मानक कोण और कोटिपूरक कोण

45° के मान: आधा वर्ग

एक वर्ग लीजिए, जिसकी भुजा 1 है। इसे एक विकर्ण से काट दीजिए। हर आधा हिस्सा एक समकोण त्रिभुज है, जिसकी दो भुजाएँ बराबर हैं और दोनों की लंबाई 1 है। भुजाएँ बराबर हैं, तो दोनों न्यून कोण भी बराबर होंगे, यानी दोनों 45° के हैं।

विकर्ण की लंबाई $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ आती है।

अब इनमें से कोई भी 45° वाला कोण लीजिए। उसके लिए लंब 1 है, आधार भी 1 है और कर्ण $\sqrt{2}$ है। तो

$$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \qquad \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \qquad \tan 45^\circ = 1$$

और

$$\operatorname{cosec} 45^\circ = \sqrt{2} \qquad \sec 45^\circ = \sqrt{2} \qquad \cot 45^\circ = 1$$

परिमेयकरण (rationalise) करने पर $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ हो जाता है, जो लगभग 0.707 है। विकल्पों में इन दोनों में से कोई भी रूप छपा हो सकता है, पर संख्या एक ही है।

एक बात याद रखिए। sin और cos केवल 45° पर बराबर होते हैं, किसी और न्यून कोण पर नहीं। वजह यह है कि लंब और आधार भी केवल वहीं बराबर होते हैं। इसी कारण $\tan\theta = 1$ भी केवल 45° पर होता है।

भुजाओं का अनुपात: किसी भी 45-45-90 त्रिभुज की भुजाएँ $1 : 1 : \sqrt{2}$ के अनुपात में होती हैं। जैसे समकोण बनाने वाली एक भुजा 7 सेमी हो, तो कर्ण $7\sqrt{2}$ सेमी होगा। कर्ण 10 सेमी हो, तो समकोण बनाने वाली भुजाएँ $\frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$ सेमी होंगी। तब उस त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 5\sqrt{2} \times 5\sqrt{2} = 25$ वर्ग सेमी आता है।

मानों के वर्ग: प्रश्नों में इन मानों के वर्ग अक्सर आते हैं। $\sin^2 45^\circ = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$ और $\sec^2 45^\circ = (\sqrt{2})^2 = 2$।

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ का वर्ग करते समय मूल का भी वर्ग करना होता है, इसलिए उत्तर $\frac{1}{2}$ आता है। कुछ छात्र मूल का चिह्न भूलकर नीचे के 2 का ही वर्ग कर देते हैं और $\frac{1}{4}$ लिख देते हैं। इस चूक से बचिए।

जाँच के लिए देखिए, $\sin^2 45^\circ + \cos^2 45^\circ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ आता है।

30° और 60° के मान: आधा समबाहु त्रिभुज

अब एक समबाहु त्रिभुज ABC लीजिए, जिसकी हर भुजा 2 है। इसके सभी कोण 60° के होते हैं।

A से शीर्षलंब AD डालिए। यह BC के मध्य-बिंदु पर गिरता है और ऊपर वाले कोण को आधा कर देता है। अब त्रिभुज ABD को देखिए। इसमें A पर 30°, B पर 60° और D पर 90° का कोण है। इसकी भुजाएँ AB = 2, BD = 1 और $AD = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ हैं।

30° पर: कोण A के लिए लंब BD = 1 है, आधार $AD = \sqrt{3}$ है और कर्ण 2 है। तो

$$\sin 30^\circ = \frac{1}{2} \qquad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

60° पर: कोण B के लिए लंब $AD = \sqrt{3}$ है और आधार BD = 1। तो

$$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \qquad \tan 60^\circ = \sqrt{3}$$

व्युत्क्रम अनुपात इन्हीं से मिल जाते हैं। $\operatorname{cosec} 30^\circ = 2$, $\sec 30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}}$ और $\cot 30^\circ = \sqrt{3}$। इसी तरह $\operatorname{cosec} 60^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}}$, $\sec 60^\circ = 2$ और $\cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

इन जोड़ियों पर ध्यान दीजिए। $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ$ है, और $\tan 30^\circ = \cot 60^\circ$ है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि 30° और 60° का योग 90° है। ऐसे कोणों को कोटिपूरक कोण (complementary angles) कहते हैं। इन पर पूरी बात आगे इसी खंड में करेंगे।

भुजाओं का अनुपात: किसी भी 30-60-90 त्रिभुज की भुजाएँ $1 : \sqrt{3} : 2$ के अनुपात में होती हैं। ये क्रम से 30°, 60° और 90° के सामने वाली भुजाएँ हैं। मतलब 30° के सामने वाली भुजा हमेशा कर्ण की आधी होती है।

जैसे कर्ण 14 सेमी हो, तो बाकी दो भुजाएँ 7 सेमी और $7\sqrt{3}$ सेमी होंगी। अगर 60° के सामने वाली भुजा 9 सेमी दी हो, तो सबसे छोटी भुजा $\frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ सेमी होगी और कर्ण $6\sqrt{3}$ सेमी।

जल्दबाज़ी में छात्र अक्सर $\frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\sqrt{3}$ को आपस में बदल देते हैं। इससे बचने के लिए मन में त्रिभुज बनाकर देखिए। 60° वाली ढलान ज़्यादा खड़ी होती है, तो उसका tan भी बड़ा होगा। इसीलिए वहाँ $\sqrt{3} \approx 1.73$ आता है, जबकि $\tan 30^\circ \approx 0.58$ ही है।

मानक मानों की तालिका, और उसे याद रखने का ढंग

0° और 90° के मान देखने के लिए 1 त्रिज्या वाला वृत्त लीजिए। इस वृत्त पर कोण $\theta$ वाला बिंदु $(\cos\theta, \sin\theta)$ पर होता है। यानी बिंदु की क्षैतिज दूरी cos है और ऊँचाई sin। यह हम "कोण, रेडियन और त्रिकोणमितीय अनुपात" वाले खंड में देख चुके हैं।

0° पर बिंदु (1, 0) पर होता है, तो $\cos 0^\circ = 1$ और $\sin 0^\circ = 0$। 90° पर बिंदु (0, 1) पर पहुँच जाता है, तो $\cos 90^\circ = 0$ और $\sin 90^\circ = 1$।

