संबद्ध, संयुक्त और द्विगुण कोण

90° से आगे के कोण, चार चतुर्थांश

अब तक हमने अनुपात समकोण त्रिभुज से ही निकाले हैं। समकोण त्रिभुज में बाकी दोनों कोण न्यून होते हैं, इसलिए इस तरीके से 90° तक के कोणों के ही अनुपात मिलते हैं। पर SSC के प्रश्नों में $\sin 120^\circ$, $\cos 210^\circ$ या $\tan 315^\circ$ जैसे मान भी पूछे जाते हैं। इनके लिए कोण को x-अक्ष और y-अक्ष पर बनाकर देखना पड़ता है।

धनात्मक x-अक्ष से शुरू कीजिए और वामावर्त, यानी घड़ी की सुई की उलटी दिशा में, कोण $\theta$ तक घूमिए। घूमने वाली भुजा पर कोई बिंदु P लीजिए। मूलबिंदु O से उसकी दूरी r है और उसके निर्देशांक (x, y) हैं। तब

$$\sin\theta = \frac{y}{r} \qquad \cos\theta = \frac{x}{r} \qquad \tan\theta = \frac{y}{x}$$

यहाँ r हमेशा धनात्मक होता है। कोण न्यून हो, तो x आधार है, y लंब है और r कर्ण। मतलब वही पुरानी परिभाषाएँ फिर से मिल जाती हैं।

r = 1 ले लें, तो बात और सीधी हो जाती है। तब बिंदु सीधे $P(\cos\theta, \sin\theta)$ हो जाता है।

P त्रिज्या 1 वाले वृत्त पर ही घूमता है, इसलिए उसका कोई भी निर्देशांक 1 से ऊपर या −1 से नीचे नहीं जाता। इसी कारण $\sin\theta$ और $\cos\theta$ हर कोण के लिए −1 और 1 के बीच रहते हैं, केवल न्यून कोणों के लिए नहीं।

अनुपातों के चिह्न: दोनों अक्ष तल को चार भागों में बाँट देते हैं। हर भाग को चतुर्थांश (quadrant) कहते हैं, और इनकी गिनती भी वामावर्त होती है। P जैसे-जैसे घूमता है, x और y के चिह्न बदलते जाते हैं, और उनके साथ अनुपातों के चिह्न भी।

चतुर्थांश	कोण	x	y	धनात्मक अनुपात
प्रथम	0° से 90°	+	+	सभी छह
द्वितीय	90° से 180°	−	+	केवल $\sin$ और $\operatorname{cosec}$
तृतीय	180° से 270°	−	−	केवल $\tan$ और $\cot$
चतुर्थ	270° से 360°	+	−	केवल $\cos$ और $\sec$

प्रथम चतुर्थांश से वामावर्त चलते हुए देखिए। प्रथम में सभी अनुपात धनात्मक होते हैं, द्वितीय में sin, तृतीय में tan और चतुर्थ में cos। इसे याद रखने के लिए Add Sugar To Coffee वाली पंक्ति बहुत चलती है। इसके शब्दों के पहले अक्षर A, S, T और C यही क्रम बताते हैं, यानी All (सभी), sin, tan और cos।

व्युत्क्रम अनुपात का चिह्न हमेशा वही होता है, जो उसके मूल अनुपात का। cosec का चिह्न sin जैसा, sec का cos जैसा और cot का tan जैसा होता है। कुछ उदाहरण देखिए।

• 160° द्वितीय चतुर्थांश में है। वहाँ $\sin 160^\circ$ धनात्मक है, जबकि $\cos 160^\circ$ और $\tan 160^\circ$ ऋणात्मक हैं।
• 250° तृतीय चतुर्थांश में है, तो केवल $\tan 250^\circ$ और $\cot 250^\circ$ धनात्मक हैं।
• 340° चतुर्थ चतुर्थांश में है। यहाँ $\cos 340^\circ$ धनात्मक है, और $\sin 340^\circ$ व $\tan 340^\circ$ ऋणात्मक हैं।

अक्षों पर पड़ने वाले कोण: 0°, 90°, 180°, 270° और 360° पर P किसी न किसी अक्ष पर होता है। इन कोणों पर उसके निर्देशांक क्रम से (1, 0), (0, 1), (−1, 0) और (0, −1) होते हैं, और 360° पर वह फिर (1, 0) पर लौट आता है। इन्हीं निर्देशांकों से मान सीधे पढ़ लीजिए।

$\theta$	0°	90°	180°	270°	360°
$\sin\theta$	0	1	0	−1	0
$\cos\theta$	1	0	−1	0	1
$\tan\theta$	0	अपरिभाषित	0	अपरिभाषित	0

उदाहरण के लिए $\cos 180^\circ + \sin 270^\circ = -1 + (-1) = -2$। 90° और 270° पर tan का कोई मान नहीं होता, क्योंकि वहाँ x = 0 है और शून्य से भाग नहीं दिया जा सकता।

180° और 360° वाले संबद्ध कोण

$180^\circ - \theta$, $180^\circ + \theta$, $360^\circ - \theta$ और $90^\circ + \theta$ जैसे कोण $\theta$ के संबद्ध कोण (allied angles) कहलाते हैं। इनके अनुपात $\theta$ के ही अनुपात होते हैं, बस आगे एक चिह्न लग जाता है।

चित्र में P एक न्यून कोण $\theta$ बनाता है, और त्रिज्या 1 वाले वृत्त पर उसके निर्देशांक (a, b) हैं। $180^\circ - \theta$ वाला बिंदु y-अक्ष में P का दर्पण-प्रतिबिंब है, इसलिए उसके निर्देशांक (−a, b) हैं। $180^\circ + \theta$ वाला बिंदु O के ठीक आर-पार है, तो वह (−a, −b) पर है। $360^\circ - \theta$ वाला बिंदु x-अक्ष में दर्पण-प्रतिबिंब है, इसलिए वह (a, −b) पर है।

