कोण, रेडियन और त्रिकोणमितीय अनुपात

डिग्री, मिनट और सेकंड

कोई रेखा किसी बिंदु के चारों ओर जितना घूमती है, उस घुमाव के माप को कोण कहते हैं। एक पूरा चक्कर 360° का होता है। इसका आधा, यानी ऋजु कोण, 180° का होता है और समकोण 90° का। 90° से छोटा कोण न्यून कोण कहलाता है। जो कोण 90° से बड़ा हो पर 180° से छोटा, वह अधिक कोण कहलाता है।

कोण को और बारीकी से मापना हो, तो डिग्री को भी छोटे हिस्सों में बाँटते हैं। हर डिग्री में 60 मिनट होते हैं और हर मिनट में 60 सेकंड।

1° = 60′ (मिनट), 1′ = 60″ (सेकंड), अतः 1° = 3600″

ध्यान रखिए, ये मिनट और सेकंड घुमाव के माप हैं, समय के नहीं। फिर भी इनका जोड़-घटाव ठीक घड़ी के घंटे, मिनट और सेकंड की तरह ही होता है।

डिग्री-मिनट-सेकंड से दशमलव: मिनटों को 60 से भाग दीजिए और सेकंडों को 3600 से। फिर सबको डिग्री में जोड़ दीजिए।

• 25°30′ = 25 + 30/60 = 25.5°
• 18°45′36″ = 18 + 45/60 + 36/3600 = 18 + 0.75 + 0.01 = 18.76°

दशमलव से डिग्री और मिनट: अब उलटा काम करना है। दशमलव वाले भाग को 60 से गुणा कीजिए, मिनट मिल जाएँगे।

• 32.4° = 32° + (0.4 × 60)′ = 32°24′
• 47.85° = 47°51′, क्योंकि 0.85 × 60 = 51

यहाँ कई छात्र 32.4° को 32°40′ पढ़ लेते हैं। यह गलत है। .4 का मतलब है डिग्री का चार-दसवाँ भाग। एक डिग्री में 60 मिनट होते हैं, और 60 मिनट का चार-दसवाँ भाग 24 मिनट है।

जोड़ना और घटाना: डिग्री को डिग्री में, मिनट को मिनट में और सेकंड को सेकंड में जोड़िए या घटाइए। समय की तरह यहाँ भी 60 पूरे होने पर हासिल आगे जाता है, और घटाते समय कम पड़े, तो 60 उधार ले लेते हैं।

जैसे 36°48′25″ का कोटिपूरक कोण निकालना है। इसके लिए इसे 90° में से घटाना होगा। 90° में मिनट और सेकंड हैं ही नहीं, तो पहले 90° को 89°59′60″ लिख लीजिए। अब घटाइए। 89°59′60″ − 36°48′25″ = 53°11′35″।

एक और उदाहरण देखिए। किसी त्रिभुज के दो कोण 63°24′ और 48°51′ हैं। इनका योग 111°75′ आता है। 75′ में से 60′ की एक डिग्री निकल आती है और 15′ बचते हैं, तो योग 112°15′ हुआ। अब तीसरा कोण = 180° − 112°15′ = 67°45′।

अगली इकाई रेडियन है। डिग्री-मिनट वाले किसी कोण को रेडियन में बदलना हो, तो पहले उसे डिग्री की एक ही संख्या के रूप में लिख लीजिए, दशमलव में या भिन्न में। जैसे 25°40′ में 40′ एक डिग्री का दो-तिहाई है, तो 25°40′ = $25\frac{2}{3}$ डिग्री = $\frac{77}{3}$ डिग्री।

रेडियन

कोण केवल डिग्री में ही नहीं मापे जाते। कोण मापने की एक और इकाई है, रेडियन।

मान लीजिए किसी वृत्त की त्रिज्या r है। उसके किनारे पर ठीक r लंबाई का एक चाप लीजिए। यह चाप वृत्त के केंद्र पर जितना कोण बनाता है, उसे एक रेडियन (1 रेडियन) कहते हैं।

वृत्त की पूरी परिधि $2\pi r$ होती है। मतलब पूरी परिधि में r लंबाई वाले ऐसे $2\pi$ चाप आ जाते हैं। इसलिए एक पूरा चक्कर $2\pi$ रेडियन का होता है।

अब आधा चक्कर लीजिए, जो डिग्री में 180° है। डिग्री से रेडियन हो या रेडियन से डिग्री, हर बदलाव इसी एक बात से होता है।

$$\pi \text{ रेडियन} = 180^\circ \qquad 1 \text{ रेडियन} = \frac{180^\circ}{\pi} \qquad 1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ रेडियन}$$

डिग्री से रेडियन: डिग्री वाले कोण को $\frac{\pi}{180}$ से गुणा कर दीजिए। जैसे $150^\circ = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$।

रेडियन से डिग्री: अब $\frac{180}{\pi}$ से गुणा कीजिए। यह $\pi$ की जगह 180° लिख देने जैसा ही है। जैसे $\frac{7\pi}{9} = \frac{7 \times 180^\circ}{9} = 140^\circ$।

नीचे वाले जोड़े ज़बानी याद रखिए। ये बार-बार काम आते हैं।

कोण में मिनट भी हों: तब पहले मिनटों को डिग्री की भिन्न में बदल लीजिए। जैसे 22°30′ में 30′ आधी डिग्री है, तो 22°30′ = $22\frac{1}{2} = \frac{45}{2}$ डिग्री। अब $\frac{45}{2} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{8}$ रेडियन।

$\pi$ के बिना रेडियन: 2 रेडियन के कोण में $\pi$ है ही नहीं। इसे डिग्री में बदलना हो, तो $\pi = \frac{22}{7}$ रख दीजिए। $2 \times \frac{180}{\pi} = 360 \times \frac{7}{22} \approx 114.5^\circ$ आता है। इसी तरह 1 रेडियन $= \frac{630}{11}$ डिग्री है, जो 57° से थोड़ा अधिक है।

एक बात याद रखिए। कोण के साथ डिग्री का चिह्न न लगा हो, जैसे $\theta = \frac{\pi}{4}$ या $\theta = 2$, तो वह कोण रेडियन में है।

[SSC टिप] डिग्री से रेडियन वाले प्रश्न में एक विकल्प ऐसा भी हो सकता है, जिसमें भिन्न तो सही है पर $\pi$ गायब है। जैसे 150° के लिए $\frac{5}{6}$। उत्तर में $\pi$ बना रहना चाहिए। हाँ, प्रश्न में $\pi = \frac{22}{7}$ रखने को कहा हो, तो बात अलग है।

रेडियन में कोण: चाप की लंबाई और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

त्रिज्या जितना लंबा चाप केंद्र पर 1 रेडियन का कोण बनाता है। तो जो चाप केंद्र पर $\theta$ रेडियन का कोण बनाए, उसकी लंबाई त्रिज्या की $\theta$ गुनी होगी।

$$l = r\theta \qquad \theta = \frac{l}{r} \qquad (\theta \text{ रेडियन में})$$

इस चाप से वृत्त का एक त्रिज्यखंड कटता है। उसका क्षेत्रफल इस सूत्र से निकलता है।

$$A = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}lr$$

अध्याय 13 (क्षेत्रमिति) में भी यही सूत्र आए थे, पर वहाँ कोण डिग्री में था। इसलिए वहाँ $\frac{\theta}{360}$ और $2\pi$ अलग से दिखते हैं। रेडियन में ये दोनों पहले से $\theta$ में ही समाए रहते हैं। इसीलिए ये सूत्र इतने छोटे हैं।

