त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (ऊँचाई और दूरी) अध्याय बोर्ड प्रश्न पत्र में 5 या 6 अंक का होता है: 2026-27 के सैंपल पेपर में 6 और 2025 तथा 2026 के दोनों बोर्ड प्रश्न पत्रों में 5 अंक।

ये अंक या तो दो त्रिभुजों वाले 5 अंक के प्रश्न (सैंपल पेपर और फ़रवरी 2026) से आते हैं या 4 अंक के केस आधारित प्रश्न (2025 में प्रकाश-स्तंभ, मई 2026 में दो भवनों के बीच सीढ़ी) से, और साथ में प्रायः छाया, पतंग या सीढ़ी पर 1 अंक का बहुविकल्पीय प्रश्न होता है। लिखित प्रश्नों में $30^\circ$, $45^\circ$ और $60^\circ$ के कोण लिए जाते हैं, और एक प्रश्न में अधिकतम दो समकोण त्रिभुज होते हैं; बहुविकल्पीय प्रश्न में कोण के स्थान पर अनुपात भी दिया जा सकता है, जैसे पतंग की डोरी के लिए $\tan\theta = \frac{12}{5}$। एक ही वस्तु को दो अलग ऊँचाइयों (भूमि और छत या डेक) से देखने वाला दीर्घ प्रश्न भी अक्सर आता है।

अंक प्रायः यहाँ कटते हैं:

• आकृति न बनाना, या गलत बनाना (5 अंक के उत्तर में आकृति पर अंक मिलता है);
• अवनमन कोण को क्षैतिज के स्थान पर ऊर्ध्वाधर से मापना;
• प्रेक्षक की आँख की ऊँचाई, या डेक, छत या ट्रक की ऊँचाई जोड़ना भूल जाना;
• बिंदु एक ही ओर हों तब दूरियाँ जोड़ देना, या विपरीत ओर हों तब घटा देना।

5 मिनट में दोहराएँ

जानने योग्य शब्द

• दृष्टि रेखा: प्रेक्षक की आँख से वस्तु तक की रेखा।
• उन्नयन कोण: आँख से ऊपर की वस्तु के लिए क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के बीच का कोण।
• अवनमन कोण: आँख से नीचे की वस्तु के लिए क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के बीच का कोण।
• $A$ से $B$ का अवनमन कोण, $B$ से $A$ के उन्नयन कोण के बराबर होता है (एकांतर कोण)।

ये मान चाहिए

दशमलव में उत्तर माँगा हो तो $\sqrt{3} = 1.73$ और $\sqrt{2} = 1.41$ लीजिए।

कौन-सा अनुपात? ऊँचाई और क्षैतिज दूरी: $\tan$ लीजिए। तिरछी लंबाई (डोरी, सीढ़ी, केबल) और ऊँचाई: $\sin$; तिरछी लंबाई और क्षैतिज दूरी: $\cos$।

कोण के स्थान पर अनुपात दिया हो (जैसे $\tan\theta = \frac{12}{5}$): भुजाएँ 12 और 5 वाला समकोण त्रिभुज बनाइए, कर्ण 13 निकालिए, फिर $\sin\theta = \frac{12}{13}$ या $\cos\theta = \frac{5}{13}$ लिखिए।

ऊँचाई $h$ के लिए पाद से दूरी: $30^\circ$ पर $h\sqrt{3}$; $45^\circ$ पर $h$; $60^\circ$ पर $\frac{h}{\sqrt{3}}$।

5 अंक के प्रश्न की विधि

1. आकृति बनाइए: मीनारों के लिए ऊर्ध्वाधर रेखाएँ, आँख से होकर बिंदुकित क्षैतिज रेखा, कोण सही स्थान पर।
2. अज्ञात को $h$ या $x$ मानिए।
3. हर समकोण त्रिभुज के लिए एक tan (या sin/cos) समीकरण लिखिए।
4. हल कीजिए, परिमेयकरण कीजिए, और $\sqrt{3} = 1.73$ केवल अंत में रखिए।

बार-बार आने वाले प्रकार

• मीनार की ओर चलना: दोनों कोणों पर दूरियों का अंतर = चली गई दूरी।
• मीनार के विपरीत ओर दो बिंदु: दूरियाँ जुड़ती हैं।
• खिड़की या डेक से: आँख से होकर क्षैतिज रेखा खींचिए; उसके नीचे का भाग आँख की ऊँचाई के बराबर है।
• एक ही वस्तु भूमि से और ऊँचाई $h$ से: दोनों से मिली ऊँचाइयों का अंतर $h$ होता है।

