शॉर्टकट और तेज़ तरीके

मानक तालिका दस सेकंड में दोबारा बनाएँ

परीक्षा में त्रिकोणमिति के ज़्यादातर प्रश्न तीन-चार पंक्तियों में हल हो जाते हैं। पर विकल्प एक-दूसरे के बहुत पास होते हैं। इसलिए समय हल करने में कम, और यह तय करने में ज़्यादा लगता है कि कौन-सा तरीका लगाएँ।

आगे हम इस अध्याय के तेज़ तरीके एक-एक करके सीखेंगे, मानक मानों की तालिका (table of standard values) से लेकर अधिकतम मान और संबद्ध कोणों (allied angles) तक। हर तरीके के साथ यह भी देखेंगे कि वह कहाँ नहीं चलता।

दो आदतें हर तरीके में काम आती हैं। पहली, मानक मान बिना कहीं देखे याद होने चाहिए। दूसरी, हल शुरू करने से पहले चारों विकल्प पढ़ लीजिए। विकल्पों का रूप देखकर अक्सर पता चल जाता है कि कौन-सा तरीका लगेगा।

पूरी तालिका आप दस सेकंड में दोबारा बना सकते हैं। $0^\circ$, $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ और $90^\circ$ के नीचे क्रम से 0, 1, 2, 3, 4 लिखिए। हर संख्या को 4 से भाग दीजिए, फिर वर्गमूल ले लीजिए। यही sin की पंक्ति है। cos की पंक्ति में यही पाँच मान उलटे क्रम में आते हैं। tan के लिए sin को cos से भाग दे दीजिए।

$\theta$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
$\sin\theta$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos\theta$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	0
$\tan\theta$	0	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	अपरिभाषित

cosec, sec और cot तो sin, cos और tan के व्युत्क्रम हैं। इनकी अलग पंक्तियाँ याद करने की ज़रूरत नहीं।

व्यंजक में केवल वर्ग हों, तो वर्गमूल लेने की भी ज़रूरत नहीं पड़ती। $\sin^2\theta$ के मान 0, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, 1 हैं, और $\tan^2\theta$ के 0, $\frac{1}{3}$, 1, 3।

परीक्षा में कोई मान याद न आए, तो चित्र जैसा एक त्रिभुज बना लीजिए। आधे वर्ग की भुजाएँ 1, 1 और $\sqrt{2}$ होती हैं, और आधे समबाहु त्रिभुज की 1, $\sqrt{3}$ और 2। मान इन्हीं से पढ़ लीजिए।

जैसे $2\sin^2 45^\circ + 3\tan^2 60^\circ - 4\cos^2 30^\circ = 2 \times \frac{1}{2} + 3 \times 3 - 4 \times \frac{3}{4} = 1 + 9 - 3 = 7$ है। यहाँ एक भी वर्गमूल नहीं लेना पड़ा।

दो बातों पर नज़र रखिए।

• $\tan 90^\circ$, $\sec 90^\circ$, $\cot 0^\circ$ और $\operatorname{cosec} 0^\circ$ अपरिभाषित हैं। हल करते-करते इनमें से कोई सामने आ जाए, तो प्रश्न दोबारा पढ़िए।
• कोण रेडियन में दिया हो, तो पहले उसे डिग्री में बदल लीजिए। $\frac{\pi}{6} = 30^\circ$, $\frac{\pi}{4} = 45^\circ$, $\frac{\pi}{3} = 60^\circ$ और $\frac{\pi}{2} = 90^\circ$।

डिग्री, रेडियन और घड़ी की सुइयाँ

कोण की इकाई बदलनी हो या घड़ी की सुइयों के बीच का कोण निकालना हो, तो ये तीन बातें याद रखिए।

• $\pi$ रेडियन $= 180^\circ$ होता है। डिग्री से रेडियन में जाने के लिए $\frac{\pi}{180}$ से गुणा कीजिए, और वापस डिग्री में आने के लिए $\frac{180}{\pi}$ से। गुणा करने से पहले कोण और 180 को आपस में काट लीजिए, जैसे $135^\circ = \frac{135}{180}\pi = \frac{3\pi}{4}$।
• एक रेडियन लगभग $57.3^\circ$ होता है। $\pi$ को $\frac{22}{7}$ लें, तो यह $57^\circ 16' 22''$ आता है।
• घड़ी की मिनट की सुई हर मिनट $6^\circ$ घूमती है, और घंटे की सुई हर मिनट $\frac{1}{2}^\circ$। h घंटे m मिनट पर दोनों सुइयों के बीच का कोण $|30h - 5.5m|$ डिग्री होता है। यह $180^\circ$ से अधिक आए, तो इसे $360^\circ$ में से घटा दीजिए।

जैसे 5:12 पर सुइयों के बीच का कोण $|150 - 66| = 84^\circ$ है। इसे रेडियन में बदलें, तो $84^\circ = \frac{84}{180}\pi = \frac{7\pi}{15}$ रेडियन आता है।

दो जगह लोग अक्सर चूक जाते हैं।

• कोण का एक मिनट डिग्री का साठवाँ भाग होता है। $40^\circ 30'$ का मतलब $40.5^\circ$ है, $40.3^\circ$ नहीं।
• चाप की लंबाई $l = r\theta$ और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}r^2\theta$, इन दोनों सूत्रों में $\theta$ रेडियन में ही होना चाहिए। कोण डिग्री में हो, तो चाप की लंबाई $\frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$ से निकालिए। यह अध्याय 13 (क्षेत्रमिति) में आ चुका है।

एक अनुपात दिया हो: त्रिभुज बना लें

मान लीजिए प्रश्न में कोई एक अनुपात दिया है और बाकी अनुपात पूछे गए हैं। तब एक समकोण त्रिभुज बना लीजिए। अनुपात जिन दो भुजाओं का है, उसकी दोनों संख्याएँ उन्हीं भुजाओं पर लिख दीजिए। sin लंब बटा कर्ण होता है, cos आधार बटा कर्ण, और tan लंब बटा आधार। फिर तीसरी भुजा निकालिए। अब बाकी हर अनुपात त्रिभुज से सीधे पढ़ लीजिए।

पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplet) याद हों, तो तीसरी भुजा के लिए वर्गमूल निकालने की मेहनत नहीं करनी पड़ती। ये त्रिक हैं 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 20-21-29, 9-40-41, 12-35-37, 11-60-61, 28-45-53, 33-56-65, 48-55-73, 13-84-85, 39-80-89, 65-72-97, और इनके गुणज भी।

