सर्वसमिकाएँ और सरलीकरण

एक समकोण त्रिभुज से तीनों सर्वसमिकाएँ

एक समकोण त्रिभुज OAP लीजिए, जिसका कर्ण OP = 1 इकाई है और O पर कोण $\theta$ है। कर्ण 1 है, तो $\sin\theta = \frac{AP}{OP} = AP$ और $\cos\theta = \frac{OA}{OP} = OA$। मतलब दोनों छोटी भुजाएँ ही $\sin\theta$ और $\cos\theta$ हैं।

अब इसी त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय लगाइए। इससे पहली और सबसे बुनियादी सर्वसमिका (identity) मिलती है।

$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$

यहाँ $\sin^2\theta$ का मतलब $(\sin\theta)^2$ है, यानी अनुपात का वर्ग। इसका मतलब $\sin(\theta^2)$ नहीं है।

बाकी दो सर्वसमिकाएँ इसी से निकलती हैं, बस भाग देना पड़ता है। प्रत्येक पद को $\cos^2\theta$ से भाग दीजिए।

$$\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta} \Rightarrow \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$$

अब प्रत्येक पद को $\sin^2\theta$ से भाग दीजिए।

$$1 + \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta} \Rightarrow 1 + \cot^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta$$

चित्र में भी यही बात दिखती है। पहले वाले त्रिभुज को छोटा या बड़ा करके उसका आधार 1 कर दीजिए। तब भुजाएँ 1, $\tan\theta$ और $\sec\theta$ हो जाती हैं। लंब 1 कर दें, तो भुजाएँ $\cot\theta$, 1 और $\operatorname{cosec}\theta$ होती हैं। प्रत्येक त्रिभुज पर पाइथागोरस लगाइए, तो एक-एक सर्वसमिका मिल जाती है।

एक बार $\theta = 30^\circ$ पर जाँच लेते हैं। $\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ आता है। और $1 + \tan^2 30^\circ = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$, जो $\sec^2 30^\circ$ ही है, क्योंकि $\sec 30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}}$ होता है।

ये तीनों संबंध किसी एक कोण तक सीमित नहीं हैं। अनुपात जिस भी कोण पर परिभाषित हों, वहाँ ये सत्य रहते हैं। इसी कारण इन्हें सर्वसमिकाएँ कहते हैं। समीकरण की बात अलग है। $\sin\theta = \frac{1}{2}$ जैसा समीकरण केवल कुछ खास कोणों पर ही सत्य होता है।

सर्वसमिकाओं के बदले हुए रूप और गुणनखंड रूप

प्रश्नों में सर्वसमिकाएँ शायद ही कभी उसी रूप में आती हैं, जिसमें हमने उन्हें सीखा था। इसलिए प्रत्येक सर्वसमिका के सारे रूप याद कर लीजिए।

सर्वसमिका	बदला हुआ रूप	गुणनखंड रूप
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$	$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$, $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$	$(1 - \sin\theta)(1 + \sin\theta) = \cos^2\theta$, $(1 - \cos\theta)(1 + \cos\theta) = \sin^2\theta$
$\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$	$\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$, $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$	$(\sec\theta - 1)(\sec\theta + 1) = \tan^2\theta$
$\operatorname{cosec}^2\theta - \cot^2\theta = 1$	$\operatorname{cosec}^2\theta = 1 + \cot^2\theta$, $\cot^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta - 1$	$(\operatorname{cosec}\theta - 1)(\operatorname{cosec}\theta + 1) = \cot^2\theta$

जहाँ भी 1 में से कोई वर्ग घटता दिखे, या ऐसे दो कोष्ठक दिखें जो केवल चिह्न में अलग हों, वहाँ इन्हीं में से कोई एक रूप लगेगा।

देखिए, इन रूपों से व्यंजक कितनी जल्दी सरल हो जाते हैं।

• $(1 - \cos^2\theta)\operatorname{cosec}^2\theta = \sin^2\theta \times \frac{1}{\sin^2\theta} = 1$
• $\cos^2\theta(1 + \tan^2\theta) = \cos^2\theta \times \sec^2\theta = 1$
• $(\sec^2\theta - 1)(1 - \sin^2\theta) = \tan^2\theta\cos^2\theta = \sin^2\theta$
• $\frac{1}{1 + \tan^2\theta} + \frac{1}{1 + \cot^2\theta} = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$

नीचे वाले ग्राफ़ में 0° से 90° तक के कोणों के लिए $\sin^2\theta$ और $\cos^2\theta$ दिखाए गए हैं। कोण कोई भी हो, दोनों वक्रों की ऊँचाइयों का योग 1 ही रहता है। दोनों केवल 45° पर बराबर होते हैं, और तब प्रत्येक का मान $\frac{1}{2}$ होता है। आगे जब विकल्पों को 45° रखकर जाँचेंगे, तब यही बात काम आएगी।

संख्याओं के साथ भी यही: $5\sin^2 37^\circ + 5\cos^2 37^\circ = 5$ होता है, और $7\sec^2 20^\circ - 7\tan^2 20^\circ = 7$। इसके लिए किसी अनुपात का मान अलग से जानने की ज़रूरत नहीं पड़ती। कोण कुछ भी हो सकता है, बस दोनों पदों में एक ही कोण होना चाहिए।

कोण एक ही होना चाहिए: $\sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ$ का मान 1 नहीं है। यह $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ है।

