हल किए गए प्रश्न

इन प्रश्नों से अभ्यास का तरीका

नीचे 35 प्रश्न हल करके दिए गए हैं। ये इस अध्याय के हर हिस्से से लिए गए हैं और आपस में मिले-जुले हैं। इनका कोई तय क्रम नहीं है, ठीक असली प्रश्न-पत्र की तरह। जैसे, सर्वसमिका (identity) वाले प्रश्न के ठीक बाद घड़ी की सुइयों के कोण वाला प्रश्न आ सकता है, और अधिकतम मान वाले प्रश्न के ठीक बाद संबद्ध कोण (allied angle) वाला।

इसलिए कोई भी हल शुरू करने से पहले पहचानिए कि प्रश्न किस प्रकार का है, क्योंकि तरीका उसी से तय होता है। कोई अनुपात दिया हो, तो उससे त्रिभुज बना लीजिए। कोई शर्त दी हो, तो उसका वर्ग कीजिए, या व्युत्क्रम (reciprocal) वाला जोड़ीदार व्यंजक लीजिए। कोई व्यंजक सरल करना हो, तो पहले $45^\circ$ रखकर विकल्प जाँचिए, फिर $30^\circ$ या $60^\circ$ रखकर। कोण $90^\circ$ से बड़ा हो, तो सबसे पहले चिह्न तय कीजिए।

पाँच प्रश्नों के साथ [Tier 2] लिखा है। इनमें त्रिगुण कोण (triple angle), कई cos का गुणनफल, $\sin 18^\circ$ और लंबा विलोपन (elimination) आता है।

समय का भी ध्यान रखिए। इस तरह का टियर 1 प्रश्न एक मिनट से कम में हो जाना चाहिए। किसी प्रश्न में इससे ज़्यादा समय लगे, तो उस प्रश्न का तेज़ रास्ता खोजिए। इसके लिए "शॉर्टकट और तेज़ तरीके" वाला खंड देखिए, और अगले दिन वही प्रश्न दोबारा कीजिए।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

किसी घड़ी की मिनट की सुई 21 सेमी लंबी है। 40 मिनट में उसकी नोक कितनी दूरी तय करती है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।)

उत्तर: 40 मिनट में मिनट की सुई $40 \times 6^\circ = 240^\circ$ घूम जाती है। इसे रेडियन में बदलें, तो $\frac{240}{180}\pi = \frac{4\pi}{3}$ रेडियन आता है। सुई की नोक एक चाप (arc) पर चलती है, इसलिए उसकी तय की हुई दूरी $l = r\theta = 21 \times \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} = 28 \times \frac{22}{7}$ = 88 सेमी है।

प्रश्न 2

B पर समकोण वाले त्रिभुज ABC में AB = 40 सेमी और BC = 9 सेमी है। $\sec A\operatorname{cosec} C - \tan A\cot C$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले कर्ण (hypotenuse) निकालते हैं। $AC = \sqrt{1600 + 81} = \sqrt{1681} = 41$ सेमी आता है। यह 9-40-41 वाला पाइथागोरस त्रिक (triplet) है। कोण A के सामने की भुजा (लंब) BC = 9 है, और उसके पास की भुजा (आधार) AB = 40 है। कोण C के लिए ठीक उलटा होगा। इसलिए $\sec A = \frac{41}{40}$, $\operatorname{cosec} C = \frac{41}{40}$, $\tan A = \frac{9}{40}$ और $\cot C = \frac{9}{40}$ है। अब मान रखें, तो $\frac{1681}{1600} - \frac{81}{1600} = \frac{1600}{1600}$ = 1 आता है। यह उत्तर इत्तफ़ाक से नहीं आया। $A + C = 90^\circ$ है, इसलिए $\operatorname{cosec} C = \sec A$ और $\cot C = \tan A$ होता है। मतलब व्यंजक असल में $\sec^2 A - \tan^2 A$ ही है।

