समांतर श्रेढ़ियाँ

समांतर श्रेढ़ियाँ

समांतर श्रेढ़ियाँ अध्याय बोर्ड प्रश्न पत्र में 4 से 5 अंक का होता है: 2026-27 के सैंपल पेपर में 4 अंक, और 2025 तथा 2026 के दोनों बोर्ड प्रश्न पत्रों में 5 अंक।

ये अंक प्रायः 1 अंक के एक बहुविकल्पीय प्रश्न ($n$वाँ पद, पदों की संख्या, या $S_n$ से कोई पद) और साथ में 3 अंक के योग वाले प्रश्न या 4 अंक के केस आधारित प्रश्न से आते हैं। तीनों वास्तविक बोर्ड प्रश्न पत्रों में AP पर केस आधारित प्रश्न आया, इसलिए यहाँ के दीर्घ प्रश्न केस आधारित और कुछ कठिन 4 अंक के प्रश्न हैं। इस अध्याय से 5 अंक का प्रश्न नहीं आया है।

अंक प्रायः यहाँ कटते हैं:

• $n$वें पद के लिए $a + nd$ लिख देना, या पदों की संख्या गिनते समय "+ 1" भूल जाना;
• घटती हुई AP में भी $d$ को धनात्मक ले लेना;
• $a_n$ (एक पद) और $S_n$ (पदों का योग) में भ्रमित हो जाना;
• द्विघात समीकरण हल करने के बाद $n$ का ऋणात्मक या भिन्नात्मक मान भी रख लेना।

5 मिनट में दोहराएँ

मूल बातें

• हर अगला पद, पिछले पद में निश्चित $d$ (सार्व अंतर) जोड़कर मिलता है; $d$ धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।
• $a$, $b$, $c$ किसी AP के क्रमागत पद तभी होते हैं जब $2b = a + c$ हो।

सूत्र

• यदि $a_n = pn + q$, तो $d = p$। यदि $S_n = An^2 + Bn$, तो $d = 2A$ और $a = A + B$।
• $1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$; प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग $n^2$ है।
• तीन पद: $a - d$, $a$, $a + d$ लीजिए। पदों की संख्या $n$ विषम हो तो बीच वाला पद $\frac{n + 1}{2}$वाँ है।

$S_n$ की व्युत्पत्ति (3 अंक): योग को सीधे और उल्टे क्रम में लिखकर जोड़िए; $n$ युग्मों में से हर एक $2a + (n - 1)d$ है, अतः $2S_n = n[2a + (n - 1)d]$।

सामान्य जाँचें

• क्या $x$ कोई पद है? तभी, जब $\frac{x - a}{d} + 1$ प्राकृत संख्या हो; अन्यथा "संभव नहीं"।
• पहला ऋणात्मक पद: $a_n < 0$ हल कीजिए और अगली प्राकृत संख्या लीजिए।
• "योग $S$ है, $n$ ज्ञात कीजिए" से द्विघात समीकरण बनता है: केवल उचित प्राकृत मूल रखिए।

सावधानियाँ

• $a + nd$ तो $(n + 1)$वाँ पद है।
• "100 और 200 के बीच" में 100 और 200 शामिल नहीं होते।
• "6 और 8 दोनों से विभाज्य" का अर्थ LCM 24 के गुणज है, 48 के नहीं।
• "अगले 6 पद" 7वें से 12वें पद तक हैं, अतः $S_{12} = S_6 +$ उनका योग।

इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: हर प्रश्न पहले कॉपी पर हल कीजिए, फिर उत्तर पढ़िए। हर चरण के सामने लिखे अंक बताते हैं कि परीक्षक क्या देखता है। 1 अंक वाले बहुविकल्पीय और अभिकथन-तर्क प्रश्न अंत की क्विज़ में हैं, साथ में ऐसे प्रश्न भी जो जाँचते हैं कि आपने अध्याय कितनी गहराई से समझा है; क्विज़ के हर उत्तर के साथ उसकी व्याख्या दी गई है।

लघु उत्तरीय प्रश्न (2 और 3 अंक)

प्रश्न 1 (2 अंक)

AP 4, 9, 14, … के लिए दिखाइए कि इसके 5वें से 11वें पद तक का योग इसके 8वें पद का 7 गुना है। समझाइए कि किसी AP के कोई भी 7 क्रमागत पदों का योग बीच वाले पद का 7 गुना क्यों होता है।

