बहुपद

बहुपद अध्याय बोर्ड प्रश्न पत्र में प्रायः 3 से 5 अंक का होता है: 2026-27 के सैंपल पेपर में 5, 2025 के और 2026 के दूसरे बोर्ड प्रश्न पत्र में 4, तथा 2026 के मुख्य प्रश्न पत्र में 3 अंक।

ये अंक एक या दो 1 अंक के बहुविकल्पीय प्रश्नों (अक्सर आलेख से शून्यकों की संख्या पढ़ना), कभी-कभी एक अभिकथन-तर्क प्रश्न, और शून्यकों तथा गुणांकों के संबंध पर 2 या 3 अंक के एक प्रश्न से आते हैं। बोर्ड ने इस अध्याय से 5 अंक का या केस आधारित प्रश्न नहीं दिया है, इसलिए यहाँ के केस आधारित प्रश्न इन्हीं विचारों के अभ्यास के लिए हैं।

अंक प्रायः यहाँ कटते हैं:

  • −ba-\frac{b}{a} में चिह्न की गलती, विशेषकर जब bb स्वयं ऋणात्मक हो;
  • x2−(α+β)x+αβx^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta के स्थान पर x2+(α+β)x+αβx^2 + (\alpha + \beta)x + \alpha\beta लिख देना;
  • α2+β2\alpha^2 + \beta^2 के लिए (α+β)2+2αβ(\alpha + \beta)^2 + 2\alpha\beta लेना;
  • आलेख पढ़ते समय yy-अक्ष वाले बिंदु को भी शून्यक गिन लेना।

5 मिनट में दोहराएँ

मुख्य तथ्य

  • p(x)p(x) का शून्यक वह संख्या kk है जिसके लिए p(k)=0p(k) = 0 हो।
  • ज्यामितीय रूप से, y=p(x)y = p(x) के शून्यक उन बिंदुओं के xx-निर्देशांक हैं जहाँ आलेख xx-अक्ष से मिलता है। yy-अक्ष वाला बिंदु (0,p(0))(0, p(0)) है, शून्यक नहीं।
  • nn घात वाले बहुपद के अधिक से अधिक nn शून्यक होते हैं। द्विघात बहुपद के 0, 1 या 2 वास्तविक शून्यक होते हैं।
  • ax2+bx+cax^2 + bx + c का आलेख एक परवलय है: a>0a > 0 हो तो ऊपर की ओर और a<0a < 0 हो तो नीचे की ओर खुलता है। यह yy-अक्ष को (0,c)(0, c) पर काटता है।

ax2+bx+cax^2 + bx + c के शून्यक और गुणांक (शून्यक α\alpha, β\beta)

सूत्र
योग α+β=−ba\alpha + \beta = -\frac{b}{a}
गुणनफल αβ=ca\alpha\beta = \frac{c}{a}

बहुपद बनाना: k[x2−(α+β)x+αβ]k\left[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\right], k≠0k \neq 0। अतः समान शून्यकों वाले अपरिमित रूप से अनेक द्विघात बहुपद होते हैं।

उपयोगी रूप

व्यंजक α+β\alpha + \beta और αβ\alpha\beta के पदों में
α2+β2\alpha^2 + \beta^2 (α+β)2−2αβ(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta
(α−β)2(\alpha - \beta)^2 (α+β)2−4αβ(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta
1α+1β\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} α+βαβ\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}
(α+m)(β+m)(\alpha + m)(\beta + m) αβ+m(α+β)+m2\alpha\beta + m(\alpha + \beta) + m^2

झटपट जाँच

  • शून्यक परिमाण में बराबर, चिह्न में विपरीत: b=0b = 0।
  • शून्यक एक-दूसरे के व्युत्क्रम: a=ca = c।
  • दोनों शून्यक ऋणात्मक (जब शून्यक वास्तविक हों): योग ऋणात्मक और गुणनफल धनात्मक।