प्रश्न 3

$\frac{3\operatorname{cosec}^2 60^\circ + 2\cot^2 30^\circ - \sec^2 45^\circ}{4\cos^2 45^\circ + \tan^2 60^\circ}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले सारे वर्ग वाले मान लिख लेते हैं। $\operatorname{cosec}^2 60^\circ = \frac{4}{3}$, $\cot^2 30^\circ = 3$, $\sec^2 45^\circ = 2$, $\cos^2 45^\circ = \frac{1}{2}$ और $\tan^2 60^\circ = 3$। इन्हें रखें, तो अंश $4 + 6 - 2 = 8$ आता है और हर $2 + 3 = 5$। तो मान = $\frac{8}{5}$।

प्रश्न 4

यदि $\operatorname{cosec}\theta + \cot\theta = 3$ है, तो $\sin\theta + \cos\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिए गए व्यंजक का जोड़ीदार व्यंजक उसका व्युत्क्रम होता है, तो $\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta = \frac{1}{3}$ हुआ। दोनों को जोड़ें, तो $2\operatorname{cosec}\theta = \frac{10}{3}$, यानी $\operatorname{cosec}\theta = \frac{5}{3}$ और $\sin\theta = \frac{3}{5}$। अब दोनों को घटाएँ, तो $2\cot\theta = \frac{8}{3}$ और $\cot\theta = \frac{4}{3}$ मिलता है। फिर $\cos\theta = \cot\theta \times \sin\theta = \frac{4}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{4}{5}$। तो $\sin\theta + \cos\theta$ = $\frac{7}{5}$।

प्रश्न 5

$\sin^2 1^\circ + \sin^2 3^\circ + \sin^2 5^\circ + \cdots + \sin^2 89^\circ$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ये $1^\circ$ से $89^\circ$ तक के विषम कोण हैं, तो पदों की संख्या $\frac{89 - 1}{2} + 1 = 45$ है। अब ऐसे जोड़े बनाते हैं, जिनमें दोनों कोणों का योग $90^\circ$ हो। जैसे $1^\circ$ के साथ $89^\circ$ लेते हैं, और $3^\circ$ के साथ $87^\circ$। ऐसे 22 जोड़े बनते हैं, और हर जोड़े के दोनों पदों का योग 1 होता है। बीच वाला पद $\sin^2 45^\circ = \frac{1}{2}$ अकेला बच जाता है। तो पूरा योग $22 + \frac{1}{2}$ = $22\frac{1}{2}$ है।

प्रश्न 6

यदि $\frac{\cos\theta}{1 - \sin\theta} + \frac{\cos\theta}{1 + \sin\theta} = 4$ है और $\theta$ एक न्यून कोण है, तो $\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: बाएँ पक्ष की दोनों भिन्नों को उभयनिष्ठ हर लेकर जोड़ते हैं। $\frac{\cos\theta(1 + \sin\theta + 1 - \sin\theta)}{1 - \sin^2\theta} = \frac{2\cos\theta}{\cos^2\theta} = 2\sec\theta$ आता है। अब $2\sec\theta = 4$, तो $\sec\theta = 2$, और $\theta$ = $60^\circ$।

प्रश्न 7

$\frac{\sin 150^\circ - 5\cos 300^\circ + 7\tan 225^\circ}{\tan 135^\circ + 3\sin 210^\circ}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: एक बार में एक कोण लेते हैं, और हर बार पहले चिह्न देखते हैं।

• $150^\circ$ द्वितीय चतुर्थांश (quadrant) में है, जहाँ sin धनात्मक होता है। तो $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$।
• $300^\circ$ चतुर्थ चतुर्थांश में है, जहाँ cos धनात्मक होता है। तो $\cos 300^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$।
• $225^\circ$ तृतीय चतुर्थांश में है, जहाँ tan धनात्मक होता है। तो $\tan 225^\circ = \tan 45^\circ = 1$।
• इसी तरह $\tan 135^\circ = -\tan 45^\circ = -1$ और $\sin 210^\circ = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$।

अब अंश $\frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 7 = 5$ है और हर $-1 - \frac{3}{2} = -\frac{5}{2}$। तो मान = $-2$।

प्रश्न 8

$47^\circ 30'$ को रेडियन में व्यक्त कीजिए।

उत्तर: $30'$ का मतलब आधी डिग्री है, तो कोण $47.5^\circ = \frac{95}{2}$ डिग्री हुआ। रेडियन में बदलें, तो $\frac{95}{2} \times \frac{\pi}{180} = \frac{95\pi}{360}$ आता है। इसे सरल करने पर $\frac{19\pi}{72}$ मिलता है।

