पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन अध्याय बोर्ड प्रश्न पत्र में 4 से 6 अंक का होता है (2026-27 के सैंपल पेपर में 6, 2026 के दोनों प्रश्न पत्रों में 5 और 2025 में 4)।

इसमें प्रायः एक या दो 1 अंक के बहुविकल्पीय या अभिकथन-तर्क प्रश्न (सिरे से सिरा जुड़े घन, बेलन पर शंकु या अर्धगोला), और दो आकारों से बने ठोस पर 3 या 5 अंक का एक प्रश्न आता है: तंबू, खिलौना, गुंबद वाला कमरा, शेड। 2026-27 के सैंपल पेपर में इस अध्याय से 5 अंक का प्रश्न (तंबू या खिलौना) आया।

अंक प्रायः यहाँ कटते हैं:

• दो ठोस जहाँ जुड़ते हैं, उन छिपे फलकों को भी कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में जोड़ देना;
• शंकु के वक्र पृष्ठ में तिर्यक ऊँचाई $l$ के स्थान पर ऊँचाई $h$ ले लेना;
• शंकु के आयतन में $\frac{1}{3}$ या अर्धगोले में $\frac{2}{3}$ भूल जाना;
• मात्रकों में गड़बड़: $1 \text{ m}^3 = 1000$ लीटर और $1000 \text{ cm}^3 = 1$ लीटर।

5 मिनट में दोहराएँ

सूत्र ($r$ त्रिज्या, $h$ ऊँचाई, $l$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई; घनाभ $l \times b \times h$)

शंकु की तिर्यक ऊँचाई: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$। काम के त्रिक: 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25, 6-8-10।

संयुक्त ठोस (पाठ्यक्रम में केवल दो ठोसों का संयोजन)

• आयतन: भागों के आयतन जोड़िए; खोखले या खोदकर निकाले गए भाग का आयतन घटाइए।
• पृष्ठीय क्षेत्रफल: केवल वही सतहें जोड़िए जो दिखती हैं। जहाँ दो भाग मिलते हैं, वह वृत्त या फलक छिप जाता है।
• अर्धगोले पर शंकु (खिलौना): $\pi r l + 2\pi r^2$। बेलन पर शंकु (तंबू, फ़र्श के बिना): $2\pi r h + \pi r l$।
• खोदकर निकाला गया अर्धगोला या शंकु अपना भीतरी वक्र पृष्ठ जोड़ता है और मुँह वाला वृत्त घटाता है।
• घनाभ पर खड़ा बेलन: घनाभ पर ढका वृत्त बेलन के बराबर ऊपरी सिरे से पूरा हो जाता है, इसलिए केवल $2\pi r h$ जोड़िए।
• बेलन या शंकु पर लगा अर्धगोला कुल ऊँचाई में $r$ जोड़ता है।
• घन से काटा गया सबसे बड़ा गोला, अर्धगोला या शंकु: व्यास = कोर (शंकु की ऊँचाई = कोर, अर्धगोले की ऊँचाई = आधा कोर)।
• खोखला अर्धगोलाकार कटोरा (बाहरी त्रिज्या $R$, आंतरिक $r$): कुल पृष्ठ $= 2\pi R^2 + 2\pi r^2 + \pi(R^2 - r^2)$।
• आयतन दिया हो, ऊँचाई अज्ञात? भाग 1 का आयतन + भाग 2 का आयतन = दिया गया आयतन लिखकर ऊँचाई निकालिए।

मात्रक: $1 \text{ m}^3 = 1000$ लीटर; $1000 \text{ cm}^3 = 1$ लीटर; $1 \text{ m}^2 = 10000 \text{ cm}^2$।

सावधानियाँ

• $\pi r l$ में $l$ के स्थान पर $h$ लगा देना।
• छिपे फलक गिन लेना (दो जुड़े घन: $2 \times 6a^2 - 2a^2 = 10a^2$)।
• जहाँ किसी भाग का केवल वक्र पृष्ठ दिखता हो, वहाँ उसका कुल पृष्ठ ले लेना।
• $\frac{1}{3}$ (शंकु) या $\frac{2}{3}$ (अर्धगोला) भूल जाना।

इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: हर प्रश्न पहले कॉपी पर हल कीजिए, फिर उत्तर पढ़िए। हर चरण के सामने लिखे अंक बताते हैं कि परीक्षक क्या देखता है। 1 अंक वाले बहुविकल्पीय और अभिकथन-तर्क प्रश्न अंत की क्विज़ में हैं, साथ में ऐसे प्रश्न भी जो जाँचते हैं कि आपने अध्याय कितनी गहराई से समझा है; क्विज़ के हर उत्तर के साथ उसकी व्याख्या दी गई है।

लघु उत्तरीय प्रश्न (2 और 3 अंक)

प्रश्न 1 (2 अंक)

एक मोम का क्रेयॉन 0.7 cm त्रिज्या और 10 cm लंबाई का बेलन है, जिसके एक सिरे पर समान त्रिज्या और 2.4 cm ऊँचाई का शंकु है। क्रेयॉन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

उत्तर।

1. तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{0.7^2 + 2.4^2} = 2.5$ cm; पृष्ठ = समतल आधार + बेलन का वक्र पृष्ठ + शंकु का वक्र पृष्ठ $= \pi r (r + 2h + l)$ — 1 अंक
2. $= \frac{22}{7} \times 0.7 \times (0.7 + 20 + 2.5) = 2.2 \times 23.2 = 51.04 \text{ cm}^2$ — 1 अंक

प्रश्न 2 (2 अंक)

एक खिलौना 5 cm त्रिज्या और 12 cm ऊँचाई वाला शंकु है, जो समान त्रिज्या वाले अर्धगोले पर लगा है। इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए नेहा ने लिखा:

खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= (65\pi + 25\pi) + 75\pi = 165\pi \text{ cm}^2$।

क्या वह सही है? यदि नहीं, तो उसकी गलती समझाइए और सही कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi$ के पदों में ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. सही नहीं: शंकु और अर्धगोला जहाँ मिलते हैं, वे दो वृत्तीय फलक (प्रत्येक $25\pi$) छिप जाते हैं, इसलिए केवल वक्र पृष्ठ गिने जाते हैं — 1 अंक
2. $l = 13$ cm; कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l + 2\pi r^2 = 65\pi + 50\pi = 115\pi \text{ cm}^2$ — 1 अंक

प्रश्न 3 (2 अंक)

काँच का एक पेपरवेट 7 cm कोर वाला घन है, जिसके ऊपरी फलक के बीच में 3.5 cm आधार त्रिज्या और 12 cm ऊँचाई वाला एक ठोस शंकु लगा है। पेपरवेट में काँच का आयतन ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

उत्तर।

1. घन का आयतन $= 7^3 = 343 \text{ cm}^3$; शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 12 = 154 \text{ cm}^3$ — 1 अंक
2. कुल आयतन $= 343 + 154 = 497 \text{ cm}^3$ — 1 अंक

प्रश्न 4 (2 अंक)

त्रिज्या $r$ वाली दो एक जैसी गेंदें एक बेलनाकार नली में इस प्रकार रखी हैं कि वे एक-दूसरे को, वक्र दीवार को और नली के दोनों सिरों को छूती हैं। दिखाइए कि गेंदें नली का ठीक दो-तिहाई भाग घेरती हैं।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

हर गेंद दीवार को छूती है, इसलिए नली की त्रिज्या $r$ है। दोनों गेंदें एक के ऊपर एक हैं और दोनों सिरों को छूती हैं, इसलिए नली की ऊँचाई दो व्यासों के बराबर, $4r$ है।

नली का आयतन $= \pi r^2 \times 4r = 4\pi r^3$।

दोनों गेंदों का आयतन $= 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{8}{3}\pi r^3$।

