सांख्यिकी

सांख्यिकी हाल के हर बोर्ड प्रश्न पत्र में 6 अंक की रही है (2026-27 का सैंपल पेपर, 2025 और 2026 के दोनों प्रश्न पत्र)।

ये अंक प्रायः एक या दो 1 अंक के बहुविकल्पीय या अभिकथन-तर्क प्रश्नों (आनुभविक संबंध, माध्यक वर्ग, बहुलक वर्ग) और साथ में या तो 5 अंक के प्रश्न (माध्य और बहुलक, या दिए गए माध्यक या माध्य से लुप्त बारंबारताएँ) या वर्गीकृत सारणी पर 4 अंक के केस आधारित प्रश्न से आते हैं। पिछले चार में से तीन प्रश्न पत्रों में सांख्यिकी का 5 अंक का प्रश्न आया।

अंक प्रायः यहाँ कटते हैं:

  • बहुलक के सूत्र में f0f_0 और f2f_2 को आपस में बदल देना;
  • माध्यक के सूत्र में पिछले वर्ग की संचयी बारंबारता के स्थान पर माध्यक वर्ग की अपनी संचयी बारंबारता ले लेना;
  • ∑fiui\sum f_i u_i में चिह्न की गलती, या पग-विचलन विधि में hh से गुणा करना भूल जाना;
  • xix_i, fixif_i x_i (या uiu_i) और संचयी बारंबारता की सारणी न बनाना, जबकि उस पर भी अंक मिलते हैं।

5 मिनट में दोहराएँ

वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य (xix_i = वर्ग चिह्न = (निम्न सीमा + उपरि सीमा) ÷ 2)

विधि सूत्र
प्रत्यक्ष विधि xˉ=∑fixi∑fi\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}
कल्पित माध्य विधि (di=xi−ad_i = x_i - a) xˉ=a+∑fidi∑fi\bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}
पग-विचलन विधि (ui=xi−ahu_i = \frac{x_i - a}{h}) xˉ=a+∑fiui∑fi×h\bar{x} = a + \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} \times h

aa के रूप में बीच के आसपास का कोई वर्ग चिह्न लीजिए, ताकि uiu_i छोटी संख्याएँ हों, जैसे −2,−1,0,1,2-2, -1, 0, 1, 2। तीनों विधियों से एक ही उत्तर आता है।

बहुलक

बहुलक =l+f1−f02f1−f0−f2×h= l + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h

  • बहुलक वर्ग: सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग।
  • f1f_1 = बहुलक वर्ग की बारंबारता, f0f_0 = उससे पहले वाले वर्ग की, f2f_2 = उसके बाद वाले वर्ग की।

माध्यक

माध्यक =l+n2−cff×h= l + \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \times h

  • n2\frac{n}{2} ज्ञात कीजिए; माध्यक वर्ग वह पहला वर्ग है जिसकी संचयी बारंबारता n2\frac{n}{2} से अधिक हो।
  • cfcf = माध्यक वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता; ff = माध्यक वर्ग की बारंबारता।

आनुभविक संबंध: 3 × माध्यक = बहुलक + 2 × माध्य।

लुप्त बारंबारताएँ: एक समीकरण कुल nn से और दूसरा दिए गए माध्य, माध्यक या बहुलक से बनाइए।

संचयी सारणी दी हो ("20 से कम: 12, 30 से कम: 25")? पास-पास के मान घटाकर बारंबारता निकालिए: 20-30 के लिए 25−12=1325 - 12 = 13।

10-19, 20-29 जैसे वर्ग? ll और hh लगाने से पहले इन्हें सतत बनाइए (9.5-19.5, 19.5-29.5)।

सावधानियाँ

  • बहुलक के सूत्र में f0f_0 और f2f_2 बदल जाना।
  • पिछले वर्ग के स्थान पर माध्यक वर्ग की अपनी cfcf ले लेना।
  • पग-विचलन में ×h\times h भूलना, या ∑fiui\sum f_i u_i में चिह्न की गलती।
  • सबसे अधिक बारंबारता वाले वर्ग को माध्यक वर्ग मान लेना (वह बहुलक वर्ग है)।

इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: हर प्रश्न पहले कॉपी पर हल कीजिए, फिर उत्तर पढ़िए। हर चरण के सामने लिखे अंक बताते हैं कि परीक्षक क्या देखता है। 1 अंक वाले बहुविकल्पीय और अभिकथन-तर्क प्रश्न अंत की क्विज़ में हैं, साथ में ऐसे प्रश्न भी जो जाँचते हैं कि आपने अध्याय कितनी गहराई से समझा है; क्विज़ के हर उत्तर के साथ उसकी व्याख्या दी गई है।