जैसे $\tan\theta = \frac{48}{55}$ दिया है। 48-55-73 वाला त्रिक पहचानते ही कर्ण 73 मिल जाता है। तो $\sin\theta = \frac{48}{73}$, $\cos\theta = \frac{55}{73}$, और $\sec\theta + \tan\theta = \frac{73 + 48}{55} = \frac{121}{55} = \frac{11}{5}$।

इसमें तीन गलतियाँ बार-बार दिखती हैं।

• पहले देखिए कि अनुपात किन दो भुजाओं का है। $\operatorname{cosec}\theta = \frac{13}{5}$ हो, तो 13 कर्ण पर जाएगा और 5 लंब पर, और आधार 12 आएगा। 13 और 5 के वर्ग जोड़ देना गलत होगा, क्योंकि तब 13 को एक छोटी भुजा मान लिया जाता है।
• तीसरी भुजा हमेशा पूर्ण संख्या नहीं आती। तब वर्गमूल को वैसे ही रहने दीजिए। जैसे $\sin\theta = \frac{3}{7}$ हो, तो आधार $\sqrt{49 - 9} = 2\sqrt{10}$ है।
• त्रिभुज से अनुपात का मान तो मिल जाता है, पर उसका चिह्न नहीं। कोण $90^\circ$ से आगे हो, तो चिह्न चतुर्थांश से तय होता है। यह आगे संबद्ध कोणों वाले तरीके में आएगा।

tan दिया हो: cos से भाग दें

प्रश्न में $\tan\theta$ दिया हो (या $\cot\theta$), और व्यंजक के हर पद में sin और cos की कुल घात एक-सी हो, तो त्रिभुज बनाने की ज़रूरत नहीं पड़ती। अंश और हर, दोनों को $\cos\theta$ से भाग दे दीजिए। इससे हर जगह $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ अपने आप $\tan\theta$ हो जाता है।

$$\frac{a\sin\theta + b\cos\theta}{c\sin\theta + d\cos\theta} = \frac{a\tan\theta + b}{c\tan\theta + d}$$

वर्गों वाले व्यंजक में $\cos^2\theta$ से भाग दीजिए। तब व्यंजक की कोई अचर संख्या k बदलकर $k\sec^2\theta = k(1 + \tan^2\theta)$ हो जाती है। $\cot\theta$ दिया हो, तो cos की जगह $\sin\theta$ से भाग दीजिए।

मान लीजिए $3\tan\theta = 2$ है। अंश और हर को cos से भाग देकर tan का मान रखें, तो $\frac{6\sin\theta - \cos\theta}{3\sin\theta + 2\cos\theta} = \frac{6 \times \frac{2}{3} - 1}{3 \times \frac{2}{3} + 2} = \frac{3}{4}$ आता है।

वर्गों वाले प्रश्न में बस $\tan^2\theta$ चाहिए होता है। जैसे $\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ हो, तो $\tan^2\theta = \frac{1}{2}$ हुआ। अब भाग देकर हर की अचर संख्या को k वाले नियम से बदलिए। $\frac{\sin^2\theta + 2\cos^2\theta}{3 - \sin^2\theta} = \frac{\tan^2\theta + 2}{3(1 + \tan^2\theta) - \tan^2\theta} = \frac{\frac{5}{2}}{4} = \frac{5}{8}$ मिलता है।

पर घातें मेल न खाएँ, तो यह तरीका नहीं चलता। जैसे $\frac{\sin\theta + 1}{\cos\theta}$ में भाग देने से बात नहीं बनती। ऐसे में त्रिभुज बनाकर ही हल कीजिए।

लंबे गुणनफलों और योगों में कोटिपूरक जोड़े

कई कोणों का लंबा गुणनफल या लंबा योग दिखे, तो हर कोण को उस कोण के साथ जोड़ी में रखिए, जिसके साथ उसका योग $90^\circ$ हो। ऐसे दो कोण कोटिपूरक कोण (complementary angles) कहलाते हैं। जोड़े बनाने के बाद ये चार बातें काम आती हैं।

• $\tan\theta\tan(90^\circ - \theta) = \tan\theta\cot\theta = 1$ होने से $\tan 1^\circ\tan 2^\circ \cdots \tan 89^\circ$ जैसा गुणनफल 1 हो जाता है। बीच वाला पद अकेला बचता है, पर वह भी $\tan 45^\circ = 1$ है।
• $\sin^2\theta + \sin^2(90^\circ - \theta) = 1$ होता है, और $\cos^2$ के लिए भी यही बात है। इस तरह वर्गों का योग जोड़ों की संख्या के बराबर आता है। कोणों में $45^\circ$ भी हो, तो साथ में $\frac{1}{2}$ और जोड़ दीजिए।
• पदों को पहले गिन लीजिए। a से b तक, d के अंतर से, कुल $\frac{b - a}{d} + 1$ पद होते हैं।
• जिस गुणनफल में कहीं भी $\cos 90^\circ$ (या $\sin 0^\circ$) हो, वह पूरा गुणनफल 0 हो जाता है।

जैसे $\sin^2 10^\circ + \sin^2 15^\circ + \cdots + \sin^2 80^\circ$ लीजिए। इसमें $\frac{80 - 10}{5} + 1 = 15$ पद हैं। इनसे 7 जोड़े बनते हैं, और बीच का पद $\sin^2 45^\circ$ बचता है। योग $7 + \frac{1}{2} = 7\frac{1}{2}$ हुआ।

यहाँ दो बातें अक्सर छूट जाती हैं।

• हर कोण का साथी होना चाहिए। $\cos^2 15^\circ + \cos^2 25^\circ + \cdots + \cos^2 85^\circ$ में $85^\circ$ का साथी $5^\circ$ होना चाहिए, पर वह योग में नहीं है। ऐसे में $\cos^2 85^\circ$ अकेला बच जाता है, और उसका कोई मानक मान नहीं होता। यह दिखे, तो प्रश्न का पहला और अंतिम कोण फिर से जाँचिए।
• योग $90^\circ$ तक जाता हो या $0^\circ$ से शुरू होता हो, तो एक पद और जोड़ना पड़ता है। $\sin^2 90^\circ = 1$ और $\sin^2 0^\circ = 0$।

[SSC टिप] tan या cot का लंबा गुणनफल जोड़ों में बँटकर 1 हो जाता है। sin या cos के वैसे ही गुणनफल में ऐसा नहीं होता। $\sin 1^\circ\sin 89^\circ$ असल में $\sin 1^\circ\cos 1^\circ$ है, और इसका मान 1 नहीं है। sin या cos का लंबा गुणनफल पूछा जाए, तो उसमें $\cos 90^\circ$ या $\sin 0^\circ$ खोजिए। ऐसा एक ही पद पूरे गुणनफल को 0 कर देता है।

