त्रिभुज

त्रिभुज

त्रिभुज अध्याय हर बोर्ड प्रश्न पत्र में 8 अंक का होता है: 2026-27 के सैंपल पेपर और 2025 तथा 2026 के दोनों प्रश्न पत्रों में इसे ठीक 8 अंक मिले।

प्रायः इसमें 1 अंक के एक या दो बहुविकल्पीय प्रश्न ($DE \parallel BC$ से अनुपात, समरूप त्रिभुज, परिमाप), एक 2 अंक का प्रश्न और एक 5 अंक का प्रश्न होता है। 5 अंक का प्रश्न प्रायः आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (कथन, उपपत्ति और उसका छोटा प्रयोग) या समरूपता की कोई उपपत्ति होता है। समरूपता केस आधारित प्रश्नों में भी आती है, जैसे कैरम बोर्ड पर परावर्तन।

अंक प्रायः यहाँ कटते हैं:

• समरूप त्रिभुजों के शीर्ष गलत क्रम में लिखना, जिससे गलत भुजाओं का मिलान हो जाता है;
• $\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}$ लिख देना; सही युग्म $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$ है;
• BPT की उपपत्ति में रचना या बराबर क्षेत्रफल वाला चरण छोड़ देना;
• कसौटी (AA, SAS, SSS) या हर बराबर कोण का कारण न लिखना।

5 मिनट में दोहराएँ

समरूप आकृतियाँ

• आकार एक जैसा, माप एक जैसा होना आवश्यक नहीं। सभी वर्ग और सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।
• समान संख्या में भुजाओं वाले दो बहुभुज तब समरूप होते हैं जब (i) संगत कोण बराबर हों और (ii) संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों। बहुभुजों के लिए कोई एक शर्त अकेले पर्याप्त नहीं (वर्ग और आयत; वर्ग और समचतुर्भुज)।

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) (केवल इसी की उपपत्ति पूछी जाती है)

• यदि $\triangle ABC$ में $DE \parallel BC$ ($D$, $AB$ पर; $E$, $AC$ पर), तो $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$। साथ ही $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$।
• उपपत्ति के चरण: $BE$, $CD$ मिलाइए; $EN \perp AB$, $DM \perp AC$ खींचिए; $\frac{\mathrm{ar}(ADE)}{\mathrm{ar}(BDE)} = \frac{AD}{DB}$, $\frac{\mathrm{ar}(ADE)}{\mathrm{ar}(DEC)} = \frac{AE}{EC}$; $\mathrm{ar}(BDE) = \mathrm{ar}(DEC)$ (एक ही आधार, समान समांतर रेखाएँ)।
• विलोम: यदि $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$, तो $DE \parallel BC$।

त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियाँ

समरूपता का प्रयोग

• यदि $\triangle ABC \sim \triangle PQR$, तो क्रम से ही मिलान मिलता है: $A \leftrightarrow P$, $B \leftrightarrow Q$, $C \leftrightarrow R$, और $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP}$।
• परिमापों का अनुपात संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
• कर्ण पर शीर्षलंब: यदि $\angle C = 90^\circ$ और $CD \perp AB$, तो $\triangle ADC \sim \triangle ACB \sim \triangle CDB$, अतः $AC^2 = AB \times AD$, $BC^2 = AB \times BD$ और $CD^2 = AD \times DB$।
• सामान्य स्थितियाँ: $DE \parallel BC$ से $\triangle ADE \sim \triangle ABC$; समलंब के विकर्णों से $\triangle AOB \sim \triangle COD$।

सावधानियाँ

• $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$ होता है, $\frac{AD}{DB}$ कभी नहीं।
• SAS में बराबर कोण दोनों भुजाओं के बीच का ही होना चाहिए।
• हर बराबर कोण का कारण लिखिए: उभयनिष्ठ, शीर्षाभिमुख, एकांतर, संगत या $90^\circ$।
• समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों वाली प्रमेय और पाइथागोरस प्रमेय (विलोम सहित) 2026-27 में इस अध्याय के पाठ्यक्रम में नहीं हैं; किसी प्रश्न में क्षेत्रफल का अनुपात चाहिए हो तो वह दिया जाता है।

इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: हर प्रश्न पहले कॉपी पर हल कीजिए, फिर उत्तर पढ़िए। हर चरण के सामने लिखे अंक बताते हैं कि परीक्षक क्या देखता है। 1 अंक वाले बहुविकल्पीय और अभिकथन-तर्क प्रश्न अंत की क्विज़ में हैं, साथ में ऐसे प्रश्न भी जो जाँचते हैं कि आपने अध्याय कितनी गहराई से समझा है; क्विज़ के हर उत्तर के साथ उसकी व्याख्या दी गई है।

लघु उत्तरीय प्रश्न (2 और 3 अंक)

प्रश्न 1 (2 अंक)

$\triangle ABC$ में $D$ और $E$ क्रमशः $AB$ और $AC$ पर ऐसे बिंदु हैं कि $DE \parallel BC$ है। यदि $AD = (x + 1)$ cm, $AB = 3x$ cm, $AE = 4$ cm और $AC = 10$ cm है, तो $x$ और $DB$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $DE \parallel BC$ से $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$: $\frac{x + 1}{3x} = \frac{4}{10}$ — 1 अंक
2. $10x + 10 = 12x$, अतः $x = 5$; $AD = 6$ cm, $AB = 15$ cm, अतः $DB = 9$ cm — 1 अंक

प्रश्न 2 (2 अंक)

पेड़ $AB$ की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए काव्या एक छोटा दर्पण $C$ पेड़ के पाद $B$ से 8 m दूर समतल भूमि पर लिटाकर रखती है। फिर वह पेड़ से दूर की ओर चलकर दर्पण से 2 m दूर बिंदु $D$ पर रुकती है, जहाँ से उसे दर्पण में पेड़ का शिखर $A$ दिखाई देता है। उसकी आँखें $E$ भूमि से 1.5 m ऊपर हैं। परावर्तन के नियम से $\angle ACB = \angle ECD$ (आकृति देखिए)। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $\angle ABC = \angle EDC = 90^\circ$ और $\angle ACB = \angle ECD$, अतः $\triangle ABC \sim \triangle EDC$ (AA) — 1 अंक
2. $\frac{AB}{ED} = \frac{BC}{DC}$, अतः $AB = \frac{1.5 \times 8}{2} = 6$ m — 1 अंक

प्रश्न 3 (2 अंक)

उदाहरण देकर दिखाइए कि (i) जिन दो चतुर्भुजों के संगत कोण बराबर हों, वे समरूप हों यह आवश्यक नहीं, और (ii) जिन दो चतुर्भुजों की संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों, वे समरूप हों यह आवश्यक नहीं।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

समान संख्या में भुजाओं वाले दो बहुभुज तभी समरूप होते हैं जब दोनों शर्तें पूरी हों: उनके संगत कोण बराबर हों और उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों।

(i) 2 cm भुजा वाला एक वर्ग और 2 cm लंबा तथा 4 cm चौड़ा एक आयत लीजिए। दोनों का हर कोण $90^\circ$ है, अतः संगत कोण बराबर हैं। परंतु संगत भुजाओं के अनुपात $\frac{2}{2} = 1$ और $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ हैं, जो बराबर नहीं। अतः ये समरूप नहीं हैं।

(ii) 3 cm भुजा वाला एक वर्ग और 3 cm भुजा वाला एक समचतुर्भुज लीजिए जिसके कोण $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$ हैं। सभी संगत भुजाएँ 1 : 1 के अनुपात में हैं। परंतु वर्ग के कोण $90^\circ$ हैं, अतः संगत कोण बराबर नहीं। अतः ये समरूप नहीं हैं।

(केवल त्रिभुजों के लिए इनमें से कोई एक शर्त पर्याप्त है; इसीलिए AA और SSS कसौटियाँ केवल त्रिभुजों पर लागू होती हैं।)