अब इन बिंदुओं के निर्देशांक पढ़ लीजिए। ये नतीजे मिलते हैं।

$$\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta \qquad \cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta \qquad \tan(180^\circ - \theta) = -\tan\theta$$

$$\sin(180^\circ + \theta) = -\sin\theta \qquad \cos(180^\circ + \theta) = -\cos\theta \qquad \tan(180^\circ + \theta) = \tan\theta$$

$$\sin(360^\circ - \theta) = -\sin\theta \qquad \cos(360^\circ - \theta) = \cos\theta \qquad \tan(360^\circ - \theta) = -\tan\theta$$

इन नौ नतीजों को रटने की ज़रूरत नहीं है। सब पर एक ही नियम चलता है। 180° या 360° के साथ अनुपात का नाम वही रहता है, और चिह्न चतुर्थांश से तय होता है।

करना बस इतना है। $\theta$ को न्यून मान लीजिए और देखिए कि पूरा कोण किस चतुर्थांश में पड़ता है। फिर उसी याद रखने वाली पंक्ति से चिह्न लगा दीजिए। जैसे $\cos(180^\circ + \theta)$ लीजिए। यह कोण तृतीय चतुर्थांश में है, और वहाँ cos ऋणात्मक होता है। इसलिए $\cos(180^\circ + \theta) = -\cos\theta$।

याद रखने लायक मान: कोण को 180° या 360° में 30°, 45° या 60° जोड़कर या घटाकर लिखिए। 120°, 135° और 150° के मान टियर 1 और टियर 2, दोनों में पूछे जाते हैं।

कोण	किस रूप में	$\sin$	$\cos$	$\tan$
120°	180° − 60°	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$
135°	180° − 45°	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$-1$
150°	180° − 30°	$\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$
210°	180° + 30°	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
225°	180° + 45°	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	1
240°	180° + 60°	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
300°	360° − 60°	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$
315°	360° − 45°	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$-1$
330°	360° − 30°	$-\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$

ध्यान दीजिए कि संख्याएँ हमेशा 30°, 45° या 60° वाली ही रहती हैं। बदलता केवल चिह्न है। जैसे $\sin 150^\circ + \cos 300^\circ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$, और $\tan 135^\circ \times \tan 240^\circ = (-1) \times \sqrt{3} = -\sqrt{3}$।

अनुपात से अधिक कोण पहचानना: त्रिभुज में एक कोण 90° से अधिक भी हो सकता है, और sin द्वितीय चतुर्थांश में भी धनात्मक होता है। इसलिए $\sin A = \frac{1}{2}$ दिया हो, तो A = 30° भी हो सकता है और A = 150° भी। पर $\cos A = -\frac{1}{2}$ दिया हो, तो A = 120° पक्का है। मतलब cos या tan से कोण पक्का हो जाता है, अकेले sin से नहीं।

त्रिभुज के कोण: A + B + C = 180° होता है, तो A + B = 180° − C। इसलिए

$$\sin(A + B) = \sin C \qquad \cos(A + B) = -\cos C \qquad \tan(A + B) = -\tan C$$

यहाँ छात्र अक्सर cos और tan वाला ऋण चिह्न भूल जाते हैं।

90° और 270° वाले संबद्ध कोण

अब OP को 90° और घुमाते हैं। चित्र में P(a, b) घूमकर Q(−b, a) पर पहुँच जाता है। दोनों छायांकित त्रिभुज एक जैसे हैं, बस दूसरा त्रिभुज 90° घूमा हुआ है। इसलिए a और b आपस में जगह बदल लेते हैं, और उनमें से एक पर ऋण चिह्न लग जाता है।

Q बिंदु कोण $90^\circ + \theta$ पर है, इसलिए

$$\sin(90^\circ + \theta) = a = \cos\theta \qquad \cos(90^\circ + \theta) = -b = -\sin\theta \qquad \tan(90^\circ + \theta) = \frac{a}{-b} = -\cot\theta$$

यहाँ नियम यह है। 90° या 270° के साथ अनुपात बदलकर उसका सह-अनुपात हो जाता है। sin का cos, tan का cot और sec का cosec हो जाता है, और इसका उलटा भी। चिह्न फिर भी पूरे कोण के चतुर्थांश से ही तय होता है।

	$90^\circ - \theta$	$90^\circ + \theta$	$270^\circ - \theta$	$270^\circ + \theta$
$\sin$	$\cos\theta$	$\cos\theta$	$-\cos\theta$	$-\cos\theta$
$\cos$	$\sin\theta$	$-\sin\theta$	$-\sin\theta$	$\sin\theta$
$\tan$	$\cot\theta$	$-\cot\theta$	$\cot\theta$	$-\cot\theta$

तालिका का पहला स्तंभ तो कोटिपूरक कोणों वाला ही नियम है, जो "मानक कोण और कोटिपूरक कोण" वाले खंड में पढ़ चुके हैं।

उदाहरण के लिए $\cos(270^\circ - \theta)$ लीजिए। 270° के साथ cos बदलकर sin हो जाता है। $270^\circ - \theta$ तृतीय चतुर्थांश में है, जहाँ cos ऋणात्मक होता है। तो उत्तर $-\sin\theta$ है।

एक कोण, तोड़ने के दो ढंग: 120° को 180° − 60° भी लिख सकते हैं, और 90° + 30° भी। पहले ढंग से $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ$ आता है, और दूसरे से $\sin 120^\circ = \cos 30^\circ$। दोनों का मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ही है। तो जो ढंग पहले सूझे, वही अपनाइए।