लघु उत्तरीय प्रश्न (2 और 3 अंक)

प्रश्न 1 (2 अंक)

एक कक्षा के 20 विद्यार्थियों द्वारा गर्मी की छुट्टियों में पढ़ी गई पुस्तकों की संख्या नीचे दी गई है। पढ़ी गई पुस्तकों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए।

पुस्तकों की संख्या 2 4 6 8 10
विद्यार्थियों की संख्या 3 5 8 3 1

उत्तर।

  1. ∑fixi=6+20+48+24+10=108\sum f_i x_i = 6 + 20 + 48 + 24 + 10 = 108 और ∑fi=20\sum f_i = 20 — 1 अंक
  2. माध्य =10820=5.4= \frac{108}{20} = 5.4 पुस्तकें — 1 अंक

प्रश्न 2 (2 अंक)

एक स्कूल क्रिकेट टूर्नामेंट में 40 बल्लेबाज़ों द्वारा बनाए गए रन नीचे दिए गए हैं। बहुलक ज्ञात कीजिए।

रन 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59
बल्लेबाज़ों की संख्या 3 9 14 9 5

उत्तर।

  1. वर्गों को सतत बनाइए: 9.5-19.5, 19.5-29.5, …; बहुलक वर्ग 29.5-39.5, जिसमें l=29.5l = 29.5, f1=14f_1 = 14, f0=9f_0 = 9, f2=9f_2 = 9, h=10h = 10 — 1 अंक
  2. बहुलक =29.5+14−928−9−9×10=29.5+5=34.5= 29.5 + \frac{14 - 9}{28 - 9 - 9} \times 10 = 29.5 + 5 = 34.5 रन — 1 अंक

प्रश्न 3 (2 अंक)

अर्जुन ने नीचे दिए बंटन का बहुलक इस प्रकार ज्ञात किया।

वर्ग 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60
बारंबारता 5 8 14 10 3

"बहुलक वर्ग 30-40 है, l=30l = 30, f1=14f_1 = 14, f0=10f_0 = 10, f2=8f_2 = 8, h=10h = 10। बहुलक =30+14−1028−10−8×10=34= 30 + \frac{14 - 10}{28 - 10 - 8} \times 10 = 34।"

उसकी गलती बताइए और सही बहुलक ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

  1. उसने f0f_0 और f2f_2 आपस में बदल दिए: f0f_0 बहुलक वर्ग से पहले वाले वर्ग की बारंबारता है, अतः f0=8f_0 = 8 और f2=10f_2 = 10 — 1 अंक
  2. बहुलक =30+14−828−8−10×10=30+6=36= 30 + \frac{14 - 8}{28 - 8 - 10} \times 10 = 30 + 6 = 36 — 1 अंक

प्रश्न 4 (2 अंक)

एक पौधे की 40 पत्तियों की लंबाइयाँ (mm में) नीचे "से अधिक या बराबर" संचयी बारंबारता सारणी के रूप में दी गई हैं। प्रत्येक वर्ग 0-10, 10-20, …, 40-50 की बारंबारता लिखिए, और बहुलक वर्ग तथा माध्यक वर्ग ज्ञात कीजिए।

लंबाई (mm) 0 या अधिक 10 या अधिक 20 या अधिक 30 या अधिक 40 या अधिक
पत्तियों की संख्या 40 35 28 15 7

उत्तर।

  1. बारंबारताएँ: 40−35=540 - 35 = 5, 35−28=735 - 28 = 7, 28−15=1328 - 15 = 13, 15−7=815 - 7 = 8, और 40-50 के लिए 7 — 1 अंक
  2. बहुलक वर्ग 20-30 (बारंबारता 13); n2=20\frac{n}{2} = 20, 'से कम' संचयी बारंबारताएँ 5, 12, 25, …, अतः माध्यक वर्ग 20-30 है — 1 अंक

प्रश्न 5 (2 अंक)

20 प्रेक्षणों का माध्य 15 पाया गया। बाद में पता चला कि एक प्रेक्षण 25 को गलती से 45 लिख लिया गया था। सही माध्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

  1. गलत योग =20×15=300= 20 \times 15 = 300; सही योग =300−45+25=280= 300 - 45 + 25 = 280 — 1 अंक
  2. सही माध्य =28020=14= \frac{280}{20} = 14 — 1 अंक

प्रश्न 6 (3 अंक)

