निर्देशांक ज्यामिति

निर्देशांक ज्यामिति

निर्देशांक ज्यामिति अध्याय हर बोर्ड प्रश्न पत्र में 6 अंक का होता है: 2026-27 के सैंपल पेपर और 2025 तथा 2026 के दोनों प्रश्न पत्रों में इसे ठीक 6 अंक मिले।

ये अंक प्रायः 1 अंक के एक या दो बहुविकल्पीय प्रश्नों (दूरी, मध्य-बिंदु, समांतर चतुर्भुज का चौथा शीर्ष, या अभिकथन-तर्क), विभाजन सूत्र पर 2 या 3 अंक के एक प्रश्न (प्रायः "x-अक्ष या y-अक्ष रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है"), और कभी-कभी ग्रिड पर बने शहर के नक्शे वाले 4 अंक के केस आधारित प्रश्न से आते हैं। इस अध्याय से 5 अंक का प्रश्न नहीं आया है। पाठ्यक्रम में केवल दूरी सूत्र और विभाजन सूत्र (आंतरिक विभाजन) हैं; त्रिभुज का क्षेत्रफल नहीं है।

अंक प्रायः यहाँ कटते हैं:

• दूरी सूत्र में चिह्न की गलती, जैसे $(2 - (-3))$ को $(2 - 3)$ लिख देना;
• विभाजन सूत्र में अनुपात उल्टा रख देना, या $m_1 x_2 + m_2 x_1$ के स्थान पर $m_1 x_1 + m_2 x_2$ लिखना;
• गलत निर्देशांक को शून्य रखना: x-अक्ष पर स्थित बिंदु का y = 0 होता है;
• विकर्णों की जाँच किए बिना चार बराबर भुजाओं को वर्ग कह देना।

5 मिनट में दोहराएँ

सूत्र (पाठ्यक्रम में केवल ये दो और मध्य-बिंदु हैं)

• x-अक्ष पर स्थित बिंदु $(x, 0)$ होता है; y-अक्ष पर स्थित बिंदु $(0, y)$ होता है।
• $(x, y)$ की x-अक्ष से दूरी $|y|$ और y-अक्ष से दूरी $|x|$ है।

प्रश्नों के सामान्य प्रकार

• कोई अक्ष $AB$ को किस अनुपात में बाँटता है: अनुपात $k : 1$ लीजिए, बिंदु लिखिए, और उसका y-निर्देशांक $= 0$ (x-अक्ष) या x-निर्देशांक $= 0$ (y-अक्ष) रखिए।
• $A$ और $B$ से समदूरस्थ, अक्ष पर स्थित बिंदु: $(x, 0)$ या $(0, y)$ लीजिए और $PA^2 = PB^2$ रखिए।
• समत्रिभाजन बिंदु: अनुपात $1 : 2$ और $2 : 1$।
• $AB$ को आगे बढ़ाने पर $C$, जहाँ $AB : BC = m : n$: $B$, $AC$ को $m : n$ में बाँटता है।
• $AP = \frac{2}{5}AB$ का अर्थ है $AP : PB = 2 : 3$।
• समांतर चतुर्भुज का चौथा शीर्ष: विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, अतः $AC$ का मध्य-बिंदु = $BD$ का मध्य-बिंदु।
• दूरियों से संरेखता: दो छोटी लंबाइयों का योग सबसे बड़ी लंबाई के बराबर।

लंबाइयों से चतुर्भुज की पहचान

सावधानियाँ

• पूरे अंतर का वर्ग कीजिए: $(-3 - 2)^2 = 25$, न कि $-25$ या 1।
• अनुपात को दिए गए क्रम में ही रखिए: $m_1$ दूसरे बिंदु के साथ जाता है।
• निर्देशांकों से त्रिभुज का क्षेत्रफल 2026-27 के पाठ्यक्रम में नहीं है।

इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: हर प्रश्न पहले कॉपी पर हल कीजिए, फिर उत्तर पढ़िए। हर चरण के सामने लिखे अंक बताते हैं कि परीक्षक क्या देखता है। 1 अंक वाले बहुविकल्पीय और अभिकथन-तर्क प्रश्न अंत की क्विज़ में हैं, साथ में ऐसे प्रश्न भी जो जाँचते हैं कि आपने अध्याय कितनी गहराई से समझा है; क्विज़ के हर उत्तर के साथ उसकी व्याख्या दी गई है।

लघु उत्तरीय प्रश्न (2 और 3 अंक)

प्रश्न 1 (2 अंक)

एक वृत्त का केंद्र $C(a, a + 1)$ और त्रिज्या 5 मात्रक है। यदि वृत्त बिंदु $P(6, 0)$ से होकर जाता है, तो $a$ के संभव मान और संगत केंद्र ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $CP = 5$: $(a - 6)^2 + (a + 1)^2 = 25$, अतः $2a^2 - 10a + 12 = 0$, अर्थात् $a^2 - 5a + 6 = 0$ — 1 अंक
2. $a = 2$ या $a = 3$; केंद्र $(2, 3)$ या $(3, 4)$ है — 1 अंक

प्रश्न 2 (2 अंक)

दूरी सूत्र का प्रयोग करके दिखाइए कि बिंदु $A(-1, -3)$, $B(1, 1)$ और $C(4, 7)$ संरेख हैं।

उत्तर।

1. $AB = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5}$, $BC = \sqrt{9 + 36} = 3\sqrt{5}$, $AC = \sqrt{25 + 100} = 5\sqrt{5}$ — 1 अंक
2. $AB + BC = 5\sqrt{5} = AC$, अतः $A$, $B$ और $C$ संरेख हैं — 1 अंक

प्रश्न 3 (2 अंक)

$C$, $AB$ को $B$ से आगे बढ़ाने पर उस पर स्थित ऐसा बिंदु है कि $AB : BC = 1 : 2$ है। यदि $A$ बिंदु $(-2, 5)$ और $B$ बिंदु $(1, 3)$ है, तो $C$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $B$, $A$ और $C$ के बीच है तथा $AB : BC = 1 : 2$, अतः $B$, $AC$ को $1 : 2$ में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। माना $C = (x, y)$ — 1 अंक
2. $\frac{x + 2 \times (-2)}{3} = 1$ और $\frac{y + 2 \times 5}{3} = 3$, अतः $C = (7, -1)$ — 1 अंक

प्रश्न 4 (2 अंक)

$\triangle ABC$ के शीर्ष $A(5, 7)$, $B(-2, 3)$ और $C(6, -1)$ हैं। माध्यिका $AD$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $D$, $BC$ का मध्य-बिंदु है: $D = \left(\frac{-2 + 6}{2}, \frac{3 - 1}{2}\right) = (2, 1)$ — 1 अंक
2. $AD = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ मात्रक — 1 अंक

प्रश्न 5 (3 अंक)

$A(-3, a)$ और $B(6, 8)$ को मिलाने वाला रेखाखंड y-अक्ष से $P(0, 4)$ पर मिलता है। अनुपात $AP : PB$ और $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. माना $AP : PB = k : 1$; $P$ के x-निर्देशांक से $\frac{6k - 3}{k + 1} = 0$ — 1 अंक
2. $k = \frac{1}{2}$, अतः $AP : PB = 1 : 2$ — 1 अंक
3. y-निर्देशांक: $\frac{1 \times 8 + 2 \times a}{3} = 4$, अतः $a = 2$ — 1 अंक

प्रश्न 6 (3 अंक)

$A(-1, 3)$ और $B(9, -2)$ दो बिंदु हैं, और $P$ रेखाखंड $AB$ पर ऐसा बिंदु है कि $PB = \frac{3}{5}AB$। $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, और दूरी सूत्र से अपने उत्तर की जाँच कीजिए।