सावधानियाँ

  • bb ऋणात्मक हो तो −ba-\frac{b}{a} का ऋण चिह्न खो देना।
  • x2+(α+β)x+αβx^2 + (\alpha + \beta)x + \alpha\beta लिख देना।
  • यह भूल जाना कि kx2+…kx^2 + \dots में kk शून्य नहीं हो सकता।
  • करणी वाले पदों में मध्य पद गलत विभाजित करना: गुणा करके वापस जाँच लें।

इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: हर प्रश्न पहले कॉपी पर हल कीजिए, फिर उत्तर पढ़िए। हर चरण के सामने लिखे अंक बताते हैं कि परीक्षक क्या देखता है। 1 अंक वाले बहुविकल्पीय और अभिकथन-तर्क प्रश्न अंत की क्विज़ में हैं, साथ में ऐसे प्रश्न भी जो जाँचते हैं कि आपने अध्याय कितनी गहराई से समझा है; क्विज़ के हर उत्तर के साथ उसकी व्याख्या दी गई है।

लघु उत्तरीय प्रश्न (2 और 3 अंक)

प्रश्न 1 (2 अंक)

बहुपद x2+(a+1)x+bx^2 + (a + 1)x + b के शून्यक 3 और −5-5 हैं। aa और bb के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

  1. शून्यकों का योग =3+(−5)=−2=−(a+1)= 3 + (-5) = -2 = -(a + 1), अतः a=1a = 1 — 1 अंक
  2. शून्यकों का गुणनफल =3×(−5)=−15=b= 3 \times (-5) = -15 = b, अतः b=−15b = -15 — 1 अंक

प्रश्न 2 (2 अंक)

बहुपद 2x2−32x+22x^2 - 3\sqrt{2}x + 2 के शून्यक ज्ञात कीजिए और जाँचिए कि उनका गुणनफल ca\frac{c}{a} के बराबर है।

उत्तर।

  1. 2x2−22x−2x+2=2x(x−2)−2(x−2)=(2x−2)(x−2)2x^2 - 2\sqrt{2}x - \sqrt{2}x + 2 = 2x(x - \sqrt{2}) - \sqrt{2}(x - \sqrt{2}) = (2x - \sqrt{2})(x - \sqrt{2}) — 1 अंक
  2. शून्यक 22\frac{\sqrt{2}}{2} (अर्थात् 12\frac{1}{\sqrt{2}}) और 2\sqrt{2}; गुणनफल =22×2=1=22=ca= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \sqrt{2} = 1 = \frac{2}{2} = \frac{c}{a} — 1 अंक

प्रश्न 3 (2 अंक)

अमन से एक ऐसा द्विघात बहुपद लिखने को कहा गया जिसके शून्यक 5 और −2-2 हों। उसने x2+3x−10x^2 + 3x - 10 लिखा। क्या वह सही है? यदि नहीं, तो सही बहुपद लिखिए।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

नहीं, अमन सही नहीं है।

उसके बहुपद के गुणनखंड x2+3x−10=(x+5)(x−2)x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2) हैं, अतः इसके शून्यक −5-5 और 2 हैं। उसने मध्य पद में शून्यकों का योग घटाने के स्थान पर जोड़ दिया है।

शून्यक 5 और −2-2 के लिए: योग =5+(−2)=3= 5 + (-2) = 3 और गुणनफल =5×(−2)=−10= 5 \times (-2) = -10।

अतः सही बहुपद x2−(α+β)x+αβ=x2−3x−10x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = x^2 - 3x - 10 है। जाँच: x2−3x−10=(x−5)(x+2)x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)।

अंक योजना:

  1. x2+3x−10=(x+5)(x−2)x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2) के शून्यक −5-5 और 2 हैं, अतः अमन सही नहीं है (उसके शून्यकों का योग −3-3 है, 3 नहीं) — 1 अंक
  2. योग =3= 3, गुणनफल =−10= -10; सही बहुपद x2−3x−10x^2 - 3x - 10 (या इसका कोई भी शून्येतर गुणज) — 1 अंक