अंक योजना:

1. (i) 2 cm भुजा वाला वर्ग और 2 cm × 4 cm का आयत: सभी कोण $90^\circ$, पर $\frac{2}{2} \neq \frac{2}{4}$, अतः समरूप नहीं — 1 अंक
2. (ii) 3 cm भुजा वाला वर्ग और $60^\circ$ तथा $120^\circ$ कोणों वाला 3 cm भुजा का समचतुर्भुज: भुजाओं का अनुपात 1 : 1, पर कोण बराबर नहीं, अतः समरूप नहीं — 1 अंक

प्रश्न 4 (3 अंक)

$\triangle ABC$ में $AD \perp BC$ है, जहाँ $D$, $BC$ पर है। यदि $BD = 2$ cm, $AD = 4$ cm और $DC = 8$ cm है, तो सिद्ध कीजिए कि $\triangle BDA \sim \triangle ADC$, और इसकी सहायता से $\angle BAC = 90^\circ$।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

$\triangle BDA$ और $\triangle ADC$ में:

$\frac{BD}{AD} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ और $\frac{DA}{DC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$, अतः $\frac{BD}{AD} = \frac{DA}{DC}$।

इन भुजाओं के बीच के कोण $\angle BDA = \angle ADC = 90^\circ$ हैं, क्योंकि $AD \perp BC$।

अतः SAS से $\triangle BDA \sim \triangle ADC$, जहाँ $B \leftrightarrow A$, $D \leftrightarrow D$ और $A \leftrightarrow C$। इसलिए $\angle BAD = \angle ACD$।

अब $\angle BAC = \angle BAD + \angle DAC = \angle ACD + \angle DAC$। $\triangle ADC$ में $\angle ACD + \angle DAC = 180^\circ - \angle ADC = 90^\circ$।

अतः $\angle BAC = 90^\circ$। (यहाँ $AD^2 = 16 = BD \times DC$ है; $AD \perp BC$ के साथ जब भी ऐसा हो, $A$ पर कोण समकोण होता है।)

अंक योजना:

1. $\frac{BD}{AD} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ और $\frac{DA}{DC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ — 1 अंक
2. $\angle BDA = \angle ADC = 90^\circ$ (बीच के कोण), अतः $\triangle BDA \sim \triangle ADC$ (SAS) और $\angle BAD = \angle ACD$ — 1 अंक
3. $\angle BAC = \angle BAD + \angle DAC = \angle ACD + \angle DAC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ ($\triangle ADC$ का कोण योग) — 1 अंक

प्रश्न 5 (3 अंक)

आकृति में $D$ और $E$ क्रमशः $\triangle ABC$ की भुजाओं $AB$ और $AC$ पर ऐसे बिंदु हैं कि $\angle ADE = \angle ACB$ है। सिद्ध कीजिए कि $AD \times AB = AE \times AC$। यदि $AD = 4$ cm, $AB = 9$ cm और $AE = 3$ cm है, तो $AC$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

$\triangle ADE$ और $\triangle ACB$ में:

$\angle DAE = \angle CAB$ ($A$ पर एक ही कोण), और $\angle ADE = \angle ACB$ (दिया है)।

अतः AA कसौटी से $\triangle ADE \sim \triangle ACB$। क्रम पर ध्यान दीजिए: $D$ का संगत $C$ है और $E$ का संगत $B$ है।

इसलिए $\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{DE}{CB}$। पहले दो अनुपातों से $AD \times AB = AE \times AC$।

मान रखने पर: $4 \times 9 = 3 \times AC$, अतः $AC = 12$ cm।

(यहाँ $DE$, $BC$ के समांतर नहीं है, इसलिए BPT का प्रयोग नहीं किया जा सकता।)

अंक योजना:

1. $\angle DAE = \angle CAB$ (उभयनिष्ठ) और $\angle ADE = \angle ACB$ (दिया है), अतः $\triangle ADE \sim \triangle ACB$ (AA) — 1 अंक
2. $\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$, अतः $AD \times AB = AE \times AC$ — 1 अंक
3. $4 \times 9 = 3 \times AC$, अतः $AC = 12$ cm — 1 अंक