अब पाँचों मानक कोणों (standard angles) के सारे मान एक साथ देखिए।

sin की पंक्ति ऐसे याद रखिए: पहले 0, 1, 2, 3, 4 लिखिए। हर एक का वर्गमूल लीजिए और फिर 2 से भाग दीजिए।

$$\frac{\sqrt{0}}{2}, \ \frac{\sqrt{1}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \frac{\sqrt{4}}{2} \quad\text{अर्थात्}\quad 0, \ \frac{1}{2}, \ \frac{1}{\sqrt{2}}, \ \frac{\sqrt{3}}{2}, \ 1$$

cos की पंक्ति में यही पाँच संख्याएँ उलटे क्रम में आती हैं। tan की पंक्ति sin ÷ cos से मिलती है, यानी 0, $\frac{1}{\sqrt{3}}$, 1, $\sqrt{3}$, और फिर 90° पर $\frac{1}{0}$। आख़िरी तीन पंक्तियाँ पहली तीन से ही बन जाती हैं। cosec, sec और cot क्रम से sin, cos और tan के व्युत्क्रम हैं, तो हर मान को बस उलट दीजिए।

शून्य से भाग: शून्य से भाग देने का कोई उत्तर नहीं होता। ऐसे मान को अपरिभाषित (not defined) कहते हैं। इसीलिए $\tan 90^\circ = \frac{1}{0}$ अपरिभाषित है, और $\sec 90^\circ = \frac{1}{\cos 90^\circ}$ भी। $\cot 0^\circ$ और $\operatorname{cosec} 0^\circ$ भी इसी कारण अपरिभाषित हैं।

कुछ पुस्तकें इन्हें अनंत लिखती हैं। विकल्प में ‘अपरिभाषित’, ‘परिभाषित नहीं’ या ‘अनंत’, कुछ भी लिखा हो, तीनों का अर्थ एक ही है।

पर मान शून्य होने में कोई दिक्कत नहीं है। $\tan 0^\circ = 0$ और $\cot 90^\circ = 0$ बिल्कुल सही मान हैं।

[SSC टिप] किसी विकल्प में ‘अपरिभाषित’ लिखा हो, तो व्यंजक में ऐसा पद ढूँढिए, जिसमें $\cos 90^\circ$ या $\sin 0^\circ$ से भाग हो रहा हो। ऐसा एक भी पद मिल गया, तो पूरा व्यंजक अपरिभाषित है, बाकी पद चाहे कितनी भी आसानी से जुड़ जाएँ।

मानक कोणों वाले व्यंजकों का मान

ऐसे प्रश्नों में तरीका सीधा है। हर अनुपात की जगह तालिका से उसका मान रख दीजिए, फिर सरल कीजिए। बस दो आदतें डाल लीजिए। पहली, वर्ग करना हो तो मूल समेत पूरे मान का वर्ग कीजिए। दूसरी, आख़िर में हर से मूल हटा दीजिए।

जैसे यह व्यंजक देखिए।

$$4\sin^2 60^\circ + 3\tan^2 30^\circ - 8\sin 45^\circ \cos 45^\circ = 4 \times \frac{3}{4} + 3 \times \frac{1}{3} - 8 \times \frac{1}{2} = 3 + 1 - 4 = 0$$

योग और अंतर का गुणा: कभी व्यंजक में एक कोष्ठक योग वाला होता है और दूसरा उन्हीं पदों के अंतर वाला। तब $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ वाला ढाँचा पहचान लीजिए। मूल अपने-आप गायब हो जाता है।

$$(\operatorname{cosec} 30^\circ + \cot 45^\circ + \sin 45^\circ)(\operatorname{cosec} 30^\circ + \cot 45^\circ - \sin 45^\circ) = \left(3 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(3 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 9 - \frac{1}{2} = \frac{17}{2}$$

मूल वाली भिन्न: अंश और हर को अलग-अलग सरल कीजिए, फिर भाग दीजिए।

$$\frac{\tan 60^\circ + \cot 60^\circ}{\sec 30^\circ} = \frac{\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{4}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}} = 2$$

वर्ग: कुछ वर्ग बार-बार आते हैं, जैसे $\cos^2 30^\circ = \frac{3}{4}$, $\operatorname{cosec}^2 45^\circ = 2$, $\sec^2 30^\circ = \frac{4}{3}$ और $\tan^2 60^\circ = 3$। इनमें कई छात्र $\cos^2 30^\circ$ को $\frac{\sqrt{3}}{4}$ लिख देते हैं। उन्होंने 2 का वर्ग तो कर दिया, पर मूल का वर्ग करना भूल गए।

परिमेयकरण: अंश और हर, दोनों को उसी मूल से गुणा कीजिए। जैसे $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ और $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$। विकल्प में मूल ऊपर भी लिखा हो सकता है और नीचे भी।

0° और 90° के साथ: जिस पद में $\cos 90^\circ$, $\sin 0^\circ$ या $\tan 0^\circ$ का गुणा हो, वह पूरा पद 0 हो जाता है। पर जिस पद का मान 1 हो, उसे भूल से छोड़ना नहीं है। $\sin 90^\circ + \cos 0^\circ + \tan 45^\circ$ में हर पद 1 है, तो मान 3 है।

कोण एक ही है या नहीं: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ तभी लगता है, जब दोनों पदों में एक ही कोण हो। $\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = 1$ है, पर $\sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ है।

योग का अनुपात, अनुपातों का योग नहीं

मानक मानों से एक बात तुरंत दिख जाती है। कोण जुड़ने पर उनके अनुपात नहीं जुड़ते, और कोण को दोगुना या तिगुना करने पर अनुपात दोगुना या तिगुना नहीं होता। ये उदाहरण देखिए।

• $\sin(30^\circ + 60^\circ) = \sin 90^\circ = 1$, पर $\sin 30^\circ + \sin 60^\circ = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$, जो लगभग 1.37 है।
• $\cos(60^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, पर $\cos 60^\circ - \cos 30^\circ = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$, जो ऋणात्मक है।
• $\sin(2 \times 30^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, पर $2\sin 30^\circ = 1$।
• $\tan(2 \times 30^\circ) = \sqrt{3}$, पर $2\tan 30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}}$।

तो याद रखिए, $\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B$ और $\sin 2A \neq 2\sin A$। कोष्ठक को इस तरह खोलेंगे, तो उत्तर गलत आएगा। $\sin(A + B)$, $\cos 2A$ आदि के सही सूत्र "संबद्ध, संयुक्त और द्विगुण कोण" वाले खंड में मिलेंगे।

