द्विघात समीकरण

द्विघात समीकरण

द्विघात समीकरण अध्याय बोर्ड प्रश्न पत्र में प्रायः 5 से 8 अंक का होता है: 2026-27 के सैंपल पेपर में 6, 2026 के मुख्य प्रश्न पत्र में 8, तथा 2025 के और 2026 के दूसरे प्रश्न पत्र में 5 अंक।

इन सभी प्रश्न पत्रों में इस अध्याय से 5 अंक का एक शाब्दिक प्रश्न आया है: चाल और समय, मूल्य और मात्रा, क्षेत्रफल और विमाएँ, संख्याएँ, समकोण त्रिभुज की भुजाएँ। मूलों की प्रकृति या बराबर मूलों पर 1 अंक का एक बहुविकल्पीय प्रश्न और कभी-कभी विविक्तकर पर 2 अंक का प्रश्न भी आ सकता है।

अंक प्रायः यहाँ कटते हैं:

• अर्थहीन मूल को अस्वीकार न करना (ऋणात्मक चाल, पंक्तियों की ऋणात्मक संख्या, शीट से बड़ा कटाव);
• $b^2 - 4ac$ में चिह्न की गलती, विशेषकर जब $c$ ऋणात्मक हो;
• दोनों पक्षों को $x$ वाले व्यंजक से भाग देकर एक मूल खो देना;
• बराबर मूलों के लिए $k$ ज्ञात करते समय यह भूल जाना कि $a \neq 0$।

5 मिनट में दोहराएँ

मानक रूप: $ax^2 + bx + c = 0$, जहाँ $a \neq 0$। हमेशा पहले सरल करें: यदि $x^2$ वाले पद कट जाएँ, तो समीकरण द्विघात नहीं है।

पाठ्यक्रम में विधियाँ (पूर्ण वर्ग बनाने की विधि नहीं है)

• गुणनखंडन: $bx$ को ऐसे दो पदों में बाँटें जिनका गुणनफल $ac \cdot x^2$ हो, फिर उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालें।
• द्विघाती सूत्र: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$।

विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$

पूर्ण वर्ग $D$ (परिमेय $a$, $b$, $c$ के साथ) का अर्थ है कि मूल परिमेय हैं; वास्तविक मूलों के लिए यह आवश्यक नहीं है।

शाब्दिक प्रश्न: जानने योग्य समीकरण

• चाल: समय = दूरी ÷ चाल; नाव धारा के प्रतिकूल $(u - v)$, अनुकूल $(u + v)$।
• निश्चित कुल राशि का बँटवारा: प्रति व्यक्ति राशि = कुल राशि ÷ $n$।
• आयत: परिमाप से $l + b$; क्षेत्रफल से $lb$।
• क्रमागत पूर्णांक $x, x + 1$; क्रमागत विषम या सम $x, x + 2$।
• समकोण त्रिभुज: भुजा² + भुजा² = कर्ण²; ऋणात्मक लंबाई अस्वीकार करें।
• कार्य: यदि A अकेले $x$ घंटे और B अकेले $y$ घंटे लेते हैं, तो साथ में $t$ घंटे लेते हैं, जहाँ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{t}$।

"क्या यह संभव है?" समीकरण बनाकर $D$ देखें: यदि $D < 0$, तो यह संभव नहीं है।

सावधानियाँ

• अर्थहीन मूलों को अस्वीकार करें और एक पंक्ति में कारण लिखें।
• $x$ वाले व्यंजक से कभी भाग न दें: सभी पद एक ओर लाकर गुणनखंड करें।
• "बराबर मूल, $k$ ज्ञात कीजिए" में वह $k$ छोड़ दें जिससे $a = 0$ हो।
• $D$ निकालते समय $c$ के चिह्न पर ध्यान दें।

इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: हर प्रश्न पहले कॉपी पर हल कीजिए, फिर उत्तर पढ़िए। हर चरण के सामने लिखे अंक बताते हैं कि परीक्षक क्या देखता है। 1 अंक वाले बहुविकल्पीय और अभिकथन-तर्क प्रश्न अंत की क्विज़ में हैं, साथ में ऐसे प्रश्न भी जो जाँचते हैं कि आपने अध्याय कितनी गहराई से समझा है; क्विज़ के हर उत्तर के साथ उसकी व्याख्या दी गई है।

लघु उत्तरीय प्रश्न (2 और 3 अंक)

प्रश्न 1 (2 अंक)

गुणनखंडन द्वारा द्विघात समीकरण $\sqrt{5}x^2 + 9x + 4\sqrt{5} = 0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $\sqrt{5}x^2 + 5x + 4x + 4\sqrt{5} = \sqrt{5}x(x + \sqrt{5}) + 4(x + \sqrt{5}) = (\sqrt{5}x + 4)(x + \sqrt{5})$ — 1 अंक
2. मूल $x = -\frac{4}{\sqrt{5}}$ और $x = -\sqrt{5}$ — 1 अंक

प्रश्न 2 (2 अंक)

दिखाइए कि समीकरण $2x^2 - 2(p + q)x + p^2 + q^2 = 0$ के मूल $p = q$ होने पर बराबर होते हैं, और $p \neq q$ होने पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता।

उत्तर।

1. $D = 4(p + q)^2 - 8(p^2 + q^2) = -4p^2 + 8pq - 4q^2 = -4(p - q)^2$ — 1 अंक
2. यदि $p = q$, तो $D = 0$: बराबर मूल; यदि $p \neq q$, तो $D < 0$: कोई वास्तविक मूल नहीं — 1 अंक

प्रश्न 3 (2 अंक)

समीकरण $25x^2 - 20x + 4 = 0$ के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूल वास्तविक हैं, तो उन्हें ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $D = (-20)^2 - 4 \times 25 \times 4 = 400 - 400 = 0$, अतः मूल वास्तविक और बराबर हैं — 1 अंक
2. प्रत्येक मूल $= -\frac{b}{2a} = \frac{20}{50} = \frac{2}{5}$ — 1 अंक

प्रश्न 4 (2 अंक)

द्विघाती सूत्र का उपयोग करके $2x^2 - 4x - 3 = 0$ को हल कीजिए।

उत्तर।

1. $D = 16 + 24 = 40$, $\sqrt{D} = 2\sqrt{10}$ — 1 अंक
2. $x = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$ — 1 अंक

प्रश्न 5 (2 अंक)

राहुल ने $x(x - 3) = 2(x - 3)$ को दोनों पक्षों को $(x - 3)$ से भाग देकर हल किया और उत्तर $x = 2$ लिखा। क्या उसका उत्तर पूरा है? सभी मूल ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

नहीं, राहुल का उत्तर पूरा नहीं है।

दोनों पक्षों को $(x - 3)$ से भाग देना तभी ठीक है जब $x - 3 \neq 0$ हो। ऐसा करके उसने स्थिति $x = 3$ को छोड़ दिया, जबकि $x = 3$ समीकरण को संतुष्ट करता है: $3 \times 0 = 2 \times 0$।

सही तरीका है सब कुछ एक ओर लाना: $x(x - 3) - 2(x - 3) = 0$, अर्थात् $(x - 3)(x - 2) = 0$।

अतः मूल $x = 2$ और $x = 3$ हैं। द्विघात समीकरण के दो मूल हो सकते हैं, इसलिए $x$ वाले व्यंजक से कभी भाग न दें।

अंक योजना:

1. नहीं; $(x - 3)$ से भाग देने में मान लिया गया कि $x \neq 3$, इसलिए मूल $x = 3$ छूट गया — 1 अंक
2. $x(x - 3) - 2(x - 3) = 0$ से $(x - 3)(x - 2) = 0$; मूल 2 और 3 — 1 अंक

प्रश्न 6 (3 अंक)

$x$ के लिए हल कीजिए: $\frac{4}{x + 1} - \frac{2}{x + 4} = 1$, जहाँ $x \neq -1, -4$।