प्रश्न 6 (3 अंक)

एक दुकान के बाहर समतल भूमि से 4.5 m ऊँचे खंभे के शिखर पर एक लैंप लटका है। 1.5 m लंबी पल्लवी भूमि पर खंभे से सीधे दूर चलती है। (i) जब वह खंभे के पाद से 4 m दूर है, तब उसकी छाया कितनी लंबी है? (ii) किसी अन्य क्षण उसकी छाया 3.5 m लंबी है। तब वह खंभे से कितनी दूर है?

उत्तर।

1. पल्लवी और उसकी छाया से बना त्रिभुज, खंभे तथा उसके पाद से छाया के सिरे तक की रेखा से बने त्रिभुज के समरूप है (AA: समकोण और छाया के सिरे पर उभयनिष्ठ कोण) — 1 अंक
2. (i) $\frac{s}{s + 4} = \frac{1.5}{4.5} = \frac{1}{3}$ से $3s = s + 4$, अतः $s = 2$ m — 1 अंक
3. (ii) $\frac{3.5}{3.5 + x} = \frac{1}{3}$ से $3.5 + x = 10.5$, अतः $x = 7$ m — 1 अंक

प्रश्न 7 (3 अंक)

आकृति में $D$ और $E$ क्रमशः $\triangle ABC$ की भुजाओं $AB$ और $AC$ पर ऐसे बिंदु हैं कि $DE \parallel BC$ है, और $F$, $BC$ पर ऐसा बिंदु है कि $EF \parallel AB$ है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{AD}{DB} = \frac{BF}{FC}$। यदि $AD = 3$ cm, $DB = 4.5$ cm और $BC = 7.5$ cm है, तो $BF$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $\triangle ABC$ में $DE \parallel BC$, अतः $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ (BPT) — 1 अंक
2. $\triangle CAB$ में $EF \parallel AB$, अतः $\frac{CE}{EA} = \frac{CF}{FB}$, अर्थात् $\frac{AE}{EC} = \frac{BF}{FC}$; अतः $\frac{AD}{DB} = \frac{BF}{FC}$ — 1 अंक
3. $\frac{BF}{FC} = \frac{3}{4.5} = \frac{2}{3}$, अतः $BF = \frac{2}{5} \times 7.5 = 3$ cm — 1 अंक

प्रश्न 8 (3 अंक)

$\triangle ABC$ में $D$ और $E$ क्रमशः $AB$ और $AC$ पर ऐसे बिंदु हैं कि $DE \parallel BC$ है। $AD = 3$ cm, $DB = 2$ cm और $DE = 4.5$ cm है। मोहित ने $BC$ इस प्रकार ज्ञात किया: “BPT से $\frac{AD}{DB} = \frac{DE}{BC}$, अतः $\frac{3}{2} = \frac{4.5}{BC}$ और $BC = 3$ cm।” उसकी गलती बताइए और $BC$ की सही लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. गलती: BPT से $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ मिलता है; यह $\frac{DE}{BC}$ के बारे में कुछ नहीं कहता (और $BC = 3$ cm, $DE$ से छोटा है, जो असंभव है) — 1 अंक
2. $DE \parallel BC$ से $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (AA), अतः $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$ — 1 अंक
3. $\frac{4.5}{BC} = \frac{3}{5}$, अतः $BC = 7.5$ cm — 1 अंक

प्रश्न 9 (3 अंक)

