शंकु और छिन्नक

शंकु: त्रिज्या, ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई

लंब वृत्तीय शंकु (right circular cone) एक वृत्ताकार आधार पर खड़ा होता है, और उसका शीर्ष ठीक आधार के केंद्र के ऊपर होता है।

शंकु में तीन लंबाइयाँ काम आती हैं। पहली, आधार की त्रिज्या r। दूसरी, ऊँचाई h, जो शीर्ष से सीधे नीचे केंद्र तक नापी जाती है। तीसरी, तिर्यक ऊँचाई (slant height) l, जो शीर्ष से आधार के किनारे के किसी भी बिंदु तक नापी जाती है।

ऊँचाई और त्रिज्या केंद्र पर मिलती हैं और वहाँ समकोण बनाती हैं। तिर्यक ऊँचाई इन दोनों के बाहरी सिरों को जोड़ती है। तो h, r और l मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, जिसका कर्ण l है। इसलिए किन्हीं दो लंबाइयों से तीसरी निकल आती है।

$$l = \sqrt{r^2 + h^2} \qquad h = \sqrt{l^2 - r^2} \qquad r = \sqrt{l^2 - h^2}$$

पेपर बनाने वाले शंकु के माप प्रायः किसी पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplet) से लेते हैं, ताकि l पूरी संख्या में आए। कुछ आम त्रिक और उन पर बने शंकु ये हैं।

त्रिक की दोनों छोटी संख्याओं में से कोई भी त्रिज्या हो सकती है। जैसे r = 12 सेमी और h = 5 सेमी हो, तब भी l = 13 सेमी ही आएगी। बस यह शंकु ऊँचा न होकर चौड़ा और चपटा होगा।

व्यास दिया हो तो: मान लीजिए आधार का व्यास 14 सेमी है और ऊँचाई 24 सेमी। तो पहले r = 7 सेमी लीजिए, फिर l = 25 सेमी आएगी। अगर सूत्र में 14 ही रख दिया, तो $\sqrt{196 + 576} = \sqrt{772}$ आता है, जो पूरी संख्या नहीं है। इसी से पता चल जाता है कि गलती से व्यास सूत्र में चला गया है।

जब त्रिक न मिले: हर शंकु किसी त्रिक पर नहीं बना होता। जैसे r = 4 सेमी और h = 6 सेमी हो, तो $l = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ सेमी आती है। ऐसे प्रश्नों में विकल्प भी मूल वाले रूप में ही दिए होते हैं।

एक बात याद रखिए। तिर्यक ऊँचाई हमेशा तीनों में सबसे लंबी होती है। यह h से भी बड़ी होती है और r से भी। हल करते समय ऊँचाई तिर्यक ऊँचाई से बड़ी आ जाए, तो समझ लीजिए कि कहीं त्रिज्या और व्यास आपस में गड़बड़ा गए हैं।

शंकु का वक्र और संपूर्ण पृष्ठ

मान लीजिए शंकु के वक्र पृष्ठ को किसी एक तिर्यक रेखा के अनुदिश काटकर समतल फैला दिया। तब वह वृत्त का एक त्रिज्यखंड (sector) बन जाता है। इस त्रिज्यखंड की त्रिज्या शंकु की तिर्यक ऊँचाई l है। और उसका चाप वही किनारा है जो पहले आधार के चारों ओर था, इसलिए चाप की लंबाई $2\pi r$ है।

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}$ × चाप × त्रिज्या होता है, जो अध्याय 13 में आ चुका है। इसमें चाप और त्रिज्या रख दें, तो शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (curved surface area, CSA) मिल जाता है।

$$\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 2\pi r \times l = \pi rl$$

ठोस शंकु में उसका वृत्ताकार आधार भी गिना जाता है। तब पूरा क्षेत्रफल संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (total surface area, TSA) कहलाता है।

$$\text{संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \pi rl + \pi r^2 = \pi r(l + r)$$

जैसे r = 7 सेमी और h = 24 सेमी हो, तो तिर्यक ऊँचाई 25 सेमी आती है। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\frac{22}{7} \times 7 \times 25 = 550$ वर्ग सेमी। आधार का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है, तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 704 वर्ग सेमी हुआ। गुणनखंड वाले रूप से भी यही आता है, $\frac{22}{7} \times 7 \times (25 + 7) = 22 \times 32 = 704$ वर्ग सेमी।

कई बार विकल्पों में $\pi$ लिखा रहता है। तब उसका मान रखने की ज़रूरत नहीं, उसे अंत तक वैसे ही रहने दीजिए। जैसे r = 8 सेमी और h = 6 सेमी हो, तो l = 10 सेमी। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $80\pi$ वर्ग सेमी हुआ, और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $80\pi + 64\pi = 144\pi$ वर्ग सेमी।

कौन-सा पृष्ठ लें: यह वस्तु देखकर तय होता है।

[SSC टिप] वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में तिर्यक ऊँचाई लगती है, ऊँचाई नहीं। प्रश्न में r और h दिए हों, तो पहले l निकालिए। ऊपर वाले शंकु में l की जगह h रख दिया, तो $\pi rh = \frac{22}{7} \times 7 \times 24 = 528$ वर्ग सेमी आएगा। विकल्पों में 550 वर्ग सेमी के साथ सबसे ज़्यादा यही गलत संख्या दी होती है।

शंकु का आयतन: बेलन का एक-तिहाई

एक शंकु और एक बेलन लीजिए, जिनका आधार भी एक ही हो और ऊँचाई भी। शंकु में पानी भरकर बेलन में उड़ेलते जाइए। ठीक तीन बार उड़ेलने पर बेलन पूरा भर जाता है। इसीलिए शंकु का आयतन बेलन के आयतन का एक-तिहाई होता है।

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

जैसे r = 7 सेमी और h = 24 सेमी हो, तो $V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 \times 24 = 154 \times 8 = 1232$ घन सेमी। उसी आधार और उसी ऊँचाई वाले बेलन का आयतन इसका तीन गुना होगा, यानी 3 × 1232 = 3696 घन सेमी।

आयतन में ऊँचाई h लगती है, तिर्यक ऊँचाई l नहीं। अगर h की जगह l = 25 सेमी रख दिया, तो लगभग 1283 घन सेमी आता है। यह 1232 घन सेमी के इतना पास है कि सही लगने लगता है। इसलिए एक बार देख लीजिए कि सूत्र में कौन-सी लंबाई रखी है।