उत्तर।

1. $PB = \frac{3}{5}AB$ से $AP = \frac{2}{5}AB$, अतः $AP : PB = 2 : 3$ — 1 अंक
2. $P = \left(\frac{2 \times 9 + 3 \times (-1)}{5}, \frac{2 \times (-2) + 3 \times 3}{5}\right) = (3, 1)$ — 1 अंक
3. $AP = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5}$, $PB = \sqrt{36 + 9} = 3\sqrt{5}$, अतः $AP : PB = 2 : 3$; सत्यापित — 1 अंक

प्रश्न 7 (3 अंक)

विभाजन सूत्र का प्रयोग करके दिखाइए कि बिंदु $A(-4, -1)$, $P(2, 3)$ और $B(8, 5)$ संरेख नहीं हैं।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

मान लीजिए $A$, $P$ और $B$ संरेख हैं। तब $P$, $AB$ को किसी अनुपात $k : 1$ में विभाजित करेगा, और $P$ के दोनों निर्देशांक एक ही $k$ से विभाजन सूत्र द्वारा मिलेंगे।

x-निर्देशांक: $\frac{8k + (-4)}{k + 1} = 2$ से $8k - 4 = 2k + 2$, अतः $k = 1$।

$k = 1$ लेने पर y-निर्देशांक $\frac{1 \times 5 + 1 \times (-1)}{2} = 2$ होगा।

परंतु $P$ का y-निर्देशांक 3 है। दोनों निर्देशांक एक ही अनुपात नहीं देते, इसलिए ऐसा कोई $k$ नहीं है। अतः $A$, $P$ और $B$ संरेख नहीं हैं। (बिंदु $(2, 2)$, जो $AB$ का मध्य-बिंदु है, रेखा पर है; $P(2, 3)$ उससे 1 मात्रक ऊपर है।)

अंक योजना:

1. यदि ये संरेख होते, तो $P$, $AB$ को किसी अनुपात $k : 1$ में विभाजित करता; इसके x-निर्देशांक से $\frac{8k - 4}{k + 1} = 2$ — 1 अंक
2. $8k - 4 = 2k + 2$, अतः $k = 1$; तब y-निर्देशांक $\frac{5 + (-1)}{2} = 2$ होता — 1 अंक
3. परंतु $P$ का y-निर्देशांक 3 है, 2 नहीं; अतः $P$ रेखा $AB$ पर नहीं है, और बिंदु संरेख नहीं हैं — 1 अंक

प्रश्न 8 (3 अंक)

बिंदु $A(2, 1)$, $B(6, 3)$ और $C(k, 7)$ एक ऐसे त्रिभुज के शीर्ष हैं जो $B$ पर समकोण है। $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $AB^2 = 16 + 4 = 20$, $BC^2 = (k - 6)^2 + 16$, $AC^2 = (k - 2)^2 + 36$ — 1 अंक
2. $B$ पर समकोण: $AB^2 + BC^2 = AC^2$, अतः $20 + k^2 - 12k + 52 = k^2 - 4k + 40$ — 1 अंक
3. $-8k = -32$, अतः $k = 4$ — 1 अंक

प्रश्न 9 (3 अंक)

बिंदु $A(-3, 2)$, $B(1, 0)$ और $C(4, 3)$ क्रम में लिए गए समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के तीन शीर्ष हैं। चौथा शीर्ष $D$ ज्ञात कीजिए। क्या $ABCD$ एक आयत है? कारण दीजिए।

उत्तर।

1. विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं: $AC$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$ = $BD$ का मध्य-बिंदु — 1 अंक
2. $\frac{1 + x}{2} = \frac{1}{2}$ और $\frac{0 + y}{2} = \frac{5}{2}$, अतः $D = (0, 5)$ — 1 अंक
3. $AC = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}$ और $BD = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$; विकर्ण बराबर नहीं हैं, अतः यह आयत नहीं है — 1 अंक

प्रश्न 10 (3 अंक)

$\triangle ABC$ के शीर्ष $A(1, 5)$, $B(-3, -1)$ और $C(7, 1)$ हैं। $D$ और $E$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं। $D$ और $E$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, और सत्यापित कीजिए कि $DE = \frac{1}{2}BC$।