सावधानियाँ

• अवनमन कोण प्रेक्षक पर क्षैतिज रेखा से बनाइए, ऊर्ध्वाधर से नहीं।
• हाथ, आँख, डेक या ट्रक की ऊँचाई जोड़िए।
• $\frac{h}{\sqrt{3} - 1}$ को $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ से गुणा कीजिए, जिससे $\frac{h(\sqrt{3} + 1)}{2}$ मिलता है।
• दूरी दुगुनी करने से कोण आधा नहीं होता।

इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: हर प्रश्न पहले कॉपी पर हल कीजिए, फिर उत्तर पढ़िए। हर चरण के सामने लिखे अंक बताते हैं कि परीक्षक क्या देखता है। 1 अंक वाले बहुविकल्पीय और अभिकथन-तर्क प्रश्न अंत की क्विज़ में हैं, साथ में ऐसे प्रश्न भी जो जाँचते हैं कि आपने अध्याय कितनी गहराई से समझा है; क्विज़ के हर उत्तर के साथ उसकी व्याख्या दी गई है।

लघु उत्तरीय प्रश्न (2 और 3 अंक)

प्रश्न 1 (2 अंक)

रिया पतंग उड़ा रही है। वह डोरी को भूमि से 1.2 m ऊपर पकड़े हुए है। डोरी 100 m लंबी है और क्षैतिज से $30^\circ$ का कोण बनाती है। डोरी को सीधा मानते हुए, भूमि से पतंग की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. उसके हाथ से पतंग की ऊँचाई $= 100\sin 30^\circ = 100 \times \frac{1}{2} = 50$ m — 1 अंक
2. भूमि से ऊँचाई $= 50 + 1.2 = 51.2$ m — 1 अंक

प्रश्न 2 (2 अंक)

एक आँधी में समतल भूमि पर ऊर्ध्वाधर खड़ा एक बाँस किसी बिंदु से टूट जाता है, परंतु अलग नहीं होता। 8 m लंबा टूटा भाग झुककर अपने शिखर से भूमि को छूता है और भूमि से $60^\circ$ का कोण बनाता है। टूटने से पहले बाँस की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए)

उत्तर।

1. खड़ा भाग $= 8\sin 60^\circ = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ m — 1 अंक
2. मूल ऊँचाई $= 8 + 4\sqrt{3} = 8 + 6.92 = 14.92$ m — 1 अंक

प्रश्न 3 (2 अंक)

समतल भूमि के एक बिंदु $P$ से एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण $60^\circ$ है। रवि कहता है कि उसी रेखा पर एक बिंदु $Q$ से, जो मीनार के पाद से $P$ की तुलना में दुगुनी दूरी पर है, उन्नयन कोण $30^\circ$ होगा। क्या वह सही है? कारण दीजिए।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

नहीं, रवि सही नहीं है।

माना मीनार की ऊँचाई $h$ है। $P$ से $\tan 60^\circ = \frac{h}{PB}$, जहाँ $B$ पाद है, अतः $PB = \frac{h}{\sqrt{3}}$।

$Q$ दुगुनी दूरी पर है, अतः $QB = \frac{2h}{\sqrt{3}}$। $Q$ पर उन्नयन कोण $\theta$ के लिए $\tan\theta = h \div \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

परंतु $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$, जो $\frac{\sqrt{3}}{2}$ नहीं है। अतः $Q$ पर कोण $30^\circ$ नहीं है। दूरी दुगुनी करने से कोण आधा नहीं होता। $30^\circ$ कोण के लिए दूरी $h\sqrt{3}$ होनी चाहिए, जो $PB$ की 3 गुनी है।

अंक योजना:

1. यदि ऊँचाई $h$ है, तो $P$ पाद से $\frac{h}{\sqrt{3}}$ और $Q$, $\frac{2h}{\sqrt{3}}$ दूर है; $Q$ पर कोण का $\tan = \frac{h}{2h/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — 1 अंक
2. $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30^\circ$, अतः रवि गलत है ($30^\circ$ के लिए बिंदु को 3 गुनी दूरी पर होना चाहिए) — 1 अंक

प्रश्न 4 (2 अंक)

