वृत्त

वृत्त

वृत्त अध्याय बोर्ड प्रश्न पत्र में 7 अंक का होता है। 2026-27 के सैंपल पेपर में और 2025 तथा 2026 के दोनों बोर्ड प्रश्न पत्रों में इसे ठीक 7 अंक मिले।

ये अंक प्रायः एक या दो 1 अंक के बहुविकल्पीय प्रश्नों (स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण, पाइथागोरस से स्पर्श रेखा की लंबाई), 2 अंक के एक प्रश्न, और 3 अंक की एक उपपत्ति से आते हैं: दोनों में से कोई एक प्रमेय, वृत्त के परिगत चतुर्भुज या समांतर चतुर्भुज, या समांतर स्पर्श रेखाओं के साथ $\angle POQ = 90^\circ$। सैंपल पेपर में एक उद्यान पर स्पर्श रेखाओं का केस आधारित प्रश्न था, और फ़रवरी 2026 के प्रश्न पत्र में 1 + 1 + 1 + 2 में बँटा 5 अंक का प्रश्न आया।

अंक प्रायः यहाँ कटते हैं:

• जिस चरण में "त्रिज्या $\perp$ स्पर्श रेखा" या "बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाएँ बराबर" का प्रयोग हो, वहाँ कारण न लिखना;
• प्रमेय की उपपत्ति में आकृति, "दिया है", "सिद्ध करना है" और "रचना" न लिखना;
• $\angle APB$ (बाह्य बिंदु पर) और $\angle AOB$ (केंद्र पर) में भ्रम;
• ऐसे त्रिभुज में पाइथागोरस लगाना जिसका समकोण सिद्ध न किया गया हो।

5 मिनट में दोहराएँ

मूल बातें

• स्पर्श रेखा वृत्त को ठीक एक बिंदु पर मिलती है; छेदक रेखा दो बिंदुओं पर।
• वृत्त के अंदर / पर / बाहर के बिंदु से स्पर्श रेखाएँ: 0 / 1 / 2।

दो प्रमेय (उपपत्ति पूछी जाती है)

इनसे मिलने वाले परिणाम ($P$ से स्पर्श रेखाएँ $PA$, $PB$, केंद्र $O$, त्रिज्या $r$)

• $PA^2 = OP^2 - r^2$
• $OP$, $\angle APB$ और $\angle AOB$ को समद्विभाजित करता है, और $OP$, $AB$ का लंब समद्विभाजक है।
• $\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$
• स्पर्श रेखाओं $TP$, $TQ$ के लिए $\angle PTQ = 2\angle OPQ$।
• व्यास के सिरों पर स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं, जिनके बीच की दूरी व्यास है।
• संकेंद्रीय वृत्त: बड़े वृत्त की जीवा जो छोटे वृत्त को स्पर्श करे, स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित होती है; आधी जीवा $= \sqrt{R^2 - r^2}$।
• वृत्त के परिगत चतुर्भुज $ABCD$: $AB + CD = AD + BC$; सम्मुख भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
• वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।
• समांतर स्पर्श रेखाएँ $XY$, $X'Y'$ और तीसरी स्पर्श रेखा उन्हें $A$ और $B$ पर काटे: $\angle AOB = 90^\circ$।
• $C$ पर तीसरी स्पर्श रेखा $PA$, $PB$ को $X$, $Y$ पर मिले: $\triangle PXY$ का परिमाप $= 2PA$।
• $\triangle ABC$ का अंतःवृत्त ($BC$, $CA$, $AB$ को $D$, $E$, $F$ पर स्पर्श): $AF = AE = s - BC$, जहाँ $s$ अर्धपरिमाप है; भुजाओं $a$, $b$ और कर्ण $c$ वाले समकोण त्रिभुज में $r = \frac{a + b - c}{2}$।
• कोण वाले प्रश्न: व्यास के सिरे पर स्पर्श रेखा व्यास पर $\perp$ होती है, और अर्धवृत्त का कोण $90^\circ$ होता है।