सर्वसमिका एक ही कोण के $\sin^2$ और $\cos^2$ को जोड़ती है। दो अलग कोणों के बारे में यह कुछ नहीं कहती। हाँ, अगर दोनों कोण कोटिपूरक हों, तो वहाँ एक अलग नियम लगता है, जो "मानक कोण और कोटिपूरक कोण" वाले खंड में दिया है।

योग का वर्ग, वर्गों के योग के बराबर नहीं होता: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ से यह नहीं निकलता कि $\sin\theta + \cos\theta = 1$ होगा। $\theta = 45^\circ$ पर ही $\sin\theta + \cos\theta$ = $\sqrt{2}$ आता है।

अटक जाएँ, तो सब कुछ $\sin\theta$ और $\cos\theta$ में

tan, cot, sec और cosec की जगह sin और cos लिख दीजिए। इसके बाद ज़्यादातर व्यंजक आसानी से सरल हो जाते हैं।

कच्चे काम में समय बचाने के लिए $\sin\theta$ की जगह s और $\cos\theta$ की जगह c लिख लीजिए। जहाँ भी $s^2 + c^2$ दिखे, उसे 1 कर दीजिए।

• $\tan\theta + \cot\theta = \frac{s}{c} + \frac{c}{s} = \frac{s^2 + c^2}{sc} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} = \sec\theta\operatorname{cosec}\theta$
• $\sec\theta - \cos\theta = \frac{1}{c} - c = \frac{1 - c^2}{c} = \frac{s^2}{c} = \sin\theta\tan\theta$
• $\operatorname{cosec}\theta - \sin\theta = \frac{1 - s^2}{s} = \frac{c^2}{s} = \cos\theta\cot\theta$
• $\sec^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta = \frac{1}{c^2} + \frac{1}{s^2} = \frac{s^2 + c^2}{s^2c^2} = \sec^2\theta\operatorname{cosec}^2\theta$

आख़िरी पंक्ति देखने में अजीब लगती है। इसमें $\sec^2\theta$ और $\operatorname{cosec}^2\theta$ का योग उन्हीं के गुणनफल के बराबर आया है। यह बात अलग से प्रश्न के रूप में भी पूछी जाती है।

दो पंक्तियाँ मिलाकर: ऊपर की दूसरी और तीसरी पंक्ति को आपस में गुणा कीजिए।

$$(\sec\theta - \cos\theta)(\operatorname{cosec}\theta - \sin\theta) = \frac{s^2}{c} \times \frac{c^2}{s} = sc$$

पहली पंक्ति से $\tan\theta + \cot\theta = \frac{1}{sc}$ है। इसलिए तीनों का गुणनफल 1 हो जाता है।

$$(\sec\theta - \cos\theta)(\operatorname{cosec}\theta - \sin\theta)(\tan\theta + \cot\theta) = 1$$

पदों का समूह बनाकर: $\sin\theta(1 + \tan\theta) + \cos\theta(1 + \cot\theta) = s + \frac{s^2}{c} + c + \frac{c^2}{s}$ लीजिए। अब s को उस भिन्न के साथ रखिए जिसके हर में s है, और c को उस भिन्न के साथ जिसके हर में c है।

$$\left(s + \frac{c^2}{s}\right) + \left(c + \frac{s^2}{c}\right) = \frac{s^2 + c^2}{s} + \frac{c^2 + s^2}{c} = \frac{1}{s} + \frac{1}{c}$$

इसलिए यह व्यंजक $\operatorname{cosec}\theta + \sec\theta$ के बराबर है।

जब कोई सर्वसमिका सीधे न सूझे, तब यही तरीका अपनाइए। यह हमेशा चलता है, पर हमेशा सबसे छोटा रास्ता नहीं होता। अभ्यास के साथ अगले कुछ विषयों में छोटे रास्ते भी दिखने लगेंगे।

व्युत्क्रम जोड़े $\sec\theta \pm \tan\theta$ और $\operatorname{cosec}\theta \pm \cot\theta$

$\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$ को वर्गों के अंतर की तरह गुणनखंडों में तोड़ सकते हैं।

$$(\sec\theta + \tan\theta)(\sec\theta - \tan\theta) = 1$$

मतलब $\sec\theta + \tan\theta$ और $\sec\theta - \tan\theta$ एक-दूसरे के व्युत्क्रम (reciprocal) हैं। इसी तरह cosec और cot वाला जोड़ा भी है।

$$(\operatorname{cosec}\theta + \cot\theta)(\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta) = 1$$

sin और cos में लिखने पर ये चारों व्यंजक बिल्कुल अलग दिखते हैं, और प्रश्नों में दोनों तरह के रूप आते हैं। इसलिए नीचे वाली तालिका ध्यान से देख लीजिए।

व्यंजक	sin और cos में	दूसरा रूप
$\sec\theta + \tan\theta$	$\frac{1 + \sin\theta}{\cos\theta}$	$\frac{\cos\theta}{1 - \sin\theta}$
$\sec\theta - \tan\theta$	$\frac{1 - \sin\theta}{\cos\theta}$	$\frac{\cos\theta}{1 + \sin\theta}$
$\operatorname{cosec}\theta + \cot\theta$	$\frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta}$	$\frac{\sin\theta}{1 - \cos\theta}$
$\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta$	$\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$	$\frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$