ऊर्ध्वाधर दीवार के सहारे टिकी एक सीढ़ी समतल भूमि से $60^\circ$ का कोण बनाती है, और उसका ऊपरी सिरा दीवार को $3\sqrt{3}$ m की ऊँचाई पर छूता है। सीढ़ी की लंबाई और दीवार से उसके पाद की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $\sin 60^\circ = \frac{3\sqrt{3}}{l}$, अतः $l = 3\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 6$ m — 1 अंक
2. $\tan 60^\circ = \frac{3\sqrt{3}}{d}$, अतः $d = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$ m — 1 अंक

प्रश्न 5 (3 अंक)

सड़क से 15 m ऊँची एक खिड़की से अमन अपने घर की ओर सीधे आती हुई एक कार देखता है। कार का अवनमन कोण $30^\circ$ से बदलकर $60^\circ$ हो जाता है। इस समय में कार ने कितनी दूरी तय की? ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए)

उत्तर।

1. माना $A$ खिड़की, $B$ घर का पाद, और $D$ तथा $C$ कार की दो स्थितियाँ हैं; $\angle ADB = 30^\circ$ और $\angle ACB = 60^\circ$ (एकांतर कोण); $BD = \frac{15}{\tan 30^\circ} = 15\sqrt{3}$ m — 1 अंक
2. $BC = \frac{15}{\tan 60^\circ} = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}$ m — 1 अंक
3. तय की गई दूरी $= CD = 15\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} = 17.3$ m — 1 अंक

प्रश्न 6 (3 अंक)

एक सीधी सड़क के विपरीत ओर दो ऊर्ध्वाधर खंभे $AB$ और $CD$ खड़े हैं, जिनके पाद $B$ और $D$ सड़क पर हैं। $AB = 15$ m है। $BD$ के मध्य-बिंदु $M$ से शिखरों $A$ और $C$ के उन्नयन कोण क्रमशः $60^\circ$ और $30^\circ$ हैं। सड़क की चौड़ाई $BD$ और खंभे $CD$ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $\triangle ABM$ में: $\tan 60^\circ = \frac{15}{BM}$, अतः $BM = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}$ m — 1 अंक
2. $BD = 2BM = 10\sqrt{3}$ m — 1 अंक
3. $\triangle CDM$ में: $MD = 5\sqrt{3}$ m और $CD = MD\tan 30^\circ = 5\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 5$ m — 1 अंक

प्रश्न 7 (3 अंक)

काव्या भूमि से 12 m ऊँची अपनी खिड़की से बाहर देखती है। सामने वाले भवन के शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ और उसके पाद का अवनमन कोण $45^\circ$ है। सामने वाले भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए)

उत्तर।

1. माना $A$ खिड़की, $B$ काव्या के भवन का पाद (अतः $AB = 12$ m), $CD$ सामने वाला भवन और $AE$ क्षैतिज है, जहाँ $E$, $CD$ पर स्थित है; $45^\circ$ अवनमन कोण से $BD = AE = AB = 12$ m — 1 अंक
2. $\triangle AEC$ में: $CE = AE\tan 30^\circ = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ m — 1 अंक
3. ऊँचाई $CD = 12 + 4\sqrt{3} = 12 + 6.92 = 18.92$ m — 1 अंक

प्रश्न 8 (3 अंक)

एक ड्रोन नदी के दोनों किनारों के बीच भूमि के एक बिंदु के ठीक 30 m ऊपर मँडरा रहा है। ड्रोन के विपरीत ओर और उसके साथ एक सीधी रेखा में स्थित दोनों किनारों के अवनमन कोण $45^\circ$ और $60^\circ$ हैं। नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए)

उत्तर।

1. माना ड्रोन $P$ है, जो $Q$ से 30 m ऊपर है, और किनारे $A$ और $B$ हैं; $\angle PAQ = 45^\circ$ से $AQ = 30$ m — 1 अंक
2. $\angle PBQ = 60^\circ$ से $QB = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ m — 1 अंक
3. चौड़ाई $AB = 30 + 10\sqrt{3} = 30 + 17.3 = 47.3$ m — 1 अंक

प्रश्न 9 (3 अंक)

समतल भूमि पर 8 m और 20 m ऊँचे दो ऊर्ध्वाधर खंभे खड़े हैं। एक सीधा तार उनके शिखरों को जोड़ता है, और छोटे खंभे के शिखर से बड़े खंभे के शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ है। तार की लंबाई और खंभों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए)