मिले-जुले व्यंजक को सरल करना: हर गुणनखंड को अलग से बदलिए और उसका चिह्न आगे लिख दीजिए। पद काटना उसके बाद ही शुरू कीजिए।

$$\frac{\sin(180^\circ + \theta)\cos(90^\circ + \theta)}{\cos(180^\circ - \theta)\sin(90^\circ + \theta)} = \frac{(-\sin\theta)(-\sin\theta)}{(-\cos\theta)(\cos\theta)} = -\tan^2\theta$$

[SSC टिप] लंबे गुणनफल में पहले हर गुणनखंड को उसके चिह्न के साथ लिख लीजिए, और ऋण चिह्न अंत में गिनिए। ऋण चिह्न सम संख्या में हों, तो उत्तर धनात्मक होगा, और विषम संख्या में हों, तो ऋणात्मक। हल की हर पंक्ति में चिह्न साथ लेकर चलें, तो अक्सर कोई चिह्न बीच में छूट जाता है। ज़्यादातर गलतियाँ इसी से होती हैं।

ऋणात्मक कोण और 360° से बड़े कोण

ऋणात्मक कोण का मतलब है दक्षिणावर्त, यानी घड़ी की सुई की दिशा में घूमना। $-\theta$ की भुजा, $\theta$ की भुजा का x-अक्ष में दर्पण-प्रतिबिंब होती है। इसलिए (a, b) बदलकर (a, −b) हो जाता है, और

$$\sin(-\theta) = -\sin\theta \qquad \cos(-\theta) = \cos\theta \qquad \tan(-\theta) = -\tan\theta$$

ऋण चिह्न का असर केवल cos और उसके व्युत्क्रम sec पर नहीं पड़ता। बाकी अनुपातों में ऋण चिह्न बाहर आ जाता है। जैसे $\cos(-60^\circ) = \frac{1}{2}$, पर $\sin(-30^\circ) = -\frac{1}{2}$ और $\tan(-45^\circ) = -1$।

बड़े कोण: 360° का एक पूरा चक्कर लगाने पर भुजा वहीं लौट आती है, जहाँ से चली थी। इसलिए पूरे चक्कर जोड़ने या हटाने से कुछ नहीं बदलता।

$$\sin(n \times 360^\circ + \theta) = \sin\theta$$

यही बात हर अनुपात पर लागू होती है। तो कोण को 360 से भाग दीजिए और शेषफल रख लीजिए। फिर शेषफल पर संबद्ध कोणों वाले नियम लगाइए।

• 1020 = 2 × 360 + 300 है, तो $\sin 1020^\circ = \sin 300^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$।
• 765 = 2 × 360 + 45 है, तो $\cos 765^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
• $\sin(-1050^\circ) = -\sin 1050^\circ$ होता है, और 1050 = 2 × 360 + 330 है। इसलिए मान $-\sin 330^\circ = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$ है।

ग्राफ़ देखें, तो भी यही बात समझ में आती है। $\sin\theta$ का मान 0 से बढ़कर 90° पर 1 हो जाता है, 180° पर वापस 0 होता है, 270° पर नीचे −1 तक जाता है, और 360° पर फिर 0 हो जाता है। उसके बाद यही तरंग बार-बार आती रहती है। लाल बिंदु दिखाते हैं कि $\sin 30^\circ = \sin 150^\circ = \frac{1}{2}$ और $\sin 210^\circ = \sin 330^\circ = -\frac{1}{2}$। यानी एक चक्कर में हर ऊँचाई दो बार आती है। $\cos\theta$ का टूटी रेखा वाला वक्र भी वही तरंग है, बस 90° बाईं ओर खिसका हुआ।

tan हर 180° पर दोहराता है: $\tan(180^\circ + \theta) = \tan\theta$ होता है, इसलिए tan या cot के कोण में से 180° के गुणज भी हटा सकते हैं। जैसे 930 = 5 × 180 + 30 है, तो $\tan 930^\circ = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

[SSC टिप] 180° के गुणज केवल tan और cot से हटाइए। sin और cos में आधा चक्कर लगाने से चिह्न उलट जाता है। $\sin 210^\circ = -\frac{1}{2}$ है, जबकि $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$। इसलिए sin और cos से केवल 360° के पूरे चक्कर ही हटाइए।

संयुक्त कोण: A + B और A − B के sin और cos

दो कोणों के योग या अंतर को संयुक्त कोण (compound angles) कहते हैं, जैसे A + B या A − B। इनके sin और cos के लिए ये चार सूत्र हैं।

$$\sin(A + B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$$

$$\sin(A - B) = \sin A\cos B - \cos A\sin B$$

$$\cos(A + B) = \cos A\cos B - \sin A\sin B$$

$$\cos(A - B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B$$

इन चारों को आपस में गड़बड़ाए बिना याद रखने का एक आसान ढंग है। sin वाले सूत्र में अनुपात मिले-जुले आते हैं, यानी sin के साथ cos, और बीच का चिह्न वही रहता है, जो A ± B में है। cos वाले सूत्र में एक ही तरह के अनुपात साथ आते हैं, यानी cos के साथ cos और sin के साथ sin, और चिह्न उलटा हो जाता है।

योग का अनुपात, अनुपातों का योग नहीं होता: $\cos(30^\circ + 60^\circ) = \cos 90^\circ = 0$ है, पर $\cos 30^\circ + \cos 60^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ है। ऊपर के हर सूत्र का दायाँ पक्ष गुणनफलों से बना है। उसमें दो अनुपातों का सीधा योग कभी नहीं आता।