शंकु और बेलन साथ-साथ: प्रश्न में दोनों हों, तो ये तीन बातें काम आती हैं।

• आधार एक ही हो और ऊँचाई भी एक ही, तो आयतन 1 : 3 में होते हैं। मान लीजिए दोनों का कुल आयतन 1848 घन सेमी है। इसे 4 बराबर भागों में बाँटिए। तो शंकु $\frac{1848}{4} = 462$ घन सेमी का हुआ और बेलन 1386 घन सेमी का।
• त्रिज्या एक ही हो और आयतन बराबर हों, तो शंकु की ऊँचाई H और बेलन की h लीजिए। $\frac{1}{3}\pi r^2 H = \pi r^2 h$ से H = 3h आता है, यानी शंकु तीन गुना ऊँचा होगा।
• ऊँचाई एक ही हो और आयतन बराबर हों, तो शंकु की त्रिज्या R और बेलन की r लीजिए। अब $\frac{1}{3}R^2 = r^2$, यानी $R = \sqrt{3}\,r$। तो शंकु की त्रिज्या बेलन की त्रिज्या की $\sqrt{3}$ गुनी होगी।

लीटर में धारिता: घन सेमी में निकले आयतन को 1000 से भाग दीजिए, लीटर मिल जाएगा। जैसे किसी शंक्वाकार फ़्लास्क की त्रिज्या 10.5 सेमी और ऊँचाई 18 सेमी है। उसका आयतन $\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 110.25 \times 18 = 2079$ घन सेमी है, यानी 2.079 लीटर।

जाँच का एक आसान तरीका भी है। शंकु का आयतन हमेशा $\pi r^2 h$ के आधे से कम होता है। उत्तर इससे ज़्यादा आए, तो समझिए कि $\frac{1}{3}$ छूट गया है।

छूटा हुआ माप ज्ञात करना

शंकु के बारे में कोई दो बातें पता हों, तो बाकी सब निकाला जा सकता है। ज़्यादातर प्रश्नों में h, r और l वाले समकोण त्रिभुज की ही मदद लेनी पड़ती है।

प्रश्न प्रायः इन रूपों में आते हैं।

• आयतन और त्रिज्या से ऊँचाई: $h = \frac{3V}{\pi r^2}$। जैसे आयतन 1848 घन सेमी और त्रिज्या 7 सेमी हो, तो $h = \frac{3 \times 1848}{154} = 36$ सेमी।
• आयतन और ऊँचाई से त्रिज्या: $r^2 = \frac{3V}{\pi h}$। जैसे आयतन 2464 घन सेमी और ऊँचाई 12 सेमी हो, तो $r^2 = \frac{3 \times 2464 \times 7}{22 \times 12} = 196$, यानी r = 14 सेमी।
• वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और तिर्यक ऊँचाई से त्रिज्या: $r = \frac{\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}}{\pi l}$। जैसे वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 550 वर्ग सेमी और l = 25 सेमी हो, तो r = 7 सेमी। अब त्रिक से h = 24 सेमी भी मिल जाती है।
• तिर्यक ऊँचाई और ऊँचाई से आयतन: l = 26 सेमी और h = 24 सेमी हो, तो r = 10 सेमी। तब आयतन $V = \frac{1}{3}\pi \times 100 \times 24 = 800\pi$ घन सेमी होगा।
• संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और तिर्यक ऊँचाई से त्रिज्या: मान लीजिए $\pi r(l + r) = 144\pi$ है और l = 10 सेमी। तो r(10 + r) = 144। अब 144 के गुणनखंड-युग्म आज़माइए। 8 × 18 = 144 है, और 18 = 10 + 8 भी है। तो r = 8 सेमी।

त्रिज्या और ऊँचाई अनुपात में: कभी r : h = 3 : 4 जैसा अनुपात दिया होता है। तब तिर्यक ऊँचाई 5 भाग होगी। अब अगर l = 20 सेमी है, तो एक भाग 4 सेमी हुआ। मतलब r = 12 सेमी और h = 16 सेमी, और $V = \frac{1}{3}\pi \times 144 \times 16 = 768\pi$ घन सेमी।

शब्दों में दिए पृष्ठों के अनुपात: ध्यान रखिए कि वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल : आधार का क्षेत्रफल = $\pi rl : \pi r^2$ = l : r होता है। तो "वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल आधार के क्षेत्रफल का दोगुना है" का मतलब है l = 2r, और फिर $h = \sqrt{3}\,r$। इसी तरह "संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल आधार के क्षेत्रफल का तीन गुना है" का मतलब है l + r = 3r, यानी फिर से l = 2r।

सूत्र चुनने से पहले लिख लीजिए कि r, h और l में से कौन-से दिए हुए हैं। पृष्ठों के लिए l चाहिए और आयतन के लिए h। यह समकोण त्रिभुज ही दोनों को जोड़ता है।

दो शंकुओं की तुलना

दो शंकुओं का अनुपात लेते समय $\frac{1}{3}$ और $\pi$ दोनों कट जाते हैं। इसलिए दो शंकुओं की तुलना ठीक दो बेलनों की तरह होती है।

$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^2 h_1}{r_2^2 h_2} \qquad \frac{\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}_1}{\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}_2} = \frac{r_1 l_1}{r_2 l_2}$$

इससे ये तीन बातें निकलती हैं।

• त्रिज्याएँ 3 : 4 में और ऊँचाइयाँ 2 : 3 में हों, तो आयतन $9 \times 2 : 16 \times 3 = 18 : 48 = 3 : 8$ में होंगे।
• आयतन बराबर हों, तो ऊँचाइयाँ त्रिज्याओं के वर्गों के उलटे अनुपात में होती हैं। जैसे त्रिज्याएँ 2 : 3 में हों, तो ऊँचाइयाँ 9 : 4 में होंगी।
• ऊँचाई एक ही हो, तो आयतन त्रिज्याओं के वर्गों के अनुपात में होते हैं। और त्रिज्या एक ही हो, तो आयतन ऊँचाइयों के अनुपात में होते हैं।

वक्र पृष्ठों की तुलना: इसके लिए तिर्यक ऊँचाइयाँ चाहिए। त्रिज्याओं और ऊँचाइयों के अनुपात से तिर्यक ऊँचाइयों का अनुपात तभी मिलता है, जब दोनों समरूप शंकु (cones of the same shape) हों, यानी दोनों की आकृति एक-सी हो। नहीं तो हर शंकु की l अलग से निकालिए। जैसे एक शंकु में r = 5, h = 12 है, तो l = 13। दूसरे में r = 8, h = 15 है, तो l = 17। अब वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात $65\pi : 136\pi = 65 : 136$ है।

समरूप शंकु: कभी एक शंकु दूसरे का ही बड़ा रूप होता है, यानी उसकी त्रिज्या और ऊँचाई दोनों को एक ही संख्या k से गुणा किया गया होता है। ऐसे समरूप शंकुओं में लंबाइयाँ, पृष्ठ और आयतन इस तरह बदलते हैं।