घेरा गया भाग $= \frac{8}{3}\pi r^3 \div 4\pi r^3 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$। अतः गेंदें नली का दो-तिहाई भाग घेरती हैं, और एक-तिहाई खाली स्थान है।

अंक योजना:

1. नली की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $4r$ है, अतः उसका आयतन $\pi r^2 \times 4r = 4\pi r^3$ है — 1 अंक
2. गेंदें $= 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{8}{3}\pi r^3$, और $\frac{8}{3}\pi r^3 \div 4\pi r^3 = \frac{2}{3}$ — 1 अंक

प्रश्न 5 (2 अंक)

एक शंकु, एक अर्धगोला और एक बेलन त्रिज्या $r$ वाले बराबर आधारों पर खड़े हैं और उनकी ऊँचाई समान है। दिखाइए कि उनके आयतनों का अनुपात 1 : 2 : 3 है।

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

त्रिज्या $r$ वाले अर्धगोले की ऊँचाई $r$ होती है। अतः शंकु और बेलन की ऊँचाई भी $r$ है।

शंकु का आयतन $= \frac{1}{3}\pi r^2 \times r = \frac{1}{3}\pi r^3$।

अर्धगोले का आयतन $= \frac{2}{3}\pi r^3$।

बेलन का आयतन $= \pi r^2 \times r = \pi r^3$।

अनुपात $= \frac{1}{3}\pi r^3 : \frac{2}{3}\pi r^3 : \pi r^3$। प्रत्येक को $\frac{3}{\pi r^3}$ से गुणा करने पर 1 : 2 : 3 मिलता है।

अंक योजना:

1. अर्धगोले की ऊँचाई $r$ है, इसलिए तीनों की ऊँचाई $r$ है — 1 अंक
2. आयतन: $\frac{1}{3}\pi r^3 : \frac{2}{3}\pi r^3 : \pi r^3 = 1 : 2 : 3$ — 1 अंक

प्रश्न 6 (3 अंक)

भुवनेश्वर के एक विज्ञान केंद्र में तारामंडल का हॉल 10.5 m त्रिज्या और 8 m ऊँचाई के बेलन के आकार का है, जिसके ऊपर समान त्रिज्या का अर्धगोलाकार गुंबद है। ज्ञात कीजिए (i) हॉल के अंदर वायु का आयतन, (ii) वक्र दीवार और गुंबद का कुल क्षेत्रफल, जिन पर प्लास्टर करना है। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

उत्तर।

1. बेलन $= \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 \times 8 = 2772 \text{ m}^3$; गुंबद $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 \times 10.5 = 2425.5 \text{ m}^3$ — 1 अंक
2. वायु का आयतन $= 2772 + 2425.5 = 5197.5 \text{ m}^3$ — 1 अंक
3. क्षेत्रफल $= 2\pi r h + 2\pi r^2 = 528 + 693 = 1221 \text{ m}^2$ — 1 अंक

प्रश्न 7 (3 अंक)

एक डेयरी फ़ार्म का पशु-शेड 20 m लंबा, 7 m चौड़ा और 5 m ऊँचा घनाभ है, जिसकी छत 7 m व्यास के अर्ध-बेलन के आकार की है और उसकी लंबाई के साथ-साथ चलती है। ज्ञात कीजिए (i) शेड में वायु का आयतन, (ii) वक्र छत में लगी टिन की चादर का क्षेत्रफल। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

उत्तर।

1. घनाभ $= 20 \times 7 \times 5 = 700 \text{ m}^3$; अर्ध-बेलन (त्रिज्या 3.5 m, लंबाई 20 m) $= \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 20 = 385 \text{ m}^3$ — 1 अंक
2. वायु का आयतन $= 700 + 385 = 1085 \text{ m}^3$ — 1 अंक
3. वक्र छत $= \frac{1}{2} \times 2\pi r l = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 20 = 220 \text{ m}^2$ — 1 अंक

प्रश्न 8 (3 अंक)