आकृति में $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और $P$ भुजा $DC$ पर ऐसा बिंदु है कि $CP = \frac{1}{3}CD$। रेखाखंड $BP$ विकर्ण $AC$ को $O$ पर मिलता है। सिद्ध कीजिए कि $\triangle AOB \sim \triangle COP$। यदि $AC = 12$ cm है, तो $OC$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $\angle OAB = \angle OCP$ (एकांतर कोण, $AB \parallel DC$) और $\angle AOB = \angle COP$ (शीर्षाभिमुख), अतः $\triangle AOB \sim \triangle COP$ (AA) — 1 अंक
2. $\frac{OA}{OC} = \frac{AB}{CP} = \frac{CD}{\frac{1}{3}CD} = 3$, क्योंकि $AB = CD$ — 1 अंक
3. $OA = 3 \times OC$ और $OA + OC = 12$, अतः $OC = 3$ cm — 1 अंक

प्रश्न 10 (3 अंक)

आकृति में $AC$, चतुर्भुज $ABCD$ का एक ऐसा विकर्ण है कि $\angle BAC = \angle CAD$ है। $AB = 4$ cm, $AC = 6$ cm और $AD = 9$ cm है। सिद्ध कीजिए कि $\triangle ABC \sim \triangle ACD$। यदि $BC = 5$ cm है, तो $CD$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $\frac{AB}{AC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ और $\frac{AC}{AD} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ — 1 अंक
2. बीच के कोण $\angle BAC = \angle CAD$, अतः $\triangle ABC \sim \triangle ACD$ (SAS) — 1 अंक
3. $\frac{BC}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{2}{3}$, अतः $CD = \frac{3 \times 5}{2} = 7.5$ cm — 1 अंक

दीर्घ उत्तरीय और केस आधारित प्रश्न

प्रश्न 11 (5 अंक)

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का कथन लिखिए और इसे सिद्ध कीजिए। इसका प्रयोग करके निम्नलिखित सिद्ध कीजिए: $\triangle ABC$ में $D$ और $E$ क्रमशः $AB$ और $AC$ पर ऐसे बिंदु हैं कि $DE \parallel BC$ है। यदि $BD = CE$ है, तो $\triangle ABC$ समद्विबाहु है।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

कथन। यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर एक रेखा खींची जाए जो अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करे, तो वे अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

दिया है: $\triangle ABC$ में $BC$ के समांतर एक रेखा $AB$ को $D$ पर और $AC$ को $E$ पर मिलती है, अर्थात् $DE \parallel BC$।

सिद्ध करना है: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$।

रचना: $BE$ और $CD$ को मिलाइए। $EN \perp AB$ और $DM \perp AC$ खींचिए (उत्तर के साथ दी गई आकृति देखिए)।

उपपत्ति: $AD$ और $DB$ को आधार मानने पर $\triangle ADE$ और $\triangle BDE$ की ऊँचाई एक ही, $EN$, है। अतः

$\frac{\mathrm{ar}(\triangle ADE)}{\mathrm{ar}(\triangle BDE)} = \frac{\frac{1}{2} \times AD \times EN}{\frac{1}{2} \times DB \times EN} = \frac{AD}{DB}$ …(1)

$AE$ और $EC$ को आधार मानने पर $\triangle ADE$ और $\triangle DEC$ की ऊँचाई एक ही, $DM$, है। अतः

$\frac{\mathrm{ar}(\triangle ADE)}{\mathrm{ar}(\triangle DEC)} = \frac{\frac{1}{2} \times AE \times DM}{\frac{1}{2} \times EC \times DM} = \frac{AE}{EC}$ …(2)

$\triangle BDE$ और $\triangle DEC$ एक ही आधार $DE$ पर और समांतर रेखाओं $DE$ और $BC$ के बीच स्थित हैं, अतः $\mathrm{ar}(\triangle BDE) = \mathrm{ar}(\triangle DEC)$ …(3)

(1), (2) और (3) से $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$। इति सिद्धम्।

अनुप्रयोग। $DE \parallel BC$ है, इसलिए प्रमेय से $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$। दिया है $BD = CE$, अर्थात् दोनों हर बराबर हैं, इसलिए $AD = AE$।

बराबर लंबाइयों में बराबर लंबाइयाँ जोड़ने पर: $AD + DB = AE + EC$, अर्थात् $AB = AC$। अतः $\triangle ABC$ समद्विबाहु है।