सावधानियाँ

• स्पर्श बिंदु पर $90^\circ$ का हर प्रयोग कारण सहित लिखिए।
• कर्ण $OP$ है, स्पर्श रेखा नहीं।
• प्रमेय की उपपत्ति में आकृति सहित दिया है, सिद्ध करना है, रचना और उपपत्ति लिखिए।

इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: हर प्रश्न पहले कॉपी पर हल कीजिए, फिर उत्तर पढ़िए। हर चरण के सामने लिखे अंक बताते हैं कि परीक्षक क्या देखता है। 1 अंक वाले बहुविकल्पीय और अभिकथन-तर्क प्रश्न अंत की क्विज़ में हैं, साथ में ऐसे प्रश्न भी जो जाँचते हैं कि आपने अध्याय कितनी गहराई से समझा है; क्विज़ के हर उत्तर के साथ उसकी व्याख्या दी गई है।

लघु उत्तरीय प्रश्न (2 और 3 अंक)

प्रश्न 1 (2 अंक)

सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

माना $AB$ केंद्र $O$ वाले वृत्त का एक व्यास है। माना $PQ$, $A$ पर और $RS$, $B$ पर स्पर्श रेखा है, और $P$ तथा $S$, $AB$ के विपरीत ओर हैं।

किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है। अतः $OA \perp PQ$ और $OB \perp RS$, जिससे $\angle PAB = 90^\circ$ और $\angle ABS = 90^\circ$।

$\angle PAB$ और $\angle ABS$, तिर्यक रेखा $AB$ द्वारा रेखाओं $PQ$ और $RS$ के साथ बने एकांतर कोण हैं, और बराबर हैं। अतः $PQ \parallel RS$।

अंक योजना:

1. माना $AB$ केंद्र $O$ वाला व्यास है, और $PQ$, $RS$ क्रमशः $A$ और $B$ पर स्पर्श रेखाएँ हैं; त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है, अतः $\angle OAP = 90^\circ$ और $\angle OBS = 90^\circ$ — 1 अंक
2. अतः $\angle PAB = \angle ABS = 90^\circ$; ये तिर्यक रेखा $AB$ द्वारा बने एकांतर कोण हैं, अतः $PQ \parallel RS$ — 1 अंक

प्रश्न 2 (2 अंक)

भोपाल के एक पार्क में एक वृत्ताकार तालाब की त्रिज्या 9 m है। अनु तालाब के केंद्र से 15 m दूर एक बिंदु $P$ पर खड़ी है। वह एक सीधे रास्ते पर चलती है जो तालाब के किनारे को ठीक $T$ पर स्पर्श करता है। $T$ तक पहुँचने के लिए वह कितनी दूरी चलती है?

उत्तर।

1. $PT$ एक स्पर्श रेखा है, अतः $OT \perp PT$ और $\triangle OTP$ का कोण $T$ समकोण है — 1 अंक
2. $PT = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{144} = 12$ m — 1 अंक

प्रश्न 3 (2 अंक)

आकृति में, $TP$ बिंदु $T$ से केंद्र $M$ और 12 cm त्रिज्या वाले वृत्त पर स्पर्श रेखा है, जो इसे $P$ पर स्पर्श करती है, और $TP = 16$ cm है। वही रेखा $TP$ केंद्र $N$ और 3 cm त्रिज्या वाले एक छोटे वृत्त को $A$ पर स्पर्श करती है, जहाँ $N$, $TM$ पर स्थित है। $TA$ और $AP$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $MP \perp TP$ और $NA \perp TP$ (त्रिज्या और स्पर्श रेखा), तथा $\angle T$ उभयनिष्ठ है, अतः $\triangle TAN \sim \triangle TPM$ (AA) — 1 अंक
2. $\frac{TA}{TP} = \frac{NA}{MP}$, अतः $TA = 16 \times \frac{3}{12} = 4$ cm और $AP = 16 - 4 = 12$ cm — 1 अंक

प्रश्न 4 (2 अंक)

एक चतुर्भुज $ABCD$ एक वृत्त के परिगत खींचा गया है। इसकी भुजाएँ $AB$, $BC$, $CD$ और $DA$ वृत्त को क्रमशः $P$, $Q$, $R$ और $S$ पर स्पर्श करती हैं। सिद्ध कीजिए कि $AB + CD = AD + BC$।