प्रश्न 4 (2 अंक)

यदि α\alpha और β\beta बहुपद 3x2+kx−63x^2 + kx - 6 के शून्यक हैं और 1α+1β=23\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{2}{3}, तो kk का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

  1. α+β=−k3\alpha + \beta = -\frac{k}{3}, αβ=−2\alpha\beta = -2; 1α+1β=α+βαβ=k6\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{k}{6} — 1 अंक
  2. k6=23\frac{k}{6} = \frac{2}{3}, अतः k=4k = 4 — 1 अंक

प्रश्न 5 (2 अंक)

यदि −4-4 बहुपद 3x2+px−83x^2 + px - 8 का एक शून्यक है, तो pp का मान और दूसरा शून्यक ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

  1. 3(−4)2+p(−4)−8=03(-4)^2 + p(-4) - 8 = 0, अतः 48−4p−8=048 - 4p - 8 = 0 और p=10p = 10 — 1 अंक
  2. शून्यकों का गुणनफल =−83= -\frac{8}{3}, अतः दूसरा शून्यक =−83÷(−4)=23= -\frac{8}{3} \div (-4) = \frac{2}{3} — 1 अंक

प्रश्न 6 (3 अंक)

द्विघात बहुपद 6x2+x−126x^2 + x - 12 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

उत्तर।

  1. 6x2+9x−8x−12=3x(2x+3)−4(2x+3)=(3x−4)(2x+3)6x^2 + 9x - 8x - 12 = 3x(2x + 3) - 4(2x + 3) = (3x - 4)(2x + 3) — 1 अंक
  2. शून्यक 43\frac{4}{3} और −32-\frac{3}{2} — 1 अंक
  3. योग =43−32=−16=−ba= \frac{4}{3} - \frac{3}{2} = -\frac{1}{6} = -\frac{b}{a}; गुणनफल =43×(−32)=−2=−126=ca= \frac{4}{3} \times \left(-\frac{3}{2}\right) = -2 = \frac{-12}{6} = \frac{c}{a} — 1 अंक

प्रश्न 7 (3 अंक)

यदि α\alpha और β\beta बहुपद x2−5x+3x^2 - 5x + 3 के शून्यक हैं, तो एक ऐसा द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक α+2\alpha + 2 और β+2\beta + 2 हों।

उत्तर।

  1. α+β=5\alpha + \beta = 5 और αβ=3\alpha\beta = 3 — 1 अंक
  2. नया योग =(α+β)+4=9= (\alpha + \beta) + 4 = 9; नया गुणनफल =αβ+2(α+β)+4=3+10+4=17= \alpha\beta + 2(\alpha + \beta) + 4 = 3 + 10 + 4 = 17 — 1 अंक
  3. अभीष्ट बहुपद x2−9x+17x^2 - 9x + 17 — 1 अंक

प्रश्न 8 (3 अंक)

यदि α\alpha और β\beta बहुपद kx2+3x−3kx^2 + 3x - 3 के वास्तविक शून्यक इस प्रकार हैं कि α2+β2=3\alpha^2 + \beta^2 = 3, तो kk का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

यहाँ a=ka = k, b=3b = 3, c=−3c = -3, अतः α+β=−3k\alpha + \beta = -\frac{3}{k} और αβ=−3k\alpha\beta = -\frac{3}{k}।

α2+β2=(α+β)2−2αβ=9k2+6k\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = \frac{9}{k^2} + \frac{6}{k}। इसे 3 के बराबर रखकर k2k^2 से गुणा करने पर: 9+6k=3k29 + 6k = 3k^2, अर्थात् k2−2k−3=0k^2 - 2k - 3 = 0।