प्रश्न 9

यदि $15\cos^2\theta + 2\sin\theta = 7$ है और $\theta$ एक न्यून कोण है, तो $\cot\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\cos^2\theta$ को $1 - \sin^2\theta$ में बदल देते हैं, ताकि समीकरण में केवल sin बचे। तब $15 - 15\sin^2\theta + 2\sin\theta = 7$, यानी $15\sin^2\theta - 2\sin\theta - 8 = 0$ आता है। गुणनखंड करने पर $(5\sin\theta - 4)(3\sin\theta + 2) = 0$ मिलता है। न्यून कोण (acute angle) का sin धनात्मक होता है, इसलिए $\sin\theta = \frac{4}{5}$। फिर $\cos\theta = \frac{3}{5}$, और $\cot\theta$ = $\frac{3}{4}$।

प्रश्न 10

यदि $\tan A = \frac{3}{4}$ और $\tan B = \frac{7}{24}$ हैं, जहाँ A और B न्यून कोण हैं, तो $\tan(A + B)$ और $\sin(A + B)$ के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सूत्र में मान रखते हैं। $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A\tan B} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{7}{24}}{1 - \frac{7}{32}} = \frac{\frac{25}{24}}{\frac{25}{32}} = \frac{32}{24}$ = $\frac{4}{3}$। यह धनात्मक है, इसलिए $A + B$ भी न्यून कोण है। tan का मान $\frac{4}{3}$ है, तो 3-4-5 वाला त्रिभुज बना लेते हैं। उससे $\sin(A + B)$ = $\frac{4}{5}$ मिलता है।

प्रश्न 11

$\frac{\cos\theta}{\operatorname{cosec}\theta + 1} + \frac{\cos\theta}{\operatorname{cosec}\theta - 1}$ को सरल कीजिए।

उत्तर: दोनों भिन्नों में अंश और हर को $\sin\theta$ से गुणा कर देते हैं। इससे cosec वाले पद 1 हो जाते हैं, और व्यंजक $\frac{\sin\theta\cos\theta}{1 + \sin\theta} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{1 - \sin\theta}$ रह जाता है। अब दोनों हर एक संयुग्मी जोड़ी (conjugate pair) हैं। जोड़ने पर $\sin\theta\cos\theta \times \frac{(1 - \sin\theta) + (1 + \sin\theta)}{1 - \sin^2\theta} = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta}$ = $2\tan\theta$ आता है।

प्रश्न 12

$\sin^2\theta + \cos\theta$ के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ एक पद वर्ग वाला है और दूसरा नहीं, इसलिए $\sqrt{a^2 + b^2}$ वाला नियम नहीं लगेगा। $c = \cos\theta$ मानकर पूरा व्यंजक c में लिख लेते हैं। तब $1 - c^2 + c = \frac{5}{4} - \left(c - \frac{1}{2}\right)^2$ होता है। वर्ग 0 तब होता है, जब $c = \frac{1}{2}$ हो, यानी $\theta = 60^\circ$ पर। यहीं अधिकतम मान $\frac{5}{4}$ मिलता है। न्यूनतम मान के लिए वर्ग सबसे बड़ा होना चाहिए। इसके लिए c को $\frac{1}{2}$ से जितना हो सके उतना दूर ले जाना होगा। ऐसा $c = -1$ पर, यानी $\theta = 180^\circ$ पर होता है। तब मान $1 - 1 - 1$ = $-1$ आता है, और यही न्यूनतम मान है।

प्रश्न 13 [Tier 2]

$\cos 36^\circ\cos 72^\circ$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ व्यंजक को $\sin 36^\circ$ से गुणा भी करते हैं और भाग भी, ताकि $2\sin x\cos x = \sin 2x$ वाला सूत्र दो बार लग सके। गुणा करने पर अंश $\sin 36^\circ\cos 36^\circ\cos 72^\circ = \frac{1}{2}\sin 72^\circ\cos 72^\circ = \frac{1}{4}\sin 144^\circ$ हो जाता है। अब $\sin 144^\circ = \sin(180^\circ - 36^\circ) = \sin 36^\circ$ है। इसलिए हर वाले $\sin 36^\circ$ से भाग देने पर $\frac{1}{4}$ बचता है।