उत्तर।

1. बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं: $AP = AS$, $BP = BQ$, $CR = CQ$, $DR = DS$ — 1 अंक
2. जोड़ने पर: $(AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)$, अर्थात् $AB + CD = AD + BC$ — 1 अंक

प्रश्न 5 (2 अंक)

एक बाह्य बिंदु $P$ से केंद्र $O$ वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ इस प्रकार खींची गई हैं कि $\angle APB = 120^\circ$ है। सिद्ध कीजिए कि $OP = 2AP$।

उत्तर।

1. $OP$, $\angle APB$ को समद्विभाजित करता है, अतः $\angle APO = 60^\circ$; और $\angle OAP = 90^\circ$ (त्रिज्या और स्पर्श रेखा) — 1 अंक
2. समकोण $\triangle OAP$ में: $\cos 60^\circ = \frac{AP}{OP}$, अतः $\frac{1}{2} = \frac{AP}{OP}$ और $OP = 2AP$ — 1 अंक

प्रश्न 6 (3 अंक)

सिद्ध कीजिए कि वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

दिया है: केंद्र $O$ वाला एक वृत्त और बिंदु $P$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा $XY$।

सिद्ध करना है: $OP \perp XY$।

रचना: $XY$ पर $P$ के अलावा कोई बिंदु $Q$ लीजिए और $OQ$ मिलाइए।

उपपत्ति: स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु $P$ पर मिलती है। अतः $Q$ वृत्त के बाहर है। माना $OQ$ वृत्त को $R$ पर काटता है। तब $OQ = OR + RQ$, अतः $OQ > OR$।

परंतु $OR = OP$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ), अतः $OQ > OP$।

यह $XY$ पर $P$ के अलावा हर बिंदु $Q$ के लिए सत्य है। अतः $O$ को $XY$ के बिंदुओं से मिलाने वाले सभी रेखाखंडों में $OP$ सबसे छोटा है।

किसी बिंदु से रेखा तक का सबसे छोटा रेखाखंड उस रेखा पर लंब होता है। अतः $OP \perp XY$।

अंक योजना:

1. दिया है: केंद्र $O$ वाला वृत्त, $P$ पर स्पर्श रेखा $XY$। सिद्ध करना है: $OP \perp XY$। $XY$ पर $P$ के अलावा कोई बिंदु $Q$ लेकर $OQ$ मिलाइए — 1 अंक
2. $Q$ वृत्त के बाहर है (स्पर्श रेखा वृत्त को केवल $P$ पर मिलती है), अतः यदि $OQ$ वृत्त को $R$ पर काटे, तो $OQ > OR = OP$ — 1 अंक
3. अतः $O$ से $XY$ के बिंदुओं तक के सभी रेखाखंडों में $OP$ सबसे छोटा है; किसी बिंदु से रेखा तक का सबसे छोटा रेखाखंड लंब होता है, अतः $OP \perp XY$ — 1 अंक

प्रश्न 7 (3 अंक)

आकृति में, $TP$ और $TQ$ एक बाह्य बिंदु $T$ से केंद्र $O$ वाले वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ हैं। सिद्ध कीजिए कि $\angle PTQ = 2\angle OPQ$।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

माना $\angle PTQ = \theta$।

$TP = TQ$, क्योंकि बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। अतः $\triangle TPQ$ समद्विबाहु है, और $\angle TPQ = \angle TQP = \frac{180^\circ - \theta}{2} = 90^\circ - \frac{\theta}{2}$।

स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है, अतः $\angle OPT = 90^\circ$।

$\angle OPQ = \angle OPT - \angle TPQ = 90^\circ - \left(90^\circ - \frac{\theta}{2}\right) = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2}\angle PTQ$।

अतः $\angle PTQ = 2\angle OPQ$।

अंक योजना:

1. माना $\angle PTQ = \theta$; $TP = TQ$ ($T$ से स्पर्श रेखाएँ), अतः $\angle TPQ = \angle TQP = \frac{180^\circ - \theta}{2} = 90^\circ - \frac{\theta}{2}$ — 1 अंक
2. $\angle OPT = 90^\circ$ (त्रिज्या और स्पर्श रेखा), अतः $\angle OPQ = 90^\circ - \angle TPQ$ — 1 अंक
3. $\angle OPQ = 90^\circ - (90^\circ - \frac{\theta}{2}) = \frac{\theta}{2}$, अतः $\angle PTQ = 2\angle OPQ$ — 1 अंक

प्रश्न 8 (3 अंक)

आकृति में, $XY$ और $X'Y'$ केंद्र $O$ वाले वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं। स्पर्श बिंदु $C$ वाली एक अन्य स्पर्श रेखा $AB$, $XY$ को $A$ पर और $X'Y'$ को $B$ पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि $\angle AOB = 90^\circ$।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

माना $XY$ वृत्त को $P$ पर और $X'Y'$ इसे $Q$ पर स्पर्श करती है। $OP$, $OC$, $OQ$, $OA$ और $OB$ मिलाइए।

समकोण त्रिभुजों $OPA$ और $OCA$ में: $OP = OC$ (त्रिज्याएँ), $OA$ उभयनिष्ठ है और $\angle OPA = \angle OCA = 90^\circ$ (त्रिज्या $\perp$ स्पर्श रेखा)। अतः $\triangle OPA \cong \triangle OCA$ (RHS), और $\angle OAP = \angle OAC$। अतः $\angle OAB = \frac{1}{2}\angle PAB$।

इसी प्रकार $\triangle OQB \cong \triangle OCB$, अतः $\angle OBA = \frac{1}{2}\angle QBA$।

$XY \parallel X'Y'$ और $AB$ एक तिर्यक रेखा है, अतः $\angle PAB + \angle QBA = 180^\circ$ (एक ही ओर के अंतः कोण)।

अतः $\angle OAB + \angle OBA = \frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ$, और $\triangle AOB$ में $\angle AOB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$।

अंक योजना:

1. माना $XY$ वृत्त को $P$ पर और $X'Y'$ को $Q$ पर स्पर्श करती है। $\triangle OPA \cong \triangle OCA$ (RHS: $OP = OC$, $OA$ उभयनिष्ठ), अतः $\angle OAP = \angle OAC$, अर्थात् $\angle OAB = \frac{1}{2}\angle PAB$ — 1 अंक
2. इसी प्रकार $\angle OBA = \frac{1}{2}\angle QBA$; क्योंकि $XY \parallel X'Y'$, $\angle PAB + \angle QBA = 180^\circ$ (एक ही ओर के अंतः कोण) — 1 अंक
3. अतः $\angle OAB + \angle OBA = 90^\circ$, और $\triangle AOB$ में $\angle AOB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ — 1 अंक

प्रश्न 9 (3 अंक)

सिद्ध कीजिए कि दो संकेंद्रीय वृत्तों में, बड़े वृत्त की वह जीवा जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित होती है। इसकी सहायता से ऐसी जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए, यदि वृत्तों की त्रिज्याएँ 10 cm और 6 cm हैं।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

माना दो वृत्तों का केंद्र $O$ एक ही है, और बड़े वृत्त की जीवा $AB$ छोटे वृत्त को $P$ पर स्पर्श करती है। $OP$ मिलाइए।

$AB$, छोटे वृत्त की $P$ पर स्पर्श रेखा है, अतः $OP \perp AB$।

बड़े वृत्त के लिए $AB$ एक जीवा है और $OP$ केंद्र से जीवा पर लंब है। केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, अतः $AP = PB$। (या: RHS से $\triangle OPA \cong \triangle OPB$, क्योंकि $OA = OB$, $OP$ उभयनिष्ठ है और $\angle OPA = \angle OPB = 90^\circ$।)

त्रिज्याएँ 10 cm और 6 cm हों तो: समकोण $\triangle OPA$ में $AP = \sqrt{OA^2 - OP^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$ cm। अतः $AB = 2 \times 8 = 16$ cm।

अंक योजना:

1. माना $AB$ छोटे वृत्त को $P$ पर स्पर्श करती है; $OP \perp AB$ (त्रिज्या और स्पर्श रेखा) — 1 अंक
2. $AB$ बड़े वृत्त की जीवा है और $OP$ केंद्र से उस पर लंब है, अतः $AP = PB$ — 1 अंक
3. $AP = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ cm, अतः $AB = 16$ cm — 1 अंक

दीर्घ उत्तरीय और केस आधारित प्रश्न

प्रश्न 10 (5 अंक)

आकृति में, $PA$ और $PB$ एक बाह्य बिंदु $P$ से केंद्र $O$ वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं, और जीवा $AB$, $OP$ को $M$ पर मिलती है।

(i) सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं, अर्थात् $PA = PB$। (3 अंक)

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

दिया है: $PA$ और $PB$, बिंदु $P$ से केंद्र $O$ वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं, जो इसे $A$ और $B$ पर स्पर्श करती हैं।

सिद्ध करना है: $PA = PB$।

रचना: $OA$, $OB$ और $OP$ मिलाइए।

उपपत्ति: किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है, अतः $\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$।

समकोण त्रिभुजों $OAP$ और $OBP$ में: $OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ) और कर्ण $OP$ उभयनिष्ठ है।

अतः RHS सर्वांगसमता से $\triangle OAP \cong \triangle OBP$। अतः $PA = PB$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)।

अंक योजना:

1. $OA$, $OB$ और $OP$ मिलाइए; $\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$ (त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है) — 1 अंक
2. $\triangle OAP$ और $\triangle OBP$ में: $OA = OB$ (त्रिज्याएँ), $OP$ उभयनिष्ठ — 1 अंक
3. $\triangle OAP \cong \triangle OBP$ (RHS), अतः $PA = PB$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) — 1 अंक

(ii) इसकी सहायता से सिद्ध कीजिए कि $OP$, जीवा $AB$ का लंब समद्विभाजक है। (2 अंक)

उत्तर।

1. (i) से $\angle APO = \angle BPO$; $\triangle PAM$ और $\triangle PBM$ में: $PA = PB$, $\angle APM = \angle BPM$, $PM$ उभयनिष्ठ, अतः $\triangle PAM \cong \triangle PBM$ (SAS) — 1 अंक
2. अतः $AM = BM$ और $\angle AMP = \angle BMP$; इनका योग $180^\circ$ है, अतः प्रत्येक $90^\circ$ है; अतः $OP$, $AB$ का लंब समद्विभाजक है — 1 अंक

प्रश्न 11 (5 अंक)

आकृति में, केंद्र $O$ वाला एक वृत्त $\triangle ABC$ में अंतर्निहित है। यह $BC$, $CA$ और $AB$ को क्रमशः $D$, $E$ और $F$ पर स्पर्श करता है।

(i) सिद्ध कीजिए कि $OB$, $\angle ABC$ को समद्विभाजित करता है। (2 अंक)

उत्तर।

1. $\angle OFB = \angle ODB = 90^\circ$ (त्रिज्या $\perp$ स्पर्श रेखा); $\triangle OFB$ और $\triangle ODB$ में: $OF = OD$ (त्रिज्याएँ), $OB$ उभयनिष्ठ — 1 अंक
2. $\triangle OFB \cong \triangle ODB$ (RHS), अतः $\angle OBF = \angle OBD$; अतः $OB$, $\angle ABC$ को समद्विभाजित करता है — 1 अंक

(ii) इसकी सहायता से सिद्ध कीजिए कि $\angle BOC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A$। (2 अंक)

उत्तर।

1. इसी प्रकार $OC$, $\angle ACB$ को समद्विभाजित करता है; अतः $\triangle BOC$ में $\angle BOC = 180^\circ - \frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle C$ — 1 अंक
2. $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A$, अतः $\angle BOC = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle A) = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A$ — 1 अंक

(iii) यदि $\angle A = 70^\circ$ है, तो $\angle BOC$ ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $\angle BOC = 90^\circ + 35^\circ = 125^\circ$ — 1 अंक

प्रश्न 12 (4 अंक)