सह-अनुपात बराबर हों तो कोणों का योग 90°

sin और cos, tan और cot, sec और cosec, ये आपस में सह-अनुपात (co-ratios) कहलाते हैं। प्रश्न में $\sin A = \cos B$, $\tan A = \cot B$ या $\sec A = \operatorname{cosec} B$ जैसी शर्त हो, और दोनों कोण न्यून हों, तो $A + B = 90^\circ$ होता है। बस दोनों कोण जोड़िए और योग को $90^\circ$ के बराबर रख दीजिए। किसी अनुपात को बदलने की ज़रूरत नहीं पड़ती।

चित्र देखिए। $\theta$ के सामने वाली भुजा ही $90^\circ - \theta$ कोण के बगल वाली भुजा है। इसीलिए $\sin\theta = \cos(90^\circ - \theta)$ और $\tan\theta = \cot(90^\circ - \theta)$ होता है।

मान लीजिए $\sin(2\theta + 10^\circ) = \cos(3\theta - 25^\circ)$ दिया है। दोनों कोण जोड़ें, तो $5\theta - 15^\circ = 90^\circ$ आता है, यानी $\theta = 21^\circ$। कोण $52^\circ$ और $38^\circ$ निकलते हैं, और दोनों न्यून हैं।

त्रिभुज के भीतर भी यही बात काम आती है। वहाँ $A + B + C = 180^\circ$ होता है, तो $\frac{B + C}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}$। इससे $\sin\frac{B + C}{2}$ बदलकर $\cos\frac{A}{2}$ हो जाता है, और $\tan\frac{A + B}{2}$ बदलकर $\cot\frac{C}{2}$।

दो बातें और।

• $\sin A = \sin B$ हो, तो न्यून कोणों के लिए $A = B$ होता है। कोण तभी जोड़िए, जब दोनों अनुपात सह-अनुपात की जोड़ी हों, यानी sin के साथ cos, tan के साथ cot, या sec के साथ cosec।
• उत्तर निकलने पर देख लीजिए कि दोनों कोण न्यून हैं। कोई कोण ऋणात्मक आए या $90^\circ$ से ऊपर चला जाए, तो हल में कहीं चूक हुई है।

विकल्पों को 45° रखकर जाँचें, फिर 30° या 60° रखकर

कभी प्रश्न पूछता है कि $\theta$ वाला कोई व्यंजक किस विकल्प के बराबर है। कभी ऐसा मान पूछा जाता है, जो $\theta$ पर निर्भर ही नहीं करता। ऐसे में सरल करने बैठने से पहले कोई आसान कोण रखकर देख लीजिए।

सबसे पहले $\theta = 45^\circ$ रखिए। वहाँ $\sin\theta = \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\tan\theta = 1$ होता है। उस कोण पर दिए गए व्यंजक का मान निकालिए, और चारों विकल्पों का भी। जो विकल्प मेल खाएँ, केवल उन्हें रखिए।

कभी दो विकल्प बराबर निकल आते हैं। ऐसा इसलिए होता है, क्योंकि $45^\circ$ पर sin और cos बराबर होते हैं, tan और cot बराबर होते हैं, और sec और cosec भी। तो जो दो विकल्प केवल ऐसी अदला-बदली से अलग हों, वे वहाँ हमेशा बराबर आएँगे। तब $30^\circ$ या $60^\circ$ रखकर दोबारा जाँचिए।

एक उदाहरण लेते हैं। $\frac{1 + \sec\theta}{\tan\theta + \sin\theta}$ सरल करना है, और विकल्प $\operatorname{cosec}\theta$, $\sec\theta$, $\sin\theta$ और $\cot\theta$ हैं।

• $45^\circ$ पर व्यंजक $\frac{1 + \sqrt{2}}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{(1 + \sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2}$ आता है। पर $\operatorname{cosec}\theta$ और $\sec\theta$, दोनों से $\sqrt{2}$ मिलता है, तो अभी फ़ैसला नहीं हुआ।
• अब $30^\circ$ रखिए, और अंश व हर को $2\sqrt{3}$ से गुणा कीजिए। $\frac{1 + \frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{2}} = \frac{2\sqrt{3} + 4}{2 + \sqrt{3}} = 2$ आता है। $\operatorname{cosec} 30^\circ = 2$ है, पर $\sec 30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}}$। तो उत्तर $\operatorname{cosec}\theta$ है।

यह जाँच तीन जगह सोच-समझकर कीजिए।

• प्रश्न में कोई शर्त दी हो, तो केवल वही कोण रखिए, जो शर्त पूरी करता हो। $\sin\theta = 2\cos\theta$ दिया हो, तो $45^\circ$ नहीं चलेगा, क्योंकि वहाँ sin और cos बराबर होते हैं।
• कुछ व्यंजकों में $45^\circ$ रखा ही नहीं जा सकता। हर में $1 - \tan\theta$ या $\sin\theta - \cos\theta$ हो, तो वहाँ हर शून्य हो जाता है। ऐसे में $30^\circ$ से शुरू कीजिए।
• $0^\circ$ और $90^\circ$ रखने से हिसाब जल्दी हो जाता है, पर इन पर tan, sec या cot अपरिभाषित हो जाते हैं। इन्हें तभी रखिए, जब सारे पद परिभाषित रहें।

विकल्पों के रूप से सर्वसमिका पहचानना

बहुत-से सरलीकरण असल में इन चार गुणनफलों पर टिके होते हैं।

$$(1 - \sin\theta)(1 + \sin\theta) = \cos^2\theta \qquad (1 - \cos\theta)(1 + \cos\theta) = \sin^2\theta$$

$$(\sec\theta - \tan\theta)(\sec\theta + \tan\theta) = 1 \qquad (\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta)(\operatorname{cosec}\theta + \cot\theta) = 1$$

प्रश्न का रूप देखकर उत्तर के रूप का अंदाज़ा लग जाता है। प्रश्न में $1 \pm \sin\theta$ हो, तो उत्तर sec और tan की ओर जाएगा। $1 \pm \cos\theta$ हो, तो cosec और cot की ओर।

व्यंजक ($\theta$ न्यून कोण)	मान
$\frac{1}{1 - \sin\theta} + \frac{1}{1 + \sin\theta}$	$2\sec^2\theta$
$\frac{1}{1 - \cos\theta} + \frac{1}{1 + \cos\theta}$	$2\operatorname{cosec}^2\theta$
$\frac{1}{1 - \sin\theta} - \frac{1}{1 + \sin\theta}$	$2\tan\theta\sec\theta$
$\sqrt{\frac{1 + \sin\theta}{1 - \sin\theta}}$	$\sec\theta + \tan\theta$
$\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}$	$\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta$
$\frac{1}{\sec\theta - \tan\theta}$	$\sec\theta + \tan\theta$