कोण से चाप: 21 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में केंद्रीय कोण $\frac{2\pi}{3}$ है। तो चाप $l = 21 \times \frac{2\pi}{3} = 14\pi = 44$ सेमी है। यहाँ $\pi = \frac{22}{7}$ रखा है। इसी त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 44 \times 21 = 462$ वर्ग सेमी है।

चाप से कोण: 14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त पर 33 सेमी लंबा चाप है। केंद्र पर इसका कोण $\theta = \frac{33}{14}$ रेडियन होगा। इसे डिग्री में भी बदल लेते हैं।

$$\frac{33}{14} \times \frac{180}{\pi} = \frac{33}{14} \times 180 \times \frac{7}{22} = 135^\circ$$

दोलन करता लोलक: लोलक का गोलक एक चाप पर चलता है। इस चाप की त्रिज्या लोलक की लंबाई के बराबर होती है। जैसे 42 सेमी लंबा कोई लोलक 30° के कोण से दोलन करे, तो गोलक $42 \times \frac{\pi}{6} = 7\pi = 22$ सेमी का पथ तय करता है।

[SSC टिप] $l = r\theta$ तभी सही है, जब $\theta$ रेडियन में हो। ऊपर वाले वृत्त में कोई 120° सीधे रख दे, तो चाप 21 × 120 = 2520 सेमी आएगा। यह तो पूरी परिधि 132 सेमी से भी कहीं लंबा है। इसलिए पहले डिग्री को रेडियन में बदलिए।

पहिए, घुमाव और मोड़ पर चलती रेलगाड़ी

पहिया एक चक्कर लगाता है, तो वह पूरा 360° घूम जाता है, यानी $2\pi$ रेडियन। इसलिए चक्कर कितने भी हों, घूमा हुआ कोण इस तरह निकलता है।

$$\text{घूमा हुआ कोण (रेडियन में)} = 2\pi \times \text{चक्करों की संख्या}$$

मान लीजिए कोई पहिया एक मिनट में 480 चक्कर लगाता है। तो एक सेकंड में 8 चक्कर हुए, और हर सेकंड वह $8 \times 2\pi = 16\pi$ रेडियन घूमता है। पूरे एक मिनट में वह $960\pi$ रेडियन घूमेगा। इसलिए प्रश्न ध्यान से पढ़िए कि कोण प्रति सेकंड पूछा गया है या प्रति मिनट।

ज़मीन पर लुढ़कता पहिया: पहिया बिना फिसले लुढ़के, तो पहिए के किनारे का जितना हिस्सा सड़क को छू चुका होता है, सड़क पर उतनी ही दूरी तय होती है। कोण रेडियन में हो, तो सूत्र ये हैं।

$$\text{लुढ़ककर तय की गई दूरी} = r\theta \qquad \theta = \frac{\text{दूरी}}{r}$$

जैसे 35 सेमी त्रिज्या वाला पहिया 11 मीटर, यानी 1100 सेमी, लुढ़का। तो घूमा हुआ कोण $\frac{1100}{35} = \frac{220}{7}$ रेडियन है। $\pi = \frac{22}{7}$ लें, तो यह $10\pi$ रेडियन हुआ, यानी 5 पूरे चक्कर। चक्कर गिनकर जाँच भी कर लेते हैं। एक चक्कर में पहिया $2\pi \times 35 = 220$ सेमी चलता है, और 1100 ÷ 220 = 5। नतीजा वही है।

वृत्ताकार पटरी पर रेलगाड़ी: मोड़ पर रेलगाड़ी पटरी के एक चाप पर चलती है। मोड़ के केंद्र पर रेलगाड़ी जितना कोण घूमती है, उसे निकालने के लिए तय की गई दूरी को त्रिज्या से भाग दे दीजिए।

मान लीजिए कोई रेलगाड़ी 72 किमी/घंटा की चाल से 1.4 किमी त्रिज्या वाले मोड़ पर चल रही है। मीटर प्रति सेकंड में उसकी चाल $72 \times \frac{5}{18} = 20$ हुई, तो 11 सेकंड में वह 220 मीटर चलती है। अब घूमा हुआ कोण निकालिए।

$$\theta = \frac{220}{1400} = \frac{11}{70} \text{ रेडियन} = \frac{11}{70} \times 180 \times \frac{7}{22} = 9^\circ$$

भाग देने से पहले दूरी और त्रिज्या एक ही इकाई में होनी चाहिए। यहाँ त्रिज्या 1.4 किमी, यानी 1400 मीटर है, और दूरी 220 मीटर। तो $\frac{220}{1400}$ लिखना है, $\frac{220}{1.4}$ नहीं।

उत्तर रेडियन में या डिग्री में: पहियों और पटरियों वाले प्रश्नों में कोण रेडियन में भी पूछा जा सकता है और डिग्री में भी। रेडियन वाला मान तो बस दो लंबाइयों का सीधा अनुपात है। $\frac{180}{\pi}$ से गुणा तभी कीजिए, जब उत्तर डिग्री में चाहिए हो।

घड़ी की सुइयाँ, चक्कर का हिस्सा और अनुपात में कोण

घड़ी की सुइयाँ: मिनट की सुई 60 मिनट में एक चक्कर लगाती है, और घंटे की सुई 12 घंटे में। इससे दो बातें निकलती हैं।

• मिनट की सुई हर मिनट 6° घूमती है, यानी प्रति मिनट $\frac{\pi}{30}$ रेडियन।
• घंटे की सुई हर घंटे 30° घूमती है, यानी प्रति मिनट 0.5° या $\frac{\pi}{360}$ रेडियन।

अब मान लीजिए घड़ी में h बजकर m मिनट हुए हैं। तब घंटे की सुई 12 से (30h + 0.5m)° आगे होती है, और मिनट की सुई 12 से 6m° आगे। दोनों सुइयों के बीच का कोण इन दोनों का अंतर है, यानी |30h − 5.5m|। यह 180° से ज़्यादा आए, तो छोटा कोण 360° − वह मान होगा।

जैसे 2:30 बजे घंटे की सुई 12 से 30 × 2 + 0.5 × 30 = 75° आगे है। मिनट की सुई 6 पर है, यानी 180° पर। दोनों में 105° का अंतर है, जो $105 \times \frac{\pi}{180} = \frac{7\pi}{12}$ रेडियन हुआ। यहाँ गलती अक्सर यह होती है कि घंटे की सुई को 2 पर ही मान लेते हैं। 2:30 बजे वह 2 और 3 के ठीक बीच में होती है।

समय बीतने पर सुइयाँ कितना घूमीं, यह भी इसी तरह निकलता है। दोपहर 12 बजे से 3:40 बजे तक 220 मिनट होते हैं। इतने समय में घंटे की सुई 220 × 0.5 = 110° घूमती है, यानी $\frac{11\pi}{18}$ रेडियन। मिनट की सुई 220 × 6 = 1320° घूमती है, यानी $\frac{22\pi}{3}$ रेडियन। मतलब तीन पूरे चक्कर और ऊपर से 240°।

