वास्तविक संख्याएँ

वास्तविक संख्याएँ

वास्तविक संख्याएँ अध्याय बोर्ड प्रश्न पत्र में 6 अंक का होता है। 2026-27 के सैंपल पेपर में और 2025 तथा 2026 के दोनों बोर्ड प्रश्न पत्रों में इसे ठीक 6 अंक मिले।

ये अंक प्रायः एक से तीन 1 अंक के बहुविकल्पीय या अभिकथन-तर्क प्रश्नों, किसी संख्या को अपरिमेय सिद्ध करने वाले 2 या 3 अंक के प्रश्न, और अक्सर HCF-LCM के एक शाब्दिक प्रश्न से आते हैं। इस अध्याय से 5 अंक का प्रश्न नहीं आया है, इसलिए यहाँ के केस आधारित प्रश्न शाब्दिक प्रश्नों का बोर्ड प्रारूप में अभ्यास कराते हैं।

अंक प्रायः यहाँ कटते हैं:

• तीन संख्याओं के लिए HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल लगा देना (यह केवल दो संख्याओं के लिए सही है);
• अपरिमेयता की उपपत्ति में यह न लिखना कि a और b सहअभाज्य हैं, या अंत में विरोधाभास स्पष्ट न लिखना;
• जहाँ LCM चाहिए वहाँ HCF ले लेना, या इसका उल्टा;
• कोई अभाज्य गुणनखंड छोड़ देना, जैसे 10 में छिपा हुआ अतिरिक्त 2।

5 मिनट में दोहराएँ

मुख्य तथ्य

• अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं, 1 और वह स्वयं। 1 न अभाज्य है, न भाज्य।
• अंकगणित की आधारभूत प्रमेय: प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही प्रकार से लिखा जा सकता है, गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर।
• परिमेय: $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखी जा सकती है ($p$, $q$ पूर्णांक, $q \neq 0$)। अपरिमेय: नहीं लिखी जा सकती।
• यदि अभाज्य संख्या $p$, $a^2$ को विभाजित करती है, तो $p$, $a$ को भी विभाजित करती है।
• प्रत्येक अभाज्य संख्या $p$ के लिए $\sqrt{p}$ अपरिमेय है: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, …
• परिमेय + अपरिमेय = अपरिमेय; शून्येतर परिमेय × अपरिमेय = अपरिमेय।

अभाज्य गुणनखंडन द्वारा महत्तम समापवर्तक (HCF) और लघुतम समापवर्त्य (LCM)

• केवल दो संख्याओं के लिए: HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल ($6 \times 36 = 216 = 12 \times 18$)। तीन संख्याओं के लिए यह सही नहीं है।
• HCF सदैव LCM को विभाजित करता है।
• सहअभाज्य संख्याएँ: HCF $= 1$ और LCM = संख्याओं का गुणनफल।
• शेषफल वाले प्रश्न: दी गई संख्याओं को विभाजित करके दिए गए शेषफल छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या के लिए, पहले शेषफल घटाइए, फिर HCF लीजिए। कई संख्याओं से भाग देने पर समान शेषफल छोड़ने वाली सबसे छोटी (या 4 अंकों की सबसे बड़ी) संख्या के लिए, उनके LCM का गुणज लेकर शेषफल जोड़िए।
• शाब्दिक प्रश्न: "सबसे बड़ा / अधिकतम समान माप" हो तो HCF; "सबसे छोटा / अगली बार एक साथ / पहली बार फिर से" हो तो LCM।

अंतिम अंक 0? तभी, जब अभाज्य गुणनखंडन में 2 और 5 दोनों हों। इसलिए $6^n = 2^n \times 3^n$ का अंतिम अंक कभी 0 नहीं होता।

$\sqrt{p}$ ($p$ अभाज्य) की उपपत्ति का ढाँचा

1. माना $\sqrt{p} = \frac{a}{b}$, जहाँ $a$ और $b$ सहअभाज्य हैं और $b \neq 0$।
2. वर्ग करें: $a^2 = pb^2$, अतः $p$, $a$ को विभाजित करता है। $a = pc$ रखें।
3. तब $b^2 = pc^2$, अतः $p$, $b$ को भी विभाजित करता है।
4. $p$, $a$ और $b$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड है। यह विरोधाभास है, अतः $\sqrt{p}$ अपरिमेय है।