जैसे ऊँचाइयाँ 2 : 3 में हों, तो वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4 : 9 में और आयतन 8 : 27 में होंगे। उलटा भी निकाल सकते हैं। आयतन 27 : 64 में हों, तो ऊँचाइयाँ 3 : 4 में होंगी।

प्रतिशत परिवर्तन: यह भी बेलन जैसा ही है, जिसे "बेलन और खोखले बेलन" वाले खंड में देख चुके हैं। आयतन में त्रिज्या दो बार आती है और ऊँचाई एक बार। इसलिए त्रिज्या 10% बढ़े और ऊँचाई वही रहे, तो आयतन 21% बढ़ता है। दोनों 10% बढ़ें, तो आयतन 33.1% बढ़ता है।

त्रिज्यखंड से शंकु, और वापस

किसी चादर से एक त्रिज्यखंड काटिए और उसके दोनों सीधे किनारों को मिला दीजिए। इससे एक शंकु का वक्र पृष्ठ तैयार हो जाता है, जिसमें आधार नहीं होता। मान लीजिए त्रिज्यखंड की त्रिज्या L है और उसका कोण θ है। मोड़ने पर त्रिज्यखंड की ये तीन चीज़ें बिना बदले शंकु में आ जाती हैं।

• त्रिज्यखंड की त्रिज्या शंकु की तिर्यक ऊँचाई बन जाती है, यानी l = L।
• त्रिज्यखंड का चाप शंकु के आधार की परिधि बन जाता है। तो $\frac{\theta}{360} \times 2\pi L = 2\pi r$, जिससे $r = \frac{\theta}{360} \times L$ आता है।
• त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ही शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होता है।

जैसे 25 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त से 216° का त्रिज्यखंड काटा गया हो, तो l = 25 सेमी होगी, और $r = \frac{216}{360} \times 25 = 15$ सेमी। अब $h = \sqrt{625 - 225} = 20$ सेमी, और आयतन $\frac{1}{3}\pi \times 225 \times 20 = 1500\pi$ घन सेमी।

जाँच भी कर लेते हैं। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi \times 15 \times 25 = 375\pi$ वर्ग सेमी है, और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल भी $\frac{216}{360} \times 625\pi = 375\pi$ वर्ग सेमी है।

अक्सर आने वाले आकार: प्रश्नों में त्रिज्यखंड प्रायः इन तीन रूपों में मिलता है।

• अर्धवृत्त (180°) हो, तो $r = \frac{L}{2}$। जैसे 14 सेमी त्रिज्या वाले अर्धवृत्त से l = 14 सेमी, r = 7 सेमी और $h = \sqrt{196 - 49} = 7\sqrt{3}$ सेमी मिलते हैं।
• चतुर्थांश (90°), यानी वृत्त का चौथाई भाग हो, तो $r = \frac{L}{4}$।
• किसी वृत्त में से एक त्रिज्यखंड काटकर हटा दिया गया हो, तो बचा हुआ कोण लीजिए। यानी 360° में से हटाए गए त्रिज्यखंड का कोण घटा दीजिए।

शंकु से वापस त्रिज्यखंड: कभी उलटा पूछा जाता है कि शंकु के वक्र पृष्ठ को एक तिर्यक रेखा के अनुदिश काटकर समतल बिछा दें, तो त्रिज्यखंड का कोण कितना होगा। यह कोण इस सूत्र से निकलता है।

$$\theta = \frac{r}{l} \times 360^\circ$$

जैसे r = 9 सेमी और l = 24 सेमी हो, तो त्रिज्यखंड का कोण $\frac{9}{24} \times 360 = 135^\circ$ होगा।

चादर से बेलन बनाने वाले प्रश्नों में चादर की एक भुजा बेलन की परिधि बनती थी। यहाँ ऐसा नहीं है। यहाँ चादर की त्रिज्या शंकु की तिर्यक ऊँचाई बनती है, शंकु की त्रिज्या कभी नहीं।

शंक्वाकार तंबू: कैनवास, खर्च, वायु स्थान

शंक्वाकार तंबू भी एक शंकु ही है, बस इसके फ़र्श पर कैनवास नहीं लगता। इसलिए कैनवास का क्षेत्रफल केवल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi rl$ होता है। ऐसे प्रश्न में सबसे पहले तिर्यक ऊँचाई निकालिए।

मान लीजिए तंबू की त्रिज्या 3.5 मीटर और ऊँचाई 12 मीटर है। तो $l = \sqrt{12.25 + 144} = \sqrt{156.25} = 12.5$ मीटर। कैनवास का क्षेत्रफल $\frac{22}{7} \times 3.5 \times 12.5 = 137.5$ वर्ग मीटर होगा।

कैनवास की लंबाई: कैनवास एक तय चौड़ाई वाले थान में बिकता है, और कभी-कभी उसकी दर प्रति मीटर लंबाई के हिसाब से दी होती है। क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई होता है, तो लंबाई ऐसे निकलेगी।

$$\text{लंबाई} = \frac{\text{क्षेत्रफल}}{\text{चौड़ाई}}$$

ऊपर वाले तंबू में कैनवास 1.25 मीटर चौड़ा हो, तो उसकी लंबाई $\frac{137.5}{1.25} = 110$ मीटर होगी। ₹80 प्रति मीटर की दर से खर्च ₹8,800 आएगा।

दर प्रति वर्ग मीटर दी हो, तो क्षेत्रफल को सीधे दर से गुणा कर दीजिए। और अगर काटने-सिलने में कुछ कैनवास बर्बाद होता है, तो खर्च निकालने से पहले वह अतिरिक्त क्षेत्रफल (या लंबाई) जोड़ दीजिए।

अंदर की हवा और फ़र्श: ऊपर वाला तंबू ही लेते हैं।

• तंबू के अंदर की हवा, यानी वायु स्थान (air space), उसका आयतन है। यह $\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 12.25 \times 12 = 154$ घन मीटर है।
• फ़र्श आधार का क्षेत्रफल है, यानी $\frac{22}{7} \times 12.25 = 38.5$ वर्ग मीटर।
• तंबू 11 व्यक्तियों के लिए हो, तो हर एक को $\frac{38.5}{11} = 3.5$ वर्ग मीटर फ़र्श और $\frac{154}{11} = 14$ घन मीटर हवा मिलेगी।