एक ठोस 3 cm त्रिज्या वाले बेलन से बना है, जिसके एक सिरे पर समान त्रिज्या का अर्धगोला लगा है। ठोस का आयतन $90\pi \text{ cm}^3$ है। बेलनाकार भाग की ऊँचाई, ठोस की कुल ऊँचाई और उसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi$ के पदों में ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. अर्धगोला $= \frac{2}{3}\pi \times 27 = 18\pi$; अतः $9\pi h = 90\pi - 18\pi = 72\pi$ — 1 अंक
2. $h = 8$ cm; कुल ऊँचाई $= 8 + 3 = 11$ cm — 1 अंक
3. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi r h + \pi r^2 + 2\pi r^2 = 48\pi + 9\pi + 18\pi = 75\pi \text{ cm}^2$ — 1 अंक

प्रश्न 9 (3 अंक)

स्कूल की एक ट्रॉफ़ी 10 cm लंबे, 10 cm चौड़े और 4 cm ऊँचे घनाभाकार आधार से बनी है, जिसके ऊपरी फलक के बीच में 3.5 cm त्रिज्या और 10 cm ऊँचाई वाला एक ठोस बेलन खड़ा है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। निचले फलक को छोड़कर पूरी ट्रॉफ़ी पर पॉलिश करनी है। पॉलिश किया जाने वाला क्षेत्रफल और ट्रॉफ़ी का आयतन ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

उत्तर।

1. बिना निचले फलक के घनाभ $= 2(100 + 40 + 40) - 100 = 260 \text{ cm}^2$; ऊपरी फलक पर बेलन से ढका वृत्त, बेलन के बराबर ऊपरी सिरे से पूरा हो जाता है, इसलिए कोई अंतर नहीं — 1 अंक
2. बेलन का वक्र पृष्ठ जोड़ें $= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 10 = 220 \text{ cm}^2$; पॉलिश का क्षेत्रफल $= 260 + 220 = 480 \text{ cm}^2$ — 1 अंक
3. आयतन $= 10 \times 10 \times 4 + \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 10 = 400 + 385 = 785 \text{ cm}^3$ — 1 अंक

प्रश्न 10 (3 अंक)

स्टील के एक अर्धगोलाकार कटोरे की आंतरिक त्रिज्या 5 cm और बाहरी त्रिज्या 6 cm है। कटोरे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (अंदर, बाहर और ऊपर का समतल किनारा) $\pi$ के पदों में ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. आंतरिक वक्र पृष्ठ $= 2\pi \times 5^2 = 50\pi \text{ cm}^2$ — 1 अंक
2. बाहरी वक्र पृष्ठ $= 2\pi \times 6^2 = 72\pi \text{ cm}^2$ — 1 अंक
3. किनारा $= \pi(6^2 - 5^2) = 11\pi \text{ cm}^2$; कुल $= 50\pi + 72\pi + 11\pi = 133\pi \text{ cm}^2$ — 1 अंक

दीर्घ उत्तरीय और केस आधारित प्रश्न

प्रश्न 11 (5 अंक)

कंक्रीट का एक ठोस सीमा-स्तंभ 9 cm त्रिज्या और 60 cm ऊँचाई का बेलन है, जिसके ऊपर समान त्रिज्या और 12 cm ऊँचाई का शंकु लगा है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। स्तंभ अपने आधार पर खड़ा है। ज्ञात कीजिए (i) स्तंभ में कंक्रीट का आयतन, (ii) आधार को छोड़कर पूरे स्तंभ को ₹ 10 प्रति 100 cm² की दर से रंगने का खर्च। ($\pi = 3.14$ लीजिए)

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

(i) बेलन का आयतन $= \pi r^2 H = \pi \times 81 \times 60 = 4860\pi$। शंकु का आयतन $= \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \times 81 \times 12 = 324\pi$।

कंक्रीट का आयतन $= 4860\pi + 324\pi = 5184\pi = 5184 \times 3.14 = 16277.76$ cm³।