सुई का सिरा भी एक चाप पर चलता है। मान लीजिए मिनट की सुई 7 सेमी लंबी है। 30 मिनट में सुई $\pi$ रेडियन घूमती है, तो उसका सिरा $7\pi = 22$ सेमी चलता है।

पूरे चक्कर का कितना हिस्सा: कोण को 360° से भाग दीजिए। कोण रेडियन में हो, तो $2\pi$ से भाग दीजिए। प्रतिशत चाहिए, तो फिर 100 से गुणा कर दीजिए।

• 72° के लिए $\frac{72}{360}$ निकलता है, जो पूरे चक्कर का 20% है।
• $\frac{3\pi}{4}$ चक्कर का $\frac{3}{8}$ है, यानी 37.5%।
• एक रेडियन चक्कर का $\frac{1}{2\pi} = \frac{7}{44}$ है, जो 16% से थोड़ा कम है।
• उलटा भी निकाल सकते हैं। पूरे चक्कर का 40% लें, तो 144° आता है, यानी $\frac{4\pi}{5}$।

अनुपात में दिए कोण: त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है, यानी $\pi$ रेडियन। चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है, यानी $2\pi$। जैसे किसी त्रिभुज के कोणों का अनुपात 2 : 3 : 7 है। भागों का योग 12 है, तो कोण 180° के $\frac{2}{12}$, $\frac{3}{12}$ और $\frac{7}{12}$ होंगे। यानी 30°, 45° और 105°, जो रेडियन में $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$ और $\frac{7\pi}{12}$ हैं।

छह त्रिकोणमितीय अनुपात

त्रिकोणमिति की शुरुआत समकोण त्रिभुज से होती है। नीचे के त्रिभुज ABC में समकोण B पर है। जिस कोण के बारे में हमें पढ़ना है, वह $\theta$ है और A पर है। भुजाओं के नाम A की ओर से देखकर रखे जाते हैं।

• कर्ण (hypotenuse) AC है। यह समकोण के सामने वाली भुजा है और सबसे लंबी भी।
• लंब (perpendicular) BC है। यह $\theta$ के सामने वाली भुजा है। इसे सम्मुख भुजा भी कहते हैं, पर इस पूरे खंड में हम इसे लंब ही कहेंगे।
• आधार (base) AB है। कर्ण के अलावा $\theta$ को छूने वाली दूसरी भुजा यही है। इसका दूसरा नाम संलग्न भुजा है, पर यहाँ हम इसे आधार ही कहेंगे।

इन भुजाओं में से एक को दूसरी से भाग दें, तो छह अनुपात मिलते हैं। यही त्रिकोणमितीय अनुपात (trigonometric ratios) हैं। पहले तीन ये हैं।

$$\sin\theta = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC} \qquad \cos\theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC} \qquad \tan\theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{BC}{AB}$$

इन्हें उलट दें, तो बाकी तीन मिलते हैं।

$$\operatorname{cosec}\theta = \frac{AC}{BC} \qquad \sec\theta = \frac{AC}{AB} \qquad \cot\theta = \frac{AB}{BC}$$

इन्हें याद रखने का एक आसान तरीका है। लंब को P, आधार को B और कर्ण को H कहिए। तब पहले तीन अनुपात P/H, B/H और P/B हैं। बहुत-से छात्र यह क्रम एक पंक्ति से याद रखते हैं, “पंडित बद्री प्रसाद हर हर बोले”। इसका पहला और चौथा शब्द sin के लिए P/H देते हैं, दूसरा और पाँचवाँ शब्द cos के लिए B/H, और तीसरा और छठा शब्द tan के लिए P/B।

जैसे AB = 12, BC = 5 और AC = 13 हो, तो छहों अनुपात ये होंगे।

$$\sin A = \frac{5}{13}, \ \cos A = \frac{12}{13}, \ \tan A = \frac{5}{12}, \ \operatorname{cosec} A = \frac{13}{5}, \ \sec A = \frac{13}{12}, \ \cot A = \frac{12}{5}$$

कोण बदला, तो लंब और आधार आपस में बदल गए: अब उसी त्रिभुज में C पर खड़े होकर देखिए। C के सामने AB है, तो अब लंब AB है और आधार BC। इसलिए $\sin C = \frac{12}{13}$ और $\cos C = \frac{5}{13}$। हाँ, कर्ण दोनों न्यून कोणों के लिए वही रहता है।

आकार से फ़र्क नहीं पड़ता: 10, 24, 26 भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज के कोण वही हैं, जो 5, 12, 13 वाले त्रिभुज के। इसलिए अनुपात भी वही आते हैं, जैसे $\frac{10}{26} = \frac{5}{13}$। याद रखिए, अनुपात से कोण तय होता है, त्रिभुज का आकार नहीं।

चिह्न कैसे पढ़ें: $\sin\theta$ एक ही राशि है। इसका मतलब sin गुणा $\theta$ नहीं है। $\sin^2\theta$ का अर्थ है $(\sin\theta)^2$। और $\sin 2\theta$ तथा $2\sin\theta$ एक ही चीज़ नहीं हैं।

व्युत्क्रम जोड़े, और sin-cos से tan

पहले तीन अनुपातों को उलट दें, तो बाकी तीन मिल जाते हैं। यानी ये जोड़े एक-दूसरे के व्युत्क्रम (reciprocal) हैं।

$$\operatorname{cosec}\theta = \frac{1}{\sin\theta} \qquad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} \qquad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$$

इसलिए हर जोड़े का गुणनफल 1 होता है, यानी $\sin\theta \operatorname{cosec}\theta = 1$, $\cos\theta \sec\theta = 1$ और $\tan\theta \cot\theta = 1$।

जोड़े याद रखना आसान है। sin के साथ cosec जाता है और cos के साथ sec। हर जोड़े में एक नाम में "co" है, दूसरे में नहीं।

कई छात्र sec को sin का जोड़ीदार मान लेते हैं। यह गलत है। जैसे $\sin\theta = \frac{3}{5}$ हो, तो $\operatorname{cosec}\theta = \frac{5}{3}$ होगा। $\sec\theta$ एक अलग संख्या है। यहाँ आधार 4 है, तो वह $\frac{5}{4}$ आता है।

sin और cos से tan: sin को cos से भाग दीजिए। कर्ण कट जाता है और tan बच जाता है।

$$\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{BC/AC}{AB/AC} = \frac{BC}{AB} = \tan\theta \qquad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

जैसे $\sin\theta = \frac{7}{25}$ और $\cos\theta = \frac{24}{25}$ दिए हों, तो तुरंत $\tan\theta = \frac{7}{24}$ लिख दीजिए। त्रिभुज बनाने की ज़रूरत ही नहीं।