प्रश्न 14

त्रिभुज PQR में PQ = PR = 13 सेमी और QR = 10 सेमी है। $\sin Q$ और $\tan\frac{P}{2}$ के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: P से QR पर शीर्षलंब (altitude) PD खींचते हैं। यह QR को आधा-आधा बाँटता है, तो QD = 5 सेमी। त्रिभुज PDQ में कर्ण 13 है और एक भुजा 5 है, इसलिए PD = 12 सेमी (5-12-13)। तो $\sin Q = \frac{PD}{PQ}$ = $\frac{12}{13}$। यही शीर्षलंब कोण P को भी आधा-आधा बाँटता है, इसलिए त्रिभुज PDQ में P वाला कोण $\frac{P}{2}$ है। इस कोण के सामने की भुजा (लंब) QD = 5 है और पास की भुजा (आधार) PD = 12 है। तो $\tan\frac{P}{2}$ = $\frac{5}{12}$।

प्रश्न 15

यदि $\cos(A + B) = 0$ और $\sin(A - B) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है, जहाँ A और B न्यून कोण हैं तथा $A > B$ है, तो A, B और $\tan A\tan B$ के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\cos(A + B) = 0$ है, तो $A + B = 90^\circ$। और $\sin(A - B) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है, तो $A - B = 60^\circ$। दोनों को जोड़कर आधा करें, तो $A = 75^\circ$ मिलता है, और घटाकर आधा करें, तो $B = 15^\circ$। दोनों कोणों का योग $90^\circ$ है, इसलिए $\tan B = \cot A$, और $\tan A\tan B$ = 1। मान रखकर जाँच भी कर लेते हैं। $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$ आता है, तो उत्तर ठीक है।

प्रश्न 16

$\frac{\cos 38^\circ}{\sin 52^\circ} + \frac{\tan 24^\circ}{\cot 66^\circ} - \frac{3\tan 12^\circ\tan 40^\circ\tan 50^\circ\tan 78^\circ}{\sin^2 33^\circ + \sin^2 57^\circ}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ कोणों की हर जोड़ी का योग $90^\circ$ है। $\cos 38^\circ = \sin 52^\circ$, तो पहली भिन्न 1 है। $\tan 24^\circ = \cot 66^\circ$, तो दूसरी भिन्न भी 1 है। आख़िरी भिन्न में $\tan 12^\circ\tan 78^\circ = 1$ और $\tan 40^\circ\tan 50^\circ = 1$ है, इसलिए अंश 3 रह जाता है। उसका हर $\sin^2 33^\circ + \cos^2 33^\circ = 1$ है। तो मान = $1 + 1 - 3$ = $-1$।

प्रश्न 17

यदि $\tan\theta + \cot\theta = 2\sqrt{2}$ है, तो $\tan^3\theta + \cot^3\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $x = \tan\theta$ रख लेते हैं, तो $x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{2}$ हुआ। अब घन वाला वही नियम लगाते हैं, जो बीजगणित (अध्याय 11) में पढ़ा था। $x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right) = 16\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$ = $10\sqrt{2}$।

प्रश्न 18

$\frac{\tan^2\theta}{\sec\theta - 1} + \frac{\cot^2\theta}{\operatorname{cosec}\theta - 1}$ को सरल कीजिए, और न्यून कोण $\theta$ के लिए इसका न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1 = (\sec\theta - 1)(\sec\theta + 1)$ है, तो पहली भिन्न $\sec\theta + 1$ रह जाती है। इसी तरह $\cot^2\theta = (\operatorname{cosec}\theta - 1)(\operatorname{cosec}\theta + 1)$ है, तो दूसरी भिन्न $\operatorname{cosec}\theta + 1$ रह जाती है। दोनों को जोड़ें, तो व्यंजक $\sec\theta + \operatorname{cosec}\theta + 2$ हो जाता है। न्यूनतम मान के लिए AM-GM असमिका लगाते हैं। $\sec\theta + \operatorname{cosec}\theta \ge 2\sqrt{\sec\theta\operatorname{cosec}\theta}$ होता है। साथ ही $\sec\theta\operatorname{cosec}\theta = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta}$ है, जो कम-से-कम 2 होता है। दोनों जगह बराबरी $45^\circ$ पर ही होती है, और वहाँ योग $\sqrt{2} + \sqrt{2}$ आता है। तो न्यूनतम मान $2 + 2\sqrt{2}$ है।