आख़िरी स्तंभ वाला रूप पाने के लिए अंश और हर को साथी कोष्ठक से गुणा कीजिए। जैसे $\frac{1 - \sin\theta}{\cos\theta} \times \frac{1 + \sin\theta}{1 + \sin\theta} = \frac{\cos^2\theta}{\cos\theta(1 + \sin\theta)} = \frac{\cos\theta}{1 + \sin\theta}$।

इन जोड़ों से झटपट हल: नीचे के तीनों व्यंजक एक-एक पंक्ति में सरल हो जाते हैं।

• $\frac{1}{\sec\theta - \tan\theta} = \sec\theta + \tan\theta$ है, इसलिए $\frac{1}{\sec\theta - \tan\theta} - \tan\theta = \sec\theta$।
• $\frac{1}{\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta} - \frac{1}{\sin\theta} = (\operatorname{cosec}\theta + \cot\theta) - \operatorname{cosec}\theta = \cot\theta$
• $\frac{\cos\theta}{1 - \sin\theta}$ तालिका से सीधे $\sec\theta + \tan\theta$ है।

जोड़े का एक सदस्य संख्या के रूप में दिया हो, तो दूसरा उसका व्युत्क्रम होगा। जैसे $\sec\theta + \tan\theta = 4$ है, तो $\sec\theta - \tan\theta = \frac{1}{4}$ होगा। वहाँ से आगे $\sec\theta$ और $\sin\theta$ कैसे निकालते हैं, यह "दी गई शर्त से मान, अधिकतम और न्यूनतम मान" वाले खंड में है।

[SSC टिप] योग का व्युत्क्रम, व्युत्क्रमों का योग नहीं होता। $\frac{1}{\sec\theta + \tan\theta}$ = $\sec\theta - \tan\theta$ है। कई छात्र इसे $\cos\theta + \cot\theta$ लिख देते हैं, यानी दोनों पदों के व्युत्क्रम अलग-अलग लेकर जोड़ देते हैं। यह गलत है, और यही गलत रूप विकल्पों में भी आ सकता है।

वर्गमूल हो, तो हर को पूर्ण वर्ग बनाइए

$\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}}$ को जैसा लिखा है, वैसे सरल नहीं कर सकते। इसके लिए मूल के भीतर अंश और हर, दोनों को $1 - \sin\theta$ से गुणा कीजिए। तब हर $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$ हो जाता है, जो एक पूर्ण वर्ग है।

$$\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin\theta)^2}{1 - \sin^2\theta}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin\theta)^2}{\cos^2\theta}} = \frac{1 - \sin\theta}{\cos\theta} = \sec\theta - \tan\theta$$

कोण न्यून हो, तो $1 - \sin\theta$ और $\cos\theta$ दोनों धनात्मक होते हैं, इसलिए वर्गमूल हटाने में कोई दिक्कत नहीं आती। SSC के प्रश्नों में $\theta$ को न्यून कोण ही माना जाता है, जब तक प्रश्न में अलग से कुछ न कहा गया हो।

$\theta = 30^\circ$ पर जाँच कर लेते हैं। मूल के भीतर $\frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3}$ आता है, तो बायाँ पक्ष $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है। दायाँ पक्ष $\frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है। दोनों बराबर हैं।

इस तरह के सारे व्यंजक ऐसे ही हल होते हैं। मूल के भीतर उस कोष्ठक से गुणा कीजिए, जिससे हर वर्ग बन जाए।

व्यंजक ($\theta$ न्यून कोण)	बराबर
$\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}}$	$\sec\theta - \tan\theta$
$\sqrt{\frac{1 + \sin\theta}{1 - \sin\theta}}$	$\sec\theta + \tan\theta$
$\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}$	$\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta$
$\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{1 - \cos\theta}}$	$\operatorname{cosec}\theta + \cot\theta$
$\sqrt{\frac{\sec\theta - 1}{\sec\theta + 1}}$	$\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta$
$\sqrt{\frac{\operatorname{cosec}\theta - 1}{\operatorname{cosec}\theta + 1}}$	$\sec\theta - \tan\theta$

आख़िरी दो पंक्तियों पर ध्यान दीजिए। मूल के भीतर sec हो, तो बाहर cosec और cot आते हैं। और भीतर cosec हो, तो बाहर sec और tan आते हैं।

ऐसा इसलिए होता है कि भीतर अंश और हर को $\cos\theta$ से गुणा करने पर $\frac{\sec\theta - 1}{\sec\theta + 1}$ बदलकर $\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}$ हो जाता है, यानी तालिका की तीसरी पंक्ति।

दो मूल एक साथ: कोई मूल और उसका उलटा साथी एक साथ आएँ, तो उन्हें जोड़ना या घटाना बहुत आसान होता है।

$$\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} + \sqrt{\frac{1 + \sin\theta}{1 - \sin\theta}} = (\sec\theta - \tan\theta) + (\sec\theta + \tan\theta) = 2\sec\theta$$

दूसरे मूल में से पहला घटाएँ, तो $2\tan\theta$ बचता है। cos वाले जोड़े से इसी तरह $2\operatorname{cosec}\theta$ और $2\cot\theta$ आते हैं।

दो भिन्नों का योग: तिरछा गुणा करके 1 ढूँढिए

मान लीजिए $\frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} + \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta}$ सरल करना है। साझा हर $\sin\theta(1 + \cos\theta)$ लेकर तिरछा गुणा कीजिए। अंश में sin और cos के वर्ग मिलकर 1 हो जाते हैं।

$$\sin^2\theta + (1 + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta = 2 + 2\cos\theta = 2(1 + \cos\theta)$$