उत्तर।

1. $a_5 = 24$, $a_8 = 39$, $a_{11} = 54$; योग $= \frac{7}{2}(24 + 54) = 273 = 7 \times 39$ — 1 अंक
2. सात क्रमागत पद $b - 3d, b - 2d, \ldots, b + 3d$ हैं, जिनका बीच वाला पद $b$ है; $d$ वाले पद कट जाते हैं, अतः योग $7b$ है — 1 अंक

प्रश्न 2 (2 अंक)

तीन बहनों की आयु (वर्षों में) $p - 1$, $2p$ और $p + 11$ है, और ये आयु AP में हैं। $p$ और तीनों आयु ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. AP के तीन पदों में बीच वाले पद का दोगुना बाकी दोनों के योग के बराबर होता है: $2 \times 2p = (p - 1) + (p + 11)$ — 1 अंक
2. $4p = 2p + 10$, अतः $p = 5$; आयु 4, 10 और 16 वर्ष हैं — 1 अंक

प्रश्न 3 (2 अंक)

एक AP का 6वाँ पद $-10$ और 10वाँ पद $-26$ है। इसका 15वाँ पद ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $a + 5d = -10$ और $a + 9d = -26$ से $4d = -16$, अतः $d = -4$ और $a = 10$ — 1 अंक
2. $a_{15} = a + 14d = 10 - 56 = -46$ — 1 अंक

प्रश्न 4 (2 अंक)

एक चतुर्भुज के चारों कोण AP में हैं और सबसे बड़ा कोण सबसे छोटे कोण का दोगुना है। चारों कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

माना कोण (डिग्री में) $a$, $a + d$, $a + 2d$ और $a + 3d$ हैं, जिनमें $a$ सबसे छोटा है।

चतुर्भुज के कोणों का योग $360^\circ$ होता है: $4a + 6d = 360$।

सबसे बड़ा कोण सबसे छोटे का दोगुना है: $a + 3d = 2a$, अतः $a = 3d$।

पहले समीकरण में $a = 3d$ रखने पर: $12d + 6d = 360$, अतः $d = 20$ और $a = 60$।

कोण $60^\circ$, $80^\circ$, $100^\circ$ और $120^\circ$ हैं। (जाँच: इनका योग $360^\circ$ है और $120 = 2 \times 60$।)

अंक योजना:

1. कोण $a$, $a + d$, $a + 2d$, $a + 3d$: $4a + 6d = 360$ और $a + 3d = 2a$, अतः $a = 3d$ — 1 अंक
2. $18d = 360$ से $d = 20$, $a = 60$; कोण $60^\circ$, $80^\circ$, $100^\circ$ और $120^\circ$ हैं — 1 अंक

प्रश्न 5 (3 अंक)

उन सभी दो अंकों वाली संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जिन्हें 3 से भाग देने पर शेषफल 2 बचता है।

उत्तर।

1. संख्याएँ $11, 14, 17, \ldots, 98$ हैं: $a = 11$, $d = 3$, $l = 98$ वाली AP — 1 अंक
2. $98 = 11 + (n - 1) \times 3$ से $n = 30$ — 1 अंक
3. $S_{30} = \frac{30}{2}(11 + 98) = 15 \times 109 = 1635$ — 1 अंक

प्रश्न 6 (3 अंक)

दिखाइए कि प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ वाली AP के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

AP के पद $a, a + d, a + 2d, \ldots, a + (n - 1)d$ हैं। अतः

$S_n = a + (a + d) + (a + 2d) + \ldots + [a + (n - 2)d] + [a + (n - 1)d]$ …(1)

इन्हीं पदों को उल्टे क्रम में लिखने पर,

$S_n = [a + (n - 1)d] + [a + (n - 2)d] + \ldots + (a + d) + a$ …(2)

(1) और (2) को पदवार जोड़िए। पहले युग्म का योग $a + [a + (n - 1)d] = 2a + (n - 1)d$ है। दूसरे युग्म का योग $(a + d) + [a + (n - 2)d] = 2a + (n - 1)d$ है। हर युग्म का योग यही है, और कुल $n$ युग्म हैं।

अतः $2S_n = n[2a + (n - 1)d]$, अर्थात् $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$।

अंतिम पद $l = a + (n - 1)d$ है, इसलिए इसे $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ भी लिखा जा सकता है।

अंक योजना:

1. $S_n = a + (a + d) + \ldots + [a + (n - 1)d]$ लिखिए, और यही योग उल्टे क्रम में भी — 1 अंक
2. पदवार जोड़ने पर $n$ युग्मों में से प्रत्येक का योग $2a + (n - 1)d$ है — 1 अंक
3. $2S_n = n[2a + (n - 1)d]$, अतः $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ — 1 अंक

प्रश्न 7 (3 अंक)

एक AP के प्रथम 6 पदों का योग 57 है और इसके अगले 6 पदों का योग 165 है। AP ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

प्रथम 6 पदों का योग 57 है: $S_6 = \frac{6}{2}(2a + 5d) = 57$, अतः $2a + 5d = 19$ …(1)

"अगले 6 पद" 7वें से 12वें पद तक हैं। अतः प्रथम 12 पदों का योग $57 + 165 = 222$ है:

$S_{12} = \frac{12}{2}(2a + 11d) = 222$, अतः $2a + 11d = 37$ …(2)

(2) में से (1) घटाने पर: $6d = 18$, अतः $d = 3$। तब $2a = 19 - 15 = 4$, अतः $a = 2$।

AP $2, 5, 8, 11, \ldots$ है। (जाँच: $2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 57$ और $20 + 23 + 26 + 29 + 32 + 35 = 165$।)

अंक योजना:

1. $S_6 = 3(2a + 5d) = 57$, अतः $2a + 5d = 19$ — 1 अंक
2. $S_{12} = 57 + 165 = 222 = 6(2a + 11d)$, अतः $2a + 11d = 37$ — 1 अंक
3. $6d = 18$ से $d = 3$, $a = 2$; AP $2, 5, 8, 11, \ldots$ है — 1 अंक

प्रश्न 8 (3 अंक)

प्रिया को AP 12, 8, 4, … का 20वाँ पद ज्ञात करने को कहा गया। उसने लिखा: $d = 8 - 12 = 4$, अतः $a_{20} = 12 + 19 \times 4 = 88$। उसकी गलती बताइए और सही 20वाँ पद ज्ञात कीजिए। यह भी ज्ञात कीजिए कि इस AP का कौन-सा पद $-100$ है।

उत्तर।

1. गलती: $8 - 12 = -4$ होता है, 4 नहीं; AP घट रही है, अतः $d = -4$ — 1 अंक
2. $a_{20} = 12 + 19 \times (-4) = 12 - 76 = -64$ — 1 अंक
3. $12 + (n - 1)(-4) = -100$ से $n - 1 = 28$, अतः $-100$ 29वाँ पद है — 1 अंक

प्रश्न 9 (3 अंक)

दीपा रस्सी कूदने का अभ्यास पहले दिन 40 बार कूदकर शुरू करती है, और हर दिन पिछले दिन से 5 बार अधिक कूदती है। वह पहली बार किस दिन 100 बार कूदेगी? पहले दो सप्ताहों में वह कुल कितनी बार कूदेगी?

उत्तर।

1. प्रतिदिन की कूदें $a = 40$, $d = 5$ वाली AP बनाती हैं — 1 अंक
2. $40 + (n - 1) \times 5 = 100$ से $n = 13$: 13वाँ दिन — 1 अंक
3. $S_{14} = \frac{14}{2}(80 + 13 \times 5) = 7 \times 145 = 1015$ कूदें — 1 अंक

प्रश्न 10 (3 अंक)

उन सभी तीन अंकों वाली संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो 6 और 8 दोनों से विभाज्य हैं।

उत्तर।

1. 6 और 8 दोनों से विभाज्य का अर्थ है उनके LCM 24 से विभाज्य (48 नहीं): $120, 144, \ldots, 984$ — 1 अंक
2. $984 = 120 + (n - 1) \times 24$ से $n = 37$ — 1 अंक
3. $S_{37} = \frac{37}{2}(120 + 984) = 37 \times 552 = 20424$ — 1 अंक

दीर्घ उत्तरीय और केस आधारित प्रश्न

प्रश्न 11 (4 अंक)

रिया माचिस की तीलियों से त्रिभुजों की पंक्तियाँ बनाती है, जैसा आकृति में दिखाया गया है। एक त्रिभुज के लिए 3 तीलियाँ, दो त्रिभुजों की पंक्ति के लिए 5 तीलियाँ और तीन त्रिभुजों की पंक्ति के लिए 7 तीलियाँ लगती हैं। हर नया त्रिभुज अपने से पहले वाले त्रिभुज के साथ एक भुजा साझा करता है।