उदाहरण के लिए $\sqrt{\frac{\sec\theta + \tan\theta}{\sec\theta - \tan\theta}}$ लीजिए। $\sec\theta - \tan\theta$ से भाग देना वही है, जो $\sec\theta + \tan\theta$ से गुणा करना, क्योंकि दोनों एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं। तो भीतर की भिन्न $(\sec\theta + \tan\theta)^2$ हो जाती है, और उसका वर्गमूल $\sec\theta + \tan\theta$ है।

चाहें तो दूसरे ढंग से जाँच लीजिए। अंश और हर को $\cos\theta$ से गुणा करें, तो भिन्न $\frac{1 + \sin\theta}{1 - \sin\theta}$ हो जाती है। यह तालिका की चौथी पंक्ति ही है। विकल्पों में cosec और cot वाला कोई विकल्प हो, तो उसे एक नज़र में हटा दीजिए।

एक बात का ध्यान रखिए। तालिका की वर्गमूल वाली पंक्तियाँ $\theta$ को न्यून मानकर लिखी गई हैं, ताकि $\sec\theta + \tan\theta$ और बाकी व्यंजक धनात्मक रहें। कोण किसी दूसरे चतुर्थांश में हो, तो वर्गमूल के साथ ऋण चिह्न भी लगाना पड़ सकता है।

चौथी और छठी घात, एक पंक्ति में

चौथी या छठी घात वाले प्रश्न में सबसे पहले $x = \sin^2\theta\cos^2\theta$ लिख लीजिए। तब ये बातें एक-एक पंक्ति में निकल आती हैं।

• $\sin^4\theta + \cos^4\theta = 1 - 2x$ होता है।
• $\sin^6\theta + \cos^6\theta = 1 - 3x$ होता है।
• $\sin^4\theta - \cos^4\theta = \sin^2\theta - \cos^2\theta$ हो जाता है, क्योंकि दूसरा गुणनखंड $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ का मान 1 है।
• इसी कारण $\sec^4\theta - \tan^4\theta = \sec^2\theta + \tan^2\theta$ भी होता है।

पहली दो बातों से एक ऐसा नतीजा मिलता है, जो हर $\theta$ पर सही है। $2(\sin^6\theta + \cos^6\theta) - 3(\sin^4\theta + \cos^4\theta) + 1 = 2 - 6x - 3 + 6x + 1 = 0$।

जैसे $\sin\theta\cos\theta = \frac{2}{7}$ दिया है। इससे $x = \frac{4}{49}$, और $\sin^6\theta + \cos^6\theta = 1 - \frac{12}{49} = \frac{37}{49}$।

कई छात्र $\sin^4\theta + \cos^4\theta$ को 1 मान लेते हैं, पर ऐसा नहीं है। इसका मान $\frac{1}{2}$ और 1 के बीच रहता है। इसी तरह $\sin^6\theta + \cos^6\theta$ का मान $\frac{1}{4}$ और 1 के बीच रहता है। दोनों का सबसे छोटा मान $45^\circ$ पर आता है।

sec + tan का साथी, उसका व्युत्क्रम

sec और tan का योग और अंतर एक-दूसरे के व्युत्क्रम होते हैं, क्योंकि $(\sec\theta + \tan\theta)(\sec\theta - \tan\theta) = \sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$ है। इसलिए अगर $\sec\theta + \tan\theta = p$ दिया हो, तो बाकी सब तुरंत मिल जाता है।

• साथी व्यंजक $\sec\theta - \tan\theta = \frac{1}{p}$ है।
• दोनों को जोड़कर आधा करें, तो $\sec\theta = \frac{1}{2}\left(p + \frac{1}{p}\right) = \frac{p^2 + 1}{2p}$ आता है।
• घटाकर आधा करें, तो $\tan\theta = \frac{p^2 - 1}{2p}$। फिर $\sin\theta = \frac{\tan\theta}{\sec\theta} = \frac{p^2 - 1}{p^2 + 1}$।

cosec और cot के साथ भी यही चलता है। $\operatorname{cosec}\theta + \cot\theta = q$ हो, तो $\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta = \frac{1}{q}$, और $\cos\theta = \frac{q^2 - 1}{q^2 + 1}$।

उदाहरण के लिए $\sec\theta + \tan\theta = 9$ है। तब $\sec\theta - \tan\theta = \frac{1}{9}$, $\sec\theta = \frac{1}{2}\left(9 + \frac{1}{9}\right) = \frac{41}{9}$, $\tan\theta = \frac{40}{9}$ और $\sin\theta = \frac{40}{41}$।

पर यह तरीका हर जोड़ी पर नहीं चलता।

• गुणनफल 1 केवल sec के साथ tan का, और cosec के साथ cot का आता है। $\sin\theta + \cos\theta = p$ जैसी शर्त के लिए अगला तरीका देखिए।
• न्यून कोण पर p हमेशा 1 से अधिक होता है। $p < 1$ हो, तो $\tan\theta$ ऋणात्मक निकलेगा।

sin + cos दिया हो: वर्ग कर लें

$\sin\theta + \cos\theta = p$ दिया हो, तो सबसे पहले इसका वर्ग कीजिए। $1 + 2\sin\theta\cos\theta = p^2$ आता है, और इससे गुणनफल तुरंत मिल जाता है।

$$\sin\theta\cos\theta = \frac{p^2 - 1}{2}$$

बाकी सब इसी एक मान से निकल आता है।

• $\tan\theta + \cot\theta = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{2}{p^2 - 1}$
• $\sec\theta + \operatorname{cosec}\theta = \frac{\sin\theta + \cos\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{2p}{p^2 - 1}$
• $(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 2 - p^2$
• $\sin^3\theta + \cos^3\theta = p(1 - \sin\theta\cos\theta)$

योग की जगह अंतर दिया हो, यानी $\sin\theta - \cos\theta = q$, तो $\sin\theta\cos\theta = \frac{1 - q^2}{2}$ होता है।

मान लीजिए $\sin\theta + \cos\theta = \frac{11}{8}$ है। तब $\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\left(\frac{121}{64} - 1\right) = \frac{57}{128}$, और $\tan\theta + \cot\theta = \frac{128}{57}$। अंतर चाहिए, तो $\sin\theta - \cos\theta = \pm\sqrt{2 - \frac{121}{64}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{8}$।