झटपट सरलीकरण: हर अनुपात को sin और cos में लिख दीजिए, फिर जो कटे, काट दीजिए।

• $\sin\theta \cot\theta = \sin\theta \times \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cos\theta$
• $\cos\theta \tan\theta = \cos\theta \times \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \sin\theta$
• $\sec\theta \cot\theta = \frac{1}{\cos\theta} \times \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \operatorname{cosec}\theta$
• $\tan\theta \cos\theta \operatorname{cosec}\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \times \cos\theta \times \frac{1}{\sin\theta} = 1$

अनुपातों में पाइथागोरस: त्रिभुज में $BC^2 + AB^2 = AC^2$ है। दोनों ओर $AC^2$ से भाग दें, तो यह मिलता है।

$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$

sin और cos के जो भी मान आप निकालें, उनकी जाँच इसी से हो जाती है। जैसे ऊपर वाले मानों के लिए $\left(\frac{7}{25}\right)^2 + \left(\frac{24}{25}\right)^2 = \frac{49 + 576}{625} = 1$ आता है।

ऐसी सारी सर्वसमिकाएँ (identities) और उनसे सरल करने के तरीके आगे "सर्वसमिकाएँ और सरलीकरण" वाले खंड में आएँगे।

एक अनुपात दिया हो: बाकी सब निकालना

बहुत-से प्रश्नों में एक अनुपात दिया होता है और कोई दूसरा अनुपात पूछा जाता है। या फिर कई अनुपातों वाला कोई व्यंजक पूछा जाता है। तरीका हर बार एक ही है।

1. दिए गए अनुपात को भुजा ÷ भुजा के रूप में लिखिए, और ये दोनों संख्याएँ समकोण त्रिभुज की उन्हीं भुजाओं पर रख दीजिए।
2. पाइथागोरस से तीसरी भुजा निकालिए।
3. जो पूछा गया है, वह त्रिभुज से पढ़ लीजिए।

जैसे $\tan\theta = \frac{8}{15}$ है। tan लंब ÷ आधार होता है, तो लंब 8 और आधार 15 लीजिए। कर्ण $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ आता है।

अब बाकी सारे अनुपात त्रिभुज से सीधे पढ़ लीजिए।

$$\sin\theta = \frac{8}{17} \quad \cos\theta = \frac{15}{17} \quad \operatorname{cosec}\theta = \frac{17}{8} \quad \sec\theta = \frac{17}{15} \quad \cot\theta = \frac{15}{8}$$

ज़रूरी नहीं कि भुजाएँ सच में 8 और 15 ही हों। भुजाएँ 8k, 15k और 17k भी हो सकती हैं। कोण तब भी वही रहेगा, क्योंकि हर अनुपात में k कट जाता है।

पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplets): ये याद हों, तो वर्गमूल निकालने की मेहनत बच जाती है। पूरी संख्याओं वाले ये समकोण त्रिभुज देखते ही पहचान में आने चाहिए।

इनके गुणज भी चलते हैं, जैसे 6, 8, 10 या 15, 20, 25। हर त्रिक में सबसे बड़ी संख्या कर्ण होती है।

जैसे $\cos\theta = \frac{21}{29}$ है। तो आधार 21 और कर्ण 29 हुए, और लंब 20 आता है। इसलिए $\tan\theta = \frac{20}{21}$।

इसी तरह $\sec\theta = \frac{97}{65}$ हो, तो $\cos\theta = \frac{65}{97}$ है। लंब 72 आता है, तो $\sin\theta = \frac{72}{97}$।

तीसरी भुजा करणी में: हर बार त्रिक नहीं मिलता। जैसे $\sin\theta = \frac{2}{3}$ हो, तो आधार $\sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$ आता है। तब $\cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$ और $\tan\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$।

अक्षरों वाले अनुपात: $\tan\theta = \frac{a}{b}$ हो, तो कर्ण $\sqrt{a^2 + b^2}$ होगा। इसलिए sin और cos ये होंगे।

$$\sin\theta = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \qquad \cos\theta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

[SSC टिप] चित्र बनाने से पहले देख लीजिए कि दिया गया अनुपात किन दो भुजाओं का है। जैसे $\sec\theta = \frac{17}{8}$ हो, तो 17 कर्ण पर जाएगा और 8 आधार पर। 8 को गलती से लंब पर रख दिया, तो हर sin और उसका cos आपस में बदल जाएँगे। और यही बदला हुआ गलत मान विकल्पों में भी दिया होता है।

अनुपातों वाले व्यंजक

sin और cos पता हों, तो छहों अनुपातों वाले किसी भी व्यंजक में बस सीधा हिसाब करना रह जाता है। त्रिभुज से मान निकालिए, व्यंजक में रखिए और सरल कर दीजिए।

sin और cos वाली भिन्न: मान लीजिए $\sec\theta = \frac{5}{3}$ है। तो $\cos\theta = \frac{3}{5}$ है, लंब 4 आता है और $\sin\theta = \frac{4}{5}$। अब मान रखिए।

$$\frac{3\sin\theta + 2\cos\theta}{3\sin\theta - 2\cos\theta} = \frac{\frac{12}{5} + \frac{6}{5}}{\frac{12}{5} - \frac{6}{5}} = \frac{18}{6} = 3$$

हर पद के नीचे 5 था, जो कट गया।

यहाँ एक छोटा रास्ता भी है। ऊपर और नीचे के हर पद में ठीक एक sin या एक cos हो, तो भुजाएँ ही सीधे रख दीजिए, यानी sin की जगह 4 और cos की जगह 3। तुरंत $\frac{12 + 6}{12 - 6} = 3$ आ जाता है। आगे "दी गई शर्त से मान, अधिकतम और न्यूनतम मान" वाले खंड में यही काम ऊपर और नीचे $\cos\theta$ से भाग देकर करेंगे।

(1 + x)(1 − x) वाले कोष्ठक: ऐसे कोष्ठक हों, तो पहले उनका गुणा कर लीजिए। $(1 + \sin\theta)(1 - \sin\theta) = 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$ होता है। इसी तरह $(1 + \cos\theta)(1 - \cos\theta) = \sin^2\theta$।

जैसे $\cot\theta = \frac{5}{12}$ हो, तो कर्ण निकालने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती।

$$\frac{(1 + \sin\theta)(1 - \sin\theta)}{(1 + \cos\theta)(1 - \cos\theta)} = \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \cot^2\theta = \frac{25}{144}$$

लंबे रास्ते से भी यही आता है। कर्ण 13 है, $\sin\theta = \frac{12}{13}$ और $\cos\theta = \frac{5}{13}$। अब $\frac{1 - \frac{144}{169}}{1 - \frac{25}{169}} = \frac{25}{144}$।

दो अनुपातों का योग: $\cos\theta = \frac{20}{29}$ हो, तो लंब 21 आता है। अब sec और tan का योग, और cosec और cot का अंतर, दोनों सीधे निकल आते हैं।

$$\sec\theta + \tan\theta = \frac{29}{20} + \frac{21}{20} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2} \qquad \operatorname{cosec}\theta - \cot\theta = \frac{29}{21} - \frac{20}{21} = \frac{3}{7}$$

वर्ग और गुणनफल: $\sin\theta = \frac{3}{5}$ और $\cos\theta = \frac{4}{5}$ हों, तो $2\sin\theta\cos\theta = \frac{24}{25}$ और $\cos^2\theta - \sin^2\theta = \frac{16 - 9}{25} = \frac{7}{25}$।

