दी गई शर्त से मान, अधिकतम और न्यूनतम मान

$\sin\theta + \cos\theta$ दिया हो, तो गुणनफल

कई प्रश्नों में $\sin\theta$ और $\cos\theta$ के योग या अंतर का मान दिया होता है। ऐसे में सबसे पहले उसका वर्ग कर लीजिए।

वर्ग करने पर दोनों वर्ग मिलकर 1 हो जाते हैं, और साथ में गुणनफल का दोगुना बच जाता है।

$$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta \qquad (\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta$$

इसलिए योग p दिया हो या अंतर q, गुणनफल तुरंत निकल आता है।

$$\sin\theta + \cos\theta = p \Rightarrow \sin\theta\cos\theta = \frac{p^2 - 1}{2} \qquad \sin\theta - \cos\theta = q \Rightarrow \sin\theta\cos\theta = \frac{1 - q^2}{2}$$

दोनों वर्गों को जोड़ दें, तो $(\sin\theta + \cos\theta)^2 + (\sin\theta - \cos\theta)^2 = 2$ आता है। यानी योग और अंतर का आपस में सीधा संबंध है, $p^2 + q^2 = 2$।

गुणनफल से बाकी सब: एक बार गुणनफल मिल गया, तो बाकी व्यंजक उसी से निकल आते हैं। मान लीजिए $\sin\theta + \cos\theta = \frac{47}{37}$ दिया है। तब

$$\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\left(\frac{2209}{1369} - 1\right) = \frac{420}{1369}$$

अब इसी से ये सब मिल जाते हैं।

• $\tan\theta + \cot\theta = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1369}{420}$
• $(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 2 - \frac{2209}{1369} = \frac{529}{1369}$, तो $\sin\theta - \cos\theta = \pm\frac{23}{37}$। यहाँ दोनों चिह्न सही हो सकते हैं, क्योंकि $\sin\theta = \frac{35}{37}$ और $\cos\theta = \frac{12}{37}$ भी हो सकते हैं, और इसका उलटा भी।
• $\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(1 - \sin\theta\cos\theta)$। यह $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ से आता है।
• $\sin^4\theta + \cos^4\theta = 1 - 2(\sin\theta\cos\theta)^2$

पहले आँकड़े देख लीजिए: $\sin\theta\cos\theta$ कभी $\frac{1}{2}$ से अधिक नहीं होता। इसका कारण आगे गुणनफल वाले भाग में देखेंगे। इसलिए $p^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$ अधिक से अधिक 2 हो सकता है। तो अगर किसी प्रश्न में $\sin\theta + \cos\theta = \frac{8}{5}$ दिया हो, तो उसका कोई उत्तर नहीं हो सकता, क्योंकि $\frac{8}{5} = 1.6$, जो $\sqrt{2} \approx 1.414$ से अधिक है।

$\sec\theta + \tan\theta$ या $\operatorname{cosec}\theta + \cot\theta$ दिया हो

"सर्वसमिकाएँ और सरलीकरण" वाले खंड में हमने देखा था कि $(\sec\theta + \tan\theta)(\sec\theta - \tan\theta) = 1$ होता है। मतलब योग और अंतर एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं। इसलिए

$$\sec\theta + \tan\theta = p \Rightarrow \sec\theta - \tan\theta = \frac{1}{p}$$

अब दोनों समीकरणों को जोड़कर आधा कीजिए, तो sec मिल जाता है। घटाकर आधा कीजिए, तो tan मिल जाता है।

$$\sec\theta = \frac{1}{2}\left(p + \frac{1}{p}\right) = \frac{p^2 + 1}{2p} \qquad \tan\theta = \frac{1}{2}\left(p - \frac{1}{p}\right) = \frac{p^2 - 1}{2p}$$

अब tan को sec से भाग दीजिए, तो $\sin\theta = \frac{\tan\theta}{\sec\theta} = \frac{p^2 - 1}{p^2 + 1}$ आता है।

त्रिभुज बनाकर देखें, तो यह सब साफ़ समझ में आ जाता है। इसकी भुजाएँ 2p, $p^2 - 1$ और $p^2 + 1$ हैं। यह हमेशा समकोण त्रिभुज होता है, क्योंकि $(2p)^2 + (p^2 - 1)^2 = (p^2 + 1)^2$। कोई भी अनुपात इसी त्रिभुज से सीधे लिखा जा सकता है, जैसे $\cos\theta = \frac{2p}{p^2 + 1}$।

उदाहरण के लिए $\sec\theta + \tan\theta = 3$ दिया है। तो $\sec\theta - \tan\theta = \frac{1}{3}$ होगा। जोड़ने और घटाने पर $\sec\theta = \frac{5}{3}$ और $\tan\theta = \frac{4}{3}$ मिलते हैं, और फिर $\sin\theta = \frac{4}{5}$ आता है। यह 3, 4, 5 भुजाओं वाला त्रिभुज है।

cosec और cot वाला रूप: यहाँ भी बिल्कुल यही होता है। $\operatorname{cosec}\theta + \cot\theta = p$ हो, तो $\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta = \frac{1}{p}$ होगा। इनसे $\operatorname{cosec}\theta = \frac{p^2 + 1}{2p}$, $\cot\theta = \frac{p^2 - 1}{2p}$ और $\cos\theta = \frac{p^2 - 1}{p^2 + 1}$ मिलते हैं। जैसे p = 5 हो, तो $\cos\theta = \frac{24}{26} = \frac{12}{13}$।