हर व्यक्ति की ज़रूरत से ऊँचाई: कभी हर व्यक्ति की ज़रूरत दी होती है और तंबू की ऊँचाई पूछी जाती है। मान लीजिए हर व्यक्ति को a वर्ग मीटर फ़र्श और b घन मीटर हवा चाहिए, और तंबू में n व्यक्ति हैं। तब $\pi r^2 = na$ और $\frac{1}{3}\pi r^2 h = nb$। दूसरे को पहले से भाग दें, तो $\frac{h}{3} = \frac{b}{a}$ आता है। मतलब ऊँचाई यह होगी।

$$h = \frac{3b}{a}$$

व्यक्ति कितने भी हों, ऊँचाई इसी से निकलती है। जैसे हर एक को 3 वर्ग मीटर फ़र्श और 12 घन मीटर हवा चाहिए, तो तंबू 12 मीटर ऊँचा होगा।

[SSC टिप] तंबू वाले प्रश्नों में दर दो तरह से दी जाती है। पहली, प्रति मीटर कैनवास की दर, जिसमें पहले क्षेत्रफल ÷ चौड़ाई करना पड़ता है। दूसरी, प्रति वर्ग मीटर की दर, जिसमें क्षेत्रफल जैसा है वैसा ही लगता है। इसलिए गुणा करने से पहले दर की इकाई ज़रूर पढ़ लीजिए।

अनाज या रेत के ढेर

समतल ज़मीन पर अनाज, रेत या बजरी डालते जाइए, तो उसका ढेर शंकु के आकार का बन जाता है। ढेर में कितना माल है, यह उसके आयतन $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ से पता चलता है। ढेर को ढकने के लिए जितनी चादर चाहिए, वह उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi rl$ है। आधार तो ज़मीन पर टिका है, उसे कभी नहीं ढकते।

जैसे गेहूँ के एक ढेर की त्रिज्या 6 मीटर और ऊँचाई 2.5 मीटर है। इसकी तिर्यक ऊँचाई $\sqrt{36 + 6.25} = 6.5$ मीटर आती है। यहाँ भी 5, 12, 13 वाला त्रिक है, बस आधा। अब $\pi$ = 3.14 लेकर हिसाब करते हैं।

• आयतन = $\frac{1}{3} \times 3.14 \times 36 \times 2.5 = 94.2$ घन मीटर।
• ढकने के लिए कैनवास = 3.14 × 6 × 6.5 = 122.46 वर्ग मीटर।

विकल्प $\pi$ के रूप में हों, तो यही मान $30\pi$ घन मीटर और $39\pi$ वर्ग मीटर होंगे।

जब परिधि दी हो: कुछ प्रश्नों में ढेर की त्रिज्या नहीं, उसके निचले घेरे की लंबाई, यानी आधार की परिधि दी होती है। जैसे परिधि 44 मीटर है, तो $r = \frac{44 \times 7}{44} = 7$ मीटर, और आधार का क्षेत्रफल 154 वर्ग मीटर। ऊँचाई 3 मीटर हो, तो आयतन $\frac{1}{3} \times 154 \times 3 = 154$ घन मीटर होगा।

बोरे और बर्तन: ढेर को बोरों में भरना हो, तो ढेर के आयतन को एक बोरे के आयतन से भाग दीजिए। जैसे हर बोरे में 0.11 घन मीटर आता है, तो 154 घन मीटर वाले ढेर से $\frac{154}{0.11} = 1400$ बोरे भरेंगे। ढेर को किसी टंकी या गड्ढे में डालें, तब भी आयतन वही रहता है। यह पूरा विचार "संयुक्त ठोस, पिघलाना और दोबारा ढालना" वाले खंड में मिलेगा।

ढेर चौड़े और कम ऊँचे होते हैं, इसलिए उनमें r प्रायः h से बहुत बड़ा होता है। फिर भी l तीनों में सबसे लंबी ही रहती है। तिर्यक ऊँचाई त्रिज्या से छोटी आ जाए, तो गणना दोबारा देखिए।

आधार के समांतर कटा शंकु

किसी शंकु को आधार के समांतर एक तल से काटें, तो उसके दो टुकड़े हो जाते हैं। ऊपर एक छोटा शंकु रहता है, और नीचे वाले भाग को छिन्नक (frustum) कहते हैं।

ऊपर वाला छोटा शंकु पूरे शंकु के समरूप होता है, यानी दोनों की आकृति बिल्कुल एक-सी होती है। इसे देखने के लिए शंकु को शीर्ष से नीचे तक बीच से काटिए। कटी हुई जगह पर दो समरूप समकोण त्रिभुज दिखते हैं, एक छोटे शंकु का और एक पूरे शंकु का।

इसलिए छोटे शंकु की ऊँचाई पूरी ऊँचाई की k गुनी हो, तो उसकी त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई भी k गुनी होगी। छोटे शंकु के माप r, h, l और पूरे शंकु के R, H, L लें, तो ये संबंध मिलते हैं।

$$\frac{r}{R} = \frac{h}{H} = \frac{l}{L} = k \qquad \frac{\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (छोटा शंकु)}}{\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (पूरा शंकु)}} = k^2 \qquad \frac{V_{\text{छोटा}}}{V_{\text{पूरा}}} = k^3$$

ठीक बीच से कटाव: शंकु को ऊँचाई के ठीक बीच से काटा जाए, तो k = $\frac{1}{2}$। छोटा शंकु आयतन का $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ भाग लेता है, और छिन्नक बाकी $\frac{7}{8}$। इससे तीन अनुपात मिलते हैं।

• छोटे शंकु और छिन्नक के आयतन 1 : 7 में होते हैं।
• छोटे शंकु और पूरे शंकु के आयतन 1 : 8 में होते हैं।
• छोटे शंकु और छिन्नक के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 1 : 3 में होते हैं। वजह यह है कि छोटे शंकु के हिस्से में पूरे वक्र पृष्ठ का केवल $\frac{1}{4}$ आता है।

एक-तिहाई पर कटाव: कटाव शीर्ष से ऊँचाई के एक-तिहाई पर हो, तो k = $\frac{1}{3}$। छोटा शंकु आयतन का $\frac{1}{27}$ होगा, और दोनों भाग 1 : 26 में होंगे।

कटाव कहाँ हुआ: कभी उलटा पूछा जाता है। मान लीजिए शंकु 30 सेमी ऊँचा है, और ऊपर से कटा छोटा शंकु पूरे आयतन का $\frac{1}{64}$ है। तो $k^3 = \frac{1}{64}$, यानी k = $\frac{1}{4}$। छोटा शंकु 7.5 सेमी ऊँचा हुआ। तो कटाव शीर्ष से 7.5 सेमी नीचे हुआ है, यानी आधार से 22.5 सेमी ऊपर। इसलिए प्रश्न ध्यान से पढ़िए कि दूरी शीर्ष से नापी जा रही है या आधार से।

बराबर आयतन वाले दो भाग: शंकु को ऐसे काटना हो कि दोनों भागों का आयतन बराबर रहे, तो $k^3 = \frac{1}{2}$, यानी $k = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$। यह कटाव ऊँचाई के बीच में नहीं होता।