मानक कोण पर सूत्र की परख: कोई सूत्र सही है या नहीं, यह देखने के लिए उसमें $\theta = 30^\circ$ रखिए। फिर देखिए कि दोनों पक्ष मेल खाते हैं या नहीं।

• $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ में बायाँ पक्ष $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ है और दायाँ पक्ष $1 - 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$। दोनों मेल खाते हैं।
• $\frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ में $\theta = 30^\circ$ रखें, तो $\frac{2/\sqrt{3}}{2/3} = \sqrt{3}$ आता है, जो $\tan 60^\circ$ है। मतलब यह व्यंजक द्विगुण कोण का tan देता है।
• $\sin 2\theta = 2\sin\theta$ तुरंत गलत साबित हो जाता है। बाईं ओर $\frac{\sqrt{3}}{2}$ आता है और दाईं ओर 1।

एक बात समझ लीजिए। किसी एक कोण पर मेल खा जाने से सूत्र सिद्ध नहीं हो जाता। पर एक भी कोण पर मेल न खाए, तो सूत्र को गलत मानने के लिए इतना ही काफ़ी है। "सर्वसमिकाएँ और सरलीकरण" वाले खंड में सरलीकरण के प्रश्नों के विकल्प हम इसी परख से जाँचेंगे। वहीं यह भी देखेंगे कि दो विकल्प कब एक ही कोण पर मेल खा सकते हैं।

मान से कोण निकालना

0° से 90° तक जाते हुए sin लगातार बढ़ता है। इसलिए इस दायरे में sin का हर मान ठीक एक ही कोण का होता है। cos और tan के साथ भी यही बात है।

मतलब तालिका को उलटा भी पढ़ सकते हैं। $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ हो, तो $\theta = 60^\circ$। $\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ हो, तो $\theta = 30^\circ$।

अनुपात के अंदर कोण का गुणज हो तब: पहले अनुपात के अंदर वाला पूरा कोण निकालिए, फिर $\theta$।

• $2\cos 2\theta = 1$ में $\cos 2\theta = \frac{1}{2}$ हुआ, तो $2\theta = 60^\circ$ और $\theta = 30^\circ$।
• $\tan(\theta - 10^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ में $\theta - 10^\circ = 30^\circ$ है, तो $\theta = 40^\circ$।
• $\sqrt{3}\sin(2\theta + 10^\circ) = \frac{3}{2}$ में $\sin(2\theta + 10^\circ) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ आता है। तो $2\theta + 10^\circ = 60^\circ$ और $\theta = 25^\circ$।

यहाँ बहुत-से छात्र $2\theta = 60^\circ$ पर ही रुक जाते हैं और उत्तर 60° लिख देते हैं। यह गलत है।

वर्ग हो तब: $4\cos^2\theta = 3$ से $\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ मिलता है। यहाँ धनात्मक मूल ही लेते हैं, क्योंकि कोण न्यून है। तो $\theta = 30^\circ$।

एक ही समीकरण में sin और cos: दोनों पक्षों को $\cos\theta$ से भाग दीजिए, tan आ जाएगा।

• $\sin\theta = \cos\theta$ से $\tan\theta = 1$, यानी $\theta = 45^\circ$।
• $\sqrt{3}\sin\theta = \cos\theta$ से $\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$, यानी $\theta = 30^\circ$।

sin या cos में द्विघात: $2\sin^2\theta - 3\sin\theta + 1 = 0$ के गुणनखंड कीजिए, $(2\sin\theta - 1)(\sin\theta - 1) = 0$। इससे $\sin\theta = \frac{1}{2}$ या 1 मिलता है, यानी $\theta = 30^\circ$ या 90°। प्रश्न में $\theta$ न्यून दिया हो, तो केवल 30° बचता है।

ध्यान रखिए, $\sin\theta = 2$ जैसा कोई मूल निकले, तो उसे छोड़ दीजिए। sin कभी 1 से अधिक नहीं होता।

कोण मिलने के बाद: $\theta$ ज्ञात होते ही बाकी काम तालिका से हो जाता है। जैसे $2\cos 2\theta = 1$ हो, तो $\theta = 30^\circ$ आता है, और

$$\sin 3\theta + \cos 3\theta = \sin 90^\circ + \cos 90^\circ = 1 + 0 = 1$$

A + B और A − B वाले दो समीकरण

कुछ प्रश्नों में दो समीकरण दिए होते हैं, एक A + B में और दूसरा A − B में। ऐसे में तालिका से A + B और A − B के मान निकाल लीजिए। फिर इन्हें जोड़िए और घटाइए।

जैसे $\tan(A + B) = 1$ और $\sin(A - B) = \frac{1}{2}$ दिया है, और दोनों कोष्ठकों के कोण न्यून हैं। तब

$$A + B = 45^\circ, \quad A - B = 30^\circ \quad\Rightarrow\quad 2A = 75^\circ, \quad 2B = 15^\circ$$

तो A = 37.5° = 37°30′ और B = 7.5° = 7°30′। ऐसे प्रश्नों में उत्तर का डिग्री और मिनट में आना आम बात है। बस ध्यान रखिए, आधी डिग्री 30 मिनट होती है, 50 नहीं।

एक और उदाहरण लीजिए। $\cos(A + B) = 0$ और $\tan(A - B) = \sqrt{3}$ हो, तो A + B = 90° और A − B = 60° हुआ। इससे A = 75° और B = 15° आता है। 75° और 15° के अनुपात कैसे निकालते हैं, यह "संबद्ध, संयुक्त और द्विगुण कोण" वाले खंड में आएगा।

A का गुणज हो तब: मान लीजिए $\sin(2A - B) = 1$ और $\tan(A + B) = \sqrt{3}$ दिया है। इनसे

$$2A - B = 90^\circ, \quad A + B = 60^\circ$$

दोनों को जोड़ने पर B हट जाता है, और 3A = 150° बचता है। तो A = 50° और B = 10°।

उत्तर देने से पहले जाँच: ये तीन बातें देख लीजिए।

• A और B दोनों धनात्मक हों, तो A + B हमेशा A − B से बड़ा होगा। तालिका पढ़ने पर A − B बड़ा निकले, तो B ऋणात्मक आएगा। ऐसे में फिर से देखिए कि कौन-सा समीकरण किस कोष्ठक का है।
• हर कोष्ठक का कोण प्रश्न में बताए दायरे में होना चाहिए। इन प्रश्नों में यह दायरा 0° से 90° का होता है, इसीलिए हर मान से एक ही कोण मिलता है।
• आख़िर में A और B को दोनों समीकरणों में वापस रखकर देखिए। इसमें कुछ ही सेकंड लगते हैं, और $\frac{\sqrt{3}}{2}$ को $\cos 30^\circ$ की जगह $\cos 60^\circ$ पढ़ने जैसी चूक पकड़ में आ जाती है।

