दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

रैखिक समीकरण युग्म अध्याय बोर्ड प्रश्न पत्र में प्रायः 4 से 6 अंक का होता है: 2026-27 के सैंपल पेपर में 5, 2025 के और 2026 के दूसरे बोर्ड प्रश्न पत्र में 6, तथा 2026 के मुख्य प्रश्न पत्र में 4 अंक।

लगभग हर बार अद्वितीय हल, कोई हल नहीं या अपरिमित रूप से अनेक हलों की शर्तों पर 1 अंक का एक बहुविकल्पीय प्रश्न आता है। बाकी अंक 3 अंक के एक शाब्दिक प्रश्न, 5 अंक के एक प्रश्न ("आलेख खींचिए और किसी अक्ष के साथ बना त्रिभुज ज्ञात कीजिए" या कोई शाब्दिक प्रश्न), या बिक्री अथवा मूल्यों पर 4 अंक के एक केस अध्ययन से आते हैं।

अंक प्रायः यहाँ कटते हैं:

• अनुपात वाली शर्तों में भ्रम, विशेषकर "कोई हल नहीं" (समांतर) और "अपरिमित रूप से अनेक" (संपाती);
• आलेख वाले प्रश्नों में हर रेखा के लिए मानों की सारणी न लिखना, या त्रिभुज के शीर्ष गलत पढ़ना;
• शाब्दिक प्रश्नों में चर स्पष्ट रूप से न बताना ($x$ और $y$ किसे दर्शाते हैं, यह साफ़ लिखें);
• प्रश्न में और कुछ पूछा गया हो, फिर भी $x$ और $y$ निकालकर रुक जाना।

5 मिनट में दोहराएँ

रूप: $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$। हर समीकरण एक सरल रेखा है; हल वह बिंदु है जो दोनों रेखाओं पर हो।

हलों की प्रकृति

विधियाँ (वज्र-गुणन विधि पाठ्यक्रम में नहीं है)

• प्रतिस्थापन: एक समीकरण से $x$ या $y$ का मान निकालकर दूसरे में रखें।
• विलोपन: गुणा करके एक चर के गुणांक बराबर करें, फिर जोड़ें या घटाएँ।
• शॉर्टकट: यदि गुणांक अदल-बदल हों ($ax + by$, $bx + ay$), तो समीकरणों को जोड़ें और घटाएँ।
• ग्राफीय: हर रेखा के लिए कम से कम 2 (बेहतर 3) बिंदुओं की सारणी बनाएँ, दोनों को एक ही अक्षों पर खींचें और मिलन-बिंदु पढ़ें।

अक्ष के साथ त्रिभुज: रेखा $x$-अक्ष से वहाँ मिलती है जहाँ $y = 0$ और $y$-अक्ष से वहाँ जहाँ $x = 0$। $x$-अक्ष वाले त्रिभुज में आधार = दोनों $x$-अंतःखंड बिंदुओं के बीच की दूरी, ऊँचाई = मिलन-बिंदु की $x$-अक्ष से दूरी, अर्थात् $|y|$, क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times$ आधार $\times$ ऊँचाई।

शाब्दिक प्रश्न: इकाई सहित चर बताएँ, दो समीकरण बनाएँ, हल करें, और ठीक वही उत्तर दें जो पूछा गया है।

• दो अंकों की संख्या: $10x + y$; अंक उलटने पर: $10y + x$।
• नाव: धारा के अनुकूल $u + v$, प्रतिकूल $u - v$।
• आयु: "$n$ वर्ष पहले" हो तो दोनों आयु में से $n$ घटाएँ।

सावधानियाँ

• "संगत" में संपाती रेखाओं वाली स्थिति भी आती है।
• ऊर्ध्वाधर रेखा $x = a$ और क्षैतिज रेखा $y = b$ होती है।
• उत्तर को दोनों मूल समीकरणों में रखकर जाँचें।

इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: हर प्रश्न पहले कॉपी पर हल कीजिए, फिर उत्तर पढ़िए। हर चरण के सामने लिखे अंक बताते हैं कि परीक्षक क्या देखता है। 1 अंक वाले बहुविकल्पीय और अभिकथन-तर्क प्रश्न अंत की क्विज़ में हैं, साथ में ऐसे प्रश्न भी जो जाँचते हैं कि आपने अध्याय कितनी गहराई से समझा है; क्विज़ के हर उत्तर के साथ उसकी व्याख्या दी गई है।

लघु उत्तरीय प्रश्न (2 और 3 अंक)

प्रश्न 1 (2 अंक)

$x$ और $y$ के लिए हल कीजिए: $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 4$ और $\frac{x}{2} - \frac{y}{4} = 1$।

उत्तर।

1. भिन्न हटाने पर: $4x + 3y = 48$ और $2x - y = 4$ — 1 अंक
2. $y = 2x - 4$ से $4x + 6x - 12 = 48$, अतः $x = 6$ और $y = 8$ — 1 अंक

प्रश्न 2 (2 अंक)

$x$ और $y$ के लिए हल कीजिए: $3x + 2y = 11$ और $2x + 3y = 4$।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

गुणांकों को देखिए: पहले समीकरण में 3, 2 और दूसरे में 2, 3 हैं। इसलिए समीकरणों को जोड़ना और घटाना सामान्य विधि से जल्दी है।

जोड़ने पर: $5x + 5y = 15$, अतः $x + y = 3$। … (1)

पहले में से दूसरा घटाने पर: $x - y = 7$। … (2)

(1) और (2) को जोड़ने पर: $2x = 10$, अतः $x = 5$। (1) से $y = 3 - 5 = -2$।

जाँच: $3(5) + 2(-2) = 11$ और $2(5) + 3(-2) = 4$। अतः $x = 5$, $y = -2$।

अंक योजना:

1. जोड़ने पर: $5x + 5y = 15$, अतः $x + y = 3$; घटाने पर: $x - y = 7$ — 1 अंक
2. $2x = 10$, अतः $x = 5$ और $y = -2$ — 1 अंक

प्रश्न 3 (2 अंक)

आलेख खींचे बिना ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक युग्म को निरूपित करने वाली रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं या संपाती हैं: (i) $5x - 3y = 11$ और $-10x + 6y = -22$ (ii) $3x - 4y = 7$ और $6x + 8y = 5$

उत्तर।

1. (i) $\frac{5}{-10} = \frac{-3}{6} = \frac{11}{-22} = -\frac{1}{2}$, अतः रेखाएँ संपाती हैं (अपरिमित रूप से अनेक हल) — 1 अंक
2. (ii) $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ परंतु $\frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$, अतः $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ और रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं (अद्वितीय हल) — 1 अंक

प्रश्न 4 (2 अंक)

एक समांतर चतुर्भुज ABCD में $\angle A = (2x + y)^\circ$, $\angle B = (x + 3y)^\circ$ और $\angle C = 70^\circ$ है। $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. सम्मुख कोण बराबर: $2x + y = 70$; आसन्न कोण संपूरक: $\angle B = 110^\circ$, अतः $x + 3y = 110$ — 1 अंक
2. $y = 70 - 2x$ से $x + 210 - 6x = 110$, अतः $x = 20$ और $y = 30$ — 1 अंक

प्रश्न 5 (2 अंक)

रेखाएँ $kx + 2y = 12$ और $3x - y = 9$, $x$-अक्ष पर स्थित एक बिंदु पर मिलती हैं। $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $x$-अक्ष पर $y = 0$; $3x - y = 9$ से $x = 3$, अतः बिंदु $(3, 0)$ है — 1 अंक
2. $(3, 0)$ रेखा $kx + 2y = 12$ पर है: $3k = 12$, अतः $k = 4$ — 1 अंक

प्रश्न 6 (3 अंक)

दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग 9 है। इसके अंकों को उलटने से प्राप्त संख्या, मूल संख्या से 27 अधिक है। संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. माना दहाई का अंक $x$ और इकाई का अंक $y$ है: संख्या $= 10x + y$, और $x + y = 9$ — 1 अंक
2. $(10y + x) - (10x + y) = 27$ से $9y - 9x = 27$, अतः $y - x = 3$ — 1 अंक
3. $2y = 12$: $y = 6$, $x = 3$; संख्या 36 है — 1 अंक