[SSC टिप] "ठीक बीच से काटा" का मतलब है कि ऊँचाई आधी हुई, आयतन नहीं। तब दोनों टुकड़ों के आयतन 1 : 7 में होते हैं। विकल्पों में प्रायः 1 : 1, 1 : 3 और 1 : 8 भी दिए होते हैं। इसलिए पहले तय कर लीजिए कि छोटे शंकु की तुलना छिन्नक से हो रही है या पूरे शंकु से।

छिन्नक का आयतन

शंकु के ऊपर से एक छोटा शंकु काट दें, तो नीचे जो भाग बचता है, वही छिन्नक है। बाल्टी, गिलास, लैंपशेड और गमले, ये सब छिन्नक ही हैं।

छिन्नक के दो वृत्ताकार सिरे होते हैं। बड़े सिरे की त्रिज्या R और छोटे सिरे की r लेते हैं, और दोनों सिरों के बीच की ऊँचाई h।

छिन्नक का आयतन = बड़ा शंकु − छोटा शंकु। समरूप त्रिभुजों की मदद से यह हिसाब पूरा करें, तो छिन्नक के आयतन का सूत्र मिलता है।

$$V = \frac{\pi h}{3}\left(R^2 + Rr + r^2\right)$$

एक बार घटाकर जाँच: सूत्र सही है या नहीं, यह घटाकर भी देख सकते हैं। R = 6 सेमी, r = 3 सेमी और h = 7 सेमी लीजिए। यहाँ r, R का आधा है, तो छोटे शंकु की ऊँचाई भी बड़े शंकु की आधी होगी। यानी बड़ा शंकु 14 सेमी ऊँचा है और छोटा 7 सेमी।

• बड़े शंकु का आयतन $\frac{1}{3}\pi \times 36 \times 14 = 168\pi$ है।
• छोटे शंकु का आयतन $\frac{1}{3}\pi \times 9 \times 7 = 21\pi$ है।
• छिन्नक का आयतन $168\pi - 21\pi = 147\pi$ घन सेमी हुआ।

अब सूत्र से देखिए। $\frac{7\pi}{3}(36 + 18 + 9) = \frac{7\pi}{3} \times 63 = 147\pi$ घन सेमी। उत्तर वही आया।

$\pi = \frac{22}{7}$ लेकर: मान लीजिए R = 10.5 सेमी, r = 7 सेमी और h = 6 सेमी है। तो $V = \frac{22}{7} \times \frac{6}{3} \times (110.25 + 73.5 + 49) = \frac{44}{7} \times 232.75 = 1463$ घन सेमी, यानी 1.463 लीटर।

दो छोटे रास्ते जो काम नहीं करते: ये देखने में आसान लगते हैं, पर उत्तर गलत देते हैं।

• औसत त्रिज्या वाला बेलन लेना, यानी $\pi\left(\frac{R + r}{2}\right)^2 h$। ऊपर वाले छिन्नक में इससे 1443.75 घन सेमी आता है, जो सही मान से कम है।
• $\frac{\pi h}{3}(R^2 + r^2)$ लिखना। इसमें बीच वाला पद Rr छूट जाता है।

याद रखिए, बीच वाला पद दोनों त्रिज्याओं का गुणनफल है, योग नहीं। और पूरे कोष्ठक को $\frac{\pi h}{3}$ से गुणा करना है, यानी इसमें ऊँचाई का एक-तिहाई लगता है।

छिन्नक: तिर्यक ऊँचाई, पृष्ठ, बाल्टी

छिन्नक को ऊपर से नीचे तक ठीक बीच से काटें, तो काट वाली जगह पर एक समलंब दिखता है। अब ऊपरी सिरे के किनारे से आधार पर एक लंब डालिए। इससे एक समकोण त्रिभुज बनता है, जिसकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ ऊँचाई h और त्रिज्याओं का अंतर R − r हैं। इसका कर्ण छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई है।

$$l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$$

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र ये हैं।

$$\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \pi(R + r)l \qquad \text{संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \pi(R + r)l + \pi R^2 + \pi r^2$$

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को ऐसे भी समझ सकते हैं कि यह दोनों परिधियों का औसत × तिर्यक ऊँचाई है। यह लगभग समलंब के क्षेत्रफल जैसा ही है।

उदाहरण के लिए R = 10.5 सेमी, r = 3.5 सेमी और h = 24 सेमी लीजिए। यहाँ R − r = 7, तो $l = \sqrt{576 + 49} = 25$ सेमी। यह 7, 24, 25 वाला त्रिक है। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\frac{22}{7} \times 14 \times 25 = 1100$ वर्ग सेमी। दोनों सिरों का क्षेत्रफल 346.5 + 38.5 = 385 वर्ग सेमी है, तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 1485 वर्ग सेमी हुआ।

बाल्टी: बाल्टी एक ऐसा छिन्नक है जो अपने छोटे सिरे पर खड़ा है। इसका ऊपर वाला चौड़ा सिरा खुला रहता है और नीचे वाला बंद।

• बाल्टी बनाने में लगी धातु की चादर = $\pi(R + r)l + \pi r^2$। इसमें केवल नीचे वाला छोटा वृत्त जुड़ता है।
• बाल्टी की धारिता छिन्नक का आयतन ही है। यह प्रायः लीटर में पूछी जाती है।

जैसे कोई बाल्टी 24 सेमी गहरी है, उसके ऊपरी सिरे की त्रिज्या 10.5 सेमी है और निचले सिरे की 3.5 सेमी। इसके माप ऊपर वाले छिन्नक जैसे ही हैं, तो चादर 1100 + 38.5 = 1138.5 वर्ग सेमी लगेगी। धारिता $\frac{22}{7} \times \frac{24}{3} \times (110.25 + 36.75 + 12.25) = \frac{22}{7} \times 8 \times 159.25 = 4004$ घन सेमी है, यानी 4.004 लीटर।

यहाँ तीन गलतियाँ अक्सर होती हैं। l की जगह h रख देना, मूल के अंदर R − r की जगह R + r लिख देना, और बाल्टी के खुले ऊपरी सिरे को भी चादर में जोड़ देना।

हल किए गए उदाहरण

अब इन तरीकों से कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

एक शंकु के आधार की त्रिज्या 16 सेमी और उसकी ऊँचाई 30 सेमी है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? (a) $544\pi$ वर्ग सेमी (b) $480\pi$ वर्ग सेमी (c) $800\pi$ वर्ग सेमी (d) $272\pi$ वर्ग सेमी