कोटिपूरक कोण

दो कोणों का योग 90° हो, तो उन्हें कोटिपूरक कहते हैं। समकोण त्रिभुज के दोनों न्यून कोण आपस में कोटिपूरक होते हैं। एक कोण $\theta$ हो, तो दूसरा $90^\circ - \theta$ होगा।

चित्र में भुजा a कोण $\theta$ के सामने है, पर C पर बने कोण $90^\circ - \theta$ से सटी हुई है। इसलिए एक ही भिन्न $\frac{a}{h}$ से दो अनुपात मिलते हैं। यह $\theta$ का sin भी है, और $90^\circ - \theta$ का cos भी।

हर अनुपात के साथ यही होता है।

$$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta \qquad \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$$

$$\tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta \qquad \cot(90^\circ - \theta) = \tan\theta$$

$$\sec(90^\circ - \theta) = \operatorname{cosec}\theta \qquad \operatorname{cosec}(90^\circ - \theta) = \sec\theta$$

यह बात नाम में ही छिपी है। cos, cot और cosec का ‘co’ कोटिपूरक (complement) से आया है। यानी किसी कोण का cos, उसके कोटिपूरक कोण का sin होता है। कोण की जगह उसका कोटिपूरक रखें, तो हर अनुपात अपने ‘co’ वाले साथी में बदल जाता है, और साथी वापस उसी अनुपात में।

तालिका में भी यही दिखता है। $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ और $\tan 60^\circ = \cot 30^\circ = \sqrt{3}$।

जोड़ी बनाकर काटना: ऐसे दो कोण ढूँढिए जिनका योग 90° हो। फिर उनमें से एक के अनुपात को उसके ‘co’ वाले साथी में बदलकर लिखिए। पद आपस में कट जाएँगे।

• $\frac{\sin 67^\circ}{\cos 23^\circ} = \frac{\cos 23^\circ}{\cos 23^\circ} = 1$
• $\cos 48^\circ - \sin 42^\circ = \cos 48^\circ - \cos 48^\circ = 0$
• $\sec 70^\circ \sin 20^\circ = \sec 70^\circ \cos 70^\circ = 1$
• $\tan 26^\circ \tan 64^\circ = \tan 26^\circ \cot 26^\circ = 1$

वर्गों के साथ: $\sin^2 32^\circ + \sin^2 58^\circ = \sin^2 32^\circ + \cos^2 32^\circ = 1$ और $\sec^2 40^\circ - \cot^2 50^\circ = \sec^2 40^\circ - \tan^2 40^\circ = 1$। ये दोनों सर्वसमिकाएँ "सर्वसमिकाएँ और सरलीकरण" वाले खंड में हैं।

[SSC टिप] इस नियम के लिए ऐसे दो कोण चाहिए जिनका योग 90° हो। एक ही कोण वाले sin और cos आपस में नहीं कटते। $\sin 50^\circ$ और $\cos 50^\circ$ अलग-अलग संख्याएँ हैं, जबकि $\sin 50^\circ$ और $\cos 40^\circ$ बराबर हैं। इसलिए कुछ भी काटने से पहले दोनों कोणों का योग जाँच लीजिए।

कोटिपूरक जोड़ी से कोण निकालना

मान लीजिए A और B न्यून कोण हैं और $\sin A = \cos B$ है। cos को sin में बदलें, तो $\sin A = \sin(90^\circ - B)$ हुआ। 0° और 90° के बीच sin का हर मान केवल एक कोण का होता है, इसलिए

$$A = 90^\circ - B, \quad\text{अर्थात्}\quad A + B = 90^\circ$$

यही बात तब भी लागू होती है, जब $\tan A = \cot B$ हो या $\sec A = \operatorname{cosec} B$ हो।

अज्ञात कोण निकालना: दोनों कोणों को जोड़िए और योग को 90° के बराबर रखिए।

• $\sin 4\theta = \cos(\theta + 15^\circ)$ में $4\theta + \theta + 15^\circ = 90^\circ$ लिखते हैं। तो $5\theta = 75^\circ$ और $\theta = 15^\circ$। जाँच के लिए देखिए, $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ$ है।
• $\sec 4\theta = \operatorname{cosec}(\theta - 20^\circ)$ में $5\theta - 20^\circ = 90^\circ$ आता है, तो $\theta = 22^\circ$। दोनों कोण 88° और 2° हैं, और दोनों न्यून हैं, जैसा होना चाहिए।

इन प्रश्नों में कई छात्र दोनों कोण बराबर रख देते हैं, जैसे $4\theta = \theta + 15^\circ$, और 5° लिख देते हैं। यह गलत है। कोण बराबर तब रखते हैं, जब दोनों ओर एक ही नाम का अनुपात हो, जैसे $\sin A = \sin B$। एक ओर sin और दूसरी ओर cos हो, तो कोणों का योग 90° रखते हैं।

A + B = 90° दिया हो तब:

• $\sin A = \cos B$ और $\tan A = \cot B$ होते हैं। इसलिए $\sin A \sec B = 1$ और $\tan A \tan B = 1$।
• $\sin^2 A + \sin^2 B = \sin^2 A + \cos^2 A = 1$।

अगर साथ में $\sin A = \frac{7}{25}$ भी दिया हो, तो $\cos B = \frac{7}{25}$ भी होगा। फिर 7, 24, 25 वाले त्रिभुज से $\tan B = \frac{24}{7}$ मिल जाता है।

एक कोण और एक संबंध: मान लीजिए A + B = 90° है और A = 3B + 10° है। तो 4B + 10° = 90°, यानी B = 20° और A = 70°।

कभी प्रश्न में 90° सीधे नहीं लिखा होता, अनुपातों से बताया जाता है। जैसे ‘$\sin A = \cos B$ और A = 3B + 10°’ दिया हो, तो यह भी वही प्रश्न है।