अंतर दिया हो तो: पहले उसे उलट लीजिए। मान लीजिए $\sec\theta - \tan\theta = \frac{2}{7}$ है। तो $\sec\theta + \tan\theta = \frac{7}{2}$, यानी $p = \frac{7}{2}$। अब

$$\sin\theta = \frac{p^2 - 1}{p^2 + 1} = \frac{49 - 4}{49 + 4} = \frac{45}{53}$$

यहाँ अंश और हर दोनों को 4 से गुणा कर लिया है।

[SSC टिप] $\frac{2p}{p^2 + 1}$ असल में $\cos\theta$ है। प्रश्न में $\sin\theta$ पूछा हो, तो विकल्पों में यही गलत मान दिया होता है। इसलिए देख लीजिए कि त्रिभुज की कौन-सी भुजा $\theta$ के सामने है।

एक अनुपात और उसका व्युत्क्रम, योग 2

बीजगणित वाले अध्याय 11 की एक बात यहाँ बहुत काम आती है। कोई धनात्मक संख्या x हो और $x + \frac{1}{x} = 2$ हो, तो $x^2 - 2x + 1 = 0$, यानी $(x - 1)^2 = 0$। मतलब x = 1 ही हो सकता है।

यही बात किसी अनुपात और उसके व्युत्क्रम पर भी लागू होती है।

दिया है	इससे तय	तो $\theta$
$\tan\theta + \cot\theta = 2$	$\tan\theta = 1$	45°
$\sin\theta + \operatorname{cosec}\theta = 2$	$\sin\theta = 1$	90°
$\cos\theta + \sec\theta = 2$	$\cos\theta = 1$	0°

अनुपात 1 निकल आया, तो उसकी प्रत्येक घात भी 1 ही होगी। इसलिए ऐसे प्रश्न झटपट हो जाते हैं।

• $\tan\theta + \cot\theta = 2 \Rightarrow \tan^7\theta + \cot^7\theta = 1 + 1 = 2$। साथ ही $\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}$ भी मिल जाता है।
• $\sin\theta + \operatorname{cosec}\theta = 2 \Rightarrow \sin^5\theta + \operatorname{cosec}^5\theta = 2$। साथ ही $\cos\theta = 0$ भी।

ग्राफ़ में यही बात दूसरी तरह से दिखती है। न्यून कोण के लिए $\tan\theta + \cot\theta$ कभी 2 से कम नहीं होता। इसलिए $\tan\theta + \cot\theta = \frac{3}{2}$ जैसी शर्त किसी भी न्यून कोण पर पूरी नहीं हो सकती।

$\tan\theta + \cot\theta$ के दूसरे मान: $\tan\theta + \cot\theta = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta}$ होता है। इसलिए इसका मान दिया हो, तो गुणनफल तुरंत निकल आता है। जैसे $\tan\theta + \cot\theta = 6$ हो, तो $\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{6}$। फिर $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$।

शर्त का वर्ग करें, तो $\tan^2\theta + \cot^2\theta = 6^2 - 2 = 34$ मिलता है। यहाँ बीच वाला पद $2\tan\theta\cot\theta = 2$ है, इसीलिए 2 घटाया है।

$\sin\theta + \sin^2\theta = 1$ जैसी शर्त

ऐसी शर्त में एक पद को दूसरी ओर ले जाइए, और फिर देखिए कि कोई सर्वसमिका दिखती है या नहीं।

$$\sin\theta = 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$$

यानी इस शर्त का असली मतलब है $\sin\theta = \cos^2\theta$। अब जहाँ भी $\cos^2\theta$ आए, उसे sin में बदला जा सकता है। जैसे

$$\cos^2\theta + \cos^4\theta = \sin\theta + (\cos^2\theta)^2 = \sin\theta + \sin^2\theta = 1$$

ऊँची घातें: ऊपर वाले नतीजे का घन लीजिए, तो $(\cos^2\theta + \cos^4\theta)^3 = 1$। इसे $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ से फैलाने पर यह मिलता है।

$$\cos^6\theta + 3\cos^8\theta + 3\cos^{10}\theta + \cos^{12}\theta = 1$$

प्रश्न में ऐसा लंबा योग दिखे, तो समझ जाइए कि असल में घन पहचानना है। गुणांक 1, 2, 1 हों, तो वह घन नहीं, वर्ग है।

दूसरे अनुपात: $\cos^2\theta = \sin\theta$ रखें, तो $\cot^2\theta = \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac{\sin\theta}{\sin^2\theta} = \operatorname{cosec}\theta$ मिलता है। इसका वर्ग करें, तो $\cot^4\theta = \operatorname{cosec}^2\theta = 1 + \cot^2\theta$, यानी $\cot^4\theta - \cot^2\theta = 1$।

cos वाला रूप: $\cos\theta + \cos^2\theta = 1$ दिया हो, तो $\cos\theta = \sin^2\theta$ होगा। ऊपर का सारा काम sin और cos की अदला-बदली करके वैसे ही हो जाता है। जैसे यहाँ $\sin^2\theta + \sin^4\theta = 1$ आएगा।

ऐसी शर्त वाला कोण सचमुच होता है। $\sin\theta + \sin^2\theta = 1$ असल में $\sin\theta$ में एक द्विघात समीकरण है। इसका धनात्मक मूल $\sin\theta = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ है, यानी कोण लगभग 38° है। पर प्रश्न हल करने के लिए कोण जानने की कभी ज़रूरत नहीं पड़ती। सारा काम सर्वसमिका ही कर देती है।