प्रश्न 19

$\frac{\sin(180^\circ - \theta)\cos(90^\circ + \theta)\tan(270^\circ - \theta)}{\cos(360^\circ - \theta)\sin(90^\circ + \theta)\cot(180^\circ + \theta)}$ को सरल कीजिए।

उत्तर: $\theta$ को एक छोटा न्यून कोण मान लेते हैं, और हर पद का चतुर्थांश और चिह्न देखते हैं।

• $\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$, क्योंकि यह कोण द्वितीय चतुर्थांश में है और वहाँ sin धनात्मक होता है।
• $\cos(90^\circ + \theta) = -\sin\theta$, क्योंकि यह कोण भी द्वितीय चतुर्थांश में है और वहाँ cos ऋणात्मक होता है। $90^\circ$ वाले कोण में अनुपात भी बदल जाता है।
• $\tan(270^\circ - \theta) = \cot\theta$, क्योंकि यह कोण तृतीय चतुर्थांश में है और वहाँ tan धनात्मक होता है। $270^\circ$ वाले कोण में भी अनुपात बदल जाता है।
• बाकी तीनों पद $\cos(360^\circ - \theta) = \cos\theta$, $\sin(90^\circ + \theta) = \cos\theta$ और $\cot(180^\circ + \theta) = \cot\theta$ हैं।

अब सब रखें, तो मान = $\frac{\sin\theta \times (-\sin\theta) \times \cot\theta}{\cos\theta \times \cos\theta \times \cot\theta}$ = $-\tan^2\theta$।

प्रश्न 20

$(\cot 11^\circ - 1)(\cot 34^\circ - 1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ $11^\circ + 34^\circ = 45^\circ$ है। पहले कोण को A और दूसरे को B मान लें, तो $\cot(A + B) = 1$ है, यानी $\frac{\cot A\cot B - 1}{\cot A + \cot B} = 1$। तिरछा गुणा करने पर $\cot A\cot B - \cot A - \cot B = 1$ आता है। अब दोनों पक्षों में 1 जोड़ देते हैं। तब बायाँ पक्ष $(\cot A - 1)(\cot B - 1)$ हो जाता है, और मान 2 आता है।

प्रश्न 21 [Tier 2]

यदि $\sin\theta = m\sin\phi$ और $\tan\theta = n\tan\phi$ है, तो दर्शाइए कि $\cos^2\theta = \frac{m^2 - 1}{n^2 - 1}$ है।

उत्तर: पहले समीकरण को दूसरे से भाग देते हैं, तो $\cos\theta = \frac{m}{n}\cos\phi$ मिलता है। इनसे $\sin\phi = \frac{\sin\theta}{m}$ और $\cos\phi = \frac{n\cos\theta}{m}$ निकल आते हैं। अब $\phi$ हटाना है। इसके लिए $\sin^2\phi + \cos^2\phi = 1$ का प्रयोग करते हैं। मान रखें, तो $\frac{\sin^2\theta}{m^2} + \frac{n^2\cos^2\theta}{m^2} = 1$, यानी $\sin^2\theta + n^2\cos^2\theta = m^2$। फिर $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ लिखने पर $1 + (n^2 - 1)\cos^2\theta = m^2$ आता है। इसलिए $\cos^2\theta = \frac{m^2 - 1}{n^2 - 1}$।

प्रश्न 22

एक त्रिभुज के कोणों का अनुपात 2 : 5 : 8 है। रेडियन में उसका सबसे बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: भागों का योग 15 है, तो सबसे बड़ा कोण $\frac{8}{15} \times 180^\circ = 96^\circ$ है। $180^\circ$ का मतलब $\pi$ रेडियन है, इसलिए यह कोण सीधे $\pi$ का $\frac{8}{15}$ भाग है, यानी $\frac{8\pi}{15}$।