प्रश्न 7 (3 अंक)

यदि किसी भिन्न के अंश में 3 जोड़ दिया जाए और हर में से 1 घटा दिया जाए, तो भिन्न $\frac{5}{4}$ हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में से 1 घटा दिया जाए, तो यह $\frac{3}{4}$ हो जाती है। भिन्न ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. माना भिन्न $\frac{x}{y}$ है: $\frac{x + 3}{y - 1} = \frac{5}{4}$ से $4x - 5y = -17$ — 1 अंक
2. $\frac{x - 1}{y - 1} = \frac{3}{4}$ से $4x - 3y = 1$ — 1 अंक
3. घटाने पर: $2y = 18$, $y = 9$ और $x = 7$; भिन्न $\frac{7}{9}$ है — 1 अंक

प्रश्न 8 (3 अंक)

वाराणसी में गंगा पर एक मोटरबोट धारा के अनुकूल 36 km की दूरी 2 घंटे में तय करती है और वापस धारा के प्रतिकूल वही 36 km की दूरी 3 घंटे में तय करती है। स्थिर जल में नाव की चाल और धारा की चाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. माना स्थिर जल में नाव की चाल $u$ km/h और धारा की चाल $v$ km/h है; धारा के अनुकूल $u + v = \frac{36}{2} = 18$ — 1 अंक
2. धारा के प्रतिकूल $u - v = \frac{36}{3} = 12$ — 1 अंक
3. $2u = 30$: $u = 15$ km/h और $v = 3$ km/h — 1 अंक

प्रश्न 9 (3 अंक)

चार वर्ष पहले मीना की माँ की आयु मीना की आयु की 5 गुनी थी। दो वर्ष बाद उसकी आयु मीना की आयु की 3 गुनी होगी। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. माना वर्तमान आयु: माँ $x$ वर्ष, मीना $y$ वर्ष; $x - 4 = 5(y - 4)$ से $x - 5y = -16$ — 1 अंक
2. $x + 2 = 3(y + 2)$ से $x - 3y = 4$ — 1 अंक
3. घटाने पर: $2y = 20$, $y = 10$, $x = 34$; माँ 34 वर्ष, मीना 10 वर्ष — 1 अंक

प्रश्न 10 (3 अंक)

निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए: $x - y = 1$ और $2x + y = 8$।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

$x - y = 1$ अर्थात् $y = x - 1$ के लिए:

$2x + y = 8$ अर्थात् $y = 8 - 2x$ के लिए:

इन बिंदुओं को आलेखित करके मिलाने पर एक ही ग्राफ पर दो सरल रेखाएँ मिलती हैं। रेखाएँ बिंदु $(3, 2)$ पर मिलती हैं।

अतः हल $x = 3$, $y = 2$ है। जाँच: $3 - 2 = 1$ और $2(3) + 2 = 8$।

अंक योजना:

1. सारणियाँ: $x - y = 1$ बिंदुओं $(1, 0)$, $(0, -1)$, $(3, 2)$ से; $2x + y = 8$ बिंदुओं $(4, 0)$, $(0, 8)$, $(3, 2)$ से — 1 अंक
2. दोनों रेखाएँ एक ही अक्षों पर सही-सही खींची गईं — 1 अंक
3. रेखाएँ $(3, 2)$ पर मिलती हैं, अतः $x = 3$, $y = 2$ — 1 अंक

दीर्घ उत्तरीय और केस आधारित प्रश्न

प्रश्न 11 (5 अंक)

समीकरणों $2x + y = 6$ और $x - 2y + 2 = 0$ के आलेख खींचिए। इन दोनों रेखाओं और $x$-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, त्रिभुजाकार क्षेत्र को छायांकित कीजिए और उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

$2x + y = 6$ अर्थात् $y = 6 - 2x$ के लिए:

$x - 2y + 2 = 0$ अर्थात् $y = \frac{x + 2}{2}$ के लिए:

बिंदुओं को आलेखित करके दोनों रेखाएँ एक ही अक्षों पर खींचिए। वे $(2, 2)$ पर मिलती हैं।

रेखा $2x + y = 6$, $x$-अक्ष से $(3, 0)$ पर और रेखा $x - 2y + 2 = 0$ उससे $(-2, 0)$ पर मिलती है। अतः त्रिभुज के शीर्ष A$(2, 2)$, B$(-2, 0)$ और C$(3, 0)$ हैं।

इसका आधार BC, $x$-अक्ष पर है: BC $= 3 - (-2) = 5$ इकाई। ऊँचाई, A की $x$-अक्ष से दूरी है, जो 2 इकाई है।

क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5$ वर्ग इकाई।

अंक योजना:

1. $2x + y = 6$ की सारणी: $(0, 6)$, $(3, 0)$, $(2, 2)$ — 1 अंक
2. $x - 2y + 2 = 0$ की सारणी: $(-2, 0)$, $(0, 1)$, $(2, 2)$ — 1 अंक
3. दोनों रेखाएँ सही खींची गईं और त्रिभुज छायांकित किया गया — 1 अंक
4. शीर्ष: $(2, 2)$, $(3, 0)$ और $(-2, 0)$ — 1 अंक
5. आधार $= 3 - (-2) = 5$ इकाई, ऊँचाई $= 2$ इकाई; क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5$ वर्ग इकाई — 1 अंक

प्रश्न 12 (5 अंक)

भुवनेश्वर की एक शिक्षिका किरण ने ₹ 25,000 दो योजनाओं में निवेश किए। पहली योजना 8% वार्षिक और दूसरी 10% वार्षिक की दर से साधारण ब्याज देती है। एक वर्ष के अंत में उसे कुल ₹ 2,280 ब्याज मिला। उसने प्रत्येक योजना में कितनी राशि निवेश की? यदि वह अब ₹ 5,000 पहली योजना से निकालकर दूसरी में लगा दे, तो एक वर्ष का ब्याज कितना होगा?

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

माना किरण ने 8% वाली योजना में ₹ $x$ और 10% वाली योजना में ₹ $y$ निवेश किए।

कुल निवेश: $x + y = 25000$। … (1)

एक वर्ष का ब्याज: $\frac{8x}{100} + \frac{10y}{100} = 2280$। 100 से गुणा करके 2 से भाग देने पर: $4x + 5y = 114000$। … (2)

(1) को 4 से गुणा करने पर: $4x + 4y = 100000$। इसे (2) में से घटाने पर: $y = 14000$। तब $x = 25000 - 14000 = 11000$।

जाँच: 11000 का $8\%$ = 880 और 14000 का $10\%$ = 1400, तथा $880 + 1400 = 2280$।

अतः उसने 8% पर ₹ 11,000 और 10% पर ₹ 14,000 निवेश किए।

₹ 5,000 स्थानांतरित करने के बाद राशियाँ 8% पर ₹ 6,000 और 10% पर ₹ 19,000 हैं। ब्याज $= 480 + 1900 = 2380$, अतः उसका वार्षिक ब्याज ₹ 2,380 होगा, अर्थात् ₹ 100 अधिक।

अंक योजना:

1. माना राशियाँ ₹ $x$ (8%) और ₹ $y$ (10%) हैं: $x + y = 25000$ — 1 अंक
2. $\frac{8x}{100} + \frac{10y}{100} = 2280$, अर्थात् $4x + 5y = 114000$ — 1 अंक
3. $4x + 4y = 100000$; घटाने पर $y = 14000$ — 1 अंक
4. $x = 11000$: 8% पर ₹ 11,000 और 10% पर ₹ 14,000 — 1 अंक
5. नई राशियाँ ₹ 6,000 और ₹ 19,000; ब्याज $= 480 + 1900 = 2380$, अर्थात् ₹ 2,380 — 1 अंक

प्रश्न 13 (4 अंक)