लंबे गुणनफल: हर कोण की जोड़ी उसके कोटिपूरक से

tan या cot का गुणनफल: $\tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta$ होता है, इसलिए

$$\tan\theta \tan(90^\circ - \theta) = \tan\theta \cot\theta = 1$$

अब $\tan 1^\circ \tan 2^\circ \tan 3^\circ \cdots \tan 89^\circ$ को देखिए। इसके गुणनखंडों की जोड़ियाँ बनाइए। $\tan 1^\circ$ के साथ $\tan 89^\circ$, $\tan 2^\circ$ के साथ $\tan 88^\circ$, और इसी तरह $\tan 44^\circ$ के साथ $\tan 46^\circ$ तक। हर जोड़ी का गुणनफल 1 है। बीच में $\tan 45^\circ = 1$ अकेला बचता है। तो पूरा गुणनफल 1 है। cot के गुणनफल में भी ठीक यही होता है।

छोटे गुणनफल में भी यही तरीका चलता है। बस उस गुणनखंड पर नज़र रखिए जिसका कोई जोड़ीदार नहीं है। $\tan 15^\circ \tan 30^\circ \tan 40^\circ \tan 50^\circ \tan 75^\circ$ में 15° की जोड़ी 75° से बनती है और 40° की 50° से। $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ बच जाता है, और गुणनफल का मान यही है।

शून्य वाला गुणनखंड: कोई एक गुणनखंड 0 हो, तो पूरा गुणनफल 0 हो जाता है, चाहे वह कितना भी लंबा हो।

• $\cos 1^\circ \cos 2^\circ \cos 3^\circ \cdots \cos 100^\circ$ में $\cos 90^\circ = 0$ भी आता है, तो मान 0 है। 90° से ऊपर वाले cos देखने की ज़रूरत ही नहीं।
• $(2\sin 1^\circ - 1)(2\sin 2^\circ - 1) \cdots (2\sin 89^\circ - 1)$ में $2\sin 30^\circ - 1 = 0$ वाला गुणनखंड है, तो यह भी 0 है।

इसलिए कुछ भी गुणा करने से पहले गुणनखंडों पर एक नज़र डालिए। देखिए कि कोई गुणनखंड किसी मानक कोण पर शून्य तो नहीं हो रहा।

कौन-सी जोड़ियाँ 1 देती हैं: किसी अनुपात को उसके ‘co’ वाले साथी के व्युत्क्रम से गुणा करें, तो 1 आता है। यानी tan के साथ tan, cot के साथ cot, sin के साथ sec और cos के साथ cosec। जैसे $\sin 20^\circ \sec 70^\circ = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 70^\circ} = 1$। पर $\sin 20^\circ \sin 70^\circ = \sin 20^\circ \cos 20^\circ$ होता है, और यह 1 नहीं है।

लघुगणक वाले प्रश्न: किसी गुणनफल का लघुगणक (logarithm) अलग-अलग गुणनखंडों के लघुगणकों के योग के बराबर होता है। इसलिए

$$\log\tan 1^\circ + \log\tan 2^\circ + \cdots + \log\tan 89^\circ = \log(\tan 1^\circ \tan 2^\circ \cdots \tan 89^\circ) = \log 1 = 0$$

यहाँ उत्तर 0 है, 1 नहीं। 1 तो गुणनफल है, जबकि प्रश्न उसका लघुगणक पूछ रहा है।

वर्गों के लंबे योग

जोड़ियाँ वर्गों के योग में भी काम आती हैं, क्योंकि

$$\sin^2\theta + \sin^2(90^\circ - \theta) = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$

इसी तरह $\cos^2\theta + \cos^2(90^\circ - \theta) = 1$ होता है।

उदाहरण के लिए $\sin^2 6^\circ + \sin^2 12^\circ + \sin^2 18^\circ + \cdots + \sin^2 84^\circ$ लीजिए।

1. पद गिनिए: कोण 6° से 84° तक हैं, 6° के अंतर पर। तो $\frac{84 - 6}{6} + 1 = 14$ पद हुए।
2. जोड़ियाँ बनाइए: 6° के साथ 84°, 12° के साथ 78°, और इसी तरह अंदर की ओर बढ़िए। 7 जोड़ियाँ बनती हैं, और हर जोड़ी का योग 1 है।
3. जोड़िए: योग 7 आता है।

सूची में 45° हो तब: उसका कोई जोड़ीदार नहीं होता, और $\sin^2 45^\circ = \cos^2 45^\circ = \frac{1}{2}$ होता है। जैसे $\cos^2 3^\circ + \cos^2 6^\circ + \cdots + \cos^2 87^\circ$ में 29 पद हैं। इनसे 14 जोड़ियाँ बनती हैं और बीच में $\cos^2 45^\circ$ बचता है। तो योग $14 + \frac{1}{2} = 14\frac{1}{2}$ है।

दोनों उदाहरणों में उत्तर पदों की संख्या का आधा आया। यह छोटा रास्ता तभी चलता है, जब पहले और आख़िरी कोण का योग 90° हो।

सूची 90° तक जाए तब: अब सिरे वाले कोण आपस में जोड़ी नहीं बनाते, इसलिए ध्यान से गिनिए। जैसे $\sin^2 15^\circ + \sin^2 30^\circ + \sin^2 45^\circ + \sin^2 60^\circ + \sin^2 75^\circ + \sin^2 90^\circ$ में (15°, 75°) और (30°, 60°) की जोड़ियाँ हैं, जिनसे 2 मिलता है। $\sin^2 45^\circ = \frac{1}{2}$ है और $\sin^2 90^\circ = 1$। तो योग $3\frac{1}{2}$ है, 6 का आधा नहीं।

अगर 0° और 90° दोनों सूची में हों, तो बाकी जोड़ियों की तरह इनकी भी जोड़ी बन जाती है, $\cos^2 0^\circ + \cos^2 90^\circ = 1 + 0 = 1$।

एक गलती से बचिए। वर्ग न हो, तो यह तरीका बिल्कुल नहीं चलता। $\sin 10^\circ + \sin 80^\circ$ का मान 1 नहीं है। जोड़ी का योग 1 वर्गों की वजह से ही आता है।

[SSC टिप] पद अंदाज़े से न गिनिए, (आख़िरी − पहला) ÷ अंतर + 1 से गिनिए। साथ ही देख लीजिए कि सूची में 45° या 90° है या नहीं, क्योंकि इनकी वजह से उत्तर में आधे या पूरे एक का फ़र्क पड़ जाता है।