(ii) रंगी जाने वाली सतह में बेलन का वक्र पृष्ठ और शंकु का वक्र पृष्ठ आते हैं। आधार नहीं रंगा जाता, और जहाँ शंकु बेलन से मिलता है वह वृत्त छिप जाता है।

तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15$ cm।

बेलन का वक्र पृष्ठ $= 2\pi r H = 2\pi \times 9 \times 60 = 1080\pi$। शंकु का वक्र पृष्ठ $= \pi r l = \pi \times 9 \times 15 = 135\pi$।

रंगने का क्षेत्रफल $= 1215\pi = 1215 \times 3.14 = 3815.1$ cm²।

खर्च $= \frac{3815.1}{100} \times 10 =$ ₹ 381.51।

अंक योजना:

1. आयतन $= \pi r^2 H + \frac{1}{3}\pi r^2 h = \pi \times 81 \times (60 + 4) = 5184\pi$ — 1 अंक
2. $= 5184 \times 3.14 = 16277.76 \text{ cm}^3$ — 1 अंक
3. $l = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15$ cm — 1 अंक
4. रंगने का क्षेत्रफल $= 2\pi r H + \pi r l = 1080\pi + 135\pi = 1215\pi = 3815.1 \text{ cm}^2$ — 1 अंक
5. खर्च $= \frac{3815.1}{100} \times 10 =$ ₹ 381.51 — 1 अंक

अथवा

राहत शिविर का एक तंबू 6 m त्रिज्या और 5 m ऊँचाई का बेलन है, जिसके ऊपर समान त्रिज्या का शंकु है। तंबू में 866.64 m³ वायु है। ज्ञात कीजिए (i) शंक्वाकार भाग की ऊँचाई, (ii) तंबू के लिए आवश्यक कैनवास का क्षेत्रफल (फ़र्श के बिना), (iii) ₹ 100 प्रति m² की दर से कैनवास का मूल्य। ($\pi = 3.14$ लीजिए)

उत्तर।

1. $866.64 = 276\pi$; बेलन $= \pi \times 36 \times 5 = 180\pi$ — 1 अंक
2. शंकु $= \frac{1}{3}\pi \times 36 \times h = 12\pi h = 276\pi - 180\pi = 96\pi$, अतः $h = 8$ m — 2 अंक
3. $l = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ m; कैनवास $= 2\pi \times 6 \times 5 + \pi \times 6 \times 10 = 120\pi = 376.8 \text{ m}^2$ — 1 अंक
4. मूल्य $= 376.8 \times 100 =$ ₹ 37680 — 1 अंक

प्रश्न 12 (5 अंक)

जयपुर के एक छात्रावास की छत पर पानी की एक टंकी 2.1 m त्रिज्या और 5 m ऊँचाई का बेलन है, जो नीचे से समान त्रिज्या के अर्धगोले द्वारा और ऊपर से एक समतल वृत्ताकार ढक्कन द्वारा बंद है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। ज्ञात कीजिए (i) टंकी में कितने लीटर पानी आ सकता है, (ii) ढक्कन सहित टंकी की पूरी भीतरी सतह को ₹ 50 प्रति m² की दर से रंगने का खर्च। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

उत्तर।

आदर्श उत्तर:

(i) बेलनाकार भाग का आयतन $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 5 = 69.3$ m³।

अर्धगोलाकार तली का आयतन $= \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1 = 19.404$ m³।

धारिता $= 69.3 + 19.404 = 88.704$ m³। चूँकि $1 \text{ m}^3 = 1000$ लीटर, टंकी में 88704 लीटर पानी आता है।

(ii) भीतरी सतह में बेलन की वक्र दीवार, अर्धगोले का वक्र पृष्ठ और ढक्कन आते हैं।

वक्र दीवार $= 2\pi r h = 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 5 = 66$ m²।

अर्धगोला $= 2\pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 = 27.72$ m²।