उत्तर।

1. $D = \left(\frac{1 - 3}{2}, \frac{5 - 1}{2}\right) = (-1, 2)$ और $E = \left(\frac{1 + 7}{2}, \frac{5 + 1}{2}\right) = (4, 3)$ — 1 अंक
2. $DE = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$ — 1 अंक
3. $BC = \sqrt{100 + 4} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}$, अतः $DE = \frac{1}{2}BC$; सत्यापित — 1 अंक

दीर्घ उत्तरीय और केस आधारित प्रश्न

प्रश्न 11 (4 अंक)

मकर संक्रांति के लिए आरव ग्राफ़ पेपर पर एक पतंग का डिज़ाइन बनाता है, जिसमें कागज़ का केंद्र मूलबिंदु है। पतंग के चारों कोने $A(0, 6)$, $B(-3, 2)$, $C(0, -4)$ और $D(3, 2)$ हैं, और इसकी दोनों तीलियाँ $AC$ और $BD$ के अनुदिश हैं (आकृति देखिए)।

(i) लंबाई $AB$ ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $AB = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ मात्रक — 1 अंक

(ii) $BD$ का मध्य-बिंदु ज्ञात कीजिए, और दिखाइए कि यह तीली $AC$ पर स्थित है। (1 अंक)

उत्तर।

1. $BD$ का मध्य-बिंदु $= (0, 2)$; $A$ और $C$ दोनों का x-निर्देशांक 0 है, अतः $AC$, y-अक्ष पर है और $(0, 2)$ इस पर, $A$ और $C$ के बीच है — 1 अंक

(iii) दिखाइए कि $AB = AD$ और $CB = CD$। (2 अंक)

उत्तर।

1. $AD = \sqrt{9 + 16} = 5 = AB$ — 1 अंक
2. $CB = \sqrt{9 + 36} = 3\sqrt{5}$ और $CD = \sqrt{9 + 36} = 3\sqrt{5}$, अतः $CB = CD$ — 1 अंक

अथवा

(iii) तीली $BD$, तीली $AC$ को किस अनुपात में विभाजित करती है? (2 अंक)

उत्तर।

1. $BD$, $AC$ को $M(0, 2)$ पर मिलती है; माना $AM : MC = k : 1$, तब $\frac{-4k + 6}{k + 1} = 2$ — 1 अंक
2. $k = \frac{2}{3}$, अतः अनुपात $2 : 3$ है (जाँच: $AM = 4$, $MC = 6$) — 1 अंक

प्रश्न 12 (4 अंक)

एक शहर के निर्देशांक ग्रिड पर बने नक्शे में, जहाँ 1 मात्रक = 1 km है, एक नई मेट्रो लाइन स्टेशन $A(-7, -2)$ से स्टेशन $B(5, 7)$ तक सीधी जाती है। एक अस्पताल $H(-4, 6)$ पर है (आकृति देखिए)।

(i) मेट्रो लाइन कितनी लंबी है? (1 अंक)

उत्तर।

1. $AB = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{225} = 15$ km — 1 अंक

(ii) दो और स्टेशन $P$ और $Q$, $AB$ को तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं, जहाँ $P$, $A$ के निकट है। इनके निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $P$, $AB$ को $1 : 2$ में विभाजित करता है: $P = \left(\frac{5 - 14}{3}, \frac{7 - 4}{3}\right) = (-3, 1)$; $Q$, $PB$ का मध्य-बिंदु है: $Q = (1, 4)$ — 1 अंक

(iii) एक नदी y-अक्ष के अनुदिश बहती है। नदी $AB$ को किस अनुपात में विभाजित करती है, और मेट्रो लाइन नदी को किस बिंदु पर पार करती है? (2 अंक)

उत्तर।

1. माना अनुपात $k : 1$ है; y-अक्ष पर $\frac{5k - 7}{k + 1} = 0$, अतः $k = \frac{7}{5}$: अनुपात $7 : 5$ — 1 अंक
2. बिंदु $= \left(0, \frac{7 \times 7 + 5 \times (-2)}{12}\right) = \left(0, \frac{13}{4}\right)$ — 1 अंक