अब कोष्ठक $(1 + \cos\theta)$ हर से कट जाता है, और $\frac{2}{\sin\theta} = 2\operatorname{cosec}\theta$ बचता है। इसी का दूसरा रूप $\frac{\cos\theta}{1 + \sin\theta} + \frac{1 + \sin\theta}{\cos\theta}$ है, जिसमें sin और cos ने जगह बदल ली है। इन्हीं कदमों से उसका मान $2\sec\theta$ आता है।

हर $1 + x$ और $1 - x$ हों: तब साझा हर $1 - x^2$ होता है, और कोई एक सर्वसमिका इसे एक ही वर्ग में बदल देती है।

• $\frac{1}{1 + \sin\theta} + \frac{1}{1 - \sin\theta} = \frac{2}{1 - \sin^2\theta} = 2\sec^2\theta$
• $\frac{\cos\theta}{1 - \sin\theta} + \frac{\cos\theta}{1 + \sin\theta} = \frac{2\cos\theta}{\cos^2\theta} = 2\sec\theta$
• $\frac{1}{1 + \cos\theta} - \frac{1}{1 - \cos\theta} = \frac{-2\cos\theta}{\sin^2\theta} = -2\cot\theta\operatorname{cosec}\theta$
• $\frac{\tan\theta}{\sec\theta - 1} + \frac{\tan\theta}{\sec\theta + 1} = \frac{2\tan\theta\sec\theta}{\sec^2\theta - 1} = \frac{2\sec\theta}{\tan\theta} = 2\operatorname{cosec}\theta$

tan और cot वाला एक कठिन जोड़ा: $\frac{\tan\theta}{1 - \cot\theta} + \frac{\cot\theta}{1 - \tan\theta}$ लीजिए। यहाँ $\tan\theta$ की जगह t लिख लीजिए, तो $\cot\theta = \frac{1}{t}$ होगा। पहला पद $\frac{t}{1 - \frac{1}{t}} = \frac{t^2}{t - 1}$ हो जाता है, और दूसरा $\frac{1}{t(1 - t)} = -\frac{1}{t(t - 1)}$। दोनों को मिलाने पर यह आता है।

$$\frac{t^3 - 1}{t(t - 1)} = \frac{t^2 + t + 1}{t} = t + 1 + \frac{1}{t}$$

यहाँ $t^3 - 1 = (t - 1)(t^2 + t + 1)$ लगा है, जो अध्याय 11 (बीजगणित) में आया था। तो इसका मान $1 + \tan\theta + \cot\theta = 1 + \sec\theta\operatorname{cosec}\theta$ है।

एक छोटा रास्ता भी याद रखिए। हर में tan या cot हो, तो पहले सब कुछ sin और cos में बदल लेने से अक्सर काम जल्दी हो जाता है। जैसे $\frac{\cos\theta}{1 - \tan\theta}$ में अंश और हर को $\cos\theta$ से गुणा कीजिए, तो $\frac{\cos^2\theta}{\cos\theta - \sin\theta}$ मिल जाता है।

तीन पदों वाली भिन्न में 1 को $\sec^2\theta - \tan^2\theta$ लिखिए

$\frac{\tan\theta + \sec\theta - 1}{\tan\theta - \sec\theta + 1}$ जैसी भिन्न CGL के प्रश्नपत्रों में बार-बार आती है। इसमें तिरछा गुणा करने से कोई फ़ायदा नहीं होता।

यहाँ अंश वाले 1 की जगह $\sec^2\theta - \tan^2\theta$ लिख दीजिए।

$$\tan\theta + \sec\theta - (\sec^2\theta - \tan^2\theta) = (\sec\theta + \tan\theta) - (\sec\theta + \tan\theta)(\sec\theta - \tan\theta)$$

$$= (\sec\theta + \tan\theta)(1 - \sec\theta + \tan\theta)$$

दूसरा कोष्ठक $1 - \sec\theta + \tan\theta$ ठीक हर ही है, तो वह कट जाता है।

$$\frac{\tan\theta + \sec\theta - 1}{\tan\theta - \sec\theta + 1} = \sec\theta + \tan\theta = \frac{1 + \sin\theta}{\cos\theta}$$

$\theta = 60^\circ$ पर जाँच लेते हैं। वहाँ $\tan\theta = \sqrt{3}$ और $\sec\theta = 2$ हैं। भिन्न $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = 2 + \sqrt{3}$ आती है, जो $\sec 60^\circ + \tan 60^\circ$ ही है।

cot और cosec वाली भिन्न: इसमें 1 को $\operatorname{cosec}^2\theta - \cot^2\theta$ लिखिए। उन्हीं कदमों से यह मिलता है।

$$\frac{\cot\theta + \operatorname{cosec}\theta - 1}{\cot\theta - \operatorname{cosec}\theta + 1} = \operatorname{cosec}\theta + \cot\theta = \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta}$$

वही भिन्न, दूसरे रूप में: $\frac{\sin\theta - \cos\theta + 1}{\sin\theta + \cos\theta - 1}$ देखने में अलग लगती है। इसके प्रत्येक पद को $\cos\theta$ से भाग दीजिए। यह $\frac{\tan\theta - 1 + \sec\theta}{\tan\theta + 1 - \sec\theta}$ हो जाती है, जो ऊपर वाली पहली भिन्न ही है। तो इसका मान भी $\sec\theta + \tan\theta$ है।