एक जाँच की आदत डाल लीजिए। लंबे व्यंजक में मान रखने से पहले देख लीजिए कि इन मानों के लिए $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ है या नहीं। न हो, तो त्रिभुज की कोई भुजा गलत निकली है।

भुजाएँ दी हों: समकोण त्रिभुज में अनुपात

त्रिभुज वाले प्रश्न में सबसे पहले समकोण ढूँढिए। उसके सामने वाली भुजा कर्ण है। जैसे "B पर समकोण" लिखा हो, तो AC कर्ण है, और दोनों न्यून कोण A और C हैं।

दो भुजाएँ दी हों: पाइथागोरस से तीसरी भुजा निकालिए, फिर अनुपात लिखिए। मान लीजिए त्रिभुज PQR में Q पर समकोण है, PR = 89 और PQ = 39। तीसरी भुजा $QR = \sqrt{7921 - 1521} = \sqrt{6400} = 80$ है। अब $\sin P = \frac{QR}{PR} = \frac{80}{89}$, $\cos R = \frac{80}{89}$ और $\tan R = \frac{PQ}{QR} = \frac{39}{80}$।

दो भुजाओं का योग दिया हो: जैसे त्रिभुज ABC में B पर समकोण है, AB = 12 सेमी और AC + BC = 18 सेमी है। यहाँ पाइथागोरस को वर्गों के अंतर के रूप में लिखिए और गुणनखंड कर दीजिए।

$$AC^2 - BC^2 = AB^2 = 144 \quad\Rightarrow\quad (AC - BC)(AC + BC) = 144 \quad\Rightarrow\quad AC - BC = \frac{144}{18} = 8$$

अब AC + BC = 18 है और AC − BC = 8। दोनों को जोड़कर आधा करने पर AC = 13 सेमी आता है, और घटाकर आधा करने पर BC = 5 सेमी। तो $\sin A = \frac{5}{13}$, $\tan A = \frac{5}{12}$ और $\cos C = \frac{5}{13}$। दो भुजाओं का अंतर दिया हो, तब भी यही तरीका चलता है।

भुजाएँ x में दी हों: मान लीजिए किसी समकोण त्रिभुज की भुजाएँ x, x + 7 और x + 8 हैं। सबसे लंबी भुजा x + 8 है, वही कर्ण होगी। अब पाइथागोरस लगाइए।

$$x^2 + (x + 7)^2 = (x + 8)^2 \quad\Rightarrow\quad x^2 - 2x - 15 = 0 \quad\Rightarrow\quad (x - 5)(x + 3) = 0$$

लंबाई −3 तो हो नहीं सकती, इसलिए x = 5। भुजाएँ 5, 12 और 13 हुईं। सबसे छोटा कोण सबसे छोटी भुजा 5 के सामने होगा, तो उसका sin $\frac{5}{13}$ है।

एक कोण से दूसरा कोण: BC भुजा A के सामने है, पर C के साथ लगी हुई है। इसलिए एक ही भिन्न दोनों कोणों के काम आती है।

$$\sin A = \cos C = \frac{BC}{AC} \qquad \tan A = \cot C = \frac{BC}{AB}$$

दोनों न्यून कोणों का योग 90° होता है। इसी बात पर टिका पूरा तरीका "मानक कोण और कोटिपूरक कोण" वाले खंड में आएगा।

एक गलती से बचिए। भुजा पढ़ने से पहले पूछा गया कोण चिह्नित कर लीजिए। B पर समकोण वाले त्रिभुज में $\sin A$ और $\sin C$ अलग-अलग भुजाओं से आते हैं। गलत भुजा चुन ली, तो भी उत्तर देखने में उतना ही साफ़-सुथरा लगेगा, जितना सही उत्तर।

समद्विबाहु त्रिभुज और शीर्षलंब वाले त्रिभुज

त्रिभुज में समकोण न हो, तो कर्ण भी नहीं होता, और अनुपात सीधे नहीं पढ़े जा सकते। ऐसे में एक शीर्षलंब खींचिए। इससे समकोण त्रिभुज मिल जाते हैं। फिर सारा काम उन्हीं में कीजिए।

समद्विबाहु त्रिभुज: त्रिभुज ABC में AB = AC = 13 सेमी और BC = 10 सेमी है। ऊपर वाले शीर्ष A से शीर्षलंब AD खींचिए। यह BC के मध्य-बिंदु पर गिरता है, तो BD = DC = 5 सेमी, और $AD = \sqrt{169 - 25} = 12$ सेमी।

अब समकोण त्रिभुज ABD से कोण B के अनुपात पढ़ लीजिए।

$$\sin B = \frac{12}{13} \qquad \cos B = \frac{5}{13} \qquad \tan B = \frac{12}{5}$$

शीर्षलंब ऊपर वाले कोण को भी आधा कर देता है। इसलिए $\sin\angle BAD = \frac{BD}{AB} = \frac{5}{13}$ असल में $\angle A$ के आधे का sin है।

समबाहु त्रिभुज: इसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं, और शीर्षलंब फिर आधार के मध्य-बिंदु पर गिरता है। भुजा 2a हो, तो शीर्षलंब $\sqrt{4a^2 - a^2} = a\sqrt{3}$ होता है। इसमें 60° और 30° के कोण आते हैं। इन कोणों के अनुपातों के मान हम "मानक कोण और कोटिपूरक कोण" वाले खंड में निकालेंगे।

आधार पर कोई बिंदु D हो, जो मध्य-बिंदु नहीं है, तब भी शीर्षलंब AM गिराइए। फिर त्रिभुज ADM में काम कीजिए, जिसका समकोण M पर है।

शीर्षलंब वाला कोई भी त्रिभुज: जैसे त्रिभुज ABC में AD, BC पर लंब है, AB = 15 सेमी, AC = 13 सेमी और AD = 12 सेमी है।

शीर्षलंब त्रिभुज को दो समकोण त्रिभुजों में बाँट देता है। दोनों में AD साझी भुजा है।

• त्रिभुज ABD में $BD = \sqrt{225 - 144} = 9$ सेमी है। तो $\sin B = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$, $\cos B = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ और $\tan B = \frac{4}{3}$।
• त्रिभुज ACD में $DC = \sqrt{169 - 144} = 5$ सेमी है। तो $\sin C = \frac{12}{13}$, $\cos C = \frac{5}{13}$ और $\tan C = \frac{12}{5}$।

पूरा आधार BC = 9 + 5 = 14 सेमी है। नियम सीधा है। हर कोण के अनुपात उसी समकोण त्रिभुज से लीजिए, जिसमें वह कोण है। B के लिए त्रिभुज ABD और C के लिए त्रिभुज ACD। कई छात्र कोण C के लिए भी AB = 15 को कर्ण मान लेते हैं। इससे दोनों हिस्से आपस में गड्डमड्ड हो जाते हैं और उत्तर बेतुका आता है।