अथवा

(iii) स्टेशनों $P$ और $Q$ में से कौन-सा अस्पताल $H$ के अधिक निकट है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $HP = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$ km और $HQ = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$ km — 1 अंक
2. $\sqrt{26} < \sqrt{29}$, अतः स्टेशन $P$ अधिक निकट है — 1 अंक

प्रश्न 13 (4 अंक)

चंडीगढ़ के एक त्रिभुजाकार पार्क को निर्देशांक ग्रिड पर बनाया गया है, जहाँ 1 मात्रक = 10 m है। इसके तीन द्वार कोनों $A(2, 9)$, $B(-4, 0)$ और $C(8, 0)$ पर हैं। भुजा $BC$ के मध्य-बिंदु पर एक फव्वारा $D$ बनाना है, और द्वार $A$ से फव्वारे तक एक सीधा रास्ता बनेगा।

(i) भुजा $BC$ की लंबाई मीटर में ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $BC = 8 - (-4) = 12$ मात्रक $= 120$ m — 1 अंक

(ii) फव्वारे $D$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $D = \left(\frac{-4 + 8}{2}, 0\right) = (2, 0)$ — 1 अंक

(iii) रास्ते $AD$ पर एक लैंप पोस्ट $L$ इस प्रकार लगाया जाता है कि $AL : LD = 2 : 1$ हो। $L$ के निर्देशांक और द्वार $A$ से इसकी दूरी मीटर में ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $L = \left(\frac{2 \times 2 + 1 \times 2}{3}, \frac{2 \times 0 + 1 \times 9}{3}\right) = (2, 3)$ — 1 अंक
2. $AL = 9 - 3 = 6$ मात्रक $= 60$ m — 1 अंक

अथवा

(iii) दिखाइए कि द्वार $A$, द्वारों $B$ और $C$ से समदूरस्थ है, और यह दूरी ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $AB = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117}$ और $AC = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117}$, अतः $AB = AC$ — 1 अंक
2. $\sqrt{117} = 3\sqrt{13}$ मात्रक, अर्थात् $30\sqrt{13}$ m — 1 अंक

प्रश्न 14 (4 अंक)

योग दिवस पर चार विद्यार्थी विद्यालय के मैदान पर बने निर्देशांक ग्रिड के बिंदुओं $A(1, 2)$, $B(5, 5)$, $C(9, 2)$ और $D(5, -1)$ पर खड़े हैं, जहाँ 1 मात्रक = 1 m है। $AB$, $BC$, $CD$ और $DA$ के अनुदिश रस्सियाँ बाँधी गई हैं (आकृति देखिए)।

(i) रस्सी $AB$ की लंबाई ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $AB = \sqrt{16 + 9} = 5$ m — 1 अंक

(ii) दिखाइए कि विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। (1 अंक)

उत्तर।

1. $AC$ का मध्य-बिंदु $= (5, 2)$ और $BD$ का मध्य-बिंदु $= (5, 2)$: एक ही बिंदु, अतः ये एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं — 1 अंक

(iii) कोच कहते हैं कि $ABCD$ एक वर्ग है। क्या वे सही हैं? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $AB = BC = CD = DA = 5$ m (प्रत्येक $\sqrt{16 + 9}$ है) — 1 अंक
2. परंतु $AC = 8$ m और $BD = 6$ m बराबर नहीं हैं, अतः $ABCD$ समचतुर्भुज है, वर्ग नहीं; वे सही नहीं हैं — 1 अंक

अथवा

(iii) $AC$ पर बिंदु $T$ पर पानी की एक बोतल इस प्रकार रखी है कि $AT : TC = 1 : 3$ हो। $T$ के निर्देशांक और $B$ पर खड़े विद्यार्थी की बोतल से दूरी ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $T = \left(\frac{1 \times 9 + 3 \times 1}{4}, \frac{1 \times 2 + 3 \times 2}{4}\right) = (3, 2)$ — 1 अंक
2. $BT = \sqrt{(5 - 3)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{13}$ m — 1 अंक