त्रिभुज के कोण

किसी भी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। इसका आधा लें, तो $\frac{A + B + C}{2} = 90^\circ$, यानी

$$\frac{B + C}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}$$

मतलब अर्ध कोण $\frac{B + C}{2}$ और $\frac{A}{2}$ आपस में कोटिपूरक हैं। इसलिए कोटिपूरक कोणों वाला हर नियम यहाँ भी लगता है।

$$\sin\frac{B + C}{2} = \cos\frac{A}{2} \qquad \cos\frac{B + C}{2} = \sin\frac{A}{2} \qquad \tan\frac{A + B}{2} = \cot\frac{C}{2}$$

तो हर त्रिभुज में $\tan\frac{B + C}{2} \tan\frac{A}{2} = 1$ होता है।

जैसे $A = 60^\circ$ हो, तो $\frac{B + C}{2} = 60^\circ$ और $\sec\frac{B + C}{2} = 2$। नियम से भी यही आता है, $\operatorname{cosec}\frac{A}{2} = \operatorname{cosec} 30^\circ = 2$।

कौन-सा आधा किसके साथ: जोड़ी उस कोण के आधे से बनती है, जो योग में शामिल नहीं है। $\frac{A + B}{2}$ की जोड़ी $\frac{C}{2}$ से बनती है, और $\frac{A + C}{2}$ की $\frac{B}{2}$ से। $\frac{A + B}{2}$ की जोड़ी $\frac{A}{2}$ से बना देना आम गलती है।

समकोण त्रिभुज: अगर $C = 90^\circ$ हो, तो A + B = 90° है। यहाँ आधा करने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती। सीधे $\sin A = \cos B$, $\tan A \tan B = 1$ और $\sin^2 A + \sin^2 B = 1$ लिख सकते हैं।

अनुपात में दिए कोण: कोणों का अनुपात 1 : 1 : 2 हो, तो कोण 45°, 45° और 90° होंगे। उस त्रिभुज के लिए $\sin A \cos B + \sin C = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$।

आधा किए बिना: आधा न करें, तो कोण कोटिपूरक नहीं रहते। B + C = 180° − A है, तो B + C कोण A का संपूरक है, कोटिपूरक नहीं। तब $\sin(B + C) = \sin A$ होता है, पर $\cos(B + C) = -\cos A$, ऋण चिह्न के साथ। ये बातें 90° से बड़े कोणों के नियमों से आती हैं, जो "संबद्ध, संयुक्त और द्विगुण कोण" वाले खंड में हैं।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

$3\tan^2 30^\circ + \sec^2 45^\circ - 4\cos^2 60^\circ$ का मान क्या है? (a) 3 (b) 2 (c) 1 (d) 4

उत्तर: तालिका से मान रख लेते हैं। $\tan^2 30^\circ = \frac{1}{3}$, $\sec^2 45^\circ = (\sqrt{2})^2 = 2$ और $\cos^2 60^\circ = \frac{1}{4}$ है। तो मान $3 \times \frac{1}{3} + 2 - 4 \times \frac{1}{4} = 1 + 2 - 1 =$ (b) 2।

प्रश्न 2

$\frac{\sin 60^\circ + \cos 30^\circ}{\tan 45^\circ + \sec 60^\circ}$ का मान क्या है? (a) $\sqrt{3}$ (b) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (c) $\frac{2}{\sqrt{3}}$ (d) $\frac{1}{\sqrt{3}}$

उत्तर: अंश में $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ आता है। हर में 1 + 2 = 3 आता है, क्योंकि $\sec 60^\circ = 2$ है। तो मान $\frac{\sqrt{3}}{3}$ हुआ। ऊपर-नीचे से एक $\sqrt{3}$ काट दें, तो (d) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ बचता है।

प्रश्न 3

निम्नलिखित में से कौन-सा अपरिभाषित है? (a) $\sin 90^\circ$ (b) $\cot 90^\circ$ (c) $\sec 90^\circ$ (d) $\operatorname{cosec} 90^\circ$

उत्तर: $\sec 90^\circ = \frac{1}{\cos 90^\circ} = \frac{1}{0}$ है, और इसका कोई मान नहीं होता। बाकी तीनों के मान निकलते हैं, $\sin 90^\circ = 1$, $\cot 90^\circ = \frac{\cos 90^\circ}{\sin 90^\circ} = 0$ और $\operatorname{cosec} 90^\circ = 1$। तो उत्तर (c) $\sec 90^\circ$ है।

प्रश्न 4

यदि $\theta = 30^\circ$ है, तो $\frac{1 - \tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta}$ का मान क्या है? (a) $\frac{1}{2}$ (b) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (c) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ (d) 2

उत्तर: $\tan^2 30^\circ = \frac{1}{3}$ रखते हैं। अंश $\frac{2}{3}$ आता है और हर $\frac{4}{3}$। तो मान $\frac{2}{3} \div \frac{4}{3} =$ (a) $\frac{1}{2}$ है। ध्यान दीजिए, यह $\cos 60^\circ$ है, यानी $2\theta$ का cos। ऐसा क्यों होता है, यह "संबद्ध, संयुक्त और द्विगुण कोण" वाले खंड में देखेंगे।

प्रश्न 5

$\sin(45^\circ + 45^\circ) - (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ)$ का मान क्या है? (a) 0 (b) $1 - \sqrt{2}$ (c) $\sqrt{2} - 1$ (d) 1

उत्तर: पहला भाग $\sin 90^\circ = 1$ है। दूसरा भाग $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है। तो मान (b) $1 - \sqrt{2}$ है, जो एक ऋणात्मक संख्या है। जिनका उत्तर 0 आता है, वे $\sin(45^\circ + 45^\circ)$ को $\sin 45^\circ + \sin 45^\circ$ की तरह खोल देते हैं। कोष्ठक ऐसे नहीं खुलता।

प्रश्न 6

त्रिभुज ABC में B पर समकोण है, $\angle A = 30^\circ$ और AC = 16 सेमी है। AB + BC का मान क्या है? (a) $8\sqrt{3}$ सेमी (b) $16(\sqrt{3} + 1)$ सेमी (c) $8(\sqrt{3} - 1)$ सेमी (d) $8(\sqrt{3} + 1)$ सेमी