दिए गए अनुपातों से A + B: मान लीजिए $\sin A = \frac{4}{5}$ और $\cos B = \frac{5}{13}$ है, और A व B न्यून कोण हैं। त्रिभुज बनाकर $\cos A = \frac{3}{5}$ और $\sin B = \frac{12}{13}$ मिल जाते हैं। फिर

$$\sin(A + B) = \frac{4}{5} \times \frac{5}{13} + \frac{3}{5} \times \frac{12}{13} = \frac{20 + 36}{65} = \frac{56}{65}$$

$$\cos(A + B) = \frac{3}{5} \times \frac{5}{13} - \frac{4}{5} \times \frac{12}{13} = \frac{15 - 48}{65} = -\frac{33}{65}$$

cos ऋणात्मक आया, यानी A + B, 90° से अधिक है। यह संभव है, क्योंकि दोनों कोण 50° से ऊपर हैं। जाँच भी कर लीजिए। 56² + 33² = 3136 + 1089 = 4225 = 65² आता है।

दाएँ पक्ष से वापस एक अनुपात: प्रश्न में किसी सूत्र का दायाँ पक्ष दिखे, तो उसका ढाँचा पहचानिए और उसे एक ही अनुपात के रूप में लिख दीजिए।

• $\sin 48^\circ\cos 18^\circ - \cos 48^\circ\sin 18^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
• $\cos 70^\circ\cos 25^\circ + \sin 70^\circ\sin 25^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$

योग × अंतर: sin वाले दोनों सूत्रों को आपस में गुणा कीजिए, फिर $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ और $\cos^2 B = 1 - \sin^2 B$ रखिए। दो छोटे नतीजे मिलते हैं।

$$\sin(A + B)\sin(A - B) = \sin^2 A - \sin^2 B \qquad \cos(A + B)\cos(A - B) = \cos^2 A - \sin^2 B$$

जैसे $\sin^2 75^\circ - \sin^2 15^\circ = \sin 90^\circ\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$। इसमें 15° और 75° के मान निकालने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

संयुक्त कोण: tan, और 15° व 75° के मान

tan के लिए सूत्र ये हैं।

$$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A\tan B} \qquad \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A\tan B}$$

हर में चिह्न हमेशा अंश के चिह्न का उलटा होता है।

A + B निकालना: मान लीजिए $\tan A = \frac{1}{4}$ और $\tan B = \frac{3}{5}$ है, और A व B न्यून कोण हैं। तब

$$\tan(A + B) = \frac{\frac{1}{4} + \frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{20}} = \frac{\frac{17}{20}}{\frac{17}{20}} = 1$$

तो A + B = 45° है, जबकि इन दोनों में से कोई भी कोण मानक कोण नहीं है।

15° और 75°: 15° को 45° − 30° लिखिए।

$$\sin 15^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$$

$$\cos 15^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$$

$$\tan 15^\circ = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{2} = 2 - \sqrt{3}$$

75° = 90° − 15° है, इसलिए 75° के मानों में वही संख्याएँ आती हैं, बस अदल-बदलकर।

	15°	75°
$\sin$	$\frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$
$\cos$	$\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$
$\tan$	$2 - \sqrt{3}$	$2 + \sqrt{3}$

कुछ विकल्पों में हर से करणी हटा दी गई होती है। तब $\frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ और $\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ वाले रूप दिखते हैं। दशमलव में $\sin 15^\circ \approx 0.26$ और $\cos 15^\circ \approx 0.97$ है। इससे तुरंत पता चल जाता है कि कौन-सा रूप किसका है।

चित्र से tan 15° और tan 75°: 30°-60°-90° वाला त्रिभुज ABC लीजिए, जिसमें AC = 1, BC = $\sqrt{3}$ और AB = 2 है। CB को D तक इतना बढ़ाइए कि BD = BA = 2 हो जाए। अब त्रिभुज ABD समद्विबाहु है और $\angle ABD = 150^\circ$, इसलिए उसके दोनों आधार-कोण 15° के हैं। समकोण त्रिभुज ADC में

$$\tan 15^\circ = \frac{AC}{DC} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3} \qquad \tan 75^\circ = \frac{DC}{AC} = 2 + \sqrt{3}$$

इससे तीन काम की बातें भी निकलती हैं। $\tan 15^\circ + \tan 75^\circ = 4$, $\tan 75^\circ - \tan 15^\circ = 2\sqrt{3}$ और $\tan 15^\circ\tan 75^\circ = 1$।

105°: इसके लिए संबद्ध कोणों वाले नियम भी साथ लगाइए। 105° = 180° − 75° है, तो $\sin 105^\circ = \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$ और $\cos 105^\circ = -\cos 75^\circ = \frac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$। $\cos(60^\circ + 45^\circ)$ को खोलकर जाँचें, तो भी यही ऋणात्मक मान आता है।

45° वाले tan के रूप

tan वाले सूत्रों में A = 45° रखिए। $\tan 45^\circ = 1$ है, तो

$$\tan(45^\circ + \theta) = \frac{1 + \tan\theta}{1 - \tan\theta} \qquad \tan(45^\circ - \theta) = \frac{1 - \tan\theta}{1 + \tan\theta}$$

पहले वाले के अंश और हर को $\cos\theta$ से गुणा करें, तो यह रूप मिलता है।

$$\frac{\cos\theta + \sin\theta}{\cos\theta - \sin\theta} = \tan(45^\circ + \theta)$$