प्रश्न 23

यदि $\sin\theta - \cos\theta = \frac{7}{13}$ है और $\theta$ एक न्यून कोण है, तो $\sin\theta + \cos\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं। $1 - 2\sin\theta\cos\theta = \frac{49}{169}$ आता है, तो $2\sin\theta\cos\theta = \frac{120}{169}$। फिर $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + \frac{120}{169} = \frac{289}{169}$। कोण न्यून है, इसलिए योग धनात्मक ही होगा। तो $\sin\theta + \cos\theta$ = $\frac{17}{13}$।

प्रश्न 24

$15\sin\theta - 8\cos\theta$ और $15\sin^2\theta + 8\cos^2\theta$, दोनों के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले व्यंजक के लिए $\sqrt{225 + 64} = 17$ निकालते हैं, तो उसका मान $-17$ से 17 तक रहता है। दूसरे व्यंजक में वर्ग हैं, इसलिए उसे $8 + 7\sin^2\theta$ के रूप में लिखते हैं। $\sin^2\theta$ का मान 0 से 1 तक जाता है, तो इस व्यंजक का मान 8 से 15 तक रहता है। दोनों व्यंजक दिखने में एक जैसे हैं, पर इन्हें हल करने के तरीके अलग हैं। पहला ऋणात्मक भी हो सकता है, दूसरा कभी नहीं।

प्रश्न 25

त्रिभुज ABC में $\cos\frac{B + C}{2} = \frac{3}{5}$ है। $\tan\frac{A}{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: त्रिभुज के कोणों का योग $180^\circ$ होता है, तो $\frac{B + C}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}$। इसलिए $\cos\frac{B + C}{2} = \sin\frac{A}{2} = \frac{3}{5}$। त्रिभुज के किसी भी कोण का आधा न्यून कोण ही होता है, तो $\cos\frac{A}{2} = \frac{4}{5}$। अब $\tan\frac{A}{2}$ = $\frac{3}{4}$।

प्रश्न 26

$\frac{1 - \cos 2\theta + \sin 2\theta}{1 + \cos 2\theta + \sin 2\theta}$ को सरल कीजिए।

उत्तर: यहाँ $1 - \cos 2\theta = 2\sin^2\theta$, $1 + \cos 2\theta = 2\cos^2\theta$ और $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ लगाते हैं। इससे अंश $2\sin\theta(\sin\theta + \cos\theta)$ हो जाता है और हर $2\cos\theta(\cos\theta + \sin\theta)$। दोनों के कोष्ठक कट जाते हैं, और उत्तर $\tan\theta$ बचता है।

प्रश्न 27

$\sin 1200^\circ\cos(-1050^\circ)$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले कोण में से पूरे चक्कर घटा देते हैं। $1200^\circ - 3 \times 360^\circ = 120^\circ$ आता है, जो द्वितीय चतुर्थांश में है। वहाँ sin धनात्मक होता है, तो $\sin 1200^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$। cos वाले पद में कोण का ऋण चिह्न हट जाता है। फिर $1050^\circ - 2 \times 360^\circ = 330^\circ$ आता है, जो चतुर्थ चतुर्थांश में है, और वहाँ cos धनात्मक होता है। तो $\cos 330^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$। दोनों का गुणनफल = $\frac{3}{4}$।

प्रश्न 28

यदि $\sqrt{2}\cos 3\theta - 1 = 0$ है और $3\theta$ एक न्यून कोण है, तो $\theta$ और $\sin 2\theta + \tan 3\theta$ के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दी गई शर्त से $\cos 3\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ मिलता है, तो $3\theta = 45^\circ$, यानी $\theta = 15^\circ$। अब पूछे गए व्यंजक में यह मान रखें, तो $\sin 30^\circ + \tan 45^\circ = \frac{1}{2} + 1$ = $\frac{3}{2}$ आता है।

प्रश्न 29

यदि $x = 5\sec\theta + 2\tan\theta$ और $y = 5\tan\theta + 2\sec\theta$ है, तो $x^2 - y^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों का वर्ग करते हैं। $x^2 = 25\sec^2\theta + 20\sec\theta\tan\theta + 4\tan^2\theta$ और $y^2 = 25\tan^2\theta + 20\sec\theta\tan\theta + 4\sec^2\theta$। घटाने पर बीच वाले पद कट जाते हैं, और $x^2 - y^2 = 21\sec^2\theta - 21\tan^2\theta = 21(\sec^2\theta - \tan^2\theta)$ = 21 आता है।

