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डिग्री और रेडियन

• $\pi$ रेडियन $= 180^\circ$ होता है। डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए कोण $\times \frac{\pi}{180}$ कीजिए, और रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए कोण $\times \frac{180}{\pi}$।
• कोण में $1^\circ = 60'$ और $1' = 60''$ होते हैं। जैसे $22^\circ 30' = 22.5^\circ = \frac{\pi}{8}$ है।
• एक रेडियन लगभग $57.3^\circ$ होता है।
• चाप की लंबाई $l = r\theta$ होती है और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}r^2\theta$। इन दोनों सूत्रों में $\theta$ रेडियन में ही लीजिए।
• घड़ी में मिनट की सुई हर मिनट $6^\circ$ घूमती है और घंटे की सुई हर मिनट $\frac{1}{2}^\circ$। दोनों सुइयों के बीच का कोण $|30h - 5.5m|$ डिग्री होता है। यह $180^\circ$ से ज़्यादा आए, तो इसे $360^\circ$ में से घटा दीजिए।

उदाहरण: 20 मिनट में मिनट की सुई $120^\circ$ घूम जाती है। रेडियन में यही कोण $\frac{2\pi}{3}$ है।

त्रिकोणमितीय अनुपात

• $\sin\theta = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}}$, $\cos\theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}}$ और $\tan\theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ होता है।
• cosec, sec और cot क्रमशः sin, cos और tan के व्युत्क्रम (reciprocal) होते हैं।
• कोई एक अनुपात दिया हो, तो उससे समकोण त्रिभुज बना लीजिए। तीसरी भुजा किसी पाइथागोरस त्रिक (triplet) से मिल जाती है, जैसे 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 20-21-29 या 9-40-41।
• $0^\circ$ से $90^\circ$ तक sin और tan बढ़ते हैं, जबकि cos घटता है। sin और cos कभी 1 से आगे नहीं जाते।

जोड़ियाँ याद करते समय ध्यान रखिए। sec का साथी cos है और cosec का साथी sin, जबकि नाम देखकर इसका उलटा लगता है।

मानक कोणों के मान

• $0^\circ$, $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ और $90^\circ$ पर $\sin\theta$ के मान क्रमशः $\sqrt{\frac{0}{4}}$, $\sqrt{\frac{1}{4}}$, $\sqrt{\frac{2}{4}}$, $\sqrt{\frac{3}{4}}$ और $\sqrt{\frac{4}{4}}$ होते हैं। $\cos\theta$ के मान भी यही हैं, बस उलटे क्रम में।
• इन्हीं कोणों पर $\tan\theta$ के मान 0, $\frac{1}{\sqrt{3}}$, 1 और $\sqrt{3}$ हैं, और आखिरी कोण पर यह अपरिभाषित (not defined) होता है।
• जिन प्रश्नों में वर्ग आते हैं, उनमें सीधे वर्गों के मान लगाइए। $\sin^2\theta$ के मान 0, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$ और 1 हैं, और $\tan^2\theta$ के 0, $\frac{1}{3}$, 1 और 3।
• $\tan 90^\circ$, $\sec 90^\circ$, $\cot 0^\circ$ और $\operatorname{cosec} 0^\circ$ अपरिभाषित होते हैं।

[SSC टिप] $\frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\sqrt{3}$ विकल्पों में अक्सर साथ-साथ दिए होते हैं। $\tan 30^\circ$ इनमें से छोटा वाला है, जो 1 से कम होता है।

कोटिपूरक कोण

• $\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta$, $\tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta$ और $\sec(90^\circ - \theta) = \operatorname{cosec}\theta$ होता है। उलटी दिशा में भी यही चलता है, यानी cos से sin, cot से tan और cosec से sec।
• $\sin A = \cos B$ हो और दोनों न्यून कोण (acute angle) हों, तो $A + B = 90^\circ$ होता है।
• $\tan\theta\tan(90^\circ - \theta) = 1$ होता है। इसीलिए tan वाले लंबे गुणनफल का मान 1 आता है।
• $\sin^2\theta + \sin^2(90^\circ - \theta) = 1$ होता है। इसलिए वर्गों के लंबे योग का मान जोड़ियों की संख्या के बराबर होता है, और $45^\circ$ वाला पद भी हो, तो उसका $\frac{1}{2}$ और जोड़ दीजिए।
• किसी भी त्रिभुज में $\sin\frac{B + C}{2} = \cos\frac{A}{2}$ होता है।

जिस गुणनफल में $\cos 90^\circ$ आ जाए, उसका मान 0 होता है, चाहे वह कितना भी लंबा हो।

कोण ज्ञात करना

• समीकरण को ऐसे लिखिए कि एक ओर एक अनुपात हो और दूसरी ओर कोई मानक मान। फिर उस मान से कोण पहचानिए और $\theta$ निकालिए। जैसे $2\cos 3\theta = 1$ से $3\theta = 60^\circ$ आता है, तो $\theta = 20^\circ$।
• $A + B$ और $A - B$ वाले दो समीकरण हों, तो पहले दोनों के मान निकालिए। फिर उन्हें जोड़िए और घटाइए।
• एक कोण का sin दूसरे कोण के cos के बराबर हो, तो दोनों कोणों का योग $90^\circ$ रखिए।
• $\sin\theta$ या $\cos\theta$ में द्विघात समीकरण हो, तो गुणनखंड कीजिए। जो मूल 1 से बड़ा आए, उसे छोड़ दीजिए।

अंत में हर बार यह ज़रूर देख लीजिए कि कोण प्रश्न में दी गई सीमा के भीतर है या नहीं।