जैसे $\frac{1 + \tan 15^\circ}{1 - \tan 15^\circ} = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$, और $\frac{\cos 10^\circ + \sin 10^\circ}{\cos 10^\circ - \sin 10^\circ} = \tan 55^\circ$। धन चिह्न नीचे, यानी हर में हो, तो कोण $45^\circ - \theta$ होता है।

जब दो कोणों का योग 45° हो: मान लीजिए A + B = 45° है। तब $\tan(A + B) = 1$, और

$$\tan A + \tan B = 1 - \tan A\tan B \Rightarrow 1 + \tan A + \tan B + \tan A\tan B = 2 \Rightarrow (1 + \tan A)(1 + \tan B) = 2$$

इसलिए $(1 + \tan 20^\circ)(1 + \tan 25^\circ) = 2$ और $(1 + \tan 5^\circ)(1 + \tan 40^\circ) = 2$, जबकि इनमें से किसी भी tan का मान कोई सीधी संख्या नहीं है।

पहली पंक्ति को $\tan A\tan B$ से भाग दें, तो cot वाला रूप $(\cot A - 1)(\cot B - 1) = 2$ मिलता है। जैसे $(\cot 10^\circ - 1)(\cot 35^\circ - 1) = 2$।

लंबा गुणनफल भी ऐसे ही जोड़ों में टूट जाता है। $(1 + \tan 1^\circ)(1 + \tan 2^\circ) \cdots (1 + \tan 44^\circ)$ में 1° के साथ 44° का जोड़ा बनाइए, 2° के साथ 43° का, और इसी तरह आगे। कुल 22 जोड़े बनते हैं, और हर एक का मान 2 है। तो गुणनफल $2^{22}$ है।

जब दो कोणों का योग 90° हो: अब $\tan A\tan B = 1$ होता है, तो $\tan(A - B)$ के हर में 1 + 1 = 2 आता है।

$$\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{2} \Rightarrow \tan A - \tan B = 2\tan(A - B)$$

जैसे A = 70° और B = 20° लें, तो $\tan 70^\circ - \tan 20^\circ = 2\tan 50^\circ$।

द्विगुण कोण

संयुक्त कोण वाले सूत्रों में B = A रख दीजिए और कोण को $\theta$ कह लीजिए। तब द्विगुण कोण (double angle) के सूत्र मिलते हैं।

$$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$

$$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$$

$$\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$$

$\cos 2\theta$ के तीनों रूप एक-दूसरे से निकल आते हैं। $\sin^2\theta$ की जगह $1 - \cos^2\theta$ रखिए, या $\cos^2\theta$ की जगह $1 - \sin^2\theta$। प्रश्न में जो अनुपात दिया हो, उसी वाला रूप चुनिए।

अब sin और cos वाले सूत्रों को $\cos^2\theta + \sin^2\theta$ से भाग दीजिए, जो बस 1 है। इससे दोनों केवल $\tan\theta$ में आ जाते हैं।

$$\sin 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 + \tan^2\theta} \qquad \cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta}$$

चित्र से सूत्र: चित्र में AB त्रिज्या 1 वाले वृत्त का व्यास है, और $\angle PAB = \theta$। केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है, इसलिए $\angle POB = 2\theta$। तो $PM = \sin 2\theta$ और $OM = \cos 2\theta$। अर्धवृत्त में बना कोण APB = 90° है, इसलिए $AP = AB\cos\theta = 2\cos\theta$। अब $PM = AP\sin\theta = 2\sin\theta\cos\theta$। साथ ही $AM = AP\cos\theta = 2\cos^2\theta$ है, और $AM = 1 + OM$ भी। इससे $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ मिल जाता है।

एक अनुपात से द्विगुण कोण: मान लीजिए $\cos\theta = \frac{12}{13}$ है और $\theta$ न्यून कोण है। तब $\sin\theta = \frac{5}{13}$, और

• $\sin 2\theta = 2 \times \frac{5}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{120}{169}$
• $\cos 2\theta = 2 \times \frac{144}{169} - 1 = \frac{119}{169}$
• $\tan 2\theta = \frac{120}{119}$, जो sin को cos से भाग देकर मिलता है

केवल $\tan\theta$ दिया हो, तो tan वाले रूप लगाइए। जैसे $\tan\theta = \frac{1}{2}$ हो, तो $\sin 2\theta = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{4}{5}$, $\cos 2\theta = \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{3}{5}$ और $\tan 2\theta = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}$ आते हैं।

सूत्रों को उलटी ओर से पढ़ना: कहीं द्विगुण कोण वाला ढाँचा दिखे, तो उसे दोगुने कोण के एक अनुपात के रूप में लिख दीजिए।

• $2\sin 15^\circ\cos 15^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, इसलिए $\sin 15^\circ\cos 15^\circ = \frac{1}{4}$
• $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $2\cos^2 22.5^\circ - 1 = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$
• $\frac{2\tan 15^\circ}{1 - \tan^2 15^\circ} = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$

[SSC टिप] दोगुना कोण 90° से आगे निकल जाए, तो चिह्न बदल जाता है। जैसे $\cos^2 60^\circ - \sin^2 60^\circ = \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$। जाँच के लिए $\frac{1}{4} - \frac{3}{4}$ कर लीजिए। मतलब वर्गों से बने व्यंजक का मान भी ऋणात्मक हो सकता है।

1 को हटाना: अर्ध कोण वाले रूप

$\cos 2\theta$ के अंतिम दो रूपों से ये दो नतीजे मिलते हैं।

$$1 - \cos 2\theta = 2\sin^2\theta \qquad 1 + \cos 2\theta = 2\cos^2\theta$$

हर एक में 1 हट जाता है और कोण आधा हो जाता है। इसीलिए इन्हें अर्ध कोण (half angle) वाले रूप कहते हैं। इनकी $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ के साथ, या आपस में भिन्न बनाएँ, तो ये रूप मिलते हैं।

$$\frac{1 - \cos 2\theta}{\sin 2\theta} = \frac{2\sin^2\theta}{2\sin\theta\cos\theta} = \tan\theta \qquad \frac{\sin 2\theta}{1 + \cos 2\theta} = \tan\theta \qquad \frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta} = \tan^2\theta$$