बेंगलुरु में खाना पहुँचाने वाले 50 राइडरों द्वारा एक दिन में तय की गई दूरी (km में) नीचे दी गई है। माध्य दूरी ज्ञात कीजिए।

दूरी (km) 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100
राइडरों की संख्या 7 12 15 10 6

उत्तर।

  1. वर्ग चिह्न 10, 30, 50, 70, 90; a=50a = 50, h=20h = 20, ui=xi−5020u_i = \frac{x_i - 50}{20} लें: −2,−1,0,1,2-2, -1, 0, 1, 2 — 1 अंक
  2. ∑fiui=−14−12+0+10+12=−4\sum f_i u_i = -14 - 12 + 0 + 10 + 12 = -4, ∑fi=50\sum f_i = 50 — 1 अंक
  3. माध्य =50+−450×20=50−1.6=48.4= 50 + \frac{-4}{50} \times 20 = 50 - 1.6 = 48.4 km — 1 अंक

प्रश्न 7 (3 अंक)

नासिक में एक निःशुल्क नेत्र जाँच शिविर में आए 70 लोगों की आयु (वर्षों में) नीचे दी गई है। आयु का बहुलक ज्ञात कीजिए।

आयु (वर्ष) 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60
लोगों की संख्या 5 9 16 20 14 6

उत्तर।

  1. बहुलक वर्ग 30-40: l=30l = 30, f1=20f_1 = 20, f0=16f_0 = 16, f2=14f_2 = 14, h=10h = 10 — 1 अंक
  2. बहुलक =30+20−1640−16−14×10= 30 + \frac{20 - 16}{40 - 16 - 14} \times 10 — 1 अंक
  3. =30+410×10=34= 30 + \frac{4}{10} \times 10 = 34 वर्ष — 1 अंक

प्रश्न 8 (3 अंक)

40 विद्यार्थियों द्वारा एक सप्ताह में खेलों पर बिताए गए घंटों की संख्या नीचे दी गई है। माध्यक ज्ञात कीजिए।

घंटे 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25
विद्यार्थियों की संख्या 5 9 12 8 6

उत्तर।

  1. संचयी बारंबारताएँ: 5, 14, 26, 34, 40; n2=20\frac{n}{2} = 20 — 1 अंक
  2. माध्यक वर्ग 10-15: l=10l = 10, cf=14cf = 14, f=12f = 12, h=5h = 5 — 1 अंक
  3. माध्यक =10+20−1412×5=10+2.5=12.5= 10 + \frac{20 - 14}{12} \times 5 = 10 + 2.5 = 12.5 घंटे — 1 अंक

प्रश्न 9 (3 अंक)

एक बैंक काउंटर पर ग्राहकों के प्रतीक्षा समय (मिनट में) नीचे दिए गए हैं। यदि माध्य प्रतीक्षा समय 26 मिनट है, तो लुप्त बारंबारता xx ज्ञात कीजिए।

प्रतीक्षा समय (मिनट) 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50
ग्राहकों की संख्या 6 8 xx 12 6

उत्तर।

  1. वर्ग चिह्न 5, 15, 25, 35, 45; ∑fi=32+x\sum f_i = 32 + x — 1 अंक
  2. ∑fixi=30+120+25x+420+270=840+25x\sum f_i x_i = 30 + 120 + 25x + 420 + 270 = 840 + 25x — 1 अंक
  3. 840+25x32+x=26\frac{840 + 25x}{32 + x} = 26 से 840+25x=832+26x840 + 25x = 832 + 26x, अतः x=8x = 8 — 1 अंक

प्रश्न 10 (3 अंक)

एक अंतर-विद्यालय प्रश्नोत्तरी में टीमों के अंक (100 में से) नीचे दिए गए हैं। अंकों का बहुलक 52 है। लुप्त बारंबारता xx ज्ञात कीजिए।

अंक 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100
टीमों की संख्या 8 16 xx 20 10

उत्तर।

  1. बहुलक 52, 40-60 में है, अतः यही बहुलक वर्ग है: l=40l = 40, f1=xf_1 = x, f0=16f_0 = 16, f2=20f_2 = 20, h=20h = 20 — 1 अंक
  2. 40+x−162x−36×20=5240 + \frac{x - 16}{2x - 36} \times 20 = 52, अतः x−162x−36×20=12\frac{x - 16}{2x - 36} \times 20 = 12 — 1 अंक
  3. 20x−320=24x−43220x - 320 = 24x - 432, अतः 4x=1124x = 112 और x=28x = 28 — 1 अंक

दीर्घ उत्तरीय और केस आधारित प्रश्न

प्रश्न 11 (5 अंक)