अतः (k−3)(k+1)=0(k - 3)(k + 1) = 0, जिससे k=3k = 3 या k=−1k = -1।

अब जाँचिए कि शून्यक वास्तविक हैं, जैसा प्रश्न में कहा गया है। kx2+3x−3kx^2 + 3x - 3 के शून्यक तभी वास्तविक होते हैं जब b2−4ac=9+12k≥0b^2 - 4ac = 9 + 12k \geq 0 हो।

k=3k = 3 के लिए: 9+36=45>09 + 36 = 45 > 0, अतः शून्यक वास्तविक हैं (बहुपद 3x2+3x−33x^2 + 3x - 3 है)। k=−1k = -1 के लिए: 9−12=−3<09 - 12 = -3 < 0, अतः −x2+3x−3-x^2 + 3x - 3 का कोई वास्तविक शून्यक नहीं है, और यह मान अस्वीकार्य है।

अतः k=3k = 3।

अंक योजना:

  1. α+β=−3k\alpha + \beta = -\frac{3}{k}, αβ=−3k\alpha\beta = -\frac{3}{k}; α2+β2=9k2+6k=3\alpha^2 + \beta^2 = \frac{9}{k^2} + \frac{6}{k} = 3 — 1 अंक
  2. 9+6k=3k29 + 6k = 3k^2, अतः k2−2k−3=0k^2 - 2k - 3 = 0 और (k−3)(k+1)=0(k - 3)(k + 1) = 0 — 1 अंक
  3. वास्तविक शून्यकों के लिए 9+12k≥09 + 12k \geq 0: k=3k = 3 से 45 (वास्तविक शून्यक), k=−1k = -1 से −3-3 (कोई वास्तविक शून्यक नहीं); अतः k=3k = 3 — 1 अंक

प्रश्न 9 (3 अंक)

सत्यापित कीजिए कि 2 और −13-\frac{1}{3} बहुपद 3x2−5x−23x^2 - 5x - 2 के शून्यक हैं। इसकी सहायता से एक ऐसा द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक इन शून्यकों के व्युत्क्रम हों।

उत्तर।

  1. p(2)=12−10−2=0p(2) = 12 - 10 - 2 = 0 और p(−13)=13+53−2=0p\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} - 2 = 0; अतः दोनों शून्यक हैं — 1 अंक
  2. व्युत्क्रम 12\frac{1}{2} और −3-3: योग =−52= -\frac{5}{2}, गुणनफल =−32= -\frac{3}{2} — 1 अंक
  3. x2+52x−32x^2 + \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}, या 2x2+5x−32x^2 + 5x - 3 — 1 अंक

प्रश्न 10 (3 अंक)

यदि α\alpha और β\beta बहुपद x2−7x+11x^2 - 7x + 11 के शून्यक हैं और α>β\alpha > \beta, तो α−β\alpha - \beta तथा α2−β2\alpha^2 - \beta^2 के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

  1. α+β=7\alpha + \beta = 7, αβ=11\alpha\beta = 11; (α−β)2=(α+β)2−4αβ=49−44=5(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 49 - 44 = 5 — 1 अंक
  2. चूँकि α>β\alpha > \beta, अतः α−β=5\alpha - \beta = \sqrt{5} — 1 अंक
  3. α2−β2=(α+β)(α−β)=75\alpha^2 - \beta^2 = (\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = 7\sqrt{5} — 1 अंक

दीर्घ उत्तरीय और केस आधारित प्रश्न

प्रश्न 11 (4 अंक)

मैसूरु के एक विद्यालय के प्रवेश द्वार पर परवलय के आकार का एक मेहराब है, जैसा आकृति में दिखाया गया है। भूमि को xx-अक्ष और एक ऊर्ध्वाधर खंभे को yy-अक्ष मानने पर मेहराब p(x)=−x2+2x+8p(x) = -x^2 + 2x + 8 का आलेख है, जहाँ xx और yy मीटर में हैं। मेहराब भूमि से A और B पर मिलता है।

x-अक्ष के ऊपर परवलयाकार मेहराब, जो उसे A और B पर मिलता है

(i) p(x)p(x) के शून्यक ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

  1. −x2+2x+8=−(x2−2x−8)=−(x−4)(x+2)-x^2 + 2x + 8 = -(x^2 - 2x - 8) = -(x - 4)(x + 2); शून्यक −2-2 और 44 — 1 अंक