उत्तर।

1. माना खंभे $AB = 8$ m और $CD = 20$ m हैं, और $AE \parallel BD$ खींचिए जो $CD$ से $E$ पर मिलती है; तब $ED = 8$ m और $CE = 20 - 8 = 12$ m — 1 अंक
2. $\triangle AEC$ में: $\sin 30^\circ = \frac{CE}{AC}$, अतः तार $AC = 12 \times 2 = 24$ m — 1 अंक
3. $\tan 30^\circ = \frac{CE}{AE}$, अतः $BD = AE = 12\sqrt{3} = 20.76$ m — 1 अंक

दीर्घ उत्तरीय और केस आधारित प्रश्न

प्रश्न 10 (5 अंक)

45 m ऊँचे एक होटल के शिखर से, उसी समतल भूमि पर खड़े एक मंदिर के शिखर और पाद के अवनमन कोण क्रमशः $30^\circ$ और $60^\circ$ हैं। मंदिर की ऊँचाई और होटल तथा मंदिर के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए)

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

माना $AB = 45$ m होटल और $CD$ मंदिर है। $CE$ भूमि के समांतर खींचिए, जो $AB$ से $E$ पर मिलती है। $A$ से अवनमन कोण एकांतर कोणों $\angle ACE = 30^\circ$ और $\angle ADB = 60^\circ$ के बराबर हैं।

समकोण $\triangle ABD$ में: $\tan 60^\circ = \frac{AB}{BD}$, अतः $\sqrt{3} = \frac{45}{BD}$ और $BD = \frac{45}{\sqrt{3}} = 15\sqrt{3}$ m।

$CE = BD = 15\sqrt{3}$ m। समकोण $\triangle AEC$ में: $\tan 30^\circ = \frac{AE}{CE}$, अतः $AE = 15\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 15$ m।

मंदिर की ऊँचाई $CD = BE = AB - AE = 45 - 15 = 30$ m।

होटल और मंदिर के बीच की दूरी $= BD = 15\sqrt{3} = 15 \times 1.73 = 25.95$ m।

अंक योजना:

1. सही आकृति: होटल $AB = 45$ m, मंदिर $CD$, $CE$ क्षैतिज, $E$, $AB$ पर स्थित है; $\angle ADB = 60^\circ$, $\angle ACE = 30^\circ$ — 1 अंक
2. $\triangle ABD$ में: $\tan 60^\circ = \frac{45}{BD}$, अतः $BD = \frac{45}{\sqrt{3}} = 15\sqrt{3} = 25.95$ m — 2 अंक
3. $\triangle AEC$ में: $CE = BD = 15\sqrt{3}$ m और $AE = CE\tan 30^\circ = 15\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 15$ m — 1 अंक
4. मंदिर की ऊँचाई $CD = BE = 45 - 15 = 30$ m; दोनों के बीच की दूरी $= 25.95$ m — 1 अंक

प्रश्न 11 (5 अंक)

असम में बाढ़ के दौरान एक बचाव हेलीकॉप्टर शांत हवा में एक स्थान पर मँडरा रहा है। 40 m ऊँची एक पानी की टंकी के पाद पर खड़ा राहुल हेलीकॉप्टर को $60^\circ$ के उन्नयन कोण पर देखता है। उसी समय टंकी के शिखर पर खड़ी प्रिया उसे $30^\circ$ के उन्नयन कोण पर देखती है। भूमि से हेलीकॉप्टर की ऊँचाई, टंकी से उसकी क्षैतिज दूरी, और प्रिया से उसकी दूरी ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए)

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

माना $BC = 40$ m टंकी है, जिसका पाद $B$ और शिखर $C$ है। माना हेलीकॉप्टर $H$ पर है, जो भूमि के बिंदु $G$ के ठीक ऊपर है। $CE$ क्षैतिज खींचिए, जो $HG$ से $E$ पर मिलती है। तब $EG = BC = 40$ m और $CE = BG$। माना $BG = x$ m।

समकोण $\triangle HGB$ में: $\tan 60^\circ = \frac{HG}{BG}$, अतः $HG = x\sqrt{3}$।

समकोण $\triangle HEC$ में: $\tan 30^\circ = \frac{HE}{CE}$, अतः $HE = \frac{x}{\sqrt{3}}$।

क्योंकि $HG = HE + EG$: $x\sqrt{3} = \frac{x}{\sqrt{3}} + 40$, अर्थात् $\frac{3x - x}{\sqrt{3}} = 40$, अतः $x = 20\sqrt{3}$ m।

हेलीकॉप्टर की ऊँचाई $HG = 20\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 60$ m।

टंकी से क्षैतिज दूरी $= 20\sqrt{3} = 20 \times 1.73 = 34.6$ m।

प्रिया से दूरी: $\cos 30^\circ = \frac{CE}{CH}$, अतः $CH = 20\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 40$ m।