$m + n\sqrt{p}$ के लिए ($m$, $n$ परिमेय, $n \neq 0$): मानें कि यह किसी परिमेय $r$ के बराबर है; तब $\sqrt{p} = \frac{r - m}{n}$ परिमेय होगा, जो विरोधाभास है।

सावधानियाँ

• तीन संख्याओं के लिए HCF × LCM = गुणनफल लगा देना।
• HCF में सबसे बड़ी घातें, या LCM में सबसे छोटी घातें ले लेना।
• चरण 1 में "सहअभाज्य" या अंत में विरोधाभास न लिखना: दोनों पर अंक मिलते हैं।
• दो अपरिमेय संख्याओं का योग या गुणनफल परिमेय भी हो सकता है: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ और $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$।

इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: हर प्रश्न पहले कॉपी पर हल कीजिए, फिर उत्तर पढ़िए। हर चरण के सामने लिखे अंक बताते हैं कि परीक्षक क्या देखता है। 1 अंक वाले बहुविकल्पीय और अभिकथन-तर्क प्रश्न अंत की क्विज़ में हैं, साथ में ऐसे प्रश्न भी जो जाँचते हैं कि आपने अध्याय कितनी गहराई से समझा है; क्विज़ के हर उत्तर के साथ उसकी व्याख्या दी गई है।

लघु उत्तरीय प्रश्न (2 और 3 अंक)

प्रश्न 1 (2 अंक)

दिया गया है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{2 + \sqrt{5}}{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

इसके विपरीत, मान लीजिए कि $\frac{2 + \sqrt{5}}{3}$ परिमेय है। तब किसी परिमेय संख्या $r$ के लिए $\frac{2 + \sqrt{5}}{3} = r$।

दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर $2 + \sqrt{5} = 3r$, अतः $\sqrt{5} = 3r - 2$।

$r$ परिमेय है, इसलिए $3r - 2$ भी परिमेय है। इससे $\sqrt{5}$ परिमेय हो जाएगा। परंतु दिया गया है कि $\sqrt{5}$ अपरिमेय है। यह विरोधाभास दिखाता है कि हमारी कल्पना गलत थी।

अतः $\frac{2 + \sqrt{5}}{3}$ अपरिमेय है।

अंक योजना:

1. माना $\frac{2 + \sqrt{5}}{3} = r$, जहाँ $r$ परिमेय है; तब $\sqrt{5} = 3r - 2$ — 1 अंक
2. $3r - 2$ परिमेय है परंतु $\sqrt{5}$ अपरिमेय है, यह विरोधाभास है; अतः $\frac{2 + \sqrt{5}}{3}$ अपरिमेय है — 1 अंक

प्रश्न 2 (2 अंक)

कारण सहित बताइए कि निम्नलिखित में से प्रत्येक परिमेय है या अपरिमेय: (i) $(\sqrt{7} + 2)^2 - 4\sqrt{7}$ (ii) $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} + \sqrt{3}$

उत्तर।

1. (i) $(\sqrt{7} + 2)^2 - 4\sqrt{7} = 7 + 4\sqrt{7} + 4 - 4\sqrt{7} = 11$, जो परिमेय है — 1 अंक
2. (ii) $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} + \sqrt{3} = \sqrt{9} + \sqrt{3} = 3 + \sqrt{3}$; परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग अपरिमेय होता है, अतः यह अपरिमेय है — 1 अंक

प्रश्न 3 (2 अंक)

रिया ने ज्ञात किया कि 8, 12 और 20 का HCF 4 है और उनका LCM 120 है। फिर उसने लिखा $8 \times 12 \times 20 = 4 \times 120 = 480$। क्या वह सही है? कारण दीजिए।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

नहीं, रिया सही नहीं है।

उसके HCF और LCM सही हैं: $8 = 2^3$, $12 = 2^2 \times 3$ और $20 = 2^2 \times 5$, अतः HCF $= 2^2 = 4$ और LCM $= 2^3 \times 3 \times 5 = 120$। परंतु $8 \times 12 \times 20 = 1920$, जबकि $4 \times 120 = 480$।