(ii) भूमि के स्तर पर मेहराब कितना चौड़ा है, अर्थात् दूरी AB कितनी है? (1 अंक)

उत्तर।

  1. A और B क्रमशः (−2,0)(-2, 0) और (4,0)(4, 0) हैं, अतः AB =4−(−2)=6= 4 - (-2) = 6 m — 1 अंक

(iii) मेहराब का सबसे ऊँचा बिंदु AB के मध्य-बिंदु के ठीक ऊपर है। इस बिंदु पर मेहराब की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

  1. AB का मध्य-बिंदु: x=−2+42=1x = \frac{-2 + 4}{2} = 1 — 1 अंक
  2. ऊँचाई =p(1)=−1+2+8=9= p(1) = -1 + 2 + 8 = 9 m — 1 अंक

अथवा

(iii) बगल वाले द्वार पर बना एक छोटा मेहराब yy-अक्ष के दोनों ओर 2 m की दूरी पर भूमि से मिलता है, और उसका सबसे ऊँचा बिंदु yy-अक्ष पर भूमि से 4 m ऊपर है। वह द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसका आलेख यह मेहराब है। (2 अंक)

उत्तर।

  1. शून्यक −2-2 और 22, अतः q(x)=k(x+2)(x−2)=k(x2−4)q(x) = k(x + 2)(x - 2) = k(x^2 - 4) — 1 अंक
  2. q(0)=−4k=4q(0) = -4k = 4 से k=−1k = -1; अतः q(x)=−x2+4q(x) = -x^2 + 4 — 1 अंक

प्रश्न 12 (4 अंक)

इंदौर की एक छोटी बेकरी केक बेचती है। मालिक पाता है कि यदि एक सप्ताह में xx सौ केक बनाकर बेचे जाएँ, तो लाभ (हज़ार रुपयों में) P(x)=−x2+8x−12P(x) = -x^2 + 8x - 12 होता है। P(x)P(x) का ऋणात्मक मान हानि दर्शाता है, और xx के जिन मानों पर P(x)=0P(x) = 0 हो, उन्हें लाभ-हानि रहित बिंदु कहते हैं।

(i) P(x)P(x) के शून्यक ज्ञात कीजिए। कितने केक पर लाभ-हानि रहित बिंदु मिलते हैं? (1 अंक)

उत्तर।

  1. −x2+8x−12=−(x−2)(x−6)-x^2 + 8x - 12 = -(x - 2)(x - 6); शून्यक 2 और 6, अर्थात् 200 और 600 केक — 1 अंक

(ii) एक सप्ताह में 400 केक बिकने पर लाभ ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

  1. P(4)=−16+32−12=4P(4) = -16 + 32 - 12 = 4, अतः लाभ ₹ 4000 है — 1 अंक

(iii) P(x)P(x) के शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

  1. शून्यकों का योग =2+6=8= 2 + 6 = 8 और −ba=−8−1=8-\frac{b}{a} = -\frac{8}{-1} = 8 — 1 अंक
  2. शून्यकों का गुणनफल =2×6=12= 2 \times 6 = 12 और ca=−12−1=12\frac{c}{a} = \frac{-12}{-1} = 12; सत्यापित — 1 अंक

अथवा

(iii) मालिक की दूसरी दुकान के लिए लाभ बहुपद Q(x)Q(x) द्विघात है, इसके लाभ-हानि रहित बिंदु 300 और 500 केक पर हैं, और Q(0)=−30Q(0) = -30 है। Q(x)Q(x) ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

  1. शून्यक 3 और 5, अतः Q(x)=k(x−3)(x−5)=k(x2−8x+15)Q(x) = k(x - 3)(x - 5) = k(x^2 - 8x + 15) — 1 अंक
  2. Q(0)=15k=−30Q(0) = 15k = -30 से k=−2k = -2; Q(x)=−2x2+16x−30Q(x) = -2x^2 + 16x - 30 — 1 अंक