उत्तर: यहाँ AC कर्ण है। BC भुजा 30° के कोण के सामने है, तो $BC = AC \sin 30^\circ = 16 \times \frac{1}{2} = 8$ सेमी। AB भुजा 30° के कोण से लगी हुई है, तो $AB = AC \cos 30^\circ = 16 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ सेमी। दोनों को जोड़ें, तो $8\sqrt{3} + 8 =$ (d) $8(\sqrt{3} + 1)$ सेमी।

प्रश्न 7

यदि $\sqrt{3}\sec 2\theta = 2$ है और $2\theta$ न्यून कोण है, तो $\theta$ का मान क्या है? (a) $15^\circ$ (b) $30^\circ$ (c) $60^\circ$ (d) $7.5^\circ$

उत्तर: दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से भाग देते हैं, तो $\sec 2\theta = \frac{2}{\sqrt{3}}$, यानी $\cos 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$। इससे $2\theta = 30^\circ$ आता है, तो $\theta =$ (a) $15^\circ$। 30° पर रुक जाना गलत होगा, क्योंकि वह $2\theta$ का मान है, $\theta$ का नहीं।

प्रश्न 8

यदि $\cos(2\theta - 30^\circ) = \frac{1}{2}$ है और $2\theta - 30^\circ$ न्यून कोण है, तो $\tan\theta$ का मान क्या है? (a) $\sqrt{3}$ (b) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ (c) 1 (d) 0

उत्तर: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ होता है, तो $2\theta - 30^\circ = 60^\circ$। इससे $2\theta = 90^\circ$ और $\theta = 45^\circ$। अब $\tan\theta = \tan 45^\circ =$ (c) 1।

प्रश्न 9

यदि $2\cos^2\theta + \cos\theta - 1 = 0$ और $0^\circ < \theta < 90^\circ$ है, तो $\theta$ का मान क्या है? (a) $30^\circ$ (b) $60^\circ$ (c) $45^\circ$ (d) $180^\circ$

उत्तर: यह $\cos\theta$ में द्विघात है। गुणनखंड करने पर $(2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1) = 0$ आता है, यानी $\cos\theta = \frac{1}{2}$ या $\cos\theta = -1$। 0° और 90° के बीच cos धनात्मक रहता है, तो $\cos\theta = \frac{1}{2}$ लेते हैं। इससे $\theta =$ (b) $60^\circ$।

प्रश्न 10

यदि $\sin(A + B) = 1$ और $\cos(A - B) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है, जहाँ A > B है और दोनों कोष्ठक 0° और 90° के बीच हैं, तो A और B के मान क्या हैं? (a) A = 60°, B = 30° (b) A = 45°, B = 45° (c) A = 30°, B = 60° (d) A = 75°, B = 15°

उत्तर: $\sin(A + B) = 1$ से A + B = 90° मिलता है, और $\cos(A - B) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ से A − B = 30°। दोनों को जोड़ें, तो 2A = 120°, यानी A = 60°, और फिर B = 30°। उत्तर (a) A = 60°, B = 30° है। जो $\frac{\sqrt{3}}{2}$ को 60° का cos समझ लेते हैं, वे 75° और 15° लिख बैठते हैं।

प्रश्न 11

यदि $\cos(A + B) = \frac{1}{2}$ और $\tan(A - B) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है, जहाँ A > B है और A + B न्यून कोण है, तो B का मान क्या है? (a) $30^\circ$ (b) $45^\circ$ (c) $22.5^\circ$ (d) $15^\circ$

उत्तर: तालिका से A + B = 60° और A − B = 30° मिलते हैं। पहले में से दूसरा घटाएँ, तो 2B = 30°, यानी B = (d) $15^\circ$। साथ में A = 45° भी निकल आता है।

प्रश्न 12

किसी त्रिभुज के कोण A, B और C का अनुपात 1 : 2 : 3 है। $\sin A + \cos B + \sin C$ का मान क्या है? (a) 1 (b) $\frac{3}{2}$ (c) 2 (d) $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

उत्तर: कुल 1 + 2 + 3 = 6 भाग हैं, और तीनों कोणों का योग 180° है। तो एक भाग 30° का हुआ, और कोण 30°, 60° और 90° हैं। अब $\sin 30^\circ + \cos 60^\circ + \sin 90^\circ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 =$ (c) 2।

प्रश्न 13

$\frac{\sin 37^\circ}{\cos 53^\circ} + 3\tan 28^\circ \tan 62^\circ - \cos^2 25^\circ - \cos^2 65^\circ$ का मान क्या है? (a) 3 (b) 4 (c) 2 (d) 5

उत्तर: यहाँ हर जोड़ी के कोणों का योग 90° है। $\cos 53^\circ = \sin 37^\circ$ है, तो पहला पद 1 हुआ। $\tan 62^\circ = \cot 28^\circ$ है, तो $3\tan 28^\circ \tan 62^\circ = 3$। और $\cos 65^\circ = \sin 25^\circ$ है, तो आख़िरी दो पद मिलकर $-(\cos^2 25^\circ + \sin^2 25^\circ) = -1$ हो जाते हैं। कुल 1 + 3 − 1 = (a) 3।

प्रश्न 14

यदि $\sin(3\theta - 12^\circ) = \cos(\theta + 22^\circ)$ है, जहाँ दोनों कोण न्यून कोण हैं, तो $\theta$ का मान क्या है? (a) $17^\circ$ (b) $24^\circ$ (c) $20^\circ$ (d) $26^\circ$

उत्तर: sin और cos बराबर हैं, तो दोनों कोण कोटिपूरक होंगे। इसलिए $(3\theta - 12^\circ) + (\theta + 22^\circ) = 90^\circ$ लिखते हैं। इससे $4\theta + 10^\circ = 90^\circ$, तो $\theta =$ (c) $20^\circ$। जाँच भी कर लेते हैं। कोण 48° और 42° बनते हैं, जिनका योग 90° है। अगर दोनों कोण बराबर रख दें, तो 17° आएगा, पर वह तरीका ही गलत है।

प्रश्न 15

यदि $\tan 2A = \cot(A - 18^\circ)$ है, जहाँ 2A न्यून कोण है, तो A का मान क्या है? (a) $18^\circ$ (b) $36^\circ$ (c) $24^\circ$ (d) $54^\circ$