नियम HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल केवल दो संख्याओं के लिए लागू होता है। हर अभाज्य संख्या के लिए HCF में सबसे छोटी घात और LCM में सबसे बड़ी घात ली जाती है। दो संख्याओं में ये ठीक वही दो घातें होती हैं जो संख्याओं में हैं, इसलिए गुणनफल बराबर आता है। तीन संख्याओं में बीच वाली घात छूट जाती है। यहाँ अभाज्य संख्या 2 की घातें $2^3$, $2^2$ और $2^2$ हैं, यानी गुणनफल में $2^7$, परंतु HCF × LCM में केवल $2^2 \times 2^3$, अर्थात् $2^5$ है।

अंक योजना:

1. उसके HCF और LCM सही हैं, परंतु $8 \times 12 \times 20 = 1920$ जबकि $4 \times 120 = 480$; अतः वह गलत है — 1 अंक
2. HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल केवल दो संख्याओं के लिए सत्य है; तीन संख्याओं में किसी अभाज्य की बीच वाली घात छूट जाती है (यहाँ $2^7$ के स्थान पर $2^2 \times 2^3$) — 1 अंक

प्रश्न 4 (2 अंक)

दो प्राकृत संख्याओं का, जिनमें से प्रत्येक 1 से बड़ी है, HCF 1 है और LCM 391 है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

HCF 1 है, इसलिए दोनों संख्याएँ सहअभाज्य हैं। किन्हीं दो संख्याओं के लिए HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल, अतः उनका गुणनफल $1 \times 391 = 391$ है।

अब 391 को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखिए: $391 = 17 \times 23$, और 17 तथा 23 दोनों अभाज्य हैं। अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार 391 के अभाज्य गुणनखंड केवल यही हैं। प्रत्येक संख्या 1 से बड़ी है, इसलिए एक संख्या 17 और दूसरी 23 होगी।

जाँच: 17 और 23 का HCF 1 है और उनका LCM $17 \times 23 = 391$ है।

अंक योजना:

1. HCF $= 1$, अतः संख्याएँ सहअभाज्य हैं और उनका गुणनफल $= 1 \times 391 = 391$ — 1 अंक
2. $391 = 17 \times 23$, दो अभाज्य संख्याओं का गुणनफल; अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय है और प्रत्येक संख्या 1 से बड़ी है, अतः संख्याएँ 17 और 23 हैं — 1 अंक

प्रश्न 5 (3 अंक)

सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

इसके विपरीत, मान लीजिए कि $\sqrt{2}$ परिमेय है।

तब हम $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ लिख सकते हैं, जहाँ $a$ और $b$ ऐसे पूर्णांक हैं जिनका 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है (सहअभाज्य) और $b \neq 0$।

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2 = \frac{a^2}{b^2}$, अतः $a^2 = 2b^2$। इसका अर्थ है कि 2, $a^2$ को विभाजित करता है। 2 अभाज्य है, इसलिए 2, $a$ को भी विभाजित करता है (यदि कोई अभाज्य संख्या किसी संख्या के वर्ग को विभाजित करे, तो वह उस संख्या को भी विभाजित करती है)। अतः किसी पूर्णांक $c$ के लिए $a = 2c$ लिख सकते हैं।

$a = 2c$ रखने पर: $4c^2 = 2b^2$, अतः $b^2 = 2c^2$। तब 2, $b^2$ को विभाजित करता है, और इसलिए 2, $b$ को भी विभाजित करता है।

अब 2, $a$ और $b$ दोनों को विभाजित करता है। यह इस तथ्य का विरोधाभास है कि $a$ और $b$ का 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। यह विरोधाभास $\sqrt{2}$ को परिमेय मानने के कारण आया।

अतः $\sqrt{2}$ अपरिमेय है।

अंक योजना:

1. माना $\sqrt{2}$ परिमेय है: $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$, जहाँ $a$ और $b$ सहअभाज्य पूर्णांक हैं और $b \neq 0$ — 1 अंक
2. वर्ग करने पर $a^2 = 2b^2$, अतः 2, $a^2$ को विभाजित करता है और इसलिए 2, $a$ को भी विभाजित करता है; माना $a = 2c$ — 1 अंक
3. तब $4c^2 = 2b^2$, अतः $b^2 = 2c^2$ और 2, $b$ को विभाजित करता है; अतः 2, $a$ और $b$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड है, जो उनके सहअभाज्य होने का विरोधाभास है; अतः $\sqrt{2}$ अपरिमेय है — 1 अंक

प्रश्न 6 (3 अंक)

दिया गया है कि $\sqrt{6}$ एक अपरिमेय संख्या है। सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

इसके विपरीत, मान लीजिए कि $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ परिमेय है, माना $\sqrt{2} + \sqrt{3} = r$, जहाँ $r$ परिमेय है।

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = r^2$, अर्थात् $2 + 2\sqrt{6} + 3 = r^2$।

अतः $2\sqrt{6} = r^2 - 5$, जिससे $\sqrt{6} = \frac{r^2 - 5}{2}$।

$r$ परिमेय है, इसलिए $r^2 - 5$ परिमेय है और $\frac{r^2 - 5}{2}$ भी परिमेय है। इससे $\sqrt{6}$ परिमेय हो जाएगा, परंतु दिया गया है कि $\sqrt{6}$ अपरिमेय है। यह विरोधाभास दिखाता है कि हमारी कल्पना गलत थी।

अतः $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ अपरिमेय है।

अंक योजना:

1. माना $\sqrt{2} + \sqrt{3} = r$, जहाँ $r$ परिमेय है — 1 अंक
2. वर्ग करने पर $2 + 2\sqrt{6} + 3 = r^2$, अतः $\sqrt{6} = \frac{r^2 - 5}{2}$ — 1 अंक
3. $\frac{r^2 - 5}{2}$ परिमेय है परंतु $\sqrt{6}$ अपरिमेय है, यह विरोधाभास है; अतः $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ अपरिमेय है — 1 अंक

प्रश्न 7 (3 अंक)

अभाज्य गुणनखंडन द्वारा 504 और 180 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए। यह भी सत्यापित कीजिए कि HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल।

उत्तर।

1. $504 = 2^3 \times 3^2 \times 7$ और $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ — 1 अंक
2. HCF $= 2^2 \times 3^2 = 36$; LCM $= 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2520$ — 1 अंक
3. HCF × LCM $= 36 \times 2520 = 90720$ और $504 \times 180 = 90720$; सत्यापित — 1 अंक

प्रश्न 8 (3 अंक)

कबीर दो संख्याएँ सोचता है। वह सना को बताता है कि उनका LCM उनके HCF का 12 गुना है, और LCM, HCF से 297 अधिक है। उसकी एक संख्या 108 है। दूसरी संख्या ज्ञात करने में सना की सहायता कीजिए।

उत्तर।

1. माना HCF $= h$; तब LCM $= 12h$ और $12h - h = 297$, अतः $h = 27$ — 1 अंक
2. LCM $= 12 \times 27 = 324$, और HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल — 1 अंक
3. दूसरी संख्या $= \frac{27 \times 324}{108} = 81$ — 1 अंक

प्रश्न 9 (3 अंक)

4 अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसे 12, 15 और 20 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में शेषफल 7 बचता है।

उत्तर।

1. $12 = 2^2 \times 3$, $15 = 3 \times 5$, $20 = 2^2 \times 5$; LCM $= 2^2 \times 3 \times 5 = 60$ — 1 अंक
2. $9999 = 60 \times 166 + 39$, अतः 60 का सबसे बड़ा 4 अंकों वाला गुणज $9999 - 39 = 9960$ है — 1 अंक
3. अभीष्ट संख्या $= 9960 + 7 = 9967$ — 1 अंक

प्रश्न 10 (3 अंक)

बाढ़ राहत शिविर के लिए एक स्वयंसेवी संस्था के पास 520 कंबल और पानी की 781 बोतलें हैं। वह हर परिवार को समान संख्या में कंबल और समान संख्या में बोतलें देती है। इसके बाद 4 कंबल और 7 बोतलें बच जाती हैं। परिवारों की अधिकतम संभव संख्या क्या है? प्रत्येक परिवार को कितने कंबल और कितनी बोतलें मिलती हैं?

