त्वरित पुनरावृत्ति

घनाभ और घन

• घनाभ का आयतन $lbh$ होता है और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (total surface area) $2(lb + bh + hl)$। चार दीवारों का क्षेत्रफल $2h(l + b)$ होता है और विकर्ण $\sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$।
• घनाभ में $(l + b + h)^2 = d^2 + \text{संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल}$ होता है। यह संबंध याद रखिए। सभी 12 किनारों का योग $4(l + b + h)$ होता है।
• एक ही कोने पर मिलने वाले तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल $x$, $y$ और $z$ हों, तो आयतन $\sqrt{xyz}$ होता है।
• घन का आयतन $a^3$, संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $6a^2$ और चार दीवारों का क्षेत्रफल $4a^2$ होता है। इसका विकर्ण $a\sqrt{3}$ होता है और एक फलक का विकर्ण $a\sqrt{2}$।
• घन को $b$ किनारे वाले छोटे घनों में काटें, तो $\left(\frac{a}{b}\right)^3$ टुकड़े बनते हैं और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $\frac{a}{b}$ गुना हो जाता है। बराबर किनारे वाले $n$ घन एक पंक्ति में जोड़ दें, तो जो घनाभ बनता है, उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $(4n + 2)a^2$ होता है।
• विकर्ण दिया हो, तो घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $2d^2$ होता है। ध्यान रखिए, इसमें पूरा विकर्ण $a\sqrt{3}$ लगता है, फलक का विकर्ण नहीं।

कमरे, डिब्बे और टंकियाँ

• चार दीवारों का क्षेत्रफल फ़र्श का परिमाप × ऊँचाई होता है। इसमें से दरवाज़ों और खिड़कियों का क्षेत्रफल घटा दीजिए।
• कागज़ या कालीन $w$ चौड़ा हो, तो उसकी लंबाई क्षेत्रफल ÷ $w$ होती है।
• $L \times B$ की चादर के चारों कोनों से $x$ भुजा वाले वर्ग काटकर डिब्बा बनाएँ, तो उसका आयतन $(L - 2x)(B - 2x)x$ होता है।
• $t$ मोटी लकड़ी के बंद डिब्बे में हर बाहरी माप में से $2t$ घटाइए, तब आंतरिक माप मिलता है। खुले डिब्बे में ढक्कन नहीं होता, इसलिए ऊँचाई में से केवल $t$ घटाइए।
• ईंटों की संख्या निकालने के लिए दीवार के आयतन को एक ईंट के आयतन से भाग दीजिए। दीवार में गारे वाला भाग हो, तो उसे पहले घटा लीजिए।
• 1 घन मीटर = 1000 लीटर और 1 लीटर = 1000 घन सेमी होता है। वर्षा के पानी का आयतन क्षेत्रफल × गहराई होता है, बस गहराई मीटर में लीजिए।

लंब प्रिज्म

• लंब प्रिज्म का आयतन आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई होता है।
• पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (lateral surface area) आधार का परिमाप × ऊँचाई होता है। इसमें 2 × आधार का क्षेत्रफल जोड़ दें, तो संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल मिल जाता है।
• परीक्षा में आधार अक्सर समबाहु त्रिभुज, समकोण त्रिभुज, समचतुर्भुज, समलंब या सम षट्भुज होता है (अध्याय 13 देखें)। समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$, समकोण त्रिभुज का $\frac{1}{2}ab$, समचतुर्भुज का $\frac{1}{2}d_1d_2$ और सम षट्भुज का $\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$ होता है।
• समचतुर्भुज की भुजा उसके आधे विकर्णों से निकलती है, और वह $\frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2}$ होती है।
• आधार में $n$ भुजाएँ हों, तो प्रिज्म में $n + 2$ फलक, $3n$ किनारे और $2n$ शीर्ष होते हैं। ऑयलर का सूत्र (Euler's formula) $F + V - E = 2$ यहाँ भी लागू होता है।
• प्रिज्म के दो आधार होते हैं। संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल में दोनों जोड़िए। एक ही आधार जोड़कर रुक जाना आम गलती है।