उत्तर।

1. $4(x + 4) - 2(x + 1) = (x + 1)(x + 4)$, अतः $2x + 14 = x^2 + 5x + 4$ — 1 अंक
2. $x^2 + 3x - 10 = 0$, अर्थात् $(x + 5)(x - 2) = 0$ — 1 अंक
3. $x = 2$ या $x = -5$ (इनमें से कोई भी वर्जित मान नहीं है) — 1 अंक

प्रश्न 7 (3 अंक)

दो प्राकृत संख्याओं का अंतर 5 है और उनके वर्गों का योग 157 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. माना छोटी संख्या $x$ है; बड़ी $x + 5$ है और $x^2 + (x + 5)^2 = 157$ — 1 अंक
2. $2x^2 + 10x - 132 = 0$, अतः $x^2 + 5x - 66 = 0$ और $(x + 11)(x - 6) = 0$ — 1 अंक
3. $x = -11$ प्राकृत संख्या नहीं है, अतः $x = 6$; संख्याएँ 6 और 11 हैं — 1 अंक

प्रश्न 8 (3 अंक)

यदि $3$ और $-\frac{1}{2}$ द्विघात समीकरण $ax^2 - 5x + b = 0$ के मूल हैं, तो $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $x = 3$: $9a - 15 + b = 0$ — 1 अंक
2. $x = -\frac{1}{2}$: $\frac{a}{4} + \frac{5}{2} + b = 0$, अर्थात् $a + 10 + 4b = 0$ — 1 अंक
3. $b = 15 - 9a$ से $a + 10 + 60 - 36a = 0$, अतः $a = 2$ और $b = -3$ — 1 अंक

प्रश्न 9 (3 अंक)

द्विघाती सूत्र का उपयोग करके $x$ के लिए हल कीजिए: $x^2 - 2ax + a^2 - 9b^2 = 0$।

उत्तर।

1. यहाँ $A = 1$, $B = -2a$, $C = a^2 - 9b^2$ — 1 अंक
2. $D = 4a^2 - 4(a^2 - 9b^2) = 36b^2$, अतः $\sqrt{D} = 6b$ — 1 अंक
3. $x = \frac{2a \pm 6b}{2}$: $x = a + 3b$ या $x = a - 3b$ — 1 अंक

प्रश्न 10 (3 अंक)

एक आयताकार भूखंड का परिमाप 62 m और क्षेत्रफल 228 m² है। भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. लंबाई + चौड़ाई $= 31$ m; यदि चौड़ाई $x$ m है, तो लंबाई $(31 - x)$ m है और $x(31 - x) = 228$ — 1 अंक
2. $x^2 - 31x + 228 = 0$, अतः $(x - 12)(x - 19) = 0$ — 1 अंक
3. $x = 12$ या $19$; भूखंड 19 m लंबा और 12 m चौड़ा है — 1 अंक

दीर्घ उत्तरीय और केस आधारित प्रश्न

प्रश्न 11 (5 अंक)

गुवाहाटी में ब्रह्मपुत्र पर एक नौका (फेरी) धारा के प्रतिकूल 24 km जाती है और कुल 6 घंटे में अपने प्रारंभिक स्थान पर लौट आती है। धारा की चाल 3 km/h है। स्थिर जल में नौका की चाल ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

माना स्थिर जल में नौका की चाल $x$ km/h है। तब धारा के प्रतिकूल इसकी चाल $(x - 3)$ km/h और अनुकूल चाल $(x + 3)$ km/h है।

समय = दूरी ÷ चाल, अतः

$\frac{24}{x - 3} + \frac{24}{x + 3} = 6$।

दोनों पक्षों को $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$ से गुणा करने पर: $24(x + 3) + 24(x - 3) = 6(x^2 - 9)$, अर्थात् $48x = 6x^2 - 54$।

6 से भाग देने पर: $x^2 - 8x - 9 = 0$। मध्य पद विभाजित करने पर: $x^2 - 9x + x - 9 = (x - 9)(x + 1) = 0$।

अतः $x = 9$ या $x = -1$। चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः स्थिर जल में नौका की चाल 9 km/h है।