इसी तरह cos से शुरू होने वाली भिन्न के प्रत्येक पद को $\sin\theta$ से भाग दें, तो cot और cosec वाली भिन्न मिलती है। यानी $\frac{\cos\theta - \sin\theta + 1}{\cos\theta + \sin\theta - 1} = \operatorname{cosec}\theta + \cot\theta$।

जब 1 सबसे आगे हो: $\frac{1 + \sec\theta - \tan\theta}{1 + \sec\theta + \tan\theta}$ में भी 1 को उसी तरह लिखिए। अंश $(\sec^2\theta - \tan^2\theta) + (\sec\theta - \tan\theta) = (\sec\theta - \tan\theta)(\sec\theta + \tan\theta + 1)$ हो जाता है। दूसरा कोष्ठक हर के बराबर है, तो भिन्न $\sec\theta - \tan\theta = \frac{1 - \sin\theta}{\cos\theta}$ रह जाती है।

इन सब में एक ही बात है। गुणनखंड ऐसा चुनिए कि उसमें हर वाला कोष्ठक ही निकल आए। उसके बाद बस काटना रह जाता है।

गुणनफल और वर्ग, जो संख्या में बदल जाते हैं

कुछ लंबे व्यंजक सरल करने पर सादी संख्या रह जाते हैं, और कुछ छोटे रूप में आ जाते हैं। तरीका वही है। sin और cos में लिखिए और गुणा करके कोष्ठक खोल दीजिए।

$(1 + \tan\theta + \sec\theta)(1 + \cot\theta - \operatorname{cosec}\theta)$ का गुणनफल: sin और cos में लिखने पर दोनों कोष्ठक ये हो जाते हैं।

$$\frac{\cos\theta + \sin\theta + 1}{\cos\theta} \quad \text{और} \quad \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{\sin\theta}$$

अब $a = \sin\theta + \cos\theta$ रख लीजिए। तब अंश $a + 1$ और $a - 1$ हैं, और उनका गुणनफल यह है।

$$a^2 - 1 = (\sin\theta + \cos\theta)^2 - 1 = 2\sin\theta\cos\theta$$

हरों का गुणनफल $\sin\theta\cos\theta$ है। तो पूरा गुणनफल 2 है, $\theta$ चाहे कुछ भी हो। 45° पर यह सीधे दिख जाता है, $(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2}) = 4 - 2 = 2$।

$(\sin\theta + \operatorname{cosec}\theta)^2 + (\cos\theta + \sec\theta)^2$ का मान: यहाँ $\sin\theta\operatorname{cosec}\theta = 1$ है। इसलिए पहला वर्ग $\sin^2\theta + 2 + \operatorname{cosec}^2\theta$ होता है, और दूसरा $\cos^2\theta + 2 + \sec^2\theta$। दोनों को जोड़ने पर यह मिलता है।

$$1 + 4 + \operatorname{cosec}^2\theta + \sec^2\theta = 5 + (1 + \cot^2\theta) + (1 + \tan^2\theta) = 7 + \tan^2\theta + \cot^2\theta$$

यहाँ उत्तर सादी संख्या नहीं आता। कई छात्र 5 पर ही रुक जाते हैं। कुछ $\operatorname{cosec}^2\theta$ और $\sec^2\theta$ को बदलते समय उनके साथ आने वाले दोनों 1 छोड़ देते हैं। दोनों तरह से उत्तर गलत आता है।

$(\sec\theta + \tan\theta - 1)(\sec\theta - \tan\theta + 1)$ का गुणनफल: पदों को $[\sec\theta + (\tan\theta - 1)][\sec\theta - (\tan\theta - 1)]$ की तरह समूह में रखिए। यह वर्गों का अंतर है।

$$\sec^2\theta - (\tan\theta - 1)^2 = \sec^2\theta - \tan^2\theta + 2\tan\theta - 1 = 2\tan\theta$$

झटपट वाले: $\frac{\sin\theta}{\operatorname{cosec}\theta} + \frac{\cos\theta}{\sec\theta} = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$। और $(\sec\theta - \cos\theta)(\operatorname{cosec}\theta - \sin\theta)(\tan\theta + \cot\theta) = 1$, जिसे हम पहले ही हल कर चुके हैं।

जब सारे विकल्प संख्याएँ हों, तो इसका मतलब है कि व्यंजक का मान कोण पर निर्भर नहीं करता। तब कोई भी सुविधाजनक कोण रखकर उत्तर निकल आता है। इस जाँच को आगे विकल्प जाँचने वाले भाग में विस्तार से देखेंगे।

चौथी और छठी घात

यहाँ $\sin^2\theta$ और $\cos^2\theta$ को दो संख्याएँ a और b मान लीजिए, जिनमें a + b = 1 है। फिर अध्याय 11 (बीजगणित) वाली सर्वसमिकाएँ लगाइए।

चौथी घातों का अंतर: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ लगाइए। इसमें दूसरा कोष्ठक 1 है।

$$\sin^4\theta - \cos^4\theta = (\sin^2\theta - \cos^2\theta)(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = \sin^2\theta - \cos^2\theta$$