पिरामिड

• पिरामिड का आयतन $= \frac{1}{3} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ होता है। यहाँ आधार का मतलब आधार का क्षेत्रफल है।
• आधार का परिमाप और तिर्यक ऊँचाई (slant height) पता हो, तो पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{परिमाप} \times \text{तिर्यक ऊँचाई}$ होता है। संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए इसमें एक आधार का क्षेत्रफल जोड़िए।
• आधार वर्गाकार हो और उसकी भुजा $a$ हो, तो तिर्यक ऊँचाई $l$ इस संबंध से निकलती है, $l^2 = h^2 + \frac{a^2}{4}$। शीर्ष से आधार के किसी कोने तक जाने वाले किनारे को पार्श्व किनारा कहते हैं। इसे $e$ लें, तो $e^2 = h^2 + \frac{a^2}{2}$ होता है।
• आधार में $n$ भुजाएँ हों, तो पिरामिड में $n + 1$ फलक, $2n$ किनारे और $n + 1$ शीर्ष होते हैं।
• [Tier 2] आधार समबाहु त्रिभुज हो, तो उसके केंद्र से हर भुजा की दूरी $\frac{a}{2\sqrt{3}}$ होती है और हर कोने की दूरी $\frac{a}{\sqrt{3}}$।
• [Tier 2] सम चतुष्फलक (regular tetrahedron) का पृष्ठीय क्षेत्रफल $\sqrt{3}a^2$, ऊँचाई $a\sqrt{\frac{2}{3}}$ और आयतन $\frac{a^3}{6\sqrt{2}}$ होता है।

बेलन

• बेलन का आयतन $\pi r^2h$ होता है, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (curved surface area) $2\pi rh$ और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi r(r + h)$।
• आयतन ÷ वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \frac{r}{2}$ होता है। त्रिज्या जल्दी निकालनी हो, तो इसी से निकालिए।
• दो बेलनों के आयतन उनके $r^2h$ के अनुपात में होते हैं, और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $rh$ के अनुपात में।
• चादर मोड़कर बेलन बनाया जाए, तो जो भुजा मुड़कर वृत्त बनाती है, वह $2\pi r$ के बराबर होती है। दूसरी भुजा बेलन की ऊँचाई होती है।
• रोलर जितनी ज़मीन समतल करता है, उसका क्षेत्रफल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल × चक्करों की संख्या होता है।
• ऊपर से खुली टंकी में वक्र पृष्ठ के साथ केवल तली का वृत्त जुड़ता है, यानी $2\pi rh + \pi r^2$।
• कुछ भी वर्ग करने से पहले देख लीजिए कि प्रश्न में त्रिज्या दी है या व्यास।

खोखले बेलन और पाइप

• खोखले बेलन में धातु का आयतन $= \pi(R^2 - r^2)h = \pi(R + r)(R - r)h$ होता है, और मोटाई $R - r$ होती है।
• बाहरी वक्र पृष्ठ $2\pi Rh$ होता है, भीतरी $2\pi rh$, और हर सिरे पर बना वलय $\pi(R^2 - r^2)$। दोनों वक्र पृष्ठ और दोनों वलय जोड़ें, तो कुल $2\pi(R + r)(h + R - r)$ आता है।
• पाइप से हर सेकंड का बहाव $= \pi r^2 \times$ चाल होता है। चाल किमी/घंटा में दी हो, तो उसे $\frac{5}{18}$ से गुणा करके मीटर/सेकंड में बदल लीजिए।
• [Tier 2] कुएँ से निकली मिट्टी उसके चारों ओर तटबंध (embankment) के रूप में फैलाई जाए, तो $\pi r^2H = \pi(R^2 - r^2)h$ लिखिए। यहाँ $R = r$ + तटबंध की चौड़ाई होता है।
• $\pi(R - r)^2h$ लिखना गलत है। यह एक पतली छड़ का आयतन है, पाइप का नहीं।