$\tan\theta$ का मान दिया हो, तो $\cos\theta$ से भाग

मान लीजिए $5\tan\theta = 4$ दिया है, और $\frac{5\sin\theta - 3\cos\theta}{5\sin\theta + 2\cos\theta}$ का मान निकालना है। अंश और हर के प्रत्येक पद में ठीक एक sin या एक cos है। तो प्रत्येक पद को $\cos\theta$ से भाग दे दीजिए।

$$\frac{5\tan\theta - 3}{5\tan\theta + 2} = \frac{4 - 3}{4 + 2} = \frac{1}{6}$$

यहाँ $\sin\theta$ और $\cos\theta$ अलग-अलग निकालने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

नियम: सभी पदों में sin और cos की कुल घात एक ही होनी चाहिए, यानी या तो सब पद पहली घात के हों, या सब दूसरी घात के। तब $\cos\theta$ की उसी घात से भाग दीजिए, $\tan\theta$ आ जाएगा। या $\sin\theta$ की उसी घात से भाग दीजिए, तो $\cot\theta$ आएगा।

• $\cot\theta$ दिया हो, जैसे $3\cot\theta = 2$, तो $\sin\theta$ से भाग दीजिए। $\frac{3\cos\theta + \sin\theta}{3\cos\theta - \sin\theta} = \frac{3\cot\theta + 1}{3\cot\theta - 1} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = 3$
• पद दूसरी घात के हों, तो $\cos^2\theta$ से भाग दीजिए। जैसे $\tan\theta = 3$ हो, तो $\frac{2\sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta + 3\sin\theta\cos\theta} = \frac{2\tan^2\theta + \tan\theta}{1 + 3\tan\theta} = \frac{18 + 3}{1 + 9} = \frac{21}{10}$
• कहीं अकेला 1 हो, तो उसे $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ लिख दीजिए, ताकि प्रत्येक पद दूसरी घात का हो जाए। जैसे $\tan\theta = 3$ हो, तो

$$\sin^2\theta - \cos^2\theta = \frac{\sin^2\theta - \cos^2\theta}{\sin^2\theta + \cos^2\theta} = \frac{\tan^2\theta - 1}{\tan^2\theta + 1} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$

इसी तरह $\sin\theta\cos\theta = \frac{\tan\theta}{1 + \tan^2\theta} = \frac{3}{10}$ भी निकल आता है।

उलटी दिशा में: कभी भिन्न का मान दिया होता है और tan निकालना होता है। जैसे $\frac{\sin\theta + \cos\theta}{\sin\theta - \cos\theta} = 7$ है। अंश और हर को $\cos\theta$ से भाग दें, तो $\frac{\tan\theta + 1}{\tan\theta - 1} = 7$। इससे $\tan\theta + 1 = 7\tan\theta - 7$, यानी $\tan\theta = \frac{4}{3}$।

$4\sin\theta = 3\cos\theta$ जैसा कथन भी असल में $\tan\theta = \frac{3}{4}$ ही है, बस दूसरे रूप में लिखा है।

एक बात याद रखिए। भाग प्रत्येक पद को देना है, अंश में भी और हर में भी। कई छात्र केवल अंश को भाग दे देते हैं, और इससे भिन्न का मान ही बदल जाता है।

अगर पद एक ही घात के न हों, जैसे $\frac{1 + \sin\theta}{\cos\theta}$ में, तो यह तरीका नहीं चलता। तब समकोण त्रिभुज बनाइए, जैसे "कोण, रेडियन और त्रिकोणमितीय अनुपात" वाले खंड में किया था।

वर्गों का योग तय: $a\cos\theta - b\sin\theta$ और $a\sin\theta + b\cos\theta$

इन दोनों व्यंजकों के वर्ग फैलाकर देखिए।

$$(a\cos\theta - b\sin\theta)^2 = a^2\cos^2\theta - 2ab\sin\theta\cos\theta + b^2\sin^2\theta$$

$$(a\sin\theta + b\cos\theta)^2 = a^2\sin^2\theta + 2ab\sin\theta\cos\theta + b^2\cos^2\theta$$

दोनों को जोड़ें, तो बीच वाले पद कट जाते हैं। बचता है $a^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) + b^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta)$, यानी

$$(a\cos\theta - b\sin\theta)^2 + (a\sin\theta + b\cos\theta)^2 = a^2 + b^2$$

इसलिए इस जोड़े में से एक व्यंजक का मान c दिया हो, तो दूसरे का मान $\pm\sqrt{a^2 + b^2 - c^2}$ होगा। कोण न्यून हो और a, b धनात्मक हों, तो $a\sin\theta + b\cos\theta$ धनात्मक ही होगा। तब + चिह्न लीजिए।

उदाहरण के लिए $\sqrt{3}\cos\theta - \sin\theta = 1$ दिया है। यहाँ $a^2 + b^2 = 3 + 1 = 4$ है। तो $(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta)^2 = 4 - 1 = 3$, और $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{3}$। जाँच भी कर लेते हैं। कोण 30° पर शर्त पूरी होती है, $\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = 1$। और उसी कोण पर $\sqrt{3} \times \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ आता है।

सही जोड़ा मिलाइए: दोनों व्यंजकों में a और b वही रहते हैं। बस sin और cos की अदला-बदली होती है, और ऋण चिह्न दूसरी जगह चला जाता है। जैसे $3\cos\theta - 4\sin\theta$ का जोड़ा $3\sin\theta + 4\cos\theta$ है, $4\sin\theta + 3\cos\theta$ नहीं। इसलिए नियम लगाने से पहले देख लीजिए कि जोड़ा सही है।