जाँच: प्रतिकूल समय $= \frac{24}{6} = 4$ घंटे और अनुकूल समय $= \frac{24}{12} = 2$ घंटे, जिनका योग 6 घंटे है।

अंक योजना:

1. माना स्थिर जल में चाल $x$ km/h है: प्रतिकूल $x - 3$, अनुकूल $x + 3$ — 1 अंक
2. $\frac{24}{x - 3} + \frac{24}{x + 3} = 6$ — 1 अंक
3. $24(x + 3) + 24(x - 3) = 6(x^2 - 9)$, अतः $48x = 6x^2 - 54$ — 1 अंक
4. $x^2 - 8x - 9 = 0$, अर्थात् $(x - 9)(x + 1) = 0$ — 1 अंक
5. चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः स्थिर जल में नौका की चाल 9 km/h है (जाँच: $4 + 2 = 6$ घंटे) — 1 अंक

प्रश्न 12 (5 अंक)

एक मालगाड़ी अपनी यात्रा के पहले 200 km एकसमान चाल से तय करती है। अगले 280 km वह 20 km/h अधिक चाल से चलती है। 480 km की पूरी यात्रा में 8 घंटे लगते हैं। पहले भाग में गाड़ी की चाल और प्रत्येक भाग में लगा समय ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

माना पहले 200 km के लिए चाल $x$ km/h है। तब अगले 280 km के लिए चाल $(x + 20)$ km/h है।

कुल समय: $\frac{200}{x} + \frac{280}{x + 20} = 8$।

$x(x + 20)$ से गुणा करने पर: $200(x + 20) + 280x = 8x(x + 20)$, अर्थात् $480x + 4000 = 8x^2 + 160x$।

अतः $8x^2 - 320x - 4000 = 0$। 8 से भाग देने पर: $x^2 - 40x - 500 = 0$।

मध्य पद विभाजित करने पर: $x^2 - 50x + 10x - 500 = x(x - 50) + 10(x - 50) = (x - 50)(x + 10) = 0$।

अतः $x = 50$ या $x = -10$। चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः पहले भाग में गाड़ी की चाल 50 km/h और दूसरे में 70 km/h है।

पहले भाग का समय $= \frac{200}{50} = 4$ घंटे और दूसरे का $= \frac{280}{70} = 4$ घंटे, जिनका योग 8 घंटे है।

अंक योजना:

1. माना पहली चाल $x$ km/h है: $\frac{200}{x} + \frac{280}{x + 20} = 8$ — 1 अंक
2. $200(x + 20) + 280x = 8x(x + 20)$, अतः $480x + 4000 = 8x^2 + 160x$ — 1 अंक
3. $8x^2 - 320x - 4000 = 0$, अर्थात् $x^2 - 40x - 500 = 0$ — 1 अंक
4. $(x - 50)(x + 10) = 0$; $x = -10$ अस्वीकार्य है, अतः चाल 50 km/h है — 1 अंक
5. समय: $\frac{200}{50} = 4$ घंटे और $\frac{280}{70} = 4$ घंटे — 1 अंक

प्रश्न 13 (5 अंक)

दीवाली शिल्प मेले के लिए कोलकाता के एक विद्यालय के विद्यार्थी 40 cm लंबी और 30 cm चौड़ी आयताकार गत्ते की शीटों से खुले डिब्बे बनाते हैं। शीट के हर कोने से $x$ cm भुजा का एक वर्ग काटकर भुजाओं को ऊपर मोड़ दिया जाता है, जैसा आकृति में दिखाया गया है। यदि डिब्बे के आधार का क्षेत्रफल 600 cm² होना चाहिए, तो $x$ और डिब्बे का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. डिब्बे का आधार: $(40 - 2x)$ cm और $(30 - 2x)$ cm; $(40 - 2x)(30 - 2x) = 600$ — 1 अंक
2. $1200 - 140x + 4x^2 = 600$, अतः $x^2 - 35x + 150 = 0$ — 1 अंक
3. $(x - 5)(x - 30) = 0$, अतः $x = 5$ या $x = 30$ — 1 अंक
4. $x = 30$ असंभव है (30 cm के दो वर्ग काटने के लिए शीट 60 cm से अधिक चौड़ी चाहिए), अतः $x = 5$ — 1 अंक
5. आधार 30 cm और 20 cm, ऊँचाई 5 cm; आयतन $= 600 \times 5 = 3000$ cm³ — 1 अंक