0° से 90° तक अनुपातों में बदलाव

अब समकोण त्रिभुज को 1 त्रिज्या वाले वृत्त के अंदर रखकर देखिए। कोण $\theta$ केंद्र O पर है और कर्ण वृत्त की एक त्रिज्या पर है। तो कर्ण की लंबाई 1 हुई, और sin और cos सीधे दो लंबाइयों के बराबर हो जाते हैं।

$$\sin\theta = \frac{\text{ऊँचाई}}{1} = \text{बिंदु की ऊँचाई} \qquad \cos\theta = \frac{\text{आधार}}{1} = \text{O से क्षैतिज दूरी}$$

चित्र में यही बात 25° और 65° के लिए दिखाई गई है।

$\theta$ जैसे-जैसे 0° से 90° तक बढ़ता है, बिंदु वृत्त पर ऊपर चढ़ता जाता है। उसकी ऊँचाई 0 से 1 तक बढ़ती है, और O से उसकी क्षैतिज दूरी 1 से 0 तक घटती है। इससे ये बातें निकलती हैं।

• $\sin\theta$ 0 से 1 तक बढ़ता है, और $\cos\theta$ 1 से 0 तक घटता है।
• $\tan\theta = \frac{\text{ऊँचाई}}{\text{आधार}}$ 0 से बढ़ना शुरू करता है। $\theta$ जब 90° के पास पहुँचता है, तो यह बिना किसी सीमा के बढ़ता चला जाता है।
• व्युत्क्रम अनुपात उलटी दिशा में चलते हैं। $\operatorname{cosec}\theta$ और $\cot\theta$ घटते हैं, जबकि $\sec\theta$ बढ़ता है।

सीमाएँ: कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है। इसलिए न्यून कोण के लिए $\sin\theta$ और $\cos\theta$ हमेशा 0 और 1 के बीच रहते हैं, और $\sec\theta$ तथा $\operatorname{cosec}\theta$ 1 से बड़े। $\tan\theta$ और $\cot\theta$ कोई भी धनात्मक संख्या हो सकते हैं। तो $\sin\theta = \frac{5}{4}$ या $\sec\theta = \frac{1}{2}$ जैसे मान हो ही नहीं सकते।

कौन बड़ा: sin और cos के ग्राफ़ 45° पर एक-दूसरे को काटते हैं।

• 45° से कम पर $\cos\theta > \sin\theta$ और $\tan\theta < 1$।
• 45° पर $\sin\theta = \cos\theta$ और $\tan\theta = 1$।
• 45° से अधिक पर $\sin\theta > \cos\theta$ और $\tan\theta > 1$।

इसीलिए $\sin 50^\circ > \cos 50^\circ$ है और $\cos 20^\circ > \sin 20^\circ$।

एक बात और याद रखिए। हर न्यून कोण के लिए $\tan\theta > \sin\theta$ होता है। कारण यह है कि $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$, और 1 से छोटी संख्या से भाग देने पर संख्या बड़ी हो जाती है।

तुलना में रेडियन: $\sin 1$ का मतलब है 1 रेडियन का sin। 1 रेडियन लगभग 57° होता है। इसलिए $\sin 1 > \sin 1^\circ$, जबकि $\cos 1 < \cos 1^\circ$।

[SSC टिप] किसी एक कोण के sin की तुलना दूसरे कोण के cos से करनी हो, तो cos को (90° − वह कोण) के sin में बदल लीजिए। जैसे $\cos 50^\circ = \sin 40^\circ$, जो $\sin 50^\circ$ से कम है। इसके पीछे का नियम "मानक कोण और कोटिपूरक कोण" वाले खंड में है।

हल किए गए उदाहरण

प्रश्न 1

40°20′ का रेडियन माप क्या है? (a) $\frac{121\pi}{540}$ (b) $\frac{2\pi}{9}$ (c) $\frac{121}{540}$ (d) $\frac{121\pi}{180}$

उत्तर: पहले मिनटों को डिग्री में बदल लेते हैं। 20′ = $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ डिग्री, तो कोण $40\frac{1}{3} = \frac{121}{3}$ डिग्री हुआ। अब $\frac{\pi}{180}$ से गुणा करना है। $\frac{121}{3} \times \frac{\pi}{180} =$ (a) $\frac{121\pi}{540}$। $\frac{2\pi}{9}$ केवल 40° का रेडियन माप है। उसमें 20′ छूट गए हैं, इसलिए वह गलत है।

प्रश्न 2

$\frac{5\pi}{24}$ रेडियन को डिग्री और मिनट में व्यक्त कीजिए। (a) 37°50′ (b) 75° (c) 37°30′ (d) 18°45′

उत्तर: $\pi$ की जगह 180° रख देते हैं। $\frac{5 \times 180^\circ}{24} = 37.5^\circ$ आया। आधी डिग्री 30 मिनट की होती है, तो कोण = (c) 37°30′। कुछ लोग .5 को 50 मिनट पढ़कर 37°50′ लिख देते हैं, जो गलत है। डिग्री का .5 तो 60 मिनट का आधा है।

प्रश्न 3

$\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर, एक रेडियन निम्नलिखित में से किसके सबसे निकट है? (a) 57°27′ (b) 57°16′22″ (c) 57°30′ (d) 57°22′16″

उत्तर: 1 रेडियन $= \frac{180^\circ}{\pi} = 180 \times \frac{7}{22} = \frac{630}{11} = 57\frac{3}{11}$ डिग्री है। अब बचे हुए $\frac{3}{11}$ डिग्री को मिनट में बदलते हैं। यह $\frac{180}{11} = 16\frac{4}{11}$ मिनट हुआ। फिर $\frac{4}{11}$ मिनट को सेकंड में बदलें, तो $\frac{240}{11}$ सेकंड आता है, यानी लगभग 21.8 सेकंड। तो एक रेडियन लगभग (b) 57°16′22″ है। दशमलव में यह 57.27° होता है, पर इसका मतलब 57°27′ नहीं है। .27 को 60 से गुणा करना ज़रूरी है।

प्रश्न 4

एक त्रिभुज के कोणों का अनुपात 3 : 4 : 5 है। रेडियन में उसका सबसे बड़ा कोण कितना है? (a) $\frac{\pi}{3}$ (b) $\frac{5\pi}{6}$ (c) $\frac{5}{12}$ (d) $\frac{5\pi}{12}$

उत्तर: भागों का योग 3 + 4 + 5 = 12 है। तीनों कोण मिलकर 180° होते हैं, तो एक भाग 15° का हुआ। सबसे बड़ा कोण 5 × 15° = 75° है। अब $75 \times \frac{\pi}{180} =$ (d) $\frac{5\pi}{12}$। गलती से 360° बाँट दिया, तो सबसे बड़ा कोण 150° आएगा, यानी $\frac{5\pi}{6}$।

प्रश्न 5

दो कोटिपूरक कोणों का अंतर $\frac{\pi}{9}$ रेडियन है। डिग्री में बड़ा कोण कितना है? (a) $55^\circ$ (b) $35^\circ$ (c) $65^\circ$ (d) $110^\circ$

उत्तर: कोटिपूरक कोणों का योग 90° होता है। अंतर $\frac{\pi}{9}$ दिया है, जो $\frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$ है। योग और अंतर पता हैं, तो बड़ा कोण = $\frac{90^\circ + 20^\circ}{2} =$ (a) $55^\circ$, और छोटा कोण 35° है।