उत्तर।

1. बाँटी गई वस्तुएँ: $520 - 4 = 516$ कंबल और $781 - 7 = 774$ बोतलें; परिवारों की संख्या दोनों को विभाजित करेगी — 1 अंक
2. $516 = 2^2 \times 3 \times 43$, $774 = 2 \times 3^2 \times 43$; HCF $= 2 \times 3 \times 43 = 258$ परिवार — 1 अंक
3. प्रत्येक परिवार को $516 \div 258 = 2$ कंबल और $774 \div 258 = 3$ बोतलें मिलती हैं — 1 अंक

दीर्घ उत्तरीय और केस आधारित प्रश्न

प्रश्न 11 (4 अंक)

आरती अपने विद्यालय के बगीचे के पौधों की देखभाल करती है। वह तुलसी के पौधों को हर 6 दिन पर, गुलाब की झाड़ियों को हर 9 दिन पर और मनी प्लांट को हर 15 दिन पर पानी देती है। 1 मार्च को उसने तीनों को पानी दिया।

(i) 6, 9 और 15 को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $6 = 2 \times 3$, $9 = 3^2$, $15 = 3 \times 5$ — 1 अंक

(ii) कितने दिन बाद वह अगली बार तुलसी और गुलाब को एक ही दिन पानी देगी? (1 अंक)

उत्तर।

1. 6 और 9 का LCM $= 2 \times 3^2 = 18$ दिन — 1 अंक

(iii) किस तिथि को वह अगली बार तीनों को एक ही दिन पानी देगी? (2 अंक)

उत्तर।

1. 6, 9 और 15 का LCM $= 2 \times 3^2 \times 5 = 90$ दिन — 1 अंक
2. 1 मार्च के 90 दिन बाद: मार्च के 30, अप्रैल के 30 और मई के 30 दिन, अतः 30 मई को — 1 अंक

अथवा

(iii) 1 मार्च से शुरू होने वाले 365 दिनों में (1 मार्च सहित), कितने दिन वह तीनों पौधों को पानी देगी? (2 अंक)

उत्तर।

1. तीनों को एक साथ हर 90 दिन पर पानी मिलता है (6, 9 और 15 का LCM) — 1 अंक
2. दिन संख्या 0, 90, 180, 270 और 360 इन 365 दिनों में आती हैं, अतः 5 दिन — 1 अंक

प्रश्न 12 (4 अंक)

दीवाली से पहले जयपुर की एक मिठाई की दुकान में काजू कतली के 540 टुकड़े और 756 बेसन के लड्डू हैं। दुकानदार इन्हें उपहार डिब्बों में इस प्रकार पैक करना चाहता है कि हर डिब्बे में मिठाइयों की संख्या समान हो, हर डिब्बे में केवल एक प्रकार की मिठाई हो, और डिब्बों की संख्या कम से कम हो।

(i) 540 और 756 को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $540 = 2^2 \times 3^3 \times 5$ और $756 = 2^2 \times 3^3 \times 7$ — 1 अंक

(ii) प्रत्येक डिब्बे में कितनी मिठाइयाँ रखी जानी चाहिए? (1 अंक)

उत्तर।

1. HCF $= 2^2 \times 3^3 = 108$ मिठाइयाँ — 1 अंक

(iii) दुकानदार के पास बर्फ़ी के 648 टुकड़े भी आ जाते हैं, जिन्हें बाकी दोनों मिठाइयों के साथ इसी प्रकार पैक करना है। अब प्रत्येक डिब्बे में मिठाइयों की संख्या और डिब्बों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $648 = 2^3 \times 3^4$; 540, 756 और 648 का HCF $= 2^2 \times 3^3 = 108$ — 1 अंक
2. डिब्बे $= 540 \div 108 + 756 \div 108 + 648 \div 108 = 5 + 7 + 6 = 18$ — 1 अंक