सर्वसमिकाएँ और सरलीकरण

• तीनों सर्वसमिकाएँ याद रखिए, $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, $\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$ और $\operatorname{cosec}^2\theta - \cot^2\theta = 1$।
• $\sec\theta - \tan\theta = \frac{1}{\sec\theta + \tan\theta}$ होता है। cosec और cot में भी ऐसा ही होता है।
• $\sin^4\theta + \cos^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$ होता है। छठी घात वाले योग में इसी सूत्र का 2 बदलकर 3 हो जाता है।
• जहाँ $1 \pm \sin\theta$ हो, वहाँ हल sec और tan की ओर जाता है, और जहाँ $1 \pm \cos\theta$ हो, वहाँ cosec और cot की ओर।

उत्तर चुनने के लिए विकल्पों को $45^\circ$ रखकर जाँच लीजिए। वहाँ दो विकल्पों का मान एक-सा निकले, तो $30^\circ$ या $60^\circ$ पर दोबारा जाँचिए।

दी गई शर्त से मान

• $\sin\theta + \cos\theta = p$ हो, तो $\sin\theta\cos\theta = \frac{p^2 - 1}{2}$ होता है।
• $\sec\theta + \tan\theta = p$ हो, तो $\sec\theta - \tan\theta = \frac{1}{p}$ होता है और $\sin\theta = \frac{p^2 - 1}{p^2 + 1}$।
• $\tan\theta$ दिया हो, तो अंश और हर, दोनों को $\cos\theta$ से भाग दीजिए।
• $\tan\theta + \cot\theta = 2$ हो, तो $\theta = 45^\circ$ होता है।
• $a\cos\theta + b\sin\theta = c$ दिया हो, तो $a\sin\theta - b\cos\theta = \pm\sqrt{a^2 + b^2 - c^2}$ आता है।
• $\sin\theta + \sin^2\theta = 1$ हो, तो $\sin\theta = \cos^2\theta$ होता है।

अधिकतम और न्यूनतम मान

• $a\sin\theta + b\cos\theta$ का मान $-\sqrt{a^2 + b^2}$ से $\sqrt{a^2 + b^2}$ तक रहता है। इसके साथ कोई अचर भी जुड़ा हो, तो दोनों सीमाओं में वही अचर जोड़ दीजिए।
• $a\sin^2\theta + b\cos^2\theta$ का मान a और b के बीच स्थित होता है।
• $a\tan^2\theta + b\cot^2\theta \ge 2\sqrt{ab}$ होता है, और $a\sec^2\theta + b\operatorname{cosec}^2\theta \ge (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$।
• $\sin\theta\cos\theta \le \frac{1}{2}$ होता है, और $\sin^2\theta + \cos^4\theta \ge \frac{3}{4}$।

AM-GM असमिका से जो मान मिले, वह तभी सही है जब किसी कोण पर वह सचमुच आ सके। जैसे $\cos^2\theta + 36\sec^2\theta$ का न्यूनतम मान (minimum value) 37 है, 12 नहीं।

संबद्ध कोण

• प्रथम चतुर्थांश (quadrant) में सभी अनुपात धनात्मक होते हैं। द्वितीय में sin और cosec धनात्मक होते हैं, तृतीय में tan और cot, और चतुर्थ में cos और sec।
• $180^\circ \pm \theta$ और $360^\circ - \theta$ में अनुपात वही रहता है। $90^\circ \pm \theta$ और $270^\circ \pm \theta$ में वह सह-अनुपात (co-ratio) में बदल जाता है।
• सबसे पहले कोण में से $360^\circ$ के पूरे चक्कर हटा दीजिए। ऋणात्मक कोण में $\cos(-\theta) = \cos\theta$ होता है, पर $\sin(-\theta) = -\sin\theta$।

उदाहरण: $135^\circ$ का कोण लीजिए। इस पर $\sin 135^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos 135^\circ = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ होता है। चित्र में भी यही दिखता है।

संयुक्त और द्विगुण कोण

• $\sin(A \pm B) = \sin A\cos B \pm \cos A\sin B$ और $\cos(A \pm B) = \cos A\cos B \mp \sin A\sin B$ होता है।
• $\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$ और $\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}$ होता है।
• $A + B = 45^\circ$ हो, तो $(1 + \tan A)(1 + \tan B) = 2$ होता है।
• $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ और $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ होता है।
• [Tier 2] $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$, $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ और $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ भी याद रखिए।

परीक्षा से पहले

• सबसे पहले रफ़ कागज़ पर मानक मानों की तालिका और पाइथागोरस त्रिक लिख लीजिए।
• हल शुरू करने से पहले विकल्प पढ़ लीजिए। फिर विकल्पों को $45^\circ$ रखकर जाँचिए, और ज़रूरत हो तो $30^\circ$ या $60^\circ$ पर।
• सबसे आम गलतियाँ हैं sin और cos की अदला-बदली, $\sqrt{3}$ की जगह $\frac{1}{\sqrt{3}}$ लिख देना, द्वितीय चतुर्थांश में चिह्न भूल जाना, रेडियन बदलते समय $\pi$ छूट जाना, $\cos(A + B)$ को दोनों कोणों के cos का योग मान लेना, और अधिकतम मान को $a + b$ समझ लेना।
• अध्याय 16 (ऊँचाई और दूरी) में उन्नयन कोण और अवनमन कोण (angles of elevation and depression) आते हैं। वहाँ इसी अध्याय के $30^\circ$, $45^\circ$ और $60^\circ$ वाले मान काम आते हैं।

इसके बाद इस अध्याय के PYQ अभ्यास सेट हल कीजिए। हर प्रश्न एक मिनट से कम में हो जाना चाहिए।