प्रश्न 6

35 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त का एक चाप केंद्र पर 72° का कोण बनाता है। चाप की लंबाई कितनी है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 88 सेमी (b) 44 सेमी (c) 22 सेमी (d) 2520 सेमी

उत्तर: पहले कोण को रेडियन में बदलते हैं। $72^\circ = 72 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$। अब $l = r\theta = 35 \times \frac{2\pi}{5} = 14\pi = 14 \times \frac{22}{7} =$ (b) 44 सेमी। सीधे 35 × 72 = 2520 सेमी लिख दिया, तो चाप पूरे वृत्त की परिधि (220 सेमी) से भी लंबा हो जाएगा। गलती यह है कि 72 डिग्री में है, रेडियन में नहीं।

प्रश्न 7

22 सेमी लंबा एक चाप, 28 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के केंद्र पर कोण बनाता है। डिग्री में यह कोण कितना है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) $22.5^\circ$ (b) $90^\circ$ (c) $45^\circ$ (d) $\left(\frac{11}{14}\right)^\circ$

उत्तर: रेडियन में कोण = $\frac{l}{r} = \frac{22}{28} = \frac{11}{14}$। डिग्री के लिए इसे $\frac{180}{\pi}$ से गुणा करना है। $\frac{11}{14} \times 180 \times \frac{7}{22} =$ (c) $45^\circ$।

प्रश्न 8

एक पहिया प्रति मिनट 300 चक्कर लगाता है। एक सेकंड में वह कितने रेडियन घूमता है? (a) $5\pi$ (b) $600\pi$ (c) 10 (d) $10\pi$

उत्तर: प्रति मिनट 300 चक्कर मतलब प्रति सेकंड 5 चक्कर। हर चक्कर $2\pi$ रेडियन का होता है, तो एक सेकंड में $5 \times 2\pi =$ (d) $10\pi$। $600\pi$ पूरे एक मिनट का कोण है, एक सेकंड का नहीं।

प्रश्न 9

5:20 बजे घड़ी की सुइयों के बीच का कोण रेडियन में कितना होता है? (a) $\frac{\pi}{6}$ (b) $\frac{16\pi}{9}$ (c) $\frac{2\pi}{9}$ (d) $\frac{2}{9}$

उत्तर: 5:20 बजे घंटे की सुई 5 से आगे निकल चुकी होती है। 12 से वह 30 × 5 + 0.5 × 20 = 160° पर है। मिनट की सुई 12 से 6 × 20 = 120° पर है। अंतर 40° है, तो $40 \times \frac{\pi}{180} =$ (c) $\frac{2\pi}{9}$। जल्दबाज़ी में घंटे की सुई को ठीक 5 पर (150°) मान लिया, तो अंतर 30° आएगा, यानी $\frac{\pi}{6}$। यह भी विकल्पों में दिया है।

प्रश्न 10

एक घड़ी की मिनट की सुई 14 सेमी लंबी है। 45 मिनट में उसका सिरा कितनी दूरी तय करता है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) 66 सेमी (b) 88 सेमी (c) 22 सेमी (d) 33 सेमी

उत्तर: 60 मिनट में सुई $2\pi$ घूमती है। तो 45 मिनट में वह $\frac{45}{60} \times 2\pi = \frac{3\pi}{2}$ रेडियन घूमेगी। सुई का सिरा 14 सेमी त्रिज्या वाले चाप पर चलता है, इसलिए $l = 14 \times \frac{3\pi}{2} = 21\pi = 21 \times \frac{22}{7} =$ (a) 66 सेमी।

प्रश्न 11

$\frac{3\pi}{10}$ रेडियन का कोण, एक पूरे चक्कर का कितना प्रतिशत है? (a) 15% (b) 30% (c) 54% (d) 60%

उत्तर: पहले डिग्री में बदल लेते हैं। $\frac{3\pi}{10} = \frac{3 \times 180^\circ}{10} = 54^\circ$। पूरा चक्कर 360° का है, तो हिस्सा $\frac{54}{360} \times 100 =$ (a) 15%। रेडियन में भी यही आता है, क्योंकि $\frac{3\pi}{10} \div 2\pi = \frac{3}{20}$, जो 15% है।

प्रश्न 12

एक रेलगाड़ी 1500 मीटर त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार पटरी पर 66 किमी/घंटा की चाल से चल रही है। 10 सेकंड में वह कितने कोण (डिग्री में) से घूम जाती है? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए।) (a) $14^\circ$ (b) $3.5^\circ$ (c) $22^\circ$ (d) $7^\circ$

उत्तर: 66 किमी/घंटा = $66 \times \frac{5}{18} = \frac{55}{3}$ मीटर प्रति सेकंड। तो 10 सेकंड में रेलगाड़ी पटरी पर $\frac{550}{3}$ मीटर चलती है। केंद्र पर कोण = चाप ÷ त्रिज्या, यानी $\frac{550}{3} \div 1500 = \frac{11}{90}$ रेडियन। डिग्री में बदलें, तो $\frac{11}{90} \times 180 \times \frac{7}{22} =$ (d) $7^\circ$। 180 से गुणा करके रुक गए और $\pi$ से भाग नहीं दिया, तो 22° आएगा। यह भी एक विकल्प है।

प्रश्न 13

त्रिभुज ABC में B पर समकोण है, AB = 24 सेमी और BC = 7 सेमी है। $\sin A + \cos C$ का मान क्या है? (a) $\frac{31}{25}$ (b) $\frac{48}{25}$ (c) $\frac{14}{25}$ (d) 1

उत्तर: B पर समकोण है, तो AC कर्ण है। AC = $\sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$ सेमी। कोण A के लिए लंब BC है, तो $\sin A = \frac{7}{25}$। कोण C के लिए आधार भी BC ही है, तो $\cos C = \frac{7}{25}$ भी। दोनों का योग (c) $\frac{14}{25}$ है।

प्रश्न 14

यदि $\tan\theta = \frac{20}{21}$ है, तो $\sin\theta + \cos\theta$ का मान क्या है? (a) $\frac{41}{21}$ (b) $\frac{41}{29}$ (c) $\frac{29}{41}$ (d) 1

उत्तर: tan लंब ÷ आधार होता है, तो लंब 20 और आधार 21 लेते हैं। कर्ण $\sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$ आता है। तब $\sin\theta = \frac{20}{29}$ और $\cos\theta = \frac{21}{29}$, और इनका योग (b) $\frac{41}{29}$ है।

प्रश्न 15

यदि $\sec\theta = \frac{85}{36}$ है, तो $\operatorname{cosec}\theta + \cot\theta$ का मान क्या है? (a) $\frac{11}{7}$ (b) $\frac{7}{11}$ (c) $\frac{9}{2}$ (d) $\frac{121}{85}$

उत्तर: sec कर्ण ÷ आधार होता है, तो कर्ण 85 और आधार 36 है। लंब = $\sqrt{7225 - 1296} = \sqrt{5929} = 77$। अब $\operatorname{cosec}\theta = \frac{85}{77}$ और $\cot\theta = \frac{36}{77}$। इनका योग $\frac{121}{77} =$ (a) $\frac{11}{7}$। कुछ लोग गलती से इनकी जगह sec और tan जोड़ देते हैं। तब $\frac{85 + 77}{36} = \frac{9}{2}$ आता है, और यह भी विकल्पों में मौजूद है।