विलोपन वाले प्रश्न: $x = a\sin\theta + b\cos\theta$ और $y = a\cos\theta - b\sin\theta$ दिए हों, तो $\theta$ कुछ भी हो, $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ ही होता है।

दिया गया मान सबसे बड़ा संभव मान हो तो: मान लीजिए $3\sin\theta + 4\cos\theta = 5$ है। तब साथी व्यंजक $\sqrt{25 - 25} = 0$ होगा, यानी $3\cos\theta - 4\sin\theta = 0$, और $\tan\theta = \frac{3}{4}$। ठीक इसी कोण पर $3\sin\theta + 4\cos\theta$ सबसे बड़ा होता है। यह बात आगे सबसे बड़े और सबसे छोटे मान वाले भाग में देखेंगे।

$\sin^2\theta$ और $\cos^2\theta$ वाली शर्तें, और शर्त को नया रूप देना

मान लीजिए $3\sin^2\theta + 7\cos^2\theta = 4$ दिया है। इसमें दो वर्ग हैं, पर दोनों $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ से बँधे हुए हैं। तो एक को दूसरे में बदल दीजिए।

$$3(1 - \cos^2\theta) + 7\cos^2\theta = 4 \Rightarrow 3 + 4\cos^2\theta = 4 \Rightarrow \cos^2\theta = \frac{1}{4}$$

इसलिए $\cos\theta = \frac{1}{2}$, $\theta = 60^\circ$ और $\tan\theta = \sqrt{3}$।

दूसरा कदम मन में भी हो सकता है। सात $\cos^2\theta$ में से तीन को तीन $\sin^2\theta$ के साथ मिला दीजिए। ये मिलकर 3 हो जाते हैं।

sec और tan भी $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$ से बँधे हैं, तो वहाँ भी यही तरीका चलता है। जैसे $\sec^2\theta + \tan^2\theta = 7$ हो, तो $1 + 2\tan^2\theta = 7$, यानी $\tan^2\theta = 3$ और $\theta = 60^\circ$।

शर्त को नया रूप देना: $\cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2}\cos\theta$ दिया हो, तो $\sin\theta = (\sqrt{2} - 1)\cos\theta$ होगा। अब दोनों पक्षों को $\sqrt{2} + 1$ से गुणा कीजिए। $(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = 1$ है, इसलिए

$$(\sqrt{2} + 1)\sin\theta = \cos\theta \Rightarrow \cos\theta - \sin\theta = \sqrt{2}\sin\theta$$

यानी शर्त का रूप वही रहा, बस दाईं ओर cos की जगह sin आ गया। रास्ते में $\tan\theta = \sqrt{2} - 1$ भी मिल गया।

[Tier 2] $\tan^2\theta$ से sec की घातें: मान लीजिए $\tan^2\theta = 1 - e^2$ है, और $\sec\theta + \tan^3\theta\operatorname{cosec}\theta$ का मान ज्ञात करना है। पहले दूसरे पद को ऐसे लिखते हैं।

$$\tan^3\theta\operatorname{cosec}\theta = \tan^2\theta \times \frac{\tan\theta}{\sin\theta} = \tan^2\theta\sec\theta$$

अब पूरा व्यंजक $\sec\theta(1 + \tan^2\theta) = \sec^3\theta$ हो गया। साथ ही $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta = 2 - e^2$ है, तो उत्तर $(2 - e^2)^{\frac{3}{2}}$ है।

$a\sin\theta + b\cos\theta$ का अधिकतम और न्यूनतम मान

वर्गों के योग वाले नियम से प्रत्येक $\theta$ के लिए यह मिलता है।

$$(a\sin\theta + b\cos\theta)^2 = a^2 + b^2 - (a\cos\theta - b\sin\theta)^2 \le a^2 + b^2$$

कारण सीधा है, कोई भी वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता। अब वर्गमूल लें, तो

$$-\sqrt{a^2 + b^2} \le a\sin\theta + b\cos\theta \le \sqrt{a^2 + b^2}$$

व्यंजक इन दोनों सिरों तक सचमुच पहुँचता है, इसलिए यही इसका अधिकतम मान (maximum value) और न्यूनतम मान (minimum value) हैं। जब $\tan\theta = \frac{a}{b}$ हो, तो कोष्ठक वाले $a\cos\theta - b\sin\theta$ का मान 0 हो जाता है। ऐसे दो कोण होते हैं, जिनमें $180^\circ$ का अंतर है। एक कोण पर व्यंजक का मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है। दूसरे कोण पर sin और cos दोनों का चिह्न बदल जाता है, इसलिए वहाँ मान $-\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।

उदाहरण के लिए $3\sin\theta + 4\cos\theta$ लीजिए। इसका अधिकतम मान $\sqrt{9 + 16} = 5$ है, जो $\tan\theta = \frac{3}{4}$ पर मिलता है। न्यूनतम मान −5 है। कई छात्र गुणांक जोड़कर 7 लिख देते हैं। पर 7 कभी नहीं मिलता, क्योंकि एक ही कोण पर $\sin\theta$ और $\cos\theta$ दोनों 1 नहीं हो सकते।

चिह्न और अचर: व्यंजक में ऋण चिह्न हो या कोई अचर जुड़ा हो, तब भी यही नियम चलता है।

• $5\sin\theta - 12\cos\theta$ भी −13 और 13 के बीच स्थित है। भीतर का ऋण चिह्न $a^2 + b^2$ को नहीं बदलता।
• $3\sin\theta + 4\cos\theta + 7$ का मान 7 − 5 = 2 और 7 + 5 = 12 के बीच रहता है। जोड़ा गया अचर पूरे परिसर को खिसका देता है।
• $\sin\theta + \cos\theta$ का मान $-\sqrt{2}$ और $\sqrt{2}$ के बीच रहता है। इसका सबसे बड़ा मान $\theta = 45^\circ$ पर आता है।
• $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{3 + 1} = 2$ है, जो $\theta = 60^\circ$ पर मिलता है।