इसी को $1 - 2\cos^2\theta$ या $2\sin^2\theta - 1$ भी लिख सकते हैं। विकल्पों में इन तीनों में से कोई भी रूप आ सकता है। sec और tan वाली घातें भी ऐसे ही हल होती हैं, $\sec^4\theta - \tan^4\theta = \sec^2\theta + \tan^2\theta = 1 + 2\tan^2\theta$।

चौथी घातों का योग: यहाँ $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$ लगता है।

$$\sin^4\theta + \cos^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$$

छठी घातों का योग: यहाँ $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$ लगता है।

$$\sin^6\theta + \cos^6\theta = 1 - 3\sin^2\theta\cos^2\theta$$

$\theta = 45^\circ$ पर जाँच कर लेते हैं। वहाँ $\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac{1}{4}$ है, तो $\sin^4\theta + \cos^4\theta = \frac{1}{2}$ और $\sin^6\theta + \cos^6\theta = \frac{1}{4}$। सीधा हिसाब लगाएँ, तब भी यही आता है, $2 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^4 = \frac{1}{2}$।

जहाँ पद आपस में कट जाते हैं: दोनों सूत्रों में एक ही गुणनफल आता है। इसे $x = \sin^2\theta\cos^2\theta$ कह लीजिए।

$$2(\sin^6\theta + \cos^6\theta) - 3(\sin^4\theta + \cos^4\theta) = 2 - 6x - 3 + 6x = -1$$

इसलिए $2(\sin^6\theta + \cos^6\theta) - 3(\sin^4\theta + \cos^4\theta) + 1 = 0$, और यह प्रत्येक $\theta$ के लिए सत्य है।

इसी ढंग का एक लंबा उदाहरण देखिए। $y = \sin\theta\cos\theta$ लीजिए। साथ में $(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2y$ और $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2y$ हैं।

$$3(\sin\theta - \cos\theta)^4 + 6(\sin\theta + \cos\theta)^2 + 4(\sin^6\theta + \cos^6\theta) = 3(1 - 2y)^2 + 6(1 + 2y) + 4(1 - 3y^2) = 13$$

[SSC टिप] विकल्प सादी संख्याएँ हों, तो $\theta = 0^\circ$ रख दीजिए। तब $\sin\theta = 0$ और $\cos\theta = 1$ होते हैं, और ऊपर वाला लंबा व्यंजक एक पंक्ति में हल हो जाता है, 3 + 6 + 4 = 13। पर 0° तभी लीजिए, जब प्रश्न में कोई भी पद वहाँ अपरिभाषित न हो। $\tan\theta$ और $\sec\theta$ 0° पर ठीक हैं, पर $\cot\theta$ और $\operatorname{cosec}\theta$ नहीं।

विकल्पों को 45°, 30° या 60° रखकर जाँचना

जब विकल्पों में $\theta$ वाले व्यंजक हों, तो एक बात याद रखिए। सही विकल्प प्रत्येक कोण पर प्रश्न के बराबर होगा। इसलिए कोई एक कोण रखिए और प्रश्न का मान निकालिए। फिर केवल वे विकल्प बचाइए, जिनका मान भी वही आए।

उदाहरण के लिए $\frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} + \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta}$ लीजिए, जिसके विकल्प $2\sec\theta$, $2\operatorname{cosec}\theta$, $2\tan\theta$ और $2\cot\theta$ हैं।

• 45° पर: $\frac{\sin 45^\circ}{1 + \cos 45^\circ} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ है, और दूसरी भिन्न इसकी उलटी है, यानी $\sqrt{2} + 1$। तो प्रश्न का मान $2\sqrt{2}$ आता है। विकल्पों के मान $2\sqrt{2}$, $2\sqrt{2}$, 2 और 2 हैं। दो विकल्प बाहर हो गए, पर दो अब भी बचे हैं।
• 60° पर: प्रश्न = $\frac{\sqrt{3}/2}{3/2} + \frac{3/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{4}{\sqrt{3}}$। अब $2\sec 60^\circ = 4$ है, जबकि $2\operatorname{cosec} 60^\circ = \frac{4}{\sqrt{3}}$। तो उत्तर $2\operatorname{cosec}\theta$ है।

जहाँ यह जाँच धोखा दे सकती है: चार बातें ध्यान में रखिए।

• 45° पर $\sin\theta = \cos\theta$, $\tan\theta = \cot\theta$ और $\sec\theta = \operatorname{cosec}\theta$ होते हैं। अगर दो विकल्प केवल ऐसी अदला-बदली में अलग हैं, तो 45° उन्हें अलग नहीं कर पाएगा। तब 30° या 60° लीजिए।
• चुने हुए कोण पर प्रश्न ही अपरिभाषित हो सकता है। $\frac{\tan\theta}{1 - \cot\theta} + \frac{\cot\theta}{1 - \tan\theta}$ के हर में $1 - \tan 45^\circ = 0$ आता है, इसलिए इसमें 45° नहीं रख सकते। tan, sec, cot या cosec हों, तो 0° और 90° से भी बचिए।
• दो अलग व्यंजक संयोग से किसी एक कोण पर बराबर हो सकते हैं। एक से ज़्यादा विकल्प बचें, तो चुनने से पहले दूसरा कोण रखकर देखिए।
• मान सटीक रखिए, यानी $\frac{2}{\sqrt{3}}$ ही लिखिए, 1.15 नहीं। गोल किए हुए दशमलव से दो अलग विकल्प बराबर दिख सकते हैं।