वर्ग करने वाले इस तरीके में दो सावधानियाँ हैं।

• p कभी $\sqrt{2}$ से अधिक नहीं हो सकता, यानी लगभग 1.414 से। तो $\sin\theta + \cos\theta = \frac{10}{7}$ वाला कोई कोण नहीं होता, क्योंकि $\frac{10}{7}$ लगभग 1.43 है।
• वर्ग करने के बाद चिह्न का पता नहीं चलता। $\sin\theta - \cos\theta$ का मान $45^\circ$ से नीचे ऋणात्मक होता है, और उससे ऊपर धनात्मक।

संख्या + उसका व्युत्क्रम = 2

कोई भी धनात्मक संख्या और उसका व्युत्क्रम जोड़ें, तो योग कम से कम 2 आता है। ठीक 2 तभी आता है, जब वह संख्या 1 हो। यह नियम आप अध्याय 11 (बीजगणित) में पढ़ चुके हैं। त्रिकोणमिति में यह तीन जगह सीधे काम आता है।

• $\tan\theta + \cot\theta = 2$ हो, तो $\tan\theta = 1$ और $\theta = 45^\circ$। तब हर घात n के लिए $\tan^n\theta + \cot^n\theta = 2$ होगा।
• $\sin\theta + \operatorname{cosec}\theta = 2$ हो, तो $\sin\theta = 1$ और $\theta = 90^\circ$। इसी तरह $\cos\theta + \sec\theta = 2$ से $\theta = 0^\circ$ मिलता है।
• योग कोई दूसरा मान k हो, तो वर्ग कीजिए। $\tan^2\theta + \cot^2\theta = k^2 - 2$ आता है।

इससे मिलती-जुलती एक शर्त भी आती है। मान लीजिए $\sin\theta + \sin^2\theta = 1$ दिया है। इसका मतलब $\sin\theta = 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$ है। तब $\cos^2\theta + \cos^4\theta = \sin\theta + \sin^2\theta = 1$ होता है। $\cos^2\theta$ की घातों वाला कोई लंबा व्यंजक हो, तो उसे भी इसी संबंध से कदम-दर-कदम सरल कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए $\tan\theta + \cot\theta = 2$ है, तो $\theta = 45^\circ$। अब $\tan^{13}\theta + \sin^2\theta = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ तुरंत लिख सकते हैं।

ध्यान रखिए, $\tan\theta + \cot\theta = 1.5$ जैसा योग हो ही नहीं सकता। tan धनात्मक हो, तो योग कम से कम 2 होगा, और tan ऋणात्मक हो, तो अधिक से अधिक $-2$।

दोनों व्यंजकों में वही a और b: वर्ग करके जोड़ें

कुछ प्रश्नों में दो व्यंजक दिए होते हैं, जिनमें वही a और b आते हैं, बस sin और cos की जगहें बदली होती हैं। जैसे $x = a\cos\theta + b\sin\theta$ और $y = a\sin\theta - b\cos\theta$। दोनों का वर्ग करके जोड़ दीजिए।

$$x^2 + y^2 = a^2 + b^2$$

ऐसा इसलिए होता है, क्योंकि बीच वाले पद $2ab\sin\theta\cos\theta$ एक बार धन चिह्न के साथ और एक बार ऋण चिह्न के साथ आते हैं, और आपस में कट जाते हैं। अब दोनों में से एक का मान दिया हो, तो दूसरा $\pm\sqrt{a^2 + b^2 - (\text{दिया गया मान})^2}$ होगा।

दूसरे जोड़ों में भी इसी तरह $\theta$ हट जाता है। $x = a\sec\theta + b\tan\theta$ और $y = a\tan\theta + b\sec\theta$ हों, तो $x^2 - y^2 = a^2 - b^2$, क्योंकि $\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$ है।

जैसे $7\cos\theta + 24\sin\theta = 15$ दिया है। तब $7\sin\theta - 24\cos\theta = \pm\sqrt{49 + 576 - 225} = \pm\sqrt{400} = \pm 20$।

दिया हुआ मान ठीक $\sqrt{a^2 + b^2}$ के बराबर हो, तो साथी व्यंजक 0 आता है, और इससे $\theta$ तय हो जाता है। जैसे $8\cos\theta + 15\sin\theta = 17$ हो, तो $8\sin\theta - 15\cos\theta = 0$, यानी $\tan\theta = \frac{15}{8}$।

दो बातें ध्यान से देखिए।

• दूसरे व्यंजक में sin और cos की अदला-बदली होनी चाहिए, और साथ में एक चिह्न उलटा होना चाहिए। $6\cos\theta + 8\sin\theta$ और $6\sin\theta + 8\cos\theta$ का वर्ग करके जोड़ें, तो 100 नहीं आता।
• दी गई बातों से चिह्न कभी तय नहीं होता। उत्तर में $\pm$ बना रहता है, जब तक $\theta$ की कोई सीमा न दी हो।

a sin + b cos का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान

एक ही कोण के sin और cos को किन्हीं भी गुणांकों के साथ जोड़िए, व्यंजक का मान इन दो सिरों के बीच ही रहेगा।

$$-\sqrt{a^2 + b^2} \le a\sin\theta + b\cos\theta \le \sqrt{a^2 + b^2}$$

व्यंजक में बाहर से कोई अचर जुड़ा हो, तो वह दोनों सिरों को बस उतना खिसका देता है। गुणांक किसी पाइथागोरस त्रिक की दो संख्याएँ हों, तो वर्गमूल में कोई मेहनत नहीं लगती। जैसे $28\sin\theta + 45\cos\theta$ का मान $-53$ से 53 तक जाता है।

चित्र में एक पूरे चक्कर में $8\sin\theta + 6\cos\theta$ का मान दिखाया गया है। यह 10 और $-10$ को छूता है, पर 14 के पास भी कभी नहीं पहुँचता।

उदाहरण के लिए $8\sin\theta - 15\cos\theta + 3$ का मान $-17 + 3 = -14$ और $17 + 3 = 20$ के बीच रहता है।

तीन बातों में अक्सर गलती होती है।

• अधिकतम मान $a + b$ नहीं होता, क्योंकि एक ही कोण पर sin और cos कभी एक साथ 1 तक नहीं पहुँचते।
• $\theta$ को $0^\circ$ और $90^\circ$ के बीच ही रहना हो, तो निचला सिरा बदल जाता है। तब $8\sin\theta + 6\cos\theta$ केवल 6 ($0^\circ$ पर) से 10 तक जाता है।
• दोनों अनुपात एक ही कोण के होने चाहिए। $3\sin 2\theta + 4\cos\theta$ अलग तरह का प्रश्न है।