यही बात $\sin 2\theta$ के साथ भी चलती है, क्योंकि $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ है।

$$1 + \sin 2\theta = (\sin\theta + \cos\theta)^2 \qquad 1 - \sin 2\theta = (\cos\theta - \sin\theta)^2$$

22.5° का मान: tan वाले पहले रूप में $\theta = 22.5^\circ$ रखिए।

$$\tan 22.5^\circ = \frac{1 - \cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2} - 1$$

इसलिए $\cot 22.5^\circ = \tan 67.5^\circ = \sqrt{2} + 1$।

दो और नतीजे: ये दोनों भी अक्सर काम आते हैं।

$$\cot\theta - \tan\theta = \frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = 2\cot 2\theta \qquad \tan\theta + \cot\theta = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} = 2\operatorname{cosec} 2\theta$$

पहले वाले को 22.5° पर जाँच लेते हैं। $(\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1) = 2$ आता है, और $2\cot 45^\circ = 2$ भी।

सरल करना: जहाँ भी $1 + \cos 2\theta$ या $1 - \cos 2\theta$ दिखे, उसे पहले वर्ग में बदलिए। फिर उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालिए।

$$\frac{\sin\theta + \sin 2\theta}{1 + \cos\theta + \cos 2\theta} = \frac{\sin\theta(1 + 2\cos\theta)}{\cos\theta + 2\cos^2\theta} = \frac{\sin\theta(1 + 2\cos\theta)}{\cos\theta(1 + 2\cos\theta)} = \tan\theta$$

वर्गमूल भी इसी तरह खुलते हैं, भीतर से बाहर की ओर। $0^\circ < \theta < 45^\circ$ के लिए

$$\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos 4\theta}} = \sqrt{2 + \sqrt{4\cos^2 2\theta}} = \sqrt{2 + 2\cos 2\theta} = \sqrt{4\cos^2\theta} = 2\cos\theta$$

[Tier 2] त्रिगुण कोण, और 18° व 36° के कोण

त्रिगुण कोण (triple angle) के सूत्र ये हैं।

$$\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \qquad \cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$$

$$\tan 3\theta = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}$$

ये $3\theta = 2\theta + \theta$ लिखकर द्विगुण कोण वाले नतीजों से निकलते हैं। याद रखने के लिए इतना ध्यान रखिए कि sin वाला सूत्र 3 sin से शुरू होता है, और cos वाला 4 cos घन से। क्रम पर शक हो, तो $\theta = 30^\circ$ रखकर जाँच लीजिए। $3 \times \frac{1}{2} - 4 \times \frac{1}{8} = 1 = \sin 90^\circ$ आता है।

इन सूत्रों को भी उलटी ओर से पढ़िए।

• $3\sin 10^\circ - 4\sin^3 10^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
• $4\cos^3 20^\circ - 3\cos 20^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
• $\sin\theta = \frac{1}{4}$ हो, तो $\sin 3\theta = \frac{3}{4} - 4 \times \frac{1}{64} = \frac{11}{16}$

18° का मान: $\theta = 18^\circ$ लें, तो $5\theta = 90^\circ$, यानी $2\theta = 90^\circ - 3\theta$। इसलिए $\sin 2\theta = \cos 3\theta$, और

$$2\sin\theta\cos\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$$

$\cos\theta$ से भाग देकर $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ रखिए। तब $2\sin\theta = 1 - 4\sin^2\theta$ आता है, यानी $4\sin^2\theta + 2\sin\theta - 1 = 0$। इस द्विघात समीकरण का धनात्मक मूल लेते हैं।

$$\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} \approx 0.309$$

यही $\cos 72^\circ$ का मान भी है। इससे

$$\cos 36^\circ = 1 - 2\sin^2 18^\circ = 1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{8} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \approx 0.809$$

यही $\sin 54^\circ$ भी है। दोनों का गुणा करें, तो $\sin 18^\circ\cos 36^\circ = \frac{5 - 1}{16} = \frac{1}{4}$ आता है।

कभी प्रश्न में $\sin 18^\circ$ दिया होता है और $\cos 18^\circ$ पूछा जाता है। तब $\cos^2 18^\circ = 1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16} = \frac{10 + 2\sqrt{5}}{16}$, और इसलिए $\cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$।

[Tier 2] sin और cos के गुणनफल और योग

संयुक्त कोण वाले सूत्रों को आपस में जोड़ें या घटाएँ, तो गुणनफल योग में बदल जाता है।

$$2\sin A\cos B = \sin(A + B) + \sin(A - B)$$

$$2\cos A\cos B = \cos(A - B) + \cos(A + B)$$

$$2\sin A\sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$$

उलटी ओर से चलें और C = A + B व D = A − B रखें, तो योग गुणनफल में बदल जाता है।

$$\sin C + \sin D = 2\sin\frac{C + D}{2}\cos\frac{C - D}{2} \qquad \sin C - \sin D = 2\cos\frac{C + D}{2}\sin\frac{C - D}{2}$$

$$\cos C + \cos D = 2\cos\frac{C + D}{2}\cos\frac{C - D}{2} \qquad \cos C - \cos D = 2\sin\frac{C + D}{2}\sin\frac{D - C}{2}$$