प्रश्न 16

यदि $\tan\theta = \frac{4}{7}$ है, तो $\frac{(1 + \cos\theta)(1 - \cos\theta)}{(1 + \sin\theta)(1 - \sin\theta)}$ का मान क्या है? (a) $\frac{49}{16}$ (b) $\frac{4}{7}$ (c) $\frac{65}{49}$ (d) $\frac{16}{49}$

उत्तर: पहले कोष्ठकों का गुणा कर लेते हैं। अंश $1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$ हो जाता है और हर $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$। तो पूरी भिन्न $\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \tan^2\theta = \left(\frac{4}{7}\right)^2 =$ (d) $\frac{16}{49}$ हुई। यहाँ कर्ण निकालना ही नहीं पड़ा।

प्रश्न 17

यदि $\cos\theta = \frac{7}{25}$ है, तो $\tan\theta + \cot\theta$ का मान क्या है? (a) 2 (b) $\frac{625}{168}$ (c) $\frac{168}{625}$ (d) $\frac{527}{168}$

उत्तर: आधार 7 और कर्ण 25 है, तो लंब $\sqrt{625 - 49} = 24$ आता है। अब $\tan\theta = \frac{24}{7}$ और $\cot\theta = \frac{7}{24}$। साझा हर 168 लेकर जोड़ें, तो $\frac{576 + 49}{168} =$ (b) $\frac{625}{168}$।

प्रश्न 18

यदि $\cos\theta = \frac{2}{3}$ है और $\theta$ न्यून कोण है, तो $\tan\theta$ का मान क्या है? (a) $\frac{2}{\sqrt{5}}$ (b) $\frac{3}{2}$ (c) $\frac{\sqrt{5}}{2}$ (d) $\frac{\sqrt{5}}{3}$

उत्तर: आधार 2 और कर्ण 3 है, तो लंब $\sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$ आता है। अब $\tan\theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} =$ (c) $\frac{\sqrt{5}}{2}$।

प्रश्न 19

त्रिभुज ABC में B पर समकोण है, AB = 5 सेमी और AC + BC = 25 सेमी है। $\sin C$ का मान क्या है? (a) $\frac{12}{13}$ (b) $\frac{5}{13}$ (c) $\frac{5}{12}$ (d) $\frac{12}{5}$

उत्तर: B पर समकोण है, तो AC कर्ण है और $AC^2 - BC^2 = AB^2 = 25$। गुणनखंड करें, तो $(AC - BC)(AC + BC) = 25$। AC + BC = 25 दिया है, तो AC − BC = 1। इन दोनों से AC = 13 सेमी और BC = 12 सेमी आते हैं। कोण C के सामने AB है, तो C के लिए लंब AB हुआ। इसलिए $\sin C = \frac{AB}{AC} =$ (b) $\frac{5}{13}$। $\frac{12}{13}$ तो $\sin A$ का मान होगा।

प्रश्न 20

त्रिभुज ABC में AB = AC = 25 सेमी और BC = 14 सेमी है। $\tan B$ का मान क्या है? (a) $\frac{7}{24}$ (b) $\frac{24}{25}$ (c) $\frac{25}{7}$ (d) $\frac{24}{7}$

उत्तर: त्रिभुज समद्विबाहु है। A से शीर्षलंब AD खींचें, तो वह BC के मध्य-बिंदु पर गिरता है, और BD = 7 सेमी। अब $AD = \sqrt{625 - 49} = 24$ सेमी। समकोण त्रिभुज ABD में $\tan B = \frac{AD}{BD} =$ (d) $\frac{24}{7}$।

प्रश्न 21

त्रिभुज ABC में AD, BC पर लंब है, AB = 20 सेमी, BD = 16 सेमी और DC = 5 सेमी है। $\sin B + \cos C$ का मान क्या है? (a) $\frac{64}{65}$ (b) $\frac{77}{65}$ (c) $\frac{99}{65}$ (d) 1

उत्तर: त्रिभुज ABD से $AD = \sqrt{400 - 256} = 12$ सेमी आता है। फिर त्रिभुज ADC से $AC = \sqrt{144 + 25} = 13$ सेमी। अब $\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ और $\cos C = \frac{DC}{AC} = \frac{5}{13}$। इनका योग $\frac{39 + 25}{65} =$ (a) $\frac{64}{65}$।

प्रश्न 22

निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है? (a) $\sin 50^\circ < \cos 50^\circ$ (b) $\sin 50^\circ = \cos 50^\circ$ (c) $\sin 50^\circ > \cos 50^\circ$ (d) $\tan 50^\circ < 1$

उत्तर: 50° का कोण 45° से बड़ा है, और 45° के बाद sin और cos में sin बड़ा होता है। दूसरी तरह से भी देख सकते हैं। $\cos 50^\circ = \sin 40^\circ$, और 0° से 90° तक sin बढ़ता है, तो $\sin 50^\circ$ बड़ा है। इसी वजह से $\tan 50^\circ = \frac{\sin 50^\circ}{\cos 50^\circ}$ भी 1 से अधिक है। तो सत्य कथन (c) $\sin 50^\circ > \cos 50^\circ$ है।

प्रश्न 23

$\theta$ एक न्यून कोण है। निम्नलिखित में से कौन-सा मान असंभव है? (a) $\sin\theta = 0.95$ (b) $\sec\theta = 0.95$ (c) $\cot\theta = 0.2$ (d) $\tan\theta = 12$

उत्तर: न्यून कोण में कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है। इसलिए sin और cos के मान 1 से कम रहते हैं, जबकि sec और cosec के मान 1 से अधिक, क्योंकि इनमें ऊपर कर्ण होता है। tan और cot कोई भी धनात्मक संख्या हो सकते हैं। sec का मान 1 से कम हो ही नहीं सकता, तो असंभव मान (b) $\sec\theta = 0.95$ है।

प्रश्न 24

ABC एक समबाहु त्रिभुज है, जिसकी भुजा 6 सेमी है, और BC पर स्थित बिंदु D इस प्रकार है कि BD = 2 सेमी है। $\tan\angle ADC$ का मान क्या है? (a) $\sqrt{3}$ (b) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ (c) $\frac{1}{3\sqrt{3}}$ (d) $3\sqrt{3}$

उत्तर: A से शीर्षलंब AM गिराते हैं। यह BC के मध्य-बिंदु पर गिरता है, तो BM = 3 सेमी और DM = 3 − 2 = 1 सेमी। बिंदु M, D और C के बीच पड़ता है। शीर्षलंब $AM = \sqrt{36 - 9} = 3\sqrt{3}$ सेमी है। त्रिभुज ADM में समकोण M पर है, और $\angle ADC$ इसी त्रिभुज का D वाला कोण है। तो $\tan\angle ADC = \frac{AM}{DM} = \frac{3\sqrt{3}}{1} =$ (d) $3\sqrt{3}$। DM = 1 की जगह BD = 2 से भाग दे दिया, तो $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ आएगा। ध्यान रखिए, भाग DM से देना है।