकु का आयतन 120 घन सेमी है। तीनों ठोसों का कुल आयतन कितना है? (a) 360 घन सेमी (b) 600 घन सेमी (c) 720 घन सेमी (d) 480 घन सेमी

उत्तर: आधार और ऊँचाई बराबर हैं, तो तीनों r ऊँचे हैं। इनके आयतनों का अनुपात शंकु : अर्धगोला : बेलन = 1 : 2 : 3 होता है। तो अर्धगोला 240 घन सेमी का है और बेलन 360 घन सेमी का। कुल = 120 + 240 + 360 = (c) 720 घन सेमी।

प्रश्न 23

10.5 सेमी त्रिज्या वाले एक ठोस गोले को काटकर दो बराबर अर्धगोले बनाए जाते हैं। संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितनी वृद्धि होती है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 693 वर्ग सेमी (b) 346.5 वर्ग सेमी (c) 1386 वर्ग सेमी (d) 1039.5 वर्ग सेमी

उत्तर: काटने से हर आधे भाग पर एक नया समतल वृत्त बनता है। हर वृत्त $\frac{22}{7} \times 110.25 = 346.5$ वर्ग सेमी का है, और ऐसे वृत्त दो हैं। तो वृद्धि (a) 693 वर्ग सेमी है।

प्रश्न 24

एक ठोस अर्धगोले और एक ठोस गोले के संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर हैं। अर्धगोले की त्रिज्या और गोले की त्रिज्या का अनुपात कितना है? (a) 4 : 3 (b) $\sqrt{3} : 2$ (c) 3 : 4 (d) $2 : \sqrt{3}$

उत्तर: मान लीजिए अर्धगोले की त्रिज्या R है और गोले की त्रिज्या r। तब अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठ $3\pi R^2$ है और गोले का $4\pi r^2$। दोनों बराबर हैं, तो $\frac{R^2}{r^2} = \frac{4}{3}$, और $\frac{R}{r} = \frac{2}{\sqrt{3}}$। यानी अर्धगोले की त्रिज्या : गोले की त्रिज्या = (d) $2 : \sqrt{3}$। यह नतीजा समझ में भी आता है। अर्धगोले में वक्र पृष्ठ कम होता है, इसलिए बराबरी के लिए उसकी त्रिज्या बड़ी होनी ही चाहिए।