किस क्रम में जाँचें: पहले 45° लीजिए, क्योंकि उसका हिसाब सबसे आसान है। दो विकल्प बच जाएँ, या प्रश्न 45° पर अपरिभाषित हो जाए, तो 60° या 30° लीजिए। विकल्प सादी संख्याएँ हों, तो $\theta = 0^\circ$ रखना अक्सर और भी आसान रहता है।

यह जाँच केवल बहुविकल्पीय प्रश्नों के लिए है। जहाँ कुछ सिद्ध करना हो या पूरा सरल करना हो, वहाँ पिछले भागों वाला बीजगणित करना ही पड़ेगा। वहाँ यह जाँच बस आख़िरी पंक्ति को पक्का करने के काम आती है।

$\theta$ का विलोपन

कभी दो या तीन समीकरण दिए होते हैं, जिनमें $\theta$ आता है। प्रश्न में कहा जाता है कि बाकी अक्षरों के बीच ऐसा संबंध निकालिए, जिसमें $\theta$ न हो। इसे विलोपन (elimination) कहते हैं।

इसके लिए प्रत्येक अनुपात को एक ओर अकेला कीजिए, यानी उसे बाकी अक्षरों में लिख लीजिए। फिर उन अनुपातों वाली सर्वसमिका लगा दीजिए।

$x = a\sec\theta$ और $y = b\tan\theta$ हों: तब $\sec\theta = \frac{x}{a}$ और $\tan\theta = \frac{y}{b}$ हैं। अब $\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$ लगाइए।

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$

संख्याओं के साथ देखें, तो $x = 2\sec\theta$ और $y = 5\tan\theta$ से $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{25} = 1$ मिलता है, यानी $25x^2 - 4y^2 = 100$।

$x = a\cos\theta$ और $y = b\sin\theta$ हों: इनसे $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ आता है, पर इस बार $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ लगती है। cosec और cot दिए हों, तो $\operatorname{cosec}^2\theta - \cot^2\theta = 1$ लगेगी।

तीन अक्षर: मान लीजिए $x = r\cos t$, $y = r\sin t\cos u$ और $z = r\sin t\sin u$ दिए हैं। y और z दोनों में $r\sin t$ है, इसलिए पहले इन दोनों के वर्ग जोड़िए।

$$y^2 + z^2 = r^2\sin^2 t(\cos^2 u + \sin^2 u) = r^2\sin^2 t$$

फिर इसमें $x^2 = r^2\cos^2 t$ जोड़ दीजिए।

$$x^2 + y^2 + z^2 = r^2(\sin^2 t + \cos^2 t) = r^2$$

यहाँ सर्वसमिका दो बार लगी, प्रत्येक कोण के लिए एक बार। ध्यान रखिए, जिन दो समीकरणों में साझा गुणनखंड हो, पहले उन्हीं का जोड़ा बनाइए।

योग और अंतर दिए हों: $x = \sec\theta + \tan\theta$ और $y = \sec\theta - \tan\theta$ हों, तो व्युत्क्रम जोड़े से सीधे xy = 1 आ जाता है। cosec और cot वाला जोड़ा भी इसी तरह चलता है।

[Tier 2] दो लंबे विलोपन: इन दोनों में थोड़ा ज़्यादा हिसाब है।

• $\tan\theta + \sin\theta = m$ और $\tan\theta - \sin\theta = n$ हों, तो $m^2 - n^2 = (m + n)(m - n) = 4\tan\theta\sin\theta$। उधर $mn = \tan^2\theta - \sin^2\theta = \sin^2\theta(\sec^2\theta - 1) = \tan^2\theta\sin^2\theta$ है। इसलिए $m^2 - n^2 = 4\sqrt{mn}$।
• $x = \operatorname{cosec}\theta - \sin\theta$ और $y = \sec\theta - \cos\theta$ हों, तो sin और cos में $x = \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta}$ और $y = \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}$ हैं। इनसे $x^2y = \cos^3\theta$ और $xy^2 = \sin^3\theta$ मिलते हैं। तो $(x^2y)^{\frac{2}{3}} + (xy^2)^{\frac{2}{3}} = 1$।

हल किए गए उदाहरण

अब इन्हीं तरीकों से कुछ प्रश्न हल करते हैं।

प्रश्न 1

$(1 + \cot^2\theta)(1 - \cos\theta)(1 + \cos\theta)$ किसके बराबर है? (a) 0 (b) 1 (c) $\operatorname{cosec}^2\theta$ (d) $\sin^2\theta$

उत्तर: आख़िरी दो कोष्ठकों का गुणा करें, तो $1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$ आता है। पहला कोष्ठक $\operatorname{cosec}^2\theta$ है। अब पूरा व्यंजक $\operatorname{cosec}^2\theta\sin^2\theta$ हो गया। cosec और sin एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं, तो मान (b) 1 है।

प्रश्न 2

$\frac{\sin^2\theta}{1 - \cos\theta}$ किसके बराबर है? (a) $1 + \cos\theta$ (b) $1 - \cos\theta$ (c) $1 + \sin\theta$ (d) $\cos\theta$

उत्तर: अंश को $1 - \cos^2\theta = (1 - \cos\theta)(1 + \cos\theta)$ लिख लेते हैं। अब एक कोष्ठक हर से कट जाता है, और (a) $1 + \cos\theta$ बचता है। 60° पर जाँच कर लेते हैं। व्यंजक $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ आता है, और $1 + \cos 60^\circ = \frac{3}{2}$ भी है।