हम्पी में एक विरासत-भ्रमण में शामिल हुए लोगों की आयु (वर्षों में) नीचे दी गई है। माध्य आयु 39 वर्ष है। लुप्त बारंबारता xx ज्ञात कीजिए, और फिर आयु का बहुलक ज्ञात कीजिए।

आयु (वर्ष) 5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 55-65
लोगों की संख्या 4 xx 10 16 12 10

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

लुप्त बारंबारता। वर्ग चिह्न 10, 20, 30, 40, 50 और 60 हैं।

आयु fif_i xix_i fixif_i x_i
5-15 4 10 40
15-25 xx 20 20x20x
25-35 10 30 300
35-45 16 40 640
45-55 12 50 600
55-65 10 60 600
योग 52+x52 + x 2180+20x2180 + 20x

माध्य =2180+20x52+x=39= \frac{2180 + 20x}{52 + x} = 39, अतः 2180+20x=2028+39x2180 + 20x = 2028 + 39x, जिससे 19x=15219x = 152 और x=8x = 8। (अर्थात् भ्रमण में 60 लोग शामिल हुए।)

बहुलक। x=8x = 8 लेने पर सबसे अधिक बारंबारता 16 है, अतः बहुलक वर्ग 35-45 है, जिसमें l=35l = 35, f1=16f_1 = 16, f0=10f_0 = 10, f2=12f_2 = 12, h=10h = 10।

बहुलक =35+16−1032−10−12×10=35+610×10=41= 35 + \frac{16 - 10}{32 - 10 - 12} \times 10 = 35 + \frac{6}{10} \times 10 = 41 वर्ष।

अंक योजना:

  1. वर्ग चिह्न 10, 20, 30, 40, 50, 60; ∑fi=52+x\sum f_i = 52 + x — 1 अंक
  2. ∑fixi=40+20x+300+640+600+600=2180+20x\sum f_i x_i = 40 + 20x + 300 + 640 + 600 + 600 = 2180 + 20x — 1 अंक
  3. 2180+20x52+x=39\frac{2180 + 20x}{52 + x} = 39 से 2180+20x=2028+39x2180 + 20x = 2028 + 39x, अतः 19x=15219x = 152 और x=8x = 8 — 1 अंक
  4. बहुलक वर्ग 35-45: l=35l = 35, f1=16f_1 = 16, f0=10f_0 = 10, f2=12f_2 = 12, h=10h = 10 — 1 अंक
  5. बहुलक =35+16−1032−10−12×10=35+6=41= 35 + \frac{16 - 10}{32 - 10 - 12} \times 10 = 35 + 6 = 41 वर्ष — 1 अंक

प्रश्न 12 (5 अंक)

एक तीरंदाज़ी चयन परीक्षण में 70 खिलाड़ियों के अंक (70 में से) नीचे दिए गए हैं। माध्यक अंक 44 है। लुप्त बारंबारताएँ pp और qq ज्ञात कीजिए।

अंक 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70
खिलाड़ियों की संख्या 4 9 pp 20 qq 7

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

कुल बारंबारता: 4+9+p+20+q+7=704 + 9 + p + 20 + q + 7 = 70, अतः 40+p+q=7040 + p + q = 70 और p+q=30p + q = 30।

माध्यक 44, वर्ग 40-50 में है, अतः 40-50 माध्यक वर्ग है, जिसमें l=40l = 40, h=10h = 10, f=20f = 20, और इससे पहले के वर्गों के लिए cf=4+9+p=13+pcf = 4 + 9 + p = 13 + p। साथ ही n2=35\frac{n}{2} = 35।

माध्यक =l+n2−cff×h= l + \frac{\frac{n}{2} - cf}{f} \times h, अतः 44=40+35−13−p20×10=40+22−p244 = 40 + \frac{35 - 13 - p}{20} \times 10 = 40 + \frac{22 - p}{2}।

तब 22−p2=4\frac{22 - p}{2} = 4, अतः 22−p=822 - p = 8 और p=14p = 14। p+q=30p + q = 30 से q=16q = 16।

जाँच: संचयी बारंबारताएँ 4, 13, 27, 47, … हैं, और 35, 27 और 47 के बीच है, अतः 40-50 सचमुच माध्यक वर्ग है।

अंक योजना:

  1. 4+9+p+20+q+7=704 + 9 + p + 20 + q + 7 = 70, अतः p+q=30p + q = 30 — 1 अंक
  2. माध्यक 44, 40-50 में है: l=40l = 40, f=20f = 20, cf=13+pcf = 13 + p, h=10h = 10, n2=35\frac{n}{2} = 35 — 1 अंक
  3. 44=40+35−(13+p)20×1044 = 40 + \frac{35 - (13 + p)}{20} \times 10 — 1 अंक
  4. 4=22−p24 = \frac{22 - p}{2}, अतः 22−p=822 - p = 8 और p=14p = 14 — 1 अंक
  5. q=30−14=16q = 30 - 14 = 16 — 1 अंक

प्रश्न 13 (5 अंक)

देहरादून की एक नर्सरी में 80 पौधों की ऊँचाइयाँ (cm में) नीचे दी गई हैं। पग-विचलन विधि से माध्य ऊँचाई ज्ञात कीजिए, और माध्यक ऊँचाई भी ज्ञात कीजिए।

ऊँचाई (cm) 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55
पौधों की संख्या 4 22 20 17 10 7

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

माध्य। a=37.5a = 37.5 और h=5h = 5 लीजिए, अतः ui=xi−37.55u_i = \frac{x_i - 37.5}{5}।

ऊँचाई (cm) fif_i xix_i uiu_i fiuif_i u_i cf
25-30 4 27.5 −2-2 −8-8 4
30-35 22 32.5 −1-1 −22-22 26
35-40 20 37.5 0 0 46
40-45 17 42.5 1 17 63
45-50 10 47.5 2 20 73
50-55 7 52.5 3 21 80
योग 80 28

माध्य =37.5+2880×5=37.5+1.75=39.25= 37.5 + \frac{28}{80} \times 5 = 37.5 + 1.75 = 39.25 cm।

माध्यक। n2=40\frac{n}{2} = 40। 40 से बड़ी पहली संचयी बारंबारता 46 है, अतः माध्यक वर्ग 35-40 है, जिसमें l=35l = 35, cf=26cf = 26, f=20f = 20, h=5h = 5।

माध्यक =35+40−2620×5=35+3.5=38.5= 35 + \frac{40 - 26}{20} \times 5 = 35 + 3.5 = 38.5 cm।

अंक योजना:

  1. a=37.5a = 37.5, h=5h = 5, ui=−2,−1,0,1,2,3u_i = -2, -1, 0, 1, 2, 3; ∑fiui=−8−22+0+17+20+21=28\sum f_i u_i = -8 - 22 + 0 + 17 + 20 + 21 = 28 — 1 अंक
  2. माध्य =37.5+2880×5=37.5+1.75=39.25= 37.5 + \frac{28}{80} \times 5 = 37.5 + 1.75 = 39.25 cm — 1 अंक
  3. संचयी बारंबारताएँ: 4, 26, 46, 63, 73, 80; n2=40\frac{n}{2} = 40 — 1 अंक
  4. माध्यक वर्ग 35-40: l=35l = 35, cf=26cf = 26, f=20f = 20, h=5h = 5 — 1 अंक
  5. माध्यक =35+40−2620×5=35+3.5=38.5= 35 + \frac{40 - 26}{20} \times 5 = 35 + 3.5 = 38.5 cm — 1 अंक

प्रश्न 14 (4 अंक)

गुवाहाटी के एक फ़िटनेस सेंटर ने अपने 60 सदस्यों में से प्रत्येक द्वारा एक मिनट में किए गए पुश-अप की संख्या दर्ज की।

पुश-अप की संख्या 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50
सदस्यों की संख्या 6 18 15 12 9

(i) बहुलक वर्ग लिखिए। (1 अंक)

उत्तर।

  1. 10-20, सबसे अधिक बारंबारता (18) वाला वर्ग — 1 अंक

(ii) कितने सदस्यों ने एक मिनट में 30 या अधिक पुश-अप किए? (1 अंक)

उत्तर।

  1. 12+9=2112 + 9 = 21 सदस्य — 1 अंक

(iii) पुश-अप की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

  1. ∑fixi=30+270+375+420+405=1500\sum f_i x_i = 30 + 270 + 375 + 420 + 405 = 1500 — 1 अंक
  2. माध्य =150060=25= \frac{1500}{60} = 25 — 1 अंक

अथवा

(iii) आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

  1. बहुलक वर्ग 10-20: l=10l = 10, f1=18f_1 = 18, f0=6f_0 = 6, f2=15f_2 = 15, h=10h = 10 — 1 अंक
  2. बहुलक =10+18−636−6−15×10=10+8=18= 10 + \frac{18 - 6}{36 - 6 - 15} \times 10 = 10 + 8 = 18 — 1 अंक