प्रश्न 13 (4 अंक)

गणित प्रयोगशाला की एक गतिविधि में तान्या ने ग्राफ पेपर पर एक द्विघात बहुपद y=p(x)y = p(x) का आलेख खींचा, जैसा आकृति में दिखाया गया है।

संख्यांकित अक्षों वाले वर्गाकार ग्रिड पर y = p(x) का आलेख

(i) p(x)p(x) के कितने शून्यक हैं? (1 अंक)

उत्तर।

  1. आलेख xx-अक्ष से दो बिंदुओं पर मिलता है, अतः p(x)p(x) के 2 शून्यक हैं — 1 अंक

(ii) p(x)p(x) के शून्यक लिखिए। (1 अंक)

उत्तर।

  1. आलेख xx-अक्ष से (−1,0)(-1, 0) और (3,0)(3, 0) पर मिलता है; शून्यक −1-1 और 3 — 1 अंक

(iii) आलेख yy-अक्ष को (0,−3)(0, -3) पर काटता है। p(x)p(x) ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

  1. p(x)=k(x+1)(x−3)=k(x2−2x−3)p(x) = k(x + 1)(x - 3) = k(x^2 - 2x - 3) — 1 अंक
  2. p(0)=−3k=−3p(0) = -3k = -3 से k=1k = 1; p(x)=x2−2x−3p(x) = x^2 - 2x - 3 — 1 अंक

अथवा

(iii) एक ऐसा द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक p(x)p(x) के शून्यकों के दोगुने हों। (2 अंक)

उत्तर।

  1. नए शून्यक −2-2 और 6: योग =4= 4, गुणनफल =−12= -12 — 1 अंक
  2. अभीष्ट बहुपद x2−4x−12x^2 - 4x - 12 — 1 अंक

प्रश्न 14 (4 अंक)

पटना के एक गणित क्लब के खेल में आशा ऐसा द्विघात बहुपद p(x)p(x) सोचती है जिसके शून्यक −1-1 और 4 हैं तथा x2x^2 का गुणांक 1 है। बाला बहुपद q(x)=2x2−4x−6q(x) = 2x^2 - 4x - 6 सोचता है।

(i) आशा का बहुपद p(x)p(x) लिखिए। (1 अंक)

उत्तर।

  1. योग =3= 3, गुणनफल =−4= -4; p(x)=x2−3x−4p(x) = x^2 - 3x - 4 — 1 अंक

(ii) बाला के बहुपद q(x)q(x) के शून्यक ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

  1. q(x)=2(x2−2x−3)=2(x−3)(x+1)q(x) = 2(x^2 - 2x - 3) = 2(x - 3)(x + 1); शून्यक 3 और −1-1 — 1 अंक

(iii) p(x)p(x) और q(x)q(x) का कौन-सा शून्यक उभयनिष्ठ है? एक ऐसा द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक वे दो शून्यक हों जो उभयनिष्ठ नहीं हैं। (2 अंक)

उत्तर।

  1. उभयनिष्ठ शून्यक: −1-1; अन्य शून्यक 4 और 3 हैं — 1 अंक
  2. योग =7= 7, गुणनफल =12= 12; अभीष्ट बहुपद x2−7x+12x^2 - 7x + 12 — 1 अंक

अथवा

(iii) यदि α\alpha और β\beta आशा के बहुपद p(x)p(x) के शून्यक हैं, तो शून्यकों को अलग-अलग ज्ञात किए बिना α2β+αβ2\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 का मान ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

  1. α+β=3\alpha + \beta = 3, αβ=−4\alpha\beta = -4; α2β+αβ2=αβ(α+β)\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha + \beta) — 1 अंक
  2. =−4×3=−12= -4 \times 3 = -12 — 1 अंक