प्रश्न 3

$\sec^4\theta - \sec^2\theta$ किसके बराबर है? (a) $\tan^4\theta - \tan^2\theta$ (b) $1 + \tan^4\theta$ (c) $\tan^2\theta$ (d) $\tan^4\theta + \tan^2\theta$

उत्तर: $\sec^2\theta$ दोनों पदों में है, तो उसे बाहर निकालकर $\sec^2\theta(\sec^2\theta - 1)$ लिखते हैं। कोष्ठक $\tan^2\theta$ के बराबर है, और बाहर वाला गुणनखंड $1 + \tan^2\theta$ है। तो व्यंजक $(1 + \tan^2\theta)\tan^2\theta$ हुआ। गुणा खोलने पर (d) $\tan^4\theta + \tan^2\theta$ आता है।

प्रश्न 4

$\sec\theta\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta$ किसके बराबर है? (a) $\tan\theta$ (b) $\cot\theta$ (c) $\sin\theta$ (d) $\sec\theta$

उत्तर: सब कुछ sin और cos में लिख लेते हैं। $\frac{1}{\sin\theta\cos\theta} - \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1 - \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{\sin^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}$। अब एक $\sin\theta$ कट जाता है और $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ बचता है, यानी (a) $\tan\theta$।

प्रश्न 5

$(\sec\theta - \cos\theta)(\operatorname{cosec}\theta - \sin\theta)(\tan\theta + \cot\theta)$ का मान क्या है? (a) 0 (b) 2 (c) 1 (d) $\sin\theta\cos\theta$

उत्तर: एक-एक कोष्ठक को अलग से सरल करते हैं। $\sec\theta - \cos\theta = \frac{1 - \cos^2\theta}{\cos\theta} = \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}$, $\operatorname{cosec}\theta - \sin\theta = \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta}$ और $\tan\theta + \cot\theta = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta}$। पहले दो का गुणनफल $\sin\theta\cos\theta$ है, और तीसरा कोष्ठक उसे काट देता है। तो मान (c) 1 है। दो कोष्ठकों के बाद ही रुककर $\sin\theta\cos\theta$ लिख देना गलत है, क्योंकि वह पूरे गुणनफल का केवल एक हिस्सा है।

प्रश्न 6

$\frac{1}{\sec\theta - \tan\theta} - \frac{1}{\cos\theta}$ किसके बराबर है? (a) $\tan\theta$ (b) $\sec\theta$ (c) $2\tan\theta$ (d) $\cot\theta$

उत्तर: $\sec\theta - \tan\theta$ और $\sec\theta + \tan\theta$ का गुणनफल 1 है, तो पहली भिन्न बस $\sec\theta + \tan\theta$ है। दूसरी भिन्न $\sec\theta$ है। घटाने पर (a) $\tan\theta$ बचता है।

प्रश्न 7

$\frac{\cos\theta}{1 - \sin\theta} - \tan\theta$ किसके बराबर है? (a) $\cos\theta$ (b) $2\tan\theta$ (c) $\sec\theta$ (d) 1

उत्तर: पहली भिन्न के अंश और हर को $1 + \sin\theta$ से गुणा करते हैं। $\frac{\cos\theta(1 + \sin\theta)}{1 - \sin^2\theta} = \frac{\cos\theta(1 + \sin\theta)}{\cos^2\theta} = \frac{1 + \sin\theta}{\cos\theta}$, जो $\sec\theta + \tan\theta$ है। इसमें से $\tan\theta$ घटाएँ, तो (c) $\sec\theta$ बचता है।

प्रश्न 8

न्यून कोण $\theta$ के लिए $\sqrt{\frac{1 + \sin\theta}{1 - \sin\theta}} - \tan\theta$ किसके बराबर है? (a) $\cos\theta$ (b) $\sec\theta$ (c) $\sec\theta - 2\tan\theta$ (d) 1

उत्तर: हर को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए मूल के भीतर $1 + \sin\theta$ से गुणा करते हैं। $\sqrt{\frac{(1 + \sin\theta)^2}{1 - \sin^2\theta}} = \frac{1 + \sin\theta}{\cos\theta} = \sec\theta + \tan\theta$। अब $\tan\theta$ घटाने पर (b) $\sec\theta$ बचता है। 30° पर जाँच लेते हैं। मूल के भीतर $\frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 3$ आता है, तो व्यंजक $\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ हुआ, जो $\sec 30^\circ$ ही है।

प्रश्न 9

न्यून कोण $\theta$ के लिए $\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} + \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{1 - \cos\theta}}$ किसके बराबर है? (a) $2\sec\theta$ (b) $2\cot\theta$ (c) $2\operatorname{cosec}\theta$ (d) 2

उत्तर: प्रत्येक मूल में हर को वर्ग बनाते हैं, यहाँ $1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$ काम आएगा। पहला मूल $\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \operatorname{cosec}\theta - \cot\theta$ हो जाता है, और दूसरा $\frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta} = \operatorname{cosec}\theta + \cot\theta$। जोड़ने पर cot वाले पद कट जाते हैं और (c) $2\operatorname{cosec}\theta$ बचता है। यहाँ $\theta = 45^\circ$ रखने से फ़ैसला नहीं होता, क्योंकि $2\sec 45^\circ$ और $2\operatorname{cosec} 45^\circ$ दोनों $2\sqrt{2}$ हैं।