अंक योजना:

1. सही आकृति: टंकी $BC = 40$ m ($B$ भूमि पर), भूमि के बिंदु $G$ के ऊपर हेलीकॉप्टर $H$, $CE$ क्षैतिज, जहाँ $E$, $HG$ पर स्थित है; $\angle HBG = 60^\circ$, $\angle HCE = 30^\circ$ — 1 अंक
2. माना $BG = CE = x$; $\triangle HGB$ में: $HG = x\tan 60^\circ = x\sqrt{3}$ — 1 अंक
3. $\triangle HEC$ में: $HE = x\tan 30^\circ = \frac{x}{\sqrt{3}}$, और $HG - HE = 40$, अतः $x\sqrt{3} - \frac{x}{\sqrt{3}} = 40$ — 1 अंक
4. $\frac{2x}{\sqrt{3}} = 40$ से $x = 20\sqrt{3} = 34.6$ m और $HG = 20\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 60$ m — 1 अंक
5. प्रिया से दूरी $CH = \frac{CE}{\cos 30^\circ} = 20\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 40$ m — 1 अंक

प्रश्न 12 (5 अंक)

दीपा की आँखें समतल भूमि से 1.5 m ऊपर हैं। एक बिंदु $A$ से, उसकी आँखों से एक मोबाइल टावर के शिखर का उन्नयन कोण $45^\circ$ है। वह टावर की ओर सीधे 20 m चलकर बिंदु $B$ पर पहुँचती है, और उन्नयन कोण $60^\circ$ हो जाता है। टावर की ऊँचाई और टावर के पाद से $B$ की दूरी ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए)

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

माना $PQ$ टावर है, जिसका पाद $Q$ है। माना $A'$ और $B'$ दीपा की आँख की स्थितियाँ हैं, जो $A$ और $B$ से 1.5 m ऊपर हैं। रेखा $A'B'$ क्षैतिज है; इसे बढ़ाइए ताकि यह $PQ$ से $M$ पर मिले, अतः $MQ = 1.5$ m। माना $PM = x$ m।

समकोण $\triangle PMA'$ में: $\tan 45^\circ = \frac{x}{A'M}$, अतः $A'M = x$।

समकोण $\triangle PMB'$ में: $\tan 60^\circ = \frac{x}{B'M}$, अतः $B'M = \frac{x}{\sqrt{3}}$।

$A'M - B'M = A'B' = 20$: $x - \frac{x}{\sqrt{3}} = 20$, अतः $x(\sqrt{3} - 1) = 20\sqrt{3}$ और

$x = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = 10\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1) = 30 + 10\sqrt{3} = 47.3$ m।

टावर की ऊँचाई $PQ = PM + MQ = 47.3 + 1.5 = 48.8$ m।

पाद से $B$ की दूरी $= B'M = \frac{x}{\sqrt{3}} = 10 + 10\sqrt{3} = 27.3$ m।

अंक योजना:

1. सही आकृति: टावर $PQ$, $A$ और $B$ से 1.5 m ऊपर आँख की स्थितियाँ $A'$ और $B'$, बढ़ाई गई $A'B'$ रेखा $PQ$ से $M$ पर मिलती है; $\angle PA'M = 45^\circ$, $\angle PB'M = 60^\circ$, $A'B' = 20$ m — 1 अंक
2. माना $PM = x$; $\triangle PMA'$ में: $A'M = x$ (क्योंकि $\tan 45^\circ = 1$); $\triangle PMB'$ में: $B'M = \frac{x}{\sqrt{3}}$ — 1 अंक
3. $A'M - B'M = 20$: $x - \frac{x}{\sqrt{3}} = 20$, अतः $x = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = 10\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1) = 30 + 10\sqrt{3}$ — 1 अंक
4. $x = 30 + 17.3 = 47.3$ m, अतः टावर $47.3 + 1.5 = 48.8$ m ऊँचा है — 1 अंक
5. पाद से $B$ की दूरी $= B'M = \frac{x}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} + 10 = 27.3$ m — 1 अंक

प्रश्न 13 (4 अंक)

ऋषिकेश के पास एक साहसिक शिविर में समतल भूमि पर 30 m ऊँचा एक ज़िपलाइन प्लेटफ़ॉर्म $OA$ खड़ा है। केबल $AB$ शिखर $A$ से भूमि के एक बिंदु $B$ तक सीधी जाती है और भूमि से $30^\circ$ का कोण बनाती है। दूसरी केबल $AD$, $A$ से प्लेटफ़ॉर्म के दूसरी ओर के एक बिंदु $D$ तक जाती है और भूमि से $60^\circ$ का कोण बनाती है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।