शंकु

• शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ होती है। 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 और 20-21-29, ये पाइथागोरस त्रिक यहाँ बहुत काम आते हैं।
• शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi rl$, संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi r(l + r)$ और आयतन $\frac{1}{3}\pi r^2h$ होता है।
• शंकु और बेलन के आधार और ऊँचाई बराबर हों, तो शंकु का आयतन बेलन का एक-तिहाई होता है।
• त्रिज्यखंड मोड़कर शंकु बनाया जाए, तो त्रिज्यखंड की त्रिज्या शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ होती है और उसका चाप $2\pi r$। इससे $\frac{r}{l} = \frac{\theta}{360^\circ}$ मिलता है।
• शंक्वाकार तंबू या ढेर में कैनवास केवल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल जितना लगता है। कैनवास की लंबाई निकालनी हो, तो क्षेत्रफल को कैनवास की चौड़ाई से भाग दीजिए।
• आयतन में ऊँचाई लगती है और पृष्ठ में तिर्यक ऊँचाई। कच्चे चित्र पर $h$ और $l$ दोनों अलग-अलग लिख लीजिए, तब गड़बड़ नहीं होगी।

छिन्नक

• शंकु को आधार के समांतर काटें, तो ऊपर एक छोटा शंकु कट जाता है। उसकी लंबाइयाँ पूरे शंकु की $k$ गुना हों, तो उसका पृष्ठ $k^2$ गुना और आयतन $k^3$ गुना होता है।
• ठीक आधी ऊँचाई पर काटें, तो ऊपरी शंकु और छिन्नक (frustum) के आयतन 1 : 7 में होते हैं। शंकु को तीन बराबर ऊँचाई वाले भागों में काटें, तो ऊपर से नीचे तक तीनों भागों के आयतन 1 : 7 : 19 में होते हैं।

• छिन्नक का आयतन $\frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)$ होता है और तिर्यक ऊँचाई $\sqrt{h^2 + (R - r)^2}$।
• वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi(R + r)l$ होता है। संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए इसमें $\pi R^2 + \pi r^2$ जोड़िए, और खुली बाल्टी के लिए केवल $\pi r^2$।
• तिर्यक ऊँचाई में $R - r$ लगता है, $R + r$ कभी नहीं।

गोला और अर्धगोला

• गोले का आयतन $\frac{4}{3}\pi r^3$ होता है और पृष्ठीय क्षेत्रफल $4\pi r^2$।
• अर्धगोले का आयतन $\frac{2}{3}\pi r^3$ और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi r^2$ होता है। ठोस अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $3\pi r^2$ होता है।
• दो गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफल उनके $r^2$ के अनुपात में होते हैं, और आयतन $r^3$ के अनुपात में।
• गोलीय कोश (spherical shell) में धातु का आयतन $\frac{4}{3}\pi(R^3 - r^3)$ होता है। अर्धगोलाकार कटोरे की धारिता $\frac{2}{3}\pi r^3$ होती है और भीतरी पृष्ठ $2\pi r^2$।
• घन के अंदर गोला ठीक समाया हो, तो $r = \frac{a}{2}$ होता है। गोले के अंदर घन ठीक समाया हो, तो घन का विकर्ण गोले का व्यास होता है, यानी $a\sqrt{3} = 2R$।
• $2r$ ऊँचाई वाले बेलन में गोला ठीक समाया हो, तो गोले और बेलन के आयतन 2 : 3 में होते हैं। ऐसे में गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है।
• शंकु, अर्धगोला और बेलन, तीनों की त्रिज्या $r$ हो और ऊँचाई भी $r$, तो उनके आयतन 1 : 2 : 3 में होते हैं।

संयुक्त ठोस

• संयुक्त ठोस में केवल वे पृष्ठ जोड़िए जिन्हें छुआ जा सके। दोनों ठोस जिस वृत्त पर जुड़े हैं, वह अंदर छिप जाता है, इसलिए उसे नहीं गिनते।

• अर्धगोले पर लगे शंकु वाले खिलौने का पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi rl + 2\pi r^2$ होता है। बेलन पर लगे शंकु वाले तंबू का पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi rh + \pi rl$ होता है।
• दोनों सिरों पर अर्धगोले वाले कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल $2\pi r(h + 2r)$ होता है, यानी $\pi \times$ चौड़ाई × पूरी लंबाई।
• घन में से अर्धगोला खोखला करके निकाला गया हो, तो पृष्ठीय क्षेत्रफल $6a^2 + \pi r^2$ होता है। अंदर बने कटोरे जैसे भाग का $2\pi r^2$ जुड़ता है और ऊपर के छेद का $\pi r^2$ घट जाता है।
• आयतन में सारे भाग जोड़िए, और जो भाग काटकर निकाला गया हो, उसे घटा दीजिए।
• तंबू में फ़र्श नहीं गिना जाता, पर ठोस खिलौने में नीचे का पृष्ठ भी गिना जाता है।