अथवा

(iii) मान लीजिए दुकानदार हर डिब्बे में केवल 36 मिठाइयाँ रखता है, और हर डिब्बे में अब भी एक ही प्रकार की मिठाई है। 108 मिठाइयाँ प्रति डिब्बा की तुलना में उसे कितने अधिक डिब्बे लगेंगे? (2 अंक)

उत्तर।

1. 36 प्रति डिब्बा: $540 \div 36 + 756 \div 36 = 15 + 21 = 36$ डिब्बे — 1 अंक
2. 108 प्रति डिब्बा: $5 + 7 = 12$ डिब्बे; अतः $36 - 12 = 24$ अधिक डिब्बे — 1 अंक

प्रश्न 13 (4 अंक)

गणित क्लब की एक गतिविधि में मीरा ने दिखाए गए गुणनखंड वृक्ष की सहायता से एक संख्या $x$ को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा। उसके वृक्ष की कुछ संख्याएँ मिट गईं, जिन्हें अक्षरों $x$, $y$ और $z$ से दिखाया गया है।

(i) $z$ का मान ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $z = 7 \times 13 = 91$ — 1 अंक

(ii) $x$ ज्ञात कीजिए और इसे अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $y = 3 \times 455 = 1365$, अतः $x = 3 \times 1365 = 4095 = 3^2 \times 5 \times 7 \times 13$ — 1 अंक

(iii) $x$ और 2340 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $2340 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 13$ — 1 अंक
2. HCF $= 3^2 \times 5 \times 13 = 585$; LCM $= 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 \times 13 = 16380$ — 1 अंक

अथवा

(iii) $y$ और 1050 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $y = 1365 = 3 \times 5 \times 7 \times 13$ और $1050 = 2 \times 3 \times 5^2 \times 7$ — 1 अंक
2. HCF $= 3 \times 5 \times 7 = 105$; LCM $= 2 \times 3 \times 5^2 \times 7 \times 13 = 13650$ — 1 अंक

प्रश्न 14 (4 अंक)

नेहा ने यह सिद्ध करने के लिए कि $\sqrt{5}$ अपरिमेय है, निम्नलिखित उपपत्ति लिखी।

चरण 1: माना $\sqrt{5} = \frac{a}{b}$, जहाँ $a$ और $b$ पूर्णांक हैं और $b \neq 0$।

चरण 2: तब $a^2 = 5b^2$, अतः 5, $a^2$ को विभाजित करता है, और इसलिए 5, $a$ को विभाजित करता है।

चरण 3: $a = 5c$ लिखिए। तब $25c^2 = 5b^2$, अतः $b^2 = 5c^2$ और 5, $b$ को विभाजित करता है।

चरण 4: अतः 5, $a$ और $b$ दोनों को विभाजित करता है। अतः $\sqrt{5}$ अपरिमेय है।

(i) किस चरण में कमी है? उसमें क्या छूट गया है? (1 अंक)

उत्तर।

1. चरण 1: इसमें लिखना चाहिए कि $a$ और $b$ सहअभाज्य हैं (भिन्न अपने न्यूनतम रूप में है) — 1 अंक

(ii) लिखे गए रूप में चरण 4 कुछ सिद्ध क्यों नहीं करता? चरण 4 को सही करके लिखिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. सहअभाज्य लिखे बिना $a$ और $b$ में 5 उभयनिष्ठ गुणनखंड हो सकता है, अतः कोई विरोधाभास नहीं बनता; सही चरण 4: 5, $a$ और $b$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड है, जो उनके सहअभाज्य होने का विरोधाभास है, अतः $\sqrt{5}$ अपरिमेय है — 1 अंक

(iii) इस तथ्य का उपयोग करके कि $\sqrt{5}$ अपरिमेय है, दिखाइए कि $\frac{1}{\sqrt{5}}$ अपरिमेय है। (2 अंक)

उत्तर।

1. माना $\frac{1}{\sqrt{5}} = r$, जहाँ $r$ परिमेय है और $r \neq 0$; तब $\sqrt{5} = \frac{1}{r}$ — 1 अंक
2. $\frac{1}{r}$ परिमेय है परंतु $\sqrt{5}$ अपरिमेय है, यह विरोधाभास है; अतः $\frac{1}{\sqrt{5}}$ अपरिमेय है — 1 अंक