नासिक के पास एक गाँव में महिलाओं का एक स्वयं सहायता समूह जूट के थैले और कपड़े के बटुए बनाता है। हर जूट का थैला ₹ $x$ में और हर कपड़े का बटुआ ₹ $y$ में बिकता है। पहले सप्ताह में उन्होंने 30 थैले और 20 बटुए बेचकर ₹ 4400 कमाए। दूसरे सप्ताह में उन्होंने 20 थैले और 40 बटुए बेचकर ₹ 4000 कमाए।

(i) दिखाइए कि दूसरे सप्ताह की बिक्री से $x + 2y = 200$ प्राप्त होता है। (1 अंक)

उत्तर।

1. $20x + 40y = 4000$; 20 से भाग देने पर $x + 2y = 200$ — 1 अंक

(ii) एक सदस्य अनुमान लगाती है कि एक थैला ₹ 100 का और एक बटुआ ₹ 70 का है। दोनों सप्ताहों के आधार पर उसके अनुमान की जाँच कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. सप्ताह 1: $3000 + 1400 = 4400$ ठीक है, परंतु सप्ताह 2: $2000 + 2800 = 4800 \neq 4000$; अतः अनुमान गलत है — 1 अंक

(iii) एक जूट के थैले और एक कपड़े के बटुए का विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. सप्ताह 1: $3x + 2y = 440$; इसमें से $x + 2y = 200$ घटाने पर: $2x = 240$, $x = 120$ — 1 अंक
2. $2y = 80$, $y = 40$; थैला ₹ 120, बटुआ ₹ 40 — 1 अंक

अथवा

(iii) तीसरे सप्ताह में समूह ने उन्हीं मूल्यों (थैला ₹ 120, बटुआ ₹ 40) पर कुल 50 वस्तुएँ (थैले और बटुए) बेचीं और ₹ 4400 कमाए। रैखिक समीकरण युग्म बनाकर ज्ञात कीजिए कि उन्होंने कितने थैले और कितने बटुए बेचे। (2 अंक)

उत्तर।

1. माना $b$ थैले और $p$ बटुए बिके: $b + p = 50$ और $120b + 40p = 4400$, अर्थात् $3b + p = 110$ — 1 अंक
2. घटाने पर: $2b = 60$; 30 थैले और 20 बटुए — 1 अंक

प्रश्न 14 (4 अंक)

लखनऊ में दो कैब सेवाएँ चलती हैं। सेवा P एक निश्चित ₹ 50 और साथ में ₹ 10 प्रति km लेती है। सेवा Q कोई निश्चित शुल्क नहीं लेती और ₹ 20 प्रति km लेती है। आकृति में दोनों सेवाओं के लिए दूरी $x$ (km में) के सापेक्ष किराया $y$ (₹ में) दिखाया गया है; दोनों रेखाएँ E पर मिलती हैं।

(i) दोनों सेवाओं के लिए रैखिक समीकरण युग्म लिखिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. P: $y = 10x + 50$; Q: $y = 20x$ — 1 अंक

(ii) किस दूरी के लिए दोनों सेवाएँ एक समान किराया लेती हैं? वह किराया कितना है? (1 अंक)

उत्तर।

1. $20x = 10x + 50$ से $x = 5$ km; किराया ₹ 100 (बिंदु E, $(5, 100)$ है) — 1 अंक

(iii) रिया को 12 km यात्रा करनी है। उसके लिए कौन-सी सेवा सस्ती है, और कितनी? (2 अंक)

उत्तर।

1. P: $10 \times 12 + 50 = 170$; Q: $20 \times 12 = 240$ — 1 अंक
2. सेवा P सस्ती है, ₹ 70 से — 1 अंक

अथवा

(iii) सेवा Q अपना किराया बदलकर निश्चित ₹ 10 और साथ में ₹ 15 प्रति km कर देती है। वह दूरी ज्ञात कीजिए जिस पर अब दोनों सेवाएँ समान किराया लेती हैं, और वह किराया भी। (2 अंक)

उत्तर।

1. नई Q: $y = 15x + 10$; $15x + 10 = 10x + 50$ — 1 अंक
2. $5x = 40$, $x = 8$ km; किराया $= 10 \times 8 + 50 = 130$, अर्थात् ₹ 130 — 1 अंक