प्रश्न 14 (4 अंक)

जोधपुर का एक बढ़ई लकड़ी की एक कोने वाली शेल्फ समकोण त्रिभुज के आकार में बनाता है, जैसा आकृति में दिखाया गया है। यदि सबसे छोटी भुजा $x$ cm है, तो समकोण बनाने वाली दूसरी भुजा $(x + 1)$ cm और सबसे लंबी भुजा $(x + 9)$ cm है।

(i) दिखाइए कि $x^2 - 16x - 80 = 0$। (1 अंक)

उत्तर।

1. पाइथागोरस: $x^2 + (x + 1)^2 = (x + 9)^2$ से $2x^2 + 2x + 1 = x^2 + 18x + 81$, अर्थात् $x^2 - 16x - 80 = 0$ — 1 अंक

(ii) इस समीकरण का विविक्तकर ज्ञात कीजिए और इसके मूलों की प्रकृति बताइए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $D = 256 + 320 = 576 = 24^2 > 0$: दो भिन्न वास्तविक (परिमेय) मूल — 1 अंक

(iii) शेल्फ की तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $x = \frac{16 \pm 24}{2}$, अतः $x = 20$ या $x = -4$; लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः $x = 20$ — 1 अंक
2. भुजाएँ 20 cm, 21 cm और 29 cm — 1 अंक

अथवा

(iii) एक छोटी शेल्फ के लिए समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाएँ $x$ cm, $(x + 1)$ cm और $(x + 2)$ cm हैं। इन्हें ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $x^2 + (x + 1)^2 = (x + 2)^2$ से $x^2 - 2x - 3 = 0$, अर्थात् $(x - 3)(x + 1) = 0$ — 1 अंक
2. $x = 3$ ($x = -1$ अस्वीकार्य); भुजाएँ 3 cm, 4 cm और 5 cm — 1 अंक

प्रश्न 15 (4 अंक)

भोपाल के एक विज्ञान मेले में विज्ञान क्लब एक छोटा जल-रॉकेट सीधा ऊपर छोड़ता है। $t$ सेकंड बाद भूमि से इसकी ऊँचाई $h = 20t - 5t^2$ मीटर है।

(i) उन समयों के लिए द्विघात समीकरण मानक रूप में लिखिए जब रॉकेट भूमि से 15 m ऊपर होता है। (1 अंक)

उत्तर।

1. $20t - 5t^2 = 15$, अर्थात् $5t^2 - 20t + 15 = 0$ या $t^2 - 4t + 3 = 0$ — 1 अंक

(ii) रॉकेट किन समयों पर भूमि से 15 m ऊपर होता है? (1 अंक)

उत्तर।

1. $(t - 1)(t - 3) = 0$: 1 s बाद (ऊपर जाते हुए) और 3 s बाद (नीचे आते हुए) — 1 अंक

(iii) क्या रॉकेट 25 m की ऊँचाई तक पहुँच सकता है? विविक्तकर का उपयोग करके अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $20t - 5t^2 = 25$ से $t^2 - 4t + 5 = 0$ — 1 अंक
2. $D = 16 - 20 = -4 < 0$: कोई वास्तविक $t$ नहीं, अतः रॉकेट कभी 25 m तक नहीं पहुँचता — 1 अंक

अथवा

(iii) कितने सेकंड बाद रॉकेट वापस भूमि पर आता है? (2 अंक)

उत्तर।

1. $h = 0$: $20t - 5t^2 = 0$, अर्थात् $5t(4 - t) = 0$ — 1 अंक
2. $t = 0$ प्रक्षेपण का क्षण है, अतः यह 4 s बाद भूमि पर आता है — 1 अंक