अंतिम सूत्र पर ध्यान दीजिए। इसमें आधा अंतर निकालते समय D − C लिया जाता है, C − D नहीं।

आम तौर पर ये सूत्र ऐसी भिन्न में लगते हैं, जिसके अंश और हर में बदलने के बाद एक ही गुणनखंड आ जाता है।

$$\frac{\sin 75^\circ - \sin 15^\circ}{\cos 75^\circ + \cos 15^\circ} = \frac{2\cos 45^\circ\sin 30^\circ}{2\cos 45^\circ\cos 30^\circ} = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

तीन अनुपातों के गुणनफल: योग × अंतर वाले नतीजे से $\sin(60^\circ - \theta)\sin(60^\circ + \theta) = \sin^2 60^\circ - \sin^2\theta = \frac{3}{4} - \sin^2\theta$ मिलता है। अब इसे $\sin\theta$ से गुणा कीजिए।

$$\sin\theta\sin(60^\circ - \theta)\sin(60^\circ + \theta) = \frac{3\sin\theta - 4\sin^3\theta}{4} = \frac{1}{4}\sin 3\theta$$

इसी तरह ये भी मिलते हैं।

$$\cos\theta\cos(60^\circ - \theta)\cos(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4}\cos 3\theta \qquad \tan\theta\tan(60^\circ - \theta)\tan(60^\circ + \theta) = \tan 3\theta$$

$\theta = 20^\circ$ लें, तो तीनों कोण 20°, 40° और 80° हो जाते हैं।

• $\sin 20^\circ\sin 40^\circ\sin 80^\circ = \frac{1}{4}\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}$
• $\cos 20^\circ\cos 40^\circ\cos 80^\circ = \frac{1}{4}\cos 60^\circ = \frac{1}{8}$
• $\tan 20^\circ\tan 40^\circ\tan 80^\circ = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$

साथ में 60° का एक गुणनखंड और हो, तो उसके मान से गुणा कर दीजिए। जैसे $\sin 20^\circ\sin 40^\circ\sin 60^\circ\sin 80^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{16}$।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

निम्नलिखित में से कौन-सा ऋणात्मक है? (a) $\sin 160^\circ$ (b) $\tan 230^\circ$ (c) $\cos 310^\circ$ (d) $\cos 130^\circ$

उत्तर: यहाँ बस हर कोण का चतुर्थांश देखना है। 160° द्वितीय चतुर्थांश में है, और वहाँ sin धनात्मक होता है। 230° तृतीय में है, तो tan भी धनात्मक है। 310° चतुर्थ में है, जहाँ cos धनात्मक रहता है। बचा 130°। यह भी द्वितीय चतुर्थांश में है, पर वहाँ cos ऋणात्मक होता है। तो उत्तर (d) $\cos 130^\circ$ है।

प्रश्न 2

$\sin 120^\circ + \cos 150^\circ + \tan 135^\circ$ का मान क्या है? (a) $-1$ (b) 1 (c) $\sqrt{3} - 1$ (d) 0

उत्तर: हर कोण को 180° में से कोई मानक कोण घटाकर लिखते हैं। $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है। द्वितीय चतुर्थांश में cos ऋणात्मक होता है, तो $\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$। वहाँ tan भी ऋणात्मक है, तो $\tan 135^\circ = -\tan 45^\circ = -1$। पहले दोनों पद कट जाते हैं और (a) $-1$ बचता है। जल्दबाज़ी में लोग $\tan 135^\circ$ को धनात्मक लेकर 1 लिख देते हैं, जो गलत है।

प्रश्न 3

यदि $\sin\theta = \frac{20}{29}$ है और $\theta$, 90° और 180° के बीच स्थित है, तो $\tan\theta$ का मान क्या है? (a) $\frac{20}{21}$ (b) $-\frac{21}{29}$ (c) $-\frac{20}{21}$ (d) $-\frac{21}{20}$

उत्तर: पहले चिह्न छोड़कर मान निकालते हैं, फिर चिह्न लगाते हैं। $\cos^2\theta = 1 - \frac{400}{841} = \frac{441}{841}$ है, तो $\cos\theta$ का संख्यात्मक मान $\frac{21}{29}$ है। यहाँ 20, 21, 29 एक पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplet) है। $\theta$ द्वितीय चतुर्थांश में है, जहाँ cos ऋणात्मक होता है, इसलिए $\cos\theta = -\frac{21}{29}$। फिर $\tan\theta = \frac{20}{29} \div \left(-\frac{21}{29}\right)$ = (c) $-\frac{20}{21}$।

प्रश्न 4

$\sec 1200^\circ$ का मान क्या है? (a) 2 (b) $-2$ (c) $-\frac{2}{\sqrt{3}}$ (d) $\frac{2}{\sqrt{3}}$

उत्तर: पहले पूरे चक्कर हटा देते हैं। 1200 = 3 × 360 + 120 है, तो $\sec 1200^\circ = \sec 120^\circ$। sec का चिह्न cos जैसा होता है, और 120° द्वितीय चतुर्थांश में है, जहाँ cos ऋणात्मक है। $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$ है, इसलिए $\sec 120^\circ$ = (b) $-2$।

प्रश्न 5

$\tan(-1035^\circ)$ का मान क्या है? (a) 1 (b) $-1$ (c) $\sqrt{3}$ (d) $-\frac{1}{\sqrt{3}}$

उत्तर: tan में ऋण चिह्न बाहर निकल आता है, तो $\tan(-1035^\circ) = -\tan 1035^\circ$। अब 1035 = 2 × 360 + 315 है, और 315° चतुर्थ चतुर्थांश में है, इसलिए $\tan 315^\circ = -\tan 45^\circ = -1$। तो मान $-(-1)$ = (a) 1 है। इसका एक छोटा रास्ता भी है। −1035° में तीन पूरे चक्कर, यानी 1080°, जोड़ दें, तो 45° आता है, और $\tan 45^\circ = 1$ तुरंत मिल जाता है।