[SSC टिप] सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान अचर के दोनों ओर बराबर दूरी पर होते हैं, यानी दोनों का योग अचर का दोगुना होता है। ऊपर के उदाहरण में $20 + (-14) = 6$ आता है।

sin और cos के वर्ग साथ-साथ: a और b के बीच

जिस व्यंजक में sin और cos, दोनों के वर्ग अलग-अलग गुणांकों के साथ हों, उसे $a\sin^2\theta + b\cos^2\theta = b + (a - b)\sin^2\theta$ लिख लीजिए। $\sin^2\theta$ का मान 0 से 1 तक जाता है, तो पूरा व्यंजक b से a तक जाता है। यानी इसका मान हमेशा a और b के बीच रहता है।

जैसे $5\sin^2\theta + 9\cos^2\theta$ का मान हमेशा 5 और 9 के बीच रहता है।

इसी रूप से कोण भी निकल आता है। मान लीजिए $6\sin^2\theta + 2\cos^2\theta = 5$ है। इसे ऊपर की तरह लिखें, तो $2 + 4\sin^2\theta = 5$, यानी $\sin^2\theta = \frac{3}{4}$। इससे $\theta = 60^\circ$ और $\tan\theta = \sqrt{3}$ मिलता है।

दो और सीमाएँ याद रखने लायक हैं। $\sin\theta\cos\theta$ कभी $\frac{1}{2}$ से ऊपर नहीं जाता, और $\sin^4\theta + \cos^4\theta$ हमेशा $\frac{1}{2}$ और 1 के बीच रहता है।

बस इतना देख लीजिए कि दोनों पद वर्ग वाले हों और दोनों में कोण एक ही हो। $a\sin^2\theta + b\cos\theta$ असल में $\cos\theta$ का द्विघात व्यंजक है। उसकी सीमा लंबे तरीके से ही निकलती है।

tan और cot के वर्गों का AM-GM वाला न्यूनतम मान

अध्याय 11 (बीजगणित) में AM-GM असमिका आ चुकी है। धनात्मक संख्याओं के लिए $px + \frac{q}{x} \ge 2\sqrt{pq}$ होता है, और बराबरी तब होती है, जब $px = \frac{q}{x}$ हो। अब $\tan^2\theta\cot^2\theta = 1$ है, तो यही नियम यहाँ लग जाता है।

• $a\tan^2\theta + b\cot^2\theta \ge 2\sqrt{ab}$ होता है।
• $a\sec^2\theta + b\operatorname{cosec}^2\theta = (a + b) + a\tan^2\theta + b\cot^2\theta \ge (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ होता है।
• $\sin^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta \ge 2$ और $\cos^2\theta + \sec^2\theta \ge 2$ होते हैं।

जैसे $16\tan^2\theta + 9\cot^2\theta \ge 2\sqrt{144} = 24$, और $4\sec^2\theta + 25\operatorname{cosec}^2\theta \ge (2 + 5)^2 = 49$।

पर एक शर्त है कि बराबरी सच में संभव हो। $\cos^2\theta + 4\sec^2\theta$ में नियम 4 बताता है, पर उसके लिए $\cos^2\theta = 2$ चाहिए, जबकि $\cos^2\theta$ 1 से आगे नहीं जा सकता। यहाँ न्यूनतम मान $\cos^2\theta = 1$ पर आता है (यानी $\theta = 0^\circ$ पर), और वह $1 + 4 = 5$ है।

tan और cot में यह दिक़्क़त नहीं आती, क्योंकि $\tan^2\theta$ कोई भी धनात्मक मान ले सकता है। एक बात और, इनमें से किसी भी व्यंजक का कोई अधिकतम मान नहीं होता।

संबद्ध कोण: पहले चिह्न, फिर अनुपात

बड़े या ऋणात्मक कोण का कोई अनुपात निकालना हो, तो ये तीन कदम क्रम से कीजिए।

1. पहले पूरे चक्कर हटा दीजिए, यानी जितनी बार हो सके, $360^\circ$ घटाइए। कोण ऋणात्मक हो, तो $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, $\cos(-\theta) = \cos\theta$ और $\tan(-\theta) = -\tan\theta$ लगाइए।
2. फिर देखिए कि कोण किस चतुर्थांश में है, और चित्र से उस चतुर्थांश का चिह्न लिख लीजिए।
3. अब कोण को $180^\circ \pm \theta$ या $360^\circ - \theta$ के रूप में लिखें, तो अनुपात वही रहता है। $90^\circ \pm \theta$ या $270^\circ \pm \theta$ के रूप में लिखें, तो सह-अनुपात पर जाना पड़ता है, यानी sin से cos, tan से cot और sec से cosec।

चिह्न याद रखने का एक आम ढंग है। प्रथम चतुर्थांश से वामावर्त चलें, तो क्रम है सभी, sin, tan, cos। हर चतुर्थांश में यही अनुपात (और उसका व्युत्क्रम) धनात्मक होता है।

जैसे $\sin 1290^\circ$ निकालना है। इसमें से $3 \times 360^\circ = 1080^\circ$ घटाइए, तो $210^\circ$ बचता है। यह तृतीय चतुर्थांश में है, जहाँ sin ऋणात्मक होता है। अब $210^\circ = 180^\circ + 30^\circ$ है, तो $\sin 1290^\circ = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$।

दो चूकें बहुत आम हैं।

• चिह्न मूल कोण के चतुर्थांश से तय होता है, $30^\circ$ से नहीं। $\sin 210^\circ = \frac{1}{2}$ लिख देना आम गलती है।
• $90^\circ + \theta$ वाले रूप में अनुपात बदल जाता है, पर चिह्न फिर भी चतुर्थांश से ही आता है। जैसे $\cos(90^\circ + \theta) = -\sin\theta$।

15° और 75° के मान, और योग 45° वाले जोड़े

ये मान $45^\circ - 30^\circ$ और $45^\circ + 30^\circ$ से निकलते हैं। इन्हें याद कर लीजिए।

अनुपात	$15^\circ$	$75^\circ$
sin	$\frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$
cos	$\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$
tan	$2 - \sqrt{3}$	$2 + \sqrt{3}$

तालिका से कुछ बातें झटपट निकल आती हैं। $\tan 15^\circ + \tan 75^\circ = 4$, $\tan 15^\circ\tan 75^\circ = 1$ और $\sin 15^\circ\cos 15^\circ = \frac{1}{4}$। इनके साथ $\tan 22.5^\circ = \sqrt{2} - 1$ और $\tan 67.5^\circ = \sqrt{2} + 1$ भी याद रखिए।