(i) दिखाइए कि आवश्यक तीलियों की संख्याएँ एक AP बनाती हैं। इसका प्रथम पद और सार्व अंतर लिखिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. 3, 5, 7, …: हर नया त्रिभुज 2 तीलियाँ जोड़ता है, अतः यह $a = 3$, $d = 2$ वाली AP है — 1 अंक

(ii) 15 त्रिभुजों की एक पंक्ति के लिए कितनी तीलियाँ चाहिए? (1 अंक)

उत्तर।

1. $a_{15} = 3 + 14 \times 2 = 31$ — 1 अंक

(iii) त्रिभुजों की एक पंक्ति में ठीक 101 तीलियाँ लगी हैं। पंक्ति में कितने त्रिभुज हैं? (2 अंक)

उत्तर।

1. $3 + (n - 1) \times 2 = 101$ — 1 अंक
2. $n - 1 = 49$, अतः $n = 50$ त्रिभुज — 1 अंक

अथवा

(iii) रिया दस अलग-अलग पंक्तियाँ बनाती है: एक में 1 त्रिभुज, एक में 2 त्रिभुज, और इसी प्रकार एक में 10 त्रिभुज तक। वह कुल कितनी तीलियों का प्रयोग करती है? (2 अंक)

उत्तर।

1. 10 त्रिभुजों की पंक्ति में $a_{10} = 3 + 9 \times 2 = 21$ तीलियाँ — 1 अंक
2. कुल $= S_{10} = \frac{10}{2}(3 + 21) = 120$ तीलियाँ — 1 अंक

प्रश्न 12 (4 अंक)

अनु को छुट्टियों में 570 पृष्ठों का एक उपन्यास पढ़ना है। वह पहले दिन 10 पृष्ठ पढ़ती है, और हर दिन पिछले दिन से 4 पृष्ठ अधिक पढ़ती है।

(i) वह 8वें दिन कितने पृष्ठ पढ़ती है? (1 अंक)

उत्तर।

1. $a_8 = 10 + 7 \times 4 = 38$ पृष्ठ — 1 अंक

(ii) वह किस दिन 50 पृष्ठ पढ़ती है? (1 अंक)

उत्तर।

1. $10 + (n - 1) \times 4 = 50$ से $n = 11$: 11वाँ दिन — 1 अंक

(iii) वह उपन्यास कितने दिनों में पूरा करती है? (2 अंक)

उत्तर।

1. $S_n = \frac{n}{2}[20 + (n - 1) \times 4] = 2n^2 + 8n = 570$, अतः $n^2 + 4n - 285 = 0$ — 1 अंक
2. $(n + 19)(n - 15) = 0$; $n$ ऋणात्मक नहीं हो सकता, अतः वह 15 दिनों में उपन्यास पूरा करती है — 1 अंक

अथवा

(iii) पहले सप्ताह के अंत तक वह कितने पृष्ठ पढ़ चुकी होती है, और तब कितने पृष्ठ शेष रहते हैं? (2 अंक)

उत्तर।

1. $S_7 = \frac{7}{2}(20 + 6 \times 4) = \frac{7}{2} \times 44 = 154$ पृष्ठ पढ़े — 1 अंक
2. शेष पृष्ठ $= 570 - 154 = 416$ — 1 अंक

प्रश्न 13 (4 अंक)

एक विद्यालय के हॉल में प्लास्टिक की कुर्सियाँ एक के ऊपर एक ढेरों में रखी जाती हैं। एक अकेली कुर्सी 80 cm ऊँची है, और ढेर में जोड़ी गई हर कुर्सी उसकी ऊँचाई 6 cm बढ़ा देती है।

(i) 1, 2, 3 और 4 कुर्सियों वाले ढेरों की ऊँचाइयाँ (cm में) लिखिए। क्या ये एक AP बनाती हैं? (1 अंक)

उत्तर।

1. 80, 86, 92, 98; हाँ, यह सार्व अंतर 6 वाली AP है — 1 अंक

(ii) 12 कुर्सियों का ढेर कितना ऊँचा है? (1 अंक)

उत्तर।

1. $a_{12} = 80 + 11 \times 6 = 146$ cm — 1 अंक

(iii) भंडार कक्ष का दरवाज़ा 2 m ऊँचा है, इसलिए कोई ढेर 2 m से ऊँचा नहीं हो सकता। एक ढेर में अधिक से अधिक कितनी कुर्सियाँ रखी जा सकती हैं? 105 कुर्सियों के लिए ऐसे कितने ढेर चाहिए? (2 अंक)