प्रश्न 30 [Tier 2]

$\frac{3\sin 40^\circ - 4\sin^3 40^\circ}{4\cos^3 40^\circ - 3\cos 40^\circ}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ध्यान से देखें, तो अंश $\sin 3\theta$ है और हर $\cos 3\theta$, जहाँ $\theta = 40^\circ$ है। यानी पूरी भिन्न $\tan 120^\circ$ है। यह कोण द्वितीय चतुर्थांश में है, जहाँ tan ऋणात्मक होता है। इसलिए $\tan 120^\circ = -\tan 60^\circ$ = $-\sqrt{3}$।

प्रश्न 31

$(2\sin\theta + 3\cos\theta)^2 + (3\sin\theta - 2\cos\theta)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों वर्ग खोलते हैं। बीच वाले पद $+12\sin\theta\cos\theta$ और $-12\sin\theta\cos\theta$ आते हैं, जो आपस में कट जाते हैं। बाकी पदों को मिलाएँ, तो $4\sin^2\theta + 9\cos^2\theta + 9\sin^2\theta + 4\cos^2\theta = 13(\sin^2\theta + \cos^2\theta)$ = 13 आता है। हर $\theta$ के लिए यही मान रहता है।

प्रश्न 32

$\sin 105^\circ + \cos 105^\circ$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$ लिख लेते हैं। तब $\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$। और $\cos 105^\circ = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$, जो ऋणात्मक है। यह कोण द्वितीय चतुर्थांश में है, तो ऐसा ही होना चाहिए। दोनों को जोड़ने पर $\sqrt{3}$ वाले पद कट जाते हैं, और $\frac{2}{2\sqrt{2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ बचता है।

प्रश्न 33

यदि $\sec\theta - \tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है, तो न्यून कोण $\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ भी जोड़ीदार व्यंजक दिए गए का व्युत्क्रम है, तो $\sec\theta + \tan\theta = \sqrt{3}$। दोनों को जोड़कर आधा करें, तो $\sec\theta = \frac{1}{2}\left(\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$। इसलिए $\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, और $\theta$ = $30^\circ$। जाँच कर लेते हैं। $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है, और $\frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ही आता है।

प्रश्न 34 [Tier 2]

$\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ का प्रयोग करके $\sin^2 54^\circ - \sin^2 18^\circ$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: पहले देखते हैं कि $\sin 54^\circ = \cos 36^\circ$ है, क्योंकि दोनों कोणों का योग $90^\circ$ है। अब $\cos 36^\circ = 1 - 2\sin^2 18^\circ = 1 - 2 \times \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$। इसलिए $\sin^2 54^\circ - \sin^2 18^\circ = \frac{(\sqrt{5} + 1)^2 - (\sqrt{5} - 1)^2}{16} = \frac{4\sqrt{5}}{16}$ = $\frac{\sqrt{5}}{4}$।

प्रश्न 35 [Tier 2]

यदि $\frac{\cos^4\alpha}{\cos^2\beta} + \frac{\sin^4\alpha}{\sin^2\beta} = 1$ है, तो $\frac{\cos^4\beta}{\cos^2\alpha} + \frac{\sin^4\beta}{\sin^2\alpha}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $a = \cos^2\alpha$ और $b = \cos^2\beta$ मान लेते हैं। तब दी गई शर्त $\frac{a^2}{b} + \frac{(1 - a)^2}{1 - b} = 1$ हो जाती है। इसे $b(1 - b)$ से गुणा करें, तो $a^2(1 - b) + (1 - a)^2b = b(1 - b)$ आता है। खोलकर पद काटने पर $a^2 - 2ab + b^2 = 0$ बचता है, यानी $(a - b)^2 = 0$ और $a = b$। इसलिए $\cos^2\alpha = \cos^2\beta$ और $\sin^2\alpha = \sin^2\beta$। अब दूसरा व्यंजक $\cos^2\beta + \sin^2\beta$ रह जाता है, जिसका मान 1 है।