योग 45° वाले जोड़े: जब $A + B = 45^\circ$ हो, तो $\tan A + \tan B = 1 - \tan A\tan B$ होता है। पदों को फिर से सजाएँ, तो $(1 + \tan A)(1 + \tan B) = 2$ आता है। cot में यही बात $(\cot A - 1)(\cot B - 1) = 2$ के रूप में आती है।

ऊपर वाले योग और गुणनफल से वर्गों का योग तुरंत निकलता है। $\tan^2 75^\circ + \tan^2 15^\circ = (\tan 75^\circ + \tan 15^\circ)^2 - 2\tan 75^\circ\tan 15^\circ = 16 - 2 = 14$।

दो गलतियों से बचिए।

• $\tan 15^\circ$ को $\tan 45^\circ - \tan 30^\circ$ के बराबर मत लिखिए, और $\sin 75^\circ$ को $\sin 45^\circ + \sin 30^\circ$ के बराबर भी नहीं। योग या अंतर वाले कोण का अनुपात संयुक्त कोण वाले सूत्र से ही निकलता है।
• गुणनफल 2 तभी आता है, जब $\tan(A + B) = 1$ हो, यानी $A + B = 45^\circ$ या $225^\circ$। $A + B = 135^\circ$ हो, तो इसकी जगह $(1 - \tan A)(1 - \tan B) = 2$ लगता है।

tan से सीधे द्विगुण कोण

tan का मान दिया हो और द्विगुण कोण के अनुपात पूछे जाएँ, तो $t = \tan\theta$ रखिए। फिर तीनों अनुपात इन सूत्रों से मिल जाते हैं।

$$\sin 2\theta = \frac{2t}{1 + t^2} \qquad \cos 2\theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \qquad \tan 2\theta = \frac{2t}{1 - t^2}$$

अगर $t = \frac{p}{q}$ हो, तो $\sin 2\theta = \frac{2pq}{p^2 + q^2}$ और $\cos 2\theta = \frac{q^2 - p^2}{p^2 + q^2}$। इसके लिए कोई त्रिभुज बनाना नहीं पड़ता।

इन्हीं सूत्रों से तीन छोटे सरलीकरण भी मिलते हैं। $\frac{1 - \cos 2\theta}{\sin 2\theta} = \tan\theta$, $\frac{1 + \cos 2\theta}{\sin 2\theta} = \cot\theta$ और $\frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta} = \tan^2\theta$।

जैसे $\tan\theta = \frac{2}{3}$ हो, तो $\sin 2\theta = \frac{12}{4 + 9} = \frac{12}{13}$ और $\cos 2\theta = \frac{9 - 4}{13} = \frac{5}{13}$।

इन सूत्रों में दो जगह सावधानी चाहिए।

• $\sin 2\theta$ और $2\sin\theta$ बराबर नहीं होते। $\theta = 30^\circ$ पर $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है, जबकि $2\sin 30^\circ = 1$।
• $t = 1$ पर $\tan 2\theta$ अपरिभाषित होता है, क्योंकि तब $2\theta$ बराबर $90^\circ$ हो जाता है।

पहले असंभव विकल्प बाहर करें

कोई भी हल शुरू करने से पहले वे विकल्प काट दीजिए, जो सच हो ही नहीं सकते। इसके लिए ये तीन बातें काफ़ी हैं।

• $\sin\theta$ और $\cos\theta$ हमेशा $-1$ और 1 के बीच रहते हैं, जबकि $\sec\theta$ और $\operatorname{cosec}\theta$ कभी $-1$ और 1 के बीच नहीं आते। तो $\cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$ या $\sec\theta = \frac{3}{4}$ जैसा विकल्प तुरंत हटा दीजिए।
• न्यून कोणों पर कोण बढ़ने के साथ sin और tan बढ़ते हैं, और cos घटता है। $45^\circ$ से नीचे $\cos\theta > \sin\theta$ होता है, और उससे ऊपर $\sin\theta > \cos\theta$।
• $\sin\theta + \cos\theta$ अधिक से अधिक $\sqrt{2}$ हो सकता है, और न्यून कोण पर यह 1 से अधिक रहता है।

गलत विकल्प प्रायः कुछ गिनी-चुनी चूकों से बनाए जाते हैं। कोई sin और cos के मान आपस में बदल देता है, कोई $\sqrt{3}$ की जगह $\frac{1}{\sqrt{3}}$ लिख देता है, तो कोई व्युत्क्रम अनुपात ले लेता है। कहीं द्वितीय चतुर्थांश में ऋण चिह्न छूट जाता है, कहीं रेडियन वाला उत्तर बिना $\pi$ के लिख दिया जाता है। कोई $\cos(A + B)$ को $\cos A + \cos B$ मान लेता है, और कोई अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ की जगह $a + b$ ले लेता है।

अगर दो विकल्पों में ठीक ऐसी किसी एक चूक का अंतर दिखे, तो उत्तर अक्सर उन्हीं दोनों में से एक होता है।

एक उदाहरण देखिए। कोण रेडियन में है, और पूछा गया है कि $\sin 1$ बड़ा है या $\cos 1$। एक रेडियन लगभग $57^\circ$ होता है, यानी $45^\circ$ से आगे। इसलिए $\sin 1$ बड़ा है।

पर इन जाँचों से विकल्प बस कम होते हैं। अकेले इनके सहारे उत्तर शायद ही कभी मिलता है। दो विकल्प फिर भी बचे रहें, तो प्रश्न हल करना ही पड़ेगा।

हल किए गए उदाहरण

नीचे का हर प्रश्न इसी खंड के किसी एक तरीके से हल होता है। कुछ प्रश्नों के साथ यह भी लिखा है कि उनमें करीब कितना समय लगना चाहिए। तरीका सध जाए, तो बाकी प्रश्न भी लगभग उतने ही समय में हो जाने चाहिए।

प्रश्न 1

$\frac{3\tan^2 30^\circ + 4\cos^2 45^\circ}{\operatorname{cosec}^2 45^\circ + \sec^2 30^\circ}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ सब कुछ वर्ग में है, तो वर्ग वाले मान रख देते हैं। $\tan^2 30^\circ = \frac{1}{3}$, $\cos^2 45^\circ = \frac{1}{2}$, $\operatorname{cosec}^2 45^\circ = 2$ और $\sec^2 30^\circ = \frac{4}{3}$। अंश $1 + 2 = 3$ आता है और हर $2 + \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$। तो मान $3 \times \frac{3}{10}$ = $\frac{9}{10}$ है।