ये सीमाएँ तब की हैं, जब कोण कुछ भी हो सकता है। प्रश्न में $\theta$ पर कोई रोक न हो, तो यही सीमाएँ पूछी जाती हैं।

[SSC टिप] गुणांकों को जोड़ना नहीं है। $a\sin\theta + b\cos\theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ है, और a, b दोनों धनात्मक हों तो यह a + b से कम होता है। विकल्पों में a + b वाला गलत मान ज़रूर दिया होता है।

a और b के बीच: $a\sin^2\theta + b\cos^2\theta$, और गुणनफल $\sin\theta\cos\theta$

ऐसे व्यंजक को $a\sin^2\theta + b\cos^2\theta = b + (a - b)\sin^2\theta$ लिख लीजिए। अब $\sin^2\theta$ का मान 0 से 1 तक जाता है, तो व्यंजक का मान b से a तक जाता है।

नियम सीधा है। यह व्यंजक हमेशा a और b के बीच स्थित रहता है। दोनों में जो छोटा है, वह न्यूनतम मान है, और जो बड़ा है, वह अधिकतम मान।

जैसे $4\sin^2\theta + 9\cos^2\theta$ लीजिए। $\theta = 0^\circ$ पर इसका मान 9 है और $\theta = 90^\circ$ पर 4। तो न्यूनतम मान 4 और अधिकतम 9 है।

इसकी तुलना $4\sin\theta + 9\cos\theta$ से कीजिए, जिसमें वर्ग नहीं हैं। पिछले नियम से इसका अधिकतम मान $\sqrt{97}$ है। मतलब वर्ग आते ही तरीका पूरी तरह बदल जाता है।

कोई अचर जुड़ा हो, तो पहले की तरह पूरा परिसर खिसक जाता है। जैसे $5 + 3\sin^2\theta$ का मान 5 और 8 के बीच रहता है।

गुणनफल: $(\sin\theta - \cos\theta)^2 \ge 0$ से $1 - 2\sin\theta\cos\theta \ge 0$ मिलता है। इसलिए

$$\sin\theta\cos\theta \le \frac{1}{2}$$

बराबरी $\theta = 45^\circ$ पर होती है। इसका वर्ग करें, तो $\sin^2\theta\cos^2\theta \le \frac{1}{4}$।

इसी से "सर्वसमिकाएँ और सरलीकरण" वाले खंड के घातों वाले योगों का परिसर भी निकल आता है।

• $\sin^4\theta + \cos^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$, जो $\frac{1}{2}$ और 1 के बीच रहता है।
• $\sin^6\theta + \cos^6\theta = 1 - 3\sin^2\theta\cos^2\theta$, जो $\frac{1}{4}$ और 1 के बीच रहता है।

दोनों का न्यूनतम मान 45° पर आता है, और अधिकतम 0° या 90° पर।

मिली-जुली घातें: $\sin^2\theta + \cos^4\theta = 1 - \cos^2\theta + \cos^4\theta$ लिखिए। अब $x = \cos^2\theta$ रख दीजिए, जो 0 और 1 के बीच है।

$$1 - x + x^2 = \frac{3}{4} + \left(x - \frac{1}{2}\right)^2$$

इसलिए इसका मान $\frac{3}{4}$ और 1 के बीच रहता है। सबसे कम मान तब आता है जब $\cos^2\theta = \frac{1}{2}$ हो, और 1 तब, जब x का मान 0 या 1 हो।

संख्या और उसका व्युत्क्रम: योग कम से कम 2

कोई भी धनात्मक संख्या x लीजिए। उसके लिए $x + \frac{1}{x} \ge 2$ होता है। कारण यह है कि $x + \frac{1}{x} - 2 = \frac{(x - 1)^2}{x}$, और यह कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता। बराबरी केवल x = 1 पर होती है।

अनुपातों पर यह बात ऐसे लागू होती है।

• $\sin^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta \ge 2$, और बराबरी केवल $\theta = 90^\circ$ पर।
• $\cos^2\theta + \sec^2\theta \ge 2$, और बराबरी केवल $\theta = 0^\circ$ पर।
• $\tan^2\theta + \cot^2\theta \ge 2$, और बराबरी केवल $\theta = 45^\circ$ पर।

$a\tan^2\theta + b\cot^2\theta$ का न्यूनतम मान: यहाँ दोनों पदों का गुणनफल ab है, जो एक नियत संख्या है। बीजगणित वाले अध्याय 11 में हमने देखा था कि दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल नियत हो, तो उनका योग तब सबसे कम होता है जब दोनों बराबर हों। तब दोनों संख्याएँ $\sqrt{ab}$ होती हैं। इसलिए

$$a\tan^2\theta + b\cot^2\theta \ge 2\sqrt{ab}$$

जैसे $2\tan^2\theta + 8\cot^2\theta \ge 2\sqrt{16} = 8$। न्यूनतम मान 8 तब आता है जब $2\tan^2\theta = 8\cot^2\theta$ हो, यानी $\tan^4\theta = 4$ और $\tan^2\theta = 2$।

$a\sec^2\theta + b\operatorname{cosec}^2\theta$ का न्यूनतम मान: पहले इसे tan और cot में बदल लीजिए।

$$a(1 + \tan^2\theta) + b(1 + \cot^2\theta) = a + b + a\tan^2\theta + b\cot^2\theta \ge a + b + 2\sqrt{ab} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$$