अंक योजना:

1. सही कथन, दिया है, सिद्ध करना है और आकृति — 1 अंक
2. रचना: $BE$, $CD$ मिलाइए; $EN \perp AB$, $DM \perp AC$ खींचिए — 1 अंक
3. $\frac{\mathrm{ar}(\triangle ADE)}{\mathrm{ar}(\triangle BDE)} = \frac{AD}{DB}$ और $\frac{\mathrm{ar}(\triangle ADE)}{\mathrm{ar}(\triangle DEC)} = \frac{AE}{EC}$ — 1 अंक
4. $\mathrm{ar}(\triangle BDE) = \mathrm{ar}(\triangle DEC)$ (एक ही आधार $DE$, समान समांतर रेखाओं के बीच), अतः $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ — 1 अंक
5. अनुप्रयोग: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ और $DB = EC$ से $AD = AE$, अतः $AB = AC$ और $\triangle ABC$ समद्विबाहु है — 1 अंक

अथवा

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का कथन लिखिए और इसे सिद्ध कीजिए। इसका प्रयोग करके निम्नलिखित सिद्ध कीजिए: $ABCD$ एक समलंब है जिसमें $AB \parallel DC$ है, और $E$ तथा $F$ क्रमशः $AD$ और $BC$ पर ऐसे बिंदु हैं कि $EF \parallel AB$ है। तब $\frac{AE}{ED} = \frac{BF}{FC}$।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

कथन। यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर एक रेखा खींची जाए जो अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करे, तो वे अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

दिया है: $\triangle ABC$ में $BC$ के समांतर एक रेखा $AB$ को $D$ पर और $AC$ को $E$ पर मिलती है, अर्थात् $DE \parallel BC$।

सिद्ध करना है: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$।

रचना: $BE$ और $CD$ को मिलाइए। $EN \perp AB$ और $DM \perp AC$ खींचिए (उत्तर के साथ दी गई आकृति देखिए)।

उपपत्ति: $AD$ और $DB$ को आधार मानने पर $\triangle ADE$ और $\triangle BDE$ की ऊँचाई एक ही, $EN$, है। अतः

$\frac{\mathrm{ar}(\triangle ADE)}{\mathrm{ar}(\triangle BDE)} = \frac{\frac{1}{2} \times AD \times EN}{\frac{1}{2} \times DB \times EN} = \frac{AD}{DB}$ …(1)

$AE$ और $EC$ को आधार मानने पर $\triangle ADE$ और $\triangle DEC$ की ऊँचाई एक ही, $DM$, है। अतः

$\frac{\mathrm{ar}(\triangle ADE)}{\mathrm{ar}(\triangle DEC)} = \frac{\frac{1}{2} \times AE \times DM}{\frac{1}{2} \times EC \times DM} = \frac{AE}{EC}$ …(2)

$\triangle BDE$ और $\triangle DEC$ एक ही आधार $DE$ पर और समांतर रेखाओं $DE$ और $BC$ के बीच स्थित हैं, अतः $\mathrm{ar}(\triangle BDE) = \mathrm{ar}(\triangle DEC)$ …(3)

(1), (2) और (3) से $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$। इति सिद्धम्।

अनुप्रयोग। $AC$ मिलाइए, और माना यह $EF$ को $G$ पर मिलता है।

$\triangle ADC$ में $EG \parallel DC$ (क्योंकि $EF \parallel AB \parallel DC$), अतः प्रमेय से $\frac{AE}{ED} = \frac{AG}{GC}$ …(4)

$\triangle CAB$ में $GF \parallel AB$, अतः प्रमेय से $\frac{CG}{GA} = \frac{CF}{FB}$, अर्थात् $\frac{AG}{GC} = \frac{BF}{FC}$ …(5)

(4) और (5) से $\frac{AE}{ED} = \frac{BF}{FC}$।

अंक योजना:

1. सही कथन, दिया है, सिद्ध करना है और आकृति — 1 अंक
2. रचना: $BE$, $CD$ मिलाइए; $EN \perp AB$, $DM \perp AC$ खींचिए — 1 अंक
3. $\frac{\mathrm{ar}(\triangle ADE)}{\mathrm{ar}(\triangle BDE)} = \frac{AD}{DB}$ और $\frac{\mathrm{ar}(\triangle ADE)}{\mathrm{ar}(\triangle DEC)} = \frac{AE}{EC}$ — 1 अंक
4. $\mathrm{ar}(\triangle BDE) = \mathrm{ar}(\triangle DEC)$ (एक ही आधार $DE$, समान समांतर रेखाओं के बीच), अतः $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ — 1 अंक
5. अनुप्रयोग: $AC$ मिलाइए जो $EF$ को $G$ पर मिले; $\triangle ADC$ और $\triangle CAB$ में BPT से $\frac{AE}{ED} = \frac{AG}{GC} = \frac{BF}{FC}$ — 1 अंक

प्रश्न 12 (5 अंक)

आकृति में $\triangle PQR$, $R$ पर समकोण है, और $RS \perp PQ$ है जहाँ $S$, $PQ$ पर है।

(i) सिद्ध कीजिए कि $\triangle PSR \sim \triangle PRQ$, और इसकी सहायता से $PR^2 = PQ \times PS$। (2 अंक)

उत्तर।

1. $\angle P$ उभयनिष्ठ है और $\angle PSR = \angle PRQ = 90^\circ$, अतः $\triangle PSR \sim \triangle PRQ$ (AA) — 1 अंक
2. $\frac{PS}{PR} = \frac{PR}{PQ}$, अतः $PR^2 = PQ \times PS$ — 1 अंक

(ii) सिद्ध कीजिए कि $\triangle RSQ \sim \triangle PRQ$, और इसकी सहायता से $QR^2 = PQ \times QS$। (1 अंक)

उत्तर।

1. $\angle Q$ उभयनिष्ठ, $\angle RSQ = \angle PRQ = 90^\circ$, अतः $\triangle RSQ \sim \triangle PRQ$ (AA); $\frac{QS}{QR} = \frac{QR}{PQ}$, अतः $QR^2 = PQ \times QS$ — 1 अंक

(iii) यदि $PS = 3.2$ cm और $SQ = 1.8$ cm है, तो $PR$, $QR$ और $RS$ ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

$PQ = PS + SQ = 3.2 + 1.8 = 5$ cm।

(i) से: $PR^2 = PQ \times PS = 5 \times 3.2 = 16$, अतः $PR = 4$ cm।

(ii) से: $QR^2 = PQ \times QS = 5 \times 1.8 = 9$, अतः $QR = 3$ cm।

(i) की समरूपता $\triangle PSR \sim \triangle PRQ$ से $\frac{SR}{RQ} = \frac{PR}{PQ}$। अतः $RS = \frac{QR \times PR}{PQ} = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4$ cm।

(जाँच: $RS^2 = 5.76 = 3.2 \times 1.8 = PS \times SQ$।)

अंक योजना:

1. $PQ = 5$ cm; $PR^2 = 5 \times 3.2 = 16$, अतः $PR = 4$ cm; $QR^2 = 5 \times 1.8 = 9$, अतः $QR = 3$ cm — 1 अंक
2. (i) से $\frac{SR}{RQ} = \frac{PR}{PQ}$, अतः $RS = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4$ cm — 1 अंक

प्रश्न 13 (4 अंक)

दो बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच एक झील है, इसलिए दूरी $AB$ सीधे नहीं मापी जा सकती। सर्वेक्षक सुनीता भूमि पर एक बिंदु $O$ पर एक खूँटा गाड़ती है, जहाँ से $A$ और $B$ दोनों दिखाई देते हैं। वह $AO$ को आगे बढ़ाकर उस पर एक खूँटा $D$ और $BO$ को आगे बढ़ाकर उस पर एक खूँटा $C$ गाड़ती है, जहाँ $OA = 120$ m, $OD = 30$ m, $OB = 180$ m और $OC = 45$ m है (आकृति देखिए)। फिर वह $DC = 42$ m मापती है।