इसमें लगभग 15 सेकंड लगते हैं।

प्रश्न 2

7:20 पर घड़ी की सुइयों के बीच का छोटा कोण रेडियन में ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सूत्र में घंटे 7 और मिनट 20 रखते हैं। $|30 \times 7 - 5.5 \times 20| = |210 - 110| = 100^\circ$ आता है। यह $180^\circ$ से कम है, तो छोटा कोण यही है। रेडियन में यह $\frac{100}{180}\pi$ = $\frac{5\pi}{9}$ हुआ।

प्रश्न 3

यदि $\operatorname{cosec}\theta = \frac{85}{13}$ है और $\theta$ एक न्यून कोण है, तो $\sec\theta - \tan\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: cosec कर्ण बटा लंब होता है, तो लंब 13 है और कर्ण 85। 13-84-85 वाले त्रिक से आधार 84 आता है। अब $\sec\theta - \tan\theta = \frac{85}{84} - \frac{13}{84} = \frac{72}{84}$ = $\frac{6}{7}$।

प्रश्न 4

यदि $5\cot\theta = 2$ है, तो $\frac{10\cos\theta + 3\sin\theta}{5\cos\theta - \sin\theta}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ cot दिया है, इसलिए अंश और हर को $\sin\theta$ से भाग देते हैं। cot वाले पदों में दिया हुआ मान रखते ही $\frac{10\cot\theta + 3}{5\cot\theta - 1} = \frac{4 + 3}{2 - 1}$ = 7 आ जाता है।

प्रश्न 5

$\cos^2 9^\circ + \cos^2 18^\circ + \cos^2 27^\circ + \cdots + \cos^2 81^\circ + \cos^2 90^\circ$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: $9^\circ$ से $81^\circ$ तक, 9 के अंतर से, $\frac{81 - 9}{9} + 1 = 9$ पद हैं। इनमें योग $90^\circ$ वाले चार जोड़े बनते हैं, $9^\circ$ के साथ $81^\circ$, $18^\circ$ के साथ $72^\circ$, $27^\circ$ के साथ $63^\circ$ और $36^\circ$ के साथ $54^\circ$। बीच का पद $\cos^2 45^\circ = \frac{1}{2}$ अकेला बचता है। आख़िरी पद $\cos^2 90^\circ$ का मान 0 है, 1 नहीं। कुल योग $4\frac{1}{2}$ है।

जोड़े बनाने की आदत हो, तो यह करीब 20 सेकंड का काम है।

प्रश्न 6

यदि $\sin(5\theta - 8^\circ) = \cos(3\theta + 18^\circ)$ है, जहाँ दोनों कोण न्यून कोण हैं, तो $\sec(3\theta + 30^\circ)$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: यहाँ sin और cos बराबर दिए हैं, तो दोनों कोणों का योग $90^\circ$ होगा। $8\theta + 10^\circ = 90^\circ$, यानी $\theta = 10^\circ$। दोनों कोण $42^\circ$ और $48^\circ$ आते हैं, जो सच में न्यून हैं। अब $\sec(30^\circ + 30^\circ) = \sec 60^\circ$ = 2।

प्रश्न 7

निम्नलिखित में से कौन-सा $(\operatorname{cosec}\theta - \sin\theta)(\sec\theta - \cos\theta)(\tan\theta + \cot\theta)$ के बराबर है: 1, $\tan\theta$, $\sin\theta\cos\theta$ या 2?

उत्तर: पहले $\theta = 45^\circ$ रखते हैं। $\left(\sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \times 2 = \frac{1}{2} \times 2 = 1$ आता है। इससे $\sin\theta\cos\theta$ (जो वहाँ $\frac{1}{2}$ है) और 2 वाले विकल्प हट जाते हैं। पर $\tan 45^\circ$ भी 1 है, इसलिए $60^\circ$ रखकर देखते हैं। $\left(\frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(2 - \frac{1}{2}\right)\left(\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \times \frac{3}{2} \times \frac{4}{\sqrt{3}} = 1$। फिर से 1 आया, जबकि $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ है। तो व्यंजक 1 के बराबर है।

प्रश्न 8

यदि $\frac{1}{1 + \sin\theta} + \frac{1}{1 - \sin\theta} = 8$ है और $\theta$ एक न्यून कोण है, तो $\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दोनों हर एक-दूसरे के संयुग्मी हैं, तो योग $\frac{2}{1 - \sin^2\theta} = 2\sec^2\theta$ हो जाता है। अब $2\sec^2\theta = 8$, यानी $\sec\theta = 2$, और $\theta$ = $60^\circ$।

प्रश्न 9

यदि $\sin\theta\cos\theta = \frac{2}{5}$ है, तो $\sin^4\theta + \cos^4\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: चौथी घात वाली सर्वसमिका लगाते हैं और गुणनफल का वर्ग रख देते हैं। $\sin^4\theta + \cos^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta = 1 - 2 \times \frac{4}{25}$ = $\frac{17}{25}$।

प्रश्न 10

यदि $\sec\theta + \tan\theta = 6$ है, तो $\sin\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सीधे सूत्र लगाते हैं। $\sin\theta = \frac{p^2 - 1}{p^2 + 1} = \frac{36 - 1}{36 + 1}$ = $\frac{35}{37}$। लंबे रास्ते से भी यही आता है। $\sec\theta - \tan\theta = \frac{1}{6}$ लेकर $\sec\theta = \frac{37}{12}$ और $\tan\theta = \frac{35}{12}$ मिलते हैं, और tan को sec से भाग देने पर वही मान आता है।

इस सूत्र से उत्तर लगभग 10 सेकंड में आ जाता है।

प्रश्न 11

यदि $\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta = \frac{2}{7}$ है, तो $\cos\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: साथी व्यंजक इसका व्युत्क्रम होता है, तो $\operatorname{cosec}\theta + \cot\theta = \frac{7}{2}$। दोनों को जोड़कर आधा करें, तो $\operatorname{cosec}\theta = \frac{1}{2}\left(\frac{7}{2} + \frac{2}{7}\right) = \frac{53}{28}$, और घटाकर आधा करें, तो $\cot\theta = \frac{45}{28}$। अब $\cos\theta = \frac{\cot\theta}{\operatorname{cosec}\theta}$ = $\frac{45}{53}$।

प्रश्न 12

यदि $\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{7}$ है, तो $\tan\theta + \cot\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: दिए गए अंतर का वर्ग करते हैं। $1 - 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{49}$ आता है, तो $\sin\theta\cos\theta = \frac{24}{49}$। अब $\tan\theta + \cot\theta = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta}$ = $\frac{49}{24}$।