उत्तर: एक कोण का tan दूसरे कोण के cot के बराबर है, तो दोनों कोण कोटिपूरक हैं। $2A + (A - 18^\circ) = 90^\circ$ लिखते हैं, तो 3A = 108° और A = (b) $36^\circ$। जाँचने पर 2A = 72° और A − 18° = 18° आते हैं, जिनका योग 90° है।

प्रश्न 16

A और B कोटिपूरक कोण हैं और $\tan A = \frac{91}{60}$ है। $\sec B$ का मान क्या है? (a) $\frac{109}{60}$ (b) $\frac{60}{109}$ (c) $\frac{91}{109}$ (d) $\frac{109}{91}$

उत्तर: B = 90° − A है, तो $\sec B = \sec(90^\circ - A) = \operatorname{cosec} A$। अब $\tan A = \frac{91}{60}$ से त्रिभुज बनाते हैं। कर्ण $\sqrt{8281 + 3600} = \sqrt{11881} = 109$ आता है। तो $\operatorname{cosec} A = \frac{109}{91}$, यानी $\sec B =$ (d) $\frac{109}{91}$। जल्दी में कई लोग $\sec A$ निकाल लेते हैं और $\frac{109}{60}$ चुन लेते हैं।

प्रश्न 17

$\tan 9^\circ \tan 32^\circ \tan 58^\circ \tan 81^\circ \sin 60^\circ$ का मान क्या है? (a) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (b) 1 (c) $\sqrt{3}$ (d) $\frac{1}{2}$

उत्तर: 9° की जोड़ी 81° से बनती है और 32° की 58° से। $\tan 9^\circ \tan 81^\circ = \tan 9^\circ \cot 9^\circ = 1$, और इसी तरह $\tan 32^\circ \tan 58^\circ = 1$। केवल $\sin 60^\circ$ बचता है, तो मान (a) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।

प्रश्न 18

$(\sin 1^\circ - \cos 1^\circ)(\sin 2^\circ - \cos 2^\circ) \cdots (\sin 89^\circ - \cos 89^\circ)$ का मान क्या है? (a) 1 (b) $-1$ (c) 0 (d) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

उत्तर: इन कोष्ठकों में एक $\sin 45^\circ - \cos 45^\circ = 0$ भी है। जिस गुणनफल में एक भी गुणनखंड शून्य हो, वह पूरा 0 हो जाता है। तो मान (c) 0 है। बाकी 88 कोष्ठक देखने की ज़रूरत ही नहीं।

प्रश्न 19

$\sin^2 2^\circ + \sin^2 4^\circ + \sin^2 6^\circ + \cdots + \sin^2 88^\circ$ का मान क्या है? (a) $\frac{45}{2}$ (b) 22 (c) 44 (d) 21

उत्तर: कोण 2° से 88° तक, 2° के अंतर पर हैं, तो $\frac{88 - 2}{2} + 1 = 44$ पद हुए। पहले और आख़िरी कोण का योग 90° है। अंदर की ओर बढ़ती हर जोड़ी का भी यही योग है, जैसे 2° के साथ 88°, 4° के साथ 86°, और ऐसे ही 44° के साथ 46° तक। 45 विषम है, तो 45° सूची में है ही नहीं। इसलिए 22 जोड़ियाँ बनती हैं, हर एक का योग 1 है, और कुल योग (b) 22 है।

प्रश्न 20

$\sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \sin^2 30^\circ + \cdots + \sin^2 90^\circ$ का मान क्या है? (a) 4 (b) $\frac{9}{2}$ (c) 9 (d) 5

उत्तर: कुल 9 पद हैं। 10° के साथ 80°, 20° के साथ 70°, 30° के साथ 60° और 40° के साथ 50°, ये 4 जोड़ियाँ हैं, जिनसे योग 4 आता है। आख़िरी पद $\sin^2 90^\circ$ का कोई जोड़ीदार नहीं है, और उसका मान 1 है। तो योग (d) 5 है। पदों की संख्या का आधा लेकर $\frac{9}{2}$ लिखना गलत होगा, क्योंकि वह छोटा रास्ता तभी चलता है जब पहले और आख़िरी कोण का योग 90° हो।

प्रश्न 21

$\log\tan 1^\circ + \log\tan 2^\circ + \log\tan 3^\circ + \cdots + \log\tan 89^\circ$ का मान क्या है? (a) 0 (b) 1 (c) $-1$ (d) $\frac{89}{2}$

उत्तर: लघुगणकों को जोड़ना, संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक लेने जैसा ही है। तो योग $\log(\tan 1^\circ \tan 2^\circ \cdots \tan 89^\circ)$ हुआ। यह गुणनफल 1 है, क्योंकि गुणनखंड जोड़ियों में कट जाते हैं। हर जोड़ी $\tan\theta \cot\theta = 1$ बन जाती है, और बीच का गुणनखंड $\tan 45^\circ = 1$ है। अब $\log 1 =$ (a) 0।

प्रश्न 22

यदि A, B और C किसी त्रिभुज के कोण हैं, तो $\sin\frac{A + B}{2}$ किसके बराबर है? (a) $\sin\frac{C}{2}$ (b) $\cos\frac{C}{2}$ (c) $\cos C$ (d) $\sin C$

उत्तर: A + B + C = 180° है, तो $\frac{A + B}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2}$। इसलिए $\sin\frac{A + B}{2} = \sin\left(90^\circ - \frac{C}{2}\right) =$ (b) $\cos\frac{C}{2}$।

प्रश्न 23

त्रिभुज ABC में $\angle A = 60^\circ$ है। $\cos\frac{B + C}{2}$ का मान क्या है? (a) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (b) 0 (c) 1 (d) $\frac{1}{2}$

उत्तर: B + C = 180° − 60° = 120° है, तो $\frac{B + C}{2} = 60^\circ$। मान $\cos 60^\circ =$ (d) $\frac{1}{2}$ है। नियम से भी यही आता है, $\cos\frac{B + C}{2} = \sin\frac{A}{2} = \sin 30^\circ$।

प्रश्न 24

त्रिभुज ABC में C पर समकोण है और $\tan A = \sqrt{3}$ है। $\sin A \cos B + \cos A \sin B$ का मान क्या है? (a) $\frac{3}{4}$ (b) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (c) 1 (d) $\frac{1}{2}$

उत्तर: $\tan A = \sqrt{3}$ है, तो A = 60°। C = 90° है, तो B = 30°। अब मान $\sin 60^\circ \cos 30^\circ + \cos 60^\circ \sin 30^\circ = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} =$ (c) 1।