पिघलाकर दोबारा ढालना

• पिघलाकर दोबारा ढालने में आयतन वही रहता है, पर पृष्ठीय क्षेत्रफल वही नहीं रहता।
• टुकड़ों की संख्या निकालने के लिए बड़े ठोस के आयतन को एक टुकड़े के आयतन से भाग दीजिए। भाग देने से पहले $\pi$ और तिहाई वाले हिस्से दोनों ओर से काट दीजिए। इससे हिसाब छोटा हो जाता है।
• बड़े गोले से छोटे गोले बनाने हों, तो उनकी संख्या $\left(\frac{R}{r}\right)^3$ होती है। कई गोले पिघलाकर एक गोला बनाएँ, तो $R^3 = r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$ होता है।
• गोले को पिघलाकर तार बनाया जाए, तो तार की लंबाई $\frac{4R^3}{3r^2}$ होती है।
• जल स्तर में वृद्धि निकालने के लिए डाले गए आयतन को बर्तन के आधार के क्षेत्रफल से भाग दीजिए।
• खोखला ठोस पिघलाएँ, तो केवल उसकी धातु काम आती है। खोखले गोले में धातु का हिसाब त्रिज्याओं के घनों के अंतर, $R^3 - r^3$, से होता है।
• 10% धातु बर्बाद हो जाए, तो दोबारा ढालने के लिए बची हुई 90% ही लीजिए।

आयतन और पृष्ठ में परिवर्तन

• हर लंबाई $k$ गुना हो जाए, तो पृष्ठीय क्षेत्रफल $k^2$ गुना और आयतन $k^3$ गुना हो जाता है।
• हर लंबाई 10% बढ़े, तो पृष्ठीय क्षेत्रफल 21% और आयतन 33.1% बढ़ता है। 20% बढ़ने पर यह वृद्धि 44% और 72.8% होती है, और 20% घटने पर कमी 36% और 48.8%।
• अलग-अलग माप अलग-अलग बदलें, तो उनके गुणकों को आपस में गुणा कीजिए। जैसे बेलन की त्रिज्या 10% बढ़े और ऊँचाई 10% घटे, तो $1.1^2 \times 0.9 = 1.089$ आता है, यानी आयतन 8.9% बढ़ता है।
• आयतन वही रखना हो और त्रिज्या $k$ गुना हो जाए, तो ऊँचाई को $k^2$ से भाग दीजिए।
• सवाल उलटा हो, तो घनमूल लीजिए। आयतन 1.331 गुना हुआ हो, तो लंबाइयाँ 1.1 गुना हुई हैं, यानी 10% बढ़ी हैं। यहाँ $\frac{33.1}{3}$ लेना गलत है।

परीक्षा से पहले

• हर लंबाई एक ही इकाई में लिख लीजिए। लीटर में उत्तर चाहिए, तो घन मीटर को 1000 से गुणा कीजिए, या घन सेमी को 1000 से भाग दीजिए।
• खुद से तीन सवाल पूछिए। त्रिज्या दी है या व्यास? ऊँचाई दी है या तिर्यक ऊँचाई? वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल पूछा है या संपूर्ण?
• $\pi$ का मान विकल्प देखकर चुनिए। विकल्प 11 या 22 के गुणज हों, तो $\frac{22}{7}$ लीजिए।
• उत्तर कितना बड़ा आया है, यह भी देख लीजिए। शंकु का आयतन अपने बेलन का एक-तिहाई होता है, और गोले का आयतन अपने चारों ओर बने घन का लगभग आधा।
• संयुक्त ठोस में पहले कच्चा चित्र बनाइए, फिर हर दिखने वाले पृष्ठ पर एक ही बार निशान लगाइए।
• इसके बाद इस अध्याय के PYQ अभ्यास सेट हल कीजिए। ठोस वाला हर प्रश्न एक मिनट से कम में हो जाना चाहिए।