(i) केबल $AB$ की लंबाई ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $\sin 30^\circ = \frac{30}{AB}$, अतः $AB = 60$ m — 1 अंक

(ii) प्लेटफ़ॉर्म के पाद $O$ से $B$ कितनी दूर है? (1 अंक)

उत्तर।

1. $\tan 30^\circ = \frac{30}{OB}$, अतः $OB = 30\sqrt{3}$ m — 1 अंक

(iii) केबल $AD$ की लंबाई और दूरी $BD$ ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए) (2 अंक)

उत्तर।

1. $AD = \frac{30}{\sin 60^\circ} = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3} = 34.6$ m — 1 अंक
2. $OD = \frac{30}{\tan 60^\circ} = 10\sqrt{3}$ m; $BD = 30\sqrt{3} + 10\sqrt{3} = 40\sqrt{3} = 69.2$ m — 1 अंक

अथवा

(iii) केबल $AB$ पर एक सवार एक बिंदु $P$ पर रुकता है, जो केबल के अनुदिश $A$ से 20 m दूर है। $P$ भूमि से कितना ऊँचा है, और प्लेटफ़ॉर्म से क्षैतिज रूप से कितना दूर है? ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए) (2 अंक)

उत्तर।

1. $A$ से नीचे की दूरी: $20\sin 30^\circ = 10$ m, अतः $P$ की ऊँचाई $30 - 10 = 20$ m है — 1 अंक
2. क्षैतिज दूरी $= 20\cos 30^\circ = 10\sqrt{3} = 17.3$ m — 1 अंक

प्रश्न 14 (4 अंक)

एक दमकल गाड़ी सूरत के एक भवन तक पहुँचती है। उसकी सीढ़ी का पाद $L$ ट्रक पर भूमि से 2 m ऊपर लगा है। सीढ़ी $LT$ की लंबाई 20 m है। इसे क्षैतिज से $60^\circ$ का कोण बनाते हुए उठाया जाता है, और इसका ऊपरी सिरा $T$ भवन की ऊर्ध्वाधर दीवार से टिकता है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।

(i) ऊपरी सिरा $T$ भूमि से कितना ऊँचा है? ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए) (1 अंक)

उत्तर।

1. $2 + 20\sin 60^\circ = 2 + 10\sqrt{3} = 2 + 17.3 = 19.3$ m — 1 अंक

(ii) दीवार से $L$ की क्षैतिज दूरी क्या है? (1 अंक)

उत्तर।

1. $20\cos 60^\circ = 20 \times \frac{1}{2} = 10$ m — 1 अंक

(iii) एक व्यक्ति भूमि से 12 m ऊँची एक खिड़की पर फँसा है। सीढ़ी को, उसी लंबाई के साथ, क्षैतिज से $30^\circ$ का कोण बनाने तक नीचे किया जाता है। दिखाइए कि अब इसका ऊपरी सिरा खिड़की की ऊँचाई तक पहुँचता है, और ज्ञात कीजिए कि ट्रक को कितना पीछे हटना होगा ताकि ऊपरी सिरा दीवार से टिक सके। ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए) (2 अंक)

उत्तर।

1. ऊपरी सिरे की ऊँचाई $= 2 + 20\sin 30^\circ = 2 + 10 = 12$ m, जो खिड़की की ऊँचाई है — 1 अंक
2. नई क्षैतिज दूरी $= 20\cos 30^\circ = 10\sqrt{3} = 17.3$ m; ट्रक $17.3 - 10 = 7.3$ m पीछे हटेगा — 1 अंक

अथवा

(iii) मान लीजिए सीढ़ी को इसके स्थान पर क्षैतिज से $45^\circ$ पर रखा जाता है। भूमि से 16 m ऊँची एक खिड़की तक ऊपरी सिरा पहुँचाने के लिए सीढ़ी की कितनी लंबाई चाहिए? ($\sqrt{2} = 1.41$ लीजिए) (2 अंक)

उत्तर।

1. $L$ से ऊपर तय की जाने वाली ऊँचाई $= 16 - 2 = 14$ m, और $\sin 45^\circ = \frac{14}{l}$ — 1 अंक
2. $l = 14\sqrt{2} = 14 \times 1.41 = 19.74$ m — 1 अंक