इसलिए $\sec^2\theta + 4\operatorname{cosec}^2\theta \ge (1 + 2)^2 = 9$।

छहों वर्ग एक साथ: $\sin^2\theta + \cos^2\theta + \tan^2\theta + \cot^2\theta + \sec^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta$ को ऐसे लिख सकते हैं, $1 + \tan^2\theta + \cot^2\theta + (1 + \tan^2\theta) + (1 + \cot^2\theta) = 3 + 2(\tan^2\theta + \cot^2\theta)$। कोष्ठक कम से कम 2 है, तो पूरा योग कम से कम 3 + 4 = 7 होगा।

बराबरी संभव है या नहीं: $2\sqrt{ab}$ वाली सीमा असली न्यूनतम मान तभी है, जब दोनों पद सचमुच बराबर हो सकें। यह जाँच लेना ज़रूरी है। जैसे $\sin^2\theta + 4\operatorname{cosec}^2\theta$ में बराबरी के लिए $\sin^2\theta = 2$ चाहिए, जो हो ही नहीं सकता।

ऐसे में $x = \sin^2\theta$ लिखिए। तब व्यंजक $x + \frac{4}{x}$ हो जाता है। x जैसे-जैसे 1 की ओर बढ़ता है, यह लगातार घटता जाता है। इसलिए न्यूनतम मान $\sin^2\theta = 1$ पर आता है, यानी 1 + 4 = 5। कई छात्र यहाँ झटपट नियम से 4 लिख देते हैं, जो गलत है।

tan और cot के साथ यह दिक़्क़त कभी नहीं आती, क्योंकि $\tan^2\theta$ कोई भी धनात्मक संख्या हो सकता है।

वे मान जो अनुपात कभी नहीं ले सकते

समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है। इसी से तय होता है कि प्रत्येक अनुपात कहाँ तक जा सकता है।

• $\sin\theta$ और $\cos\theta$ का मान −1 से 1 तक ही होता है। न्यून कोणों के लिए यह 0 से 1 तक रहता है। इसलिए $\sin\theta = \frac{7}{6}$ या $\cos\theta = \sqrt{2}$ असंभव हैं।
• $\sec\theta$ और $\operatorname{cosec}\theta$ का मान −1 और 1 के बीच कभी नहीं आता। ये 1 या उससे अधिक होते हैं, या फिर −1 या उससे कम। इसलिए $\sec\theta = \frac{3}{5}$ और $\operatorname{cosec}\theta = \frac{2}{3}$ असंभव हैं, जबकि $\sec\theta = 2$ ठीक है।
• $\tan\theta$ और $\cot\theta$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकते हैं। $\tan\theta = 100$ भी संभव है, तब $\theta$ 90° से ज़रा-सा कम होता है।

एक मूल छोड़ देना: $2\sin^2\theta + 3\sin\theta - 2 = 0$ के गुणनखंड $(2\sin\theta - 1)(\sin\theta + 2) = 0$ हैं। $\sin\theta = -2$ हो ही नहीं सकता, तो $\sin\theta = \frac{1}{2}$ ही बचता है। न्यून कोण के लिए इससे $\theta = 30^\circ$ मिलता है।

अक्षरों वाली शर्तें: मान लीजिए $\sec^2\theta = \frac{4xy}{(x + y)^2}$ दिया है, जहाँ x और y धनात्मक हैं। यह केवल x = y होने पर संभव है। कारण देखिए। $(x + y)^2 - 4xy = (x - y)^2 \ge 0$, इसलिए दायाँ पक्ष अधिक से अधिक 1 हो सकता है। उधर $\sec^2\theta$ कम से कम 1 होता है। दोनों बातें तभी सत्य होंगी, जब दायाँ पक्ष ठीक 1 हो।

इसी तरह $\sin\theta = \frac{x^2 + y^2}{2xy}$ के लिए x = y होना ज़रूरी है, क्योंकि $x^2 + y^2 \ge 2xy$। और $\cos\theta = x + \frac{1}{x}$ तो किसी भी वास्तविक x के लिए असंभव है, क्योंकि $x + \frac{1}{x}$ या तो कम से कम 2 होता है, या अधिक से अधिक −2।

[SSC टिप] हल करना शुरू करने से पहले दी गई संख्याएँ देख लीजिए। जैसे sin का मान 1.2 दिया हो, तो यह असंभव है। $\sin\theta + \cos\theta = 1.42$ भी असंभव है, क्योंकि यह $\sqrt{2} \approx 1.414$ से थोड़ा ज़्यादा है। ऐसे आँकड़ों वाला विकल्प तुरंत काट दीजिए।

हल किए गए उदाहरण

अब कुछ प्रश्न हल करके देखते हैं।

प्रश्न 1

यदि $\sin\theta + \cos\theta = \frac{13}{10}$ है, तो $\sin\theta\cos\theta$ का मान क्या है? (a) $\frac{69}{100}$ (b) $\frac{3}{10}$ (c) $\frac{69}{200}$ (d) $\frac{269}{200}$

उत्तर: दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{169}{100}$ आता है। इसलिए $2\sin\theta\cos\theta = \frac{69}{100}$, और इसका आधा $\sin\theta\cos\theta$ है, यानी (c) $\frac{69}{200}$। जल्दबाज़ी में कई लोग $\frac{69}{100}$ पर ही रुक जाते हैं। पर वह तो गुणनफल का दोगुना है, उसे आधा करना न भूलें।