उत्तर: पहले तिर्यक ऊँचाई निकाल लेते हैं। $l = \sqrt{256 + 900} = \sqrt{1156} = 34$ सेमी, यह 8, 15, 17 वाला त्रिक ही है, बस दोगुना। अब वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi rl = \pi \times 16 \times 34$ = (a) $544\pi$ वर्ग सेमी। यहाँ $\pi \times 16 \times 30 = 480\pi$ लिखने का मन होता है, पर 30 सेमी तो ऊँचाई है, तिर्यक ऊँचाई नहीं।

प्रश्न 2

21 सेमी त्रिज्या और 20 सेमी ऊँचाई वाले एक ठोस शंकु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 1914 वर्ग सेमी (b) 2706 वर्ग सेमी (c) 3300 वर्ग सेमी (d) 4686 वर्ग सेमी

उत्तर: तिर्यक ऊँचाई = $\sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29$ सेमी, यानी 20, 21, 29 वाला त्रिक। अब संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi r(l + r) = \frac{22}{7} \times 21 \times (29 + 21) = 66 \times 50$ = (c) 3300 वर्ग सेमी। शंकु का आधार एक ही होता है, इसलिए $\pi r^2$ केवल एक बार जुड़ेगा।

प्रश्न 3

उस शंकु का आयतन कितना है जिसके आधार की त्रिज्या 3.5 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 462 घन सेमी (b) 154 घन सेमी (c) 616 घन सेमी (d) 77 घन सेमी

उत्तर: सीधे सूत्र में रखते हैं, $V = \frac{1}{3}\pi r^2h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 12$। आधार का क्षेत्रफल 38.5 वर्ग सेमी है, और 12 का एक-तिहाई 4 है। तो V = 38.5 × 4 = (b) 154 घन सेमी। $\frac{1}{3}$ भूल गए, तो 462 घन सेमी आएगा, पर वह तो बेलन का आयतन है।

प्रश्न 4

एक शंकु का आयतन 2156 घन सेमी है और उसके आधार की त्रिज्या 7 सेमी है। उसकी ऊँचाई कितनी है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 14 सेमी (b) 21 सेमी (c) 84 सेमी (d) 42 सेमी

उत्तर: यहाँ $h = \frac{3V}{\pi r^2}$ लगेगा। आधार का क्षेत्रफल $\frac{22}{7} \times 49 = 154$ वर्ग सेमी है। तो $h = \frac{3 \times 2156}{154} = \frac{6468}{154}$ = (d) 42 सेमी। अगर केवल 2156 ÷ 154 कर दिया, तो 14 सेमी आता है। पर यह उतने ही आयतन वाले बेलन की ऊँचाई है।

प्रश्न 5

एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2200 वर्ग सेमी है और उसके आधार की त्रिज्या 14 सेमी है। उसका आयतन कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 9856 घन सेमी (b) 29568 घन सेमी (c) 4928 घन सेमी (d) 19712 घन सेमी

उत्तर: पहले $\pi rl = 2200$ से तिर्यक ऊँचाई निकालते हैं, $l = \frac{2200 \times 7}{22 \times 14} = 50$ सेमी। अब $h = \sqrt{2500 - 196} = \sqrt{2304} = 48$ सेमी। यह 7, 24, 25 वाला त्रिक है, बस दोगुना। आयतन = $\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 196 \times 48 = 616 \times 16$ = (a) 9856 घन सेमी।

प्रश्न 6

एक शंकु की तिर्यक ऊँचाई 29 सेमी है और उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $580\pi$ वर्ग सेमी है। उसका आयतन कितना है? (a) $8400\pi$ घन सेमी (b) $1400\pi$ घन सेमी (c) $2800\pi$ घन सेमी (d) $4200\pi$ घन सेमी

उत्तर: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल से त्रिज्या निकालते हैं। $\pi r \times 29 = 580\pi$ से r = 20 सेमी आता है। फिर $h = \sqrt{841 - 400} = \sqrt{441} = 21$ सेमी। आयतन = $\frac{1}{3}\pi \times 400 \times 21 = 400 \times 7 \times \pi$ = (c) $2800\pi$ घन सेमी।

प्रश्न 7

दो शंकुओं की त्रिज्याएँ 2 : 3 के अनुपात में हैं और उनकी ऊँचाइयाँ 9 : 8 के अनुपात में हैं। उनके आयतनों का अनुपात क्या है? (a) 3 : 4 (b) 1 : 2 (c) 2 : 3 (d) 4 : 9

उत्तर: दोनों शंकुओं के सूत्र में बाकी सब एक जैसा है, इसलिए आयतन $r^2h$ के अनुपात में होंगे। तो अनुपात = $2^2 \times 9 : 3^2 \times 8 = 36 : 72$ = (b) 1 : 2।

प्रश्न 8

दो शंकुओं के आयतन समान हैं। उनकी त्रिज्याएँ 4 : 5 के अनुपात में हैं। उनकी ऊँचाइयों का अनुपात क्या है? (a) 5 : 4 (b) 16 : 25 (c) 4 : 5 (d) 25 : 16

उत्तर: आयतन बराबर हैं, तो $r_1^2h_1 = r_2^2h_2$। इससे $h_1 : h_2 = r_2^2 : r_1^2 = 25 : 16$ आता है। तो उत्तर (d) 25 : 16 है। जाँच भी हो जाती है। जिस शंकु की त्रिज्या छोटी है, यानी जो पतला है, वही ज़्यादा ऊँचा होना चाहिए, और यहाँ ऐसा ही है।

प्रश्न 9

एक शंकु और एक बेलन के आधार की त्रिज्या समान है और उनका आयतन भी समान है। बेलन की ऊँचाई 9 सेमी है। शंकु की ऊँचाई कितनी है? (a) 27 सेमी (b) 3 सेमी (c) 9 सेमी (d) 18 सेमी

उत्तर: शंकु की ऊँचाई H मान लेते हैं। आयतन बराबर हैं, तो $\frac{1}{3}\pi r^2H = \pi r^2 \times 9$। दोनों ओर से $\pi r^2$ कट जाता है और $\frac{H}{3} = 9$ बचता है। तो H = (a) 27 सेमी। बात सीधी है। एक ही आधार पर शंकु में बेलन का एक-तिहाई ही आता है, इसलिए उतना ही भरने के लिए शंकु को तीन गुना ऊँचा होना पड़ेगा।

प्रश्न 10

दो समरूप शंकुओं की ऊँचाइयाँ 6 सेमी और 9 सेमी हैं, और बड़े शंकु का आयतन 540 घन सेमी है। छोटे शंकु का आयतन कितना है? (a) 360 घन सेमी (b) 240 घन सेमी (c) 160 घन सेमी (d) 120 घन सेमी