मैसूरु के एक विद्यालय में समकोण त्रिभुज $ABC$ के आकार का एक बगीचा है, जिसमें $\angle B = 90^\circ$, $AB = 20$ m, $BC = 21$ m और $AC = 29$ m है। केंद्र $O$ और त्रिज्या $r$ वाली एक वृत्ताकार क्यारी इस प्रकार बनाई गई है कि वह तीनों भुजाओं को स्पर्श करती है: $AB$ को $F$ पर, $BC$ को $D$ पर और $CA$ को $E$ पर, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।

(i) $AF$ और $CD$ के बराबर स्पर्श रेखाखंडों के नाम कारण सहित लिखिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $AF = AE$ और $CD = CE$, क्योंकि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं — 1 अंक

(ii) दिखाइए कि $BF = BD = r$, और $AF$ तथा $CD$ को $r$ के पदों में लिखिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $OFBD$ में तीन समकोण हैं ($\angle B$ और त्रिज्या-स्पर्श रेखा वाले दो कोण) और $OF = OD = r$, अतः यह वर्ग है: $BF = BD = r$; $AF = 20 - r$, $CD = 21 - r$ — 1 अंक

(iii) $AC = 29$ m का प्रयोग करके क्यारी की त्रिज्या $r$ ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $AC = AE + EC = AF + CD = (20 - r) + (21 - r)$ — 1 अंक
2. $41 - 2r = 29$, अतः $r = 6$ m — 1 अंक

अथवा

(iii) $r = 6$ m लेकर बगीचे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और जाँचिए कि यह $\frac{1}{2} \times r \times$ ($\triangle ABC$ का परिमाप) के बराबर है। (2 अंक)

उत्तर।

1. क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 20 \times 21 = 210$ m$^2$ — 1 अंक
2. $\frac{1}{2} \times 6 \times (20 + 21 + 29) = 3 \times 70 = 210$ m$^2$; दोनों बराबर हैं ($\triangle OAB$ + $\triangle OBC$ + $\triangle OCA$ का क्षेत्रफल) — 1 अंक

प्रश्न 13 (4 अंक)

नील का परिवार 60 cm त्रिज्या वाली एक गोल मेज़ को अपने कमरे के एक कोने $P$ में सरका देता है, जहाँ दो दीवारें समकोण पर मिलती हैं। मेज़ का ऊपरी भाग दोनों दीवारों को $A$ और $B$ पर स्पर्श करता है। आकृति में ऊपर से देखा गया दृश्य दिखाया गया है, जिसमें $O$ मेज़ के ऊपरी भाग का केंद्र है।

(i) $OAPB$ किस प्रकार का चतुर्भुज है? कारण दीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. वर्ग: $\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$ (त्रिज्या और स्पर्श रेखा), $\angle APB = 90^\circ$, अतः सभी कोण समकोण हैं, और $OA = OB$ (त्रिज्याएँ) — 1 अंक

(ii) कोने से उस बिंदु तक की दूरी $PA$ ज्ञात कीजिए, जहाँ मेज़ दीवार को छूती है। (1 अंक)

उत्तर।

1. $OAPB$ एक वर्ग है, अतः $PA = OB = 60$ cm — 1 अंक

(iii) कोना $P$ मेज़ के किनारे के निकटतम बिंदु से कितनी दूर है? ($\sqrt{2} = 1.41$ लीजिए) (2 अंक)

उत्तर।

1. $OP$ वर्ग का विकर्ण है: $OP = 60\sqrt{2} = 84.6$ cm — 1 अंक
2. किनारे का निकटतम बिंदु $OP$ पर है, अतः दूरी $= 84.6 - 60 = 24.6$ cm — 1 अंक

अथवा

(iii) रेखाखंड $AB$ की लंबाई और $AB$ से $O$ की दूरी ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{2} = 1.41$ लीजिए) (2 अंक)

उत्तर।

1. $AB$, वर्ग $OAPB$ का विकर्ण है: $AB = 60\sqrt{2} = 84.6$ cm — 1 अंक
2. वर्ग के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, अतः $AB$ से $O$ की दूरी $OP$ की आधी है: $30\sqrt{2} = 42.3$ cm — 1 अंक