प्रश्न 2

यदि $\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{4}$ है, तो $\sin\theta\cos\theta$ का मान क्या है? (a) $\frac{15}{32}$ (b) $\frac{15}{16}$ (c) $\frac{1}{4}$ (d) $\frac{17}{32}$

उत्तर: वर्ग करने पर $1 - 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{16}$ आता है। यहाँ बीच वाले ऋण चिह्न का ध्यान रखना है। तो $2\sin\theta\cos\theta = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$, और गुणनफल इसका आधा, यानी (a) $\frac{15}{32}$ है।

प्रश्न 3

यदि $\sin\theta + \cos\theta = \frac{9}{7}$ है, तो $\tan\theta + \cot\theta$ का मान क्या है? (a) $\frac{16}{49}$ (b) $\frac{9}{7}$ (c) $\frac{32}{49}$ (d) $\frac{49}{16}$

उत्तर: पहले गुणनफल निकाल लेते हैं। वर्ग करने पर $1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{81}{49}$, तो $\sin\theta\cos\theta = \frac{16}{49}$। अब $\tan\theta + \cot\theta = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta}$, यानी (d) $\frac{49}{16}$। $\frac{16}{49}$ पर रुक जाना गलत है, क्योंकि वह केवल गुणनफल है, अभी आधा ही काम हुआ है।

प्रश्न 4

यदि $\sec\theta + \tan\theta = \frac{5}{2}$ है, तो $\sin\theta$ का मान क्या है? (a) $\frac{21}{29}$ (b) $\frac{20}{29}$ (c) $\frac{29}{21}$ (d) $\frac{21}{20}$

उत्तर: इसका साथी $\sec\theta - \tan\theta = \frac{2}{5}$ होगा। दोनों समीकरण जोड़ने पर $2\sec\theta = \frac{5}{2} + \frac{2}{5} = \frac{29}{10}$, यानी $\sec\theta = \frac{29}{20}$। घटाने पर $2\tan\theta = \frac{21}{10}$, यानी $\tan\theta = \frac{21}{20}$। अब $\sin\theta = \frac{\tan\theta}{\sec\theta}$, जो (a) $\frac{21}{29}$ है। त्रिभुज की भुजाएँ 20, 21, 29 हैं। $\frac{20}{29}$ चुनना गलत है, क्योंकि वह $\cos\theta$ है।

प्रश्न 5

यदि $\operatorname{cosec}\theta + \cot\theta = 9$ है, तो $\cos\theta$ का मान क्या है? (a) $\frac{9}{41}$ (b) $\frac{40}{41}$ (c) $\frac{41}{40}$ (d) $\frac{9}{40}$

उत्तर: यहाँ $\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta = \frac{1}{9}$ होगा। जोड़ने पर $2\operatorname{cosec}\theta = 9 + \frac{1}{9} = \frac{82}{9}$, तो $\operatorname{cosec}\theta = \frac{41}{9}$। घटाने पर $2\cot\theta = \frac{80}{9}$, तो $\cot\theta = \frac{40}{9}$। अब $\cos\theta = \frac{\cot\theta}{\operatorname{cosec}\theta}$, जो (b) $\frac{40}{41}$ है। सूत्र लगाएँ, तो एक ही पंक्ति में $\frac{p^2 - 1}{p^2 + 1} = \frac{80}{82}$ आता है, यानी वही उत्तर।

प्रश्न 6

यदि $\sec\theta - \tan\theta = \frac{1}{7}$ है, तो $\cos\theta$ का मान क्या है? (a) $\frac{24}{25}$ (b) $\frac{25}{7}$ (c) $\frac{7}{25}$ (d) $\frac{24}{7}$

उत्तर: अंतर दिया है, तो पहले उसे उलट देते हैं। इससे $\sec\theta + \tan\theta = 7$ मिलता है। दोनों जोड़ने पर $2\sec\theta = 7 + \frac{1}{7} = \frac{50}{7}$, यानी $\sec\theta = \frac{25}{7}$। $\cos\theta$ इसका व्युत्क्रम है, तो उत्तर (c) $\frac{7}{25}$।

प्रश्न 7

यदि $\tan\theta + \cot\theta = 2$ है, तो $\tan^{100}\theta + \cot^{100}\theta$ का मान क्या है? (a) $2^{100}$ (b) 2 (c) 1 (d) 100

उत्तर: कोई संख्या और उसका व्युत्क्रम मिलकर 2 तभी होते हैं, जब संख्या 1 हो। इसलिए $\tan\theta = 1$ और $\cot\theta = 1$। 1 की प्रत्येक घात 1 ही होती है, तो उत्तर 1 + 1 = (b) 2।

प्रश्न 8

यदि $\tan\theta + \cot\theta = 5$ है, तो $\tan^2\theta + \cot^2\theta$ का मान क्या है? (a) 25 (b) 27 (c) 21 (d) 23

उत्तर: वर्ग करने पर $\tan^2\theta + 2\tan\theta\cot\theta + \cot^2\theta = 25$ आता है। बीच वाला पद 2 है, क्योंकि $\tan\theta\cot\theta = 1$। इसलिए $\tan^2\theta + \cot^2\theta = 25 - 2$, यानी (d) 23।

प्रश्न 9

यदि $\sin\theta + \sin^2\theta = 1$ है, तो $\tan^4\theta + \tan^2\theta$ का मान क्या है? (a) 1 (b) 0 (c) 2 (d) $\frac{1}{2}$