उत्तर: शंकु समरूप हैं, तो हर लंबाई 6 : 9 = 2 : 3 के अनुपात में है। आयतन में यह अनुपात घन हो जाता है, यानी $2^3 : 3^3 = 8 : 27$। तो छोटे शंकु का आयतन = $540 \times \frac{8}{27}$ = (c) 160 घन सेमी। केवल $\frac{2}{3}$ से गुणा करके 360 घन सेमी लिखना गलत है। इसमें आयतन को लंबाई की तरह बरत लिया गया।

प्रश्न 11

15 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त से 288° कोण वाला एक त्रिज्यखंड काटकर उसे मोड़कर एक शंकु बनाया जाता है। शंकु का आयतन कितना है? (a) $1296\pi$ घन सेमी (b) $432\pi$ घन सेमी (c) $720\pi$ घन सेमी (d) $216\pi$ घन सेमी

उत्तर: चादर की त्रिज्या शंकु की तिर्यक ऊँचाई बनती है, तो l = 15 सेमी। त्रिज्यखंड का चाप आधार की परिधि बनता है, तो $r = \frac{288}{360} \times 15 = 12$ सेमी। अब $h = \sqrt{225 - 144} = 9$ सेमी, और $V = \frac{1}{3}\pi \times 144 \times 9$ = (b) $432\pi$ घन सेमी। कोई 15 सेमी को ऊँचाई मान ले, तो $720\pi$ घन सेमी आएगा। पर 15 सेमी तो तिर्यक ऊँचाई है।

प्रश्न 12

7 सेमी आधार त्रिज्या और 18 सेमी तिर्यक ऊँचाई वाले एक शंकु के वक्र पृष्ठ को एक तिर्यक रेखा के अनुदिश काटकर समतल रूप में फैला दिया जाता है। इस प्रकार बने त्रिज्यखंड का कोण कितना है? (a) 70° (b) 280° (c) 160° (d) 140°

उत्तर: त्रिज्यखंड की त्रिज्या तिर्यक ऊँचाई के बराबर है, यानी 18 सेमी। उसका चाप आधार की परिधि के बराबर है, यानी $2\pi \times 7$। तो $\frac{\theta}{360} \times 2\pi \times 18 = 2\pi \times 7$, जिससे $\theta = \frac{7}{18} \times 360$ = (d) 140° आता है।

प्रश्न 13

14 सेमी त्रिज्या वाली एक अर्धवृत्ताकार चादर को मोड़कर एक शंकु बनाया जाता है। शंकु का आयतन कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) $\frac{1078\sqrt{3}}{3}$ घन सेमी (b) $1078\sqrt{3}$ घन सेमी (c) $\frac{539\sqrt{3}}{3}$ घन सेमी (d) $\frac{2156\sqrt{3}}{3}$ घन सेमी

उत्तर: चादर की त्रिज्या ही तिर्यक ऊँचाई बनेगी, यानी 14 सेमी। अर्धवृत्त का चाप पूरे वृत्त की परिधि का आधा होता है, और यही चाप आधार की परिधि बनता है। तो $2\pi r = \pi \times 14$, यानी r = 7 सेमी। अब $h = \sqrt{196 - 49} = \sqrt{147} = 7\sqrt{3}$ सेमी। आयतन = $\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 \times 7\sqrt{3} = \frac{1078\sqrt{3}}{3}$, यानी (a) $\frac{1078\sqrt{3}}{3}$ घन सेमी।

प्रश्न 14

एक शंक्वाकार तंबू के आधार की त्रिज्या 10.5 मीटर और उसकी ऊँचाई 14 मीटर है। 2.5 मीटर चौड़े कैनवास का मूल्य ₹50 प्रति मीटर है। तंबू के लिए कैनवास का खर्च कितना होगा? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) ₹28,875 (b) ₹9,240 (c) ₹11,550 (d) ₹5,775

उत्तर: पहले तिर्यक ऊँचाई निकालते हैं, $\sqrt{110.25 + 196} = \sqrt{306.25} = 17.5$ मीटर। यह 3, 4, 5 वाला त्रिक है, 3.5 गुना। कैनवास का क्षेत्रफल = $\frac{22}{7} \times 10.5 \times 17.5 = 577.5$ वर्ग मीटर। कैनवास 2.5 मीटर चौड़ा है, तो उसकी लंबाई $\frac{577.5}{2.5} = 231$ मीटर होगी। खर्च = 231 × 50 = (c) ₹11,550। दर प्रति मीटर दी है, इसलिए क्षेत्रफल को सीधे ₹50 से गुणा करके ₹28,875 लिखना गलत है।

प्रश्न 15

लोगों के एक समूह के लिए एक शंक्वाकार तंबू लगाया जाना है। प्रत्येक व्यक्ति के लिए 3.5 वर्ग मीटर फ़र्श और 21 घन मीटर वायु की आवश्यकता है। तंबू की ऊँचाई कितनी होनी चाहिए? (a) 6 मीटर (b) 18 मीटर (c) 9 मीटर (d) 12 मीटर

उत्तर: मान लेते हैं कि तंबू में n व्यक्ति हैं। फ़र्श के लिए $\pi r^2 = 3.5n$, और हवा के लिए $\frac{1}{3}\pi r^2h = 21n$। पहले वाले को दूसरे में रख देते हैं, तो $\frac{1}{3} \times 3.5n \times h = 21n$। इससे $h = \frac{3 \times 21}{3.5}$ = (b) 18 मीटर आता है। व्यक्तियों की संख्या दोनों ओर से कट जाती है, इसीलिए प्रश्न में दी ही नहीं गई।

प्रश्न 16

चावल के एक शंक्वाकार ढेर के आधार की परिधि 31.4 मीटर और उसकी ऊँचाई 1.8 मीटर है। ढेर का आयतन कितना है? ($\pi$ = 3.14 लीजिए।) (a) 141.3 घन मीटर (b) 188.4 घन मीटर (c) 15.7 घन मीटर (d) 47.1 घन मीटर

उत्तर: परिधि से त्रिज्या निकालते हैं। $2\pi r = 31.4$, तो r = $\frac{31.4}{6.28} = 5$ मीटर। आयतन = $\frac{1}{3} \times 3.14 \times 25 \times 1.8 = 3.14 \times 25 \times 0.6$ = (d) 47.1 घन मीटर।

प्रश्न 17

रेत का एक शंक्वाकार ढेर 1.2 मीटर ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 3.5 मीटर है। उसे ढकने के लिए कितने कैनवास की आवश्यकता होगी? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 40.7 वर्ग मीटर (b) 13.2 वर्ग मीटर (c) 79.2 वर्ग मीटर (d) 81.4 वर्ग मीटर