प्रश्न 6

$\frac{\sin(180^\circ - \theta)\cos(90^\circ + \theta)\tan(270^\circ - \theta)}{\cos(360^\circ - \theta)\sin(-\theta)\cot(180^\circ + \theta)}$ को सरल कीजिए। (a) $-\tan\theta$ (b) $\cot\theta$ (c) 1 (d) $\tan\theta$

उत्तर: एक-एक गुणनखंड बदलते हैं। अंश में $\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$, $\cos(90^\circ + \theta) = -\sin\theta$ और $\tan(270^\circ - \theta) = \cot\theta$ है। 270° के साथ tan बदलकर cot हो जाता है, और तृतीय चतुर्थांश में tan धनात्मक होता है। हर में $\cos(360^\circ - \theta) = \cos\theta$, $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ और $\cot(180^\circ + \theta) = \cot\theta$ है। एक ऋण चिह्न ऊपर है और एक नीचे, तो दोनों कट जाते हैं। $\sin\theta$ और $\cot\theta$ भी कट जाते हैं, और $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ बचता है, यानी (d) $\tan\theta$।

प्रश्न 7

त्रिभुज ABC में (C समकोण नहीं है), $\tan(A + B) + \tan C$ का मान क्या है? (a) $2\tan C$ (b) $-2\tan C$ (c) 0 (d) 1

उत्तर: तीनों कोणों का योग 180° है, तो A + B = 180° − C। द्वितीय चतुर्थांश में tan ऋणात्मक होता है, इसलिए $\tan(180^\circ - C) = -\tan C$। इसमें $\tan C$ जोड़ें, तो (c) 0 आता है। C के समकोण न होने की शर्त इसलिए दी गई है, क्योंकि $\tan 90^\circ$ का कोई मान नहीं होता।

प्रश्न 8

$\cos 165^\circ$ का मान क्या है? (a) $\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$ (b) $-\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$ (c) $-\frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ (d) $\frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$

उत्तर: 165° = 180° − 15° है। द्वितीय चतुर्थांश में cos ऋणात्मक होता है, तो $\cos 165^\circ = -\cos 15^\circ$। अब $\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$ है। तो उत्तर (b) $-\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$ है। मान की जाँच भी कर लेते हैं। 165° तो 180° के पास है, इसलिए cos का मान −1 के पास होना चाहिए। चिह्न छोड़कर देखें, तो $\frac{2.73}{2.83} \approx 0.97$ आता है, यानी मान सचमुच 1 के पास है।

प्रश्न 9

यदि $\sin A = \frac{8}{17}$ और $\cos B = \frac{4}{5}$ है, जहाँ A और B न्यून कोण हैं, तो $\sin(A + B)$ का मान क्या है? (a) $\frac{77}{85}$ (b) $\frac{36}{85}$ (c) $\frac{13}{85}$ (d) $\frac{84}{85}$

उत्तर: पहले चारों अनुपात चाहिए। 8, 15, 17 एक त्रिक है, तो $\cos A = \frac{15}{17}$। 3, 4, 5 वाले त्रिभुज से $\sin B = \frac{3}{5}$ मिलता है। फिर $\sin(A + B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B = \frac{8}{17} \times \frac{4}{5} + \frac{15}{17} \times \frac{3}{5} = \frac{32 + 45}{85}$ = (a) $\frac{77}{85}$।

प्रश्न 10

$\sin 25^\circ\cos 35^\circ + \cos 25^\circ\sin 35^\circ$ का मान क्या है? (a) $\frac{1}{2}$ (b) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (c) $\sin 10^\circ$ (d) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

उत्तर: यह $\sin(A + B)$ वाले सूत्र का दायाँ पक्ष है, जिसमें A = 25° और B = 35° है। तो यह $\sin 60^\circ$ के बराबर है, यानी (d) $\frac{\sqrt{3}}{2}$। ध्यान रखिए, बीच में ऋण चिह्न होता, तो यह $\sin(25^\circ - 35^\circ) = -\sin 10^\circ$ हो जाता।

प्रश्न 11

यदि $\tan A = 2$ और $\tan B = 3$ है, जहाँ A और B न्यून कोण हैं, तो A + B का मान क्या है? (a) 45° (b) 135° (c) 120° (d) 150°

उत्तर: सूत्र से $\tan(A + B) = \frac{2 + 3}{1 - 2 \times 3} = \frac{5}{-5} = -1$ आता है। दोनों tan के मान 1 से अधिक हैं, इसलिए दोनों कोण 45° से अधिक हैं, और उनका योग 90° और 180° के बीच है। 90° और 180° के बीच tan का मान −1 केवल 135° पर होता है। तो A + B = (b) 135°। −1 को 1 पढ़ लेने पर 45° आता है। पर दोनों कोण ही 45° से ऊपर हैं, तो उनका योग इतना छोटा नहीं हो सकता।

प्रश्न 12

$\tan 75^\circ + \cot 75^\circ$ का मान क्या है? (a) $2\sqrt{3}$ (b) 2 (c) 4 (d) $2 + \sqrt{3}$

उत्तर: $\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}$ है, और $\cot 75^\circ = \tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$। दोनों को जोड़ने पर करणी कट जाती है और (c) 4 आता है। दूसरा रास्ता भी है। $\tan\theta + \cot\theta = 2\operatorname{cosec} 2\theta = 2\operatorname{cosec} 150^\circ = 2 \times 2$।