उत्तर: शर्त का असली मतलब $\sin\theta = 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$ है। तो $\tan^2\theta = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{\sin^2\theta}{\sin\theta} = \sin\theta$, और फिर $\tan^4\theta = \sin^2\theta$। अब व्यंजक $\sin^2\theta + \sin\theta$ हो गया, जो दी गई शर्त ही है। इसलिए मान (a) 1 है।

प्रश्न 10

यदि $\cos\theta + \cos^2\theta = 1$ है, तो $\sin^{12}\theta + 3\sin^{10}\theta + 3\sin^8\theta + \sin^6\theta + 2\sin^4\theta + 2\sin^2\theta - 2$ का मान क्या है? (a) 0 (b) 2 (c) 1 (d) 3

उत्तर: शर्त से $\cos\theta = 1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$, इसलिए $\sin^2\theta + \sin^4\theta = \cos\theta + \cos^2\theta = 1$। पहले चार पदों के गुणांक 1, 3, 3, 1 हैं, तो ये चारों मिलकर एक घन हैं, यानी $(\sin^4\theta + \sin^2\theta)^3 = 1$। अगले दो पदों से $2(\sin^4\theta + \sin^2\theta) = 2$ मिलता है। कुल मान 1 + 2 − 2 = (c) 1 हुआ।

प्रश्न 11

यदि $3\tan\theta = 4$ है, तो $\frac{3\sin\theta - 2\cos\theta}{3\sin\theta + \cos\theta}$ का मान क्या है? (a) $\frac{2}{3}$ (b) $\frac{2}{5}$ (c) $\frac{1}{5}$ (d) $\frac{5}{2}$

उत्तर: प्रत्येक पद में एक sin या एक cos है, तो अंश और हर को $\cos\theta$ से भाग देते हैं। $\frac{3\tan\theta - 2}{3\tan\theta + 1} = \frac{4 - 2}{4 + 1}$, यानी (b) $\frac{2}{5}$। $\sin\theta$ और $\cos\theta$ के अलग-अलग मान जानने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।

प्रश्न 12

यदि $\frac{\sin\theta + \cos\theta}{\sin\theta - \cos\theta} = 5$ है, तो $\sin^2\theta - \cos^2\theta$ का मान क्या है? (a) $\frac{12}{13}$ (b) $\frac{3}{2}$ (c) $\frac{13}{5}$ (d) $\frac{5}{13}$

उत्तर: अंश और हर को $\cos\theta$ से भाग दें, तो $\frac{\tan\theta + 1}{\tan\theta - 1} = 5$। इससे $\tan\theta + 1 = 5\tan\theta - 5$, यानी $\tan\theta = \frac{3}{2}$। अब $\sin^2\theta - \cos^2\theta$ के नीचे $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ लिख देते हैं, जो 1 ही है। फिर $\cos^2\theta$ से भाग देने पर $\frac{\tan^2\theta - 1}{\tan^2\theta + 1} = \frac{\frac{9}{4} - 1}{\frac{9}{4} + 1} = \frac{5}{13}$ आता है। उत्तर (d) $\frac{5}{13}$ है।

प्रश्न 13

यदि $\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2}\cos\theta$ है, तो $\sin\theta + \cos\theta$ किसके बराबर है? (a) $\sqrt{2}\sin\theta$ (b) $\sqrt{2}\cos\theta$ (c) $-\sqrt{2}\sin\theta$ (d) $\sqrt{2}\tan\theta$

उत्तर: शर्त से $\sin\theta = (\sqrt{2} + 1)\cos\theta$ मिलता है। अब दोनों पक्षों को $\sqrt{2} - 1$ से गुणा करते हैं। $(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = 1$ है, तो $(\sqrt{2} - 1)\sin\theta = \cos\theta$, यानी $\cos\theta = \sqrt{2}\sin\theta - \sin\theta$। पद इधर-उधर करने पर $\sin\theta + \cos\theta$ = (a) $\sqrt{2}\sin\theta$।

प्रश्न 14

यदि $5\sin\theta + 12\cos\theta = 13$ है, तो $\tan\theta$ का मान क्या है? (a) $\frac{12}{5}$ (b) $\frac{5}{13}$ (c) $\frac{5}{12}$ (d) $\frac{13}{12}$

उत्तर: इसका साथी व्यंजक $5\cos\theta - 12\sin\theta$ है। दोनों के वर्गों का योग $5^2 + 12^2 = 169$ होता है। दिया गया व्यंजक 13 के बराबर है, तो साथी $\sqrt{169 - 169} = 0$ होगा। इसलिए $5\cos\theta = 12\sin\theta$, और $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$, यानी (c) $\frac{5}{12}$। ध्यान दीजिए, 13 ही $5\sin\theta + 12\cos\theta$ का अधिकतम मान भी है।

प्रश्न 15

यदि $2\cos\theta - \sin\theta = 1$ है और $\theta$ न्यून कोण है, तो $2\sin\theta + \cos\theta$ का मान क्या है? (a) 1 (b) 2 (c) $\sqrt{5}$ (d) 3

उत्तर: ये दोनों व्यंजक एक ही जोड़े के हैं, तो इनके वर्गों का योग $2^2 + 1^2 = 5$ है। इसलिए $(2\sin\theta + \cos\theta)^2 = 5 - 1 = 4$। कोण न्यून है, तो यह व्यंजक धनात्मक होगा, यानी (b) 2। जाँच भी कर लेते हैं। $\sin\theta = \frac{3}{5}$ और $\cos\theta = \frac{4}{5}$ लें, तो शर्त पूरी होती है, $\frac{8}{5} - \frac{3}{5} = 1$। और तब $\frac{6}{5} + \frac{4}{5} = 2$ आता है।