ढक्कन $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 = 13.86$ m²।

कुल $= 66 + 27.72 + 13.86 = 107.58$ m²। खर्च $= 107.58 \times 50 =$ ₹ 5379।

अंक योजना:

1. बेलन का आयतन $= \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 5 = 69.3 \text{ m}^3$ — 1 अंक
2. अर्धगोले का आयतन $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1 = 19.404 \text{ m}^3$ — 1 अंक
3. धारिता $= 88.704 \text{ m}^3 = 88704$ लीटर (क्योंकि $1 \text{ m}^3 = 1000$ लीटर) — 1 अंक
4. भीतरी सतह $= 2\pi r h + 2\pi r^2 + \pi r^2 = 66 + 27.72 + 13.86 = 107.58 \text{ m}^2$ — 1 अंक
5. खर्च $= 107.58 \times 50 =$ ₹ 5379 — 1 अंक

प्रश्न 13 (4 अंक)

मेरठ की खेल के सामान की एक दुकान 21 cm व्यास की प्रत्येक फ़ुटबॉल को 21 cm कोर वाले घनाकार गत्ते के डिब्बे में पैक करती है, ताकि गेंद डिब्बे में ठीक-ठीक समा जाए। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

(i) डिब्बे का आयतन ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $21^3 = 9261 \text{ cm}^3$ — 1 अंक

(ii) फ़ुटबॉल का आयतन ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 \times 10.5 = 4851 \text{ cm}^3$ — 1 अंक

(iii) डिब्बे में बचे खाली स्थान का आयतन, और गेंद द्वारा घेरा गया डिब्बे का भाग (भिन्न के रूप में) ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. खाली स्थान $= 9261 - 4851 = 4410 \text{ cm}^3$ — 1 अंक
2. भाग $= \frac{4851}{9261} = \frac{11}{21}$ — 1 अंक

अथवा

(iii) फ़ुटबॉल का पृष्ठीय क्षेत्रफल और डिब्बे में लगे गत्ते का क्षेत्रफल (छहों फलक) ज्ञात कीजिए। गत्ते का क्षेत्रफल गेंद के पृष्ठीय क्षेत्रफल से कितना अधिक है? (2 अंक)

उत्तर।

1. गेंद $= 4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 = 1386 \text{ cm}^2$; डिब्बा $= 6 \times 21^2 = 2646 \text{ cm}^2$ — 1 अंक
2. अंतर $= 2646 - 1386 = 1260 \text{ cm}^2$ — 1 अंक

प्रश्न 14 (4 अंक)

कोच्चि के एक आइसक्रीम स्टॉल पर हर कोन 2.1 cm त्रिज्या और 7.2 cm ऊँचाई का वेफ़र कोन है, जो पूरा आइसक्रीम से भरा है और जिसके ऊपर समान त्रिज्या का आइसक्रीम का अर्धगोला है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

(i) वेफ़र कोन की तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $l = \sqrt{2.1^2 + 7.2^2} = \sqrt{4.41 + 51.84} = \sqrt{56.25} = 7.5$ cm — 1 अंक

(ii) एक कोन में वेफ़र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $\pi r l = \frac{22}{7} \times 2.1 \times 7.5 = 49.5 \text{ cm}^2$ — 1 अंक

(iii) एक कोन में आइसक्रीम का कुल आयतन ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. शंकु $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 7.2 = 33.264 \text{ cm}^3$; अर्धगोला $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1 = 19.404 \text{ cm}^3$ — 1 अंक
2. कुल $= 33.264 + 19.404 = 52.668 \text{ cm}^3$ — 1 अंक

अथवा

(iii) स्टॉल एक दिन में ऐसे 250 कोन बेचता है। वह एक दिन में कितने लीटर आइसक्रीम का प्रयोग करता है? (2 अंक)

उत्तर।

1. एक कोन में $33.264 + 19.404 = 52.668 \text{ cm}^3$ — 1 अंक
2. $250 \times 52.668 = 13167 \text{ cm}^3 = 13.167$ लीटर — 1 अंक