उत्तर।

1. $80 + (n - 1) \times 6 \le 200$ से $n - 1 \le 20$, अतः अधिक से अधिक 21 कुर्सियाँ — 1 अंक
2. आवश्यक ढेर $= 105 \div 21 = 5$ — 1 अंक

अथवा

(iii) एक ढेर 1.64 m ऊँचा है। इसमें कितनी कुर्सियाँ हैं? इसके 2 m से ऊँचा होने से पहले इसमें और कितनी कुर्सियाँ जोड़ी जा सकती हैं? (2 अंक)

उत्तर।

1. $80 + (n - 1) \times 6 = 164$ से $n = 15$ कुर्सियाँ — 1 अंक
2. एक ढेर में अधिक से अधिक 21 कुर्सियाँ हो सकती हैं ($80 + 20 \times 6 = 200$), अतः $21 - 15 = 6$ और — 1 अंक

प्रश्न 14 (4 अंक)

मानसून के दौरान मध्य प्रदेश के एक ज़िले का वन विभाग वृक्षारोपण अभियान चलाता है। स्वयंसेवक पहले सप्ताह में 600 पौधे लगाते हैं। वर्षा कम होने के साथ वे हर सप्ताह पिछले सप्ताह से 50 पौधे कम लगाते हैं।

(i) हर सप्ताह लगाए गए पौधों की संख्याओं से बनी AP के प्रथम तीन पद और सार्व अंतर लिखिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. 600, 550, 500; $d = -50$ — 1 अंक

(ii) किस सप्ताह में पहली बार 200 से कम पौधे लगाए जाते हैं? (1 अंक)

उत्तर।

1. $600 - 50(n - 1) < 200$ से $n - 1 > 8$; 9वें सप्ताह में ठीक 200 हैं, अतः 10वाँ सप्ताह — 1 अंक

(iii) कितने सप्ताह के बाद लगाए गए पौधों की कुल संख्या 3400 हो जाती है? (2 अंक)

उत्तर।

1. $S_n = \frac{n}{2}[1200 - 50(n - 1)] = 25n(25 - n) = 3400$, अतः $n^2 - 25n + 136 = 0$ — 1 अंक
2. $(n - 8)(n - 17) = 0$; $n = 17$ अस्वीकार्य है क्योंकि 13वें सप्ताह के बाद साप्ताहिक संख्या ऋणात्मक हो जाती, अतः 8 सप्ताह — 1 अंक

अथवा

(iii) 10वें सप्ताह में कितने पौधे लगाए जाते हैं, और तीसरे सप्ताह में 10वें सप्ताह से कितने अधिक पौधे लगाए जाते हैं? (2 अंक)

उत्तर।

1. $a_{10} = 600 + 9 \times (-50) = 150$ — 1 अंक
2. $a_3 - a_{10} = 7 \times 50 = 350$ अधिक — 1 अंक

प्रश्न 15 (4 अंक)

शिलांग के एक विद्यालय का पुस्तकालय 12 सप्ताह तक पुस्तक-दान अभियान चलाता है। उसे पहले सप्ताह में 45 पुस्तकें मिलती हैं, और उसके बाद हर सप्ताह पिछले सप्ताह से 8 पुस्तकें अधिक मिलती हैं।

(i) पुस्तकालय को अंतिम (12वें) सप्ताह में कितनी पुस्तकें मिलती हैं? (1 अंक)

उत्तर।

1. $a_{12} = 45 + 11 \times 8 = 133$ — 1 अंक

(ii) अंत से तीसरे सप्ताह में उसे कितनी पुस्तकें मिलती हैं? (1 अंक)

उत्तर।

1. अंतिम पद से पीछे गिनने पर: $133 - (3 - 1) \times 8 = 117$ — 1 अंक

(iii) 12 सप्ताहों में मिली पुस्तकों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $S_{12} = \frac{12}{2}(45 + 133)$ — 1 अंक
2. $= 6 \times 178 = 1068$ पुस्तकें — 1 अंक

अथवा

(iii) रजिस्टर में दिखाया गया है कि किसी एक सप्ताह में ठीक 130 पुस्तकें आईं। क्या यह संभव है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $45 + (n - 1) \times 8 = 130$ से $n - 1 = \frac{85}{8}$, अतः $n = 11.625$ — 1 अंक
2. $n$ प्राकृत संख्या नहीं है, अतः किसी भी सप्ताह में ठीक 130 पुस्तकें नहीं आ सकतीं; यह संभव नहीं है — 1 अंक