उत्तर: ढेर का आधार ज़मीन पर है, तो केवल वक्र पृष्ठ ढकना है। तिर्यक ऊँचाई = $\sqrt{12.25 + 1.44} = \sqrt{13.69} = 3.7$ मीटर। यह 12, 35, 37 वाले त्रिक को 10 से भाग देने पर मिलता है। कैनवास = $\frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.7 = 11 \times 3.7$ = (a) 40.7 वर्ग मीटर। आधार भी जोड़ दिया, तो 79.2 वर्ग मीटर आता है। यह गलत है, क्योंकि रेत के नीचे कोई कैनवास नहीं बिछाता।

प्रश्न 18

एक शंकु को उसके आधार के समांतर एक तल द्वारा, उसकी ऊँचाई के मध्य-बिंदु से होकर काटा जाता है। छोटे शंकु के आयतन और छिन्नक के आयतन का अनुपात क्या है? (a) 1 : 8 (b) 1 : 3 (c) 1 : 7 (d) 1 : 1

उत्तर: छोटे शंकु की ऊँचाई आधी है, तो उसकी त्रिज्या भी आधी है। इसलिए उसका आयतन पूरे शंकु का $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ है, और छिन्नक के पास बाकी $\frac{7}{8}$ बचता है। तो छोटा शंकु : छिन्नक = $\frac{1}{8} : \frac{7}{8}$ = (c) 1 : 7। 1 : 8 तब आता है जब छोटे शंकु की तुलना पूरे शंकु से की जाए, और वह यहाँ पूछा ही नहीं गया।

प्रश्न 19

एक शंकु 24 सेमी ऊँचा है। उसके आधार के समांतर एक तल एक छोटा शंकु काट देता है, जिसका आयतन पूरे शंकु के आयतन का $\frac{1}{27}$ है। यह कटाव आधार से कितनी ऊँचाई पर किया गया है? (a) 8 सेमी (b) 16 सेमी (c) 12 सेमी (d) 18 सेमी

उत्तर: आयतन $k^3$ के हिसाब से बदलता है, तो $k^3 = \frac{1}{27}$, यानी k = $\frac{1}{3}$। छोटा शंकु $\frac{1}{3} \times 24 = 8$ सेमी ऊँचा है। पर यह 8 सेमी शीर्ष से नीचे की ओर नापा गया है। इसलिए कटाव आधार से 24 − 8 = (b) 16 सेमी ऊपर है।

प्रश्न 20

एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके आधार के क्षेत्रफल का दोगुना है, और उसके आधार की त्रिज्या 6 सेमी है। उसका आयतन कितना है? (a) $216\sqrt{3}\pi$ घन सेमी (b) $144\pi$ घन सेमी (c) $24\sqrt{3}\pi$ घन सेमी (d) $72\sqrt{3}\pi$ घन सेमी

उत्तर: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल आधार के क्षेत्रफल का दोगुना है, तो $\pi rl = 2\pi r^2$, यानी l = 2r = 12 सेमी। अब $h = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ सेमी। आयतन = $\frac{1}{3}\pi \times 36 \times 6\sqrt{3}$ = (d) $72\sqrt{3}\pi$ घन सेमी।

प्रश्न 21

एक शंकु के छिन्नक के सिरों की त्रिज्याएँ 9 सेमी और 3 सेमी हैं और उसकी ऊँचाई 5 सेमी है। उसका आयतन कितना है? (a) $195\pi$ घन सेमी (b) $585\pi$ घन सेमी (c) $150\pi$ घन सेमी (d) $180\pi$ घन सेमी

उत्तर: छिन्नक का सूत्र सीधे लगाते हैं। $V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2) = \frac{5\pi}{3}(81 + 27 + 9) = \frac{5\pi}{3} \times 117 = 5\pi \times 39$ = (a) $195\pi$ घन सेमी। बीच वाला पद Rr = 27 रखना ज़रूरी है। उसे छोड़ देने पर $150\pi$ घन सेमी आता है, और यह संख्या विकल्प (c) में भी दी हुई है।

प्रश्न 22

एक छिन्नक के सिरों की त्रिज्याएँ 13 सेमी और 7 सेमी हैं और उसकी ऊँचाई 8 सेमी है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है? (a) $160\pi$ वर्ग सेमी (b) $418\pi$ वर्ग सेमी (c) $200\pi$ वर्ग सेमी (d) $100\pi$ वर्ग सेमी

उत्तर: तिर्यक ऊँचाई में त्रिज्याओं का अंतर लगता है, तो $l = \sqrt{8^2 + (13 - 7)^2} = \sqrt{64 + 36} = 10$ सेमी। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi(R + r)l = \pi \times 20 \times 10$ = (c) $200\pi$ वर्ग सेमी। जल्दबाज़ी में तिर्यक ऊँचाई की जगह ऊँचाई रख दी, तो $160\pi$ वर्ग सेमी आ जाएगा।

प्रश्न 23

एक बाल्टी 12 सेमी गहरी है। उसके ऊपरी सिरे की त्रिज्या 14 सेमी और निचले सिरे की त्रिज्या 3.5 सेमी है। उसमें कितने लीटर पानी आ सकता है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 9.702 लीटर (b) 3.234 लीटर (c) 2.8875 लीटर (d) 32.34 लीटर

उत्तर: धारिता के लिए छिन्नक का आयतन निकालते हैं। $\frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2) = \frac{22}{7} \times \frac{12}{3} \times (196 + 49 + 12.25) = \frac{88}{7} \times 257.25 = 88 \times 36.75 = 3234$ घन सेमी। इसे 1000 से भाग दें, तो (b) 3.234 लीटर आता है। औसत त्रिज्या 8.75 सेमी वाला बेलन लेने पर लगभग 2.89 लीटर आता है, जो कम है।

प्रश्न 24

ऊपर से खुली एक बाल्टी 8 सेमी गहरी है, उसके ऊपरी सिरे की त्रिज्या 16 सेमी और निचले सिरे की त्रिज्या 10 सेमी है। इसे बनाने के लिए कितनी धातु की चादर की आवश्यकता होगी? ($\pi$ = 3.14 लीजिए।) (a) 816.4 वर्ग सेमी (b) 1934.24 वर्ग सेमी (c) 653.12 वर्ग सेमी (d) 1130.4 वर्ग सेमी

उत्तर: तिर्यक ऊँचाई = $\sqrt{8^2 + (16 - 10)^2} = \sqrt{100} = 10$ सेमी। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3.14 × (16 + 10) × 10 = 816.4 वर्ग सेमी। बाल्टी ऊपर से खुली है, इसलिए केवल नीचे वाला वृत्त जोड़ना है, जो 3.14 × 100 = 314 वर्ग सेमी है। तो चादर = 816.4 + 314 = (d) 1130.4 वर्ग सेमी।