(i) किस समरूपता कसौटी से $\triangle OAB \sim \triangle ODC$ है? (1 अंक)

उत्तर।

1. SAS: $\frac{OA}{OD} = \frac{OB}{OC} = 4$ और $\angle AOB = \angle DOC$ (शीर्षाभिमुख कोण) — 1 अंक

(ii) दिखाइए कि $DC \parallel AB$। (1 अंक)

उत्तर।

1. समरूपता से $\angle OAB = \angle ODC$; ये $AD$ द्वारा $AB$ और $DC$ के साथ बने एकांतर कोण हैं, अतः $DC \parallel AB$ — 1 अंक

(iii) झील की चौड़ाई $AB$ ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $\frac{AB}{DC} = \frac{OA}{OD} = \frac{120}{30} = 4$ — 1 अंक
2. $AB = 4 \times 42 = 168$ m — 1 अंक

अथवा

(iii) उसका सहायक उसी बिंदु $O$ से सर्वेक्षण दोहराता है और खूँटे इस प्रकार गाड़ता है कि $OD = 40$ m और $OC = 60$ m हो, और $DC = 56$ m मापता है। सहायक के मापों से $AB$ ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $\frac{OA}{OD} = \frac{120}{40} = 3 = \frac{180}{60} = \frac{OB}{OC}$, अतः फिर से $\triangle OAB \sim \triangle ODC$ (SAS) — 1 अंक
2. $AB = 3 \times 56 = 168$ m — 1 अंक

प्रश्न 14 (4 अंक)

नागपुर के एक रेलवे माल गोदाम में ट्रॉलियों को एक सीधे ढलवाँ तख़्ते $AC$ पर ऊपर धकेला जाता है। यह भूमि पर $A$ से शुरू होकर 0.5 m ऊँचे लदान मंच के किनारे $C$ तक पहुँचता है, अर्थात् $BC = 0.5$ m, जहाँ $B$, $C$ के नीचे मंच की दीवार का पाद है। क्षैतिज दूरी $AB$, 6 m है। तख़्ते के नीचे $PQ$ जैसे ऊर्ध्वाधर आधार लगाए गए हैं, जिनमें $P$ तख़्ते पर और $Q$ भूमि पर है (आकृति देखिए)।

(i) $\triangle AQP \sim \triangle ABC$ क्यों है? कसौटी का नाम बताइए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $\angle A$ उभयनिष्ठ है और $\angle AQP = \angle ABC = 90^\circ$, अतः AA से समरूप हैं — 1 अंक

(ii) $A$ से 1.5 m दूर, अर्थात् $AQ = 1.5$ m पर लगे आधार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $\frac{PQ}{BC} = \frac{AQ}{AB}$, अतः $PQ = 0.5 \times \frac{1.5}{6} = 0.125$ m, अर्थात् 12.5 cm — 1 अंक

(iii) 30 cm ऊँचे एक आधार की आवश्यकता है। इसे $A$ से कितनी दूर लगाना होगा, और यह दीवार से कितनी दूर होगा? (2 अंक)

उत्तर।

1. $\frac{AQ}{6} = \frac{0.3}{0.5}$, अतः $AQ = 3.6$ m — 1 अंक
2. दीवार से दूरी $= QB = 6 - 3.6 = 2.4$ m — 1 अंक

अथवा

(iii) गोदाम को इसी ढाल वाला एक दूसरा तख़्ता 0.75 m ऊँचे मंच तक चाहिए। इसके लिए कितनी क्षैतिज दूरी चाहिए, और यह पहले तख़्ते से कितनी अधिक है? (2 अंक)

उत्तर।

1. एक ही ढाल से समरूप त्रिभुज बनते हैं: $\frac{x}{6} = \frac{0.75}{0.5}$, अतः $x = 9$ m — 1 अंक
2. यह $9 - 6 = 3$ m अधिक है — 1 अंक